Teorema de Abel en Problemas y Soluciones

 

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Curvas Continuas

La noción de curvas continuas es fundamental en el estudio de las funciones de variable compleja, especialmente para definir la continuidad de las funciones y construir las superficies de Riemann.

Definición y Parámetros

Una curva continua se define mediante una ecuación paramétrica $z(t)$.

Si el parámetro $t$ toma valores reales en el intervalo $0\leq t \leq 1$, y a cada valor de $t$ le corresponde un número complejo $z(t) = x(t) + iy(t)$, entonces, si las funciones $x(t)$ e $y(t)$ son continuas para $t \in [0,1] $, el punto $z(t)$ describe una curva continua en el plano $z$.

La curva posee una orientación: $z(0)$ es el punto inicial y $z(1)$ es el punto final.

Si $C$ es una curva con ecuación paramétrica $z(t)$, la curva descrita por $z(1-t)$ es geométricamente idéntica a $C$ pero orientada en la dirección opuesta; esta curva se denota como $C^{-1}$. Si una curva $C_1$ finaliza en el punto donde comienza una curva $C_2$, la curva $C_1 \cdot C_2$ se obtiene uniendo el punto final de $C_1$ al punto inicial de $C_2$.

Propiedades Topológicas: Variación del Argumento

Una propiedad crucial de las curvas continuas en el plano complejo es cómo se comporta su argumento (ángulo):

1. Continuidad del Argumento: Si una curva continua $C$ con ecuación paramétrica $z(t)$ no cruza el origen de coordenadas y se fija un valor inicial para el argumento $\arg z(0)$, es posible elegir un valor del argumento $\arg z(t)$ para todos los puntos de la curva $C$ de modo que el argumento de $z$ cambie continuamente a lo largo de toda la curva, comenzando desde el valor inicial fijado.
2. Variación del Argumento ($\Delta_C \arg z$): Para una curva $C$ que no pasa por el origen, la diferencia $\arg z(1) - \arg z(0)$ se llama la variación del argumento a lo largo de la curva $C$.
3. Curvas Cerradas (Winding Number): Si una curva continua $C$ es cerrada, es decir, $z(0) = z(1)$, y no pasa por el punto $0$, la variación del argumento $\Delta_C \arg z$ es igual a $2\pi k$, donde $k$ es un número entero. Se dice que la curva $C$ da $k$ vueltas alrededor del punto 0.
4. Vueltas Alrededor de un Punto $a$: Una curva $C$ da $k$ vueltas alrededor de un punto $a$ si la curva definida por $z(t) - a$ da $k$ vueltas alrededor del origen. Esto equivale a estudiar la rotación del vector $z(t) - a$.

Imágenes de Curvas y Continuidad

El concepto de curva continua se extiende a las funciones de variable compleja:  

• Si $w = f(z)$ es una función que asocia un valor $w$ a cada valor $z$, y $C$ es una curva continua en el plano $z$, si la función $f$ es continua, se obtiene una curva continua en el plano $w$, denotada $C'$, con ecuación $w(t) = f(z(t))$.
• La continuidad es un concepto riguroso: una función $f(z)$ es continua en $z_0$ si, para cualquier número real $\epsilon > 0$, existe un número real $\delta > 0$ tal que para todos los números $z$ que satisfacen $|z - z_0| < \delta$, se cumple la desigualdad $|f(z) - f(z_0)| < \epsilon$.

La continuidad de las curvas y funciones permite la definición de ramas continuas y univaluadas de funciones multivaluadas (como $w=\sqrt{z}$), lo cual es esencial para construir la Superficie de Riemann.

Uso en el Teorema Fundamental del Álgebra

El concepto de curva continua y la noción de cuántas veces una curva da vueltas alrededor de un punto es crucial en la demostración (no rigurosa, pero conceptual) del Teorema Fundamental del Álgebra (Teorema 7).

Para un polinomio $P(z)$, si se considera una curva cerrada $C_R$ (un círculo de radio $R$) en el plano $z$, su imagen $C'_R = P(C_R)$ es también una curva cerrada en el plano $w$. Al calcular el número de vueltas de $C'_R$ alrededor del punto $0$ para radios $R$ muy pequeños y muy grandes, y argumentando que este número debe ser continuo para $R$ variable (y solo puede tomar valores enteros), se concluye que la curva $C'_R$ debe pasar por el origen en algún momento, lo que implica la existencia de una raíz del polinomio.

Escribe en español el enunciado del problema 244 dame una pista para resolverlo

El Problema 244 se encuentra en la sección 2.7, "Curvas continuas", del Capítulo 2: Los números complejos.

Enunciado del Problema 244

El enunciado del problema es:

El Problema 244 se encuentra en la sección 2.7, "Curvas continuas", del Capítulo 2: Los números complejos.

El enunciado del problema es el siguiente:

244. Traza en el plano las curvas dadas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

a) $z(t) = (1+i)t + 2$, para $t \in$. b) $z(t) = t^2 + it$, para $t \in$. c) $z(t) = 1/t$, para $t \in [1, \infty)$. d) $z(t) = e^{i\pi t}$, para $t \in$. e) $z(t) = e^{-i\pi t}$, para $t \in$. f) $z(t) = R e^{i 2\pi t}$, para $t \in$. g) $z(t) = R e^{i 4\pi t}$, para $t \in$. h) $z(t) = R e^{i \pi t}$, para $t \in$. i) $z(t) = t + i t^2$, para $t \in$.

244. Traza en el plano las curvas dadas por las siguientes ecuaciones paramétricas: a) $z(t) = (1+i)t + 2$, para $t \in$. b) $z(t) = t^2 + it$, para $t \in$. c) $z(t) = 1/t$, para $t \in [1, \infty)$. d) $z(t) = e^{i\pi t}$, para $t \in$. e) $z(t) = e^{-i\pi t}$, para $t \in$. f) $z(t) = R e^{i 2\pi t}$, para $t \in$. g) $z(t) = R e^{i 4\pi t}$, para $t \in$. h) $z(t) = R e^{i \pi t}$, para $t \in$. i) $z(t) = t + i t^2$, para $t \in$.

Pista para resolver el Problema 244

Para resolver este problema, debe recordar que una curva continua $z(t)$ se representa en el plano $z$ mediante su ecuación paramétrica $z(t) = x(t) + iy(t)$, donde $x(t)$ e $y(t)$ son las componentes real e imaginaria, respectivamente, para $t$ variando en un intervalo. 

La clave para trazar las curvas es reescribir la ecuación $z(t)$ para encontrar la relación geométrica entre $x(t)$ e $y(t)$:

1. Formas Algebraicas (a, b, i): Separe la parte real $x(t)$ y la parte imaginaria $y(t)$ de la función $z(t)$. Luego, intente eliminar el parámetro $t$ para obtener una ecuación cartesiana $y = f(x)$, o simplemente reconocer la forma paramétrica.

   • Pista para (b) e (i): Estas curvas yacen en una parábola.
   • Pista para (a): Se trata de una línea recta, pues representa el segmento que une los puntos $z(0)$ y $z(1)$.

2. Formas Exponenciales (d, e, f, g, h): Utilice la forma trigonométrica (o fórmula de De Moivre) para visualizar el movimiento: $$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$$ Esto permite identificar inmediatamente el módulo (distancia al origen) y el argumento (ángulo) de $z(t)$.

   • Para $z(t) = R e^{i \alpha t}$, el módulo es constante ($R$), lo que implica que la curva es parte de una circunferencia con radio $R$. El ángulo es $\alpha t$.
   • Pista para (f) y (g):
     • La curva (f) $z(t) = R e^{i 2\pi t}$ describe una vuelta ($2\pi$) completa en sentido antihorario a lo largo de un círculo de radio $R$, con punto inicial $z(0)=R$.
     • La curva (g) $z(t) = R e^{i 4\pi t}$ describe dos vueltas ($4\pi$) completas en sentido antihorario a lo largo del mismo círculo de radio $R$.
   • Pista para (h): $z(t) = R e^{i \pi t}$ describe un semicírculo de radio $R$.

3. Para la curva (c): $z(t) = 1/t$, para $t \in [1, \infty)$. Observe cómo cambian las componentes $x(t)$ e $y(t)$ a medida que $t$ aumenta, y hacia dónde tiende $z(t)$.

Superficie de Riemann de la función $w=\sqrt{z}$

La superficie de Riemann de la función $w=\sqrt{z}$ se utiliza como el ejemplo más sencillo para introducir este concepto fundamental en la teoría de funciones de una variable compleja.

La función $w=\sqrt{z}$ es multivaluada. Para todo valor de $z$ distinto de cero, la función toma exactamente dos valores. Si $w_0$ es uno de los valores, el otro es $-w_0$. Para $z=0$, la función toma un único valor.

Para poder estudiar esta función como si fuera continua y univaluada, se construye su superficie de Riemann, lo cual implica los siguientes pasos:

1. Cortes y Ramas (Branches): Se realiza un corte en el plano $z$ (el plano de la variable independiente). Típicamente, este corte se realiza a lo largo del lado negativo del eje real, desde 0 hasta el infinito.
2. Ramas Continuas Univaluadas: El corte permite separar las dos ramas continuas y univaluadas de la función, $w_1(z)$ y $w_2(z)$.
   • Una rama, $w_1(z)$, se define de modo que sus valores se encuentran en el semiplano derecho (por ejemplo, eligiendo $\arg z$ tal que $0 < \arg z < 2\pi$ para obtener $w_1(z) = \sqrt{|z|} (\cos(\arg z / 2) + i \sin(\arg z / 2))$).
   • La otra rama, $w_2(z)$, se define de modo que sus valores se encuentran en el semiplano izquierdo.
3. Hojas (Sheets): La superficie de Riemann se construye utilizando dos copias del plano, denominadas hojas, cada una cortada de la misma manera (a lo largo del eje real negativo desde 0). La función $w_1(z)$ se define en la primera hoja y $w_2(z)$ en la segunda hoja.
4. Unión de las Hojas: Las hojas se unen a lo largo de los cortes para asegurar la continuidad. La continuidad se garantiza si, al atravesar el corte, se pasa de un lado de la primera hoja al lado opuesto de la segunda hoja.
   • Específicamente, el lado superior del corte en la primera hoja se une al lado inferior del corte en la segunda hoja.
   • Y el lado inferior del corte en la primera hoja se une al lado superior del corte en la segunda hoja.
5. Resultado: Esta superficie, compuesta por las dos hojas unidas de esta manera, se denomina la superficie de Riemann de la función $w=\sqrt{z}$. En esta nueva superficie, la función se convierte en una función univaluada y continua.

Punto de Ramificación y Esquema

El punto $z=0$ es el punto de ramificación (branch point) de la función $w=\sqrt{z}$.

• Un punto de ramificación es aquel alrededor del cual, al dar una vuelta, se pasa de una hoja a otra, cambiando el valor de la función.
• Para $w=\sqrt{z}$, una simple vuelta (giro) alrededor de $z=0$ provoca el paso de una hoja a la otra.
• Cualquier otro punto $z_0 \neq 0$ no es un punto de ramificación; una vuelta alrededor de $z_0$ mantiene al punto en la misma hoja de la superficie.

El esquema de la superficie de Riemann de $w=\sqrt{z}$ muestra las dos hojas y la conexión en $z=0$. La superficie real puede visualizarse como una proyección tridimensional, siendo homeomorfa a una superficie helicoidal (Figura 116 en la sección "Drawings of Riemann surfaces").