Estudio del espacio vectorial dual en dimensiones bajas. Producto escalar a partir del dual

 Qwen y NotebookLM

Considera un espacio vectorial de dimensión 2 sobre R (cuerpo conmutativo o campo de los números reales) Define el espacio vectorial dual, explica sus propiedades, detalla el isomorfismo entre el espacio vectorial y su dual. Explica qué elemento corresponde en el dual al vector (5, 3) por ejemplo. Siempre tratando sólo con espacios vectoriales reales de dimensión 2

RESPUESTA

Para comprender el concepto de espacio vectorial dual en el contexto de un espacio vectorial de dimensión 2 sobre el cuerpo de los números reales ($\mathbb{R}^2$), es fundamental entender qué es un espacio vectorial, sus elementos (vectores) y las operaciones definidas sobre ellos.

Un espacio vectorial real de dimensión 2, como $\mathbb{R}^2$, es un conjunto de pares ordenados de números reales, a los que llamamos vectores, y sobre los cuales se definen dos operaciones: la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector. Estas operaciones deben cumplir una serie de axiomas, como la asociatividad, conmutatividad y la existencia de un elemento neutro y un inverso aditivo para la suma, así como propiedades de compatibilidad para el producto por escalares.

Definición del Espacio Vectorial Dual

El espacio vectorial dual de un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$ (en este caso, $\mathbb{R}$) se denota como $V^$ y se define como el conjunto de todas las transformaciones lineales (u homomorfismos) de $V$ al cuerpo de escalares $K$. En otras palabras, para nuestro $\mathbb{R}^2$, el espacio dual $(\mathbb{R}^2)^$ es el conjunto de todas las funciones lineales $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$.

A los elementos de $V^*$ se les llama formas lineales o covectores.

El propio $V^*$ se convierte en un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las siguientes operaciones definidas "punto a punto":

• Suma de formas lineales: Si $\phi, \psi \in V^*$, entonces $(\phi + \psi)(x) = \phi(x) + \psi(x)$ para todo $x \in V$.
• Producto de un escalar por una forma lineal: Si $c \in \mathbb{R}$ y $\phi \in V^*$, entonces $(c\phi)(x) = c(\phi(x))$ para todo $x \in V$.

Por ejemplo, si $V = \mathbb{R}^2$, una forma lineal podría ser $f(x,y) = 2x - 3y$. Si tomamos otra forma lineal $g(x,y) = x + y$, su suma $(f+g)(x,y) = 3x - 2y$ es otra forma lineal, y el producto escalar por 5, $(5f)(x,y) = 10x - 15y$, también es una forma lineal.

Propiedades del Espacio Dual

Para un espacio vectorial de dimensión finita como $\mathbb{R}^2$:

• Dimensión: Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita $n$, su espacio dual $V^$ tiene la misma dimensión $n$. Por lo tanto, el espacio dual de $\mathbb{R}^2$, $(\mathbb{R}^2)^$, también tiene dimensión 2.
• Representación de elementos: Intuitivamente, si los vectores de $V$ (como $\mathbb{R}^n$) se representan como "vectores columna", los elementos del espacio dual $V^$ pueden representarse como "vectores fila" ($1 \times n$ matrices) que actúan sobre los vectores columna mediante la multiplicación matricial. Así, $(\mathbb{R}^2)^$ puede pensarse como el espacio de matrices $M_{1,2}(\mathbb{R})$.
• Base Dual: Dada una base ordenada $B = {v_1, \ldots, v_n}$ de $V$, existe una única base dual $B^* = {\phi_1, \ldots, \phi_n}$ de $V^*$. Esta base dual se define por la propiedad $\phi_i(v_j) = \delta_{ij}$, donde $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker (1 si $i=j$, y 0 si $i \ne j$). Las $\phi_i$ se conocen como formas coordenadas, ya que $\phi_i(v)$ da la $i$-ésima coordenada de $v$ en la base $B$.

Isomorfismo entre el Espacio Vectorial y su Dual

Dado que $\mathbb{R}^2$ y su dual $(\mathbb{R}^2)^*$ tienen la misma dimensión, son isomorfos. Esto significa que, desde un punto de vista algebraico puro, son "el mismo" espacio, solo que sus elementos tienen una naturaleza diferente (vectores vs. funciones).

Sin embargo, es crucial entender que este isomorfismo en espacios de dimensión finita no es canónico o "natural" en el sentido de que no hay una única correspondencia intrínseca entre los elementos de $V$ y $V^$ sin la elección previa de una base. Cualquier isomorfismo de $V$ a $V^$ depende de la base de $V$ con la que se empiece.

La forma más común de establecer un isomorfismo es a través de un producto interno (o producto escalar). Para cualquier espacio vectorial de dimensión finita con un producto interno, como $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar usual, existe un teorema de representación de Riesz que establece que cada forma lineal $f$ sobre $V$ puede ser representada como el producto interno con un vector único fijo en $V$. Es decir, para cada $f \in V^$, existe un único $a \in V$ tal que $f(x) = \langle a, x \rangle$ para todo $x \in V$. Esta correspondencia $\Psi: V \to V^$ donde $\Psi(a) = f_a$ (con $f_a(x) = \langle a,x \rangle$) es un isomorfismo.

Elemento Correspondiente en el Dual al Vector (5, 3)

Consideremos el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ y la base canónica $B = {e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)}$. Esta es una base ortonormal con respecto al producto escalar canónico (o producto punto) en $\mathbb{R}^2$, definido como $\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1x_2 + y_1y_2$.

La base dual $B^* = {\phi_1, \phi_2}$ para esta base canónica se define por:

• $\phi_1(x,y)$: la primera coordenada del vector $(x,y)$ en la base canónica. Es decir, $\phi_1(x,y) = x$.
• $\phi_2(x,y)$: la segunda coordenada del vector $(x,y)$ en la base canónica. Es decir, $\phi_2(x,y) = y$.

Para encontrar la forma lineal en $(\mathbb{R}^2)^$ que corresponde al vector $v = (5, 3)$, utilizamos el isomorfismo inducido por el producto interno canónico. La forma lineal $f_v \in (\mathbb{R}^2)^$ asociada al vector $v$ se define como aquella que, al aplicarse a cualquier vector $x \in \mathbb{R}^2$, devuelve el producto interno de $v$ con $x$.

Así, si $v = (5, 3)$ y $x = (x_1, x_2)$, la forma lineal $f_v$ correspondiente es: $f_v(x_1, x_2) = \langle (5, 3), (x_1, x_2) \rangle = 5x_1 + 3x_2$.

Esta forma lineal $f_v(x_1, x_2) = 5x_1 + 3x_2$ es el elemento en el espacio dual $(\mathbb{R}^2)^*$ que corresponde al vector $(5, 3)$ bajo este isomorfismo.

Observamos que las coordenadas de la forma lineal $f_v$ en la base dual $B^*$ son $(f_v(e_1), f_v(e_2))$:

• $f_v(e_1) = f_v(1,0) = 5(1) + 3(0) = 5$.
• $f_v(e_2) = f_v(0,1) = 5(0) + 3(1) = 3$.

Las coordenadas de la forma lineal $f_v$ en la base dual $B^*$ son $(5,3)$, que son las mismas coordenadas que el vector $v=(5,3)$ tiene en la base canónica $B$. Esta coincidencia de coordenadas es una propiedad particular que ocurre cuando se utiliza una base ortonormal para el espacio original y su correspondiente base dual.

En resumen, el espacio dual es como el "espejo" de nuestro espacio vectorial original. Cada vector en el espacio original tiene su reflejo único en el espacio dual, una función que "mira" los vectores del espacio original y les asigna un número real. Al igual que un espejo, el dual tiene la misma "forma" (dimensión) que el original, pero el reflejo es una imagen diferente, una "vista" desde otro ángulo (la de las funciones).

Sí, es posible definir un producto escalar en ${\mathbb{R}}^2$ utilizando el espacio dual y la base dual de la base canónica, aunque necesitamos ser cuidadosos con cómo lo hacemos.

---

1. Contexto: Espacio y espacio dual

Estamos en ${\mathbb{R}}^2$ , espacio vectorial real de dimensión 2, con la base canónica:

$$\mathcal{B}=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$$

El espacio dual , denotado ${\mathbb{R}}^{2\ast }$ , es el espacio vectorial de las funcionales lineales (transformaciones lineales de ${\mathbb{R}}^2$ a $\mathbb{R}$ ). La base dual asociada a $\mathcal{B}$ es:

$${\mathcal{B}}^{\ast }=\{{\epsilon }^1,{\epsilon }^2\}$$

donde cada ${\epsilon }^i:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ está definida por:

$${\epsilon }^i(e_j)={\delta }_j^i=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=j\\ 0& \text{si }i\ne j\end{array}$$

Es decir, ${\epsilon }^1(x_1,x_2)=x_1$ y ${\epsilon }^2(x_1,x_2)=x_2$ . Son simplemente las proyecciones sobre las coordenadas.

---

2. Relación entre espacio y espacio dual

Cada vector $v=(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2$ puede asociarse canónicamente con una funcional lineal ${\varphi }_v\in {\mathbb{R}}^{2\ast }$ definida por:

$${\varphi }_v(w)=v\cdot w$$

donde $\cdot$ es el producto escalar usual.

Recíprocamente, dada una funcional lineal $f\in {\mathbb{R}}^{2\ast }$ , existe un único vector $v_f\in {\mathbb{R}}^2$ tal que:

$$f(w)=v_f\cdot w\forall w\in {\mathbb{R}}^2$$

Esta correspondencia biyectiva entre ${\mathbb{R}}^2$ y ${\mathbb{R}}^{2\ast }$ depende del producto escalar elegido .

---

3. Construcción de un producto escalar a partir del espacio dual

Para construir un producto escalar usando la base dual, necesitamos una forma de asociar funcional lineal con vector, y viceversa.

Paso 1: Definir una aplicación bilineal

Definimos una aplicación:

$$g:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$$

mediante:

$$g(v,w)={\epsilon }^1(v)\cdot {\epsilon }^1(w)+{\epsilon }^2(v)\cdot {\epsilon }^2(w)$$

Es decir, si $v=(x_1,x_2)$ y $w=(y_1,y_2)$ , entonces:

$$g(v,w)=x_1{y}_1+x_2{y}_2$$

que es exactamente el producto escalar usual en ${\mathbb{R}}^2$ .

Paso 2: Verificar propiedades de producto escalar

• Bilinealidad : Claramente se cumple, ya que $g(v,w)$ es una combinación bilineal de las coordenadas.
• Simetría : $g(v,w)=g(w,v)$ , obvio por conmutatividad del producto en $\mathbb{R}$ .
• Definida positiva : $g(v,v)=x_1^2+x_2^2\ge 0$ , y es cero solo si $v=0$ .

Por lo tanto, $g$ es un producto escalar en ${\mathbb{R}}^2$ .

---

4. Generalización con una métrica arbitraria

Más en general, puedes definir un producto escalar distinto del usual usando una matriz simétrica definida positiva $A=(a_{ij})$ y definiendo:

$$g(v,w)=\sum _{i,j=1}^2{a}_{ij}{\epsilon }^i(v){\epsilon }^j(w)$$

Esto equivale a:

$$g(v,w)=v^{T}Aw$$

donde $v,w$ están escritos en la base canónica.

Entonces, la base dual te permite expresar cualquier producto escalar como una combinación bilineal simétrica y definida positiva de las coordenadas .

---

5. Conclusión

Sí, puedes definir un producto escalar en ${\mathbb{R}}^2$ a partir de la base dual de la base canónica. El producto escalar usual corresponde a:

$$g(v,w)={\epsilon }^1(v){\epsilon }^1(w)+{\epsilon }^2(v){\epsilon }^2(w)$$

Y más en general, puedes definir cualquier producto escalar usando una combinación bilineal simétrica y definida positiva de los elementos de la base dual.

¡Perfecto! Me alegra que quieras seguir un enfoque paso a paso. Sí, es posible definir un producto escalar en $\mathbb{R}^2$ utilizando la base dual de la base canónica, y puedes hacerlo siguiendo una secuencia lógica como la que pretendes. Aunque no has especificado exactamente cuáles son tus pasos, puedo proponerte una secuencia clara y detallada para definir un producto escalar a partir del espacio dual y la base dual. Si ya tienes tus propios pasos en mente, dime cuáles son y los revisamos juntos. --- ### ✅ **Pasos para definir un producto escalar en $\mathbb{R}^2$ usando la base dual** #### **Paso 1: Fijar la base canónica de $\mathbb{R}^2$** Tomamos la base canónica de $\mathbb{R}^2$: $$ \mathcal{B} = \{e_1 = (1, 0),\ e_2 = (0, 1)\} $$ #### **Paso 2: Definir el espacio dual $(\mathbb{R}^2)^*$** El espacio dual $(\mathbb{R}^2)^*$ es el conjunto de todas las **funcionales lineales** $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, es decir, aplicaciones lineales del espacio vectorial al cuerpo (en este caso $\mathbb{R}$). #### **Paso 3: Construir la base dual asociada a $\mathcal{B}$** La base dual asociada a $\mathcal{B}$ es: $$ \mathcal{B}^* = \{\varepsilon^1,\ \varepsilon^2\} $$ donde cada funcional $\varepsilon^i$ cumple: $$ \varepsilon^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \ne j \end{cases} $$ En coordenadas, estas funcionales son simplemente: $$ \varepsilon^1(x_1, x_2) = x_1,\quad \varepsilon^2(x_1, x_2) = x_2 $$ #### **Paso 4: Definir una aplicación bilineal simétrica usando la base dual** Definimos una aplicación: $$ g : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $$ por medio de: $$ g(v, w) = \varepsilon^1(v)\varepsilon^1(w) + \varepsilon^2(v)\varepsilon^2(w) $$ Si $v = (x_1, x_2)$ y $w = (y_1, y_2)$, entonces: $$ g(v, w) = x_1 y_1 + x_2 y_2 $$ que es el **producto escalar usual** en $\mathbb{R}^2$. #### **Paso 5: Verificar que $g$ es un producto escalar** Verificamos las propiedades de un producto escalar: 1. **Bilinealidad**: $g$ es lineal en cada argumento. 2. **Simetría**: $g(v, w) = g(w, v)$, por conmutatividad del producto en $\mathbb{R}$. 3. **Definida positiva**: $g(v, v) = x_1^2 + x_2^2 > 0$ si $v \ne 0$, y $g(v, v) = 0$ solo si $v = 0$. Por lo tanto, $g$ es un producto escalar. #### **Paso 6 (Opcional): Generalización con una métrica arbitraria** Si quieres definir un producto escalar distinto del usual, puedes usar una matriz simétrica y definida positiva $A = (a_{ij})$ y definir: $$ g(v, w) = \sum_{i,j=1}^2 a_{ij} \varepsilon^i(v)\varepsilon^j(w) $$ Esto equivale a: $$ g(v, w) = v^T A w $$ donde $v, w$ están escritos en coordenadas respecto a la base canónica. --- ### ✅ **Resumen** Sí, puedes definir un producto escalar en $\mathbb{R}^2$ usando la base dual de la base canónica. Los pasos son: 1. Fijar la base canónica de $\mathbb{R}^2$. 2. Definir el espacio dual $(\mathbb{R}^2)^*$. 3. Construir la base dual asociada. 4. Usar combinaciones bilineales simétricas de los elementos de la base dual para definir una aplicación $g$. 5. Verificar que $g$ cumple las propiedades de un producto escalar. 6. (Opcional) Usar una matriz simétrica y definida positiva para generalizar. --- ¿Quieres que ahora lo hagamos con un ejemplo concreto? Por ejemplo, con una métrica no euclídea.

¿Puedo hacerlo siguiendo los siguientes pasos:?

1) Establezco una biyección entre el espacio vectorial real de dimensión 2 y su dual (a la imagen de v en R^2 lo llamo v^*

2) Defino el producto escalar de dos vectores u y v de R^2 como u^* (v)  ( o bien v^* (u) que debería dar lo mismo)

¿Es eso posible? ¿Se trata del mismo método (esencialmente) que el de tus respuestas anteriores? Desarrolla con detalle que tengo mucha curiosidad

¡Perfecto! Tu idea es muy interesante y sí, esencialmente es posible hacerlo así , aunque hay que tener cuidado con cómo se define esa biyección entre el espacio y su dual, y qué propiedades se requieren para que la definición del producto escalar sea coherente.

Vamos a desarrollarlo paso a paso, detalladamente, y veremos que sí, esencialmente es lo mismo que lo que hicimos antes , pero desde una perspectiva más abstracta. ¡Vamos!

---

🧠 Idea principal

Quieres:

1. Establecer una biyección (idealmente isomorfismo) $v\mapsto v^{\ast }$ entre ${\mathbb{R}}^2$ y su dual $({\mathbb{R}}^2{)}^{\ast }$ .
2. Usar esa biyección para definir el producto escalar como:
   $$⟨u,v⟩:=u^{\ast }(v)$$
   o también:
   $$⟨u,v⟩:=v^{\ast }(u)$$
   (y que sea simétrico, es decir, que dé lo mismo cualquiera que elijas).

---

🧩 Paso 1: Definir una biyección entre $V$ y $V^{\ast }$

Sea $V={\mathbb{R}}^2$ , con base canónica $\{e_1,e_2\}$ .

En general, no existe una biyección natural entre un espacio vectorial y su dual , salvo que tengamos un producto escalar o alguna estructura adicional.

Pero puedes definir una biyección lineal entre $V$ y $V^{\ast }$ fijando una base y una forma de asociar vectores a funcionales.

Definición explícita de la biyección:

Dado $v=(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2$ , asociamos una funcional $v^{\ast }\in ({\mathbb{R}}^2{)}^{\ast }$ definida por:

$$v^{\ast }(w):=v\cdot w$$

donde $\cdot$ es el producto escalar usual en ${\mathbb{R}}^2$ .

Es decir:

$$v^{\ast }(w)=x_1{w}_1+x_2{w}_2$$

Esto define una aplicación:

$$\Phi :{\mathbb{R}}^2\to ({\mathbb{R}}^2{)}^{\ast },\Phi (v)=v^{\ast }$$

donde $v^{\ast }(w)=v\cdot w$

---

✅ Paso 2: Verificar que es un isomorfismo

• Linealidad : Para $v,w\in {\mathbb{R}}^2$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ :

  $$(\lambda v+w{)}^{\ast }(u)=(\lambda v+w)\cdot u=\lambda (v\cdot u)+w\cdot u=\lambda v^{\ast }(u)+w^{\ast }(u)$$

  por lo tanto, $\Phi (\lambda v+w)=\lambda \Phi (v)+\Phi (w)$

• Inyectividad : Si $v^{\ast }=0$ (funcional cero), entonces $v\cdot w=0$ para todo $w$ , lo que implica $v=0$ .

• Sobreyectividad : Dada cualquier funcional $f\in ({\mathbb{R}}^2{)}^{\ast }$ , existe un único vector $v_f\in {\mathbb{R}}^2$ tal que $f(w)=v_f\cdot w$ . Esto es el teorema de representación de Riesz en dimensión finita.

Por lo tanto, $\Phi$ es un isomorfismo canónico entre ${\mathbb{R}}^2$ y su dual , una vez fijado un producto escalar (en este caso el usual).

---

🧮 Paso 3: Definir el producto escalar como $u^{\ast }(v)$

Ahora, dado este isomorfismo $\Phi$ , puedes definir un producto escalar en ${\mathbb{R}}^2$ mediante:

$$⟨u,v⟩:=u^{\ast }(v)$$

donde $u^{\ast }=\Phi (u)$ , es decir:

$$⟨u,v⟩=u\cdot v$$

el producto escalar usual.

Y también:

$$⟨u,v⟩=v^{\ast }(u)$$

por la simetría del producto escalar:

$$u\cdot v=v\cdot u$$

Por lo tanto, sí, puedes definir el producto escalar como $u^ (v)$ o $v^ (u)**, y es coherente siempre que la biyección $v \mapsto v^ $ se haga a través del producto escalar *.

---

🧠 Paso 4: ¿Es lo mismo que antes?

Sí, es esencialmente lo mismo que hicimos en las respuestas anteriores, pero desde una perspectiva más abstracta.

Antes, definimos el producto escalar como:

$$⟨u,v⟩={\epsilon }^1(u){\epsilon }^1(v)+{\epsilon }^2(u){\epsilon }^2(v)$$

donde ${\epsilon }^i$ son las funcionales de la base dual.

Pero ahora estás definiendo el producto escalar como:

$$⟨u,v⟩=u^{\ast }(v)$$

donde $u^{\ast }$ es el funcional asociado al vector $u$ mediante el isomorfismo inducido por el producto escalar.

Ambas ideas están estrechamente relacionadas , y de hecho, si desarrollas $u^{\ast }(v)$ usando la base dual, obtienes:

$$u^{\ast }(v)=u_1{\epsilon }^1(v)+u_2{\epsilon }^2(v)=u_1{v}_1+u_2{v}_2=⟨u,v⟩$$

---

📌 Conclusión

Sí, puedes definir el producto escalar como $u^ (v)$ *, siempre que:

• Tengas una biyección lineal entre $V$ y $V^{\ast }$ , y
• Esa biyección esté definida a través de un producto escalar ya dado .

Es decir, el producto escalar define una biyección entre el espacio y su dual , y esa biyección te permite definir el producto escalar como evaluación de la funcional asociada .

Por tanto:

• No puedes definir un producto escalar solo con el espacio y su dual sin estructura adicional .
• Pero una vez que tienes un producto escalar, puedes definir una biyección natural entre $V$ y $V^ $ *.
• Y con esa biyección, puedes redefinir el producto escalar como $u^ (v)$ *.

---

🔄 Resumen de equivalencias

Concepto	Expresión
Producto escalar usual	$⟨u,v⟩=u_1{v}_1+u_2{v}_2$
En términos de la base dual	$⟨u,v⟩={\epsilon }^1(u){\epsilon }^1(v)+{\epsilon }^2(u){\epsilon }^2(v)$
A través del isomorfismo$v\mapsto v^{\ast }$	$⟨u,v⟩=u^{\ast }(v)$o$v^{\ast }(u)$

---

¿Quieres que ahora lo hagamos con una métrica no euclídea ? Por ejemplo, con una base dual y una matriz de métrica distinta de la identidad. Sería un ejemplo muy ilustrativo.

OTRA MANERA

¡Perfecto! Tu idea es muy interesante y sí, **esencialmente es posible hacerlo así**, aunque hay que tener cuidado con cómo se define esa biyección entre el espacio y su dual, y qué propiedades se requieren para que la definición del producto escalar sea coherente.

Vamos a desarrollarlo paso a paso, detalladamente, y veremos que **sí, esencialmente es lo mismo que lo que hicimos antes**, pero desde una perspectiva más abstracta. ¡Vamos!

---

## 🧠 **Idea principal**

Quieres:

1. Establecer una **biyección** (idealmente isomorfismo) $v \mapsto v^*$ entre $\mathbb{R}^2$ y su dual $(\mathbb{R}^2)^*$.

2. Usar esa biyección para definir el producto escalar como:

   $$    \langle u, v \rangle := u^*(v)    $$

   o también:     $$    \langle u, v \rangle := v^*(u)    $$

   (y que sea simétrico, es decir, que dé lo mismo cualquiera que elijas).

## 🧩 Paso 1: Definir una biyección entre $V$ y $V^*$

Sea $V = \mathbb{R}^2$, con base canónica $\{e_1, e_2\}$.

En general, **no existe una biyección natural entre un espacio vectorial y su dual**, salvo que tengamos un producto escalar o alguna estructura adicional.

Pero puedes definir una **biyección lineal** entre $V$ y $V^*$ **fijando una base** y una forma de asociar vectores a funcionales.

### Definición explícita de la biyección:

Dado $v = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$, asociamos una funcional $v^* \in (\mathbb{R}^2)^*$ definida por:   $$ v^*(w) := v \cdot w $$  donde $\cdot$ es el producto escalar usual en $\mathbb{R}^2$.   Es decir:   $$ v^*(w) = x_1 w_1 + x_2 w_2 $$ 

Esto define una aplicación:  $$ \Phi : \mathbb{R}^2 \to (\mathbb{R}^2)^*,\quad \Phi(v) = v^* $$

donde $v^*(w) = v \cdot w$

## ✅ Paso 2: Verificar que es un isomorfismo

 **Linealidad**: Para $v, w \in \mathbb{R}^2$, $\lambda \in \mathbb{R}$:

  $$   (\lambda v + w)^*(u) = (\lambda v + w) \cdot u = \lambda (v \cdot u) + w \cdot u = \lambda v^*(u) + w^*(u)   $$

  por lo tanto, $\Phi(\lambda v + w) = \lambda \Phi(v) + \Phi(w)$

- **Inyectividad**: Si $v^* = 0$ (funcional cero), entonces $v \cdot w = 0$ para todo $w$, lo que implica $v = 0$.

- **Sobreyectividad**: Dada cualquier funcional $f \in (\mathbb{R}^2)^*$, existe un único vector $v_f \in \mathbb{R}^2$ tal que $f(w) = v_f \cdot w$. Esto es el **teorema de representación de Riesz** en dimensión finita.

Por lo tanto, $\Phi$ es un **isomorfismo canónico entre $\mathbb{R}^2$ y su dual**, **una vez fijado un producto escalar** (en este caso el usual).

## 🧮 Paso 3: Definir el producto escalar como $u^*(v)$

Ahora, dado este isomorfismo $\Phi$, puedes definir un producto escalar en $\mathbb{R}^2$ mediante:   $$ \langle u, v \rangle := u^*(v) $$   donde $u^* = \Phi(u)$, es decir:  $$  \langle u, v \rangle = u \cdot v $$     el producto escalar usual.    Y también: $$ \langle u, v \rangle = v^*(u) $$

por la simetría del producto escalar:   $$ u \cdot v = v \cdot u $$  

Por lo tanto, **sí, puedes definir el producto escalar como $u^*(v)$ o $v^*(u)$**, y es coherente **siempre que la biyección $v \mapsto v^*$ se haga a través del producto escalar**.

## 🧠 Paso 4: ¿Es lo mismo que antes?

Sí, es **esencialmente lo mismo** que hicimos en las respuestas anteriores, pero desde una perspectiva más abstracta.  

Antes, definimos el producto escalar como: $$ \langle u, v \rangle = \varepsilon^1(u)\varepsilon^1(v) + \varepsilon^2(u)\varepsilon^2(v) $$

donde $\varepsilon^i$ son las funcionales de la base dual.   Pero ahora estás definiendo el producto escalar como:  $$ \langle u, v \rangle = u^*(v) $$

donde $u^*$ es el funcional asociado al vector $u$ mediante el isomorfismo inducido por el producto escalar.  

Ambas ideas están **estrechamente relacionadas**, y de hecho, si desarrollas $u^*(v)$ usando la base dual, obtienes: $$ u^*(v) = u_1 \varepsilon^1(v) + u_2 \varepsilon^2(v) = u_1 v_1 + u_2 v_2 = \langle u, v \rangle $$

## 📌 Conclusión

Sí, **puedes definir el producto escalar como $u^*(v)$**, siempre que:  

- Tengas una **biyección lineal** entre $V$ y $V^*$, y

- Esa biyección esté definida **a través de un producto escalar ya dado**.

Es decir, **el producto escalar define una biyección entre el espacio y su dual**, y **esa biyección te permite definir el producto escalar como evaluación de la funcional asociada**.

Por tanto:   - **No puedes definir un producto escalar solo con el espacio y su dual sin estructura adicional**.    - Pero **una vez que tienes un producto escalar, puedes definir una biyección natural entre $V$ y $V^*$**.   - Y con esa biyección, puedes **redefinir el producto escalar como $u^*(v)$**.

# 🔄 Resumen de equivalencias

| Concepto | Expresión |

|--------|-----------|

| Producto escalar usual | $\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2$ |

| En términos de la base dual | $\langle u, v \rangle = \varepsilon^1(u)\varepsilon^1(v) + \varepsilon^2(u)\varepsilon^2(v)$ |

| A través del isomorfismo $v \mapsto v^*$ | $\langle u, v \rangle = u^*(v)$ o $v^*(u)$ |

Quieres que ahora lo hagamos con una **métrica no euclídea**? Por ejemplo, con una base dual y una matriz de métrica distinta de la identidad. Sería un ejemplo muy ilustrativo.