Fórmulas para variable compleja

Qwen y Notebook LM

Para demostrar que la integral cerrada de contorno de $ \frac{dz}{z} $ es igual a $ 2\pi i $, consideramos el caso clásico en el que el contorno encierra el origen en el plano complejo. A continuación, se presenta una demostración rigurosa y detallada:

# Paso 1: Parametrización del contorno

Consideremos el contorno $ C $ como la circunferencia unitaria centrada en el origen, recorrida en sentido antihorario. Esta curva se parametriza mediante:

$$ z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]. $$

La diferencial $ dz $ se obtiene derivando $ z(\theta) $ con respecto a $ \theta $:

$$ dz = \frac{dz}{d\theta} d\theta = i e^{i\theta} d\theta. $$

# Paso 2: Sustitución en la integral

Sustituimos $ z $ y $ dz $ en la integral:

$$ \oint_C \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{i e^{i\theta} d\theta}{e^{i\theta}}. $$

Observamos que $ e^{i\theta} $ en el numerador y denominador se cancelan:

$$ \oint_C \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} i \, d\theta. $$

# Paso 3: Evaluación de la integral

Integramos $ i $ con respecto a $ \theta $ en el intervalo $ [0, 2\pi] $:

$$ \int_0^{2\pi} i \, d\theta = i \cdot \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = i \cdot (2\pi - 0) = 2\pi i. $$

Por lo tanto: $$ \oint_C \frac{dz}{z} = 2\pi i. $$

# Paso 4: Generalización para cualquier contorno cerrado que encierre el origen

La función $ f(z) = \frac{1}{z} $ es analítica en todo el plano complejo excepto en $ z = 0 $. Si consideramos un contorno cerrado $ C $ que encierra el origen y no pasa por él, podemos deformar continuamente $ C $ hasta convertirlo en la circunferencia unitaria (sin cruzar la singularidad en $ z = 0 $). Este proceso se basa en el teorema de deformación de contornos, que establece que si dos contornos son homotópicos en un dominio donde la función es analítica, entonces sus integrales son iguales.

Por lo tanto, para cualquier contorno cerrado que encierre el origen una vez en sentido antihorario:

$$ \oint_C \frac{dz}{z} = 2\pi i. $$

# Paso 5: Verificación mediante la fórmula integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy establece que, para una función $ f(z) $ analítica dentro y sobre un contorno cerrado $ C $, y para un punto $ a $ dentro de $ C $:

$$ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - a} \, dz. $$

Si tomamos $ f(z) = 1 $ (que es analítica en todo el plano complejo) y $ a = 0 $, obtenemos:

$$ 1 = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{1}{z} \, dz. $$

Multiplicando ambos lados por $ 2\pi i $:

$$ \oint_C \frac{dz}{z} = 2\pi i. $$

# Conclusión

Hemos demostrado mediante múltiples métodos —parametrización directa, teorema de deformación de contornos y fórmula integral de Cauchy— que la integral cerrada de $ \frac{dz}{z} $ alrededor de un contorno que encierra el origen es siempre igual a $ 2\pi i $. Este resultado es fundamental en el análisis complejo y refleja la naturaleza singular de la función $ \frac{1}{z} $ en el origen. $$ \boxed{2\pi i} $$

OTRA VERSIÓN

La fórmula que se solicita demostrar es un resultado fundamental en el análisis de variable compleja, y establece que la integral de contorno cerrada de $\frac{dz}{z}$ sobre una trayectoria $C$ que encierra el origen una vez, en sentido positivo, es igual a $2\pi i$. Este valor se interpreta como el índice o número de vueltas de la curva $C$ alrededor del origen, multiplicado por $2\pi i$.

La demostración se realiza parametrizando el contorno cerrado $C$ como una circunferencia centrada en el origen y evaluando la integral resultante.

Demostración de $\oint_C \frac{dz}{z} = 2\pi i$

Consideremos un contorno cerrado simple $C$ que es una circunferencia con centro en el origen $z_0 = 0$ y radio $r > 0$, recorrida en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj).

Parametrización del contorno $C$: Podemos representar cualquier punto $z$ sobre esta circunferencia utilizando la parametrización: $$ z(\theta) = r e^{i\theta} $$ donde $\theta$ varía en el intervalo $[0, 2\pi]$ para recorrer la circunferencia una vez.
Cálculo del diferencial $dz$: Derivamos $z(\theta)$ con respecto a $\theta$: $$ \frac{dz}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(r e^{i\theta}) = r (i e^{i\theta}) = i r e^{i\theta} $$ Por lo tanto, el diferencial $dz$ es: $$ dz = i r e^{i\theta} d\theta $$ .
Sustitución en la integral: Ahora sustituimos $z$ y $dz$ en la integral de contorno: $$ \oint_C \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{i r e^{i\theta} d\theta}{r e^{i\theta}} $$ .
Simplificación de la expresión: En la integral, el término $r e^{i\theta}$ en el numerador y el denominador se cancela: $$ \int_0^{2\pi} i d\theta $$ .
Evaluación de la integral definida: Finalmente, integramos la constante $i$ con respecto a $\theta$: $$ = i [\theta]_0^{2\pi} = i (2\pi - 0) = 2\pi i $$ .

Así, hemos demostrado que: $$ \oint_C \frac{dz}{z} = 2\pi i $$ Este resultado es crucial en el análisis complejo y es una base para la Fórmula Integral de Cauchy y el Teorema de los Residuos. Si el contorno no encierra el origen (o el punto $z_0$ en el caso de $\frac{dz}{z-z_0}$), la integral sería cero por el Teorema de Cauchy-Goursat, ya que el integrando sería analítico en todo el interior del contorno.

En variable compleja, la Fórmula Integral de Cauchy en el origen es un resultado fundamental que relaciona el valor de una función analítica en el origen con una integral de contorno de la función alrededor de él. Esta fórmula es una de las "piedras angulares del análisis complejo".

Fórmula Integral de Cauchy en el origen

Si $f(z)$ es una función analítica (u holomorfa, o suave-compleja) en una región que contiene el origen y un contorno cerrado simple $C$ que encierra el origen, entonces el valor de la función en el origen, $f(0)$, se puede expresar como: $$ f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} dz $$ donde $C$ es un contorno cerrado simple orientado positivamente (en sentido contrario a las agujas del reloj) que rodea el origen, y $f(z)$ es analítica en el interior y sobre $C$.

Demostración

La demostración de esta fórmula se basa en el Teorema de Cauchy-Goursat y en la continuidad de las funciones analíticas. Utilizaremos la versión general de la fórmula integral de Cauchy para un punto $z_0$ interior a un contorno $C$, y luego la aplicaremos al caso específico donde $z_0 = 0$.

Teorema General de la Fórmula Integral de Cauchy: Sea $f(z)$ una función analítica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado simple $C$, orientado positivamente. Si $z_0$ es un punto interior a $C$, entonces: $$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz $$

Para demostrar esto, consideremos la integral: $$ I = \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz $$

Introduce un contorno pequeño $C_1$: Sea $C_1$ una circunferencia de radio pequeño $\delta$ centrada en $z_0$, es decir, $C_1: |z - z_0| = \delta$, recorrida en sentido positivo. Elegimos $\delta$ tan pequeño que $C_1$ esté completamente contenida en el interior de $C$..
Aplicación del Teorema de Cauchy-Goursat a regiones multiplemente conexas: La función $\frac{f(z)}{z - z_0}$ es analítica en la región anular comprendida entre $C$ y $C_1$. Por una extensión del Teorema de Cauchy-Goursat para dominios multiplemente conexos (conocido como principio de deformación de caminos), la integral de la función sobre $C$ es igual a la integral sobre $C_1$: $$ \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \oint_{C_1} \frac{f(z)}{z - z_0} dz $$
Descomposición de la integral sobre $C_1$: Podemos reescribir la integral sobre $C_1$ de la siguiente manera: $$ \oint_{C_1} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \oint_{C_1} \frac{f(z) - f(z_0) + f(z_0)}{z - z_0} dz = \oint_{C_1} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz + \oint_{C_1} \frac{f(z_0)}{z - z_0} dz $$
Evaluación de la segunda parte: La función $f(z_0)$ es una constante. La integral de una constante dividida por $(z - z_0)$ ya ha sido demostrada en nuestra conversación anterior, donde si $C_1$ es una circunferencia que rodea $z_0$ una vez: $$ \oint_{C_1} \frac{f(z_0)}{z - z_0} dz = f(z_0) \oint_{C_1} \frac{1}{z - z_0} dz = f(z_0) (2\pi i) $$ Este resultado es clave y se obtiene parametrizando $C_1$ como $z(\theta) = z_0 + \delta e^{i\theta}$ para $\theta \in [0, 2\pi]$.
Demostración de que la primera parte tiende a cero: Ahora debemos mostrar que $\oint_{C_1} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz$ tiende a cero cuando $\delta \to 0$. Puesto que $f$ es analítica, es continua en $z_0$. Por la definición de continuidad, para cualquier $\epsilon > 0$ que elijamos, existe un $\delta > 0$ tal que si $|z - z_0| < \delta$, entonces $|f(z) - f(z_0)| < \epsilon$. Usando la propiedad de acotación para integrales de contorno (la desigualdad ML): $$ \left| \oint_{C_1} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz \right| \leq \max_{z \in C_1} \left| \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \right| \cdot L(C_1) $$ Donde $L(C_1)$ es la longitud del contorno $C_1$, que es $2\pi\delta$. Para cualquier $z$ en $C_1$, tenemos $|z - z_0| = \delta$. Así, por la continuidad de $f$: $$ \max_{z \in C_1} \left| \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \right| < \frac{\epsilon}{\delta} $$ Sustituyendo esto en la desigualdad de la integral: $$ \left| \oint_{C_1} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz \right| < \frac{\epsilon}{\delta} \cdot (2\pi\delta) = 2\pi\epsilon $$ Dado que $\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente pequeño, esto implica que la integral $\oint_{C_1} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz$ debe ser cero.
Conclusión para la fórmula general: Combinando los resultados anteriores: $$ \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 0 + f(z_0)(2\pi i) $$ Despejando $f(z_0)$, obtenemos la Fórmula Integral de Cauchy general: $$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz $$
Aplicación para el origen ($z_0 = 0$): Finalmente, si tomamos el punto $z_0 = 0$ (el origen) como el punto interior al contorno, la fórmula se simplifica a la expresión solicitada: $$ f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} dz $$ Esta fórmula se aplica cuando $f(z)$ es holomorfa en el origen (es decir, suave-compleja en una región que contiene el origen) y el contorno $C$ es un lazo que rodea el origen o cualquier lazo homólogo a aquel, en el dominio de la función del que se ha eliminado el origen.

OTRA VERSIÓN

# Fórmula Integral de Cauchy en el Origen

Teorema:

Sea $ f $ una función analítica en un dominio simplemente conexo $ D $ que contiene una curva cerrada simple $ C $ y su interior. Si $ 0 $ está dentro de $ C $, entonces:

$$ f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz. $$

Demostración

Paso 1: Deformación del contorno

Dado que $ f $ es analítica en $ D $, consideramos un círculo pequeño $ \gamma $ de radio $ r > 0 $ centrado en el origen, completamente contenido dentro de $ C $. La función $ \frac{f(z)}{z} $ es analítica en el dominio entre $ C $ y $ \gamma $ (excluyendo solo el punto $ z = 0 $), por lo que, según el **teorema de deformación de contornos**, se cumple:

$$ \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz = \oint_\gamma \frac{f(z)}{z} \, dz. $$

Paso 2: Parametrización del círculo $ \gamma $

Parametrizamos $ \gamma $ como $ z = re^{i\theta} $, con $ \theta \in [0, 2\pi] $. Entonces:

- $ dz = ire^{i\theta} d\theta $,

- $ \frac{1}{z} = \frac{e^{-i\theta}}{r} $.

Sustituyendo en la integral: $$ \oint_\gamma \frac{f(z)}{z} \, dz = \int_0^{2\pi} \frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}} \cdot ire^{i\theta} \, d\theta. $$

Simplificando el integrando:

$$ \frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}} \cdot ire^{i\theta} = i f(re^{i\theta}), $$

por lo que la integral se reduce a: $$ \oint_\gamma \frac{f(z)}{z} \, dz = i \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) \, d\theta. $$

Paso 3: Límite cuando $ r \to 0 $

Dado que $ f $ es analítica en $ z = 0 $, es continua en un entorno de $ 0 $. Por definición de continuidad, para todo $ \epsilon > 0 $, existe $ \delta > 0 $ tal que si $ |z| < \delta $, entonces $ |f(z) - f(0)| < \epsilon $. Para $ r < \delta $, se cumple:

$$ \left| \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) \, d\theta - f(0) \right| = \left| \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} [f(re^{i\theta}) - f(0)] \, d\theta \right| \leq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta}) - f(0)| \, d\theta < \epsilon. $$

Esto implica que: $$ \lim_{r \to 0} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) \, d\theta = f(0). $$

Multiplicando por $ i $, obtenemos: $$ \lim_{r \to 0} i \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) \, d\theta = 2\pi i f(0). $$

Por lo tanto, para $ r $ suficientemente pequeño: $$ \oint_\gamma \frac{f(z)}{z} \, dz = 2\pi i f(0). $$

Paso 4: Conclusión

Como $ \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz = \oint_\gamma \frac{f(z)}{z} \, dz $, se tiene:

$$ \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz = 2\pi i f(0). $$

Dividiendo ambos lados por $ 2\pi i $, obtenemos la fórmula deseada: $$ \boxed{f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz}. $$

Comentario Final

Esta fórmula es un caso particular de la **fórmula integral de Cauchy** generalizada, que establece que para cualquier punto $ a $ dentro de $ C $, se cumple:

$$ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - a} \, dz. $$

En este caso, al tomar $ a = 0 $, se obtiene la expresión específica solicitada. La demostración se basa en propiedades fundamentales del análisis complejo: continuidad de funciones analíticas, teorema de deformación de contornos y convergencia uniforme de integrales. Este resultado es esencial en la teoría de funciones complejas y tiene aplicaciones en cálculo de residuos, series de potencias y resolución de ecuaciones diferenciales.

DERIVADAS N-ÉSIMAS

Dando por conocida el enunciado y la demostración de la fórmula integral de Cauchy en el punto $z=0$, a continuación se enuncia y demuestra la fórmula integral para la derivada enésima de la función en el mismo punto.

Enunciado de la Fórmula Integral de Cauchy para la Derivada Enésima en el Origen

Si $f(z)$ es una función analítica (u holomorfa) en una región que contiene el origen y un contorno cerrado simple $C$ que encierra el origen, orientado positivamente (en sentido contrario a las agujas del reloj), entonces el valor de la derivada enésima de la función en el origen, $f^{(n)}(0)$, se puede expresar como: $$ \boxed{f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz} $$ donde $n$ es un entero no negativo ($n = 0, 1, 2, \ldots$), y $f(z)$ es analítica en el interior y sobre $C$.

Demostración

La demostración de esta fórmula se realiza generalmente por inducción matemática a partir de la Fórmula Integral de Cauchy (que corresponde al caso $n=0$), utilizando la definición de la derivada y propiedades de las integrales de contorno.

Paso Base ($n=0$): Para $n=0$, la fórmula establece que: $$ f^{(0)}(0) = \frac{0!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z^{0+1}} dz $$ $$ f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} dz $$ Esta es precisamente la Fórmula Integral de Cauchy en el origen, que se nos ha dado por conocida. Así, el caso base está establecido.

Paso Inductivo: Asumimos que la fórmula es válida para un entero no negativo $k$, es decir, para un punto interior $z_0$ (y posteriormente lo aplicaremos al origen): $$ f^{(k)}(z_0) = \frac{k!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{k+1}} ds $$ Queremos demostrar que la fórmula es válida para $n=k+1$, es decir: $$ f^{(k+1)}(z_0) = \frac{(k+1)!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{k+2}} ds $$ Partimos de la definición de la derivada $(k+1)$-ésima de $f$ en $z_0$: $$ f^{(k+1)}(z_0) = \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{f^{(k)}(z_0 + \Delta z_0) - f^{(k)}(z_0)}{\Delta z_0} $$ Sustituimos la expresión de $f^{(k)}$ de nuestra hipótesis de inducción: $$ f^{(k+1)}(z_0) = \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{\Delta z_0} \left[ \frac{k!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - (z_0 + \Delta z_0))^{k+1}} ds - \frac{k!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{k+1}} ds \right] $$ Podemos sacar el factor constante $\frac{k!}{2\pi i}$ fuera del límite y de la integral: $$ f^{(k+1)}(z_0) = \frac{k!}{2\pi i} \lim_{\Delta z_0 \to 0} \oint_C f(s) \left[ \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)^{k+1}} - \frac{1}{(s - z_0)^{k+1}} \right) \right] ds $$ Para justificar el intercambio del límite y la integral, se utiliza el hecho de que $f(s)$ es continua en $C$ (y por tanto acotada), y la expresión dentro del corchete tiende uniformemente a la derivada del término $\frac{1}{(s-z_0)^{k+1}}$ con respecto a $z_0$. La demostración rigurosa implica el uso de la desigualdad ML para mostrar que la integral de la diferencia tiende a cero.

El término del cociente de diferencias dentro del corchete es, de hecho, la definición de la derivada con respecto a $z_0$ de la función $g(z_0) = \frac{1}{(s-z_0)^{k+1}}$: $$ \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)^{k+1}} - \frac{1}{(s - z_0)^{k+1}} \right) = \frac{d}{dz_0} \left( \frac{1}{(s - z_0)^{k+1}} \right) $$ Calculando esta derivada: $$ \frac{d}{dz_0} (s - z_0)^{-(k+1)} = -(k+1)(s - z_0)^{-(k+1)-1} \cdot (-1) = (k+1)(s - z_0)^{-(k+2)} = \frac{k+1}{(s - z_0)^{k+2}} $$ Sustituyendo este límite de nuevo en la integral (y justificando el intercambio de límite e integral): $$ f^{(k+1)}(z_0) = \frac{k!}{2\pi i} \oint_C f(s) \frac{k+1}{(s - z_0)^{k+2}} ds $$ $$ f^{(k+1)}(z_0) = \frac{(k+1)!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{k+2}} ds $$ Esta es la fórmula para $n=k+1$. Por el principio de inducción matemática, la fórmula es válida para todo entero no negativo $n$.

Especialización para el origen ($z_0=0$): Como la pregunta solicita la fórmula específicamente en el origen, sustituimos $z_0=0$ en la fórmula general obtenida: $$ f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - 0)^{n+1}} dz $$ $$ \boxed{f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz} $$ Donde $f(z)$ es una función analítica en el interior y sobre el contorno cerrado simple $C$, orientado positivamente, que encierra el origen.

OTRA VERSIÓN

Enunciado de la Fórmula Integral de Cauchy para la Derivada Enésima en el Origen

Demostración

LOS CASOS N=1 Y N=2 DEMOSTRADOS DIRECTAMENTE

¡Claro! Con gusto desglosamos la demostración de la Fórmula Integral de Cauchy para la derivada enésima, específicamente para $n=1$ y $n=2$, centrando los pasos en la aplicación directa de la definición de derivada.

Recordemos la Fórmula Integral de Cauchy en el origen (caso $n=0$): Si $f(z)$ es analítica en una región que contiene el origen y un contorno cerrado simple $C$ que encierra el origen positivamente, entonces: $$ f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} dz $$ Y la Fórmula Integral de Cauchy general para $f(z_0)$: $$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{s - z_0} ds $$ donde $z_0$ es un punto interior a $C$ y $f(s)$ es analítica en el interior y sobre $C$.

La fórmula integral para la derivada enésima de $f$ en un punto $z_0$ es: $$ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{n+1}} ds $$ Ahora, vamos a demostrar esto directamente para $n=1$ y $n=2$, y luego aplicaremos a $z_0=0$.

Demostración para $n=1$ (Primera Derivada)

Queremos demostrar que $f'(z_0) = \frac{1!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{1+1}} ds = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^2} ds$.

Partimos de la definición de la primera derivada de $f$ en $z_0$: $$ f'(z_0) = \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z_0) - f(z_0)}{\Delta z_0} $$ Sustituimos la Fórmula Integral de Cauchy para $f(z_0 + \Delta z_0)$ y $f(z_0)$: $$ f'(z_0) = \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{\Delta z_0} \left[ \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{s - (z_0 + \Delta z_0)} ds - \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{s - z_0} ds \right] $$ Sacamos el factor común $\frac{1}{2\pi i}$ y combinamos las integrales: $$ f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{\Delta z_0 \to 0} \oint_C f(s) \left[ \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{1}{s - z_0 - \Delta z_0} - \frac{1}{s - z_0} \right) \right] ds $$ Ahora, manipulamos el término dentro del corchete: $$ \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{(s - z_0) - (s - z_0 - \Delta z_0)}{(s - z_0 - \Delta z_0)(s - z_0)} \right) = \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{\Delta z_0}{(s - z_0 - \Delta z_0)(s - z_0)} \right) $$ $$ = \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)(s - z_0)} $$ Sustituyendo esto de nuevo en la expresión de la derivada: $$ f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{\Delta z_0 \to 0} \oint_C f(s) \left[ \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)(s - z_0)} \right] ds $$ Dado que $f(s)$ es analítica y por lo tanto continua, y la convergencia es uniforme en $C$, podemos intercambiar el límite con la integral: $$ f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(s) \left[ \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)(s - z_0)} \right] ds $$ Al tomar el límite, $\Delta z_0 \to 0$: $$ \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)(s - z_0)} = \frac{1}{(s - z_0)(s - z_0)} = \frac{1}{(s - z_0)^2} $$ Por lo tanto, obtenemos: $$ \boxed{f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^2} ds} $$ Para el origen ($z_0=0$): $$ \boxed{f'(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z^2} dz} $$

Demostración para $n=2$ (Segunda Derivada)

Queremos demostrar que $f''(z_0) = \frac{2!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^{2+1}} ds = \frac{2}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^3} ds$.

Partimos de la definición de la segunda derivada de $f$ en $z_0$: $$ f''(z_0) = \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{f'(z_0 + \Delta z_0) - f'(z_0)}{\Delta z_0} $$ Sustituimos la fórmula que acabamos de demostrar para $f'(z_0)$ (y $f'(z_0 + \Delta z_0)$): $$ f''(z_0) = \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{\Delta z_0} \left[ \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - (z_0 + \Delta z_0))^2} ds - \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^2} ds \right] $$ De nuevo, sacamos el factor común $\frac{1}{2\pi i}$ y combinamos las integrales: $$ f''(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{\Delta z_0 \to 0} \oint_C f(s) \left[ \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)^2} - \frac{1}{(s - z_0)^2} \right) \right] ds $$ El término entre corchetes es la definición de la derivada con respecto a $z_0$ de la función $g(z_0) = \frac{1}{(s - z_0)^2} = (s - z_0)^{-2}$: $$ \lim_{\Delta z_0 \to 0} \frac{1}{\Delta z_0} \left( \frac{1}{(s - z_0 - \Delta z_0)^2} - \frac{1}{(s - z_0)^2} \right) = \frac{d}{dz_0} \left( (s - z_0)^{-2} \right) $$ Calculando esta derivada: $$ \frac{d}{dz_0} (s - z_0)^{-2} = -2(s - z_0)^{-2-1} \cdot (-1) = 2(s - z_0)^{-3} = \frac{2}{(s - z_0)^3} $$ Sustituyendo este resultado de nuevo en la integral (y justificando el intercambio de límite e integral por argumentos de continuidad y convergencia uniforme, similares al caso $n=1$): $$ f''(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(s) \frac{2}{(s - z_0)^3} ds $$ $$ \boxed{f''(z_0) = \frac{2!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(s)}{(s - z_0)^3} ds} $$ Para el origen ($z_0=0$): $$ \boxed{f''(0) = \frac{2!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z^3} dz} $$

De esta manera, se demuestra directamente la validez de la Fórmula Integral de Cauchy para las derivadas primera y segunda en el punto $z_0$ (y por extensión en el origen $z_0=0$), mostrando cómo cada derivada introduce un factor $n!$ y eleva la potencia del denominador a $(n+1)$. Como notan algunas fuentes, la demostración para casos específicos como $n=1, 2$ es más sencilla de seguir que la demostración general por inducción, que puede ser "más enrevesada".

OTRA VERSIÓN

Cálculo directo para $ n = 1 $:

Comenzamos con la fórmula integral de Cauchy para un punto general $ w $ dentro de la circunferencia $ \gamma $ (centrada en $ 0 $, radio $ r < R $):

$$ f(w) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - w} \, dz $$

Diferenciamos ambos lados respecto a $ w $ (justificado por el teorema de diferenciación bajo el signo integral, ya que $ f $ es analítica):

$$ f'(w) = \frac{d}{dw} \left( \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{f(z)}{z - w} \right) dz $$

Calculamos la derivada del integrando:

$$ \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{1}{z - w} \right) = \frac{1}{(z - w)^2}$$

Sustituyendo: $$ f'(w) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - w)^2} \, dz $$

Evaluamos en $ w = 0 $:

$$ f'(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z^2} \, dz $$

Esto coincide con la fórmula general para $ n = 1 $, ya que $ 1! = 1 $.

Cálculo directo para $ n = 2 $:

Partimos de la expresión para $ f'(w) $ obtenida anteriormente:

$$ f'(w) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - w)^2} \, dz $$

Diferenciamos nuevamente respecto a $ w $:

$$ f''(w) = \frac{d}{dw} \left( \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - w)^2} \, dz \right) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{f(z)}{(z - w)^2} \right) dz $$

Calculamos la derivada del integrando:

$$ \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{1}{(z - w)^2} \right) = \frac{2}{(z - w)^3}$$

Sustituyendo:

$$ f''(w) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \cdot \frac{2}{(z - w)^3} \, dz = \frac{2}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - w)^3} \, dz = \frac{2!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - w)^3} \, dz $$

Evaluamos en $ w = 0 $:

$$ f''(0) = \frac{2!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z^3} \, dz $$

Esto confirma la fórmula para $ n = 2 $.

Conclusión:

Para $ n = 1 $ y $ n = 2 $, hemos derivado directamente las fórmulas:

- $ \displaystyle f'(0) = \frac{1!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z^{2}} \, dz $

- $ \displaystyle f''(0) = \frac{2!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z^{3}} \, dz $

Este método de diferenciación bajo el signo integral es aplicable para cualquier orden $ n $, generando la fórmula general:

$$ \boxed{f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z^{n+1}} \, dz} $$

Concepto de función analítica

Concepto de función analítica en análisis complejo

En análisis complejo, una función analítica (también llamada holomorfa) es una función compleja con propiedades extraordinariamente "rígidas" y elegantes. A diferencia del análisis real, donde la diferenciabilidad no garantiza representabilidad por series de potencias, en el ámbito complejo estas dos ideas son equivalentes. Esto es una de las razones por las que el análisis complejo es tan poderoso.

Definición formal

Sea $ f: U \to \mathbb{C} $ una función definida en un conjunto abierto $ U \subseteq \mathbb{C} $. Decimos que $ f $ es analítica en un punto $ z_0 \in U $ si:

1. Es complejo diferenciable en un entorno de $ z_0 $ (es decir, la derivada compleja existe en todos los puntos de algún disco centrado en $ z_0 $).

2. Equivalentemente, $ f $ puede representarse como una serie de potencias convergente en un entorno de $ z_0 $ : $$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n, \quad \text{para } |z - z_0| < R \text{ (con $ R > 0 $)}. $$

Si $ f $ es analítica en todo punto de $ U $, decimos que $ f $ es analítica en $ U $ (u holomorfa en $ U $).

¿Por qué es importante la diferencia con el análisis real?

En el **análisis real**, una función puede ser infinitamente diferenciable (**suave**) sin ser analítica. Por ejemplo, la función: $$ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & \text{si } x \neq 0, \\ 0 & \text{si } x = 0, \end{cases} $$

es suave en $ \mathbb{R} $, pero su serie de Taylor en $ x = 0 $ es cero, lo que no coincide con la función en ningún entorno de $ 0 $.

En análisis complejo, esto nunca ocurre: si una función es complejo diferenciable en un entorno de un punto, automáticamente es representable por una serie de potencias convergente en ese entorno. Esta rigidez es clave para muchos teoremas fundamentales.

Ejemplos clave

- **Funciones enteras** (analíticas en todo $ \mathbb{C} $):

- Polinomios: $ f(z) = z^2 + 3z + 1 $.

- Exponencial: $ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $.

- Seno y coseno: $ \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!} $, $ \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} $.

- **Funciones analíticas en dominios restringidos**:

- $ f(z) = \frac{1}{z} $ es analítica en $ \mathbb{C} \setminus \{0\} $ (no analítica en $ z = 0 $).

- $ f(z) = \sqrt{z} $ es analítica en $ \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] $ (con una rama adecuada).

### **Funciones que NO son analíticas**

- **Conjugado complejo**: $ f(z) = \overline{z} $.

- No es complejo diferenciable en ningún punto (falla las ecuaciones de Cauchy-Riemann).

- **Módulo**: $ f(z) = |z|^2 = z \overline{z} $.

- Solo es diferenciable en $ z = 0 $, pero no en un entorno, por lo que no es analítica.

- **Parte real o imaginaria**: $ f(z) = \operatorname{Re}(z) = x $ o $ f(z) = \operatorname{Im}(z) = y $.

- No satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ningún punto.

### **Propiedades fundamentales de las funciones analíticas**

1. **Diferenciabilidad infinita**:

Si $ f $ es analítica en $ U $, entonces todas sus derivadas $ f', f'', f''', \dots $ existen y son también analíticas en $ U $.

2. **Ecuaciones de Cauchy-Riemann**:

Si $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ (donde $ z = x + iy $), entonces $ f $ es analítica si y solo si: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, $$

y las derivadas parciales de $ u $ y $ v $ son continuas.

3. Partes real e imaginaria son armónicas:

Las funciones $ u $ y $ v $ satisfacen la **ecuación de Laplace**: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0. $$

4. **Teorema de Cauchy y fórmula integral**:

Si $ f $ es analítica en un dominio simplemente conexo $ D $, entonces:

- $ \oint_\gamma f(z) \, dz = 0 $ para cualquier curva cerrada $ \gamma \subset D $ (teorema de Cauchy).

- $ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz $ (fórmula integral de Cauchy para derivadas).

5. **Teorema de identidad**:

Si dos funciones analíticas coinciden en un conjunto con un punto límite en su dominio común, entonces son idénticas en todo el dominio conectado.

#### **¿Por qué "analítica" es tan especial?**

La condición de ser **complejo diferenciable** es mucho más restrictiva que la de ser diferenciable en el sentido real. Esto implica que las funciones analíticas tienen una estructura muy organizada: no pueden "oscilar" arbitrariamente, y su comportamiento local determina su comportamiento global. Por ejemplo, si conoces una función analítica en un pequeño disco, puedes extenderla de manera única a todo su dominio maximal (si es posible).

Esta rigidez es la razón por la que el análisis complejo tiene resultados tan profundos, como la **representación conforme** (preservación de ángulos), la **teoría de residuos** para calcular integrales reales, y aplicaciones en física (electromagnetismo, fluidos, etc.).

#### **En resumen**

Una **función analítica** en análisis complejo es aquella que:

- Es complejo diferenciable en un entorno de cada punto de su dominio.

- Equivale a ser representable por una serie de potencias convergente localmente.

- Tiene propiedades extraordinarias (infinita diferenciabilidad, teoremas integrales, rigidez global) que no existen en el análisis real.

Este concepto es la piedra angular del análisis complejo y explica por qué herramientas como la **fórmula integral de Cauchy** funcionan tan bien. ✅

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