TEMA 36 SEGUNDA PARTE Y CUESTIONES RELACIONADAS

 DeepSeek y algún otro

 

¿Es cierto que F′(z)=∂U(x,y)∂x+V(x,y)∂x siendo F(z)=U(x,y)+iV(x,y) donde z=x+iy  y F(z) es una función analítica?

En caso de que sea cierto, proporcióname una demostración detallada

RESPUESTA

La afirmación **no es correcta**. El error está en la expresión propuesta para \( F'(z) \). Vamos a corregirlo y demostrar la fórmula correcta utilizando las **ecuaciones de Cauchy-Riemann**, que son fundamentales para funciones analíticas.

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### **Definiciones y contexto**
Sea \( F(z) = U(x, y) + iV(x, y) \), donde \( z = x + iy \), y \( F(z) \) es analítica (holomorfa) en un dominio \( D \subset \mathbb{C} \).

---

### **Derivada compleja \( F'(z) \)**
La derivada de \( F(z) \) en el sentido complejo se define como:
\[
F'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h},
\]
donde \( h \) es un incremento complejo (\( h = \Delta x + i\Delta y \)).

---

### **Relación con las derivadas parciales reales**
Para que \( F(z) \) sea analítica, debe satisfacer las **ecuaciones de Cauchy-Riemann**:
\[
\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y} \quad \text{y} \quad \frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial V}{\partial x}.
\]

Además, la derivada compleja \( F'(z) \) puede expresarse en términos de las derivadas parciales de \( U \) y \( V \). Existen dos formas equivalentes:
1. **Derivando respecto a \( x \)**:
   \[
   F'(z) = \frac{\partial U}{\partial x} + i\frac{\partial V}{\partial x}.
   \]
2. **Derivando respecto a \( y \)**:
   \[
   F'(z) = \frac{\partial V}{\partial y} - i\frac{\partial U}{\partial y}.
   \]

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### **Demostración detallada**
#### **Paso 1: Expresar \( F(z) \) en términos de \( x \) e \( y \)**:
\[
F(z) = U(x, y) + iV(x, y).
\]

#### **Paso 2: Calcular el incremento \( F(z + h) - F(z) \)**:
Supongamos que \( h = \Delta x \) (incremento real puro). Entonces:
\[
F(z + \Delta x) - F(z) = U(x + \Delta x, y) - U(x, y) + i\left[V(x + \Delta x, y) - V(x, y)\right].
\]

Dividiendo por \( \Delta x \):
\[
\frac{F(z + \Delta x) - F(z)}{\Delta x} = \frac{U(x + \Delta x, y) - U(x, y)}{\Delta x} + i\frac{V(x + \Delta x, y) - V(x, y)}{\Delta x}.
\]

Tomando el límite \( \Delta x \to 0 \):
\[
F'(z) = \frac{\partial U}{\partial x} + i\frac{\partial V}{\partial x}.
\]

#### **Paso 3: Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann**:
Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
\[
\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial U}{\partial y} \quad \text{y} \quad \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y}.
\]

Por lo tanto, también podemos escribir:
\[
F'(z) = \frac{\partial V}{\partial y} - i\frac{\partial U}{\partial y}.
\]

---

### **Corrección de la afirmación original**
La expresión propuesta \( F'(z) = \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial}{\partial x} \) es incorrecta. La fórmula correcta es:
\[
F'(z) = \frac{\partial U}{\partial x} + i\frac{\partial V}{\partial x}.
\]

El error en la afirmación original radica en:
1. La ausencia del factor \( i \) multiplicando \( \frac{\partial V}{\partial x} \).
2. La notación \( V \frac{\partial}{\partial x} \), que carece de sentido matemático en este contexto.

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### **Ejemplo concreto**
Sea \( F(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy) \). Entonces:
\[
U(x, y) = x^2 - y^2, \quad V(x, y) = 2xy.
\]

Calculamos \( F'(z) \):
\[
F'(z) = \frac{\partial U}{\partial x} + i\frac{\partial V}{\partial x} = 2x + i(2y) = 2(x + iy) = 2z.
\]

Esto coincide con la derivada directa \( \frac{d}{dz}z^2 = 2z \).

---

### **Conclusión**
La derivada de una función analítica \( F(z) = U + iV \) es:
\[
F'(z) = \frac{\partial U}{\partial x} + i\frac{\partial V}{\partial x},
\]
y **no** \( \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial}{\partial x} \). La clave está en las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la presencia del factor \( i \) en la parte imaginaria.

 

INDICACIÓN

Buenas noches. Explícame la regla de la cadena para funciones  $\mathbb{R}^2 \rightarrow{\mathbb{R}^2}$

RESPUESTA

La **regla de la cadena** para funciones \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) describe cómo calcular la derivada de una composición de funciones vectoriales utilizando matrices Jacobianas. Aquí te lo explico paso a paso:

---

### **1. Definición de las funciones**
Considera dos funciones diferenciables:
- \( \mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), definida como:
  \[
  \mathbf{F}(x, y) = \begin{pmatrix} u(x, y) \\ v(x, y) \end{pmatrix}.
  \]
- \( \mathbf{G}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), definida como:
  \[
  \mathbf{G}(a, b) = \begin{pmatrix} p(a, b) \\ q(a, b) \end{pmatrix}.
  \]

La composición \( \mathbf{G} \circ \mathbf{F} \) es:
\[
\mathbf{G}(\mathbf{F}(x, y)) = \begin{pmatrix} p(u(x, y), v(x, y)) \\ q(u(x, y), v(x, y)) \end{pmatrix}.
\]

---

### **2. Matrices Jacobianas**
La **matriz Jacobiana** de una función vectorial contiene sus derivadas parciales.

- **Jacobiana de \( \mathbf{F} \)**:
  \[
  J_{\mathbf{F}}(x, y) = \begin{pmatrix}
  \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
  \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
  \end{pmatrix}.
  \]

- **Jacobiana de \( \mathbf{G} \)**:
  \[
  J_{\mathbf{G}}(a, b) = \begin{pmatrix}
  \frac{\partial p}{\partial a} & \frac{\partial p}{\partial b} \\
  \frac{\partial q}{\partial a} & \frac{\partial q}{\partial b}
  \end{pmatrix}.
  \]

---

### **3. Regla de la cadena**
La regla de la cadena establece que la Jacobiana de \( \mathbf{G} \circ \mathbf{F} \) es el **producto de las Jacobianas**:
\[
J_{\mathbf{G} \circ \mathbf{F}}(x, y) = J_{\mathbf{G}}(\mathbf{F}(x, y)) \cdot J_{\mathbf{F}}(x, y),
\]
donde \( \cdot \) denota multiplicación de matrices.

---

### **4. Desarrollo explícito**
Si \( \mathbf{F}(x, y) = (u, v) \), entonces:
\[
J_{\mathbf{G} \circ \mathbf{F}} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \\
\frac{\partial q}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial q}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial q}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}
\end{pmatrix}.
\]

---

### **5. Ejemplo concreto**
Sean:
- \( \mathbf{F}(x, y) = \begin{pmatrix} x^2 + y \\ y \end{pmatrix} \),
- \( \mathbf{G}(a, b) = \begin{pmatrix} a \cdot b \\ a + b \end{pmatrix} \).

**Paso 1:** Calculamos \( J_{\mathbf{F}} \):
\[
J_{\mathbf{F}} = \begin{pmatrix}
2x & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

**Paso 2:** Calculamos \( J_{\mathbf{G}} \):
\[
J_{\mathbf{G}} = \begin{pmatrix}
b & a \\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

**Paso 3:** Evaluamos \( J_{\mathbf{G}} \) en \( \mathbf{F}(x, y) = (x^2 + y, y) \):
\[
J_{\mathbf{G}}(\mathbf{F}(x, y)) = \begin{pmatrix}
y & x^2 + y \\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

**Paso 4:** Multiplicamos las Jacobianas:
\[
J_{\mathbf{G} \circ \mathbf{F}} = \begin{pmatrix}
y & x^2 + y \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2x & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2xy & y + x^2 + y \\
2x & 1 + 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2xy & x^2 + 2y \\
2x & 2
\end{pmatrix}.
\]

---

### **6. Interpretación**
- **Primera fila**: Derivadas parciales de \( p(u, v) = u \cdot v = (x^2 + y) \cdot y \).
- **Segunda fila**: Derivadas parciales de \( q(u, v) = u + v = x^2 + y + y \).

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### **Conclusión**
La regla de la cadena para funciones \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) generaliza la derivada compuesta de una variable al **producto de matrices Jacobianas**. Este método es esencial para calcular derivadas en sistemas dinámicos, optimización y física. 😊 

INDICACIÓN

 En el ejemplo que has puesto antes, F(x,y)=(x2+yy)  dime cuál es la derivada parcial respecto a x de esa función

RESPUESTA

La derivada parcial de la función \( \mathbf{F}(x, y) = \begin{pmatrix} x^2 + y \\ y \end{pmatrix} \) respecto a \( x \) se calcula derivando **cada componente** de la función con respecto a \( x \), manteniendo \( y \) constante.

---

### **Paso a paso:**
1. **Primer componente (\( x^2 + y \))**:
   \[
   \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x + 0 = 2x.
   \]

2. **Segundo componente (\( y \))**:
   \[
   \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0 \quad (\text{no hay dependencia en } x).
   \]

---

### **Resultado:**
La derivada parcial de \( \mathbf{F}(x, y) \) respecto a \( x \) es:
\[
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} = \begin{pmatrix} 2x \\ 0 \end{pmatrix}.
\]

---

### **Matriz Jacobiana de \( \mathbf{F} \):**
La derivada parcial respecto a \( x \) corresponde a la **primera columna** de la matriz Jacobiana:
\[
J_{\mathbf{F}}(x, y) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) & \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y) \\
\frac{\partial}{\partial x}(y) & \frac{\partial}{\partial y}(y)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2x & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

---

**Conclusión:**  
La derivada parcial respecto a \( x \) es \( \boxed{\begin{pmatrix} 2x \\ 0 \end{pmatrix}} \).

 PREGUNTO sobre facilidades para escribir fórmulas con LaTeX

Respuesta:

**Herramientas para Escribir Expresiones Matemáticas con Facilidad**

1. **LaTeX**:
   - **Ejemplo**:
     ```latex
     \oint_C \frac{z^2 + 1}{z^3 - 2z^2 + z} \, dz
     ```
   - **Resultado**:
     $$ \oint_C \frac{z^2 + 1}{z^3 - 2z^2 + z} \, dz $$
   - **Recursos**:
     - [Overleaf](https://www.overleaf.com/): Editor en línea.
     - [TeXstudio](https://www.texstudio.org/): Editor para escritorio.

2. **MathType**:
   - **Interfaz gráfica** para crear ecuaciones en Word, Google Docs, etc.
   - [MathType](https://www.wiris.com/en/mathtype/).

3. **Wolfram Alpha**:
   - **Entrada**:
     ```plaintext
     integrate (z^2 +1)/(z^3 -2z^2 +z) dz around contour C
     ```
   - [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/).

4. **Detexify**:
   - Dibuja símbolos para obtener su código LaTeX.
   - [Detexify](http://detexify.kirelabs.org/classify.html).

5. **Markdown con MathJax**:
   - **Ejemplo**:
     ```markdown
     $$ \oint_C \frac{z^2 + 1}{z^3 - 2z^2 + z} \, dz $$
     ```

6. **Microsoft Word**:
   - Usa el **Editor de Ecuaciones** (Insertar > Ecuación).

**Conclusión**:  
LaTeX es ideal para precisión académica, mientras que MathType y Wolfram Alpha son útiles para integración rápida. ¡Elige según tus necesidades! 😊 

INSISTO:

Lo que yo necesito es un nivel muy básico para escribir fórmulas.
Por ejemplo, si yo te describo: escribe con LaTex la raiz cúbica de z ala cuarta más z al cuadrado +3 ¿Podrías darme el código LaTex y el resultado?

Otro ejemplo: Dame el código LaTeX y escibe el resultado de R dos tal como aparece en la frase F es una función de R  dos en R

 REFORMULO LA PREGUNTA:

¿Existe alguna herramienta que me permita escribir con facilidad?
Por ejemplo, integral en el contorno C de la fracción  con numerador z^2 +1 y denominador z^3 -2z^2+z  Lo que yo necesito es un nivel muy básico para escribir fórmulas.
Por ejemplo, si yo te describo: escribe con LaTex la raiz cúbica de z ala cuarta más z al cuadrado +3 ¿Podrías darme el código LaTex y el resultado? 
Otro ejemplo: Dame el código LaTeX y escibe el resultado de R dos tal como aparece en la frase F es una función de R  dos en R

RESPUESTA

Sí, existen herramientas muy básicas para escribir fórmulas en LaTeX sin necesidad de programar. Algunas opciones incluyen:

• Mathcha (https://www.mathcha.io/): Editor visual de ecuaciones.
• Overleaf (https://www.overleaf.com/): Permite escribir documentos completos en LaTeX.
• Sitios web de conversión como Codecogs (https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php).
• GeoGebra: En la Calculadora Gráfica de GeoGebra puedes escribir expresiones en formato LaTeX.

Ahora, aquí están los códigos LaTeX y los resultados de tus ejemplos:

1️⃣ Raíz cúbica de $z^4 + z^2 + 3$
Código LaTeX:

\sqrt[3]{z^4 + z^2 + 3}

Resultado:

$$\sqrt[3]{z^4 + z^2 + 3}$$

2️⃣ $\mathbb{R}^2$ tal como aparece en "F es una función de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$"
Código LaTeX:

\mathbb{R}^2

Resultado:

$$\mathbb{R}^2$$

3️⃣ Integral de contorno
Código LaTeX:

\oint_C \frac{z^2 +1}{z^3 -2z^2+z} \, dz

Resultado:

$$\oint_C \frac{z^2 +1}{z^3 -2z^2+z} \, dz$$

Si quieres algo aún más básico, muchas calculadoras científicas en línea permiten escribir fórmulas sin conocer LaTeX.

Sigo  preguntando sobre LáTeX 
Dame el código y el resultado de derivada parcial de p respecto a x  
¿Y una fórmula más larga? Por ejemplo, código y resultado de "la derivada parcial de p respecto a x es igual a la derivada parcial de p respecto a u multiplicada por la derivada parcial de un respecto a x todo ello sumado con la derivada parcial de t respecto a v multiplicada por la derivada parcial de v respecto a q"

RESPUESTA

Aquí tienes los códigos LaTeX y los resultados:

1️⃣ Derivada parcial de $p$ respecto a $x$
Código LaTeX:

\frac{\partial p}{\partial x}

Resultado:

$$\frac{\partial p}{\partial x}$$

2️⃣ Fórmula más larga
Código LaTeX:

\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial q}

Resultado:

$$\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial q}$$

Si quieres que el resultado se vea más grande o centrado en una presentación, puedes encerrar la expresión entre \[ ... \] o usar \begin{equation} ... \end{equation} en LaTeX.

 

EXPERIMENTO   $\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial q}$ 

PREGUNTA

 Te voy a dar un enunciado casi casi completamente escrito en lenguaje usual, en español, para que lo reescribas tal y como vendría en un libro de matemáticas.  
El enunciado es el siguiente:  siendo F mayúscula G mayúscula dos funciones de R dos en R dos y u,v, p, q (ahora minúsculas) cuatro funciones de R dos en R de manera que u y v son las componentes de F, es decir F(x,y)  es igual a (u(x,y),v(x,y)) y de la misma manera p y q son las componentes de G es decir G(u,v)= (p(u,v),q(u,v))  entonces prueba que $\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial q}$ 

RESPUESTA

Aquí tienes el enunciado reescrito con la notación matemática adecuada:

---

Sean $F, G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dos funciones definidas por

$$F(x,y) = (u(x,y), v(x,y)), \quad G(u,v) = (p(u,v), q(u,v)),$$

donde $u, v, p, q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ son funciones escalares.

Demuestra que

$$\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}.$$

---

Este resultado se obtiene aplicando la regla de la cadena para derivadas parciales en funciones compuestas.

Voy a hacerles una serie de preguntas o indicaciones a las inteligencias artificiales que me van a permitir comprender mejor los conceptos básicos involucrados en la integración compleja ya que este tema 36 de teorema integral de Cauchy es bastante denso y difícil.

Pregunta número 1

INDICACIÓN

Demuestra  ∂p∂x=∂p∂u∂u∂x+∂p∂v∂v∂x.

RESPUESTA

Este resultado se obtiene aplicando la regla de la cadena para funciones de varias variables.

Demostración

Dado que $F$ y $G$ están definidas por

$$F(x,y) = (u(x,y), v(x,y)), \quad G(u,v) = (p(u,v), q(u,v)),$$

podemos considerar la función compuesta

$$H(x,y) = G(F(x,y)) = G(u(x,y), v(x,y)) = (p(u(x,y), v(x,y)), q(u(x,y), v(x,y))).$$

Nos interesa encontrar la derivada parcial de $p(u,v)$ respecto a $x$. Como $p$ es una función de $u$ y $v$, y estos dependen de $x$ y $y$, aplicamos la regla de la cadena:

$$\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}.$$

Conclusión

Este resultado expresa cómo varía $p$ respecto a $x$ en términos de sus dependencias intermedias $u$ y $v$, lo cual es un caso particular de la regla de la cadena en dos variables.

 INDICACIÓN

Lo que quiero es precisamente una demostración de este caso particular de la regla de la cadena en dos variables, adaptada al enunciado que te he dado; es decir probarlo razonadamente sin necesidad de recurrir a un teorema más general, sino probarlo en este caso concreto, con este enunciado concreto 

   RESPUESTA

Perfecto, vamos a demostrar el resultado paso a paso, razonando directamente a partir de la definición de derivada parcial, sin recurrir a un teorema más general.

---

Demostración

Paso 1: Expresión del incremento de $p$ en términos de $x$ y $y$

Dado que $p$ es una función de $u$ y $v$, y estos a su vez dependen de $x$ y $y$, consideremos un pequeño incremento $h$ en la variable $x$. Entonces, el cambio en $p$ cuando $x$ varía en $x + h$ está dado por la expresión del incremento:

$$p(u(x+h,y), v(x+h,y)) - p(u(x,y), v(x,y)).$$

Si $h$ es suficientemente pequeño, podemos aproximar este cambio usando el desarrollo de Taylor de primer orden alrededor de $(u(x,y), v(x,y))$, lo que nos da

$$p(u(x+h,y), v(x+h,y)) \approx p(u,v) + \frac{\partial p}{\partial u} \Delta u + \frac{\partial p}{\partial v} \Delta v,$$

donde hemos definido los incrementos

$$\Delta u = u(x+h,y) - u(x,y), \quad \Delta v = v(x+h,y) - v(x,y).$$

Por lo tanto, el incremento de $p$ se puede escribir como

$$p(u(x+h,y), v(x+h,y)) - p(u(x,y), v(x,y)) \approx \frac{\partial p}{\partial u} \Delta u + \frac{\partial p}{\partial v} \Delta v.$$

Paso 2: División entre $h$ y paso al límite

Dividimos por $h$ en ambos lados:

$$\frac{p(u(x+h,y), v(x+h,y)) - p(u(x,y), v(x,y))}{h} \approx \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\Delta u}{h} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\Delta v}{h}.$$

Tomando el límite cuando $h \to 0$, reconocemos que los cocientes de diferencias se convierten en derivadas parciales:

$$\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}.$$

Esto prueba la igualdad que queríamos demostrar.

---

Conclusión

La demostración sigue directamente de la definición de derivada parcial y del incremento de $p$ en función de los cambios en $u$ y $v$. En ningún momento hemos usado la forma general de la regla de la cadena, sino que hemos razonado paso a paso a partir de la dependencia explícita de las funciones.

 LO MISMO, VERSIÓN DEEPSEEK

 **Demostración de la regla de la cadena para \( \frac{\partial p}{\partial x} \):**

Consideremos la composición de funciones \( \mathbf{G} \circ \mathbf{F} \), definida como:
\[
\mathbf{G}(\mathbf{F}(x, y)) = \mathbf{G}(u(x,y), v(x,y)) = \left( p(u(x,y), v(x,y)), \, q(u(x,y), v(x,y)) \right).
\]

Queremos calcular la derivada parcial de \( p \) con respecto a \( x \), es decir, \( \frac{\partial p}{\partial x} \).

---

### **Paso 1: Aplicar la regla de la cadena**
La función \( p \) depende de \( u \) y \( v \), que a su vez dependen de \( x \) e \( y \). Por la **regla de la cadena para funciones de varias variables**:
\[
\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}.
\]

---

### **Paso 2: Justificación detallada**
1. **Cambio en \( u \) debido a \( x \)**:
   - Si \( x \) varía, \( u(x,y) \) cambia, lo que afecta directamente a \( p(u,v) \).
   - La contribución es \( \frac{\partial p}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \).

2. **Cambio en \( v \) debido a \( x \)**:
   - Si \( x \) varía, \( v(x,y) \) también puede cambiar, afectando a \( p(u,v) \).
   - La contribución es \( \frac{\partial p}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \).

3. **Suma de contribuciones**:
   - Como \( p \) depende de ambas variables \( u \) y \( v \), la derivada total \( \frac{\partial p}{\partial x} \) es la suma de las contribuciones individuales.

---

### **Paso 3: Notación matricial (Jacobiana)**
La regla de la cadena también puede verse como el producto de las matrices Jacobianas de \( \mathbf{G} \) y \( \mathbf{F} \):
\[
J_{\mathbf{G} \circ \mathbf{F}}(x,y) = J_{\mathbf{G}}(u,v) \cdot J_{\mathbf{F}}(x,y),
\]
donde:
\[
J_{\mathbf{G}}(u,v) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial u} & \frac{\partial p}{\partial v} \\
\frac{\partial q}{\partial u} & \frac{\partial q}{\partial v}
\end{pmatrix}, \quad
J_{\mathbf{F}}(x,y) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{pmatrix}.
\]

Al multiplicar las matrices, la entrada correspondiente a \( \frac{\partial p}{\partial x} \) es:
\[
\frac{\partial p}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}.
\]

---

### **Ejemplo concreto**
Sean:
- \( \mathbf{F}(x, y) = (u(x,y), v(x,y)) = (x^2, \, y) \),
- \( \mathbf{G}(u, v) = (p(u,v), q(u,v)) = (u \cdot v, \, u + v) \).

Entonces:
\[
\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}.
\]

1. \( \frac{\partial p}{\partial u} = v \), \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \),
2. \( \frac{\partial p}{\partial v} = u \), \( \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \).

Sustituyendo:
\[
\frac{\partial p}{\partial x} = v \cdot 2x + u \cdot 0 = 2xy.
\]

---

### **Conclusión**
La igualdad:
\[
\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x},
\]
es una consecuencia directa de la **regla de la cadena** para funciones compuestas \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \). Este resultado es fundamental en cálculo multivariable y análisis de sistemas dinámicos. 😊

 Pregunta número dos

Enuncia y demuestra la regla de la cadena para funciones complejas de variable compleja

 RESPUESTA

**Regla de la Cadena para Funciones Complejas de Variable Compleja**

**Enunciado:**  
Sean \( f(z) \) y \( g(w) \) dos funciones complejas tales que:
1. \( f(z) \) es analítica en un punto \( z_0 \in \mathbb{C} \).
2. \( g(w) \) es analítica en \( w_0 = f(z_0) \).

Entonces, la función compuesta \( h(z) = g(f(z)) \) es analítica en \( z_0 \), y su derivada está dada por:
\[
h'(z_0) = g'(f(z_0)) \cdot f'(z_0).
\]

---

**Demostración:**

**Paso 1: Definición de derivada compleja**  
La derivada de \( h(z) \) en \( z_0 \) es:
\[
h'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{h(z_0 + h) - h(z_0)}{h},
\]
donde \( h \in \mathbb{C} \).

**Paso 2: Sustituir \( h(z) = g(f(z)) \)**  
\[
h'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(f(z_0 + h)) - g(f(z_0))}{h}.
\]

**Paso 3: Introducir un término auxiliar**  
Sea \( k = f(z_0 + h) - f(z_0) \). Como \( f(z) \) es derivable en \( z_0 \), podemos escribir:
\[
k = f(z_0 + h) - f(z_0) = f'(z_0) \cdot h + \epsilon(h) \cdot h,
\]
donde \( \epsilon(h) \to 0 \) cuando \( h \to 0 \).

**Paso 4: Expresar \( g(f(z_0 + h)) \) usando la derivada de \( g \)**  
Como \( g(w) \) es derivable en \( w_0 = f(z_0) \), tenemos:
\[
g(w_0 + k) - g(w_0) = g'(w_0) \cdot k + \delta(k) \cdot k,
\]
donde \( \delta(k) \to 0 \) cuando \( k \to 0 \).

**Paso 5: Sustituir \( k \) en la expresión anterior**  
Sustituyendo \( k = f'(z_0) \cdot h + \epsilon(h) \cdot h \):
\[
g(f(z_0 + h)) - g(f(z_0)) = g'(f(z_0)) \cdot \left(f'(z_0) \cdot h + \epsilon(h) \cdot h\right) + \delta(k) \cdot \left(f'(z_0) \cdot h + \epsilon(h) \cdot h\right).
\]

**Paso 6: Dividir por \( h \)**  
\[
\frac{g(f(z_0 + h)) - g(f(z_0))}{h} = g'(f(z_0)) \cdot \left(f'(z_0) + \epsilon(h)\right) + \delta(k) \cdot \left(f'(z_0) + \epsilon(h)\right).
\]

**Paso 7: Tomar el límite \( h \to 0 \)**  
- \( \epsilon(h) \to 0 \) porque \( f \) es derivable en \( z_0 \).
- \( k \to 0 \) cuando \( h \to 0 \), lo que implica \( \delta(k) \to 0 \).

Por lo tanto:
\[
h'(z_0) = \lim_{h \to 0} \left[g'(f(z_0)) \cdot f'(z_0) + \text{términos que tienden a 0}\right] = g'(f(z_0)) \cdot f'(z_0).
\]

---

**Conclusión:**  
La regla de la cadena para funciones complejas afirma que la derivada de la composición \( h(z) = g(f(z)) \) es el producto de las derivadas de \( g \) y \( f \), evaluadas en los puntos correspondientes. Esto es análogo al caso real, pero en el contexto complejo, la analiticidad (derivabilidad en un entorno) garantiza que los términos de error \( \epsilon(h) \) y \( \delta(k) \) se anulen adecuadamente.

 LO QUE HA PENSADO DEEPSEEK

Bueno, el usuario está pidiendo que enuncie y demuestre la regla de la cadena para funciones complejas de variable compleja. Primero, debo recordar cómo se formula esta regla en el contexto de las funciones analíticas. La regla de la cadena en cálculo complejo es similar a la del cálculo real, pero con algunas particularidades debido a la naturaleza de las funciones analíticas.

Primero, necesito enunciar correctamente la regla. Si tenemos dos funciones complejas, f y g, donde f es analítica en un punto z0 y g es analítica en f(z0), entonces la composición h(z) = g(f(z)) también es analítica en z0, y su derivada es h'(z0) = g'(f(z0)) * f'(z0). Ese sería el enunciado básico.

Ahora, para la demostración, debo partir de la definición de derivada compleja. La derivada de h en z0 es el límite cuando h tiende a 0 de [h(z0 + h) - h(z0)] / h. Sustituyendo h(z) por g(f(z)), quedaría [g(f(z0 + h)) - g(f(z0))] / h. Aquí, puedo introducir un término intermedio relacionado con la derivada de f. Si f es derivable en z0, entonces f(z0 + h) - f(z0) = f'(z0) * h + o(h). Luego, al sustituir en g, tendría que g(f(z0 + h)) - g(f(z0)) = g'(f(z0)) * [f(z0 + h) - f(z0)] + o(f(z0 + h) - f(z0)).

Aquí es donde necesito asegurarme de que los términos de error se manejen correctamente. Dado que f es derivable, el término o(h) se vuelve insignificante comparado con h cuando h tiende a cero. Además, como g es derivable en f(z0), el término o(f(z0 + h) - f(z0)) también se puede expresar en términos de h, ya que f(z0 + h) - f(z0) es proporcional a h más un término de error. Por lo tanto, al dividir todo por h y tomar el límite, los términos de error desaparecen y queda g'(f(z0)) * f'(z0).

Debo verificar si hay alguna suposición adicional necesaria, como la continuidad de las derivadas o la analiticidad de las funciones, pero en el contexto complejo, la derivabilidad en un punto ya implica analiticidad en ese punto, así que con que f y g sean analíticas en los puntos correspondientes es suficiente.

También debo considerar si hay casos especiales o excepciones, pero en general, la regla de la cadena se mantiene para funciones complejas derivables en los puntos relevantes. Finalmente, presentar la demostración de manera clara y paso a paso, asegurándome de justificar cada igualdad con los principios del cálculo complejo.

Regla de la Cadena para Funciones Complejas de Variable Compleja

Enunciado:
Sean $f(z)$ y $g(w)$ dos funciones complejas tales que:

1. $f(z)$ es analítica en un punto $z_0\in \mathbb{C}$.

2. $g(w)$ es analítica en $w_0=f(z_0)$.

Entonces, la función compuesta $h(z)=g(f(z))$ es analítica en $z_0$, y su derivada está dada por:

$$h^{\mathrm{\prime }}(z_0)=g^{\mathrm{\prime }}(f(z_0))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(z_0)\mathrm{.}$$

---

Demostración:

Paso 1: Definición de derivada compleja
La derivada de $h(z)$ en $z_0$ es:

$$h^{\mathrm{\prime }}(z_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(z_0+h)-h(z_0)}{h},$$

donde $h\in \mathbb{C}$.

Paso 2: Sustituir $h(z)=g(f(z))$

$$h^{\mathrm{\prime }}(z_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(f(z_0+h))-g(f(z_0))}{h}\mathrm{.}$$

Paso 3: Introducir un término auxiliar
Sea $k=f(z_0+h)-f(z_0)$. Como $f(z)$ es derivable en $z_0$, podemos escribir:

$$k=f(z_0+h)-f(z_0)=f^{\mathrm{\prime }}(z_0)\cdot h+ϵ(h)\cdot h,$$

donde $ϵ(h)\to 0$ cuando $h\to 0$.

Paso 4: Expresar $g(f(z_0+h))$ usando la derivada de $g$
Como $g(w)$ es derivable en $w_0=f(z_0)$, tenemos:

$$g(w_0+k)-g(w_0)=g^{\mathrm{\prime }}(w_0)\cdot k+\delta (k)\cdot k,$$

donde $\delta (k)\to 0$ cuando $k\to 0$.

Paso 5: Sustituir $k$ en la expresión anterior
Sustituyendo $k=f^{\mathrm{\prime }}(z_0)\cdot h+ϵ(h)\cdot h$:

$$g(f(z_0+h))-g(f(z_0))=g^{\mathrm{\prime }}(f(z_0))\cdot (f^{\mathrm{\prime }}(z_0)\cdot h+ϵ(h)\cdot h)+\delta (k)\cdot (f^{\mathrm{\prime }}(z_0)\cdot h+ϵ(h)\cdot h)\mathrm{.}$$

Paso 6: Dividir por $h$

$$\frac{g(f(z_0+h))-g(f(z_0))}{h}=g^{\mathrm{\prime }}(f(z_0))\cdot (f^{\mathrm{\prime }}(z_0)+ϵ(h))+\delta (k)\cdot (f^{\mathrm{\prime }}(z_0)+ϵ(h))\mathrm{.}$$

Paso 7: Tomar el límite $h\to 0$

• $ϵ(h)\to 0$ porque $f$ es derivable en $z_0$.

• $k\to 0$ cuando $h\to 0$, lo que implica $\delta (k)\to 0$.

Por lo tanto:

$$h^{\mathrm{\prime }}(z_0)=\underset{h\to 0}{\lim }[g^{\mathrm{\prime }}(f(z_0))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(z_0)+\text{t}\acute{\text{e}}\text{rminos que tienden a 0}]=g^{\mathrm{\prime }}(f(z_0))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(z_0)\mathrm{.}$$

---

Conclusión:
La regla de la cadena para funciones complejas afirma que la derivada de la composición $h(z)=g(f(z))$ es el producto de las derivadas de $g$ y $f$, evaluadas en los puntos correspondientes. Esto es análogo al caso real, pero en el contexto complejo, la analiticidad (derivabilidad en un entorno) garantiza que los términos de error $ϵ(h)$ y $\delta (k)$ se anulen adecuadamente.

¿Cómo está mi teclado?

La respuesta de Chatgpt

Regla de la Cadena para Funciones Complejas de Variable Compleja

Enunciado

Sean $f$ y $g$ funciones de variable compleja tales que:

1. $g$ es una función analítica en una región $D$ y $g(D)$ está contenida en el dominio de $f$.
2. $f$ es analítica en $g(D)$.

Entonces, la función compuesta $F(z) = f(g(z))$ es analítica en $D$, y su derivada se obtiene aplicando la regla de la cadena:

$$F'(z) = f'(g(z)) \cdot g'(z).$$

---

Demostración

Definimos la función compuesta como:

$$F(z) = f(g(z)).$$

Queremos calcular la derivada de $F(z)$, es decir,

$$F'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{F(z+\Delta z) - F(z)}{\Delta z}.$$

Sustituyendo $F(z) = f(g(z))$, obtenemos:

$$F'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(g(z+\Delta z)) - f(g(z))}{\Delta z}.$$

Dado que $g$ es analítica en $D$, existe la derivada

$$g'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{g(z+\Delta z) - g(z)}{\Delta z}.$$

Multipliquemos y dividamos el numerador de la expresión de $F'(z)$ por $g(z+\Delta z) - g(z)$:

$$F'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \left( \frac{f(g(z+\Delta z)) - f(g(z))}{g(z+\Delta z) - g(z)} \cdot \frac{g(z+\Delta z) - g(z)}{\Delta z} \right).$$

Si $g(z)$ es analítica, entonces $g(z+\Delta z) \to g(z)$ cuando $\Delta z \to 0$. Como $f$ es analítica en $g(D)$, su derivada en $w = g(z)$ es:

$$f'(w) = \lim_{\Delta w \to 0} \frac{f(w+\Delta w) - f(w)}{\Delta w}.$$

Por lo tanto,

$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(g(z+\Delta z)) - f(g(z))}{g(z+\Delta z) - g(z)} = f'(g(z)).$$

También sabemos que

$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{g(z+\Delta z) - g(z)}{\Delta z} = g'(z).$$

Por lo que obtenemos la regla de la cadena:

$$F'(z) = f'(g(z)) \cdot g'(z).$$

---

Conclusión

Si $f$ y $g$ son funciones analíticas en sus respectivos dominios, y $g$ toma valores dentro del dominio de $f$, entonces la función compuesta $F(z) = f(g(z))$ es analítica, y su derivada se obtiene aplicando la regla de la cadena:

$$F^{\mathrm{\prime }}(z)=f^{\mathrm{\prime }}(g(z))\cdot g^{\mathrm{\prime }}(z)\mathrm{.}$$$$\mathrm{ }$$$$\mathrm{ }$$

$$\mathrm{Pregunta\; número\; 3 }$$$$\mathrm{cuéntame\; las\; similitudes\; y\; diferencias\; entre\; los\; enunciados\; y\; las\; demostraciones\; de\; la\; regla\; de\; la\; cadena }$$$$\mathrm{en\; los\; siguientes\; casos: }$$$$\mathrm{apartado\; a: \; funciones\; de\; \$\backslash mathbb\{R\}\$ \; en <span\; class="katex">\; \$\backslash mathbb\{R\}\$</span> }$$$$\mathrm{apartado\; b:}$$$$\mathrm{funciones\; de\; r\; dos\; en\; r\; dos \; apartado\; c:}$$$$\mathrm{ funciones\; de\; c\; en\; C }$$

 

Aquí tienes el texto escrito con una presentación formal, como aparecería en un libro de matemáticas:

---

Pregunta 3

Compara y cuéntame las similitudes y diferencias entre los enunciados y las demostraciones de la regla de la cadena en los siguientes casos:

• (a) Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.
• (b) Funciones de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$.
• (c) Funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$.

---

Si deseas que la redacción sea aún más rigurosa o incluir contexto adicional, dímelo y la ajusto.

Compara y cuéntame las similitudes y diferencias entre los enunciados y las demostraciones de la regla de la cadena en los siguientes casos:

• (a) Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.
• (b) Funciones de ${\mathbb{R}}^2$ en ${\mathbb{R}}^2$.
• (c) Funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$   

 RESPUESTA

**Comparación de la Regla de la Cadena en Diferentes Contextos**

---

### **1. Funciones de \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)**  
**Enunciado**:  
Si \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) son diferenciables, entonces:  
\[
(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x).
\]  

**Demostración**:  
Se basa en el límite de Newton:  
\[
\lim_{h \to 0} \frac{g(f(x+h)) - g(f(x))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(f(x+h)) - g(f(x))}{f(x+h) - f(x)} \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = g'(f(x)) \cdot f'(x).
\]

---

### **2. Funciones de \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)**  
**Enunciado**:  
Si \( \mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) y \( \mathbf{G}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) son diferenciables, entonces la Jacobiana de \( \mathbf{G} \circ \mathbf{F} \) es:  
\[
J_{\mathbf{G} \circ \mathbf{F}}(x) = J_{\mathbf{G}}(\mathbf{F}(x)) \cdot J_{\mathbf{F}}(x),
\]  
donde \( \cdot \) es multiplicación de matrices.  

**Demostración**:  
Se calculan las derivadas parciales de cada componente de \( \mathbf{G} \circ \mathbf{F} \). Por ejemplo, para \( \frac{\partial p}{\partial x} \):  
\[
\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}.
\]  
Esto se extiende a todas las entradas de la matriz Jacobiana.  

---

### **3. Funciones de \( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)**  
**Enunciado**:  
Si \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) y \( g: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) son analíticas, entonces:  
\[
(g \circ f)'(z) = g'(f(z)) \cdot f'(z).
\]  

**Demostración**:  
Se usa la definición de derivada compleja:  
\[
(g \circ f)'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{g(f(z+h)) - g(f(z))}{h} = g'(f(z)) \cdot f'(z),
\]  
donde \( f'(z) \) y \( g'(w) \) existen por analiticidad.  

---

### **Similitudes**  
1. **Estructura multiplicativa**:  
   En todos los casos, la derivada de la composición es el producto de las derivadas de las funciones involucradas.  
   - \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \): Producto escalar.  
   - \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \): Producto matricial.  
   - \( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \): Producto complejo.  

2. **Linealización local**:  
   En todos los casos, la regla de la cadena describe cómo las transformaciones lineales locales se componen.

---

### **Diferencias**  
| **Aspecto**               | **\( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)**               | **\( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)**           | **\( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)**               |
|---------------------------|--------------------------------------------------|--------------------------------------------------|--------------------------------------------------|
| **Tipo de derivada**       | Escalar (número real).                          | Matriz Jacobiana.                               | Número complejo.                                |
| **Estructura algebraica**  | Multiplicación de escalares.                    | Multiplicación de matrices.                     | Multiplicación de números complejos.           |
| **Condiciones**            | Diferenciabilidad en sentido real.              | Diferenciabilidad en sentido real (existencia de parciales). | Analiticidad (diferenciabilidad compleja + ecuaciones de Cauchy-Riemann). |
| **No conmutatividad**      | Conmutativa: \( g' \cdot f' = f' \cdot g' \).   | No conmutativa: \( J_G \cdot J_F \neq J_F \cdot J_G \). | Conmutativa en \( \mathbb{C} \): \( g' \cdot f' = f' \cdot g' \). |

---

### **Conclusión**  
- **\( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)**: Es el caso más simple, con derivadas escalares y multiplicación conmutativa.  
- **\( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)**: Requiere matrices Jacobianas y manejo de no conmutatividad.  
- **\( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)**: Combina la simplicidad formal del caso real (producto escalar) con restricciones fuertes (analiticidad), heredando propiedades algebraicas de \( \mathbb{C} \).  

La regla de la cadena refleja cómo la estructura del dominio y codominio (real vs. complejo, escalar vs. vectorial) influye en la generalización del concepto de derivada. 😊 

LA MISMA RESPUESTA

Comparación de la Regla de la Cadena en Diferentes Contextos

---

1. Funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Enunciado:
Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son diferenciables, entonces:

$$(g\circ f{)}^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(f(x))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$

Demostración:
Se basa en el límite de Newton:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)}\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=g^{\mathrm{\prime }}(f(x))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$

---

2. Funciones de ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$

Enunciado:
Si $\mathbf{F}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ y $\mathbf{G}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ son diferenciables, entonces la Jacobiana de $\mathbf{G}\circ \mathbf{F}$ es:

$$J_{\mathbf{G}\circ \mathbf{F}}(x)=J_{\mathbf{G}}(\mathbf{F}(x))\cdot J_{\mathbf{F}}(x),$$

donde $\cdot$ es multiplicación de matrices.

Demostración:
Se calculan las derivadas parciales de cada componente de $\mathbf{G}\circ \mathbf{F}$. Por ejemplo, para $\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }x}$:

$$\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }u}\cdot \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}+$$

Esto se extiende a todas las entradas de la matriz Jacobiana.

---

3. Funciones de $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$

Enunciado:
Si $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ y $g:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ son analíticas, entonces:

$$(g\circ f{)}^{\mathrm{\prime }}(z)=g^{\mathrm{\prime }}(f(z))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(z)\mathrm{.}$$

Demostración:
Se usa la definición de derivada compleja:

$$(g\circ f{)}^{\mathrm{\prime }}(z)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(f(z+h))-g(f(z))}{h}=g^{\mathrm{\prime }}(f(z))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(z),$$

donde $f^{\mathrm{\prime }}(z)$ y $g^{\mathrm{\prime }}(w)$ existen por analiticidad.

---

Similitudes

1. Estructura multiplicativa:
   En todos los casos, la derivada de la composición es el producto de las derivadas de las funciones involucradas.

   • $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: Producto escalar.

   • ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$: Producto matricial.

   • $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$: Producto complejo.

2. Linealización local:
   En todos los casos, la regla de la cadena describe cómo las transformaciones lineales locales se componen.

---

Diferencias

Aspecto	$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$	${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$	$\mathbb{C}\to \mathbb{C}$
Tipo de derivada	Escalar (número real).	Matriz Jacobiana.	Número complejo.
Estructura algebraica	Multiplicación de escalares.	Multiplicación de matrices.	Multiplicación de números complejos.
Condiciones	Diferenciabilidad en sentido real.	Diferenciabilidad en sentido real (existencia de parciales).	Analiticidad (diferenciabilidad compleja + ecuaciones de Cauchy-Riemann).
No conmutatividad	Conmutativa: $g^{\mathrm{\prime }}\cdot f^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\cdot g^{\mathrm{\prime }}$.	No conmutativa: $J_G\cdot J_F\mathrm{\ne }{J}_F\cdot J_G$.	Conmutativa en $\mathbb{C}$: $g^{\mathrm{\prime }}\cdot f^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\cdot g^{\mathrm{\prime }}$.

---

Conclusión

• $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: Es el caso más simple, con derivadas escalares y multiplicación conmutativa.

• ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$: Requiere matrices Jacobianas y manejo de no conmutatividad.

• $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$: Combina la simplicidad formal del caso real (producto escalar) con restricciones fuertes (analiticidad), heredando propiedades algebraicas de $\mathbb{C}$.

La regla de la cadena refleja cómo la estructura del dominio y codominio (real vs. complejo, escalar vs. vectorial) influye en la generalización del concepto de derivada. 😊   

 LA RESPUESTA DE CHATPGT

Comparación de la Regla de la Cadena en Diferentes Contextos

La regla de la cadena establece cómo se propaga la derivada a través de la composición de funciones. Su enunciado y demostración varían dependiendo del contexto en que se aplique: funciones reales de una variable, funciones vectoriales y funciones complejas.

---

(a) Funciones de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Enunciado

Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funciones derivables en un intervalo. Definimos la función compuesta $F(x) = f(g(x))$.
Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $g(x)$, entonces $F(x)$ es derivable y su derivada es:

$$F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

Demostración

Por definición de derivada:

$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.$$

Multiplicamos y dividimos por $g(x+\Delta x) - g(x)$ (suponiendo $g(x+\Delta x) \neq g(x)$):

$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x) - g(x)} \cdot \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right).$$

Los límites de cada factor existen y nos dan:

$$F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

---

(b) Funciones de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ (Funciones Vectoriales de Dos Variables)

Enunciado

Sean $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ y $G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ funciones diferenciables en sus respectivos dominios. Si definimos la función compuesta $H(x, y) = F(G(x, y))$, entonces $H$ es diferenciable y su derivada se expresa mediante la multiplicación de matrices Jacobianas:

$$J_H(x, y) = J_F(G(x, y)) \cdot J_G(x, y),$$

donde $J_F$ y $J_G$ son las matrices Jacobianas de $F$ y $G$, respectivamente.

Demostración

La derivada de $G$ es la matriz Jacobiana:

$$J_G(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial G_1}{\partial x} & \frac{\partial G_1}{\partial y} \\ \frac{\partial G_2}{\partial x} & \frac{\partial G_2}{\partial y} \end{bmatrix}.$$

Análogamente, la derivada de $F$ en $G(x, y)$ es otra matriz Jacobiana $J_F$.
Usando la definición de diferenciabilidad y la propagación del error, se obtiene que la mejor aproximación lineal a $H(x, y)$ es la composición de las transformaciones lineales definidas por $J_F$ y $J_G$, lo que justifica la expresión:

$$J_H = J_F \cdot J_G.$$

---

(c) Funciones de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ (Funciones Analíticas)

Enunciado

Sean $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ y $g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ funciones holomorfas en sus respectivos dominios. Si $F(z) = f(g(z))$, entonces $F$ es holomorfa y

$$F'(z) = f'(g(z)) \cdot g'(z).$$

Demostración

La prueba es análoga al caso real, pero con números complejos en lugar de reales. Definimos la derivada como el límite:

$$F'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(g(z+\Delta z)) - f(g(z))}{\Delta z}.$$

Multiplicamos y dividimos por $g(z+\Delta z) - g(z)$:

$$F'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \left( \frac{f(g(z+\Delta z)) - f(g(z))}{g(z+\Delta z) - g(z)} \cdot \frac{g(z+\Delta z) - g(z)}{\Delta z} \right).$$

Cada límite existe porque $f$ y $g$ son holomorfas, obteniendo:

$$F'(z) = f'(g(z)) \cdot g'(z).$$

---

Similitudes y Diferencias

Caso	Enunciado	Herramienta Principal	Expresión de la Derivada
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$	Función real de una variable	Límite del cociente incremental	$F'(x) = f'(g(x)) g'(x)$
$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$	Función vectorial en $\mathbb{R}^2$	Jacobianos y multiplicación de matrices	$J_H = J_F J_G$
$\mathbb{C} \to \mathbb{C}$	Función holomorfa	Límite de cociente incremental en $\mathbb{C}$	$F'(z) = f'(g(z)) g'(z)$

Similitudes

1. Forma del Enunciado: En todos los casos, se considera la composición de dos funciones diferenciables y se demuestra que la función compuesta también es diferenciable.
2. Idea Central: Se usa la definición de derivada y el límite del cociente incremental para justificar la multiplicación de derivadas.
3. Estructura de la Demostración: Se descompone la diferencia de la función compuesta en términos de diferencias de las funciones individuales.

Diferencias

1. Dimensión del Dominio y la Imagen:
   • En $\mathbb{R}$, se trabaja con números reales y derivadas escalares.
   • En $\mathbb{R}^2$, la derivada se representa con matrices Jacobianas.
   • En $\mathbb{C}$, las derivadas son números complejos y dependen de la teoría de funciones holomorfas.
2. Expresión de la Derivada:
   • En $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$, la derivada sigue la forma $f'(g(x)) g'(x)$.
   • En $\mathbb{R}^2$, la derivada es la multiplicación de matrices Jacobianas.
3. Condiciones de Diferenciabilidad:
   • En $\mathbb{R}$, basta la diferenciabilidad.
   • En $\mathbb{R}^2$, se requiere diferenciabilidad total.
   • En $\mathbb{C}$, se necesita holomorfía (las ecuaciones de Cauchy-Riemann deben cumplirse).

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Conclusión

La regla de la cadena es una idea unificadora en cálculo y análisis, pero su formulación depende de la estructura del espacio en el que se aplica. Mientras que en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ la regla adopta una forma simple con productos de derivadas, en $\mathbb{R}^2$ y espacios de mayor dimensión involucra la composición de transformaciones lineales a través de Jacobianos.

 Pregunta cuatro

Cómo sería una regla de la cadena para f compuesto con g con f función de R en R y g función de R dos en R, me refiero tanto al enunciado como a la demostración

 RESPUESTA CHATGPT

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y sea $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Formule y demuestre una versión de la regla de la cadena para la función compuesta $(f \circ g)(x,y) = f(g(x,y))$.

Aquí tienes la pregunta con su demostración en un estilo más accesible, como aparecería en un libro amigable para estudiantes:

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Regla de la cadena para $f \circ g$, con $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$

Queremos encontrar una regla de la cadena cuando componemos una función $f$ de una variable real con una función $g$ de dos variables reales, es decir, cuando definimos la función

$$h(x,y) = (f \circ g)(x,y) = f(g(x,y)).$$

Enunciado:

Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es derivable y $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tiene derivadas parciales continuas, entonces $h(x,y) = f(g(x,y))$ es derivable en $(x,y)$ y sus derivadas parciales están dadas por

$$\frac{\partial h}{\partial x} = f'(g(x,y)) \frac{\partial g}{\partial x},$$ $$\frac{\partial h}{\partial y} = f'(g(x,y)) \frac{\partial g}{\partial y}.$$

Demostración:

Para demostrar esta fórmula, usamos la definición de derivada parcial y un argumento basado en incrementos.

1. Consideremos un pequeño cambio en $x$, es decir, pasamos de $x$ a $x + h$, manteniendo $y$ fijo. El valor de $h(x,y)$ cambia de

   $$h(x,y) = f(g(x,y))$$

   a

   $$h(x+h,y) = f(g(x+h,y)).$$

   Entonces, el incremento en $h$ es

   $$h(x+h,y) - h(x,y) = f(g(x+h,y)) - f(g(x,y)).$$

2. Como $f$ es derivable, podemos aproximar este cambio usando la definición de derivada de una variable:

   $$f(g(x+h,y)) - f(g(x,y)) \approx f'(g(x,y)) (g(x+h,y) - g(x,y)).$$

3. Dividiendo entre $h$ y tomando el límite cuando $h \to 0$, obtenemos

   $$\frac{\partial h}{\partial x} = f'(g(x,y)) \frac{\partial g}{\partial x}.$$

4. Un razonamiento análogo con $y$ nos da

   $$\frac{\partial h}{\partial y} = f'(g(x,y)) \frac{\partial g}{\partial y}.$$

Conclusión:

Esta es una versión de la regla de la cadena en la que una función de una variable está compuesta con una función de dos variables. El resultado muestra que la derivada parcial de $h$ con respecto a $x$ (o $y$) se obtiene multiplicando la derivada de $f$ evaluada en $g(x,y)$ por la derivada parcial de $g$ respecto a $x$ (o $y$).

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Este estilo mantiene rigor matemático pero lo hace más accesible con explicaciones paso a paso. ¿Te gustaría ajustarlo aún más o agregar algún otro detalle?

 

 RESPUESTA DE DEEPSEEK

**Regla de la Cadena para \( f \circ g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \)**  

**Enunciado:**  
Sean \( g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) diferenciable en \( (x, y) \), y \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) diferenciable en \( g(x, y) \). Entonces, la función compuesta \( f \circ g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), definida por \( (f \circ g)(x, y) = f(g(x, y)) \), es diferenciable en \( (x, y) \), y sus derivadas parciales son:  
\[
\frac{\partial (f \circ g)}{\partial x}(x, y) = f'\big(g(x, y)\big) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x, y),
\]  
\[
\frac{\partial (f \circ g)}{\partial y}(x, y) = f'\big(g(x, y)\big) \cdot \frac{\partial g}{\partial y}(x, y).
\]

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**Demostración:**  
Demostraremos la fórmula para \( \frac{\partial (f \circ g)}{\partial x}(x, y) \). El caso para \( \frac{\partial}{\partial y} \) es análogo.

**Paso 1: Definición de derivada parcial**  
La derivada parcial de \( f \circ g \) respecto a \( x \) es:  
\[
\frac{\partial (f \circ g)}{\partial x}(x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h, y)) - f(g(x, y))}{h}.
\]

**Paso 2: Aplicar la diferenciabilidad de \( g \)**  
Como \( g \) es diferenciable en \( (x, y) \), podemos escribir:  
\[
g(x + h, y) = g(x, y) + \frac{\partial g}{\partial x}(x, y) \cdot h + \epsilon_g(h) \cdot h,
\]  
donde \( \epsilon_g(h) \to 0 \) cuando \( h \to 0 \).

**Paso 3: Aplicar la diferenciabilidad de \( f \)**  
Sea \( w = g(x, y) \). Como \( f \) es diferenciable en \( w \):  
\[
f(w + k) = f(w) + f'(w) \cdot k + \epsilon_f(k) \cdot k,
\]  
donde \( \epsilon_f(k) \to 0 \) cuando \( k \to 0 \).

**Paso 4: Sustituir \( k = g(x + h, y) - g(x, y) \)**  
Usando el Paso 2, definimos:  
\[
k = \frac{\partial g}{\partial x}(x, y) \cdot h + \epsilon_g(h) \cdot h.
\]

Entonces:  
\[
f(g(x + h, y)) = f(w + k) = f(w) + f'(w) \cdot k + \epsilon_f(k) \cdot k.
\]

**Paso 5: Sustituir en la definición de derivada parcial**  
\[
\frac{f(g(x + h, y)) - f(g(x, y))}{h} = \frac{f'(w) \cdot k + \epsilon_f(k) \cdot k}{h}.
\]

Sustituyendo \( k \):  
\[
= f'(w) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) + \epsilon_g(h)\right) + \epsilon_f(k) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) + \epsilon_g(h)\right).
\]

**Paso 6: Tomar el límite \( h \to 0 \)**  
- \( \epsilon_g(h) \to 0 \), porque \( g \) es diferenciable.  
- \( k \to 0 \), lo que implica \( \epsilon_f(k) \to 0 \).  

Por lo tanto:  
\[
\frac{\partial (f \circ g)}{\partial x}(x, y) = f'\big(g(x, y)\big) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x, y).
\]

---

**Ejemplo:**  
Sean \( g(x, y) = x^2 + y^2 \) y \( f(w) = \sin(w) \). Entonces:  
\[
\frac{\partial (f \circ g)}{\partial x}(x, y) = \cos(x^2 + y^2) \cdot 2x, \quad \frac{\partial (f \circ g)}{\partial y}(x, y) = \cos(x^2 + y^2) \cdot 2y.
\]

---

**Conclusión:**  
La regla de la cadena para \( f \circ g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) establece que las derivadas parciales de la composición son el producto de la derivada de \( f \) evaluada en \( g(x, y) \) y las derivadas parciales de \( g \). Este resultado es fundamental en optimización, física y ecuaciones diferenciales parciales. 😊

 

 Pregunta número 5: 

Explícame el cambio de variable para integrales de funciones reales de variable real

RESPUESTAS

1) DEEPSEEK

    **Cambio de Variable para Integrales de Funciones Reales de Variable Real**  

El cambio de variable (o sustitución) es una técnica para simplificar integrales transformando la variable de integración. Se basa en la **regla de la cadena** de la derivación y es especialmente útil cuando el integrando contiene una función compuesta.

---

### **Pasos para Aplicar el Cambio de Variable**

1. **Elección de la Sustitución**:  
   Selecciona una función \( u = g(x) \) que simplifique el integrando.  
   - **Ejemplo**: Para \( \int 2x \cos(x^2) \, dx \), sea \( u = x^2 \).

2. **Calcular la Diferencial \( du \)**:  
   Deriva \( u \) respecto a \( x \):  
   \[
   du = g'(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{g'(x)}.
   \]  
   - **Ejemplo**: Si \( u = x^2 \), entonces \( du = 2x \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2x} \).

3. **Reescribir la Integral en Términos de \( u \)**:  
   Sustituye \( u \) y \( dx \) en la integral original:  
   \[
   \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du.
   \]  
   - **Ejemplo**:  
     \[
     \int 2x \cos(x^2) \, dx = \int \cos(u) \, du.
     \]

4. **Integrar en Términos de \( u \)**:  
   Resuelve la integral simplificada:  
   \[
   \int f(u) \, du = F(u) + C.
   \]  
   - **Ejemplo**:  
     \[
     \int \cos(u) \, du = \sin(u) + C.
     \]

5. **Volver a la Variable Original**:  
   Sustituye \( u = g(x) \) en el resultado:  
   \[
   F(u) + C = F(g(x)) + C.
   \]  
   - **Ejemplo**:  
     \[
     \sin(u) + C = \sin(x^2) + C.
     \]

---

### **Cambio de Variable en Integrales Definidas**  
Si la integral es definida \( \int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \), **ajusta los límites de integración** usando \( u = g(x) \):  
- Límite inferior: \( u(a) \).  
- Límite superior: \( u(b) \).  
\[
\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) \, du.
\]

**Ejemplo**:  
\[
\int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx \quad \text{con} \quad u = 2x \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}.
\]  
Nuevos límites:  
- \( x=0 \Rightarrow u=0 \).  
- \( x=\pi \Rightarrow u=2\pi \).  
\[
\int_{0}^{2\pi} \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \left[ -\cos(u) \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( -\cos(2\pi) + \cos(0) \right) = 0.
\]

---

### **Ejemplo Clave**  
**Integral**: \( \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx \).  
1. **Sustitución**: \( u = \sqrt{x} \Rightarrow u^2 = x \Rightarrow du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \Rightarrow dx = 2u \, du \).  
2. **Reescribir**:  
   \[
   \int \frac{e^{u}}{u} \cdot 2u \, du = 2\int e^{u} \, du.
   \]  
3. **Integrar**:  
   \[
   2e^{u} + C = 2e^{\sqrt{x}} + C.
   \]

---

### **Reglas y Precauciones**  
- **Derivada de la sustitución**: Asegúrate de que \( g'(x) \) esté presente en el integrando (o poder multiplicar/dividir para ajustarla).  
- **Funciones invertibles**: La sustitución \( u = g(x) \) debe ser invertible en el intervalo de integración.  
- **Integrales definidas**: No olvides cambiar los límites de integración.

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**Conclusión**  
El cambio de variable transforma integrales complejas en otras más sencillas, aprovechando la relación entre funciones compuestas y sus derivadas. ¡Practica con ejemplos variados para dominar esta técnica! 😊

 

 2) CHATGPT

Cambio de Variable en Integrales de Funciones Reales de Variable Real

El cambio de variable es una técnica fundamental en cálculo integral que permite simplificar la evaluación de integrales mediante una transformación conveniente de la variable de integración. Se basa en la regla de la cadena para derivadas y en la manipulación diferencial de la función.

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1. Enunciado del Cambio de Variable

Sea $I = \int_a^b f(x) \, dx$ una integral definida. Si existe una función derivable $x = g(t)$ con $g'(t) \neq 0$ en un intervalo $[\alpha, \beta]$ tal que:

• $g(\alpha) = a$ y $g(\beta) = b$, es decir, los límites de integración cambian en función de $g(t)$.
• La función $g(t)$ es diferenciable e inversible en el intervalo considerado.

Entonces, haciendo el cambio de variable $x = g(t)$, su diferencial es:

$$dx = g'(t) \, dt.$$

Por lo tanto, la integral en términos de la nueva variable $t$ se transforma en:

$$I = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) \, dt.$$

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2. Demostración Intuitiva

El cambio de variable se basa en la regla de la cadena para derivadas:

$$\frac{dx}{dt} = g'(t) \Rightarrow dx = g'(t) \, dt.$$

Sustituyendo en la integral:

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} f(g(t)) g'(t) \, dt.$$

Si $g$ es una función creciente, el cambio de variable mantiene el orden de los límites de integración. Si $g$ es decreciente, se invierten los límites, y se introduce un signo negativo que compensa la orientación del intervalo.

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3. Ejemplo 1: Cambio de Variable Clásico $x = \sin t$

Calculemos la integral:

$$I = \int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx.$$

Paso 1: Elegir un cambio de variable
Observamos que la expresión dentro de la raíz sugiere un cambio trigonométrico. Definimos:

$$x = \sin t \Rightarrow dx = \cos t \, dt.$$

Paso 2: Transformar los límites de integración
Cuando $x = 0$, entonces $t = 0$.
Cuando $x = 1$, entonces $t = \frac{\pi}{2}$.

Paso 3: Sustituir en la integral

$$I = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt.$$

Usando la identidad $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$, obtenemos:

$$I = \int_0^{\pi/2} \cos^2 t \, dt.$$

Usando la identidad $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$, la integral se reduce a:

$$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt.$$

Resolviendo:

$$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} dt + \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos 2t \, dt.$$ $$I = \frac{1}{2} \left[ t \right]_0^{\pi/2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2t}{2} \right]_0^{\pi/2}.$$ $$I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) + \frac{1}{2} \left( 0 - 0 \right).$$ $$I = \frac{\pi}{4}.$$

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4. Ejemplo 2: Cambio de Variable con Función Exponencial

Calculemos:

$$I = \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx.$$

Paso 1: Elegir un cambio de variable
Sea $t = \ln x$, entonces $dt = \frac{dx}{x}$.

Paso 2: Transformar los límites
Cuando $x = 1$, entonces $t = \ln 1 = 0$.
Cuando $x = e$, entonces $t = \ln e = 1$.

Paso 3: Sustituir en la integral

$$I = \int_0^1 t \, dt.$$

Paso 4: Resolver la integral

$$I = \frac{t^2}{2} \Big|_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.$$

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5. Cambio de Variable en Integrales Indefinidas

En el caso de integrales indefinidas, el cambio de variable sigue el mismo procedimiento, pero sin límites de integración.

Ejemplo:

$$I = \int e^{3x} \, dx.$$

Hacemos $u = 3x$, por lo que $du = 3 dx$ o $dx = \frac{du}{3}$.

Reescribimos la integral:

$$I = \int e^u \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int e^u \, du.$$

Resolviendo:

$$I = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C.$$

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6. Conclusión

El cambio de variable es una herramienta clave en la integración, permitiendo simplificar cálculos y resolver integrales que de otra manera serían complicadas. Su fundamento está en la regla de la cadena y en la transformación de diferenciales.

 Pregunta interpolada 5,5

Explícame el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares en funciones reales de variable real. 

¿Se pueden resolver integrales de funciones reales de variable real mediante el cambio de coordenadas polares a cartesianas o viceversa? 

En caso afirmativo explícamelo de manera teórica y práctica

 RESPUESTAS

A) DEEPSEEK

**Cambio de Coordenadas Cartesianas a Polares en Integrales Reales**  
El cambio de coordenadas cartesianas \((x, y)\) a polares \((r, \theta)\) es una técnica muy útil para resolver integrales dobles en regiones con simetría circular. A continuación, se explica la teoría y se muestra un ejemplo práctico.

---

### **1. Teoría del Cambio de Coordenadas**

#### **Relación entre coordenadas cartesianas y polares**  
Un punto en el plano se puede expresar como:  
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta,
\]  
donde:  
- \( r \geq 0 \): Distancia desde el origen al punto (radio).  
- \( \theta \in [0, 2\pi) \): Ángulo con respecto al eje \( x \).

#### **Jacobiano de la transformación**  
El Jacobiano determina cómo se transforma el elemento de área \( dx \, dy \):  
\[
dx \, dy = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} \right| dr \, d\theta = r \, dr \, d\theta.
\]  
**Demostración**:  
\[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{vmatrix}
= r (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r.
\]

#### **Fórmula general para la integral doble**  
\[
\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta,
\]  
donde \( D' \) es la región \( D \) expresada en coordenadas polares.

---

### **2. ¿Cuándo usar coordenadas polares?**  
- **Regiones circulares**: Discos, coronas, sectores angulares.  
- **Funciones radiales**: Integrandos que dependen de \( x^2 + y^2 \), como \( e^{x^2 + y^2} \), \( \sqrt{x^2 + y^2} \), etc.  

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### **3. Ejemplo Práctico**  
**Problema**: Calcular la integral doble  
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy,
\]  
donde \( D \) es el círculo de radio \( 3 \) centrado en el origen.

#### **Paso 1: Describir la región en polares**  
- Radio: \( 0 \leq r \leq 3 \).  
- Ángulo: \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \).

#### **Paso 2: Expresar el integrando en polares**  
\[
x^2 + y^2 = r^2 \quad \Rightarrow \quad f(r, \theta) = r^2.
\]

#### **Paso 3: Aplicar el Jacobiano**  
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} r^3 \, dr \, d\theta.
\]

#### **Paso 4: Resolver la integral**  
1. **Integral en \( r \)**:
   \[
   \int_{0}^{3} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^3 = \frac{3^4}{4} = \frac{81}{4}.
   \]
2. **Integral en \( \theta \)**:
   \[
   \int_{0}^{2\pi} \frac{81}{4} \, d\theta = \frac{81}{4} \cdot 2\pi = \frac{81\pi}{2}.
   \]

**Resultado**:  
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \frac{81\pi}{2}.
\]

---

### **4. ¿Se puede resolver una integral real de variable real con polares?**  
**Sí**, pero solo para integrales dobles (funciones de dos variables).  
- **Variable real simple**: Si la integral es de una variable (ej. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)), no se aplica.  
- **Integral doble**: Si es \( \iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy \), el cambio a polares es útil cuando \( D \) o \( f(x, y) \) tienen simetría circular.

---

### **5. ¿Y el cambio inverso (polares a cartesianas)?**  
**Sí**, pero es menos común. Se usa cuando la región de integración se describe más fácilmente en cartesianas. Por ejemplo:  
\[
\iint_{D'} f(r, \theta) \cdot r \, dr \, d\theta = \iint_{D} f\left(\sqrt{x^2 + y^2}, \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right) \, dx \, dy.
\]

---

### **Conclusión**  
El cambio a coordenadas polares simplifica integrales dobles en regiones circulares o con integrandos radiales. La clave es:  
1. Expresar \( x \), \( y \), y \( dx \, dy \) en términos de \( r \), \( \theta \).  
2. Incluir el Jacobiano \( r \).  
3. Ajustar los límites de integración.  

¡Practica con más ejemplos para dominar esta técnica! 😊  

 B) CHATGPT

Cambio de Coordenadas Cartesianas a Coordenadas Polares en Funciones Reales de Variable Real

El cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares es una técnica útil en cálculo e integración, especialmente cuando se trabaja con funciones radiales o regiones con simetría circular.

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1. Definición del Cambio de Coordenadas

En el plano, un punto $(x, y)$ en coordenadas cartesianas puede expresarse en coordenadas polares $(r, \theta)$ mediante las relaciones:

$$x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta$$

donde:

• $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ es la distancia del punto al origen.
• $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)$ es el ángulo que forma el punto con el eje positivo $x$.

El cambio de coordenadas inverso, de polares a cartesianas, se obtiene despejando:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right).$$

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2. Uso del Cambio de Coordenadas en Integrales

El cambio de coordenadas es útil en integrales dobles cuando la región de integración y la función involucrada tienen simetría circular. La clave está en transformar el diferencial de área $dA$ en términos de $r$ y $\theta$.

El área diferencial en coordenadas cartesianas es:

$$dA = dx \, dy.$$

Usando la regla de cambio de variable en integrales dobles, se obtiene el Jacobiano del cambio de variables:

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}.$$

Calculando el determinante,

$$J = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.$$

Por lo tanto, el diferencial de área en coordenadas polares es:

$$dA = dx \, dy = r \, dr \, d\theta.$$

Regla para integrales en coordenadas polares:

$$\iint_R f(x, y) \, dx \, dy = \iint_R f(r \cos\theta, r \sin\theta) \, r \, dr \, d\theta.$$

---

3. Ejemplo Práctico: Cálculo de una Integral mediante Coordenadas Polares

Calculemos la integral:

$$I = \iint_R e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy,$$

donde $R$ es el círculo de radio $2$ centrado en el origen.

Paso 1: Expresión de la Función en Polares

Dado que $x^2 + y^2 = r^2$, la función en polares es:

$$f(x, y) = e^{-r^2}.$$

Paso 2: Cambio del Diferencial de Área

El área diferencial en coordenadas polares es:

$$dA = r \, dr \, d\theta.$$

Paso 3: Límites de Integración

El dominio $R$ es el círculo de radio $2$, lo que significa que:

• $r$ varía de $0$ a $2$.
• $\theta$ varía de $0$ a $2\pi$.

Paso 4: Resolver la Integral

Reescribimos la integral en polares:

$$I = \int_0^{2\pi} \int_0^2 e^{-r^2} r \, dr \, d\theta.$$

La integral en $r$ se resuelve usando el cambio de variable $u = r^2 \Rightarrow du = 2r \, dr$, lo que implica $\frac{du}{2} = r \, dr$:

$$\int_0^2 e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_0^4 e^{-u} \, du.$$

La integral de $e^{-u}$ es $-e^{-u}$, por lo que evaluando de $0$ a $4$:

$$\frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_0^4 = \frac{1}{2} (1 - e^{-4}).$$

Ahora integramos respecto a $\theta$:

$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.$$

Finalmente, multiplicamos:

$$I = 2\pi \cdot \frac{1}{2} (1 - e^{-4}) = \pi (1 - e^{-4}).$$

---

4. ¿Se Pueden Resolver Integrales Mediante el Cambio de Polares a Cartesianas?

Sí, pero en la mayoría de los casos, el cambio de cartesianas a polares es el más útil. Sin embargo, hay situaciones donde volver a cartesianas es conveniente, por ejemplo:

• Cuando el problema da una solución en coordenadas polares y se requiere interpretarla en coordenadas cartesianas.
• En problemas donde es más fácil trabajar con ecuaciones paramétricas en cartesianas después de integrar.

Ejemplo: Si en coordenadas polares se obtiene una ecuación como $r = 2 \cos \theta$, podemos volver a cartesianas:

$$x = r \cos\theta = 2\cos\theta\cos\theta = 2\cos^2\theta.$$

Usando $\cos^2\theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, podemos obtener una ecuación en términos de $x, y$.

---

5. Conclusión

El cambio de coordenadas cartesianas a polares es una técnica poderosa en integración doble cuando hay simetría circular. Teóricamente, el cambio es justificado por la regla de transformación de integrales dobles y el Jacobiano. Prácticamente, facilita cálculos en regiones como círculos o sectores, donde la integración en cartesianas sería más difícil.

 INDICACIÓN

Esta es la pregunta 7 que he saltado la pregunta 6 para hacerla más adelante 

Explícame el cambio de variable para integrales dobles de funciones de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$

a) explica cómo se hace   

b) explica el fundamento teórico

c) pon un ejemplo y desarrollalo 

RESPUESTAS

A) DEEPPSEEK

**a) Procedimiento para el Cambio de Variable en Integrales Dobles**  
El cambio de variable en integrales dobles permite transformar una integral complicada en coordenadas cartesianas \( (x, y) \) en una más sencilla usando nuevas variables \( (u, v) \). Los pasos son:

1. **Definir la Transformación**:  
   Elegir una función biyectiva y diferenciable \( \mathbf{T}(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) \), que mapee una región \( D' \) en el plano \( uv \) a la región \( D \) en el plano \( xy \).

2. **Calcular el Jacobiano**:  
   El Jacobiano de la transformación es el determinante de la matriz de derivadas parciales:
   \[
   J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix}
   \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
   \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
   \end{vmatrix}.
   \]
   Su valor absoluto ajusta el área diferencial:
   \[
   dx \, dy = |J| \, du \, dv.
   \]

3. **Reescribir la Integral**:  
   Sustituir \( x \), \( y \), y \( dx \, dy \) en términos de \( u \), \( v \), y \( du \, dv \):
   \[
   \iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot |J| \, du \, dv.
   \]

4. **Ajustar los Límites de Integración**:  
   Determinar los nuevos límites \( D' \) en coordenadas \( (u, v) \).

---

**b) Fundamento Teórico**  
El cambio de variable se basa en el **teorema de sustitución para integrales múltiples**, que generaliza la regla de la cadena a funciones de varias variables. La clave es el **Jacobiano**, que cuantifica cómo la transformación \( \mathbf{T} \) distorsiona áreas locales:

- **Interpretación geométrica**:  
  El Jacobiano \( |J| \) representa el factor por el cual la transformación escala/distorsiona áreas infinitesimales. Si \( |J| = r \) (como en polares), un rectángulo \( dr \, d\theta \) se convierte en un sector de área \( r \, dr \, d\theta \).

- **Teorema de la Función Inversa**:  
  Garantiza que si \( \mathbf{T} \) es diferenciable y \( J \neq 0 \), la transformación es invertible localmente, preservando la integrabilidad.

---

**c) Ejemplo Práctico**  
**Problema**: Calcular \( \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy \), donde \( D \) es el círculo de radio \( 2 \): \( x^2 + y^2 \leq 4 \).

**Paso 1: Definir la Transformación**  
Usamos coordenadas polares:
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta.
\]

**Paso 2: Calcular el Jacobiano**  
\[
J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{vmatrix} = r (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r.
\]
Entonces, \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \).

**Paso 3: Reescribir la Integral**  
El integrando en polares es:
\[
x^2 + y^2 = r^2 \quad \Rightarrow \quad f(r, \theta) = r^2.
\]
La región \( D \) en polares es:
\[
0 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi.
\]
La integral se transforma en:
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \, dr \, d\theta.
\]

**Paso 4: Resolver**  
1. **Integral en \( r \)**:
   \[
   \int_{0}^{2} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} - 0 = 4.
   \]
2. **Integral en \( \theta \)**:
   \[
   \int_{0}^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot 2\pi = 8\pi.
   \]

**Resultado**:  
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = 8\pi.
\]

---

**Conclusión**  
El cambio de variable simplifica integrales dobles al adaptarse a la simetría del problema. En este ejemplo, coordenadas polares convirtieron una integral circular compleja en una fácil de resolver. 😊

 INSISTO: 

Desarrolla más el fundamento teórico, es decir el apartado b) anterior. Por ejemplo  intenta explicar cómo se transforma el diferencial de área, porqué es cierta la fómula dxdy=∣J∣dudv

 RESPUESTA

 **b) Fundamento Teórico Detallado: Por qué \( dx \, dy = |J| \, du \, dv \)**  
La fórmula \( dx \, dy = |J| \, du \, dv \) es una consecuencia del **cálculo diferencial en varias variables** y la **geometría de transformaciones lineales**. Aquí se explica su origen:

---

### **1. Transformaciones Lineales y Área**  
Considera una transformación lineal \( \mathbf{T}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), definida por:  
\[
\mathbf{T}(u, v) = (a u + b v, c u + d v),  
\]  
donde \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \).  

- **Matriz asociada**:  
  \[
  A = \begin{pmatrix}
  a & b \\
  c & d
  \end{pmatrix}.
  \]

- **Área de un paralelogramo**:  
  Si \( \mathbf{T} \) transforma un cuadrado unitario \( [0,1] \times [0,1] \) en el plano \( uv \) en un paralelogramo en el plano \( xy \), el área del paralelogramo es \( |\det(A)| \).  
  - **Ejemplo**: Si \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \), \( \det(A) = 6 \). El área escala por 6.

---

### **2. Caso General: Transformaciones No Lineales**  
Para una transformación no lineal \( \mathbf{T}(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) \), **localmente** (en un entorno pequeño de un punto \( (u_0, v_0) \)), la transformación se aproxima por su **diferencial**:  
\[
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
du \\
dv
\end{pmatrix}.
\]

- **Jacobiano**:  
  El determinante de la matriz de derivadas parciales, \( J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \), cuantifica cómo se distorsiona el área localmente.

---

### **3. Interpretación Geométrica del Jacobiano**  
- **Área infinitesimal**:  
  Un pequeño rectángulo \( du \times dv \) en el plano \( uv \) se transforma en un paralelogramo curvilíneo en el plano \( xy \).  
  - **Vectores tangentes**:  
    Los lados del paralelogramo son:  
    \[
    \mathbf{t}_u = \left( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u} \right) du, \quad
    \mathbf{t}_v = \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v} \right) dv.
    \]  
  - **Área del paralelogramo**:  
    El área es la magnitud del producto cruz:  
    \[
    \text{Área} = \| \mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_v \| = \left| \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \right| du \, dv = |J| \, du \, dv.
    \]

---

### **4. Teorema de la Función Inversa**  
Garantiza que si \( J \neq 0 \) en un punto \( (u_0, v_0) \), entonces \( \mathbf{T} \) es invertible en un entorno de ese punto. Esto asegura que la transformación preserva la estructura local (no colapsa áreas a cero o las invierte).

---

### **5. Demostración Rigurosa**  
Para una transformación suave \( \mathbf{T} \), el teorema de cambio de variable se demuestra usando:  
1. **Particiones de la región**: Divide \( D' \) en pequeños rectángulos \( R_{ij} \).  
2. **Aproximación lineal**: En cada \( R_{ij} \), \( \mathbf{T} \approx \text{Matriz Jacobiana} \).  
3. **Suma de Riemann**:  
   \[
   \sum_{i,j} f(\mathbf{T}(u_{ij}, v_{ij})) \cdot |J(u_{ij}, v_{ij})| \cdot \Delta u \Delta v.
   \]  
4. **Límite**: Cuando \( \Delta u, \Delta v \to 0 \), se obtiene la integral en \( xy \).

---

### **6. Ejemplo Clave: Coordenadas Polares**  
- **Transformación**:  
  \[
  x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta.
  \]  
- **Jacobiano**:  
  \[
  J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix}
  \cos \theta & -r \sin \theta \\
  \sin \theta & r \cos \theta
  \end{vmatrix} = r.
  \]  
- **Interpretación**:  
  El factor \( r \) refleja que, a mayor \( r \), los sectores circulares (áreas en polares) son más grandes:  
  \[
  dx \, dy = r \, dr \, d\theta.
  \]

---

### **7. ¿Por qué el Valor Absoluto?**  
El Jacobiano puede ser negativo (dependiendo de la orientación), pero el área es siempre positiva. Por ello, se toma \( |J| \).

---

### **Conclusión**  
La fórmula \( dx \, dy = |J| \, du \, dv \) surge de cómo las transformaciones suaves distorsionan áreas locales, capturadas por el Jacobiano. Es un puente entre el álgebra lineal (determinantes) y el cálculo integral, permitiendo adaptar integrales a coordenadas más convenientes. 😊

DE OTRA MANERA 

Okay, the user is asking me to elaborate on the theoretical foundation of variable substitution in double integrals, specifically why dx dy becomes |J| du dv. Let me recall what I know.

First, I remember that when changing variables in multiple integrals, the Jacobian determinant comes into play. The Jacobian matrix consists of partial derivatives of the new variables with respect to the original ones. Its determinant, the Jacobian, accounts for how area scales under the transformation.

But why exactly does dx dy equal the absolute value of the Jacobian times du dv? Let me break it down. In single-variable calculus, substitution involves stretching or compressing the interval, which is handled by the derivative. For double integrals, it's similar but in two dimensions. The Jacobian captures the local scaling factor of the area element when changing coordinates.

Maybe I should start by explaining the linear approximation of the transformation. If we have a small rectangle in the uv-plane with sides du and dv, under the transformation T(u,v) = (x(u,v), y(u,v)), this rectangle gets mapped to a parallelogram in the xy-plane. The area of this parallelogram is given by the determinant of the matrix formed by the partial derivatives of x and y with respect to u and v. That determinant is the Jacobian.

So, the area scaling factor is |J|, hence dA = dx dy = |J| du dv. But I need to make this more precise. Perhaps using a geometric argument with vectors. The sides of the parallelogram in the xy-plane can be approximated by the vectors (∂x/∂u du, ∂y/∂u du) and (∂x/∂v dv, ∂y/∂v dv). The area of the parallelogram is the magnitude of the cross product of these vectors, which equals the determinant of the Jacobian matrix times du dv. Taking the absolute value ensures the area is positive.

I should also mention that the Jacobian accounts for orientation, but since area is a positive quantity, we take the absolute value. Maybe include a simple example, like polar coordinates, to illustrate how the Jacobian works in a familiar case.

Wait, the user mentioned the previous example with polar coordinates. So referring back to that might help. In polar coordinates, the Jacobian is r, which makes sense because area elements in polar coordinates are sectors of circles, and their area is approximately r dr dθ. The r comes from the Jacobian.

I should also touch on the inverse function theorem, which guarantees that if the Jacobian is non-zero, the transformation is invertible locally, preserving the integrity of the area transformation.

Hmm, need to ensure that I explain why the absolute value is necessary. Even if the Jacobian is negative, area can't be negative, so taking the absolute value ensures the scaling factor is positive.

Maybe include a step-by-step derivation using differentials. Start with the transformation equations, take differentials dx and dy in terms of du and dv, then compute the wedge product dx ∧ dy, which gives the area element. This wedge product should equate to the Jacobian times du ∧ dv. Since differential forms anticommute, du ∧ dv = -dv ∧ du, but when taking the magnitude, it doesn't matter.

This might be getting too technical. The user wants a theoretical explanation, but not necessarily differential forms. Stick to linear algebra and geometric interpretation.

Also, mention that the Jacobian measures how the transformation distorts space. If the Jacobian is 1, the area is preserved. If it's greater than 1, the area expands; less than 1, it contracts.

Finally, summarize that the formula dx dy = |J| du dv is a consequence of how linear transformations affect area, extended to smooth nonlinear transformations via local linear approximation (the Jacobian matrix at each point).

b) Fundamento Teórico Detallado: Por qué $dxdy=\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }dudv$
La fórmula $dxdy=\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }dudv$ es una consecuencia del cálculo diferencial en varias variables y la geometría de transformaciones lineales. Aquí se explica su origen:

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1. Transformaciones Lineales y Área

Considera una transformación lineal $\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, definida por:

$$\mathbf{T}(u,v)=(au+bv,cu+dv),$$

donde $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

• Matriz asociada:

  $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mathrm{.}$$

• Área de un paralelogramo:
  Si $\mathbf{T}$ transforma un cuadrado unitario $[0,1]\times [0,1]$ en el plano $uv$ en un paralelogramo en el plano $xy$, el área del paralelogramo es $\mathrm{\mid }\det (A)\mathrm{\mid }$.

  • Ejemplo: Si $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, $\det (A)=6$. El área escala por 6.

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2. Caso General: Transformaciones No Lineales

Para una transformación no lineal $\mathbf{T}(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$, localmente (en un entorno pequeño de un punto $(u_0,v_0)$), la transformación se aproxima por su diferencial:

$$\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }u}& \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }v}\\ \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }u}& \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }v}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right)\mathrm{.}$$

• Jacobiano:
  El determinante de la matriz de derivadas parciales, $J=\frac{\mathrm{\partial }(x,y)}{\mathrm{\partial }(u,v)}$, cuantifica cómo se distorsiona el área localmente.

---

3. Interpretación Geométrica del Jacobiano

• Área infinitesimal:
  Un pequeño rectángulo $du\times dv$ en el plano $uv$ se transforma en un paralelogramo curvilíneo en el plano $xy$.

  • Vectores tangentes:
    Los lados del paralelogramo son:

    $${\mathbf{t}}_u=(\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }u},\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }u})du,{\mathbf{t}}_v=(\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }v},\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }v})dv\mathrm{.}$$

  • Área del paralelogramo:
    El área es la magnitud del producto cruz:

    $$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mathrm{\parallel }{\mathbf{t}}_u\times {\mathbf{t}}_v\mathrm{\parallel }=\mid \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }u}\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }v}-\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }v}\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }u}\mid dudv=\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }dudv\mathrm{.}$$

​∂u∂x​∂v∂y​−∂v∂x​∂u∂y​

• • ​dudv=∣J∣dudv.

---

4. Teorema de la Función Inversa

Garantiza que si $J\mathrm{\ne }0$ en un punto $(u_0,v_0)$, entonces $\mathbf{T}$ es invertible en un entorno de ese punto. Esto asegura que la transformación preserva la estructura local (no colapsa áreas a cero o las invierte).

---

5. Demostración Rigurosa

Para una transformación suave $\mathbf{T}$, el teorema de cambio de variable se demuestra usando:

1. Particiones de la región: Divide $D^{\mathrm{\prime }}$ en pequeños rectángulos $R_{ij}$.

2. Aproximación lineal: En cada $R_{ij}$, $\mathbf{T}\approx \text{Matriz Jacobiana}$.

3. Suma de Riemann:

   $$\sum _{i,j}f(\mathbf{T}(u_{ij},v_{ij}))\cdot \mathrm{\mid }J(u_{ij},v_{ij})\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\Delta }u\mathrm{\Delta }v\mathrm{.}$$

4. Límite: Cuando $\mathrm{\Delta }u,\mathrm{\Delta }v\to 0$, se obtiene la integral en $xy$.

---

6. Ejemplo Clave: Coordenadas Polares

• Transformación:

  $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta \mathrm{.}$$

• Jacobiano:

  $$J=\frac{\mathrm{\partial }(x,y)}{\mathrm{\partial }(r,\theta )}=\mid \begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\mid =r\mathrm{.}$$

​cosθsinθ​−rsinθrcosθ​

• ​=r.

• Interpretación:
  El factor $r$ refleja que, a mayor $r$, los sectores circulares (áreas en polares) son más grandes:

  $$dxdy=rdrd\theta \mathrm{.}$$

---

7. ¿Por qué el Valor Absoluto?

El Jacobiano puede ser negativo (dependiendo de la orientación), pero el área es siempre positiva. Por ello, se toma $\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }$.

---

Conclusión

La fórmula $dxdy=\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }dudv$ surge de cómo las transformaciones suaves distorsionan áreas locales, capturadas por el Jacobiano. Es un puente entre el álgebra lineal (determinantes) y el cálculo integral, permitiendo adaptar integrales a coordenadas más convenientes. 😊

 

B) CHATGPT

 

Cambio de Variable en Integrales Dobles de Funciones de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$

El cambio de variable en integrales dobles es una técnica útil cuando la región de integración o la función tienen una forma más conveniente en un sistema de coordenadas diferente. Se basa en la transformación de coordenadas y en la regla del Jacobiano para transformar diferenciales de área.

---

(a) ¿Cómo se Hace un Cambio de Variable en una Integral Doble?

Dado una integral doble de la forma:

$$I = \iint_{R} f(x,y) \, dx \, dy$$

podemos hacer un cambio de variables $(x, y)$ a nuevas coordenadas $(u, v)$ mediante una transformación:

$$x = x(u,v), \quad y = y(u,v).$$

El diferencial de área cambia según el determinante del Jacobiano, dado por:

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.$$

La integral transformada es:

$$I = \iint_{S} f(x(u,v), y(u,v)) \, \left| J \right| \, du \, dv.$$

donde $S$ es la región en el nuevo sistema de coordenadas.

---

(b) Fundamento Teórico

El fundamento teórico se basa en la regla del cambio de variable en integrales múltiples, la cual garantiza que si la transformación $T: (u, v) \mapsto (x, y)$ es diferenciable e invertible con inversa diferenciable, entonces la integral en las nuevas coordenadas es válida.

El diferencial de área se transforma mediante la matriz jacobiana:

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix}.$$

La relación entre los elementos de área es:

$$dx \, dy = |J| \, du \, dv.$$

Este resultado se justifica utilizando la teoría del cálculo en varias variables y la interpretación geométrica de cómo las áreas cambian bajo transformaciones.

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(c) Ejemplo: Cálculo de una Integral Doble usando Cambio de Variable

Calculemos la integral:

$$I = \iint_R (x^2 + y^2) \, dx \, dy,$$

donde $R$ es la región delimitada por el círculo de radio 2 centrado en el origen.

Paso 1: Elección del Cambio de Variables

Dado que la región es un círculo, conviene usar coordenadas polares:

$$x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta.$$

El Jacobiano es:

$$J = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r.$$

Entonces, $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$.

Paso 2: Expresión de la Integral en Coordenadas Polares

En estas coordenadas, $x^2 + y^2 = r^2$, así que la integral se convierte en:

$$I = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta.$$

Paso 3: Evaluación de la Integral

La integral en $r$ es:

$$\int_0^2 r^3 \, dr = \frac{1}{4} r^4 \Big|_0^2 = \frac{1}{4} (16 - 0) = 4.$$

La integral en $\theta$ es:

$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.$$

Multiplicamos los resultados:

$$I = 4 \cdot 2\pi = 8\pi.$$

---

Conclusión

El cambio de variable en integrales dobles permite resolver problemas de manera más sencilla cuando la función o la región tienen una estructura más fácil en otro sistema de coordenadas. En este caso, cambiar a polares transformó la integración en una forma manejable, eliminando la necesidad de parametrizar el círculo en coordenadas cartesianas.

 Insisto: desarrolla más el fundamento teórico es decir el apartado b

 

(b) Fundamento Teórico del Cambio de Variable en Integrales Dobles

Cuando realizamos un cambio de variables en una integral doble, estamos transformando la región de integración y también la forma en que se mide el área en el nuevo sistema de coordenadas. El factor clave en este proceso es el determinante del Jacobiano, que nos indica cómo cambia el área infinitesimal bajo la transformación.

---

1. ¿Cómo se Transforma el Diferencial de Área?

En coordenadas cartesianas, el área de un pequeño rectángulo elemental en $(x,y)$ es simplemente el producto de los diferenciales:

$$dA = dx \, dy.$$

Si introducimos nuevas coordenadas $(u,v)$ mediante la transformación:

$$x = x(u,v), \quad y = y(u,v),$$

entonces los diferenciales $dx$ y $dy$ no son independientes, sino que dependen de los cambios en $u$ y $v$. Para determinar cómo cambia el área, analizamos cómo se transforman los diferenciales.

---

2. Relación entre los Diferenciales $dx$ y $dy$ con $du$ y $dv$

Las derivadas parciales de $x$ y $y$ con respecto a $u$ y $v$ nos dan la aproximación lineal de la transformación:

$$dx \approx \frac{\partial x}{\partial u} du + \frac{\partial x}{\partial v} dv,$$ $$dy \approx \frac{\partial y}{\partial u} du + \frac{\partial y}{\partial v} dv.$$

En forma matricial, podemos escribir esto como:

$$\begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix}.$$

La matriz que aparece es la matriz jacobiana:

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix}.$$

Su determinante, denotado como $|J|$, mide cómo cambian las áreas bajo la transformación.

---

3. Justificación de la Fórmula $dx \, dy = |J| \, du \, dv$

Para entender por qué el área infinitesimal cambia por un factor de $|J|$, consideremos un pequeño rectángulo en las coordenadas $(u,v)$:

• Su base es $du$.
• Su altura es $dv$.
• En el sistema $(x,y)$, este rectángulo se transforma en un paralelogramo.

Los vectores tangentes a la transformación están dados por:

$$\mathbf{v}_u = \left( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u} \right),$$ $$\mathbf{v}_v = \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v} \right).$$

El área del paralelogramo formado por estos vectores es dada por el producto cruzado:

$$\left| \mathbf{v}_u \times \mathbf{v}_v \right| = \left| \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \right| = |J|.$$

Por lo tanto, el área diferencial en el sistema transformado es:

$$dx \, dy = |J| \, du \, dv.$$

Esta es la fórmula fundamental para el cambio de variable en integrales dobles.

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4. Interpretación Geométrica del Determinante del Jacobiano

El determinante del Jacobiano representa el factor de escala con el cual la transformación $(u,v) \to (x,y)$ distorsiona el área. Sus propiedades clave incluyen:

• Si $|J| > 1$, la transformación expande el área localmente.
• Si $|J| < 1$, la transformación contrae el área localmente.
• Si $|J| = 1$, el área no cambia.
• Si $|J| = 0$, la transformación colapsa el área a una dimensión menor (por ejemplo, si $x$ y $y$ dependen linealmente de $u$ y $v$, la transformación no es invertible).

La importancia de esta interpretación radica en que el cambio de variable en una integral doble se basa en medir correctamente la "nueva" área diferencial en el sistema transformado.

---

Resumen del Fundamento Teórico

1. Cambio de Variables: Se introduce una transformación $(x,y) = (x(u,v), y(u,v))$.
2. Diferenciales Relacionados: Los diferenciales $dx, dy$ dependen de $du, dv$ mediante la matriz jacobiana $J$.
3. Determinante del Jacobiano: Mide el cambio de área bajo la transformación.
4. Regla General: El área diferencial se ajusta según $dx \, dy = |J| \, du \, dv$.

Esta justificación permite extender la técnica a coordenadas polares, coordenadas cilíndricas y otros sistemas de coordenadas en dimensiones superiores.

 

PROBLEMA

Halla la integral de la función cuadrado del conjugado de z a lo largo de la curva que es el lugar geométrico de los z tales que la suma del módulo de (z-3) y el módulo de (z+3) da 10

Por favor resuelve paso a paso explicitando razonamientos y cálculos

 RESPUESTA

 

Okay, let's tackle this problem step by step. The user wants to compute the integral of the function |z|² along a specific curve. The curve is the set of points z where the sum of the distances from z to 3 and z to -3 is 10. Wait, that sounds familiar. Isn't that the definition of an ellipse? Yes, exactly! The sum of the distances from any point on the ellipse to the two foci (3 and -3 here) is constant, which is 10 in this case. So first, I need to confirm that this curve is indeed an ellipse with foci at 3 and -3.

Alright, let's start by understanding the ellipse parameters. The distance between the foci is 6 (from -3 to 3 on the real axis), so the distance from the center to each focus (c) is 3. The constant sum of distances (2a) is 10, so the semi-major axis (a) is 5. Then, using the relationship for ellipses c² = a² - b², where b is the semi-minor axis, we can solve for b. Plugging in the values: 3² = 5² - b² → 9 = 25 - b² → b² = 16 → b = 4. So the ellipse has major axis length 10, minor axis 8, centered at the origin.

Next, the function to integrate is |z|². Since z is a complex number, |z|² = x² + y² if z = x + iy. So the integral becomes the double integral of x² + y² over the ellipse. But wait, the problem mentions integrating along the curve, which is a contour integral in the complex plane. However, integrating |z|² around a closed curve... Hmm, in complex analysis, contour integrals usually involve complex functions, but here the integrand is real-valued. Maybe I need to express the integral in terms of line integrals in real variables.

Alternatively, perhaps parametrize the ellipse and compute the line integral. Let's consider parametrizing the ellipse. Since it's centered at the origin, with major axis along the real axis (since foci are on the real axis), the parametric equations would be x = a cosθ, y = b sinθ, where a = 5 and b = 4. So z(t) = 5 cosθ + i4 sinθ, where θ ranges from 0 to 2π.

Now, express |z|² in terms of θ: |z|² = (5 cosθ)² + (4 sinθ)² = 25 cos²θ + 16 sin²θ.

The integral becomes ∫ (25 cos²θ + 16 sin²θ) multiplied by the differential element along the curve. For a contour integral, the differential element dz would be z’(θ) dθ. However, since we're integrating a real function over the curve, it's more appropriate to use the arc length parameterization. Wait, but the problem says "integral de la función cuadrado del conjugado de z". Wait, the function is |z|², which is the square of the modulus of z, not the square of the conjugate. Wait, "cuadrado del conjugado de z" would be (conj(z))², but the user wrote "cuadrado del conjugado de z", which translates to |z|². Maybe there's a confusion here. Let me check the original problem again.

Original problem: "Halla la integral de la función cuadrado del conjugado de z a lo largo de la curva..." So "cuadrado del conjugado de z" is (conj(z))². Wait, that's different. If the function is (conj(z))², then we need to compute ∫ (conj(z))² dz over the ellipse.

But the user might have meant |z|², which is conj(z) * z. Let me clarify. The Spanish phrase "cuadrado del conjugado de z" literally translates to "square of the conjugate of z", which is (conj(z))². However, sometimes people refer to |z|² as the square of the modulus, which is conj(z) * z. So there might be a terminology confusion here. The problem might actually be asking for ∫ |z|² dz around the ellipse, but I need to verify.

Assuming it's (conj(z))², then we need to compute ∫ (conj(z))² dz over the ellipse. Alternatively, if it's |z|², then ∫ |z|² dz. The user needs to clarify, but since they mentioned "cuadrado del conjugado", it's likely (conj(z))². However, let's proceed with the assumption that it's |z|², as that's a more common integral and aligns with the real-valued function over the curve.

But given the confusion, I should address both possibilities. Let me check standard terminology. In Spanish, "módulo de z" is |z|, so "cuadrado del conjugado de z" would be (conj(z))², whereas "cuadrado del módulo de z" would be |z|². So the problem specifies the square of the conjugate, not the modulus. Therefore, the integrand is (conj(z))².

So the integral is ∫_C (conj(z))² dz, where C is the ellipse defined by |z - 3| + |z + 3| = 10.

This is a complex line integral. To compute this, I can parametrize z on the ellipse, express conj(z) in terms of the parametrization, and then integrate.

Let's proceed with parametrizing the ellipse. As established earlier, the ellipse has major semi-axis a = 5, minor semi-axis b = 4, centered at the origin. The parametric equations in complex form would be z(θ) = 5 cosθ + i4 sinθ, where θ ∈ [0, 2π).

Then, conj(z) = 5 cosθ - i4 sinθ. Therefore, (conj(z))² = (5 cosθ - i4 sinθ)² = 25 cos²θ - 40i cosθ sinθ - 16 sin²θ.

The differential dz is dz/dθ dθ. Compute dz/dθ:

dz/dθ = -5 sinθ + i4 cosθ.

So the integral becomes ∫₀²π [25 cos²θ - 40i cosθ sinθ -16 sin²θ] [-5 sinθ + i4 cosθ] dθ.

This looks messy, but we can expand the product and integrate term by term.

Let's denote the integrand as:

(25 cos²θ - 40i cosθ sinθ -16 sin²θ)(-5 sinθ + i4 cosθ)

Multiply term by term:

First term: 25 cos²θ * (-5 sinθ) = -125 cos²θ sinθ

Second term: 25 cos²θ * i4 cosθ = 100i cos³θ

Third term: -40i cosθ sinθ * (-5 sinθ) = 200i cosθ sin²θ

Fourth term: -40i cosθ sinθ * i4 cosθ = -160i² cos²θ sinθ = +160 cos²θ sinθ (since i² = -1)

Fifth term: -16 sin²θ * (-5 sinθ) = 80 sin³θ

Sixth term: -16 sin²θ * i4 cosθ = -64i sin²θ cosθ

Combine like terms:

Real parts:

-125 cos²θ sinθ + 160 cos²θ sinθ + 80 sin³θ = (35 cos²θ sinθ + 80 sin³θ)

Imaginary parts:

100i cos³θ + 200i cosθ sin²θ -64i sin²θ cosθ = i(100 cos³θ + 136 cosθ sin²θ)

So the integral becomes:

∫₀²π [35 cos²θ sinθ + 80 sin³θ + i(100 cos³θ + 136 cosθ sin²θ)] dθ

Now, we can integrate each term separately over θ from 0 to 2π.

Let's handle the real part first:

Integral of 35 cos²θ sinθ dθ + integral of 80 sin³θ dθ

For the first integral, 35 ∫ cos²θ sinθ dθ. Let u = cosθ, du = -sinθ dθ. So this becomes -35 ∫ u² du = -35 (u³/3) + C = -35/3 cos³θ + C. Evaluated from 0 to 2π: -35/3 [cos³(2π) - cos³(0)] = -35/3 [1 - 1] = 0.

Second integral: 80 ∫ sin³θ dθ. Recall that ∫ sin³θ dθ = ∫ sinθ (1 - cos²θ) dθ = -cosθ + (cos³θ)/3 + C. Evaluated over 0 to 2π:

80 [(-cos2π + (cos³2π)/3) - (-cos0 + (cos³0)/3)] = 80 [(-1 + 1/3) - (-1 + 1/3)] = 80 [(-2/3) - (-2/3)] = 80*0 = 0.

So the real part integrates to 0.

Now the imaginary part:

Integral of 100 cos³θ dθ + 136 ∫ cosθ sin²θ dθ

First term: 100 ∫ cos³θ dθ. We can use substitution or note that over 0 to 2π, the integral of cos³θ is zero because it's an odd function over symmetric intervals. Similarly for the second term.

But let's compute them explicitly.

For 100 ∫ cos³θ dθ from 0 to 2π:

Using the identity cos³θ = (3 cosθ + cos3θ)/4. Then integral becomes:

100 [ (3/4 ∫ cosθ dθ + 1/4 ∫ cos3θ dθ ) ] from 0 to 2π.

Both ∫ cosθ dθ and ∫ cos3θ dθ over 0 to 2π are zero. So this term is zero.

Second term: 136 ∫ cosθ sin²θ dθ. Let u = sinθ, du = cosθ dθ. Then the integral becomes 136 ∫ u² du = 136 (u³/3) + C = 136/3 sin³θ. Evaluated from 0 to 2π: 136/3 [sin³2π - sin³0] = 0.

Therefore, the entire integral (both real and imaginary parts) evaluates to zero.

Alternatively, perhaps there's a more straightforward way using complex analysis. Since the integral is of (conj(z))² dz over a closed contour. Let's recall that in complex analysis, integrating functions involving conj(z) is generally not done using residues because conj(z) is not analytic. However, in this case, we can express conj(z) in terms of z and integrate parametrically, which we did.

Another approach: Express everything in terms of z and conj(z). Note that on the ellipse, z can be parametrized as 5 cosθ + i4 sinθ. Then conj(z) = 5 cosθ - i4 sinθ, and dz = (-5 sinθ + i4 cosθ) dθ. The integral becomes ∫ (5 cosθ - i4 sinθ)^2 (-5 sinθ + i4 cosθ) dθ, which is what we computed earlier, resulting in zero.

Alternatively, maybe using Green's theorem. For a complex integral ∫ f(z) dz, we can express it in terms of real integrals. Let f(z) = (conj(z))² = (x - iy)^2 = x² - 2i x y - y². Then dz = dx + i dy. So the integral becomes ∫ (x² - 2i x y - y²)(dx + i dy). Expanding this:

∫ (x² - y²) dx + i (x² - y²) dy - 2i x y dx + 2 x y dy.

Combine real and imaginary parts:

Real part: ∫ (x² - y²) dx + 2 x y dy

Imaginary part: ∫ (x² - y²) dy - 2 x y dx

But applying Green's theorem to convert the line integrals to double integrals. Green's theorem states that ∫ P dx + Q dy = ∫∫ (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA.

For the real part: P = x² - y², Q = 2 x y

Then ∂Q/∂x = 2 y, ∂P/∂y = -2 y

Thus, the real part integral becomes ∫∫ (2 y - (-2 y)) dA = ∫∫ 4 y dA. Since the ellipse is symmetric about the x-axis, and y is an odd function, the integral over symmetric limits would be zero.

For the imaginary part: P = -2 x y, Q = x² - y²

∂Q/∂x = 2 x, ∂P/∂y = -2 x

Thus, the imaginary part integral becomes ∫∫ (2 x - (-2 x)) dA = ∫∫ 4 x dA. Similarly, due to symmetry around the y-axis, the integral of x over the ellipse is zero.

Therefore, both real and imaginary parts are zero, so the entire integral is zero.

This confirms our earlier result from direct parametrization. Hence, the integral of (conj(z))² dz over the given ellipse is zero.

Paso a paso para resolver la integral de $(\bar{z}{)}^2$ a lo largo de la elipse $\mathrm{\mid }z-3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z+3\mathrm{\mid }=10$:

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1. Identificar la curva de integración

La ecuación $\mathrm{\mid }z-3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z+3\mathrm{\mid }=10$ define una elipse con:

• Focos: En $z=3$ y $z=-3$.

• Distancia focal: $2c=6\Rightarrow c=3$.

• Suma constante de distancias: $2a=10\Rightarrow a=5$.

• Semieje menor: $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25-9}=4$

​=25−9

• ​=4.

Ecuación paramétrica de la elipse:

$$z(\theta )=5\cos \theta +i4\sin \theta ,\theta \in [0,2\pi )\mathrm{.}$$

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2. Expresar el integrando en términos de $\theta$

• Conjugado de $z$:

  $$\bar{z}=5\cos \theta -i4\sin \theta \mathrm{.}$$

• Cuadrado del conjugado:

  $$(\bar{z}{)}^2=(5\cos \theta -i4\sin \theta {)}^2=25{\cos }^2\theta -40i\cos \theta \sin \theta -16{\sin }^2\theta \mathrm{.}$$

• Diferencial $dz$:

  $$dz=\frac{dz}{d\theta }d\theta =(-5\sin \theta +i4\cos \theta )d\theta \mathrm{.}$$

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3. Plantear la integral

La integral se convierte en:

$${\int }_0^{2\pi }(25{\cos }^2\theta -40i\cos \theta \sin \theta -16{\sin }^2\theta )(-5\sin \theta +i4\cos \theta )d\theta \mathrm{.}$$

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4. Expandir y simplificar el integrando

Multiplicamos término a término:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \text{Integrando}=}& {\displaystyle -125{\cos }^2\theta \sin \theta +100i{\cos }^3\theta +200i\cos \theta {\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +160{\cos }^2\theta \sin \theta +80{\sin }^3\theta -64i{\sin }^2\theta \cos \theta \mathrm{.}}\end{array}$$

Agrupando términos reales e imaginarios:

• Parte real:

  $$35{\cos }^2\theta \sin \theta +80{\sin }^3\theta \mathrm{.}$$

• Parte imaginaria:

  $$100i{\cos }^3\theta +136i\cos \theta {\sin }^2\theta \mathrm{.}$$

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5. Integrar término a término

Parte real:

1. $35{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta \sin \theta d\theta$:

   • Usando sustitución $u=\cos \theta$, $du=-\sin \theta d\theta$:

     $$-35{\int }_1^1{u}^{2}du=0.$$

2. $80{\int }_0^{2\pi }{\sin }^3\theta d\theta$:

   • Usando identidad ${\sin }^3\theta =\sin \theta (1-{\cos }^2\theta )$:

     $$80{[-\cos \theta +\frac{{\cos }^3\theta }{3}]}_0^{2\pi }=0.$$

Parte imaginaria:

1. $100i{\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta$:

   • Integral de una función impar en un intervalo simétrico: 0.

2. $136i{\int }_0^{2\pi }\cos \theta {\sin }^2\theta d\theta$:

   • Usando sustitución $u=\sin \theta$, $du=\cos \theta d\theta$:

     $$136i{\left[\frac{{\sin }^3\theta }{3}\right]}_0^{2\pi }=0.$$

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6. Resultado final

Todas las integrales parciales son cero. Por lo tanto:

$$\boxed{{\displaystyle 0}}$$

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Conclusión:
La integral de $(\bar{z}{)}^2$ a lo largo de la elipse es cero, debido a la simetría de la curva y la cancelación de términos en la integración.

PREGUNTO DE NUEVO

¿Se puede resolver el problema anterior aplicando el Teorema de Green?

 

Okay, the user is asking if Green's Theorem can be applied to solve the previous problem, which involved integrating the square of the complex conjugate of z around an ellipse. Let me recall what Green's Theorem states. Green's Theorem relates a line integral around a simple closed curve to a double integral over the region it encloses. Specifically, for real-valued functions in the plane, it connects the line integral of P dx + Q dy to the double integral of (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA.

But in this problem, the integrand is (conj(z))², which is a complex function. I need to think about how to express this in terms of real and imaginary parts to apply Green's Theorem. The complex conjugate of z is x - iy if z = x + iy, so squaring that gives (x - iy)² = x² - y² - 2i xy. The integral around the ellipse is a complex line integral, so perhaps I can separate it into real and imaginary parts and apply Green's Theorem to each component separately.

Wait, Green's Theorem applies to real line integrals. So if I split the complex integral into real and imaginary parts, each part can be treated as a line integral of a vector field. For example, if the integrand is u + iv, then the integral becomes ∫(u dx - v dy) + i ∫(v dx + u dy). Then, applying Green's Theorem to each integral separately might be possible, provided the conditions for Green's Theorem are met (positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve, etc.).

The curve in question is an ellipse, which is a closed, simple, and smooth curve, so Green's Theorem should apply. The key is to express the complex integrand in terms of real functions and then apply Green's Theorem to each part. Let me formalize this.

Given the integral ∫_C (conj(z))² dz. Let z = x + iy, so conj(z) = x - iy, and (conj(z))² = (x² - y²) - 2i xy. Then dz = dx + i dy. Multiplying these, the integrand becomes:

(x² - y² - 2i xy)(dx + i dy) = (x² - y²)dx + (x² - y²)i dy - 2i xy dx - 2i² xy dy.

Simplifying, since i² = -1:

= (x² - y²)dx - 2 xy dy + i[(x² - y²) dy + 2 xy dx].

So the integral splits into real and imaginary parts:

Real part: ∫_C (x² - y²)dx - 2 xy dy

Imaginary part: ∫_C (x² - y²) dy + 2 xy dx

Now, applying Green's Theorem to each part. For the real part, P = x² - y², Q = -2xy. Green's Theorem says:

∫_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA

Calculating the partial derivatives:

∂Q/∂x = ∂(-2xy)/∂x = -2y

∂P/∂y = ∂(x² - y²)/∂y = -2y

So, ∂Q/∂x - ∂P/∂y = -2y - (-2y) = 0

Therefore, the real part integral is zero.

For the imaginary part, the integral is ∫_C (x² - y²) dy + 2 xy dx. Let P = 2xy, Q = x² - y². Applying Green's Theorem:

∫_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA

Calculating partial derivatives:

∂Q/∂x = ∂(x² - y²)/∂x = 2x

∂P/∂y = ∂(2xy)/∂y = 2x

Thus, ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 2x - 2x = 0

Hence, the imaginary part integral is also zero. Therefore, the entire complex integral is zero, matching the previous result obtained via parametrization.

So yes, Green's Theorem can be applied by splitting the complex integral into real and imaginary parts and applying the theorem to each, leading to the conclusion that both parts integrate to zero over the elliptical region.

Sí, el problema se puede resolver aplicando el Teorema de Green. A continuación, se detalla el procedimiento:

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1. Expresar el integrando en términos reales

Sea $z=x+iy$, entonces $\bar{z}=x-iy$. El integrando es:

$$(\bar{z}{)}^2=(x-iy{)}^2=x^2-y^2-2ixy\mathrm{.}$$

La integral compleja se escribe como:

$${\int }_C(\bar{z}{)}^{2}dz={\int }_C(x^2-y^2-2ixy)(dx+idy)\mathrm{.}$$

Multiplicando y separando en parte real e imaginaria:

$$={\int }_C\underset{\text{Parte real}}{\underbrace{(x^2-y^2)dx-2xydy}}+i{\int }_C\underset{\text{Parte imaginaria}}{\underbrace{(x^2-y^2)dy+2xydx}}\mathrm{.}$$

$$(x^2-y^2)dx-2xydy+i{\int }_C\underset{\text{Parte imaginaria}}{}$$$$(x^2-y^2)dy+2xydx.$$

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2. Aplicar el Teorema de Green a cada parte

El Teorema de Green establece que para una curva cerrada $C$ que encierra una región $D$:

$${\int }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y})dxdy\mathrm{.}$$

Parte Real:

$${\int }_C(x^2-y^2)dx-2xydy\mathrm{.}$$

Identificamos $P=x^2-y^2$ y $Q=-2xy$. Calculamos:

$$\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}=-2y,\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=-2y\mathrm{.}$$

Aplicando Green:

$${\iint }_D(-2y-(-2y))dxdy={\iint }_{D}0dxdy=0.$$

Parte Imaginaria:

$${\int }_C(x^2-y^2)dy+2xydx\mathrm{.}$$

Identificamos $P=2xy$ y $Q=x^2-y^2$. Calculamos:

$$\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}=2x,\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=2x\mathrm{.}$$

Aplicando Green:

$${\iint }_D(2x-2x)dxdy={\iint }_{D}0dxdy=0.$$

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3. Resultado Final

Ambas partes (real e imaginaria) se anulan:

$${\int }_C(\bar{z}{)}^{2}dz=0+i\cdot 0=\boxed{{\displaystyle 0}}\mathrm{.}$$

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Conclusión:
El Teorema de Green permite resolver la integral descomponiendo el integrando complejo en partes real e imaginaria, aplicando el teorema a cada una y verificando que ambas contribuciones son cero debido a la simetría del problema.

 AHORA LA RESPUESTA DE CHATGPT

Paso 1: Interpretación del Lugar Geométrico

Nos dan la condición:

$$|z - 3| + |z + 3| = 10.$$

Esta es la ecuación de una elipse con focos en $3$ y $-3$, y con la propiedad de que la suma de las distancias a los focos es constante.

La ecuación estándar de una elipse centrada en el origen es:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

donde:

• Los focos están en $(\pm c,0)$.

• Se cumple que $2a = 10$, es decir, $a = 5$.

• Como los focos están en $\pm 3$, se tiene $c = 3$.

• Se usa la relación $b^2 = a^2 - c^2$ para hallar $b$:

  $$b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16, \quad b = 4.$$

Así, la ecuación de la elipse es:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.$$

---

Paso 2: Interpretación de la Integral

Debemos calcular la integral de $(\overline{z})^2$ sobre la curva $C$, que es la elipse:

$$\oint_C (\overline{z})^2 \, dz.$$

Usamos la parametrización de la elipse en la forma estándar:

$$x = 5\cos t, \quad y = 4\sin t, \quad t \in [0, 2\pi].$$

El número complejo correspondiente es:

$$z = x + iy = 5\cos t + i 4\sin t.$$

El conjugado es:

$$\overline{z} = 5\cos t - i 4\sin t.$$

Su cuadrado es:

$$(\overline{z})^2 = (5\cos t - i 4\sin t)^2.$$

Expandiendo,

$$(\overline{z})^2 = 25\cos^2 t - 40i\cos t\sin t - 16\sin^2 t.$$ $$= (25\cos^2 t - 16\sin^2 t) - 40i\cos t\sin t.$$

El diferencial de arco es:

$$dz = \frac{dx}{dt} dt + i \frac{dy}{dt} dt.$$

Calculamos las derivadas:

$$\frac{dx}{dt} = -5\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 4\cos t.$$

Entonces,

$$dz = (-5\sin t + i 4\cos t) dt.$$

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Paso 3: Evaluación de la Integral

La integral es:

$$\oint_C (\overline{z})^2 \, dz = \int_0^{2\pi} [(25\cos^2 t - 16\sin^2 t) - 40i\cos t\sin t] (-5\sin t + i 4\cos t) dt.$$

Distribuyendo:

$$\int_0^{2\pi} (25\cos^2 t - 16\sin^2 t)(-5\sin t) dt + i \int_0^{2\pi} (25\cos^2 t - 16\sin^2 t)(4\cos t) dt$$ $$- \int_0^{2\pi} 40i\cos t\sin t ( -5\sin t) dt - i^2 \int_0^{2\pi} 40\cos t\sin t (4\cos t) dt.$$

Se agrupan términos y se analizan integrales individuales. Notamos que las integrales que involucran productos de senos y cosenos impares en el intervalo $[0,2\pi]$ se anulan, dejando:

$$\oint_C (\overline{z})^2 \, dz = 0.$$

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Conclusión

El valor de la integral es cero debido a la simetría de la función integrando y el contorno cerrado.

 REPREGUNTO

¿Se puede resolver el problema anterior aplicando el Teorema de Green?

RESPUESTA

Sí, podemos resolver la integral $\oint_C (\overline{z})^2 \, dz$ aplicando el Teorema de Green, que relaciona una integral de contorno con una integral doble sobre la región encerrada por la curva $C$.

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Paso 1: Interpretación de la Integral en Términos de Green

El Teorema de Green establece que si $C$ es una curva cerrada simple y $D$ es la región encerrada por $C$, entonces para funciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ con derivadas parciales continuas en $D$:

$$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA.$$

Queremos escribir nuestra integral en esta forma.

Dado que $z = x + iy$, su conjugado es $\overline{z} = x - iy$, por lo que:

$$(\overline{z})^2 = (x - iy)^2 = x^2 - 2ixy - y^2.$$

Separando en partes real e imaginaria,

$$P(x,y) = x^2 - y^2, \quad Q(x,y) = -2xy.$$

Nuestra integral original se puede escribir como:

$$\oint_C (x^2 - y^2) \, dx + (-2xy) \, dy.$$

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Paso 2: Aplicación del Teorema de Green

Para aplicar Green, calculamos:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (-2xy)}{\partial x} = -2y,$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial y} = -2y.$$

Entonces,

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2y - (-2y) = 0.$$

Por lo tanto, el integrando de la integral doble es cero, lo que implica que la integral de contorno también es cero:

$$\oint_C (\overline{z})^2 \, dz = \iint_D 0 \, dA = 0.$$

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Conclusión

Sí, se puede resolver el problema aplicando el Teorema de Green, y el resultado confirma lo obtenido antes:

$$\oint_C (\overline{z})^2 \, dz = 0.$$

Este método es más elegante que el cálculo directo de la parametrización y evita manipulaciones algebraicas innecesarias.