Función Gamma

 Notebook LM

Para extender la función factorial $n! = n(n-1)\dots2 \cdot 1$ a todos los números complejos, se utiliza la función Gamma, denotada como $\Gamma(s)$.

A continuación, se detalla cómo se realiza esta extensión:

• Definición inicial (para $\Re(s) > 0$): La función Gamma se define inicialmente mediante la integral impropia: $$\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{s-1} dt$$ Esta integral converge para valores complejos de $s$ cuya parte real ($\Re(s)$) es estrictamente mayor que 0.

• Generalización del factorial: La función Gamma es una generalización de la función factorial. Para números enteros positivos $n$, se cumple que $\Gamma(n+1) = n!$. Esto se deduce de la propiedad fundamental $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$, junto con el valor inicial $\Gamma(1) = 1$. Históricamente, Euler fue el primero en extender el concepto de factorial mediante integrales, y Gauss introdujo la notación $\Pi(s)$ para esta integral.

• Prolongación analítica al plano complejo: La definición integral de la función Gamma solo es válida para $\Re(s) > 0$. Sin embargo, la función Gamma puede ser extendida analíticamente a todo el plano complejo como una función meromorfa. Esto significa que es holomorfa (analítica) en todo el plano complejo excepto en una serie de puntos aislados donde tiene singularidades.

  • Polos simples: La función Gamma tiene polos simples en los enteros no positivos, es decir, en $s=0, -1, -2, \ldots$. El residuo en un polo $-n$ es $(-1)^n/n!$.
  • Construcción de la extensión: La prolongación se logra utilizando la ecuación funcional $\Gamma(s) = \frac{\Gamma(s+1)}{s}$ de forma recursiva. Esto permite definir $\Gamma(s)$ para valores con parte real negativa, evitando los polos.
  • La función Gamma nunca toma el valor cero.

• Propiedades importantes:

  • Ecuación funcional: $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$.
  • Valores específicos: $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.
  • Fórmula de Reflexión de Euler: $\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}$ para $s \notin \mathbb{Z}$.
  • Producto infinito de Weierstrass: Otra representación es $1/\Gamma(s) = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s}{n}\right)e^{-s/n}$, donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.
  • Fórmula de Gauss: $\Gamma(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^s}{s(s+1)\cdots(s+n)}$.

En resumen, la función $n!$ se extiende a los números complejos a través de la función Gamma, que es una función meromorfa definida en todo el plano complejo, con polos en los enteros no positivos, y que coincide con el factorial en los enteros positivos.

FUNC8IÓN ZETA

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Aquí tienes un resumen conciso de los documentos proporcionados:

Documento de información: La función zeta de Riemann y sus conexiones

1. Definición y propiedades fundamentales

La función zeta de Riemann, denotada como $ζ(s)$, donde $s = σ + it$ (siendo $σ$ y $t$ números reales), es una función compleja fundamental en matemáticas. Se define inicialmente como una serie de Dirichlet:

$ζ(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

Esta serie converge para $σ > 1$ ("0809.5120v18zeta.pdf", "La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI"). Euler fue el primero en estudiar esta función y demostró su conexión con los números primos a través del producto de Euler:

$ζ(s) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$

donde el producto se extiende a todos los números primos $p$ ("memoria zeta.pdf", "La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI"). Esta identidad fue utilizada por Euler para demostrar la infinitud de los números primos. La divergencia de la serie armónica ($ζ(1)$) implica que no puede haber un número finito de factores primos ("3279c768b9f495a9 z de Riemann.pdf").

2. Continuación analítica y ecuación funcional

Aunque la definición inicial de $ζ(s)$ solo es válida para $σ > 1$, la función puede extenderse a todo el plano complejo como una función meromorfa con un único polo simple en $s = 1$ ("PJM_Feb_2023_1_to_13 zeta.pdf", "memoria zeta.pdf", "TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf", "dokumen.pub_exploring-the-riemann-zeta-function-190-years-from-riemanns-birth-978-3-319-59969-4-3319599690-978-3-319-59968-7.pdf"). Esta extensión se logra a través de la continuación analítica. La función zeta satisface una ecuación funcional crucial que relaciona sus valores en $s$ con los valores en $1-s$:

$ζ(s) = 2^s π^{s-1} \Gamma(1-s) \sin\left(\frac{πs}{2}\right) ζ(1-s)$

("PJM_Feb_2023_1_to_13 zeta.pdf", "La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI", "Riemann.pdf"). Esta ecuación es fundamental porque muestra una simetría en los valores de la función con respecto a la línea crítica $σ = 1/2$. La función $\xi(s) = \frac{1}{2}s(s-1)π^{-s/2} \Gamma(s/2)ζ(s)$ es una función entera que satisface $\xi(s) = \xi(1-s)$, lo que enfatiza esta simetría ("La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI", "TitchmarshZeta.pdf").

3. Los ceros de la función zeta y la hipótesis de Riemann

Los ceros de la función zeta se clasifican en triviales y no triviales. Los ceros triviales se encuentran en los enteros pares negativos ($s = -2k$ para $k \in \mathbb{N}$) ("La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI"). Los ceros no triviales, por otro lado, son el foco de la famosa hipótesis de Riemann.

Hipótesis de Riemann (RH): Todos los ceros no triviales de $ζ(s)$ tienen parte real $σ = 1/2$ ("memoria zeta.pdf", "PJM_Feb_2023_1_to_13 zeta.pdf", "Riemann.pdf", "TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf").

Riemann mismo consideró esta hipótesis "muy probable", pero no pudo demostrarla rigurosamente ("Riemann.pdf"). La RH es uno de los problemas del milenio del Instituto Clay, con un premio de un millón de dólares para quien la resuelva ("23% Beyond the Riemann Hypothesis - Numberphile", "https://minerva.usc.gal/rest/api/core/bitstreams/91d76563-d81e-4f43-8298-3fc982633c20/content").

La distribución de los ceros es un área activa de investigación. La fórmula de von Mangoldt relaciona la distribución de los números primos con los ceros de la función zeta ("Riemann.pdf", "memoria zeta.pdf"). Se sabe que hay un número infinito de ceros no triviales en la banda crítica ($0 ≤ σ ≤ 1$) y la densidad de estos ceros se estima mediante la fórmula de Riemann-von Mangoldt:

$N(T) = \frac{T}{2π} \log\left(\frac{T}{2π}\right) - \frac{T}{2π} + O(\log T)$

donde $N(T)$ es el número de ceros no triviales con parte imaginaria entre 0 y $T$ ("Slides_Utah_09 Gonek1 z function.pdf").

La RH tiene profundas implicaciones para la distribución de los números primos. Si la RH es cierta, entonces el término de error en el teorema de los números primos (PNT) es significativamente menor ("Riemann.pdf").

4. Conexiones con otras áreas de las matemáticas y la física

La función zeta de Riemann es un puente entre diversas ramas de las matemáticas y la física:

• Teoría de números: La conexión más directa es con la distribución de los números primos a través del PNT ("La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI", "TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf").
• Teoría del caos cuántico y matrices aleatorias (RMT): Se ha observado que los ceros de la función zeta de Riemann se asemejan a los valores propios de un hamiltoniano cuántico caótico desconocido ("166-19 z function.pdf"). La conjetura de Montgomery sugiere que las estadísticas de correlación entre los ceros de Riemann son las mismas que las de los valores propios del conjunto unitario gaussiano (GUE) de matrices aleatorias ("166-19 z function.pdf", "RMTzeta.pdf"). Esto se ha confirmado numéricamente, pero los resultados rigurosos son limitados. El modelo Keating-Snaith utiliza la RMT para predecir momentos de la función zeta, que concuerdan con los resultados conocidos y con los datos numéricos ("RMTzeta.pdf", "43 z function.pdf").
• Física de cuerdas: Las funciones zeta aparecen en las amplitudes de dispersión de la teoría de cuerdas p-ádicas y adélicas ("11976290 string theory and zeta function.pdf").
• Análisis complejo y armónico: La función zeta es un objeto central del análisis complejo, y sus propiedades se estudian utilizando herramientas como la continuación analítica, el teorema de los residuos y las ecuaciones de Cauchy-Riemann ("TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf"). También se relaciona con series de Fourier y funciones de Bessel ("TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf").
• Números irracionales y trascendentes: Se cree que los valores de $ζ(k)$ para argumentos impares ($k \in \mathbb{N}$) son irracionales y trascendentes. Apéry demostró la irracionalidad de $ζ(3)$ en 1978 ("Dialnet-AlgunasRepresentacionesEnSeriesDeLaFuncionZetaDeRi-7177466.pdf").

5. Métodos de cálculo y aproximaciones

Los métodos para calcular y estudiar la función zeta y sus ceros han evolucionado a lo largo del tiempo:

• Sumatoria Euler-Maclaurin: Utilizada en los primeros cálculos de ceros por investigadores como J. Hutchinson ("turing.zeta.pdf", "Riemann.pdf").
• Fórmula de Riemann-Siegel: Un método avanzado descubierto en los documentos no publicados de Riemann, que permite cálculos más precisos de los ceros ("turing.zeta.pdf", "Riemann.pdf", "dokumen.pub_exploring-the-riemann-zeta-function-190-years-from-riemanns-birth-978-3-319-59969-4-3319599690-978-3-319-59968-7.pdf").
• Ecuaciones funcionales aproximadas: Se utilizan para aproximar $ζ(s)$ en la banda crítica y para estudiar sus momentos ("43 z function.pdf", "Slides_Utah_09 Gonek1 z function.pdf").
• Métodos heurísticos y modelos: La RMT proporciona un marco para conjeturar el comportamiento asintótico de los momentos superiores de la función zeta ("43 z function.pdf", "RMTzeta.pdf").
• Cálculos numéricos: Se han realizado extensos cálculos para verificar la RH, superando los 10 billones de ceros conocidos en la línea crítica ("apm_2020022715071957 z function.pdf", "Chalker_Kristy z function and others.pdf").

6. Desafíos y direcciones futuras

A pesar de los avances, la función zeta de Riemann sigue planteando numerosos desafíos:

• La demostración de la Hipótesis de Riemann sigue siendo un problema abierto.
• La determinación de fórmulas exactas para los valores de la función zeta en argumentos impares sigue sin resolverse ("Valores de funciones Zeta multivariables en puntos enteros", "Dialnet-AlgunasRepresentacionesEnSeriesDeLaFuncionZetaDeRi-7177466.pdf").
• La comprensión de las "fluctuaciones a largo alcance" en la distribución de los ceros, que no se explican completamente con la RMT ("RMTzeta.pdf").
• El desarrollo de modelos híbridos que combinen la teoría de matrices aleatorias con la información aritmética para describir con mayor precisión la función zeta ("Slides_Utah_09 Gonek1 z function.pdf").
• La investigación de las conexiones de la función zeta con otras áreas, como la teoría de particiones y las funciones L ("dokumen.pub_exploring-the-riemann-zeta-function-190-years-from-riemanns-birth-978-3-319-59969-4-3319599690-978-3-319-59968-7.pdf", "https://www.union-matematica.org.ar/media/attachments/2024/03/24/bucher_gullo.pdf").

La función zeta de Riemann, con su intrínseca relación con los números primos y su presencia en diversos campos matemáticos y científicos, continúa siendo una fuente inagotable de misterio e inspiración para los investigadores.