Curso de Relatividad General

 Algunas dudas, asistido por IA

 

Estoy revisando tarjetas didácticas basadas en las fuentes y me gustaría entender mejor una de ellas.

En el anverso pone: "Si $\psi' \circ f \circ \phi'^{-1}$ y $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ son dos representantes locales de $f$, ¿cómo se relacionan?" La respuesta del anverso es: "Se relacionan mediante las funciones de transición: $\psi' \circ f \circ \phi'^{-1}$ = $\psi' \circ \psi^{-1} \circ \psi$ $ \circ f \circ \phi^{-1} \circ $  $\phi \circ \phi'^{-1}$  .

¿Podrías explicarme este tema más detalladamente?

Nota: creo que sobra el último "elevado a -1"  y creo que debe ser $\psi' \circ f \circ \phi'^{-1}$ = $\psi' \circ \psi^{-1} \circ $  $ \psi \circ f \circ \phi^{-1}\circ $   $\phi \circ \phi'^{-1}$

La tarjeta didáctica que describes aborda el concepto fundamental del Cambio de Coordenadas (o cambio de cartas) en geometría diferencial. Aunque las fuentes que me has proporcionado se centran en el álgebra lineal de los espacios tangentes (vectores, covectores y tensores), estas contienen la clave para entender la versión "linealizada" de lo que dice tu tarjeta.

Aquí tienes una explicación detallada conectando la teoría de tu tarjeta con los cálculos prácticos de tus fuentes.

1. El Concepto: "El Sándwich" de Funciones

La fórmula de la tarjeta describe cómo se ve una misma función abstracta $f$ desde dos "puntos de vista" (sistemas de coordenadas) diferentes.

Imagina que $f$ es una operación abstracta en una variedad. Para calcular con ella, necesitamos "bajarla" a $\mathbb{R}^n$ usando mapas (cartas) como $\phi$ y $\psi$.

• Representante antiguo: $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ (Es la función escrita en las coordenadas "sin prima").
• Representante nuevo: $\psi' \circ f \circ \phi'^{-1}$ (Es la función escrita en las coordenadas "prima").

La relación larga es simplemente una cadena de traducción:

1. Entrada ($\phi \circ \phi'^{-1}$): Traduces tus coordenadas nuevas (prima) a las antiguas para que la función vieja las entienda.
2. Proceso ($\psi \circ f \circ \phi^{-1}$): Aplicas la función en el sistema antiguo.
3. Salida ($\psi' \circ \psi^{-1}$): Traduces el resultado del sistema antiguo al nuevo.

2. Conexión con tus Fuentes: La Linealización

Tus fuentes explican qué ocurre cuando aplicamos este cambio de coordenadas "haciendo zoom" en un punto específico (nivel infinitesimal). Esto se conoce como Cambio de Base.

En las fuentes, el cambio de coordenadas no lineal se sustituye por su derivada (la matriz Jacobiana), representada como la matriz $A$.

• Funciones de Transición $\to$ Matriz de Cambio de Base: En la fuente ****, se definen dos bases $e_i$ y $e'_i$. La relación entre ellas se da mediante una matriz de transformación: $$e'_i = A^j_i e_j$$ Esta matriz $A$ (y su inversa $A^{-1}$) son equivalentes a las derivadas de las funciones de transición que menciona tu tarjeta ($\phi \circ \phi'^{-1}$ y viceversa).

• Transformación de Componentes: Tu tarjeta pregunta cómo cambia la representación de $f$. Las fuentes muestran esto explícitamente para el caso de vectores. En la fuente ****, se ve cómo cambian las componentes de un vector $v$ bajo un cambio de base: $$v'^i = (A^{-1})^j_i v^j$$ Observa el paralelismo: para obtener el "nuevo" vector ($v'$), tomas el "viejo" ($v$) y le aplicas una matriz de transición ($A^{-1}$). Esto es exactamente lo que hace tu fórmula de la tarjeta, pero a nivel de funciones completas en lugar de solo vectores tangentes.

• Generalización a Tensores: La fuente **** muestra la fórmula más general y compleja que sigue la misma lógica de "sándwich" que tu tarjeta. Para transformar un tensor $T$, lo rodeas de matrices de cambio de base ($A$ y $A^{-1}$): $$T'^{ij}{kl} = (A^{-1})^i_r (A^{-1})^j_s A^p_k A^q_l T^{rs}{pq}$$ Aquí, $(A^{-1})$ transforma los índices de arriba (salida/contravariantes) y $A$ transforma los de abajo (entrada/covariantes).

3. Explicación de la notación en la tarjeta

La parte final de tu tarjeta dice: $\dots \circ (\phi \circ \phi'^{-1})^{-1}$. Esto es simplemente la inversa de la transición. Matemáticamente, la inversa de "ir de nuevo a viejo" es "ir de viejo a nuevo". En tus fuentes, esto se refleja en el uso explícito de $A$ y $A^{-1}$. Por ejemplo, en la fuente **** se concluye explícitamente que la transformación inversa de la base dual usa la matriz inversa: $$e'^i = (A^{-1})^i_j e^j$$

Resumen Analógico

Imagina que la función $f$ es una receta de cocina escrita en inglés (coordenadas antiguas).

• Tú solo hablas español (coordenadas nuevas, primas).
• Tu tarjeta dice: Para usar la receta (Representante Nuevo), necesitas:
  1. Traducir tus ingredientes de español a inglés (Transición de entrada).
  2. Seguir la receta en inglés (Representante antiguo).
  3. Traducir el plato final de inglés a español (Transición de salida).

Tus fuentes matemáticas se encargan de calcular exactamente cuánto debes convertir cada ingrediente (los vectores y tensores) usando las matrices de cambio $A$ y $A^{-1}$.