Conmensurable e inconmensurable

 Conmensurable e Inconmensurable

10.1) Medida y conmensurabilidad

Medir es relacionar una cantidad de una magnitud con otra u otras cantidades de

la misma que se consideran patrones universalmente aceptados. El hecho de medir

exige, pues, tener en cuenta: una magnitud, una cantidad de esta, una unidad relacionada con ellas y un número, que es el resultado de la comparación de la cantidad con la unidad escogida

Medir es determinar o calcular cuántas veces cabe una unidad estándar en otra, que es la que se mide.

Se puede decir que medir es contar cuántas veces cabe la unidad de medida en la magnitud que se está midiendo.

La más intuitiva de todas las mediciones es la medida de longitudes. Medimos cuantas veces cabe un metro en la longitud de una mesa. Cabe dos veces y decimos que la mesa tieene una longitud de dos metros.

¿Que ocurre cuando el metro no cabe exactamente en la longitud que queremos medir? Pues consideramos partes de la unidad. Decimos la mesa mide 2 metros y medio. O la mesa mide 2 metros y 35 centímetros, sabiendo que el centrímetro es la longitud que se obtiene al dividir el metro en 100 partes iguales. Y si todavía no podemos hacer coincidir la longitud de la mesa con una cantidad exacta de metros y centímetros, usaremos los milímetros, que resultan de dividir un metro en 1000 partes iguales. Y si no es suficente, usaremos las décimas de milímetro, que se obtienen al dividir un metro en 10000 partes iguales. Y así sucesivamente.

Se comprende que así podremos medir cualquier longitud

Expresando este proceso de manera general, decimos que dos magnitudes son conmensurables cuando existe una tercera, más pequeña que las dos anteriores, que las mide exactamente.

Por ejemplo, una micra es la milésima pate de un milímetro (millonésima parte de un metro) y si la longitud de la mesa es de 2325748 micras, diremos que hemos medido la mesa en metros y que su medida es metros.

En general, dos magnitudes A y B son conmensurables cuando existe una tercera C que cabe un número entero de veces en cada una de ellas, y siendo m y n números naturales y entonces decimos que A mide veces B, o que la medida de A respecto a la unidad B es el número racional

Esto nos dice que los números racionales son suficientes para medir todas las magnitudes, en particular todas las longitudes.

Por otra parte se llamarían inconmensurables a las magnitudes que no se puedan medir exactamente siguiendo el proceso anterior, es decir son incinmensurables dos magnitudes A y B tales que no existe ninguna otra magnitud C menor que ambas, tales que y siendo m y n números naturales.

Atención: en este caso, la medida de A tomando como unidad B, no sería un número racional, sería por tanto un número irracional.

¡¡Sorpresa!! Existen magnitudes inconmensurables.

10.2) Razonamiento por reducción al absurdo

En matemáticas, no nos vale con que algo parezca que es verdad o con que una propiedad concreta se cumpla para muchos casos: en matemáticas necesitamos demostraciones. Si queremos decir que algo es cierto, tenemos que demostrarlo, y eso, en muchísimas ocasiones, no es nada sencillo.
Entre los métodos de demostración que tenemos a nuestra disposición para intentar demostrar un resultado, posiblemente el más conocido sea el de demostración directa: partiendo de unas ciertas hipótesis, y dando pasos lógicamente válidos usando las mismas (o resultados ciertos conocidos previamente), buscamos la conclusión del resultado a demostrar.
Hay otro método de demostración, quizás menos conocido pero con una utilidad sobradamente comprobada: reducción al absurdo. Vamos a explicarlo.
Supongamos que queremos demostrar que un resultado es cierto, no importa si es alguna característica de un conjunto numérico, una propiedad geométrica de cierta construcción o cualquier otro enunciado matemático. Bien, pues el método de reducción al absurdo consiste en suponer que el resultado a demostrar es falso y llegar, a partir de ahí, a una contradicción. Es decir, si yo supongo cierto algo (en este caso, lo contrario a lo que quiero demostrar) y con ello llego a algo que es mentira (una contradicción, algo que sepamos de antemano que es falso…), entonces mi suposición es falsa y, en consecuencia, lo cierto es en realidad lo contrario a lo que supuse en un principio (que, en este caso, sería el resultado que queremos demostrar).
Aunque creo que el método habrá quedado claro con la explicación anterior, lo que igual no está tan claro es cómo aplicarlo. Y ahí es donde, bajo mi punto de vista, reside la principal dificultad a la hora de utilizarar este método de demostración: esto tan, en principio, extraño de suponer falso lo que queremos demostrar provoca, en ocasiones, que no sepamos muy bien cómo dirigir la demostración ni dónde y cuándo aparecerá la contradicción o de qué tipo será.
Pero, a pesar de esto, el método de reducción al absurdo es un método de demostración muy potente. Para verlo, y para aclarar las posibles dudas que pudiera haber hasta ahora, vamos a ver un ejemplos clásicos de aplicación de este método de demostración.
El ejemplo que vamos a ver está relacionado con los números primos, los ladrillos con los que podemos construir todos los números naturales mediante productos entre ellos. Bien, pues desde hace mucho tiempo se sabe (está demostrado) que existen infinitos números primos. Se conocen varias demostraciones sobre este hecho, pero la que vamos a ver hoy es la primera de la que se tiene constancia. Al parecer, fue Euclides el autor de la misma (aparece en la Proposición 20 del Libro IX de Elementos), y utiliza el método de reducción al absurdo. Vamos a ver una especie de traducción moderna de la misma.
Queremos demostrar que hay infinitos números primos. Lo que hacemos entonces es suponer que lo cierto es lo contrario: suponemos que la cantidad de números primos es finita. Digamos, por ejemplo, que hay n números primos, y que éstos son p₁, p₂, … , p_n.
Consideremos ahora el siguiente número: M=p₁ · p₂ · … · p_n + 1
Es decir, M es el producto de todos los primos más 1. Sabemos que M no es primo (no es ninguno de los anteriores), por lo que es un número compuesto, y por tanto debe ser divisible por algún número primo. Ahora, si dividimos M entre p₁, el resto de la división es 1, y lo mismo pasa si lo dividimos entre p₂, entre p₃ o entre cualquiera de los números primos de la supuesta lista finita.
Tenemos entonces un número M que no es primo y que no es divisible por ninguno de los primos de la lista. Esto significa que debe existir al menos un número primo que no está en dicha lista (M debe ser divisible al menos por un número primo), contradiciendo esto que los únicos números primos son los que aparecen en ella. Ésa es la contradicción a la que llegamos suponiendo que la lista de números primos es finita, lo que significa que la lista de números primos es infinita



10.3) La hipotenusa de un triángulo isóceles rectángulo es inconmensurable con el cateto



Si no puedes seguir el razonamiento con esta figura, utiliza el siguiente enlace:

https://www.geogebra.org/m/egjqdxbe

Con referencia a esta figura, enunciamos y demostramos la siguiente prpiedad:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es inconmensurable con la hipotenusa

La prueba se hace por reducción al absurdo.
Supongamos que hipotenusa y cateto son conmensurables.
Entonces existe un tercer segmento que cabe exactamente en la hipotenusa y el cateto. Es decir existe un segmento HK que divide exactamente AB (cateto) y a la hipotenusa BC.
Trazmos la circunfrencia de centro B y radio el cateto BA. Esa circunferencia corta a la hipotenusa en F.
Trazamos la perpendicular por F a la hipotenusa, que corta al cateto AC en el punto D.
Observa que FD es tangente a la circunferencia que hemos trazado.
Observa que DA es tangente a la circunferencia que hemos trazado.
Por tanto sabemos que AB=AC (por hipótesis los catetos son iguales) y al ser isósceles el triángulo, los àngulos agudos son iguales entre sí y como consecuencia los ángulos en B y en C valen 45º (y por tanto son iguales entre sí)
Entonces tenemos que:
AB = FB (radios)
FD = AD (tangentes)
FC =BC – BF = BC -AB (resultado 1: FC=BC – AB )
Por otra parte, y esto implica que el triángulo DFC es triángulo rectángulo isóceles, de lo que a su vez se deduce que FD = FC
Utilizamos todas las igualdades anteriores para ver que es cierta la siguiente cadena de igualdades:
DC=AC – AD = AC – FD = AC – FC = AC – (BC – BF ) = AC – BC + BF = AB – BC + AB
Entonces tenemos que:
AB = FB (radios)
FD = AD (tangentes)
FC =BC – BF = BC -AB (resultado 1: FC=BC – AB )
Por otra parte, y esto implica que el triángulo DFC es triángulo rectángulo isóceles, de lo que a su vez se deduce que FD = FC
Utilizamos todas las igualdades anteriores para ver que es cierta la siguiente cadena de igualdades:
DC=AC – AD = AC – FD = AC – FC = AC – (BC – BF ) = AC – BC + BF = AB – BC + AB =
= $2\cdot AB - BC$
Nos quedamos con las dos igualdades $ \begin{cases} DC=2\cdot{AB} - BC \\FC=BC - AB  \end{cases}$

Como sabíamos ya que HK era divisor tanto de AB como de BC, por la propiedades de la divisibilidad, sabemos que es divisor de su ssuma y de su diferencia, y pot tanto HK es divisor tanto de DC como de DC
En definitiva, partiendo del triángulo rectágulo isósceles BAC hemos construido otro triángulo rectángulo isósceles DFC, cuyos catetos e hipotenusa son respectivamente menores que los correspondientes del triángulo inicial, pero en los que tanto catetos como hipoteenusa son divisibles por HK

Este proceso se puede reiterar indefinidamente, con el resultado de que se van obteniendo triángulos rectángulos isósceles que pueden llegar a ser "tan pequeños como se quiera", en los que el segmento fijo HK divide simultáneamente al cateto y a la hipotenusa, lo cual es manifiestamente imposible. Esto lleva a la conclusión de que no puede haber una unidad de longitud que mida simultáneamente el cateto y la hipotenusa del triángulo, es decir, estos dos segmentos no son conmensurables.