Definición de bivector y propiedades

Basado en Postnikov, geometría analítica y álgebra lineal, asistido por NML

La definición que tiene en su tarjeta didáctica proporciona la comprensión más rigurosa y abstracta del bivector, tal como se introduce en el álgebra exterior y en el estudio fundamental de los multivectores.

Aquí tiene una explicación detallada del tema, enfocándose en la naturaleza del bivector como una clase de equivalencia y su interpretación geométrica.

1. El Bivector como Cantidad de Orden Superior

Un bivector (o 2-vector) es una entidad que extiende la idea de escalares (orden cero) y vectores (orden uno) en el álgebra exterior o álgebra geométrica; se considera una cantidad de orden dos.

En esencia, mientras que un vector representa un segmento de línea dirigido, un bivector representa un elemento plano orientado.

2. La Definición Formal: Clases de Equivalencia

La definición de su tarjeta ("Una clase de equivalencia de pares de vectores, determinada por la relación de poder obtener un par de otro mediante una secuencia de transformaciones elementales") es la forma rigurosa de construir el concepto de área orientada sin depender inicialmente de nociones geométricas predefinidas como "área" o "plano".

Un bivector se define formalmente como una clase de equivalencia de pares ordenados de vectores $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$. Dos pares $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ y $(\mathbf{a}_1, \mathbf{b}_1)$ se consideran equivalentes (es decir, representan el mismo bivector) si uno puede obtenerse del otro mediante una secuencia de transformaciones elementales.

Estas transformaciones elementales son:

Transformación de Tipo 1 (Añadir un múltiplo): Consiste en sumar a uno de los vectores el otro vector multiplicado por un número arbitrario $k$. Por ejemplo, $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ es equivalente a $(\mathbf{a}, \mathbf{b} + k\mathbf{a})$.
Transformación de Tipo 2 (Reescalado compensado): Consiste en multiplicar uno de los vectores por un número $\lambda > 0$ y simultáneamente multiplicar el otro vector por $1/\lambda$.

El invariante clave: La razón por la que estas transformaciones definen la equivalencia es que mantienen constante el área orientada definida por el paralelogramo formado por los vectores. Si los pares de vectores son colineales, definen el bivector cero.

3. El Producto Exterior (Símbolo $\wedge$)

El bivector determinado por un par $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ se designa mediante el símbolo $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$, conocido como producto exterior o producto de cuña.

El producto exterior es la operación fundamental que genera bivectores a partir de vectores. Se define como la parte antisimétrica del producto geométrico de dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$: $$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} := \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba})$$

Este producto tiene propiedades cruciales:

Anticonmutativo: $\mathbf{b} \wedge \mathbf{a} = - \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$. Esto define la orientación del bivector.
Alternante: $\mathbf{a} \wedge \mathbf{a} = 0$. Esto actúa como un criterio de paralelismo.

4. Interpretación Geométrica del Bivector (Propiedades Invariantes)

Un bivector $\mathbf{A} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ es un objeto que tiene tres propiedades geométricas esenciales, que permanecen invariantes bajo las transformaciones elementales:

Magnitud (Área): La magnitud del bivector es igual al área del paralelogramo cuyos lados son los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$. Esta magnitud se calcula como $|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin \theta$.
Colocación (Plano): El bivector tiene la colocación del plano que abarca $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$. Cualquier superficie se asimila al mismo bivector si es paralela al mismo plano y tiene la misma área y orientación.
Orientación (Sentido de Rotación): El bivector tiene un sentido de rotación (circulación) en el plano, que es el que alinearía $\mathbf{a}$ con $\mathbf{b}$. Un cambio de signo en el bivector invierte la dirección u orientación.

En resumen, la clase de equivalencia definida por las transformaciones elementales es la herramienta matemática abstracta que captura con precisión la noción geométrica de un área orientada en un plano específico.

5. Simplicidad del Bivector

Un bivector que puede expresarse como el producto exterior de solo dos vectores, como $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$, se denomina bivector simple o 2-cuchilla (2-blade).

En dimensiones hasta tres ($R^2$ y $R^3$), todos los bivectores son simples. En estos casos, la suma de dos bivectores resulta en un bivector que también es simple.
En dimensiones superiores a tres ($R^4$ o más), no todos los bivectores son simples. Un bivector que no es simple no puede representarse geométricamente como un área de plano orientado única. En cuatro dimensiones, cualquier bivector es la suma de, a lo sumo, dos productos exteriores.

Resumen del Contexto

El bivector, siendo una entidad de grado 2, es crucial en la física y las matemáticas, ya que proporciona una representación geométrica más natural que el producto vectorial tradicional, el cual solo funciona en tres dimensiones. Por ejemplo, en $R^3$, las cantidades representadas por vectores axiales (como el momento angular o el par motor), que están relacionadas con la orientación de un plano, se representan adecuadamente por bivectores en el Álgebra Geométrica.

Analogía: Piense en el bivector como una factura de pintura. El par de vectores $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ que lo genera es como el pintor específico que usó una base y altura particulares para definir el área. Las transformaciones elementales son como cambiar la base o la altura de medición de la pared (el paralelogramo) sin cambiar el área total ni la orientación de la superficie a pintar. La clase de equivalencia es, por lo tanto, la factura final del cliente: solo le importa que la pared pintada tenga exactamente X metros cuadrados orientados en el plano Y, independientemente de cómo el pintor original descompuso esa área con sus vectores iniciales.

¿Porqué en $\mathbb{R}^2$ y en $\mathbb{R}^3$ todos los bivectores son simples?

La razón por la cual todos los bivectores son simples en espacios de hasta tres dimensiones ($\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$) se debe fundamentalmente a las restricciones impuestas por la dimensionalidad del espacio, lo que garantiza que cualquier combinación lineal de bivectores siempre pueda reducirse a un único producto exterior de dos vectores.

Un bivector se llama simple si puede expresarse como el producto exterior ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$) de solo dos vectores.

1. En dos dimensiones ($\mathbb{R}^2$)

El espacio de bivectores ($\Lambda^2 \mathbb{R}^2$) tiene solo una dimensión.

La base canónica de bivectores de $\mathbb{R}^2$ consiste en un solo elemento: el bivector unitario $\mathbf{e}_{12} = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$.
Como todos los bivectores en $\mathbb{R}^2$ son múltiplos escalares de este único bivector base ($\mathbf{A} = x \mathbf{e}_{12}$), y este elemento base es un producto exterior de dos vectores ortogonales, por definición todos los bivectores en $\mathbb{R}^2$ son simples.

2. En tres dimensiones ($\mathbb{R}^3$)

El espacio de bivectores ($\Lambda^2 \mathbb{R}^3$) tiene tres dimensiones. Los bivectores base son $\mathbf{e}_{23}$, $\mathbf{e}_{31}$ y $\mathbf{e}_{12}$.

Aunque se pueden sumar bivectores, la suma de dos o más bivectores simples en $\mathbb{R}^3$ siempre resulta en otro bivector simple, ya que se cumplen dos condiciones geométricas y algebraicas importantes:

Factor Común Geométrico: En $\mathbb{R}^3$, dados dos bivectores simples distintos de cero ($\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$), siempre es posible encontrar un vector ($\mathbf{a}$) que está contenido en ambos planos (o bivectores), lo que permite expresar su suma como un único producto exterior. Es decir, si $\mathbf{B} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ y $\mathbf{C} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{c}$, entonces su suma es $\mathbf{B} + \mathbf{C} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} + \mathbf{c})$, lo que demuestra que la suma es, a su vez, simple.
- Nota: Esta propiedad de que debe existir un vector paralelo a ambos bivectores solo se verifica en tres dimensiones.
Restricción Algebraica: El producto exterior de dos bivectores en tres dimensiones es cero. Esto está relacionado con un criterio de simplicidad general: un bivector es simple si su cuadrado exterior consigo mismo es cero ($\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} = 0$). Para $n=3$ y grado $p=2$, las relaciones que definen la simplicidad (relaciones de Plücker) son triviales, lo que implica que toda funcional antisimétrica es un bivector.

En contraste, en cuatro o más dimensiones ($\mathbb{R}^4$), esta condición geométrica y algebraica no se mantiene, y es posible sumar dos bivectores simples que no comparten un vector común, resultando en un bivector no simple.

Estamos en $\mathbb{R}^5$ Explícame como sumaría dos bivectores que no tuvieran vector común

Su pregunta toca el punto clave de por qué el concepto de bivector se vuelve más complejo en dimensiones superiores a tres, como en $\mathbb{R}^5$.

En $\mathbb{R}^5$, la suma de dos bivectores que no comparten un vector común se realiza mediante la suma lineal de sus componentes sobre la base de bivectores, dando como resultado un bivector no simple (o de rango 2).

A continuación, se explica el proceso y las implicaciones:

1. Contexto en $\mathbb{R}^5$ (Dimensionalidad)

En $\mathbb{R}^3$ (tres dimensiones), cualquier par de planos que se intersectan deben compartir una línea (y por lo tanto un vector), lo que garantiza que la suma de dos bivectores sea siempre un bivector simple. Esto se debe a que el espacio de los bivectores en $\mathbb{R}^3$ es de dimensión 3.

Sin embargo, en cinco dimensiones ($\mathbb{R}^5$), el espacio de los bivectores ($\Lambda^2 \mathbb{R}^5$) es de diez dimensiones (calculado como $\binom{5}{2} = 10$). En $\mathbb{R}^5$, un bivector general puede ser la suma de hasta dos bivectores simples (o blades).

La clave es que, en $\mathbb{R}^5$, los dos planos orientados definidos por los bivectores pueden ser completamente ortogonales y disjuntos (es decir, solo se intersecan en el origen, y por lo tanto, no comparten un vector común no nulo).

2. El Proceso de Suma de Bivectores sin Vector Común

Para ilustrar cómo se suman dos bivectores ($\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$) cuyos planos generadores no tienen un vector común, utilizamos la base canónica de $\mathbb{R}^5$: ${\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4, \mathbf{e}_5}$.

La suma se realiza simplemente como una adición de elementos en un espacio vectorial.

Paso 1: Definir los bivectores simples (blades)

Elegimos dos bivectores simples $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ generados por vectores completamente ortogonales, asegurando que sus planos no se crucen más allá del origen.

$\mathbf{A}$ es generado por el plano $\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2$: $$\mathbf{A} = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_{12}$$
$\mathbf{B}$ es generado por el plano $\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4$: $$\mathbf{B} = \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_{34}$$

Dado que los vectores ${\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2}$ y ${\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4}$ son linealmente independientes y mutuamente ortogonales, no existe un vector no nulo que pertenezca a ambos planos, cumpliendo su condición de "no tener vector común".

Paso 2: Realizar la suma lineal

La suma de estos bivectores es directa, ya que están definidos sobre elementos de base distintos del espacio $\Lambda^2 \mathbb{R}^5$: $$\mathbf{S} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34}$$

3. El Resultado: Un Bivector No Simple

El resultado $\mathbf{S}$ es un bivector no simple.

No Simple: Un bivector no simple es aquel que no puede expresarse como el producto exterior de solo dos vectores.
Significado Geométrico: Si bien un bivector simple se interpreta geométricamente como una única área de plano orientada, un bivector no simple, como $\mathbf{S} = \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34}$, no puede representarse geométricamente mediante un área de plano orientada única. En cambio, representa una entidad geométrica de orden superior (un elemento de rango 2) que es la suma de dos elementos planos ortogonales e independientes.

Este proceso de suma es la forma estándar de combinar bivectores, ya que el espacio de los bivectores $\Lambda^2 \mathbb{R}^n$ es un subespacio lineal del Álgebra Geométrica. En $\mathbb{R}^5$, la suma de dos bivectores simples siempre se puede expresar como la suma de, a lo sumo, dos bivectores simples ortogonales.

Analogía: Sumar dos bivectores sin vector común en $\mathbb{R}^5$ es como querer sumar el área de un cuadrado ($A$) en el plano $XY$ con el área de un cuadrado ($B$) en el plano $ZW$ (los cuales son perpendiculares y solo se tocan en el origen) para obtener una única "área plana" equivalente. La suma $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ es posible y es un objeto matemático válido (un bivector), pero geométricamente, este objeto resultante $\mathbf{S}$ no puede ser visualizado como una sola hoja de papel orientada; es una entidad más compleja que habita los dos planos simultáneamente.

Escribe explícitamente una base de bivectores en $\mathbb{R}^5$

Dame un ejemplo de bivector de $\mathbb{R}^5$ expresado en una base concreta que te inventes del espacio vectorial de los bivectores de $\mathbb{R}^5$

Su consulta se centra en la estructura del espacio de bivectores ($\Lambda^2 \mathbb{R}^5$) en cinco dimensiones, un tema que resalta la complejidad que surge cuando la dimensión del espacio vectorial es superior a tres.

Aquí tiene la explicación detallada de la base canónica y un ejemplo de bivector en $\mathbb{R}^5$.

1. Base Explícita de Bivectores en $\mathbb{R}^5$

El espacio vectorial de los bivectores sobre $\mathbb{R}^n$, denotado como $\Lambda^2 \mathbb{R}^n$, tiene una dimensión que se calcula mediante el coeficiente binomial $\binom{n}{2}$.

Para el espacio $\mathbb{R}^5$, donde $n=5$, la dimensión del espacio de bivectores es: $$\dim (\Lambda^2 \mathbb{R}^5) = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10$$

Esto significa que la base de bivectores canónica en $\mathbb{R}^5$ consta de 10 elementos.

Si definimos la base ortonormal canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^5$ como ${\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4, \mathbf{e}_5}$, la base del espacio de bivectores se genera a partir de todos los productos exteriores posibles $\mathbf{e}_i \wedge \mathbf{e}_j$ (o $\mathbf{e}_{ij}$ por convención de notación corta), tomando solo aquellos donde $i < j$.

La base canónica explícita de $\Lambda^2 \mathbb{R}^5$ es:

Índice $i$	Índice $j$	Elemento Base	Notación corta
1	2	$\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$	$\mathbf{e}_{12}$
1	3	$\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_3$	$\mathbf{e}_{13}$
1	4	$\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_4$	$\mathbf{e}_{14}$
1	5	$\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_5$	$\mathbf{e}_{15}$
2	3	$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3$	$\mathbf{e}_{23}$
2	4	$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_4$	$\mathbf{e}_{24}$
2	5	$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_5$	$\mathbf{e}_{25}$
3	4	$\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4$	$\mathbf{e}_{34}$
3	5	$\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_5$	$\mathbf{e}_{35}$
4	5	$\mathbf{e}_4 \wedge \mathbf{e}_5$	$\mathbf{e}_{45}$

El conjunto de estos 10 bivectores unitarios forma una base de $\Lambda^2 \mathbb{R}^5$. Cualquier bivector general en $\mathbb{R}^5$ puede expresarse como una combinación lineal de estos 10 elementos.

2. Ejemplo de Bivector de $\mathbb{R}^5$

Un bivector general $\mathbf{A}$ en $\mathbb{R}^5$ es la suma de los 10 componentes escalares ($a_{ij}$) multiplicados por los 10 elementos de la base $\mathbf{e}_{ij}$.

Base Inventada (Base Canónica Ligeramente Reordenada): Utilizaremos la base canónica anterior, pero denotaremos sus elementos de forma arbitraria para satisfacer la solicitud de una "base concreta inventada" del espacio vectorial de bivectores:

$$B = {\mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \ldots, \mathbf{B}_{10}}$$

donde: $\mathbf{B}_1 = \mathbf{e}_{12}$ (plano 1-2) $\mathbf{B}_2 = \mathbf{e}_{34}$ (plano 3-4) $\mathbf{B}_3 = \mathbf{e}_{13}$ (plano 1-3) $\mathbf{B}_4 = \mathbf{e}_{25}$ (plano 2-5) $\mathbf{B}_5 = \mathbf{e}_{14}$ (plano 1-4) $\ldots$ y así sucesivamente, con los 10 elementos.

Ejemplo de Bivector $\mathbf{A}$ en esta base:

Elegiremos coeficientes arbitrarios para expresar un bivector general $\mathbf{A}$. Este bivector será la suma de, a lo sumo, dos bivectores simples (ya que $n=5$ es impar, el número máximo de bivectores simples necesarios es $(n-1)/2 = (5-1)/2 = 2$).

Sea el bivector $\mathbf{A}$ expresado como: $$\mathbf{A} = 7 \mathbf{B}_1 + 5 \mathbf{B}_2 - 3 \mathbf{B}_3 + 0 \mathbf{B}_4 + 0 \mathbf{B}_5 + \ldots$$

Sustituyendo por los elementos de la base canónica:

$$\mathbf{A} = 7 (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + 5 (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4) - 3 (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_3)$$

Este bivector $\mathbf{A}$ es un ejemplo de un bivector no simple (o un bivector de rango 2) en $\mathbb{R}^5$, ya que es la suma de tres bivectores simples, y en general no puede escribirse como el producto exterior de solo dos vectores. Geométricamente, $\mathbf{A}$ no representa un único plano orientado, sino una combinación de áreas orientadas en los diferentes planos 1-2, 3-4 y 1-3.

Dimensión de $\mathcal{T}^3 \wedge \mathcal{T}^3$ en $\mathbb{R}^3$

Esta es una pregunta excelente que toca el corazón de la Álgebra Exterior y su aplicación en la Geometría Tridimensional. La respuesta de su tarjeta didáctica es correcta: la dimensión del espacio de bivectores en un espacio vectorial de dimensión 3 es 3.

El espacio de bivectores en un espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ (o $\mathcal{T}^n$) se denota formalmente como $\Lambda^2 \mathbb{R}^n$.

Aquí encontrará una explicación detallada del tema:

1. Cálculo de la Dimensión

La dimensión del espacio de $k$-vectores, $\Lambda^k \mathbb{R}^n$, se calcula mediante el coeficiente binomial:

$$\dim (\Lambda^k \mathbb{R}^n) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \tag{111, 299}$$

En el caso de un espacio vectorial tridimensional ($\mathbb{R}^3$), la dimensión es $n=3$. Un bivector es un 2-vector, por lo que $k=2$. Aplicando la fórmula:

$$\dim (\Lambda^2 \mathbb{R}^3) = \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \tag{111, 112}$$

Por lo tanto, el espacio de bivectores en $\mathbb{R}^3$ es un espacio lineal tridimensional.

2. La Base Canónica de Bivectores

Dado que el espacio tiene dimensión 3, su base consta de tres elementos. Si consideramos la base ortonormal canónica de $\mathbb{R}^3$ como ${\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3}$, la base de los bivectores se forma a partir de todos los productos exteriores de pares de vectores diferentes, ordenados por índices crecientes para evitar repeticiones y signos negativos:

Los tres bivectores unitarios que forman la base de $\Lambda^2 \mathbb{R}^3$ son:

$\mathbf{e}_{12} = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$ (Bivector en el plano $xy$)
$\mathbf{e}_{23} = \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3$ (Bivector en el plano $yz$)
$\mathbf{e}_{31} = \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1$ (Bivector en el plano $xz$)

Cualquier bivector general $\mathbf{A}$ en $\mathbb{R}^3$ es una combinación lineal de estos tres elementos:

$$\mathbf{A} = A_{12} \mathbf{e}_{12} + A_{23} \mathbf{e}_{23} + A_{31} \mathbf{e}_{31} \tag{13}$$

Los componentes de un bivector general son los coeficientes que multiplican a estos elementos base.

3. Conexión Geométrica Clave en 3D

La razón por la que este resultado es tan significativo es que, al tener un espacio de bivectores de dimensión 3, coincide en dimensión con el espacio de vectores $\mathbb{R}^3$ (que también es de dimensión 3). Esto permite una correspondencia uno a uno entre bivectores y vectores en $\mathbb{R}^3$.

Bivector (Área Orientada): Representa un área orientada en un plano específico.
Vector Axial (Pseudovector): Un vector axial (o pseudovector) es un vector perpendicular al bivector (plano orientado).

Esta correspondencia se formaliza a través del Dual de Hodge. El producto vectorial ($\mathbf{a} \times \mathbf{b}$), familiar en la geometría vectorial tradicional, es de hecho el dual del bivector ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$) en tres dimensiones.

$$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = I (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{54}$$

Donde $I$ es el trivector unitario o pseudoescalar de $\mathbb{R}^3$ ($\mathbf{e}_{123}$).

Debido a esta dualidad, los bivectores en $\mathbb{R}^3$ a veces se identifican con los vectores axiales.

4. Propiedad de Simplicidad

En $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^2$, todos los bivectores tienen otra propiedad crucial: todos son simples. Esto significa que cualquier bivector en 3D (aunque esté expresado como una combinación lineal de las tres bases, como en la sección 2) puede escribirse como el producto exterior de solo dos vectores ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$).

Además, es importante notar que el producto exterior de dos bivectores en tres dimensiones es cero. Esta es una condición importante que garantiza que todos los bivectores en 3D sean simples.

En resumen, el hecho de que la dimensión sea 3 significa que, en $\mathbb{R}^3$, podemos pensar en áreas orientadas (bivectores) de forma análoga a cómo pensamos en segmentos dirigidos (vectores), ya que ambos espacios son tridimensionales y existe un mapeo directo (dualidad) entre ellos, lo que no ocurre en dimensiones superiores.

Explica brevemente la relación entre el producto "cuchilla" o "cuña" y el producto vectorial de toda la vida, también se lo llama producto cruz. En realidad están el producto geométrico, el producto interno, el producto externo o exterior, el producto punto o producto escalar de toda la vida ... A ver si me aclaras todo este lío

Este es un excelente tema que aborda la diferencia fundamental entre el Álgebra Vectorial tradicional (Gibbs-Heaviside) y el Álgebra Geométrica (ÁG), que es el marco conceptual que unifica todos estos productos.

La confusión es natural porque el producto vectorial (o producto cruz) es una construcción que solo funciona en tres dimensiones, mientras que el producto exterior (o producto cuña) es la generalización que funciona en cualquier dimensión $n$, y que el Álgebra Geométrica define como fundamental.

Aquí le aclaro este "lío" al desglosar las relaciones entre los productos principales a partir de sus fuentes:

1. El Fundamento: El Producto Geométrico

El Producto Geométrico (representado por yuxtaposición, $\mathbf{ab}$) es la operación fundamental en el Álgebra Geométrica que unifica la multiplicación de vectores.

El producto geométrico de dos vectores, $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, se descompone invariablemente en dos partes: una parte simétrica (el producto interior) y una parte antisimétrica (el producto exterior).

$$\mathbf{ab} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \quad \text{}$$

2. El Producto Interior (Producto Escalar o Producto Punto)

El Producto Interior ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$) es la parte simétrica del producto geométrico.

Identidad: El producto interior en el Álgebra Geométrica es idéntico al producto escalar o producto punto tradicional ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$).
Resultado: Siempre produce un escalar (un número real).
Interpretación Geométrica: Mide el grado de paralelismo entre los vectores. Su valor es igual al producto de las normas de los vectores por el coseno del ángulo ($\theta$) que forman. Si $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$, los vectores son ortogonales (perpendiculares).

3. El Producto Exterior (Producto Cuchilla o Cuña)

El Producto Exterior ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$), o producto cuña, es la parte antisimétrica del producto geométrico.

Resultado: Genera un bivector (o 2-vector). Un bivector simple es un ejemplo de una $k$-cuchilla ($k$-blade).
Interpretación Geométrica: Representa un sector plano orientado. Su magnitud es igual al área del paralelogramo con lados $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$. Su orientación está dada por el sentido de rotación que alinearía $\mathbf{a}$ con $\mathbf{b}$.
Propiedades: Es anticonmutativo ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = - \mathbf{b} \wedge \mathbf{a}$) y asociativo. Es un criterio de paralelismo; si $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = 0$, los vectores son paralelos.
Generalidad: El producto exterior es la herramienta que se generaliza a cualquier número de dimensiones ($n$), donde puede generar $k$-vectores (superficies, volúmenes, hipervolúmenes orientados).

4. La Relación Fundamental en $\mathbb{R}^3$: Producto Exterior vs. Producto Vectorial

El Producto Vectorial o Producto Cruz ($\mathbf{a} \times \mathbf{b}$) es un objeto que existe en el Álgebra Vectorial clásica de Gibbs-Heaviside. Es un producto artificialmente limitado que solo funciona en tres dimensiones.

La relación entre ambos productos en $\mathbb{R}^3$ es de dualidad, definida por el Dual de Hodge.

Naturaleza del Resultado:
- El producto exterior $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ produce un bivector (área orientada).
- El producto vectorial $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ produce un vector. Este vector es perpendicular al plano definido por $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.
La Correspondencia (Dualidad de Hodge):
- En $\mathbb{R}^3$, el bivector $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ y el vector $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ representan la misma entidad geométrica (el área orientada), pero usando diferentes grados de representación.
- El vector $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ es el dual del bivector $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$. Esta dualidad se establece formalmente multiplicando el bivector por el pseudoescalar unitario de $\mathbb{R}^3$, $I$ (el trivector unitario $\mathbf{e}_{123}$): $$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = I (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \quad \text{}$$
Ventaja del Producto Exterior: El Álgebra Geométrica utiliza el producto exterior porque su resultado, el bivector, representa el plano directamente, mientras que el producto vectorial tradicional lo representa de forma "artificial" mediante un vector axial (o pseudovector) perpendicular al plano. Esta representación dual es una coincidencia dimensional que solo ocurre en $\mathbb{R}^3$.

En resumen: El producto punto (escalar) es la parte simétrica (paralela) del producto geométrico. El producto cuña (exterior) es la parte antisimétrica (área orientada). El producto cruz (vectorial) es una simplificación específica de 3D, que es el dual (el perpendicular) del producto cuña, un objeto menos fundamental que no se generaliza a otras dimensiones.

Analogía Final:

Piense en el Producto Geométrico como un contrato completo entre dos vectores, que incluye todos los aspectos de su relación. Este contrato tiene dos cláusulas:

Cláusula Simétrica (Producto Punto/Escalar): Esta cláusula cuantifica cuánto se alinean los vectores (su paralelismo). El resultado es un número simple.
Cláusula Antisimétrica (Producto Cuña/Exterior): Esta cláusula cuantifica el área y la orientación que los vectores definen. El resultado es un bivector (un objeto plano orientado, válido en cualquier dimensión).

El Producto Cruz es como una nota de oficina que solo existe en 3D: en lugar de mostrar la hoja de papel (el bivector), le asigna a esa hoja un lápiz que apunta perpendicularmente fuera de ella (el vector dual), indicando su orientación y área, una solución cómoda pero conceptualmente menos general que solo funciona en el espacio tridimensional.

Escribe las fórmulas que definen estos productos en función del producto geométrico

Su consulta se centra en las definiciones fundamentales del Álgebra Geométrica (ÁG), que utiliza el producto geométrico ($\mathbf{ab}$) para definir y unificar las otras operaciones vectoriales.

La fórmula clave para la multiplicación de dos vectores ($\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$) es la descomposición del producto geométrico en su parte simétrica y su parte antisimétrica.

Aquí se presentan las fórmulas que definen el producto interior (escalar/punto) y el producto exterior (cuña) en función del producto geométrico de dos vectores:

1. Producto Geométrico (General)

El producto geométrico de dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ es la suma de su producto interior (parte simétrica) y su producto exterior (parte antisimétrica).

$$\mathbf{ab} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \quad \text{}$$

2. Producto Interior (Producto Escalar o Producto Punto)

El producto interior ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$) se define como la parte simétrica del producto geométrico. El resultado de esta operación es siempre un escalar (un número real).

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) \quad \text{}$$

Propiedad: El producto interior es simétrico ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$).
Interpretación: Mide el grado de paralelismo entre los vectores.

3. Producto Exterior (Producto Cuchilla o Producto Cuña)

El producto exterior ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$) se define como la parte antisimétrica del producto geométrico. El resultado de esta operación es un bivector.

$$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) \quad \text{}$$

Propiedad: El producto exterior es antisimétrico ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = - \mathbf{b} \wedge \mathbf{a}$).
Interpretación: Representa una superficie orientada (área del paralelogramo formado por $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$).

4. Relación con el Producto Vectorial (Producto Cruz)

El producto vectorial o producto cruz ($\mathbf{a} \times \mathbf{b}$), que se utiliza en el Álgebra Vectorial de Gibbs-Heaviside, no se define directamente como una parte del producto geométrico. En su lugar, es el dual del producto exterior, una relación que solo se sostiene en el espacio tridimensional ($\mathbb{R}^3$).

La fórmula que relaciona el producto exterior con el producto vectorial en $\mathbb{R}^3$ se expresa mediante el Dual de Hodge ($*$) o mediante el pseudoescalar unitario ($I$ o $i$):

$$*(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} \quad \text{}$$

Alternativamente, usando el pseudoescalar unitario ($\mathbf{I}$ o $i$):

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{i}(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \quad \text{}$$ (Donde $\mathbf{i}$ es la unidad pseudoescalar del álgebra, también denotado como $I$).

Esta distinción es fundamental: mientras que el producto exterior es la generalización válida en cualquier dimensión, el producto vectorial es un objeto que representa el área orientada por medio de un vector perpendicular a ella (pseudovector).

¿Qué se define antes $abc$ o $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$ ? ¿ A partir de cuál de ellos se define el otro? Sin embargo tal cosa como $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$ no tiene sentido ¿O sí lo tiene?

Su consulta profundiza en la jerarquía y la naturaleza de los productos en el contexto del Álgebra Geométrica (ÁG), que es donde todos estos operadores se unifican.

La respuesta corta a su primera pregunta es que el producto geométrico $abc$ se define a nivel axiomático, y el producto exterior $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$ se define a partir de él.

A continuación, se detalla la explicación para clarificar esta relación y el problema con el triple producto punto:

1. El Orden de Definición: $abc$ vs. $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$

En el Álgebra Geométrica, el concepto más fundamental que se establece mediante axiomas es el producto geométrico (o producto de Clifford), denotado por la simple yuxtaposición, como $\mathbf{ab}$ o $\mathbf{abc}$.

A. Definición Axiomática del Producto Geométrico ($abc$)

Axioma Fundamental: El Álgebra Geométrica se construye alrededor del producto geométrico. Uno de los axiomas esenciales de este producto es la asociatividad.
Implicación: Dado que el producto geométrico es asociativo, el producto de tres vectores, $\mathbf{abc}$, es inherentemente bien definido y no requiere paréntesis: $(\mathbf{ab})\mathbf{c} = \mathbf{a}(\mathbf{bc}) = \mathbf{abc}$.

B. Definición Derivada del Producto Exterior ($\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$)

El producto exterior (o producto cuña, $\wedge$) se define a partir de la descomposición del producto geométrico entre dos vectores:

$$\mathbf{ab} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$$

El producto exterior $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$ (el trivector) surge como la parte de grado superior del producto geométrico de tres vectores, $\mathbf{abc}$.

Al calcular el producto geométrico de tres vectores, $\mathbf{abc}$, este se descompone en una parte vectorial y una parte trivectorial.

$$\mathbf{abc} = \underbrace{(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} + \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c})}{\text{Parte Vectorial}} + \underbrace{\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}}{\text{Parte Trivectorial (Grado 3)}} \tag{72}$$

Por lo tanto:

¿Qué se define antes? El producto geométrico $\mathbf{abc}$ es la operación fundamental, definida por sus axiomas, incluyendo la asociatividad (P5).
¿A partir de cuál se define el otro? El producto exterior $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$ se define a partir de la descomposición del producto geométrico $\mathbf{abc}$, y específicamente como su parte trivectorial (grado 3). Además, la propiedad de que el producto exterior es asociativo, $\mathbf{a}\wedge(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})\wedge\mathbf{c}$, también es una propiedad que se puede demostrar a partir del producto geométrico.

El trivector $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}$ representa el volumen orientado del paralelepípedo cuyas aristas son $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ y $\mathbf{c}$.

2. ¿Tiene Sentido $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$?

En el contexto del Álgebra Geométrica y el álgebra vectorial tradicional, el producto $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$ no tiene sentido o se considera una expresión inválida, dependiendo de la convención de notación.

La razón es la siguiente:

Producto Interior Resulta en un Escalar: El producto interior (producto punto) de dos vectores, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$, está definido como la parte simétrica del producto geométrico. El resultado de $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ es siempre un escalar (un número real, como $\lambda$).
Operación Indefinida: Si se intenta calcular $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$ asociativamente, primero se calcula $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}) = \lambda$.
Invalidez: El siguiente paso sería $\lambda \cdot \mathbf{c}$. El producto interior (o producto punto) está definido para operar entre dos vectores. No existe una definición estándar para aplicar el operador de producto punto entre un escalar ($\lambda$) y un vector ($\mathbf{c}$).

Por lo tanto, la expresión $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$ no está definida en la matemática de tensores.

Nota sobre el Triple Producto Escalar (Producto Mixto)

Es importante no confundir $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$ con el triple producto escalar o producto mixto (que sí tiene sentido).

En el álgebra vectorial tradicional, el triple producto escalar se escribe como $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$.

En el Álgebra Geométrica, esta operación es el trivector $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}$ multiplicado por la unidad pseudoescalar $I$ (el dual). Este producto mixto es un escalar con signo que representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.

Proporcióname un listado de los axiomas que permiten definir el producto geométrico

El Álgebra Geométrica (ÁG), también conocida como Álgebra de Clifford, se fundamenta en el producto geométrico (o producto de Clifford), el cual se define de forma implícita mediante un conjunto de axiomas que extienden las reglas de la suma y multiplicación de vectores y escalares.

A continuación, se presenta un listado de los axiomas que permiten definir la estructura del producto geométrico $(\mathbf{AB})$ para dos multivectores $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$, basándose en las fuentes:

Axiomas Fundamentales del Producto Geométrico

Asociatividad (Axioma 1 / P5): El producto geométrico de elementos del álgebra $\mathcal{G}$ es asociativo. Esto significa que, para cualesquiera tres elementos $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ del álgebra, no es necesario especificar la posición de los paréntesis: $$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C} \quad \text{}$$
Distributividad (Axioma 2 / P3 y P4): El producto geométrico es distributivo respecto a la suma, tanto por la izquierda como por la derecha: $$\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}$$ $$(\mathbf{B} + \mathbf{C})\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{A} + \mathbf{C}\mathbf{A} \quad \text{}$$
Conmutatividad con Escalares (Axioma 3 / P7): Los escalares ($\alpha$), que son siempre números reales en el álgebra geométrica, conmutan con cualquier elemento ($\mathbf{A}$) del álgebra $\mathcal{G}$: $$\alpha \mathbf{A} = \mathbf{A} \alpha \quad \text{}$$
Elemento Neutro (Axioma 4): El número real 1 es el elemento neutro del producto geométrico. Para cualquier $\mathbf{A}$ perteneciente al álgebra $\mathcal{G}$: $$1 \mathbf{A} = \mathbf{A} 1 = \mathbf{A} \quad \text{}$$
Axioma de Contracción (Axioma 5 / P1): El cuadrado geométrico de cualquier vector ($\mathbf{a}$) diferente de $0$ es siempre un escalar (un número real). Además, en los espacios de métrica euclídea (donde los vectores tienen cuadrado positivo), este cuadrado es igual al cuadrado de su magnitud o norma: $$\mathbf{a}^2 = Q(\mathbf{a}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 \in \mathbb{R} \quad \text{}$$ Nota: Para métricas euclídeas, se exige el Axioma 5b, que establece que el cuadrado de cualquier vector diferente de $0$ es siempre positivo ($\mathbf{a}^2 > 0$).

A partir de estos axiomas, se deducen propiedades cruciales que definen el comportamiento de los vectores:

Ortogonalidad y Anticonmutatividad (P2): Si dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son ortogonales (su producto interior es cero, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$), su producto geométrico es anticommutativo. Esta propiedad define el bivector $\mathbf{B} = \mathbf{ab}$: $$\mathbf{ab} = -\mathbf{ba} \quad \text{}$$

El producto geométrico de dos vectores, $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, se descompone precisamente en función de su parte simétrica y antisimétrica, que son el producto interior (o escalar) y el producto exterior (o cuña), respectivamente:

$$\mathbf{a}\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a}) + \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \quad \text{}$$

Estoy revisando tarjetas didácticas basadas en las fuentes y me gustaría entender mejor una de ellas.

En el anverso pone: "La ecuación vectorial paramétrica de un plano que pasa por $M_0$ y tiene un bivector director $\mathbf{a} = \mathbf{e} \wedge \mathbf{b}$ es $\mathbf{r} = ¿? $."

La respuesta del anverso es: "$\mathbf{r}_0 + u\mathbf{e} + v\mathbf{b}$" ¿Podrías explicarme este tema más detalladamente?

Su tarjeta didáctica aborda la representación de un plano en el contexto de la Geometría Afín y el Álgebra Exterior (o Álgebra Geométrica), donde el concepto de bivector director juega un papel central.

La respuesta proporcionada ($\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + u\mathbf{e} + v\mathbf{b}$) es la ecuación paramétrica vectorial estándar para un plano.

Aquí tiene una explicación detallada de por qué esta es la forma correcta y cómo se relaciona con el bivector director.

1. El Bivector como Director del Plano

En el estudio de los espacios afines ($\mathcal{J}$), un plano de dimensión $p$ se define en relación con un $p$-vector director ($\mathbf{A}$) no nulo, que pertenece al espacio exterior ($\Lambda^p(\mathcal{T})$) del espacio vectorial asociado ($\mathcal{T}$).

En este caso, el plano es de dimensión $p=2$ y su dirección está definida por el bivector $\mathbf{A} = \mathbf{e} \wedge \mathbf{b}$.

Bivector Simple: Dado que el bivector $\mathbf{A}$ es un producto exterior de dos vectores ($\mathbf{e}$ y $\mathbf{b}$), se trata de un bivector simple o 2-blade. Un bivector simple representa una superficie orientada y, lo más importante, define el plano que abarca a los vectores $\mathbf{e}$ y $\mathbf{b}$.
Paralelismo: Se dice que un plano es paralelo al $p$-vector $\mathbf{A}$.

2. La Condición Geométrica

El plano que pasa por el punto $M_0$ y es paralelo al bivector $\mathbf{A}$ es el conjunto de todos los puntos $M$.

Sea $\mathbf{r}_0$ el vector de posición del punto fijo $M_0$.
Sea $\mathbf{r}$ el vector de posición de un punto genérico $M$ en el plano.

La condición geométrica para que un punto $M$ esté en el plano es que el vector de desplazamiento desde $M_0$ hasta $M$, $\vec{M_0M} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_0$, debe ser paralelo al $p$-vector director $\mathbf{A}$.

Cuando $\mathbf{A}$ es un bivector simple, $\mathbf{A} = \mathbf{e} \wedge \mathbf{b}$, esto significa que el vector $\mathbf{r} - \mathbf{r}_0$ debe ser una combinación lineal de los vectores $\mathbf{e}$ y $\mathbf{b}$.

3. La Ecuación Vectorial Paramétrica

La condición de que el vector $\vec{M_0M} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_0$ sea paralelo al bivector $\mathbf{A} = \mathbf{e} \wedge \mathbf{b}$ se traduce directamente en la ecuación paramétrica vectorial del plano.

La ecuación define el conjunto de puntos $\mathbf{r}$ en el plano mediante:

$$\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + u\mathbf{e} + v\mathbf{b} \quad \text{}$$

Donde:

$\mathbf{r}$ es el vector de posición del punto $M$ en el plano.
$\mathbf{r}_0$ es el vector de posición del punto fijo $M_0$.
$\mathbf{e}$ y $\mathbf{b}$ son los vectores directores que definen la orientación del plano (los vectores que generan el bivector $\mathbf{A}$).
$u$ y $v$ son parámetros escalares (números reales cualesquiera) que permiten recorrer todo el plano al tomar diferentes valores.

Esta ecuación es equivalente a la condición de que el producto exterior de los tres vectores (el vector de desplazamiento y los dos vectores directores) sea nulo:

$$\mathbf{x} \wedge \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = 0 \quad \text{(Plano por el origen)}$$ $$(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) \wedge \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = 0 \quad \text{(Plano que pasa por } x_0)\quad \text{}$$ Esta última condición indica que los tres vectores son coplanares. La solución de esta condición es precisamente la ecuación paramétrica que usted identificó.

Resumen de la Geometría

El bivector $\mathbf{A}$ proporciona el subespacio lineal de dimensión 2 (el plano director), y $\mathbf{r}_0$ proporciona la traslación que permite que el plano pase por el punto deseado, $\mathbf{r}_0$. La geometría afín diferencia el espacio de puntos (el plano) del espacio vectorial subyacente (el bivector y sus vectores generadores).

Dime cómo se define el producto entre un vector y un bivector

El producto entre un vector ($\mathbf{a}$) y un bivector ($\mathbf{B}$) se define mediante la operación fundamental del Álgebra Geométrica (ÁG), conocida como producto geométrico.

A diferencia del producto geométrico de dos vectores (que da como resultado un escalar y un bivector), el producto geométrico de un vector y un bivector da como resultado una suma formal de dos multivectores homogéneos de grados diferentes.

La definición del producto $\mathbf{a}\mathbf{B}$ se descompone en:

$$\mathbf{a}\mathbf{B} = \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_1 + \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_3$$

Donde:

$\langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_1$ es la parte de grado 1 (un vector).
$\langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_3$ es la parte de grado 3 (un trivector).

Definición mediante la generalización de productos

La forma de definir este producto es generalizando las ideas de producto interior ($\cdot$) y producto exterior ($\wedge$) que se usan para multiplicar dos vectores.

La suma de estas dos partes define el producto geométrico del vector por el bivector:

$$\mathbf{a}\mathbf{B} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$$

Donde:

Producto Interior (Generalized, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{B}$): Se define como la parte vectorial (grado 1) del producto geométrico $\mathbf{a}\mathbf{B}$.
- Geométricamente, la parte vectorial (el producto interior) proviene de la parte del vector $\mathbf{a}$ que es paralela a la superficie orientada representada por el bivector $\mathbf{B}$. Esta operación está relacionada con la proyección del vector $\mathbf{a}$ sobre el plano definido por el bivector $\mathbf{B}$.
- Formalmente, la proyección de un vector $\mathbf{a}$ sobre un bivector simple unitario $\mathbf{B}$ se puede expresar utilizando este producto interior: $\mathbf{a}_{\parallel} = -(\mathbf{a} \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}$.
Producto Exterior (Generalized, $\mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$): Se define como la parte trivectorial (grado 3) del producto geométrico $\mathbf{a}\mathbf{B}$.
- Geométricamente, la parte trivectorial (el producto exterior) proviene de la parte del vector $\mathbf{a}$ que es perpendicular a la superficie orientada representada por el bivector $\mathbf{B}$. Esta operación está relacionada con la exclusión (o rechazo) del vector $\mathbf{a}$ del plano definido por el bivector $\mathbf{B}$.
- Formalmente, la exclusión de un vector $\mathbf{a}$ respecto a $\mathbf{B}$ se puede expresar: $\mathbf{a}_{\perp} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{B} / \mathbf{B}$.

Es importante notar que esta generalización del producto interior y exterior se aplica a cualquier tipo de multivectores homogéneos. La notación $\langle A \rangle_r$ se utiliza para el operador de proyección de grado.

En resumen, el producto entre un vector y un bivector es una suma de un vector y un trivector, donde el vector es el producto interior (paralelo) y el trivector es el producto exterior (perpendicular).

OTRA VERSIÓN

El producto entre un vector ($\mathbf{a}$) y un bivector ($\mathbf{B}$) se define fundamentalmente a través del Producto Geométrico ($\mathbf{a}\mathbf{B}$).

El producto geométrico de un vector (multivector de grado $j=1$) y un bivector (multivector de grado $k=2$) se descompone en la suma de dos partes que tienen grados diferentes: una parte vectorial y una parte trivectorial.

La relación se expresa mediante la identidad fundamental extendida:

$$\mathbf{a}\mathbf{B} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$$

Donde:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{B}$ es el producto interior (o producto punto generalizado).
$\mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$ es el producto exterior (o producto cuña generalizado).

A continuación, se detalla la naturaleza de los componentes del resultado:

1. Producto Interior ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{B}$): La Parte Vectorial (Grado 1)

El producto interior de un vector $\mathbf{a}$ y un bivector $\mathbf{B}$ se define como la parte vectorial (grado 1) del producto geométrico $\mathbf{a}\mathbf{B}$:

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} = \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_1$$

Grado resultante: El resultado es un vector (multivector homogéneo de grado 1).
Interpretación Geométrica: Esta parte vectorial proviene de la parte del vector $\mathbf{a}$ que es paralela a la superficie orientada representada por el bivector $\mathbf{B}$.

2. Producto Exterior ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$): La Parte Trivectorial (Grado 3)

El producto exterior de un vector $\mathbf{a}$ y un bivector $\mathbf{B}$ se define como la parte trivectorial (grado 3) del producto geométrico $\mathbf{a}\mathbf{B}$.

$$\mathbf{a} \wedge \mathbf{B} = \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_3$$

Grado resultante: El resultado es un trivector (multivector homogéneo de grado 3).
Interpretación Geométrica: Esta parte trivectorial proviene de la parte del vector $\mathbf{a}$ que es perpendicular a la superficie orientada representada por el bivector $\mathbf{B}$.

Resumen del Producto Geométrico

El producto geométrico de un vector y un bivector es, por lo tanto, un multivector de grado mixto que contiene la suma formal de un vector y un trivector:

$$\mathbf{a}\mathbf{B} = (\text{Vector}) + (\text{Trivector})$$

Esta suma de componentes de grados diferentes es la regla general que se aplica en Álgebra Geométrica para el producto de multivectores.

Explica cómo se define y cómo se realiza el producto geométrico, el producto interior y el producto exterior de un vector por un bivector

El producto entre un vector ($\mathbf{a}$, que es un 1-vector o multivector de grado $j=1$) y un bivector ($\mathbf{B}$, que es un 2-vector o multivector de grado $k=2$) se define y se realiza dentro del marco del Álgebra Geométrica ($\mathcal{G}^n$).

El producto fundamental que define a los otros dos es el Producto Geométrico.

1. Producto Geométrico ($\mathbf{a}\mathbf{B}$)

El producto geométrico de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{B}$ se obtiene como la suma formal de dos multivectores homogéneos que resultan ser de diferente grado.

El producto geométrico se descompone en su parte de grado inferior (el producto interior generalizado) y su parte de grado superior (el producto exterior generalizado):

$$\mathbf{a}\mathbf{B} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{B} \quad \text{}$$

¿Cómo se realiza? El resultado es un multivector de grado mixto que consta de un vector (grado 1) y un trivector (grado 3).

Cuando se multiplica un $j$-vector por un $k$-vector, los grados resultantes son, en general, $|k-j|$ (para el producto interior) y $j+k$ (para el producto exterior). Para un vector ($j=1$) y un bivector ($k=2$):

Grado del Producto Interior: $|2 - 1| = 1$ (Vector).
Grado del Producto Exterior: $1 + 2 = 3$ (Trivector).

Por lo tanto, la realización del producto geométrico $\mathbf{a}\mathbf{B}$ es la suma de estos dos grados: $$\mathbf{a}\mathbf{B} = \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_1 + \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_3$$

2. Producto Interior ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{B}$)

El producto interior (o contracción izquierda) entre un vector $\mathbf{a}$ y un bivector $\mathbf{B}$ se define como la parte del producto geométrico que tiene el grado inferior, es decir, el grado $k-j$.

Definición y Realización: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} = \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_1 \quad \text{}$$

Resultado: Un vector (multivector de grado 1).
Significado Geométrico: Si $\mathbf{B}$ es un blade (bivector simple), este producto representa la proyección de la parte de $\mathbf{a}$ que es paralela al subespacio definido por $\mathbf{B}$. El resultado $\mathbf{a} \cdot \mathbf{B}$ es un $(k-1)$-blade (un 1-vector o vector, en este caso) contenido en $\mathbf{B}$.

3. Producto Exterior ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$)

El producto exterior (o producto cuña) entre un vector $\mathbf{a}$ y un bivector $\mathbf{B}$ se define como la parte del producto geométrico que tiene el grado superior, es decir, el grado $j+k$.

Definición y Realización: $$\mathbf{a} \wedge \mathbf{B} = \langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_3 \quad \text{}$$

Resultado: Un trivector (multivector de grado 3).
Significado Geométrico: Si $\mathbf{a}$ no es coplanar con el plano definido por $\mathbf{B}$, el resultado $\mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$ representa el volumen orientado del paralelepípedo tridimensional generado por el vector $\mathbf{a}$ y el área plana definida por $\mathbf{B}$. Esta operación está relacionada con la parte del vector $\mathbf{a}$ que es perpendicular al plano $\mathbf{B}$. Si $\mathbf{a}$ está contenido en el plano $\mathbf{B}$ (es decir, es linealmente dependiente de los vectores que forman $\mathbf{B}$), el resultado es cero.

Producto	Definición Algebraica (en función de $\mathbf{a}\mathbf{B}$)	Grado Resultante	Nombre del Resultado
Geométrico ($\mathbf{a}\mathbf{B}$)	$\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$	Suma de Grado 1 y Grado 3	Multivector
Interior ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{B}$)	$\langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_1$	1 ($2-1$)	Vector
Exterior ($\mathbf{a} \wedge \mathbf{B}$)	$\langle \mathbf{a}\mathbf{B} \rangle_3$	3 ($1+2$)	Trivector

Aclaración sobre la Simplicidad:

Mientras que el producto geométrico de dos vectores ($\mathbf{u}\mathbf{v}$) siempre se define de forma simple como $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} + \mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$, cuando se trata de multivectores de grados superiores (como un vector por un bivector, $\mathbf{a}\mathbf{B}$), la operación se generaliza mediante las definiciones que extraen las partes de grado resultante, basándose en la descomposición del producto geométrico total de los multivectores.