Analiticidad en funciones reales de variable real

 Gemini y Qwen

1) Considero la función 1/((x-2)(x-8)) como función real de variable real. ¿Es analítica en su dominio? ¿Hay una sola serie de potencias que la desarrolle en todo su dominio?

2) Me refiero a la función de la primera pregunta,  1/((x-2)(x-8)) ¿Cuál sería el desarrollo en serie de potencias de esta función, considerada como función real de variable real, en x=0 y en qué intervalo sería válido?

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La función dada es $ f(x) = \frac{1}{(x - 2)(x - 8)} $, considerada como una función real de variable real.

 Análisis de la analiticidad en su dominio

El dominio de la función es $ \mathbb{R} \setminus \{2, 8\} $, ya que el denominador se anula en $ x = 2 $ y $ x = 8 $. Una función racional como esta es analítica en todos los puntos donde está definida. Esto se debe a que las funciones racionales son cocientes de polinomios, y los polinomios son funciones analíticas en todo $ \mathbb{R} $. Además, el cociente de dos funciones analíticas es analítico donde el denominador no se anula.

Para verificarlo más detalladamente, se puede descomponer la función en fracciones parciales:

$$ f(x) = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x - 2} \right) $$

Cada término de esta descomposición puede expandirse en series de potencias alrededor de cualquier punto en el dominio, con un radio de convergencia determinado por la distancia al punto singular más cercano. Por ejemplo, alrededor de $ x = 0 $, la serie converge en $ (-2, 2) $, y alrededor de $ x = 5 $, converge en $ (2, 8) $. Esto confirma que la función es analítica en cada punto de su dominio.

Por lo tanto,la función es analítica en su dominio.

Existencia de una única serie de potencias en todo el dominio

El dominio de la función está formado por tres intervalos disjuntos: $ (-\infty, 2) $, $ (2, 8) $ y $ (8, \infty) $. Una serie de potencias converge en un intervalo conectado alrededor de su centro. Dado que el dominio de la función es disconexo, no puede existir una única serie de potencias que converja en todo el dominio.

Para encontrar el desarrollo en serie de potencias de la función $ f(x) = \frac{1}{(x - 2)(x - 8)} $ alrededor de $ x = 0 $, seguiremos los siguientes pasos:

1. Descomposición en fracciones parciales

La función puede descomponerse como:

$$ f(x) = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x - 2} \right) $$

2. Expansión en series de potencias

Término $ \frac{1}{x - 8} $:

$$ \frac{1}{x - 8} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{8}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^{n+1}}, \quad |x| < 8 $$

Término $ -\frac{1}{x - 2} $:

$$ -\frac{1}{x - 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}}, \quad |x| < 2 $$

3. Combinación de las series

Sustituyendo en la expresión original:

$$ f(x) = \frac{1}{6} \left( -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{8^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}} \right) $$

Reorganizando:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{8^{n+1}} \right) x^n $$

Este es el desarrollo en serie de potencias de $ f(x) $ alrededor de $ x = 0 $.

4. Intervalo de validez

 La serie para $ \frac{1}{x - 8} $ converge cuando $ |x| < 8 $.

 La serie para $ -\frac{1}{x - 2} $ converge cuando $ |x| < 2 $.

El intervalo de convergencia de la serie combinada es la intersección de ambos, es decir, $ |x| < 2 $. Además, la función tiene una singularidad en $ x = 2 $, por lo que la serie no converge en $ x = 2 $ ni en $ x = -2 $ (verificación detallada muestra divergencia en los extremos).

Por lo tanto, el intervalo de validez es:

$$ (-2, 2) $$

Respuesta final

El desarrollo en serie de potencias de $ f(x) $ alrededor de $ x = 0 $ es:

$$ \boxed{f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{6 \cdot 2^{n+1}} - \frac{1}{6 \cdot 8^{n+1}} \right) x^n} $$

y es válido en el intervalo:

$$ \boxed{(-2, 2)}$$

Para el intervalo $ (2, 8) $, existe una serie de potencias centrada en $ x = 5 $ que converge en todo el intervalo. Sin embargo, para los intervalos $ (-\infty, 2) $ y $ (8, \infty) $, cualquier serie de potencias centrada en un punto dentro de estos intervalos tendrá un radio de convergencia limitado por la distancia al punto singular más cercano (2 o 8), por lo que no puede cubrir todo el intervalo.

Además, una serie de potencias no puede "saltar" sobre los puntos singulares $ x = 2 $ y $ x = 8 $, ya que su intervalo de convergencia es siempre un conjunto conectado. Por lo tanto, no existe una única serie de potencias que represente la función en todo su dominio.

 Conclusión

La función es analítica en su dominio: $\boxed{Sí}$

 No hay una sola serie de potencias que la desarrolle en todo su dominio: $\boxed{No}$