Algo sobre Topología

Explícame los conceptos topológicos $T_i$ con $i=1, 2, 3, 4,5 $ de la forma más sencilla posible, más o menos para principiantes o para estudiantes que recién empiezan a estudiar topología, poniendo ejemplos y contra ejemplos cuando sea posible.

¡Claro! Vamos a explicar los conceptos topológicos $ T_i $ (para $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $) de forma sencilla, con ejemplos y contraejemplos para que sea fácil de entender. Estos conceptos describen cómo "separan" los puntos y conjuntos en un espacio topológico. A medida que aumenta el valor de $ i $, las condiciones se vuelven más estrictas.

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### **$ T_1 $: Espacio Fréchet**

**Definición simple:**

En un espacio $ T_1 $, para cualquier par de puntos distintos $ x $ e $ y $, puedes encontrar un conjunto abierto que contenga a $ x $ pero no a $ y $, y otro que contenga a $ y $ pero no a $ x $. Otra forma de decirlo es que cada punto individual es un conjunto cerrado (su complemento es abierto).

**Ejemplo:**

Los números reales con la topología usual.

- Si tomas un punto $ x $, el conjunto $ \{x\} $ es cerrado porque su complemento es $ (-\infty, x) \cup (x, \infty) $, que es abierto.

**Contraejemplo:**

El **espacio de Sierpiński** con dos puntos $ \{a, b\} $, donde los conjuntos abiertos son $ \emptyset $, $ \{a\} $ y $ \{a, b\} $.

- Aquí, $ \{b\} $ es cerrado (su complemento $ \{a\} $ es abierto), pero $ \{a\} $ **no es cerrado** (su complemento $ \{b\} $ no es abierto).

- Por lo tanto, no puedes encontrar un conjunto abierto que contenga a $ b $ sin incluir a $ a $. ¡No es $ T_1 $!

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### **$ T_2 $: Espacio Hausdorff**

**Definición simple:**

En un espacio $ T_2 $ (también llamado Hausdorff), para cualquier par de puntos distintos $ x $ e $ y $, puedes encontrar **dos conjuntos abiertos disjuntos**: uno que contenga a $ x $ y otro que contenga a $ y $.

**Ejemplo:**

Los números reales con la topología usual.

- Si $ x < y $, toma un intervalo alrededor de $ x $ (por ejemplo, $ (x - \varepsilon, x + \varepsilon) $) y otro alrededor de $ y $ (por ejemplo, $ (y - \varepsilon, y + \varepsilon) $), con $ \varepsilon = (y - x)/2 $. Estos intervalos no se superponen.

**Contraejemplo:**

La **topología cofinita** en un conjunto infinito (como los números naturales).

- En esta topología, los conjuntos abiertos son aquellos cuyo complemento es finito.

- Si tomas dos puntos $ x $ e $ y $, cualquier conjunto abierto que contenga a $ x $ también contendrá a $ y $ (porque solo falta un número finito de puntos), y viceversa. ¡No puedes separarlos con abiertos disjuntos!

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### **$ T_3 $: Espacio Regular**

**Definición simple:**

Es un espacio $ T_1 $ que además es **regular**: para cualquier punto $ x $ y cualquier conjunto cerrado $ C $ que **no contiene** a $ x $, puedes encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos: uno que contenga a $ x $ y otro que contenga a $ C $.

**Ejemplo:**

Los números reales con la topología usual.

- Si tienes un punto $ x $ y un conjunto cerrado $ C $ que no lo incluye (por ejemplo, $ C = [2, 3] $ y $ x = 1 $), puedes encontrar un intervalo alrededor de $ x $ que no toque $ C $, y otro abierto que cubra $ C $ sin tocar ese intervalo.

**Contraejemplo:**

La **recta con dos orígenes**.

- Imagina dos copias de la recta real, pero identificamos todos los puntos excepto los orígenes. Tenemos dos puntos distintos $ 0_1 $ y $ 0_2 $ (los "orígenes").

- Cada punto es cerrado (es $ T_1 $), pero si tomas $ 0_1 $ como punto y $ \{0_2\} $ como conjunto cerrado, **no puedes separarlos con abiertos disjuntos**. Cualquier vecindad de $ 0_1 $ incluye puntos cercanos a $ 0_2 $, y viceversa. ¡No es regular!

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### **$ T_4 $: Espacio Normal**

**Definición simple:**

Es un espacio $ T_1 $ que además es **normal**: para cualquier par de conjuntos cerrados **disjuntos** $ A $ y $ B $, puedes encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos: uno que contenga a $ A $ y otro que contenga a $ B $.

**Ejemplo:**

Los números reales con la topología usual.

- Si tienes dos conjuntos cerrados disjuntos (por ejemplo, $ A = [-2, -1] $ y $ B = [1, 2] $), puedes encontrar intervalos abiertos que los contengan sin superponerse.

**Contraejemplo:**

El **plano de Moore** (también llamado Niemytzki).

- Imagina el semiplano superior incluyendo el eje $ x $. Para puntos sobre el eje $ x $, las vecindades son discos "tangentes" al eje en ese punto.

- Aunque es $ T_3 $, **no es normal**: existen dos conjuntos cerrados disjuntos que no puedes separar con abiertos disjuntos. ¡No es $ T_4 $!

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### **$ T_5 $: Espacio Completamente Normal**

**Definición simple:**

Es un espacio $ T_1 $ que es **completamente normal**: **todo subespacio** suyo es normal (es decir, en cualquier parte del espacio, si tienes dos conjuntos cerrados disjuntos, puedes separarlos con abiertos).

**Ejemplo:**

Los números reales con la topología usual.

- Cualquier subespacio de $ \mathbb{R} $ (como un intervalo, un círculo, etc.) es normal porque es metrizable. ¡Es $ T_5 $!

**Contraejemplo:**

La **plancha de Tychonoff** (producto de dos espacios ordinales: $ [0, \omega_1] \times [0, \omega] $, donde $ \omega_1 $ es el primer ordinal no numerable y $ \omega $ es el primer ordinal infinito).

- Este espacio es normal (es $ T_4 $), pero tiene un **subespacio que no es normal**. Por ejemplo, si quitas el punto $ (\omega_1, \omega) $, el subespacio restante no es normal. ¡No es $ T_5 $!

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### **Resumen visual:**

- **$ T_1 $**: Cada punto es cerrado.

- **$ T_2 $**: Puntos distintos se separan con abiertos disjuntos.

- **$ T_3 $**: Punto y conjunto cerrado se separan con abiertos disjuntos (además de $ T_1 $).

- **$ T_4 $**: Conjuntos cerrados disjuntos se separan con abiertos disjuntos (además de $ T_1 $).

- **$ T_5 $**: Todo subespacio es normal (además de $ T_1 $).

**Importante:**

- Si un espacio es $ T_5 $, también es $ T_4 $, $ T_3 $, $ T_2 $ y $ T_1 $.

- Pero no al revés: un espacio $ T_1 $ no necesariamente es $ T_2 $, y así sucesivamente.

¡Espero que esto te ayude a entender estos conceptos de forma clara! 😊

OTRA VERSIÓN

En topología, los axiomas de separación o axiomas $T_{i}$ son una serie de condiciones que clasifican los espacios topológicos según su capacidad para "separar" puntos y conjuntos. Imagina que un espacio topológico es un conjunto de puntos con una noción de "proximidad". Estos axiomas nos dicen cuán "finamente" podemos distinguir o separar esos puntos y conjuntos.

$T_{0}$ : Axioma de Kolmogorov

Un espacio topológico es $T_{0}$ si, para cualquier par de puntos distintos, al menos uno de ellos tiene un entorno que no contiene al otro. En términos simples, si tienes dos puntos diferentes, no puedes hacerlos completamente indistinguibles. Al menos una de las "bolas" alrededor de uno de los puntos no toca al otro.

Ejemplo: La recta real $R$ con su topología usual. Si tomas dos puntos $x$ y $y$ distintos, siempre puedes encontrar un intervalo abierto alrededor de $x$ que no contenga a $y$ .
Contraejemplo: Considera un conjunto con dos puntos, $X = {a, b}$ , y la topología trivial $T = {\emptyset, {a, b}}$ . El único entorno de $a$ es ${a, b}$ , que también contiene a $b$ . Lo mismo ocurre con $b$ . No puedes separar $a$ de $b$ con ningún entorno.

$T_{1}$ : Axioma de Fréchet

Un espacio topológico es $T_{1}$ si, para cualquier par de puntos distintos, cada uno tiene un entorno que no contiene al otro. Esto es una condición más fuerte que $T_{0}$ . Aquí, la separación es recíproca: el entorno de $x$ no contiene a $y$ , y el entorno de $y$ no contiene a $x$ . Una propiedad clave de los espacios $T_{1}$ es que todos los puntos son conjuntos cerrados.

Ejemplo: La recta real $R$ con su topología usual. Dados $x \neq = y$ , existe un entorno de $x$ que no contiene a $y$ y un entorno de $y$ que no contiene a $x$ .
Contraejemplo: La topología de los puntos excluidos en un conjunto con al menos dos puntos. Sea $X = {a, b, c}$ y la topología donde los abiertos son $\emptyset$ , $X$ y cualquier conjunto que no contenga a $a$ . El entorno de $a$ debe ser $X$ , que contiene a $b$ y $c$ . No puedes encontrar un entorno de $a$ que no contenga a $b$ .

$T_{2}$ : Axioma de Hausdorff

Un espacio topológico es $T_{2}$ o Hausdorff si, para cualquier par de puntos distintos, existen entornos disjuntos para cada uno de ellos. Esta es una condición aún más fuerte y es la más común en muchas áreas de las matemáticas. Significa que los puntos están "bien separados" de forma que sus "vecindades" no se superponen.

Ejemplo: La recta real $R$ , la topología de los números complejos $C$ , los espacios euclidianos $R^{n}$ y cualquier espacio métrico son Hausdorff. Puedes siempre encontrar intervalos o bolas abiertas disjuntas alrededor de dos puntos distintos.
Contraejemplo: Cualquier espacio que no sea $T_{1}$ . El ejemplo anterior de la topología de los puntos excluidos no es $T_{2}$ .

$T_{3}$ : Axioma Regular

Un espacio topológico es regular o $T_{3}$ si es $T_{1}$ y, para cualquier punto y un conjunto cerrado que no contenga ese punto, existen entornos disjuntos que separan el punto del conjunto. En palabras sencillas, puedes separar un punto de un conjunto cerrado que no lo contiene.

Ejemplo: La recta real $R$ . Si tomas un punto $x$ y un conjunto cerrado $C$ que no contenga a $x$ , siempre puedes encontrar un intervalo abierto alrededor de $x$ y otro intervalo abierto alrededor de $C$ que no se toquen.
Contraejemplo: La topología del punto cofinita en un conjunto infinito. En esta topología, los conjuntos cerrados son los conjuntos finitos y el conjunto completo. No es regular porque no puedes separar un punto de un conjunto cerrado infinito que no lo contenga.

$T_{4}$ : Axioma Normal

Un espacio topológico es normal o $T_{4}$ si es $T_{1}$ y, para cualquier par de conjuntos cerrados disjuntos, existen entornos disjuntos que los separan. Esta es una condición muy fuerte. Significa que puedes separar no solo puntos y conjuntos, sino también dos conjuntos cerrados que no se tocan.

Ejemplo: Cualquier espacio métrico es normal. El espacio euclidiano $R^{n}$ es un ejemplo clásico.
Contraejemplo: El plano de Moore o el espacio de Tikhonov son ejemplos de espacios $T_{3}$ que no son $T_{4}$ , aunque son bastante complejos para un principiante. Un ejemplo más sencillo es el plano de Sorgenfrey o la recta de Sorgenfrey (la recta real con la topología de los intervalos de la forma $[a, b)$ ), que no es normal.

Resumen y Relaciones

La jerarquía de los axiomas de separación es la siguiente:

T4⟹T3⟹T2⟹T1⟹T0

Esto significa que si un espacio es $T_{4}$ , automáticamente es $T_{3}, T_{2}, T_{1}$ y $T_{0}$ . Un espacio $T_{2}$ (Hausdorff) es uno de los más comunes y con los que la mayoría de los estudiantes se familiarizan al principio. Los espacios $T_{3}$ y $T_{4}$ añaden la capacidad de separar puntos de conjuntos y conjuntos de conjuntos, respectivamente, lo que los hace más "ordenados" o "bien comportados" topológicamente.

$T_{0}$ : Axioma de Kolmogorov

Ejemplo: La recta real $R$ con su topología usual. Si tomas dos puntos $x$ y $y$ distintos, siempre puedes encontrar un intervalo abierto alrededor de $x$ que no contenga a $y$ .
Contraejemplo: Considera un conjunto con dos puntos, $X = {a, b}$ , y la topología trivial $T = {\emptyset, {a, b}}$ . El único entorno de $a$ es ${a, b}$ , que también contiene a $b$ . Lo mismo ocurre con $b$ . No puedes separar $a$ de $b$ con ningún entorno.

$T_{1}$ : Axioma de Fréchet

Ejemplo: La recta real $R$ con su topología usual. Dados $x \neq = y$ , existe un entorno de $x$ que no contiene a $y$ y un entorno de $y$ que no contiene a $x$ .
Contraejemplo: La topología de los puntos excluidos en un conjunto con al menos dos puntos. Sea $X = {a, b, c}$ y la topología donde los abiertos son $\emptyset$ , $X$ y cualquier conjunto que no contenga a $a$ . El entorno de $a$ debe ser $X$ , que contiene a $b$ y $c$ . No puedes encontrar un entorno de $a$ que no contenga a $b$ .

$T_{2}$ : Axioma de Hausdorff

Ejemplo: La recta real $R$ , la topología de los números complejos $C$ , los espacios euclidianos $R^{n}$ y cualquier espacio métrico son Hausdorff. Puedes siempre encontrar intervalos o bolas abiertas disjuntas alrededor de dos puntos distintos.
Contraejemplo: Cualquier espacio que no sea $T_{1}$ . El ejemplo anterior de la topología de los puntos excluidos no es $T_{2}$ .

$T_{3}$ : Axioma Regular

Ejemplo: La recta real $R$ . Si tomas un punto $x$ y un conjunto cerrado $C$ que no contenga a $x$ , siempre puedes encontrar un intervalo abierto alrededor de $x$ y otro intervalo abierto alrededor de $C$ que no se toquen.
Contraejemplo: La topología del punto cofinita en un conjunto infinito. En esta topología, los conjuntos cerrados son los conjuntos finitos y el conjunto completo. No es regular porque no puedes separar un punto de un conjunto cerrado infinito que no lo contenga.

$T_{4}$ : Axioma Normal

Ejemplo: Cualquier espacio métrico es normal. El espacio euclidiano $R^{n}$ es un ejemplo clásico.
Contraejemplo: El plano de Moore o el espacio de Tikhonov son ejemplos de espacios $T_{3}$ que no son $T_{4}$ , aunque son bastante complejos para un principiante. Un ejemplo más sencillo es el plano de Sorgenfrey o la recta de Sorgenfrey (la recta real con la topología de los intervalos de la forma $[a, b)$ ), que no es normal.

Resumen y Relaciones

La jerarquía de los axiomas de separación es la siguiente: $T_{4} ⟹ T_{3} ⟹ T_{2} ⟹ T_{1} ⟹ T_{0}$

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