Preguntas sobre relatividad especial

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En el contexto de la teoría de la relatividad especial, ¿porqué la homogeneidad del espacio implica que las transformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales tengan que ser operadores lineales?

Gemini

La homogeneidad del espacio implica que las transformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales deben ser lineales para asegurar que las leyes de la física sean las mismas en todos los puntos del espacio. 🌌 Si las transformaciones no fueran lineales, las distancias y los intervalos de tiempo entre eventos se distorsionarían de manera inconsistente en diferentes regiones del espacio, lo que violaría el principio de homogeneidad.

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Homogeneidad y el Principio de la Relatividad

La homogeneidad del espacio es el principio que establece que el espacio es el mismo en todos los puntos; no hay un punto "especial" o preferido. Esto significa que los resultados de un experimento físico no deben depender de la posición en la que se realice.

Por su parte, la teoría de la relatividad especial se basa en dos postulados fundamentales:

1. Principio de la relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.

2. Constancia de la velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales, independientemente de la velocidad de la fuente de luz.

La conexión con las transformaciones lineales

Para que las leyes de la física sean las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales, las transformaciones de coordenadas que conectan a estos sistemas deben preservar la estructura fundamental del espacio-tiempo. Si las transformaciones fueran no lineales, se introducirían términos que dependen de la posición (como x2 o t2), lo que alteraría la forma de las ecuaciones físicas y violaría el principio de homogeneidad.

Pensemos en un ejemplo: si la transformación de la coordenada espacial fuera $x^{\prime }=x^2$, la distancia entre dos puntos, x1​ y x2​, se transformaría de forma diferente a la distancia entre otros dos puntos, x3​ y x4​. Es decir, $\Delta x^{\prime }=(x_2{)}^2-(x_1{)}^2$ no es lo mismo que $\Delta x^{\prime }=(x_4{)}^2-(x_3{)}^2$ en términos de la relación con las distancias en el sistema original, a menos que los intervalos sean infinitesimalmente pequeños. Esto significaría que la física en una región del espacio (cerca de x1​ y x2​) sería diferente a la física en otra región (cerca de x3​ y x4​), contradiciendo la homogeneidad.

Implicaciones para las transformaciones de Lorentz

La linealidad de las transformaciones de coordenadas es una de las principales razones por las que las transformaciones de Lorentz tienen la forma que tienen.

Para un movimiento a lo largo del eje x, las transformaciones de Lorentz son:

$$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$$

$$t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})$$

donde v es la velocidad relativa, c es la velocidad de la luz y γ es el factor de Lorentz.

Estas ecuaciones son lineales con respecto a las coordenadas x y t. Esto asegura que:

• Los intervalos de espacio-tiempo entre eventos se transforman de manera consistente.

• La física es independiente de la posición.

• Se preserva la naturaleza homogénea del espacio.

Qwen

En el contexto de la teoría de la relatividad especial, la homogeneidad del espacio implica que las transformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales deben ser operadores lineales debido a los siguientes argumentos:

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1. Definición de homogeneidad del espacio

La homogeneidad del espacio establece que las leyes de la física son idénticas en todos los puntos del espacio. Esto significa que no existe una posición privilegiada en el universo: desplazarse de un lugar a otro no altera el comportamiento físico de los sistemas. Matemáticamente, esto se traduce en que las transformaciones entre sistemas inerciales no deben depender de la posición absoluta de los eventos.

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2. Consecuencia para las transformaciones de coordenadas

Supongamos que tenemos dos sistemas inerciales $S$ y $S^{\prime }$ , y queremos relacionar las coordenadas de un evento en $S$ (denotadas como $x^{\mu }=(t,x,y,z)$ ) con las de $S^{\prime }$ (denotadas como $x^{\prime \mu }=(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ ). Si el espacio es homogéneo, la forma de la transformación debe ser la misma independientemente de dónde ocurra el evento.

Ejemplo concreto: separaciones espaciales

Consideremos dos eventos en $S$ con coordenadas $x_1$ y $x_2$ en un instante fijo $t$ . La separación espacial es $\Delta x=x_2-x_1$ . En $S^{\prime }$ , esta separación debe transformarse como:

$$\Delta x^{\prime }=f(x_2,t)-f(x_1,t),$$

donde $f$ es la función de transformación. Para que la homogeneidad se cumpla, $\Delta x^{\prime }$ no debe depender de $x_1$ o $x_2$ , sino solo de $\Delta x$ .

• Si $f$ fuera no lineal (ej.: $f(x,t)=x^2$ ), entonces:

$$\Delta x^{\prime }=(x_2^2-x_1^2)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)=\Delta x\cdot (x_2+x_1),$$

lo cual depende explícitamente de la posición absoluta $x_2+x_1$ , violando la homogeneidad.

• Si $f$ es lineal (ej.: $f(x,t)=A(t)x+B(t)$ ), entonces:

$$\Delta x^{\prime }=A(t)(x_2-x_1)=A(t)\Delta x,$$

lo cual solo depende de $\Delta x$ , cumpliendo con la homogeneidad.

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3. Condición matemática: Jacobiano constante

La homogeneidad exige que la derivada de la transformación (el jacobiano) sea independiente de las coordenadas. Es decir, si $x^{\prime \mu }=f^{\mu }(x^{\nu })$ , entonces:

$$\frac{\partial f^{\mu }}{\partial x^{\nu }}=\text{constante}.$$

Esto solo ocurre si $f^{\mu }$ es una función afín lineal (lineal más una traslación):

$$x^{\prime \mu }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+a^{\mu },$$

donde ${\Lambda }_{\nu }^{\mu }$ es una matriz constante (operador lineal) y $a^{\mu }$ es un vector constante (traslación).

Sin embargo, en la relatividad especial, las traslaciones se pueden eliminar eligiendo sistemas de coordenadas donde los orígenes de $S$ y $S^{\prime }$ coincidan en $t=0$ . Esto reduce la transformación a:

$$x^{\prime \mu }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu },$$

es decir, un operador lineal puro (sin términos constantes).

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4. Conexión con el principio de relatividad

La linealidad también es consistente con el principio de relatividad, que exige que las leyes físicas tengan la misma forma en todos los sistemas inerciales. Si las transformaciones fueran no lineales, las ecuaciones físicas (como las de Maxwell) tendrían formas distintas en diferentes sistemas, lo cual contradice el principio de relatividad.

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Conclusión

La homogeneidad del espacio implica que las transformaciones entre sistemas inerciales deben ser operadores lineales porque:

1. Evitan dependencias de la posición absoluta, garantizando que las reglas de transformación sean idénticas en todo el espacio.
2. Mantienen el jacobiano constante, lo cual es necesario para que las separaciones espaciales y temporales se transformen de manera uniforme.
3. Son compatibles con el principio de relatividad, asegurando que las leyes físicas se preserven en todos los sistemas inerciales.

Por lo tanto, la homogeneidad del espacio es una condición fundamental que fuerza a las transformaciones de coordenadas en la relatividad especial a ser lineales, como ocurre en las transformaciones de Lorentz. 

En el contexto de la relatividad especial, ¿porqué imponer que el sistema prima se mueve respecto a nosotros a velocidad constante v significa que $\begin{pmatrix} t \\ vt \end{pmatrix}$ se transforma, mediante el cambio de coordenadas en $ \begin{pmatrix} t^{`} \\ 0 \end{pmatrix}$

Gemini

La imposición de que el sistema de referencia prima se mueva con una velocidad constante v con respecto a nosotros significa que el origen del sistema prima se encuentra siempre en la posición $x=vt$ en nuestro sistema de referencia.

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Explicación del vector de posición

El vector columna que mencionas, (tvt​), representa un evento en el espacio-tiempo de nuestro sistema de referencia (no primado).

• La primera fila, t, es el tiempo en el que ocurre el evento.

• La segunda fila, vt, es la posición en la que ocurre el evento en ese instante t.

El hecho de que la posición sea $x=vt$ significa que el evento está ocurriendo en la misma posición que el origen del sistema de referencia prima.

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La transformación de coordenadas

El vector transformado, (t′0​), describe el mismo evento, pero visto desde el sistema de referencia prima.

• La primera fila, t′, es el tiempo del evento en el sistema prima.

• La segunda fila, 0, es la posición del evento en el sistema prima.

Que la posición sea $x^{\prime }=0$ es la consecuencia directa de cómo se define el sistema de referencia prima: su origen se encuentra en la posición $x=vt$ en nuestro sistema. Por lo tanto, cualquier evento que ocurra en la posición $x=vt$ de nuestro sistema de referencia, estará en el origen ($x^{\prime }=0$) del sistema de referencia prima.

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Demostración con las transformaciones de Lorentz

Podemos verificar esto utilizando las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz para la coordenada espacial:

$$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$$

Si sustituimos la posición x por vt (ya que el evento ocurre en la misma posición que el origen del sistema prima), obtenemos:

$$x^{\prime }=\gamma (vt-vt)$$

$$x^{\prime }=\gamma (0)$$

$$x^{\prime }=0$$

Esto demuestra que, para un evento que se encuentra en el origen del sistema prima (cuya posición en nuestro sistema es $x=vt$), su coordenada espacial en el sistema prima será siempre 0, sin importar el valor del tiempo t.

Qwen

En el contexto de la relatividad especial, la afirmación de que el vector columna $\left(\begin{array}{c}t\\ vt\end{array}\right)$ (en el sistema $S$ ) se transforma en $\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ 0\end{array}\right)$ (en el sistema $S^{\prime }$ ) es una consecuencia directa de la definición misma del sistema $S^{\prime }$ como un marco de referencia que se mueve a velocidad constante $v$ respecto a $S$ . A continuación, se explica paso a paso:

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1. Definición del sistema $S^{\prime }$

• El sistema $S^{\prime }$ se define como aquel cuyo origen espacial ($x^{\prime }=0$ ) se mueve con velocidad constante $v$ respecto al sistema $S$ .

• Esto implica que, en el sistema $S$ , la posición del origen de $S^{\prime }$ en un instante $t$ es:

  $$x=vt.$$

  Por lo tanto, cualquier evento que ocurra en el origen de $S^{\prime }$ (es decir, $x^{\prime }=0$ ) tendrá coordenadas $(t,vt)$ en $S$ .

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2. Transformación de coordenadas

Las transformaciones de Lorentz (que son lineales, como se discutió previamente) relacionan las coordenadas $(t,x)$ en $S$ con $(t^{\prime },x^{\prime })$ en $S^{\prime }$ . Para una transformación estándar en 1D espacial, estas son:

{t′=γ(t−c2vx​),x′=γ(x−vt),​

donde $\gamma =\sqrt{1-v^2/c^2}$

​1​ es el factor de Lorentz.

Aplicando la transformación al vector $(t,vt)$ :

• Sustituimos $x=vt$ en las ecuaciones:

$$x^{\prime }=\gamma (vt-vt)=0,$$

$$t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v(vt)}{c^2}\right)=\gamma t\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\frac{t}{\gamma }.$$

• Por lo tanto, el vector $\left(\begin{array}{c}t\\ vt\end{array}\right)$ en $S$ se transforma en:

$$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t/\gamma \\ 0\end{array}\right)\text{en }{S}^{\prime }.$$

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3. Interpretación física

• El origen de $S^{\prime }$ ($x^{\prime }=0$ ) corresponde a $x=vt$ en $S$ por definición del movimiento relativo.
• Al aplicar la transformación de coordenadas, todo evento en el origen de $S^{\prime }$ (como el propio origen) debe satisfacer $x^{\prime }=0$ en $S^{\prime }$ , independientemente del tiempo $t^{\prime }$ .
• Esto garantiza que $S^{\prime }$ sea un sistema inercial en reposo consigo mismo, tal como exige el principio de relatividad.

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4. ¿Por qué no es trivial?

• Si las transformaciones no fueran lineales (como ocurriría en teorías no relativistas), la relación $x=vt$ no se preservaría bajo cambios de coordenadas.
• La linealidad de las transformaciones de Lorentz (impuesta por la homogeneidad del espacio y el principio de relatividad) asegura que la trayectoria $x=vt$ en $S$ se transforme en $x^{\prime }=0$ en $S^{\prime }$ , manteniendo la coherencia física.

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Conclusión

La transformación $\left(\begin{array}{c}t\\ vt\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ 0\end{array}\right)$ no es una suposición arbitraria, sino una consecuencia necesaria de:

1. La definición del sistema $S^{\prime }$ como aquel cuyo origen se mueve a velocidad $v$ en $S$ ,
2. La estructura lineal de las transformaciones de Lorentz, que preserva la homogeneidad del espacio y el principio de relatividad.

Este resultado es fundamental para garantizar que las leyes de la física sean consistentes en todos los sistemas inerciales, como exige la relatividad especial.

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Código LaTeX para la transformación

latex   1  2   3

$\begin{pmatrix} t \\ vt \end{pmatrix}_S\quad \xrightarrow{\text{Lorentz}} \quad \begin{pmatrix} t' \\ 0 \end{pmatrix}_{S'}$

Nota: El tiempo $t^{\prime }$ no coincide con $t$ (salvo cuando $v=0$ ), ya que $t^{\prime }=t/\gamma$ refleja la dilatación temporal inherente a la relatividad. 

Tenemos la matriz cuadrada M de dimensión 2 cuya primera fila es $a_{1,1} = \gamma $  y $a _{1,2} = \gamma \beta$  y  cuya segunda fila es  $a _{2,1} = \gamma \beta$  y   $a _{2,2} = \gamma$ y tenemos la matriz P  cuya primera fila es A en la primera columna y B en la segunda columna, y cuya segunda fila es B en la primera columna y D en la segunda columna. Se trata de probar que si la traspuesta de M multiplicada por P y ello multiplicado por M da como resultado otra vez la matriz P, entonces $B=0$   y   $A=-D$

Gemini

Para probar que $B=0$ y $A=-D$, debemos realizar la multiplicación de matrices MTPM y luego igualar el resultado a la matriz P. Este proceso nos permitirá obtener un sistema de ecuaciones que, al resolverse, demostrará las condiciones dadas.

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1. Definición de las matrices y la ecuación

Las matrices dadas son:

• $M=\left(\begin{array}{cc}\gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{array}\right)$

• $P=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& D\end{array}\right)$

La ecuación a verificar es $M^{T}PM=P$.

Primero, notemos que la matriz M es simétrica, por lo que su traspuesta es ella misma: $M^T=M$.

2. Multiplicación de las matrices

Comenzamos calculando el producto MP:

$$MP=\left(\begin{array}{cc}\gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\gamma A+\gamma \beta B& \gamma B+\gamma \beta D\\ \gamma \beta A+\gamma B& \gamma \beta B+\gamma D\end{array}\right)$$

Ahora, multiplicamos el resultado por M para obtener MPM:

$$MPM=\left(\begin{array}{cc}\gamma A+\gamma \beta B& \gamma B+\gamma \beta D\\ \gamma \beta A+\gamma B& \gamma \beta B+\gamma D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{array}\right)$$

El resultado de esta multiplicación es una nueva matriz 2x2. Analicemos sus elementos:

Elemento (1,1):

(γA+γβB)γ+(γB+γβD)γβ=γ2A+γ2βB+γ2βB+γ2β2D=γ2(A+2βB+β2D)

Elemento (1,2):

(γA+γβB)γβ+(γB+γβD)γ=γ2βA+γ2β2B+γ2B+γ2βD=γ2(βA+B+β2B+βD)=γ2(β(A+D)+B(1+β2))

Elemento (2,1):

(γβA+γB)γ+(γβB+γD)γβ=γ2βA+γ2B+γ2β2B+γ2βD=γ2(β(A+D)+B(1+β2))

Elemento (2,2):

(γβA+γB)γβ+(γβB+γD)γ=γ2β2A+γ2βB+γ2βB+γ2D=γ2(β2A+2βB+D)

Por lo tanto, la matriz resultante es:

$$M^{T}PM=\left(\begin{array}{cc}{\gamma }^2(A+2\beta B+{\beta }^{2}D)& {\gamma }^2(\beta (A+D)+B(1+{\beta }^2))\\ {\gamma }^2(\beta (A+D)+B(1+{\beta }^2))& {\gamma }^2({\beta }^{2}A+2\beta B+D)\end{array}\right)$$

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3. Solución del sistema de ecuaciones

Ahora, igualamos los elementos de esta matriz con los de la matriz P:

1. Elemento (1,1): ${\gamma }^2(A+2\beta B+{\beta }^{2}D)=A$

2. Elemento (1,2): ${\gamma }^2(\beta (A+D)+B(1+{\beta }^2))=B$

3. Elemento (2,2): ${\gamma }^2({\beta }^{2}A+2\beta B+D)=D$

Usando la relación ${\gamma }^2=\frac{1}{1-{\beta }^2}$, podemos simplificar estas ecuaciones:

De la ecuación (1,2):

1−β21​(β(A+D)+B(1+β2))=B

β(A+D)+B(1+β2)=B(1−β2)

β(A+D)+B+Bβ2=B−Bβ2

β(A+D)+2Bβ2=0

β((A+D)+2Bβ)=0

Esto implica que $\beta =0$ o $(A+D)+2B\beta =0$. En el contexto de las transformaciones de Lorentz, asumimos $\beta \ne 0$ (ya que γ estaría definido como $\gamma =1$ y no habría transformación). Por lo tanto, debemos tener $(A+D)+2B\beta =0$.

De las ecuaciones (1,1) y (2,2):

Podemos simplificar ambas de manera similar:

De (1,1): 1−β21​(A+2βB+β2D)=A⟹A+2βB+β2D=A−Aβ2⟹2βB=−Aβ2−Dβ2=−β2(A+D)

De (2,2): 1−β21​(β2A+2βB+D)=D⟹β2A+2βB+D=D−Dβ2⟹2βB=−Aβ2−Dβ2=−β2(A+D)

Ambas ecuaciones nos dan el mismo resultado: 2βB=−β2(A+D). Dividiendo por β (ya que β=0), obtenemos:

2B=−β(A+D)

Ahora tenemos dos ecuaciones:

1. $(A+D)+2B\beta =0$

2. $2B=-\beta (A+D)$

Sustituyamos la segunda ecuación en la primera:

(A+D)+(−β(A+D))β=0

(A+D)−β2(A+D)=0

(A+D)(1−β2)=0

Como la matriz M está bien definida, γ es real, lo que significa que 1−β2=0. Por lo tanto, el factor A+D debe ser cero:

$$A+D=0⟹A=-D$$

Finalmente, sustituimos este resultado en la segunda ecuación (2B=−β(A+D)):

2B=−β(0)

2B=0

$$B=0$$

Hemos probado que, para que la ecuación $M^{T}PM=P$ sea válida, es necesario que $B=0$ y $A=-D$.

Qwen

Para demostrar que $B=0$ y $A=-D$ bajo la condición $M^{\top }PM=P$ , seguimos los siguientes pasos:

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1. Definición de las matrices

• Matriz $M$ (simétrica):

$$M=\left(\begin{array}{cc}\gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{array}\right)$$

• Matriz $P$ (simétrica por construcción):

$$P=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& D\end{array}\right)$$

La condición dada es:

$$M^{\top }PM=P$$

Dado que $M$ es simétrica ($M^{\top }=M$ ), esto se reduce a:

$$MPM=P$$

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2. Cálculo de $MPM$

Primero calculamos $MP$ :

$$MP=\left(\begin{array}{cc}\gamma A+\gamma \beta B& \gamma B+\gamma \beta D\\ \gamma \beta A+\gamma B& \gamma \beta B+\gamma D\end{array}\right)$$

Luego multiplicamos por $M$ :

$$MPM=\left(\begin{array}{cc}{\gamma }^{2}A+2{\gamma }^2\beta B+{\gamma }^2{\beta }^{2}D& {\gamma }^2\beta A+{\gamma }^2({\beta }^2+1)B+{\gamma }^2\beta D\\ {\gamma }^2\beta A+{\gamma }^2({\beta }^2+1)B+{\gamma }^2\beta D& {\gamma }^2{\beta }^{2}A+2{\gamma }^2\beta B+{\gamma }^{2}D\end{array}\right)$$

Igualamos $MPM$ con $P$ y obtenemos las ecuaciones clave:

Ecuación (1,1):

$${\gamma }^{2}A+2{\gamma }^2\beta B+{\gamma }^2{\beta }^{2}D=A$$

Dividiendo por ${\gamma }^2$ y usando $1/{\gamma }^2=1-{\beta }^2$ :

$$A+2\beta B+{\beta }^{2}D=A(1-{\beta }^2)$$

$$\Rightarrow 2\beta B+{\beta }^{2}D=-A{\beta }^2\text{(1)}$$

Ecuación (1,2):

$${\gamma }^2\beta A+{\gamma }^2({\beta }^2+1)B+{\gamma }^2\beta D=B$$

Dividiendo por ${\gamma }^2$ :

$$\beta A+({\beta }^2+1)B+\beta D=B(1-{\beta }^2)$$

$$\Rightarrow \beta A+2{\beta }^{2}B+\beta D=0\text{(2)}$$

Ecuación (2,2):

$${\gamma }^2{\beta }^{2}A+2{\gamma }^2\beta B+{\gamma }^{2}D=D$$

Dividiendo por ${\gamma }^2$ :

$${\beta }^{2}A+2\beta B+D=D(1-{\beta }^2)$$

$$\Rightarrow {\beta }^{2}A+2\beta B=-D{\beta }^2\text{(3)}$$

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3. Resolución del sistema

De (1) y (3), observamos que son equivalentes (simetría de $M$ ). Trabajamos con (1) y (2):

De (1):

$$2\beta B=-\beta (A+D)\Rightarrow 2B=-\beta (A+D)\text{(1a)}$$

De (2):

$$\beta (A+D)+2{\beta }^{2}B=0\Rightarrow A+D+2\beta B=0\text{(2a)}$$

Sustituimos (1a) en (2a):

$$A+D+2\beta \left(-\frac{\beta (A+D)}{2}\right)=0$$

$$\Rightarrow (A+D)(1-{\beta }^2)=0$$

Como $\beta \ne 0$ y $\beta <1$ (velocidad sublumínica), $1-{\beta }^2\ne 0$ . Por lo tanto:

$$A+D=0\Rightarrow D=-A$$

Sustituyendo en (1a):

$$2B=-\beta (A-A)=0\Rightarrow B=0$$

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4. Conclusión

Las condiciones $M^{\top }PM=P$ implican necesariamente:

B=0yA=−D​

Este resultado es consistente con la estructura del tensor métrico de Minkowski en relatividad especial, donde $P$ representa una métrica invariante bajo transformaciones de Lorentz (como $M$ ). La forma $P=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& -A\end{array}\right)$ refleja la firma métrica $(+,-)$ o $(-,+)$ , dependiendo de la convención. 

RESUMEN DE LA DEMOSTRACIÓN

\documentclass{article}   \usepackage{amsmath}

\begin{document}

Para probar que $ B = 0 $ y $ A = -D $ bajo la condición $ M^\top P M = P $, consideramos:

$ [ M = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{pmatrix},$  

$P = \begin{pmatrix} A & B \\ B & D \end{pmatrix}.] $

Al calcular $ M P M $ e igualar a $ P $, obtenemos las ecuaciones:

$\begin{align*}\gamma^2 A + 2 \gamma^2 \beta B + \gamma^2 \beta^2 D &= A, \\ \gamma^2 \beta A + \gamma^2 (\beta^2 + 1) B + \gamma^2 \beta D &= B. \end{align*}$

Usando $ \gamma^2 = \frac{1}{1 - \beta^2} $, simplificamos a: $\begin{align*}2 \beta B &= -\beta (A + D), \\ A + D + 2 \beta B &= 0. \end{align*}$

Resolviendo, concluimos:  $ [ \boxed{B = 0 \quad \text{y} \quad A = -D}. ] $

\end{document}