Prueba

 Luchando porque Gemini me responda correctamente

La instrucción que le tengo que dar a Gemini para que me escriba las fórmulas como yo quiero:

Las fórmulas tienen que estar escritas en LaTeX, enmarcadas por símbolos de dolar, $  $  o bien $$   $$
Además, debes escribir las fórmulas en LaTeX con sus correspondientes símbolos de dolar delimitándolas, pero a su vez entre acentos agudos, para que la plataforma las deje intactas

Las fórmulas tienen que estar escritas en LaTeX, enmarcadas por símbolos de dolar, $  $  o bien $$   $$
Además, debes escribir las fórmulas en LaTeX con sus correspondientes símbolos de dolar delimitándolas, pero a su vez entre acentos agudos, para que la plataforma las deje intactas

La deducción sobre los irreducibles y primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ se basa en las propiedades de este anillo. A diferencia de $\mathbb{Z}$, donde la equivalencia es simple, aquí la Norma del elemento juega un papel crucial.

El Anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ se compone de todos los números de la forma $a + b\sqrt{2}$, donde $a$ y $b$ son enteros.

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$$

La herramienta principal para analizar este anillo es la Norma, una función que mapea cada elemento del anillo a un número entero. La Norma de '$a + b\sqrt{2}$' se define como:

$$\mathcal{N}(a + b\sqrt{2}) = a^2 - 2b^2$$

Esta Norma tiene una propiedad muy útil: es multiplicativa, lo que significa que la Norma de un producto es el producto de las Normas:

$$\mathcal{N}(xy) = \mathcal{N}(x)\mathcal{N}(y)$$

Las unidades del anillo son los elementos con Norma '$1$' o '$ -1$', ya que estos son los únicos que tienen inverso multiplicativo en el anillo. Por ejemplo, '$1 + \sqrt{2}$' es una unidad porque su Norma es '$1^2 - 2(1^2) = -1$'.

Relación entre Irreducibles y Primos

Un elemento '$p$' es primo si no es una unidad y si divide un producto '$ab$', entonces divide a '$a$' o a '$b$'.

Un elemento '$a$' es irreducible si no es una unidad y sus únicos divisores son unidades o '$a$' multiplicado por una unidad.

El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio de ideales principales, lo que implica que es un dominio de factorización única. En estos dominios, la propiedad fundamental de la aritmética se mantiene: cada elemento puede descomponerse de forma única en factores irreducibles (excepto por el orden y las unidades).

Debido a que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio de factorización única, los conceptos de primo e irreducible coinciden. Un elemento es primo si y solo si es irreducible. Por lo tanto, para encontrar los elementos primos, solo necesitamos encontrar los irreducibles.

Cómo Identificar los Irreducibles

Podemos utilizar la Norma para encontrar los elementos irreducibles de la siguiente manera:

• Si '$x$' es un elemento en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y el valor absoluto de su Norma, '$|\mathcal{N}(x)|$', es un número primo en $\mathbb{Z}$, entonces '$x$' es un elemento irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

  Por ejemplo, la Norma de '$3 + \sqrt{2}$' es $\mathcal{N}(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - 2(1)^2 = 9 - 2 = 7$'. Dado que '$7$' es un número primo en $\mathbb{Z}$, '$3 + \sqrt{2}$' es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

• Para los números enteros '$p$' (que son primos en $\mathbb{Z}$), su estatus de irreducibilidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ depende de si se pueden factorizar o no en este nuevo anillo.

  • Si la congruencia '$x^2 \equiv 2 \pmod{p}$' tiene una solución, '$p$' es reducible y se puede factorizar.

  • Si la congruencia no tiene solución, '$p$' es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

  Por ejemplo, la congruencia '$x^2 \equiv 2 \pmod{7}$' tiene la solución '$x = 3$' ('$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$'). Por lo tanto, '$7$' es reducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y se factoriza como '$7 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})$'.

  En contraste, la congruencia '$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$' no tiene solución. Por lo tanto, '$3$' es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

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En resumen, los elementos primos e irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ son:

1. Los elementos '$a + b\sqrt{2}$' cuya Norma '$a^2 - 2b^2$' es un número primo en $\mathbb{Z}$.

2. Los números primos '$p$' de $\mathbb{Z}$ para los cuales la congruencia '$x^2 \equiv 2 \pmod{p}$' no tiene solución.

Esta deducción se basa en la propiedad de que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio de factorización única. Si te interesa, podemos explorar cómo se demuestra esa propiedad.

Para entender la relación entre los números primos e irreducibles en los enteros, $\mathbb{Z}$, es fundamental definir ambos conceptos en el contexto de un anillo conmutativo con identidad.

Definiciones Clave

1. Unidades: En un anillo, las unidades son los elementos que tienen un inverso multiplicativo. En $\mathbb{Z}$, las unidades son '$1$' y '$ -1$', ya que son los únicos enteros '$a$' para los cuales existe un entero '$b$' tal que '$ab=1$'.

2. Irreducible: Un elemento '$a$' en un anillo de integridad se llama irreducible si no es una unidad y sus únicos divisores son unidades o '$a$' multiplicado por una unidad. Formalmente, si '$a = bc$', entonces '$b$' o '$c$' debe ser una unidad.

3. Primo: Un elemento '$p$' en un anillo de integridad se llama primo si no es una unidad y si '$p$' divide un producto '$ab$', entonces '$p$' debe dividir a '$a$' o a '$b$'. Es decir, si '$p | ab$', entonces '$p|a$' o '$p|b$'.

La Deducción

En el anillo de los enteros, $\mathbb{Z}$, los conceptos de números primos e irreducibles son equivalentes. Para demostrar esto, probaremos que si un número es primo, es irreducible, y viceversa.

1. Todo número primo es irreducible

Supongamos que '$p$' es un número primo en $\mathbb{Z}$. Por definición, '$p$' no es una unidad. Consideremos una factorización de '$p$': '$p = ab$' para algunos enteros '$a$' y '$b$'.

Como '$p$' divide a '$ab$' y '$p$' es primo, entonces '$p$' debe dividir a '$a$' o a '$b$'.

• Caso 1: '$p | a$'. Esto significa que '$a = kp$' para algún entero '$k$'. Si sustituimos esto en '$p = ab$', obtenemos: $$p = (kp)b$$ $$1 = kb$$ La última ecuación '$1=kb$' implica que '$b$' debe ser una unidad ('$1$' o '$ -1$').

• Caso 2: '$p | b$'. De manera análoga al caso anterior, esto implicaría que '$a$' es una unidad.

Dado que en cualquier factorización de '$p$' uno de los factores es necesariamente una unidad, '$p$' cumple la definición de ser irreducible. Esta parte de la prueba es válida en cualquier dominio de factorización única.

2. Todo número irreducible es primo

Ahora, supongamos que '$a$' es un número irreducible en $\mathbb{Z}$. Por definición, '$a$' no es una unidad. Queremos demostrar que si '$a | bc$', entonces '$a | b$' o '$a | c$'.

Si '$a$' divide a '$b$', la prueba está completa. Si '$a$' no divide a '$b$', entonces el máximo común divisor de '$a$' y '$b$' es 1. Es decir: $$\text{mcd}(a, b) = 1$$ Como $\mathbb{Z}$ es un dominio de ideales principales (cada ideal es generado por un solo elemento), esto nos permite usar el lema de Euclides. Este lema establece que si un número '$a$' divide un producto '$bc$' y es coprimo con '$b$', entonces '$a$' debe dividir a '$c$'.

Por lo tanto, si '$a$' es irreducible y divide a '$bc$', y '$a$' no divide a '$b$', entonces '$a$' debe dividir a '$c$'. Con esto, hemos demostrado que '$a$' es primo.

Conclusión

En el anillo de los enteros, $\mathbb{Z}$, los conjuntos de números primos y de números irreducibles son idénticos. Esto es una consecuencia directa del hecho de que $\mathbb{Z}$ es un dominio de ideales principales, lo que garantiza que los conceptos de primalidad e irreducibilidad coincidan. El conjunto de números primos (e irreducibles) en $\mathbb{Z}$ es: $$\{ \dots, -5, -3, -2, 2, 3, 5, \dots \}$$

Esta propiedad no es válida en todos los anillos. Por ejemplo, en el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, el número '$3$' es irreducible pero no primo.

Espero que esta deducción sea clara y te ayude con tu tarea. ¡No dudes en preguntar si quieres explorar un ejemplo en un anillo diferente!

Aquí está la fórmula que solicitaste, escrita en LaTeX y enmarcada con los símbolos de dólar, todo ello a su vez encerrado entre acentos agudos.

$z = x^2 + \frac{3x}{x+1}$

Excelente idea. Entiendo perfectamente que el objetivo es que obtengas un texto que puedas copiar y pegar directamente en tu blog. A partir de ahora, seguiré tus instrucciones: todas las fórmulas en LaTeX, enmarcadas por sus símbolos de dólar correspondientes (... o

...

), y a su vez, todo el bloque de la fórmula, incluyendo los símbolos de dólar, encerrado entre acentos agudos (...).

Aquí tienes la respuesta completa con el formato que solicitaste.

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1) Analiticidad y series de potencias

La función $f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-8)}$ es analítica en todo su dominio. El dominio de esta función racional es $D = \mathbb{R} \setminus \{2, 8\}$. Una función es analítica en un punto si puede representarse por una serie de potencias convergente en un entorno de dicho punto. Los únicos puntos donde $f(x)$ no es analítica son sus singularidades, en $x=2$ y $x=8$.

No, no existe una única serie de potencias que desarrolle la función en todo su dominio. El radio de convergencia de una serie de potencias centrada en un punto $x_0$ está limitado por la distancia a la singularidad más cercana. En este caso, el radio de convergencia sería $R = \min(|x_0 - 2|, |x_0 - 8|)$. Por ejemplo, una serie centrada en $x_0 = 0$ solo es válida en el intervalo $(-2, 2)$, no en todo el dominio.

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2) Desarrollo en serie de potencias en $x=0$

Para encontrar el desarrollo en serie de potencias de $f(x)$ en $x=0$, se utiliza la técnica de fracciones parciales.

1. Descomposición en fracciones parciales

La función puede descomponerse como:

$$f(x) = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x - 2} \right)$$

2. Expansión en series de potencias

Cada término se expande utilizando la fórmula de la serie geométrica: $\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$.

Para el término $\frac{1}{x - 8}$:

$$\frac{1}{x - 8} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{8}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^{n+1}}, \quad |x| < 8$$

Para el término $ -\frac{1}{x - 2} $:

$$-\frac{1}{x - 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}}, \quad |x| < 2$$

3. Combinación de las series

Sustituyendo en la expresión original:

$$f(x) = \frac{1}{6} \left( -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}} \right)$$

La serie combinada es válida en la intersección de los dos intervalos, es decir, $|x| < 2$.

Reorganizando:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{8^{n+1}} \right) x^n$$

El desarrollo en serie de potencias de la función en $x=0$ es el que se muestra arriba, y es válido en el intervalo (-2, 2).