Capítulo 9 de Camino a la Realidad

Descomposición de Fourier e Hiperfunciones. Texto alternativo escrito con NotebookLM

Sección 1 Series de Fourier

Las Series de Fourier son una herramienta fundamental en el análisis matemático y físico, originadas en el estudio de la difusión del calor por Joseph Fourier (1768-1830). Fourier fue el primero en creer con convicción que una función "arbitraria" podía representarse como una serie infinita de senos y cosenos, lo que inició la disciplina del Análisis de Fourier.

El concepto central es la descomposición de una función periódica en una suma de funciones trigonométricas simples (componentes sinusoidales o exponenciales complejas). Esta representación es más universal que las series de Taylor, ya que permite desarrollar incluso funciones periódicas discontinuas.

1. Definición y Fórmulas de Euler

Una serie de Fourier es un tipo particular de serie trigonométrica que representa una función periódica $f(\tau)$ (con periodo $2L$ o $2\pi$) como una suma de sus "armónicos".

1.1. Forma Estándar (Período $2\pi$)

Para una función $f(\tau)$ de período $2\pi$, su serie de Fourier se expresa formalmente como:

$$f(\tau) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(n\tau) + b_n \sin(n\tau))$$

Los coeficientes $\mathbf{a_n}$ y $\mathbf{b_n}$ (conocidos como coeficientes de Fourier) se determinan a partir de $f(\tau)$ mediante las Fórmulas de Euler:

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\tau) \cos(n\tau) d\tau$, para $n \geq 0$.
$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\tau) \sin(n\tau) d\tau$, para $n > 0$.

La base teórica para estas fórmulas radica en la ortogonalidad de las funciones $\cos(n x)$ y $\sin(n x)$ sobre el intervalo $[-\pi, \pi]$.

1.2. Forma Compleja

La serie de Fourier puede expresarse de manera más compacta en notación compleja utilizando la identidad de Euler ($e^{i n\tau} = \cos(n\tau) + i \sin(n\tau)$):

$$f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n\omega_0 t}$$

Para una función $f(t)$ de periodo $T=2\pi$ ($\omega_0=1$), los coeficientes complejos $c_n$ están dados por:

$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-i n t} dt, \quad \text{para } n \in \mathbb{Z}$$

Los coeficientes complejos $c_n$ se relacionan con los coeficientes reales mediante $c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$ y $c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$.

2. Convergencia y Condiciones de Dirichlet

El problema fundamental de las series de Fourier es determinar cuándo la serie converge y si su suma es igual a la función original $f(t)$.

2.1. Condiciones de Dirichlet

Para que una función $f(x)$ pueda ser desarrollada en una serie de Fourier, debe satisfacer las condiciones de Dirichlet:

La función $f(x)$ debe ser periódica.
Debe ser univaluada y continua a trozos (es decir, continua salvo en un número finito de puntos, donde presenta discontinuidades de salto).
Debe tener un número finito de máximos y mínimos locales.
La integral $\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)| dx$ debe ser convergente.

Si estas condiciones se cumplen, la serie de Fourier converge.

2.2. Convergencia Puntual

Si $f(\tau)$ es continua en un punto $\tau_0$, la serie de Fourier converge a $f(\tau_0)$.
Si $f(\tau)$ tiene una discontinuidad de salto en $\tau_0$, la serie converge al valor medio de los límites laterales, es decir, $\frac{f(\tau_0^+) + f(\tau_0^-)}{2}$.

Las series de Fourier, al estar formadas por una base de funciones continuas (senos y cosenos), manejan razonablemente bien las discontinuidades (a diferencia de las series de potencias), pero no pueden reproducirlas exactamente, sino que tienden al valor promedio en dicho punto.

3. Propiedades y Conceptos Relacionados

Simetría

Las propiedades de simetría de la función $f$ simplifican significativamente el cálculo de los coeficientes:

Si $f$ es una función par ($f(-t) = f(t)$), su serie de Fourier solo contendrá términos de coseno ($b_n=0$).
Si $f$ es una función impar ($f(-t) = -f(t)$), su serie de Fourier solo contendrá términos de seno ($a_n=0$).

Teorema de Parseval

Este teorema relaciona la energía de la función con la suma de los cuadrados de las amplitudes de sus componentes frecuenciales (coeficientes de Fourier):

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |f(t)|^2 dt$$.

Relación con la Variable Compleja

Las funciones holomorfas (analíticas complejas) tienen una importancia en relación con las series de Fourier, que son fundamentales para la teoría de vibraciones. Específicamente, una función $F(z)$ definida en el círculo unidad ($z=e^{i\chi}$) puede describirse mediante su serie de Laurent en términos de la variable compleja $z$, donde esta serie de Laurent es la descomposición de Fourier de $f(\chi)$.

Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier ($F[\phi]$) es la generalización de la serie de Fourier para funciones definidas en toda la recta real. Se puede considerar el límite de la serie de Fourier cuando el período $L$ tiende a infinito.

La serie de Fourier se utiliza para representar funciones periódicas.
La transformada de Fourier se utiliza para representar funciones no periódicas (con el requisito de que la función sea absolutamente integrable).

Ambas transformadas son herramientas analíticas esenciales para resolver ecuaciones diferenciales.

4. Aplicaciones

Las series de Fourier son una herramienta de gran importancia en la solución de problemas con valores en la frontera y en diversas áreas aplicadas:

Problemas de Contorno: Son esenciales para resolver problemas de contorno que aparecen al estudiar la conducción del calor, el potencial electrostático, y el flujo de fluidos.
Análisis de Señales: Permiten descomponer una señal temporal en sus componentes frecuenciales, lo que es clave para el filtrado, síntesis y reconocimiento de patrones en el contexto del audio y procesamiento de señales.
Geometría y Física: Se aplican en la teoría general de curvas y superficies, y son fundamentales para la teoría de vibraciones.

Sección 2 Funciones sobre un círculo

La noción de "Funciones sobre un Círculo" es fundamental en el análisis matemático, especialmente en el contexto del Análisis Complejo y el Análisis de Fourier. Se relaciona con la representación de funciones periódicas y el estudio de funciones holomorfas en dominios anulares.

1. Representación de Funciones Periódicas en el Círculo Unidad

La idea de una función sobre un círculo es una forma alternativa e interesante de considerar la descomposición de Fourier de una función periódica.

Conversión de Periodicidad a Geometría

Una función periódica de una variable real $\chi$ (con período $l$) se puede considerar como una función definida en un círculo.

Correspondencia de Periodo y Circunferencia: El período $l$ de la función es la longitud de la circunferencia del círculo, y la variable $\chi$ mide la distancia a lo largo de este. Al "enrollar" el eje real de $\chi$ en el círculo, la periodicidad se tiene en cuenta automáticamente.
El Círculo Unidad en el Plano Complejo: Por conveniencia, si el período $l$ se toma como $2\pi$, se puede considerar este círculo como el círculo unidad en el plano complejo, donde la relación es $\mathbf{z = e^{i\chi}}$ (tomando $\omega=1$). La circunferencia unitaria es el conjunto de números complejos ${z \in \mathbb{C} : |z| = 1}$.

Descomposición de Fourier como Serie de Laurent

Cuando una función periódica $f(\chi)$ se define en el círculo unidad como $F(z)$ (donde $z = e^{i\chi}$), su descomposición de Fourier se convierte simplemente en la descripción de dicha función como una serie de Laurent en términos de la variable compleja $z$.

Términos Armónicos: En el círculo unidad, las partes real e imaginaria de la función $\mathbf{z^n}$ aparecen como ondas $\cos$ y $\sin$, que son los $n$-ésimos armónicos de $e^{in\chi}$.
Convergencia: La convergencia de la serie de Fourier para $f(\chi)$ es exactamente la misma cuestión que la convergencia de la serie de Laurent para $F(z)$ cuando $z$ está sobre el círculo unidad. Para la convergencia, el círculo unidad debe estar estrictamente dentro del anillo de convergencia de la serie de Laurent.
Caso Discontinuo: Una función periódica, incluso una que es discontinua (como una onda cuadrada), puede representarse por una serie de Laurent de apariencia razonable definida en el círculo unidad. En este caso, el anillo de convergencia se contrae hasta el propio círculo unidad.

2. Funciones Geométricas y Transformaciones

Un círculo puede ser definido como una curva en el plano complejo, la cual es una aplicación continua $\gamma: [a, b] \to \mathbb{C}$.

Parametrización del Círculo Unidad: Un círculo de radio unitario con centro en el origen se describe paramétricamente mediante $\mathbf{z(t) = \cos t + i \sin t}$ o $\mathbf{z(t) = e^{it}}$, para $0 \leq t \leq 2\pi$. De manera análoga, la función $f = (\cos x, \sin x)$ representa la circunferencia de radio unidad.
Propiedad de la Circunferencia: Una circunferencia de radio $r$ y centro $(a, b)$ es la imagen $\Gamma$ de una curva cerrada $\gamma(t) = a + r e^{it}$ para $t \in [0, 2\pi]$.
Funciones Potencia: La transformación $w = f(z) = z^n$ mapea una circunferencia con centro en el origen y radio $r$ en otra circunferencia con centro en el origen y radio $r^n$.
Funciones Trigonométricas: La función exponencial ($\exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} - {0}$) mapea una recta vertical $L={z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) = a}$ en un círculo con centro en el origen y radio $e^a$.

3. Aplicaciones en Funciones Armónicas

Las funciones sobre un círculo son fundamentales para resolver el problema de Dirichlet en el disco.

Problema de Dirichlet en el Disco: El problema consiste en encontrar una función armónica $U(r, \theta)$ en el interior de un círculo ($r < r_0$) que quede determinada por los valores $F(\phi)$ que toma la función en la circunferencia del círculo ($r = r_0$).
Fórmula Integral de Poisson: La solución para este problema se expresa mediante la fórmula integral de Poisson, donde $U(r, \theta)$ se define a partir de una transformada integral lineal de $F(\phi)$, siendo $F(\phi) = U(r_0, \phi)$. El valor de la función armónica en el centro del círculo ($r=0$) es el promedio de los valores de $F(\phi)$ sobre la circunferencia.
Funciones de Bessel: Los coeficientes de la serie de Laurent de una función analítica en un dominio anular que contiene al círculo unidad están relacionados con las funciones de Bessel de primera especie $J_n(z)$, las cuales se definen como el $n$-ésimo coeficiente de Fourier de la función $e^{i \rho \sin \theta}$.

4. Integración y Residuos

La integración de una función $f(z)$ sobre una curva cerrada, como una circunferencia, está íntimamente ligada al concepto de residuo.

Residuo y el Coeficiente $\mathbf{c_{-1}}$: Si $f$ es una función analítica en un anillo perforado que contiene una circunferencia $\gamma_r$ de radio $r$ centrada en $z_0$, la integral de $f(z)$ a lo largo de $\gamma_r$ se relaciona con el coeficiente $c_{-1}$ (el residuo) de su serie de Laurent mediante: $$\int_{\gamma_r} f(z) dz = 2\pi i c_{-1}$$.
Residuo como Integral sobre un Círculo: El residuo de $f(z)$ en $z_0$ se define formalmente como $\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z) dz$, donde $C$ es un contorno cerrado simple (como un círculo) que encierra $z_0$. Este coeficiente $c_{-1}$ es el único que queda al calcular la integral a lo largo de la circunferencia.

Sección 3: Separación de Frecuencias sobre la esfera de Riemann

La Separación de Frecuencias sobre la Esfera de Riemann es un concepto avanzado en el Análisis de Fourier que utiliza la geometría de la Variable Compleja, específicamente la Esfera de Riemann ($\hat{\mathbb{C}}$ o $\mathbb{C}_\infty$), para proporcionar una definición rigurosa y geométrica de las componentes de "frecuencia positiva" y "frecuencia negativa" de una función.

Esta formulación geométrica es fundamental y tiene profundas conexiones con la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.

1. El Contexto: Series de Fourier y Series de Laurent

La base de esta separación comienza con las Series de Fourier para una función periódica $f(\chi)$, la cual, si se define sobre el círculo unidad en el plano complejo como $F(z)$ (donde $z = e^{i\chi}$), se convierte en una serie de Laurent en términos de la variable compleja $z$.

Una serie de Laurent se puede dividir en dos partes:

Parte de potencias no negativas ($F_+$): Términos que solo contienen potencias $z^n$ con $n \geq 0$. Esta parte converge para módulos de $z$ menores que un radio $A$.
Parte de potencias negativas ($F_-$): Términos que solo contienen potencias $z^n$ con $n < 0$. Esta parte converge para módulos de $z$ mayores que un radio $B$.

Siempre que $B < A$, estas dos regiones se solapan, creando el anillo de convergencia donde se define la función completa.

2. La Esfera de Riemann como Dominio

La Esfera de Riemann ($\hat{\mathbb{C}}$) es el plano complejo ampliado $\mathbb{C} \cup {\infty}$, que puede visualizarse geométricamente como una esfera en $\mathbb{R}^3$ mediante la proyección estereográfica.

La Esfera de Riemann utiliza dos cartas, la coordenada $z$ y la coordenada recíproca $w = 1/z$, que cubren la esfera.

El círculo unidad ($|z|=1$) se convierte en el ecuador de la esfera.
El anillo de convergencia de la serie de Laurent (donde $B < |z| < A$) se convierte en un "collar" alrededor del ecuador.
El hemisferio norte (cerca de $\infty$) corresponde al exterior del círculo unidad.
El hemisferio sur (cerca de $0$) corresponde al interior del círculo unidad.

3. Separación Basada en la Holomorficidad

La Separación de Frecuencias sobre la Esfera de Riemann se define entonces exigiendo que las dos partes de la serie de Laurent se extiendan holomórficamente a diferentes hemisferios:

Parte de Frecuencia Positiva ($F_+$): Se define como la parte que se extiende de forma holomorfa al hemisferio sur de la esfera de Riemann (incluyendo $z=0$).
Parte de Frecuencia Negativa ($F_-$): Se define como la parte que se extiende de forma holomorfa al hemisferio norte de la esfera de Riemann (incluyendo $z=\infty$).

Si se ignora el término constante (el cual es ambiguo), esta separación es determinada unívocamente por el requisito de holomorficidad para la extensión a uno u otro de los hemisferios.

4. Relevancia Física y Teórica

Esta distinción geométrica es crucial, especialmente en la teoría cuántica.

Teoría Cuántica de Campos (QFT): La separación en frecuencias positivas/negativas es un ingrediente esencial en la QFT.
Requisito Físico de Frecuencia Positiva: En la mecánica cuántica, una función de onda "decente" debe ser expresable como una combinación lineal de autoestados de energía con autovalores de energía positivos. La dependencia temporal de cualquier función de onda aceptable debe tener esta propiedad crucial de frecuencia positiva.
Conexión Matemática: Este requisito físico de frecuencia positiva se traduce, mediante la relación geométrica de la Esfera de Riemann, en la propiedad de que la función se extienda holomórficamente al hemisferio sur.

Generalización a la Transformada de Fourier

La separación geométrica mediante la Esfera de Riemann también se aplica a funciones no periódicas (el dominio de la Transformada de Fourier).

Cuando el periodo $l$ tiende a infinito, la serie de Fourier se convierte en la Transformada de Fourier. En la Esfera de Riemann, en este límite, el eje real (incluyendo el punto $\infty$) se convierte en un círculo (la "circunferencia real") que divide la esfera en dos hemisferios.
Una función (definida en la recta real) se dice de frecuencia positiva si se extiende de manera holomorfa al hemisferio exterior de este círculo real. En la representación estándar del plano complejo, este hemisferio exterior corresponde al semiplano inferior ($\operatorname{Im} z < 0$).

La separación de frecuencias sobre la esfera de Riemann es una noción más general y geométrica que la simple selección de componentes individuales de Fourier, ya que ciertas aplicaciones conformes de la esfera sobre sí misma (como las transformaciones bilineales o de Möbius) conservan esta separación de frecuencias positivas/negativas sin conservar las componentes de Fourier individuales.

Sección 4: La Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier (FT) es una herramienta matemática fundamental en el análisis de funciones y señales, cuyo origen se remonta al trabajo de Joseph B. Fourier (1768-1830) en conexión con un tratado sobre la propagación del calor. Se la considera una generalización de la representación en series de Fourier a funciones definidas en toda la recta real.

El propósito principal de la Transformada de Fourier es descomponer una señal temporal en sus componentes frecuenciales, permitiendo su análisis en el dominio de la frecuencia.

1. Definición y Propiedades Fundamentales

Una transformada integral lineal de una función $\phi(t)$ definida en $\mathbb{R}$ a valores complejos, denotada como $F\phi(t)$, se define generalmente mediante una integral impropia:

$$F\phi(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(\tau) e^{-i\zeta\tau} d\tau$$

Notaciones y Convenciones:

Existen posibles variaciones en la definición (por ejemplo, el uso de diferentes constantes multiplicativas o el signo del exponente).
- Una convención común en ingeniería es: $F(\omega) = F{f(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$.
- Otras definiciones incluyen el factor de escala $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ o $\frac{1}{2\pi}$.
Las funciones $f(\chi)$ y $g(p)$ (sus transformadas) se denominan transformadas de Fourier una de otra.

Transformada Inversa

La Transformada de Fourier Inversa permite retornar del plano de la frecuencia al plano del tiempo. Se expresa mediante la fórmula de la integral de Fourier:

$$f(t) = F^{-1}{F(\omega)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$$

El factor de $1/(2\pi)$ en la transformada inversa garantiza que el producto de los prefactores de la transformada y su inversa sea igual a $1/(2\pi)$, y los exponentes deben tener signos opuestos.

Condiciones de Existencia (Integrabilidad)

Para que la Transformada de Fourier exista en su forma ordinaria, una función $f(t)$ debe satisfacer las condiciones de Dirichlet, de las cuales la más importante es que $f(t)$ debe ser absolutamente integrable, es decir, $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty$.

2. La Transformada de Fourier como Límite de la Serie de Fourier

La Transformada de Fourier puede verse como el límite de una serie de Fourier cuando el período $l$ de la función periódica $f(\chi)$ se hace cada vez mayor, tendiendo a infinito.

En este límite infinito, no hay ninguna restricción de periodicidad sobre $f(\chi)$; es simplemente una función ordinaria.
En lugar de tener $f(\chi)$ expresada como una suma discreta de componentes de Fourier (armónicos), se expresa como una suma continua sobre todas las frecuencias, lo que se convierte en una integral sobre la frecuencia.

3. Propiedades Cruciales y Conexiones con la Variable Compleja

La Transformada de Fourier es un objeto central en la teoría de ecuaciones diferenciales debido a sus propiedades clave.

Holomorficidad y Convergencia

El análisis de Fourier utiliza el Análisis Complejo.

Una función (definida en la recta real) se dice de frecuencia positiva si se extiende de manera holomorfa al semiplano inferior en la imagen estándar del plano complejo.
La Transformada de Fourier se relaciona con el cálculo de integrales impropias en el Análisis de Fourier. De hecho, la evaluación de ciertas integrales impropias que aparecen en el cálculo en una variable real se facilita a menudo mediante el análisis complejo.
La integración compleja y el teorema de los residuos son fundamentales para el cálculo de las transformadas inversas, incluyendo las de Laplace y Fourier.

Diferenciación y Multiplicación

Una propiedad clave de la Transformada de Fourier es que intercambia la diferenciación y la multiplicación por la variable de frecuencia ($\omega$ o $\zeta$ ).

La transformada de una derivada es la multiplicación por $i\omega$ (o $j\omega$): $F f^{(n)}(t) = (j\omega)^n F(\omega)$. Esto permite simplificaciones notables en las ecuaciones, transformando operadores diferenciales en polinomios.
La diferenciación en el dominio de la frecuencia corresponde a la multiplicación por la variable temporal: $F t \cdot f(t) = j \frac{d}{d\omega} F(\omega)$.

Convolución

La propiedad de la convolución es fundamental en la Teoría de la Señal.

La Transformada de Fourier de una convolución de dos funciones es el producto de las transformadas de Fourier de las funciones individuales: $F [f * g] = F [f] \cdot F [g]$.
De manera análoga, la multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia, multiplicada por la constante $1/(2\pi)$.

Identidad de Parseval / Fórmula de Plancherel

Esta identidad relaciona la energía de la función original con la energía de su transformada:

$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$$

4. Relación con la Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una construcción muy parecida a la Transformada de Fourier.

La Transformada de Laplace puede considerarse una generalización de la Transformada de Fourier.
Si se conoce la Transformada de Laplace de una función $f(t)$, la Transformada de Fourier $F(\omega)$ puede obtenerse al sustituir la variable compleja $s$ por $j\omega$ (o $i\omega$), siempre que se cumplan ciertas condiciones de convergencia y si el sistema es causal (en el caso de la Transformada de Laplace unilateral).
La transformada de Fourier utiliza como base funciones exponenciales complejas sin amortiguación ($\exp(j\omega t)$) que pueden comenzar en $t=-\infty$, mientras que la transformada de Laplace utiliza exponenciales complejas decrecientes/crecientes ($\exp(-st)\epsilon(t)$) que comienzan en $t=0$.

5. Aplicaciones Clave

La Transformada de Fourier es esencial en matemáticas aplicadas, física e ingeniería.

Ecuaciones Diferenciales: Es una herramienta analítica esencial para resolver ecuaciones diferenciales, especialmente ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes, como la ecuación del calor o la ecuación de onda.
Análisis de Señales: Se utiliza para el procesamiento de señales, permitiendo analizar el contenido de frecuencia e identificar frecuencias dominantes, armónicos y ruido.
Procesamiento Digital de Señales (DSP): La Transformada de Fourier Discreta (DFT) y su algoritmo eficiente, la Transformada Rápida de Fourier (FFT), son fundamentales en telecomunicaciones, procesamiento de audio e imágenes (JPEG, MP3), reducción de ruido, y análisis de vibraciones.
Teoría Cuántica de Campos: La separación en frecuencias positivas/negativas que surge de la Transformada de Fourier tiene una profunda importancia en la teoría cuántica.
Álgebra: Es clave en algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros.

6. Transformadas Relacionadas

Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT): Utilizada para analizar señales no estacionarias como el audio, ya que la FT continua no indica cuándo ocurren las frecuencias.
Transformada Discreta de Fourier (DFT): Representa la señal muestreada en el dominio de la frecuencia.
Transformada Rápida de Fourier (FFT): Un algoritmo eficiente que calcula la DFT en $O(N \log N)$ operaciones, lo que la hace mucho más rápida que el método tradicional $O(N^2)$ para grandes conjuntos de datos.
Transformada Cuántica de Fourier (QFT): Generaliza la DFT al dominio cuántico, operando sobre qubits y siendo fundamental en algoritmos cuánticos.

Sección 5: Separación de Frecuencias a partir de la transformada de Fourier

La Separación de Frecuencias a partir de la Transformada de Fourier es una extensión conceptual de la descomposición de Fourier que utiliza el Análisis Complejo para definir rigurosamente las componentes de "frecuencia positiva" y "frecuencia negativa" de una función no periódica, lo cual tiene una importancia crucial en la física teórica, particularmente en la teoría cuántica de campos (QFT).

Este concepto se formaliza mediante dos definiciones equivalentes: una basada en la anulación de la Transformada de Fourier ($g(p)$), y otra basada en la extensibilidad holomorfa de la función en el plano complejo.

1. Definición mediante la Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier ($g(p)$) es el límite de la serie de Fourier cuando el período $l$ de la función tiende a infinito.

Una función compleja $\mathbf{f(\chi)}$, definida en toda la recta real, se dice que es de frecuencia positiva si su Transformada de Fourier $\mathbf{g(p)}$ es cero para todo $p \geq 0$.

De esta manera, la función $f(\chi)$ está compuesta solo de componentes de la forma $e^{i\chi p}$ con $p < 0$. Si una función se divide en una parte de frecuencia positiva ($F_+$) y una parte de frecuencia negativa ($F_-$), esta división es crucial en la construcción de la QFT apropiada.

2. Equivalencia Geométrica (Holomorficidad)

La condición de que la Transformada de Fourier $g(p)$ se anule para $p \geq 0$ es equivalente a la extensibilidad holomorfa de $f(\chi)$ a una región específica del plano complejo.

El Eje Real como Círculo: Cuando el período de la serie de Fourier $l$ se hace infinito, el eje real (la variable $\chi$) se convierte en el círculo real en la Esfera de Riemann, un círculo que incluye el punto en el infinito ($\chi = \infty$). Este círculo divide la esfera en dos hemisferios.
Semiplano Inferior: El hemisferio exterior del círculo real corresponde al semiplano inferior ($\operatorname{Im} z < 0$) en la imagen estándar del plano complejo.
Condición de Frecuencia Positiva: La condición de que $\mathbf{f(\chi)}$ sea de frecuencia positiva es equivalente a que se extienda de manera holomorfa a este hemisferio exterior (es decir, el semiplano inferior).

Esta formulación es coherente con la separación de frecuencias definida para las Series de Fourier, donde la holomorficidad al interior del círculo (hemisferio sur) en la Serie de Fourier se convierte en la holomorficidad al semiplano inferior en el límite de la Transformada de Fourier ($l \to \infty$).

3. Relevancia Física en la Mecánica Cuántica

La distinción entre frecuencias positivas y negativas, facilitada por la Transformada de Fourier y la geometría de la variable compleja, tiene una importancia física fundamental.

Requisito de Energía Positiva: En la mecánica cuántica, la dependencia temporal de cualquier función de onda "decente" debe tener la propiedad crucial de frecuencia positiva. Esto se debe a que cualquier función de onda aceptable debe ser expresable como una combinación lineal de autoestados de energía con autovalores de energía positivos.
Conexión Matemática-Física: Esta relación es notable: el requisito físico de que la energía sea positiva se traduce en la elegante propiedad matemática de que la función se extienda holomórficamente al hemisferio sur (o semiplano inferior).
Operadores Cuánticos: En la Teoría Cuántica de Campos (QFT), las cantidades de frecuencia positiva están asociadas con los operadores creación de partículas. Por otro lado, las cantidades de frecuencia negativa están asociadas con los operadores aniquilación. El conjugado complejo de una función de onda de frecuencia positiva ($c$) es una cantidad de frecuencia negativa ($c^*$), asociada con el operador aniquilación $C^*$.
Transformaciones de Möbius: La separación de frecuencias positivas/negativas es una noción más general que la simple selección de componentes de Fourier individuales, ya que ciertas aplicaciones holomorfas de la Esfera de Riemann sobre sí misma (como las transformaciones de Möbius) conservan esta separación sin conservar las componentes de Fourier individuales.

Sección 6 ¿Qué función es la más adecuada, sólo la puedo trabajar por el libro

Sección 7: Hiperfunciones

Las Hiperfunciones (Hyperfunctions) son un concepto avanzado y fundamental en el análisis matemático, que generaliza enormemente la noción de función, incluyendo objetos altamente singulares que no pueden ser descritos por las funciones clásicas o incluso por las distribuciones (funciones generalizadas).

La teoría de las hiperfunciones fue propuesta por el matemático japonés Mikio Sato en 1958.

1. Concepto Fundamental: El Salto Holomorfo

La idea central de una hiperfunción es que un objeto definido en una curva (o en un segmento de la recta real) puede ser representado como el "salto" o la "diferencia" entre dos funciones holomorfas que están definidas en regiones adyacentes a la curva.

Representación Geométrica: Se busca el tipo de función más general que puede definirse en una curva (como el círculo unidad en la esfera de Riemann) y representarse como una "suma" o diferencia de una función holomorfa $F_+$ en la región abierta de un lado de la curva y otra función holomorfa $F_-$ en la región abierta del otro lado.
Caso Común (Eje Real): Es más habitual considerar hiperfunciones definidas en un segmento $\gamma$ de la recta real. En este caso, la hiperfunción en $\gamma$ se define como el salto a través de $\gamma$. Este salto se calcula a partir de una función holomorfa $f$ definida en un conjunto abierto $R_-$ (que tiene $\gamma$ como frontera superior) y una función holomorfa $g$ definida en un conjunto abierto $R_+$ (que tiene $\gamma$ como frontera inferior).

2. Definición Algebraica Elegante de Sato

La definición de Sato resuelve la imprecisión de la noción de "salto" utilizando la clase de equivalencia de pares de funciones holomorfas.

Una hiperfunción definida en el segmento $\gamma$ está dada por el par $(f, g)$. Dos pares, $(f, g)$ y $(f_0, g_0)$, son equivalentes si el segundo se obtiene del primero añadiendo a ambas funciones la misma función holomorfa $h$, donde $h$ está definida en la región combinada $R$, que consiste en la unión de $R_-$ y $R_+$ a lo largo del segmento $\gamma$.

Formalmente, la relación de equivalencia es: $$(f, g) \text{ es equivalente a } (f + h, g + h)$$ donde $h$ es holomorfa en $R$. La suma de $h$ no afecta al "salto" entre $f$ y $g$, por lo que la hiperfunción se representa como la clase de equivalencia de dichos pares, "reducidos módulo" las funciones holomorfas $h$ definidas en $R$.

3. Generalidad y Relación con Otras Funciones

La clase de las hiperfunciones es extremadamente amplia y geométrica, ya que se basa en las propiedades de rigidez y extensibilidad de las funciones holomorfas.

Distribuciones: Las hiperfunciones incluyen todas las funciones de clase $C^n$ para cualquier entero $n$, incluyendo las $C^{-1}$-funciones, y lo que es más importante, las $C^{-\infty}$-funciones, conocidas como distribuciones. Esto significa que la función impulso (o delta de Dirac) $\delta(x)$ es un ejemplo de una hiperfunción.
Funciones Discontinuas: Objetos discontinuos como la función escalón de Heaviside $\theta(x)$ también tienen representaciones hiperfuncionales sencillas.
Funciones Analíticas: Incluyen, por supuesto, todas las funciones analíticas.
Dualidad: Las hiperfunciones son precisamente el dual (en un sentido apropiado) del espacio de las funciones $C^\omega$-suaves (funciones analíticas).
Cardinalidad: El número de hiperfunciones no es mayor que el continuo ($\mathcal{C}$), dado que están definidas por pares de funciones holomorfas, cada una de ellas en número $\mathcal{C}$.

4. Limitaciones y Aplicaciones Teóricas

Multiplicación: A diferencia de las funciones clásicas, no existe un producto general definido entre dos hiperfunciones. Esta limitación también se encuentra en otras aproximaciones a las funciones generalizadas, como la imposibilidad de elevar al cuadrado la función delta de Dirac.
Contexto Avanzado: Las hiperfunciones se utilizan en contextos de alto nivel, como la teoría de haces holomorfos y la cohomología, y se mencionan en la teoría cuántica de campos.
Operadores Diferenciales: El método de las funciones test (funciones $C^\infty$-suaves) es el método básico de la teoría de distribuciones, mientras que la teoría de hiperfunciones generaliza los operadores diferenciales a funciones absolutamente continuas.

DEMUESTRA LO SIGUIENTE:

$F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r \, z^{\,r}$

$\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{F(z)}{z^{\,r+1}} \, dz$

Demuestra que si $F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r \, z^{\,r}$ es analítica en el círculo unidad, entonces para cada número entero r se cumple $\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{F(z)}{z^{\,r+1}} \, dz$

Demostración 1 (NotebookLM)

Silencio profesional: He recibido una consulta que requiere la demostración de una fórmula fundamental en el análisis complejo, específicamente la fórmula integral para los coeficientes de una serie de Laurent centrada en el origen, donde el contorno de integración es el círculo unidad.

La consulta es: Demuestra que si $F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r , z^{,r}$ es analítica en el círculo unidad, entonces para cada número entero $r$ se cumple $\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{F(z)}{z^{,r+1}} , dz$.

Conceptos clave relevantes en las fuentes:

Serie de Laurent: Una función $f(z)$ analítica en un anillo $A = {R_1 < |z - z_0| < R_2}$ puede representarse por una serie de Laurent.
Fórmula Integral para Coeficientes de Laurent: El teorema de Laurent establece que los coeficientes $c_n$ de la serie $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n$ están dados por una fórmula integral.
Contorno de Integración: El contorno $\gamma_r$ o $C$ utilizado en la integral debe ser una circunferencia de radio $\rho$ centrada en $z_0$, contenida en el anillo de convergencia.

Aplicación al caso específico (origen y círculo unidad):

El problema plantea una función $F(z)$ que es analítica en el círculo unidad (es decir, en la circunferencia $|z|=1$). Para que la función sea analítica en la circunferencia, esta debe estar contenida en el anillo de convergencia de su serie de Laurent.

La serie dada es: $$F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r , z^{,r}$$

Esto corresponde a la serie de Laurent centrada en el origen ($z_0=0$), donde los coeficientes son $\alpha_r$ y el índice es $r$.

El Teorema de Laurent (o Expansión de Laurent) establece que si una función $f(z)$ es holomorfa (analítica) en el anillo $A(z_0; R_1, R_2)$, sus coeficientes $c_n$ están dados por: $$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(w)}{(w - z_0)^{n+1}} dw$$ donde $C$ es cualquier circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho$, con $R_1 < \rho < R_2$.

En la notación de la consulta:

El centro es el origen: $z_0 = 0$.
Los coeficientes son $\alpha_r$, correspondientes a $c_n$.
El índice es $r$, correspondiente a $n$.
El integrando es $F(z)$ (usando $z$ como variable muda de integración en lugar de $w$ o $\zeta$).
El contorno de integración es $\oint_{C}$, donde $C$ es una circunferencia dentro del anillo.

Dado que $F(z)$ es analítica en el círculo unidad $|z|=1$, tomamos el contorno $C$ como el círculo unidad $|z|=1$ (orientado positivamente), el cual debe estar contenido en el anillo de convergencia $R_1 < |z| < R_2$. Si $R$ es el radio del círculo unidad, $R=1$.

Sustituyendo $c_n \to \alpha_r$, $n \to r$, $z_0 \to 0$ y $w \to z$ en la fórmula de Laurent, obtenemos:

$$\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{F(z)}{(z - 0)^{r+1}} , dz$$ $$\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{F(z)}{z^{r+1}} , dz$$

Esta es precisamente la fórmula que se pide demostrar. La justificación de esta demostración se basa en el Teorema de la Expansión de Laurent, que es el resultado clave para expresar los coeficientes de una serie de potencias positivas y negativas mediante una integral de contorno.

Nota sobre la notación: La notación utilizada en la consulta, $F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r , z^{,r}$, es la forma general de una serie de Laurent centrada en el origen ($z_0=0$). Para una función $f(z)$ analítica en un anillo (o en el círculo unidad, que es un caso especial), los coeficientes $\alpha_r$ (o $c_n$) se obtienen integrando la función $F(z)$ dividida por la potencia apropiada de $z$ sobre un contorno cerrado (el círculo unidad $C$) dentro de dicho anillo. La unicidad del desarrollo de Laurent garantiza que los coeficientes dados por la serie deben coincidir con los obtenidos por la integral.

La demostración se basa en invocar el resultado del Teorema de Laurent y aplicar el contorno de integración.

El teorema que busca demostrar es un resultado directo y fundamental del Teorema de la Expansión de Laurent.

Demostración basada en el Teorema de Laurent

La función dada, $F(z)$, se presenta como una serie de Laurent centrada en el origen ($z_0=0$): $$F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r , z^{,r}$$

La hipótesis establece que esta función es analítica en el círculo unidad, lo que significa que la circunferencia $C: |z|=1$ debe estar contenida en el anillo de convergencia de la serie de Laurent.

El Teorema de Laurent establece que, si una función $f(z)$ es analítica (holomorfa) en un dominio anular $A(z_0; R_1, R_2)$ (donde $R_1 < |z-z_0| < R_2$), entonces sus coeficientes $c_n$ están definidos de manera única por la siguiente fórmula integral: $$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(w)}{(w - z_0)^{n+1}} dw$$ donde $C$ es cualquier circunferencia (o contorno cerrado simple) centrada en $z_0$ y contenida en el anillo de convergencia.

En este caso particular, aplicamos el Teorema de Laurent con:

Centro de la expansión $z_0 = 0$.
Coeficiente de la serie $c_n \equiv \alpha_r$, con $n \equiv r$ (donde $r \in \mathbb{Z}$).
Función $f(z) \equiv F(z)$.
Contorno de integración $C$ tomado como la circunferencia unidad $|z| = 1$, orientada positivamente (ya que esta curva está contenida en el dominio de analiticidad de $F(z)$).

Sustituyendo estos valores en la fórmula integral de los coeficientes de Laurent:

$$\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{F(z)}{(z - 0)^{r+1}} , dz$$

$$\mathbf{\alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{F(z)}{z^{,r+1}} , dz}$$

Esto demuestra que los coeficientes de la serie de Laurent de $F(z)$ se obtienen necesariamente mediante la integral dada.

Justificación de la Integral de una Potencia

La validez de esta fórmula se confirma mediante la integral de contorno de las potencias individuales de la serie de Laurent. Si integramos término a término la expresión $\frac{F(z)}{z^{r+1}}$ a lo largo del contorno $C: |z|=1$: $$\oint_{C} \frac{F(z)}{z^{r+1}} , dz = \oint_{C} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n \frac{z^n}{z^{r+1}} , dz = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n \oint_{C} z^{n - r - 1} , dz$$

La convergencia uniforme de la serie de Laurent en el círculo unidad (un compacto) permite la conmutación de la suma y la integral.

La integral $\oint_{C} z^{k} , dz$ (donde $k = n - r - 1$) sobre el círculo unidad centrado en el origen tiene el valor de $2\pi i$ si $k = -1$, y $0$ si $k \neq -1$.

La condición para que la integral sea no nula es que el exponente sea $k = -1$: $$n - r - 1 = -1 \implies n = r$$

Por lo tanto, solo el término donde $n = r$ sobrevive a la suma: $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n \oint_{C} z^{n - r - 1} , dz = \alpha_r \oint_{C} z^{-1} , dz = \alpha_r (2\pi i)$$

Despejando $\alpha_r$ se obtiene la fórmula deseada: $$\oint_{C} \frac{F(z)}{z^{,r+1}} , dz = 2\pi i , \alpha_r \implies \alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{F(z)}{z^{,r+1}} , dz$$

Demostración 2 (Qwen)

Para demostrar que si \[ F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r \, z^{\,r} \]

es analítica en el círculo unidad (es decir, en un entorno que contiene al círculo $|z| = 1$), entonces los coeficientes $\alpha_r$ están dados por \[ \alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=1} \frac{F(z)}{z^{\,r+1}} \, dz, \] procedemos como sigue.

Paso 1: Naturaleza de la serie

La expresión \[ F(z) = \sum_{r \in \mathbb{Z}} \alpha_r z^r \] es una serie de Laurent, ya que el índice $r$ recorre todos los enteros (positivos, negativos y cero). Que $F(z)$ sea analítica en el círculo unidad significa que es analítica en una corona abierta que contiene al círculo $|z| = 1$. En particular, podemos asumir que la serie de Laurent converge uniformemente en $|z| = 1$.

Paso 2: Sustituir la serie en la integral

Consideremos la integral de contorno sobre el círculo unitario $C = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}$, orientado positivamente: \[ \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{F(z)}{z^{\,r+1}} \, dz = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{1}{z^{\,r+1}} \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} \alpha_n z^{\,n} \right) dz. \]

Dado que la serie converge uniformemente en $|z| = 1$, podemos intercambiar suma e integral: \[ = \frac{1}{2\pi i} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \alpha_n \oint_C z^{\,n - r - 1} \, dz. \]

Paso 3: Evaluar la integral elemental

Recordemos la fórmula clásica de integración compleja:

\[ \oint_C z^{\,k} \, dz = \begin{cases} 2\pi i, & \text{si } k = -1, \\ 0, & \text{si } k \ne -1. \end{cases} \]

En nuestro caso, el exponente es $k = n - r - 1$. Entonces la integral es distinta de cero solo cuando

\[ n - r - 1 = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad n = r. \]

Por lo tanto, todos los términos de la suma se anulan excepto el correspondiente a $n = r$:

\[ \frac{1}{2\pi i} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \alpha_n \oint_C z^{\,n - r - 1} \, dz = \frac{1}{2\pi i} \cdot \alpha_r \cdot (2\pi i) = \alpha_r. \]

Conclusión

Hemos demostrado que, bajo la hipótesis de que $F(z)$ es analítica en una vecindad del círculo unidad (de modo que su desarrollo en serie de Laurent converge uniformemente allí), los coeficientes de la serie están dados por

\[ \boxed{ \alpha_r = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=1} \frac{F(z)}{z^{\,r+1}} \, dz } \quad \text{para todo } r \in \mathbb{Z}. \]

Esto es la fórmula integral de Cauchy para los coeficientes de Laurent.

Pregunta o Indicación: Quiero saber porqué la separación en $F^+$ y $F^-$ de F(z) en la esfera de Riemann está determinada unívocamente por el requisito de holomorficidad (si ignoramos el término constante) para la extensión a uno u otro de los hemisferios

RESPUESTA

La razón por la cual la separación de la función $F(z)$ en sus partes de frecuencia positiva ($F_+$) y frecuencia negativa ($F_-$) sobre la Esfera de Riemann está determinada unívocamente (si se ignora el término constante) se basa en la rigidez de las funciones holomorfas y en una propiedad fundamental de la Esfera de Riemann como superficie compacta.

Esta unicidad se deduce de la aplicación del Teorema de Liouville generalizado a superficies de Riemann compactas.

1. Marco Geométrico y Definición de Holomorficidad

La Esfera de Riemann ($\hat{\mathbb{C}}$ o $\mathbb{C}_\infty$) es la superficie de Riemann compacta más simple. El círculo unidad ($|z|=1$), donde se define la función $F(z)$ (correspondiente a la serie de Laurent de una función periódica), se convierte en el ecuador de esta esfera.

La separación se define geométricamente exigiendo que las dos partes de la descomposición se extiendan de forma holomorfa a diferentes hemisferios:

Una parte (por ejemplo, $F_+$ o la parte de frecuencia positiva) se extiende de forma holomorfa al hemisferio sur (la región cercana a $z=0$).
La otra parte (por ejemplo, $F_-$ o la parte de frecuencia negativa) se extiende de forma holomorfa al hemisferio norte (la región cercana a $z=\infty$).

2. El Argumento de la Unicidad (Módulo Constante)

Supongamos que existen dos descomposiciones posibles para la función $F(z)$ definida en el ecuador $C$: $$F(z) = F_{A1}(z) + F_{B1}(z)$$ $$F(z) = F_{A2}(z) + F_{B2}(z)$$ donde $F_{A1}$ y $F_{A2}$ son holomorfas en el hemisferio sur (H.S.), y $F_{B1}$ y $F_{B2}$ son holomorfas en el hemisferio norte (H.N.).

Igualando las dos expresiones se tiene: $$F_{A1}(z) - F_{A2}(z) = F_{B2}(z) - F_{B1}(z)$$

Denominemos $H(z) = F_{A1}(z) - F_{A2}(z)$. Analicemos las propiedades de $H(z)$:

Puesto que $F_{A1}$ y $F_{A2}$ son ambas holomorfas en el H.S., su diferencia $H(z)$ es holomorfa en el hemisferio sur.
Puesto que $F_{B2}$ y $F_{B1}$ son ambas holomorfas en el H.N. (incluyendo el punto $\infty$), su diferencia $H(z)$ es holomorfa en el hemisferio norte.
Dado que la unión del Hemisferio Sur y el Hemisferio Norte (ambos abiertos) cubre la totalidad de la Esfera de Riemann ($\hat{\mathbb{C}}$), la función $H(z)$ es holomorfa en toda la Esfera de Riemann.

3. La Conclusión por Compactitud

La Esfera de Riemann es una superficie compacta. Un resultado clave en el análisis complejo, que es una consecuencia directa del Principio del Módulo Máximo y del Teorema de Liouville, establece que:

Toda función holomorfa en una superficie de Riemann compacta es constante.

Por lo tanto, la función $H(z)$ debe ser una constante: $$H(z) = C \in \mathbb{C}$$

Esto implica que: $$F_{A1}(z) = F_{A2}(z) + C$$ $$F_{B2}(z) = F_{B1}(z) + C$$

La conclusión es que cualquier separación de $F(z)$ que satisfaga el requisito de holomorficidad en los hemisferios solo puede diferir de la otra por una constante aditiva. Si se ignora el término constante (el término $\alpha_0$ de la serie de Laurent), la separación queda unívocamente determinada por el requisito de holomorficidad.

De hecho, en el contexto de las hiperfunciones definidas sobre un círculo en la Esfera de Riemann, si se toma la Esfera de Riemann entera como la región $R$, las funciones que se toman "módulo por" (las funciones holomorfas globales en $\hat{\mathbb{C}}$) son precisamente las constantes. Esto proporciona la separación de una hiperfunción arbitraria en el círculo de forma unívoca (módulo constantes) en sus partes de frecuencia positiva/negativa.

OTRA RESPUESTA:

La descomposición de una función meromorfa $ F(z) $ definida en la esfera de Riemann (es decir, en $ \widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\} $) en dos partes holomorfas $ F^+(z) $ y $ F^-(z) $, cada una extendiéndose holomórficamente a uno de los "hemisferios" (interior y exterior del círculo unidad, por ejemplo), es un resultado clásico en análisis complejo que se basa en la **unicidad de la extensión holomorfa** y en la estructura de las series de Laurent. A continuación explico por qué esta separación es única (salvo por una constante, que puede asignarse arbitrariamente a una de las partes).

1. Contexto: Serie de Laurent y la esfera de Riemann

Supongamos que $ F(z) $ es una función meromorfa en un entorno del círculo unidad $ |z| = 1 $. Entonces admite una expansión en serie de Laurent convergente en una corona que contiene a $ |z| = 1 $: \[ F(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \alpha_n z^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n z^n}_{F^+(z)} + \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{-n} z^{-n}}_{F^-(z)}. \]

- $ F^+(z) $ es una serie de potencias positivas → holomorfa en $ |z| < R $ para algún $ R > 1 $, en particular en el **disco unitario** $ \mathbb{D} = \{ |z| < 1 \} $.

- $ F^-(z) $ es una serie en potencias negativas → holomorfa en $ |z| > r $ para algún $ r < 1 $, en particular en el **exterior del disco unitario**, que incluye al punto $ z = \infty $ si definimos $ w = 1/z $.

Así, $ F^+ $ se extiende holomórficamente al **hemisferio interior** (disco), y $ F^- $ al **hemisferio exterior** (incluyendo $ \infty $).

2. Requisito de holomorficidad en cada hemisferio

Queremos escribir: \[ F(z) = F^+(z) + F^-(z), \] donde:

- $ F^+ $ es holomorfa en $ |z| < 1 $ (y se extiende a un entorno de ese disco),

- $ F^- $ es holomorfa en $ |z| > 1 $ (y se extiende holomórficamente a $ \infty $, es decir, $ F^-(1/w) $ es holomorfa en $ w = 0 $).

Esto impone condiciones muy fuertes:

- $ F^+ $ **no puede contener términos negativos** en $ z $, porque esos tendrían una singularidad en $ z = 0 $.

- $ F^- $ **no puede contener términos positivos** en $ z $, porque esos divergerían cuando $ z \to \infty $ (es decir, no serían holomorfos en $ \infty $).

Por lo tanto, la única forma de cumplir ambas condiciones es que:

- $ F^+ $ contenga **solo potencias no negativas**,

- $ F^- $ contenga **solo potencias negativas**.

3. Unicidad (salvo constante)

La única ambigüedad posible es el término constante $ \alpha_0 $, ya que:

- Es una potencia no negativa ($ z^0 $), así que puede incluirse en $ F^+ $,

- Pero también es una potencia no positiva, y no afecta la holomorficidad en $ \infty $, así que podría incluirse en $ F^- $ si quisiéramos.

Sin embargo, no podemos asignarlo a ambos, porque entonces estaríamos duplicando el término. Y si exigimos que:

- $ F^+ $ sea holomorfa en $ |z| < 1 $ **y** que $ F^-(z) \to 0 $ cuando $ z \to \infty $ (una condición natural para funciones holomorfas en el exterior que se anulan en el infinito), entonces el término constante debe ir en $ F^+ $, y la descomposición es completamente única. En muchos contextos (por ejemplo, en la teoría de funciones de Hardy o en problemas de Riemann–Hilbert), se impone la condición:

\[ \lim_{z \to \infty} F^-(z) = 0, \] lo que fija inequívocamente la separación: todos los términos con $ n \geq 0 $ van a $ F^+ $, y los con $ n < 0 $ van a $ F^- $.

4. Conclusión

La separación $ F = F^+ + F^- $ está determinada unívocamente por el requisito de que:

- $ F^+ $ se extienda holomórficamente al interior del círculo unidad (sin singularidades en $ |z| < 1 $),

- $ F^- $ se extienda holomórficamente al exterior, incluyendo $ z = \infty $ (es decir, sin términos que crezcan en el infinito).

Estas condiciones **fuerzan** que $ F^+ $ contenga solo potencias $ z^n $ con $ n \geq 0 $, y $ F^- $ solo potencias con $ n < 0 $. El único grado de libertad es el término constante $ \alpha_0 $, que se puede asignar a una de las partes; si se fija una condición adicional (como $ F^-(\infty) = 0 $), incluso esa ambigüedad desaparece.

Por eso se dice que **la descomposición es única salvo por el término constante**, y que está **determinada por la holomorficidad en cada hemisferio de la esfera de Riemann**.