Tiempo y Aritmética

Sobre la investigación de Fernando Revilla

Este resumen aborda los aspectos clave de las fuentes proporcionadas, centrándose en el desarrollo matemático de los procesos dinámicos y notacionales asociados a los números naturales, especialmente en relación con los números primos y la Conjetura de Goldbach.

Resumen de los Procesos Dinámicos Asociados a los Números Naturales

Los documentos de Fernando Revilla exploran la relación entre los números naturales, el tiempo y el simbolismo, proponiendo nuevas perspectivas para entender la aritmética, en particular el concepto de número primo y la Conjetura de Goldbach.

1. Clasificación Hiperbólica de los Números Naturales

El trabajo introduce una clasificación hiperbólica de los números naturales para caracterizar los números primos.

Para un número natural $n > 1$, ser primo es equivalente a que la hipérbola $xy = n$ no contenga puntos de coordenadas naturales no triviales, es decir, solo $ (1, n) $ y $ (n, 1) $.
Se define una función de codificación $R^+$ ($\psi$) que es una biyección de los números reales no negativos $ \mathbb{R}^+ $ a un intervalo semiabierto $ [0, M_\psi) $. Esta función es estrictamente creciente, continua en $ \mathbb{R}^+ $, y de clase $ C^1 $ en cada intervalo $ [m, m+1] $ para $ m \in \mathbb{N} $.
La biyectividad de $ \psi $ permite transportar las operaciones usuales de suma y producto de $ \mathbb{R}^+ $ al conjunto imagen $ \hat{\mathbb{R}}^+ := \psi(\mathbb{R}^+) $, definiendo las operaciones $\psi$-suma y $\psi$-producto como $ \hat{s} \oplus \hat{t} = \psi(s+t) $ y $ \hat{s} \otimes \hat{t} = \psi(st) $ respectivamente. Esto establece una estructura algebraica $ (\hat{\mathbb{R}}^+, \oplus, \otimes) $ isomorfa a $ (\mathbb{R}^+, +, \cdot) $.
Las $\psi$-hipérbolas se forman en el plano $ \hat{x}\hat{y} $ mediante la transformación $ \psi \times \psi $ de las hipérbolas $ xy=k $ del plano $ xy $, resultando en $ \hat{x} \otimes \hat{y} = \hat{k} $. El estudio de la diferenciabilidad de estas $\psi$-hipérbolas permite distinguir números primos de compuestos.
Los puntos de coordenadas naturales $\psi$-naturales en el plano $ \hat{x}\hat{y} $ pueden caracterizarse en términos de la diferenciabilidad de las funciones que determinan las hipérbolas transformadas. Específicamente, se definen $ a_k = (\psi_{k-1})'^{-}(k) $ y $ b_k = (\psi_k)'^{+}(k) $. Una función $ \hat{f}\alpha $ (relacionada con la suma de coordenadas $ \hat{u} \oplus \hat{v} = \hat{\alpha} $ ) es diferenciable en un punto $ \hat{m} $ si y solo si $ \frac{a_m}{a_{\alpha-m}} = \frac{b_m}{b_{\alpha-m}} $. Si esta condición no se cumple, $ \hat{f}_\alpha $ no es diferenciable, lo que visualiza los puntos con coordenadas $\psi $ -naturales.
Una función $\psi$ se dice que identifica números primos si las funciones $\hat{h}_k$ (que definen las $\psi$-hipérbolas) son diferenciables solo en puntos donde tanto la abscisa como la ordenada no son $\psi$-naturales. Esto se logra si se cumple la condición $ a_n a_m \neq b_n b_m $ para todo $ n, m \in \mathbb{N}^* $.
Se introducen las funciones de codificación $R^+$ prima, que son un tipo específico de funciones $ \psi $ construidas con funciones afines a tramos, $ \psi_m(x) = \xi_m(x-m) + B_m $, y que satisfacen $ 0 < \xi_i < \xi_{i+1} $ para todo $ i \in \mathbb{N} $. Los coeficientes $ \xi_i $ son cruciales para la diferenciabilidad.
Se define un punto de vórtice como un punto $ (\hat{n}, \hat{m}) $ en la región $ T_\psi = { (\hat{x}, \hat{y}) : \hat{y} \ge \hat{x}, \hat{x} > \hat{0} } $ donde $ n, m \in \mathbb{N}^* $. La existencia de puntos de vórtice en una $\psi$-hipérbola $ \hat{x} \otimes \hat{y} = \hat{k} $ permite clasificar $ \hat{k} $:
- $ \hat{k} $ es un número $\psi$-natural si contiene al menos un punto de vórtice.
- $ \hat{k} $ es un número $\psi$-primo si $ \hat{k} \ne \hat{1} $ y contiene uno y solo un punto de vórtice.
- $ \hat{k} $ es un número $\psi$-compuesto si contiene al menos dos puntos de vórtice.

2. Regiones Esenciales y la Conjetura de Goldbach

El trabajo utiliza la clasificación hiperbólica para caracterizar la Conjetura de Goldbach, que postula que "Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos".

Se definen regiones esenciales en el plano $xy$ como regiones $ [n, n+1] \times [m, m+1] $ (o triangulares si $ n=m $ y $ x \le y $) donde $ n, m $ son números naturales y una hipérbola $ xy=k $ las interseca en más de un punto.
Estas regiones esenciales se transforman al plano $ \hat{x}\hat{y} $ mediante $ \psi \times \psi $. El área transformada $ \hat{A}{(n,m)} $ de una región esencial $ R{(n,m)} $ en el plano $ \hat{x}\hat{y} $ está relacionada con su área $ A_{(n,m)} $ en el plano $ xy $ por $ \hat{A}{(n,m)} = \xi_n \xi_m A{(n,m)} $. Los coeficientes $ \xi_n, \xi_m $ provienen de la función de codificación $R^+$ prima.
Para un número par $ \alpha \ge 16 $ (con $ \alpha-3 $ y $ \alpha/2 $ no primos), se construyen funciones de área total $ \hat{A}_T(\hat{k}) = \hat{A}_I(\hat{k}) + \hat{A}_S(\hat{k}) $, donde $ \hat{A}_I $ y $ \hat{A}_S $ representan las áreas de regiones "inferiores" y "superiores" asociadas a las descomposiciones $ \hat{\alpha} = \hat{k} \oplus (\hat{\alpha} \sim \hat{k}) $.
La segunda derivada de la función de área total, $ (\hat{A}T)''(\hat{k}) $, se expresa como: $ $(\hat{A}T)''(\hat{k}) = \frac{x{k_0}}{\xi^2{k_0}} \cdot \frac{1}{k} + \frac{y_{k_0}}{\xi^2_{\alpha-k_0-1}} \cdot \frac{1}{\alpha-k} \quad (\hat{k} \in [\hat{k}0, \hat{k}0 \oplus \hat{1}])$ $ donde $ x{k_0} $ y $ y{k_0} $ son los polinomios esenciales inferior y superior (también llamados coordenadas de los puntos esenciales $P_{k_0} = (x_{k_0}, y_{k_0})$), que son polinomios homogéneos de grado 2 en los coeficientes $ \xi_i $.
Caracterización clave de Goldbach: Para $ \alpha \ge 16 $ par, $ \alpha $ es la suma de dos números primos $ k_0 $ y $ \alpha - k_0 $ (con $ 5 \le k_0 < \alpha/2 $) si y solo si los puntos esenciales consecutivos $P_{k_0-1}$ y $P_{k_0}$ se repiten, es decir, $ P_{k_0-1} = P_{k_0} $. Más específicamente, $ x_{k_0-1} = x_{k_0} \Leftrightarrow k_0 $ es primo y $ y_{k_0-1} = y_{k_0} \Leftrightarrow \alpha-k_0 $ es primo.

3. Tiempo y Aritmética: Aspecto Dinámico

El trabajo postula que el misterio de los números primos podría depender de las limitaciones de la percepción humana del tiempo.

Se construye una función de la Conjetura de Goldbach continua ($G$), $ G: [\hat{4}, \hat{\alpha} \div \hat{2}] \to \mathbb{R}^+ $, que representa la aceleración de una familia de "movimientos". Esta función se construye seleccionando cuidadosamente los coeficientes $ \xi_i $ de la función de codificación $R^+$ prima, asegurando la continuidad de $ (\hat{A}_T)''(\hat{k}) $.
Para cada instante de tiempo $ v \in (0, 1] $, se define un movimiento $ s_v(t) $ donde $ t $ representa el tiempo y $ s $ el espacio. Los instantes de tiempo $ t_{vn} = \psi_v(n) $ corresponden a los números naturales $ n $.
Para $ 0 < v < 1 $, la primariedad de $k$ y $\alpha-k$ se caracteriza por la igualdad de puntos esenciales consecutivos $ P_{k,v} = P_{k-1,v} $.
Singularidad Temporal: Esta caracterización se pierde en un instante de tiempo. Cuando el parámetro $ u \to 1^+ $ (relacionado con $ v=1 $), los coeficientes $ \xi_i \to 1 $, lo que implica que $ \psi $ se convierte en la función identidad. En este límite, todos los puntos esenciales $P_{k_0}$ coinciden en $ (1/2, -1/2) $, perdiéndose la caracterización de la Conjetura de Goldbach.
Esto sugiere que la aritmética, cuando se estudia independientemente del tiempo, puede tener "puntos ciegos" o una pérdida de información. El aspecto dinámico de la aritmética añade información a la aritmética de Peano, que es puramente estática.

4. Aspecto Notacional

Más allá de los procesos dinámicos, el cambio de simbolismo en sí mismo puede añadir información aritmética.

Al transformar los números naturales $ n $ en $ \hat{n}_v := \psi_v(n) $, se obtiene una estructura algebraica $ (\hat{\mathbb{N}}_v, \oplus_v, \otimes_v) $ isomorfa a la usual $ (\mathbb{N}, +, \times) $. Para $ v=1 $, $ \psi_1 $ es la identidad, restaurando la notación inicial.
Para cualquier $ 0 < v < 1 $, el concepto de número primo $ k \ge 5 $ se reduce a la igualdad de ciertos elementos $ x_{k-1,v} = x_{k,v} $.
Para $ v=1 $, esta caracterización se pierde, y los números primos ya no se reconocen con esta igualdad.
Los números $ x_{k,v} $ se derivan de la segunda derivada del área de regiones delimitadas por hipérbolas deformadas, lo que puede interpretarse sin consideraciones geométricas, usando la medida de Lebesgue.
La conclusión es que existe un simbolismo adecuado para la estructura $ (\mathbb{N}, +, \times) $ que puede generar, por sí mismo, otro con más información aritmética sobre la primalidad.

En síntesis, los trabajos de Fernando Revilla proponen que la incorporación del concepto de tiempo o un cambio en el simbolismo puede revelar características ocultas de los números primos y de la Conjetura de Goldbach, lo que se pierde cuando se estudia la aritmética de forma puramente estática o con la notación tradicional.

PREGUNTO SI ES POSIBLE ESPECIFICAR LA FUNCIÓN O CLASE DE FUNCIONES DE CODIFICACIÓN QUE APARECEN EN EL TEXTO

Es imposible expresar la función $ψ$ con una única fórmula matemática, ya que el texto no especifica una. La descripción proporcionada define una clase de funciones, no una función particular.

¿Por qué no se puede expresar con una fórmula?

El texto establece las propiedades que debe cumplir cualquier función $ψ$ para pertenecer a esta clase:

Dominio y codominio ( $R^{+} \to [0, M_{ψ})$ )
Biyectividad
Estricto crecimiento
Continuidad
Derivabilidad de clase $C^{1}$ por tramos

Existen muchas funciones que cumplen estas características. Por ejemplo, podríamos definir una función por partes.

Ejemplo de una posible función que cumple con los requisitos:

Una función de este tipo podría ser construida combinando diferentes tramos para lograr las propiedades deseadas. Por ejemplo, una función $ψ (x)$ que mapea $R^{+}$ a $[0, 1)$ podría ser:

$ ψ (x) = 1 - e^{-x} $

Dominio: $x \in [0, \infty)$
Codominio: $ψ (0) = 0$ y $ \lim_{x \to \infty} \psi(x) = 1 $, por lo que el codominio es $[0, 1)$ .
Derivada: $ $ψ^{'} (x) = e^{-x} > 0 $$ para todo $x$ , lo que la hace estrictamente creciente y de clase $ $C^1 $$ en todo su dominio.

Este es solo un ejemplo, pero la descripción del problema no se restringe a esta única fórmula. La clase de funciones es mucho más amplia, abarcando cualquier función que cumpla las condiciones dadas, lo que la hace no expresable con una única ecuación general.

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