Función z de Riemann

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Documento de información: La función zeta de Riemann y sus conexiones

1. Definición y propiedades fundamentales

La función zeta de Riemann, denotada como $ζ(s)$, donde $s = σ + it$ (siendo $σ$ y $t$ números reales), es una función compleja fundamental en matemáticas. Se define inicialmente como una serie de Dirichlet:

$ζ(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

Esta serie converge para $σ > 1$ ("0809.5120v18zeta.pdf", "La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI"). Euler fue el primero en estudiar esta función y demostró su conexión con los números primos a través del producto de Euler:

$ζ(s) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$

donde el producto se extiende a todos los números primos $p$ ("memoria zeta.pdf", "La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI"). Esta identidad fue utilizada por Euler para demostrar la infinitud de los números primos. La divergencia de la serie armónica ($ζ(1)$) implica que no puede haber un número finito de factores primos ("3279c768b9f495a9 z de Riemann.pdf").

2. Continuación analítica y ecuación funcional

Aunque la definición inicial de $ζ(s)$ solo es válida para $σ > 1$, la función puede extenderse a todo el plano complejo como una función meromorfa con un único polo simple en $s = 1$ ("PJM_Feb_2023_1_to_13 zeta.pdf", "memoria zeta.pdf", "TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf", "dokumen.pub_exploring-the-riemann-zeta-function-190-years-from-riemanns-birth-978-3-319-59969-4-3319599690-978-3-319-59968-7.pdf"). Esta extensión se logra a través de la continuación analítica. La función zeta satisface una ecuación funcional crucial que relaciona sus valores en $s$ con los valores en $1-s$:

$ζ(s) = 2^s π^{s-1} \Gamma(1-s) \sin\left(\frac{πs}{2}\right) ζ(1-s)$

("PJM_Feb_2023_1_to_13 zeta.pdf", "La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI", "Riemann.pdf"). Esta ecuación es fundamental porque muestra una simetría en los valores de la función con respecto a la línea crítica $σ = 1/2$. La función $\xi(s) = \frac{1}{2}s(s-1)π^{-s/2} \Gamma(s/2)ζ(s)$ es una función entera que satisface $\xi(s) = \xi(1-s)$, lo que enfatiza esta simetría ("La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI", "TitchmarshZeta.pdf").

3. Los ceros de la función zeta y la hipótesis de Riemann

Los ceros de la función zeta se clasifican en triviales y no triviales. Los ceros triviales se encuentran en los enteros pares negativos ($s = -2k$ para $k \in \mathbb{N}$) ("La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI"). Los ceros no triviales, por otro lado, son el foco de la famosa hipótesis de Riemann.

Hipótesis de Riemann (RH): Todos los ceros no triviales de $ζ(s)$ tienen parte real $σ = 1/2$ ("memoria zeta.pdf", "PJM_Feb_2023_1_to_13 zeta.pdf", "Riemann.pdf", "TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf").

Riemann mismo consideró esta hipótesis "muy probable", pero no pudo demostrarla rigurosamente ("Riemann.pdf"). La RH es uno de los problemas del milenio del Instituto Clay, con un premio de un millón de dólares para quien la resuelva ("23% Beyond the Riemann Hypothesis - Numberphile", "https://minerva.usc.gal/rest/api/core/bitstreams/91d76563-d81e-4f43-8298-3fc982633c20/content").

La distribución de los ceros es un área activa de investigación. La fórmula de von Mangoldt relaciona la distribución de los números primos con los ceros de la función zeta ("Riemann.pdf", "memoria zeta.pdf"). Se sabe que hay un número infinito de ceros no triviales en la banda crítica ($0 ≤ σ ≤ 1$) y la densidad de estos ceros se estima mediante la fórmula de Riemann-von Mangoldt:

$N(T) = \frac{T}{2π} \log\left(\frac{T}{2π}\right) - \frac{T}{2π} + O(\log T)$

donde $N(T)$ es el número de ceros no triviales con parte imaginaria entre 0 y $T$ ("Slides_Utah_09 Gonek1 z function.pdf").

La RH tiene profundas implicaciones para la distribución de los números primos. Si la RH es cierta, entonces el término de error en el teorema de los números primos (PNT) es significativamente menor ("Riemann.pdf").

4. Conexiones con otras áreas de las matemáticas y la física

La función zeta de Riemann es un puente entre diversas ramas de las matemáticas y la física:

• Teoría de números: La conexión más directa es con la distribución de los números primos a través del PNT ("La Función Zeta de Riemann y su relación con la distribución de los números primos Carlos Uriarte Baranda - ADDI", "TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf").
• Teoría del caos cuántico y matrices aleatorias (RMT): Se ha observado que los ceros de la función zeta de Riemann se asemejan a los valores propios de un hamiltoniano cuántico caótico desconocido ("166-19 z function.pdf"). La conjetura de Montgomery sugiere que las estadísticas de correlación entre los ceros de Riemann son las mismas que las de los valores propios del conjunto unitario gaussiano (GUE) de matrices aleatorias ("166-19 z function.pdf", "RMTzeta.pdf"). Esto se ha confirmado numéricamente, pero los resultados rigurosos son limitados. El modelo Keating-Snaith utiliza la RMT para predecir momentos de la función zeta, que concuerdan con los resultados conocidos y con los datos numéricos ("RMTzeta.pdf", "43 z function.pdf").
• Física de cuerdas: Las funciones zeta aparecen en las amplitudes de dispersión de la teoría de cuerdas p-ádicas y adélicas ("11976290 string theory and zeta function.pdf").
• Análisis complejo y armónico: La función zeta es un objeto central del análisis complejo, y sus propiedades se estudian utilizando herramientas como la continuación analítica, el teorema de los residuos y las ecuaciones de Cauchy-Riemann ("TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf"). También se relaciona con series de Fourier y funciones de Bessel ("TFG_LUIS_CARLES_DURA Zeta de Riemann.pdf").
• Números irracionales y trascendentes: Se cree que los valores de $ζ(k)$ para argumentos impares ($k \in \mathbb{N}$) son irracionales y trascendentes. Apéry demostró la irracionalidad de $ζ(3)$ en 1978 ("Dialnet-AlgunasRepresentacionesEnSeriesDeLaFuncionZetaDeRi-7177466.pdf").

5. Métodos de cálculo y aproximaciones

Los métodos para calcular y estudiar la función zeta y sus ceros han evolucionado a lo largo del tiempo:

• Sumatoria Euler-Maclaurin: Utilizada en los primeros cálculos de ceros por investigadores como J. Hutchinson ("turing.zeta.pdf", "Riemann.pdf").
• Fórmula de Riemann-Siegel: Un método avanzado descubierto en los documentos no publicados de Riemann, que permite cálculos más precisos de los ceros ("turing.zeta.pdf", "Riemann.pdf", "dokumen.pub_exploring-the-riemann-zeta-function-190-years-from-riemanns-birth-978-3-319-59969-4-3319599690-978-3-319-59968-7.pdf").
• Ecuaciones funcionales aproximadas: Se utilizan para aproximar $ζ(s)$ en la banda crítica y para estudiar sus momentos ("43 z function.pdf", "Slides_Utah_09 Gonek1 z function.pdf").
• Métodos heurísticos y modelos: La RMT proporciona un marco para conjeturar el comportamiento asintótico de los momentos superiores de la función zeta ("43 z function.pdf", "RMTzeta.pdf").
• Cálculos numéricos: Se han realizado extensos cálculos para verificar la RH, superando los 10 billones de ceros conocidos en la línea crítica ("apm_2020022715071957 z function.pdf", "Chalker_Kristy z function and others.pdf").

6. Desafíos y direcciones futuras

A pesar de los avances, la función zeta de Riemann sigue planteando numerosos desafíos:

• La demostración de la Hipótesis de Riemann sigue siendo un problema abierto.
• La determinación de fórmulas exactas para los valores de la función zeta en argumentos impares sigue sin resolverse ("Valores de funciones Zeta multivariables en puntos enteros", "Dialnet-AlgunasRepresentacionesEnSeriesDeLaFuncionZetaDeRi-7177466.pdf").
• La comprensión de las "fluctuaciones a largo alcance" en la distribución de los ceros, que no se explican completamente con la RMT ("RMTzeta.pdf").
• El desarrollo de modelos híbridos que combinen la teoría de matrices aleatorias con la información aritmética para describir con mayor precisión la función zeta ("Slides_Utah_09 Gonek1 z function.pdf").
• La investigación de las conexiones de la función zeta con otras áreas, como la teoría de particiones y las funciones L ("dokumen.pub_exploring-the-riemann-zeta-function-190-years-from-riemanns-birth-978-3-319-59969-4-3319599690-978-3-319-59968-7.pdf", "https://www.union-matematica.org.ar/media/attachments/2024/03/24/bucher_gullo.pdf").

La función zeta de Riemann, con su intrínseca relación con los números primos y su presencia en diversos campos matemáticos y científicos, continúa siendo una fuente inagotable de misterio e inspiración para los investigadores.

Plan de estudios para entender el libro de H.M. Edwards

Para comprender el libro "Riemann's Zeta Function" de H. M. Edwards, es fundamental abordar el tema de manera estructurada, ya que este texto se basa directamente en la memoria original de Bernhard Riemann de 1859, que era conocida por su estilo esquemático y con demostraciones que presentaban lagunas. El objetivo principal de Edwards es hacer accesible esta obra clásica.

Aquí te presento un plan de estudio detallado, explicitando las propiedades y conceptos clave en cada paso, basado en la información proporcionada en las fuentes:

Plan de Estudio para "Riemann's Zeta Function" de H. M. Edwards

Fase 1: Fundamentos Esenciales (Pre-Edwards) Edwards asume que el lector está familiarizado con el cálculo y tiene un conocimiento básico del análisis real y complejo.

1. Dominio de los Números Complejos y Exponenciación:

   • Asegúrate de sentirte cómodo trabajando con números complejos ($s = \sigma + it$).
   • Comprende cómo se extiende la definición de exponentes al ámbito de los valores complejos, lo cual no tiene que ver con la multiplicación repetida sino con una extensión "natural" que divide la base elevada a la parte real y a la parte imaginaria, donde esta última genera una rotación en el plano complejo.
   • Propiedad: La exponenciación compleja es una función holomorfa y nunca se anula.

2. Series Infinitas y Convergencia:

   • Revisa el concepto de series infinitas y sus criterios de convergencia. La función zeta se define inicialmente como una serie de Dirichlet.

3. Funciones Holomorfas (Analíticas) y Continuación Analítica:

   • Entiende qué es una función holomorfa (o analítica), que es una función compleja diferenciable en todo su dominio.
   • Comprende la continuación analítica: la idea de que una función analítica definida en un dominio puede extenderse de manera única a un dominio más grande si se mantiene la propiedad de ser analítica (preservación de ángulos). Esta es una idea central en el estudio de la función zeta completa.

4. Función Gamma de Euler ($\Gamma(s)$):

   • Familiarízate con la definición y propiedades de la función Gamma, ya que está íntimamente ligada a la función zeta de Riemann a través de su ecuación funcional. La función Gamma se puede prolongar analíticamente a una función meromorfa con polos simples en los enteros no positivos.

5. Teoría Elemental de Números:

   • Teorema Fundamental de la Aritmética: Entiende que todo número natural mayor que 1 tiene una descomposición única en un producto de números primos. Esta es una propiedad esencial para el producto de Euler.
   • Revisa el concepto de series geométricas.

Fase 2: El Producto de Euler y la Definición Inicial de $\zeta(s)$ Euler fue el primero en estudiar una versión de la función zeta.

1. Definición de la Función Zeta de Riemann (inicial):

   • La función zeta de Riemann, $\zeta(s)$, se define para números complejos $s = \sigma + it$ con parte real $\sigma > 1$ como la serie de Dirichlet: $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$. Esta serie es convergente en este semiplano.

2. Derivación Detallada de la Fórmula del Producto de Euler:

   • Paso 1: Partir de la serie de Dirichlet: $\zeta(s) = 1^{-s} + 2^{-s} + 3^{-s} + \ldots$.
   • Paso 2: Aplicar la propiedad multiplicativa basada en el Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural $n$ puede escribirse de forma única como un producto de potencias de números primos, $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots$. Esto implica que $n^{-s} = p_1^{-e_1s} \cdot p_2^{-e_2s} \cdot \ldots$
   • Paso 3: Expandir cada factor para cada primo usando la serie geométrica: Para cada número primo $p$, el término $(1 - p^{-s})^{-1}$ puede expandirse como una serie geométrica: $1 + p^{-s} + p^{-2s} + p^{-3s} + \ldots$. Esta serie converge porque para $\text{Re}(s) > 1$, se cumple que $|p^{-s}| < 1$.
   • Paso 4: Multiplicar las series expandidas: Al multiplicar estas series infinitas para todos los números primos, cada término resultante en el producto será de la forma $(p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k})^{-s}$. Debido a la unicidad de la factorización prima, cada número natural $n$ aparecerá exactamente una vez como el producto de estas potencias primas. Esto justifica la igualdad entre la serie y el producto.
   • Resultado: $\zeta(s) = \prod_{p} {1 - p^{-s}}^{-1}$.
   • Propiedad: La convergencia absoluta de la serie de Dirichlet en $\text{Re}(s) > 1$ garantiza la validez de este reordenamiento y multiplicación de términos.

3. Consecuencias Inmediatas del Producto de Euler:

   • Entender por qué $\zeta(s)$ no tiene ceros en el semiplano $\text{Re}(s) > 1$.

Fase 3: La Función Zeta en el Plano Complejo Profundizado (Directamente en Edwards) El libro de Edwards se basa en el manuscrito de Riemann de 1859, que fue el primero en considerar la función zeta como una función analítica de una variable compleja.

1. Prolongación Analítica y Ecuación Funcional:

   • Comprende cómo $\zeta(s)$ se prolonga analíticamente a todo el plano complejo, resultando en una función meromorfa con un único polo simple en $s = 1$.
   • Estudia la ecuación funcional de Riemann: $\zeta(s) = 2s \cdot \pi^{s-1} \cdot \sin(\pi s / 2) \cdot \Gamma(1-s) \cdot \zeta(1-s)$. Esta ecuación revela la simetría de la función y es crucial para el estudio de sus ceros.
   • Propiedad: La ecuación funcional implica que los únicos ceros de $\zeta(s)$ en el semiplano $\text{Re}(s) < 0$ son los "ceros triviales" $s = -2n$ para $n \in \mathbb{N}$.

2. La Función Xi ($\xi(s)$) y sus Ceros:

   • Edwards introduce la función $\xi(s)$, que es una función entera (analítica en todo el plano complejo y sin polos) y que simplifica el estudio de los ceros no triviales.
   • Teorema de Factorización de Hadamard: Aprende cómo este teorema permite expresar $\xi(s)$ como un producto infinito en términos de sus ceros.
   • Propiedad: La ecuación funcional simétrica, $\xi(s) = \xi(1-s)$, implica que los ceros no triviales de $\zeta(s)$ se encuentran simétricamente situados con respecto a la recta $\text{Re}(s) = 1/2$. Esta región, $0 < \text{Re}(s) < 1$, se denomina "franja crítica".

Fase 4: Aplicaciones y Consecuencias (Contenido Central de Edwards) Edwards profundiza en las ideas de Riemann, especialmente en la conexión de la función zeta con la distribución de los números primos.

1. Relación con la Distribución de Primos:

   • Comprende cómo la ubicación de los ceros de la función zeta codifica información sobre los números primos.
   • Estudia las funciones de conteo de primos, como $\pi(x)$ (cantidad de primos $\leq x$) y $\psi(x)$ (suma de logaritmos de potencias de primos).

2. Fórmula Explícita de von Mangoldt:

   • El objetivo principal de Edwards es formular la función de Chebyshev en términos de $\zeta(s)$, lo cual, junto con el teorema de factorización de $\xi(s)$, es esencial para la derivación de la fórmula explícita de von Mangoldt.
   • Entiende cómo esta fórmula de von Mangoldt proporciona una manera de aproximar la función $\psi(x)$ (y, por lo tanto, $\pi(x)$) utilizando los ceros no triviales de $\zeta(s)$.

3. Teorema de los Números Primos (TNP):

   • El TNP establece que $\pi(x) \sim x/\log x$ cuando $x \to \infty$.
   • Edwards, como Riemann, usa la función zeta para demostrar este teorema.
   • Comprende que el TNP fue probado independientemente por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896, basándose en la inexistencia de ceros de la función zeta en la línea $\text{Re}(s) = 1$. Esto es un paso crucial que Edwards explica.

4. La Hipótesis de Riemann (HR):

   • Edwards no prueba la HR, pero su libro "responde las preguntas que surgen en el capítulo uno y prueba las partes menos rigurosas del manuscrito, excepto la hipótesis de Riemann".
   • La HR establece que todos los ceros no triviales de $\zeta(s)$ tienen parte real $1/2$.
   • Aunque no se demuestre, es vital entender la importancia de la HR, ya que si fuera cierta, implicaría estimaciones mucho más precisas sobre la distribución de los números primos.

Al seguir este plan, te familiarizarás con los conceptos y propiedades fundamentales de la función zeta de Riemann y su profunda conexión con los números primos, tal como se presentan en el influyente libro de Edwards.

Explícame con detalle como se halla la fórmula del producto de Euler explicitando las propiedades usadas en cada paso

La fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann establece una conexión fundamental entre el análisis matemático y la teoría de números, específicamente con los números primos. A continuación, se detalla cómo se obtiene esta fórmula, explicitando las propiedades matemáticas utilizadas en cada paso:

1. Definición inicial de la función zeta de Riemann:

   • La función zeta de Riemann, denotada como $\zeta(s)$, se define inicialmente para números complejos $s = \sigma + it$ con parte real $\sigma > 1$.
   • Se expresa como la serie de Dirichlet: $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$.
   • Esta serie es convergente en el semiplano $\text{Re}(s) > 1$.

2. La Fórmula del Producto de Euler:

   • Euler descubrió que esta serie puede escribirse como un producto infinito sobre todos los números primos $p$: $\prod_{p} {1 - p^{-s}}^{-1}$.
   • Es decir, $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} = \prod_{p} {1 - p^{-s}}^{-1}$.

3. Propiedad clave: El Teorema Fundamental de la Aritmética:

   • Este teorema establece que todo número natural $n$ mayor que 1 puede descomponerse de manera única en un producto de números primos.
   • Esto significa que cualquier número $n$ se puede escribir como $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$, donde $p_i$ son primos distintos y $e_i \geq 1$ son enteros. Para la fórmula del producto, se extiende la notación para incluir todos los primos, permitiendo que algunos exponentes sean cero: $n = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \ldots$.
   • De esto se deduce que $n^{-s} = (p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k})^{-s} = p_1^{-e_1s} \cdot p_2^{-e_2s} \cdot \ldots \cdot p_k^{-e_ks}$.

4. Expansión de cada factor como serie geométrica:

   • Cada factor en el producto de Euler tiene la forma ${1 - x}^{-1}$. Esta es la suma de una serie geométrica $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$, que converge si $|x| < 1$.
   • En este caso, $x = p^{-s}$. Para $\text{Re}(s) > 1$, se cumple que $|p^{-s}| < 1$, por lo que cada factor ${1 - p^{-s}}^{-1}$ puede expandirse como: $1 + p^{-s} + p^{-2s} + p^{-3s} + \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} p^{-ks}$.

5. Multiplicación de series y unicidad:

   • Al multiplicar el producto infinito de estas series geométricas (una para cada número primo), cada término resultante será de la forma $(p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k})^{-s}$.
   • Debido a la unicidad de la factorización prima, cada uno de estos productos corresponde a un único número natural $n$. Por ejemplo, el producto $(1 + 2^{-s} + 2^{-2s} + \ldots)(1 + 3^{-s} + 3^{-2s} + \ldots)$ generará términos como $1 \cdot 1 = 1^{-s}$, $2^{-s} \cdot 1 = 2^{-s}$, $1 \cdot 3^{-s} = 3^{-s}$, $2^{-s} \cdot 3^{-s} = 6^{-s}$, etc., cubriendo así todos los términos de la serie $\sum n^{-s}$ exactamente una vez.
   • La convergencia absoluta de la serie de Dirichlet para $\text{Re}(s) > 1$ justifica el reordenamiento y la multiplicación de los términos para obtener el resultado.

6. Validez y Consecuencias:

   • La fórmula del producto de Euler es válida para todo $s$ en el semiplano $\text{Re}(s) > 1$, y el producto infinito es absolutamente convergente en esta región.
   • Una consecuencia importante es que, dado que el producto es de factores no nulos y es absolutamente convergente, la función $\zeta(s)$ no tiene ceros en el semiplano $\text{Re}(s) > 1$.
   • Euler utilizó esta fórmula, al observar que la serie armónica ($\zeta(1)$) diverge, para ofrecer una demostración alternativa de la infinitud de los números primos.

7. Contexto histórico:

• Aunque Euler descubrió la fórmula en 1737, fue Bernhard Riemann quien, en 1859, la consideró por primera vez como una función analítica de una variable compleja. Esta abstracción fue fundamental para el desarrollo posterior de la teoría de números y la comprensión de la distribución de los números primos.