Ejercicios campos clásicos

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# Instrucciones para crear el PDF usando OpenOffice Writer

## Paso 1: Preparar el documento
1. Abre **OpenOffice Writer** (el procesador de textos de la suite OpenOffice)
2. Crea un nuevo documento en blanco
3. Copia todo el texto que has proporcionado
4. Pega el texto en tu documento de OpenOffice

## Paso 2: Configurar el formato básico
1. **Ajustar márgenes:**
   - Ve al menú *Formato > Página...*
   - En la pestaña *Página*, establece todos los márgenes (superior, inferior, izquierdo y derecho) en **1.5 cm**
   - Haz clic en *Aceptar*

2. **Configurar tamaño de fuente:**
   - Selecciona todo el texto con *Ctrl+A*
   - En la barra de herramientas superior, busca el menú desplegable del tamaño de fuente
   - Selecciona **9 pt** o **10 pt** (recomiendo 10 pt para mejor legibilidad)
   - Si necesitas ajustar la interlineado:
     - Ve a *Formato > Párrafo...*
     - En la pestaña *Texto*, ajusta el interlineado a "Fijo" y establece **12 pt**

## Paso 3: Manejar las fórmulas matemáticas
OpenOffice no renderiza automáticamente el código LaTeX entre símbolos  $ .. $. Tienes dos opciones:

**Opción A (recomendada para documentos matemáticos):**
1. Instala la extensión **TexMaths** (busca "TexMaths OpenOffice" en Google)
2. Reinicia OpenOffice Writer
3. Para cada fórmula:
   - Coloca el cursor donde está la fórmula (ej: `$\partial_\mu x^\mu = 4$`)
   - Ve a *Herramientas > TexMaths > Insertar fórmula*
   - Borra los símbolos `$ .. $` y copia solo el código LaTeX (ej: `\partial_\mu x^\mu = 4`)
   - Haz clic en *Aceptar* para renderizar la fórmula

**Opción B (más rápida pero menos profesional):**
- Deja las fórmulas como están (con los símbolos `$...$`)
- Añade una nota al principio del documento: "*Las expresiones matemáticas aparecen en formato LaTeX entre símbolos $. Para visualizarlas correctamente, se recomienda usar un visor compatible con fórmulas matemáticas.*"

## Paso 4: Optimizar para una sola página
1. Si el contenido no cabe en una página:
   - Reduce ligeramente los márgenes a **1.2 cm** (Formato > Página)
   - Reduce el tamaño de fuente a **9 pt**
   - Reduce el espacio antes y después de los títulos:
     - Selecciona los títulos de ejercicios
     - Ve a *Formato > Párrafo...*
     - En la pestaña *Texto*, reduce el "Espacio antes" y "Espacio después" a **3 pt**

2. Para el segundo boletín (que es más largo):
   - Considera usar **dos páginas** como sugeriste
   - Inserta un salto de página antes de "# Segunda Página"
     - Coloca el cursor antes de ese texto
     - Ve a *Insertar > Salto de página*

## Paso 5: Exportar como PDF
1. Ve al menú *Archivo > Exportar como PDF...*
2. En la ventana de exportación:
   - Verifica que "Rango de páginas" sea "Todas"
   - Marca la opción "Crear documento PDF/A" para mejor compatibilidad
   - Desmarca "Reducir el tamaño de imagen" para mantener calidad
3. Haz clic en *Exportar*
4. Elige la ubicación y nombre del archivo PDF
5. Haz clic en *Guardar*

## Consejo adicional
Si necesitas que las fórmulas se vean profesionalmente y no quieres instalar extensiones, puedes:
1. Usar la herramienta online de LaTeX: https://www.overleaf.com/
2. Crear un documento mínimo en LaTeX
3. Exportar como PDF
4. Insertar ese PDF en OpenOffice como imagen si es necesario

¡Este proceso te dará un documento PDF limpio, profesional y optimizado para una o dos páginas según tus necesidades! 

 

 

 

# Introducción a la Teoría Clásica de Campos - Ejercicios y cuestiones (Primer Boletín: Relatividad)

**Ejercicio 1**  
Demuestre que $\partial_\mu x^\mu = 4$.

**Ejercicio 2**  
Demuestra que para una métrica genérica $g(x)$ el intervalo relativista $ds^2$ es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

**Ejercicio 3**  
En un espacio de Minkowski, muestra que cualquier transformación afín $x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu$ deja invariante al intervalo relativista.
**Ejercicio 4**  
Calcula el determinante de una transformación de Lorentz.

**Ejercicio 5**  
Dado el cuadrivector $p^\mu = (E, \vec{p})$, calcule su módulo al cuadrado.

**Ejercicio 6**  
Sea el cuadrivector $a^\mu = (a^0, a^1, a^2, a^3)$, ¿cómo son las componentes de $a_\mu$?

**Ejercicio 7**  
Muestre que $A^\mu B_\mu = A_\mu B^\mu$. Demuestre que $A^\mu B_\mu$ es una cantidad escalar.

**Ejercicio 8**  
Supongamos que tenemos $A^{\mu\nu}$ como un tensor antisimétrico y $S^{\mu\nu}$ como un tensor simétrico. Demuestre que $S^{\mu\nu}A_{\mu\nu} = 0$.

---

*Nota: Este documento contiene los enunciados de los ejercicios del primer boletín de Relatividad para la asignatura de Teoría Clásica de Campos. Los ejercicios cubren conceptos fundamentales de tensores, transformaciones de Lorentz y espacio-tiempo de Minkowski.* 

 

 # Introducción a la Teoría Clásica de Campos - Ejercicios y cuestiones (Segundo Boletín: Lagrangianas)

**Ejercicio 1**  
Obtenga las ecuaciones de Euler-Lagrange de una teoría arbitraria de campos en la que la densidad Lagrangiana depende del campo en cuestión y sus primeras derivadas.

**Ejercicio 2**  
Muestre que si dos densidades Lagrangianas difieren por una 4-divergencia de una función que depende únicamente de los campos y de las posiciones, sus ecuaciones de Euler-Lagrange son iguales.

**Ejercicio 3**  
Encuentre y discuta las ecuaciones de campo de una teoría de campo cuya densidad lagrangiana viene dada por:
$$\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi, \partial_\mu\partial_\nu\phi)$$
Nota: La presencia de segundas derivadas en la lagrangiana puede llevar a inestabilidad de Ostrogradski.

**Ejercicio 4**  
Encuentre y discuta las ecuaciones de campo de una teoría:
1. Campo Escalar Real sin masa: $\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$
2. Campo Escalar Real con masa: $\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2$
3. Campo Escalar Real con masa y un término de interacción: $\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4$

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# Segunda Página

**Ejercicio 5**  
Sea la siguiente acción:
$$S[\phi, h_{ab}] = \int d^4x \sqrt{-h} h^{ab} \partial_a\phi \partial_b\phi$$
Identifique correctamente el carácter de cada campo y discuta, en caso de ser posible, las ecuaciones del movimiento.
Nota: $\partial_a\sqrt{-h} = -\frac{1}{2}\sqrt{-h}h^{cd}\partial_a h_{cd}$

**Ejercicio 6**  
Encuentre y discuta las ecuaciones de campo de una teoría, lo más general posible, con un campo $A_\mu$ con masa. Asume que ese campo vectorial está indeterminado en la derivada de una función escalar arbitraria $\alpha(x)$.
Sugerencia: Intente construir todos los términos invariantes que no dependan de $\partial_\mu\alpha(x)$ ni de sus derivadas.

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*Nota: Este documento contiene los enunciados de los ejercicios del segundo boletín sobre Lagrangianas para la asignatura de Teoría Clásica de Campos. Los ejercicios cubren conceptos fundamentales de formulación lagrangiana en teoría de campos, ecuaciones de Euler-Lagrange y análisis de diferentes tipos de campos (escalares y vectoriales).*

 

En el contexto del estudio de la relatividad especial y general, Demuestre que 𝜕𝜇𝑥𝜇 = 4. ($\partial_\mu x^\mu = 4$)

 RESPUESTA

### **Demostración de que $ \partial_\mu x^\mu = 4 $ en relatividad especial y general**

En el contexto de la relatividad, el espacio-tiempo es un manifold de 4 dimensiones (1 temporal + 3 espaciales). Los símbolos $ \partial_\mu $ y $ x^\mu $ se definen como:

 $ x^\mu $: Coordenadas del espacio-tiempo, donde $ \mu = 0, 1, 2, 3 $:

  $$   x^0 = ct \quad \text{(coordenada temporal)}, \quad x^1, x^2, x^3 \quad \text{(coordenadas espaciales)}.  $$

 $ \partial_\mu $: Operador de derivada parcial con respecto a $ x^\mu $:

  $$  \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}.  $$

### **Paso 1: Expansión de $ \partial_\mu x^\mu $**

Por la notación de Einstein (sumatoria implícita sobre índices repetidos), tenemos:

$$ \partial_\mu x^\mu = \sum_{\mu=0}^{3} \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\mu}. $$

### **Paso 2: Cálculo de cada término**

Para cada coordenada $ x^\mu $:

- $ \partial_0 x^0 = \frac{\partial x^0}{\partial x^0} = 1 $,

- $ \partial_1 x^1 = \frac{\partial x^1}{\partial x^1} = 1 $,

- $ \partial_2 x^2 = \frac{\partial x^2}{\partial x^2} = 1 $,

- $ \partial_3 x^3 = \frac{\partial x^3}{\partial x^3} = 1 $.

### **Paso 3: Suma total**

$$ \partial_\mu x^\mu = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. $$

### **Observaciones clave**

1. **Independencia de la métrica**:  

   Esta identidad es válida en **cualquier sistema de coordenadas** (cartesianas, esféricas, curvilíneas) y no depende de la métrica del espacio-tiempo.  

   - En relatividad especial (métrica de Minkowski $ \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1) $), se cumple trivialmente.  

   - En relatividad general (métrica $ g_{\mu\nu} $ variable), sigue siendo cierta porque $ x^\mu $ son las coordenadas mismas.

2. **Generalización a $ n $ dimensiones**:  

   En un espacio-tiempo de $ n $ dimensiones, $ \partial_\mu x^\mu = n $.  

   - En 4D (relatividad), $ \partial_\mu x^\mu = 4 $.  

   - En 2D (ejemplo simplificado), $ \partial_\mu x^\mu = 2 $.

3. **Diferencia con la derivada covariante**:  

   Si usáramos la derivada covariante $ \nabla_\mu $, tendríamos:

   $$    \nabla_\mu x^\mu = \partial_\mu x^\mu + \Gamma^\mu_{\mu\nu} x^\nu = 4 + \Gamma^\mu_{\mu\nu} x^\nu,    $$

   donde $ \Gamma^\mu_{\mu\nu} $ son los símbolos de Christoffel. Sin embargo, en la expresión dada, se usa $ \partial_\mu $, no $ \nabla_\mu $.

### **Conclusión**

La identidad $ \partial_\mu x^\mu = 4 $ refleja la dimensión del espacio-tiempo en relatividad (4 dimensiones). Es un resultado fundamental en cálculo tensorial y se usa en la formulación de ecuaciones de campo en relatividad general.

latex

$ \textbf{Demostración:} \\ \text{En relatividad, el espacio-tiempo es 4-dimensional con coordenadas } x^\mu \text{ (}\mu = 0,1,2,3\text{).} \\ \text{El operador } \partial_\mu \text{ se define como } \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}. \\ \text{Expandiendo } \partial_\mu x^\mu \text{ con notación de Einstein:} \\ \partial_\mu x^\mu = \sum_{\mu=0}^{3} \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\mu} = \frac{\partial x^0}{\partial x^0} + \frac{\partial x^1}{\partial x^1} + \frac{\partial x^2}{\partial x^2} + \frac{\partial x^3}{\partial x^3}. \\ \text{Cada término es 1:} \\ \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\mu} = 1 \quad \forall \mu \in \{0,1,2,3\}. \\ \text{Por lo tanto:} \\ \partial_\mu x^\mu = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. \\ \text{Esta identidad es válida en cualquier sistema de coordenadas y no depende de la métrica.}$

```

**Ejercicio 2**  
Demuestra que para una métrica genérica $g(x)$ el intervalo relativista $ds^2$ es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

### **Demostración de la invariancia del intervalo relativista $ ds^2 $ bajo transformaciones de coordenadas**

En relatividad, el **intervalo relativista** $ ds^2 $ se define como:

$$ ds^2 = g_{\mu\nu}(x) \, dx^\mu dx^\nu, $$

donde $ g_{\mu\nu}(x) $ es el tensor métrico y $ dx^\mu $ son los diferenciales de las coordenadas. Este intervalo representa una distancia física en el espacio-tiempo, y su invariancia bajo transformaciones de coordenadas es una propiedad fundamental de la teoría.

### **Paso 1: Transformación de coordenadas**

Consideremos un cambio de coordenadas arbitrario $ x^\mu \to x'^\mu $, donde $ x'^\mu = x'^\mu(x^\nu) $. Los diferenciales de las coordenadas se transforman como:

$$ dx'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu. $$

El tensor métrico $ g_{\mu\nu}(x) $ se transforma según la ley de transformación de tensores:

$$ g'_{\mu\nu}(x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x). $$

### **Paso 2: Cálculo del intervalo en el nuevo sistema**

En el sistema de coordenadas $ x'^\mu $, el intervalo relativista es:

$$ ds'^2 = g'_{\mu\nu}(x') \, dx'^\mu dx'^\nu. $$

Sustituimos las expresiones para $ g'_{\mu\nu} $ y $ dx'^\mu $:

$$ ds'^2 = \left( \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x) \right) \left( \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\gamma} dx^\gamma \right) \left( \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\delta} dx^\delta \right). $$

Reorganizando términos:

$$ ds'^2 = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\gamma} \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\delta} g_{\alpha\beta}(x) \, dx^\gamma dx^\delta. $$

### **Paso 3: Simplificación usando la regla de la cadena**

Por la regla de la cadena, se cumple:

$$ \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\gamma} = \delta^\alpha_\gamma, $$

donde $ \delta^\alpha_\gamma $ es el delta de Kronecker. Aplicando esto:

$$ ds'^2 = \delta^\alpha_\gamma \delta^\beta_\delta g_{\alpha\beta}(x) \, dx^\gamma dx^\delta = g_{\gamma\delta}(x) \, dx^\gamma dx^\delta = ds^2. $$

### **Conclusión**

El intervalo relativista $ ds^2 $ es **invariante bajo transformaciones de coordenadas**, ya que representa una cantidad física (la distancia en el espacio-tiempo) que no depende del sistema de coordenadas elegido. Esta propiedad es una consecuencia directa de la naturaleza tensorial de $ g_{\mu\nu} $ y refleja el principio de que las leyes de la física deben ser independientes de la elección de coordenadas.

```latex

$ \textbf{Demostración:} \\ \text{El intervalo relativista se define como } ds^2 = g_{\mu\nu}(x) \, dx^\mu dx^\nu. \\ \text{Bajo un cambio de coordenadas } x^\mu \to x'^\mu: \\ dx'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu, \quad g'_{\mu\nu}(x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta}(x). \\ \text{Calculamos } ds'^2 = g'_{\mu\nu}(x') \, dx'^\mu dx'^\nu: \\ ds'^2 = \left( \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} g_{\alpha\beta} \right) \left( \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\gamma} dx^\gamma \right) \left( \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\delta} dx^\delta \right). \\ \text{Usando la regla de la cadena: } \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\gamma} = \delta^\alpha_\gamma, \\ ds'^2 = \delta^\alpha_\gamma \delta^\beta_\delta g_{\alpha\beta} \, dx^\gamma dx^\delta = g_{\gamma\delta} \, dx^\gamma dx^\delta = ds^2. \\ \text{Por lo tanto, } ds^2 \text{ es invariante bajo transformaciones de coordenadas.} $

**Ejercicio 3**  
En un espacio de Minkowski, muestra que cualquier transformación afín $x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu$ deja invariante al intervalo relativista.

RESPUESTA

### **Demostración de que las transformaciones de Poincaré dejan invariante el intervalo relativista en el espacio de Minkowski**

En el espacio de Minkowski, el intervalo relativista se define como:

$$ ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu, $$

donde $ \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1) $ es la métrica de Minkowski (usando la convención $ (+,-,-,-) $).

Una **transformación de Poincaré** (transformación afín en el espacio de Minkowski) tiene la forma:

$$ x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu, $$

donde:

 $ \Lambda^\mu_\nu $ es una matriz que satisface $ \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta} $ (es una transformación de Lorentz),

 $ a^\mu $ es un vector constante (traslación).

### **Paso 1: Diferencial de la transformación**

Tomamos el diferencial de la transformación afín:

$$ dx'^\mu = \Lambda^\mu_\nu dx^\nu. $$

Nótese que la traslación $ a^\mu $ desaparece al diferenciar, ya que es constante.

### **Paso 2: Cálculo del intervalo en el nuevo sistema**

El intervalo en el sistema transformado es:

$$ ds'^2 = \eta_{\mu\nu} dx'^\mu dx'^\nu. $$

Sustituimos $ dx'^\mu = \Lambda^\mu_\alpha dx^\alpha $:

$$ ds'^2 = \eta_{\mu\nu} (\Lambda^\mu_\alpha dx^\alpha) (\Lambda^\nu_\beta dx^\beta) = (\eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta) dx^\alpha dx^\beta. $$

### **Paso 3: Condición de invariancia**

Para que $ ds'^2 = ds^2 $, necesitamos:

$$ \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta}. $$

Esta es precisamente la **condición que define a las transformaciones de Lorentz**. Las matrices $ \Lambda^\mu_\nu $ que satisfacen esta condición preservan la métrica de Minkowski.

### **Paso 4: Conclusión**

- La parte lineal $ \Lambda^\mu_\nu $ debe ser una transformación de Lorentz para preservar el intervalo.

- La traslación $ a^\mu $ no afecta al intervalo porque $ dx'^\mu = \Lambda^\mu_\nu dx^\nu $ (las traslaciones desaparecen al diferenciar).

Por lo tanto, **cualquier transformación de Poincaré** (combinación de una transformación de Lorentz y una traslación) deja invariante el intervalo relativista:

$$ ds'^2 = ds^2. $$

## **Observaciones importantes**

1. **No todas las transformaciones afines preservan el intervalo**:  

   Solo aquellas donde $ \Lambda^\mu_\nu $ es una transformación de Lorentz (es decir, satisface $ \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta} $) preservan el intervalo.  

   - Ejemplo de transformación que **no preserva** el intervalo: $ \Lambda^\mu_\nu = 2 \delta^\mu_\nu $ (escalamiento uniforme).

2. **Grupo de Poincaré**:  

   El conjunto de todas las transformaciones de Poincaré forma el **grupo de Poincaré**, que es el grupo de isometrías del espacio de Minkowski.

3. **Interpretación física**:  

   La invariancia del intervalo bajo transformaciones de Poincaré refleja que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores inerciales (principio de relatividad especial).

`latex

$ \textbf{Demostración:} \\ \text{En el espacio de Minkowski, el intervalo relativista es } ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu. \\ \text{Una transformación de Poincaré tiene la forma } x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu, \\ \text{donde } \Lambda^\mu_\nu \text{ es una transformación de Lorentz (satisface } \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta}\text{) y } a^\mu \text{ es una traslación.} \\ \text{Calculamos el diferencial: } dx'^\mu = \Lambda^\mu_\nu dx^\nu. \\ \text{El intervalo transformado es:} \\ ds'^2 = \eta_{\mu\nu} dx'^\mu dx'^\nu = \eta_{\mu\nu} (\Lambda^\mu_\alpha dx^\alpha) (\Lambda^\nu_\beta dx^\beta) = (\eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta) dx^\alpha dx^\beta. \\ \text{Por la condición de Lorentz: } \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta}, \\ ds'^2 = \eta_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta = ds^2. \\ \text{Por lo tanto, el intervalo relativista es invariante bajo transformaciones de Poincaré.} $

```