Espacio dual en dimensiones bajas

 Notebook LM

Considera un espacio vectorial de dimensión 2 sobre R (cuerpo conmutativo o campo de los números reales) Define el espacio vectorial dual, explica sus propiedades, detalla el isomorfismo entre el espacio vectorial y su dual. Explica qué elemento corresponde en el dual al vector (5, 3) por ejemplo. Siempre tratando sólo con espacios vectoriales reales de dimensión 2

RESPUESTA

Para comprender el concepto de espacio vectorial dual en el contexto de un espacio vectorial de dimensión 2 sobre el cuerpo de los números reales ($\mathbb{R}^2$), es fundamental entender qué es un espacio vectorial, sus elementos (vectores) y las operaciones definidas sobre ellos.

Un espacio vectorial real de dimensión 2, como $\mathbb{R}^2$, es un conjunto de pares ordenados de números reales, a los que llamamos vectores, y sobre los cuales se definen dos operaciones: la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector. Estas operaciones deben cumplir una serie de axiomas, como la asociatividad, conmutatividad y la existencia de un elemento neutro y un inverso aditivo para la suma, así como propiedades de compatibilidad para el producto por escalares.

Definición del Espacio Vectorial Dual

El espacio vectorial dual de un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$ (en este caso, $\mathbb{R}$) se denota como $V^*$ y se define como el conjunto de todas las transformaciones lineales (u homomorfismos) de $V$ al cuerpo de escalares $K$. En otras palabras, para nuestro $\mathbb{R}^2$, el espacio dual $(\mathbb{R}^2)$ es el conjunto de todas las funciones lineales 

$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$.

A los elementos de $V^*$ se les llama formas lineales o covectores.

El propio $V^*$ se convierte en un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las siguientes operaciones definidas "punto a punto":

• Suma de formas lineales: Si $\phi, \psi \in V^*$, entonces $(\phi + \psi)(x) = \phi(x) + \psi(x)$ para todo $x \in V$.
• Producto de un escalar por una forma lineal: Si $c \in \mathbb{R}$ y $\phi \in V^*$, entonces $(c\phi)(x) = c(\phi(x))$ para todo $x \in V$.

Por ejemplo, si $V = \mathbb{R}^2$, una forma lineal podría ser $f(x,y) = 2x - 3y$. Si tomamos otra forma lineal $g(x,y) = x + y$, su suma $(f+g)(x,y) = 3x - 2y$ es otra forma lineal, y el producto escalar por 5, $(5f)(x,y) = 10x - 15y$, también es una forma lineal.

Propiedades del Espacio Dual

Para un espacio vectorial de dimensión finita como $\mathbb{R}^2$:

• Dimensión: Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita $n$, su espacio dual $V^*$ tiene la misma dimensión $n$. Por lo tanto, el espacio dual de $\mathbb{R}^2$, $(\mathbb{R}^2)^*$, también tiene dimensión 2.
• Representación de elementos: Intuitivamente, si los vectores de $V$ (como $\mathbb{R}^n$) se representan como "vectores columna", los elementos del espacio dual $V^*$ pueden representarse como "vectores fila" ($1 \times n$ matrices) que actúan sobre los vectores columna mediante la multiplicación matricial. Así, $(\mathbb{R}^2)$ puede pensarse como el espacio de matrices $M_{1,2}(\mathbb{R})$.
• Base Dual: Dada una base ordenada $B = {v_1, \ldots, v_n}$ de $V$, existe una única base dual $B^* = {\phi_1, \ldots, \phi_n}$ de $V^*$. Esta base dual se define por la propiedad $\phi_i(v_j) = \delta_{ij}$, donde $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker (1 si $i=j$, y 0 si $i \ne j$). Las $\phi_i$ se conocen como formas coordenadas, ya que $\phi_i(v)$ da la $i$-ésima coordenada de $v$ en la base $B$.

Isomorfismo entre el Espacio Vectorial y su Dual

Dado que $\mathbb{R}^2$ y su dual $(\mathbb{R}^2)^*$ tienen la misma dimensión, son isomorfos. Esto significa que, desde un punto de vista algebraico puro, son "el mismo" espacio, solo que sus elementos tienen una naturaleza diferente (vectores vs. funciones); (funciones que son 1-formas, que asocian a cada vector un número real, elemento del cuerpo base.)

Sin embargo, es crucial entender que este isomorfismo en espacios de dimensión finita no es canónico o "natural" en el sentido de que no hay una única correspondencia intrínseca entre los elementos de $V$ y $V^*$ sin la elección previa de una base. Cualquier isomorfismo de $V$ a $V^*$ depende de la base de $V$ con la que se empiece.

La forma más común de establecer un isomorfismo es a través de un producto interno (o producto escalar). Para cualquier espacio vectorial de dimensión finita con un producto interno, como $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar usual, existe un teorema de representación de Riesz que establece que cada forma lineal $f$ sobre $V$ puede ser representada como el producto interno con un vector único fijo en $V$. Es decir, para cada $f \in V^*$, existe un único $a \in V$ tal que $f(x) = \langle a, x \rangle$ para todo $x \in V$. Esta correspondencia $\Psi: V \to V^*$ donde $\Psi(a) = f_a$ (con $f_a(x) = \langle a,x \rangle$) es un isomorfismo.

Elemento Correspondiente en el Dual al Vector (5, 3)

Consideremos el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ y la base canónica $B = {e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)}$. Esta es una base ortonormal con respecto al producto escalar canónico (o producto punto) en $\mathbb{R}^2$, definido como $\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1x_2 + y_1y_2$.

La base dual $B^* = {\phi_1, \phi_2}$ para esta base canónica se define por:

• $\phi_1(x,y)$: la primera coordenada del vector $(x,y)$ en la base canónica. Es decir, $\phi_1(x,y) = x$.
• $\phi_2(x,y)$: la segunda coordenada del vector $(x,y)$ en la base canónica. Es decir, $\phi_2(x,y) = y$.

Para encontrar la forma lineal en $(\mathbb{R}^2)^*$ que corresponde al vector $v = (5, 3)$, utilizamos el isomorfismo inducido por el producto interno canónico. La forma lineal $f_v \in (\mathbb{R}^2)^*$ asociada al vector $v$ se define como aquella que, al aplicarse a cualquier vector $x \in \mathbb{R}^2$, devuelve el producto interno de $v$ con $x$.

Así, si $v = (5, 3)$ y $x = (x_1, x_2)$, la forma lineal $f_v$ correspondiente es: $f_v(x_1, x_2) = \langle (5, 3), (x_1, x_2) \rangle = 5x_1 + 3x_2$.

Esta forma lineal $f_v(x_1, x_2) = 5x_1 + 3x_2$ es el elemento en el espacio dual $(\mathbb{R}^2)^*$ que corresponde al vector $(5, 3)$ bajo este isomorfismo.

Observamos que las coordenadas de la forma lineal $f_v$ en la base dual $B^*$ son $(f_v(e_1), f_v(e_2))$:

• $f_v(e_1) = f_v(1,0) = 5(1) + 3(0) = 5$.
• $f_v(e_2) = f_v(0,1) = 5(0) + 3(1) = 3$.

Las coordenadas de la forma lineal $f_v$ en la base dual $B^*$ son $(5,3)$, que son las mismas coordenadas que el vector $v=(5,3)$ tiene en la base canónica $B$. Esta coincidencia de coordenadas es una propiedad particular que ocurre cuando se utiliza una base ortonormal para el espacio original y su correspondiente base dual.

En resumen, el espacio dual es como el "espejo" de nuestro espacio vectorial original. Cada vector en el espacio original tiene su reflejo único en el espacio dual, una función que "mira" los vectores del espacio original y les asigna un número real. Al igual que un espejo, el dual tiene la misma "forma" (dimensión) que el original, pero el reflejo es una imagen diferente, una "vista" desde otro ángulo (la de las funciones).

Enuncia y demuestra el teorema de representación de Riesz para n=2

Me complace continuar nuestra conversación sobre los espacios vectoriales y su dual. Ha mencionado el Teorema de Representación de Riesz, y con gusto lo enunciaré y demostraré específicamente para un espacio vectorial real de dimensión 2, como es $\mathbb{R}^2$, tal como lo ha solicitado.

Contexto: Espacio Vectorial Real de Dimensión 2

Nuestro espacio vectorial $V$ es $\mathbb{R}^2$, el conjunto de pares ordenados de números reales $(x,y)$. En este espacio, consideramos el producto interno canónico (o producto punto), definido para dos vectores $u = (u_1, u_2)$ y $v = (v_1, v_2)$ como $\langle u, v \rangle = u_1v_1 + u_2v_2$ [Conversation History]. Este producto interno es fundamental para el Teorema de Riesz.

Espacio Vectorial Dual de $\mathbb{R}^2$

El espacio vectorial dual de $V$, denotado como ${V}^* $  o  ${(\mathbb{R}^2)}^*$, es el conjunto de todas las formas lineales (o covectores) $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ [Conversation History]. Una forma lineal es una función que "abre sumas" y "saca escalares". Para $f \in (\mathbb{R}^2)^*$, $f(x,y)$ es una expresión de la forma $ax + by$ para algunos escalares reales $a,b \in \mathbb{R}$ [Conversation History, 436].

Las operaciones de suma de formas lineales y producto por un escalar hacen que $V^*$ sea también un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ [Conversation History, 162, 163]. Además, la dimensión de un espacio vectorial y la de su dual son la misma [Conversation History, 252, 318, 326, 345, 437]. Dado que $\mathbb{R}^2$ tiene dimensión 2, su dual $(\mathbb{R}^2)^*$ también tiene dimensión 2 [Conversation History, 252].

Teorema de Representación de Riesz para $\mathbb{R}^2$

El Teorema de Riesz establece una correspondencia entre un espacio vectorial con producto interno y su espacio dual.

Teorema de Representación de Riesz (para $V = \mathbb{R}^2$): Sea $V = \mathbb{R}^2$ con el producto interno canónico. Si $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es cualquier forma lineal (es decir, $f \in (\mathbb{R}^2)^*$), entonces existe un único vector $a \in \mathbb{R}^2$ tal que para todo vector $x \in \mathbb{R}^2$, la forma lineal $f(x)$ puede expresarse como el producto interno de $a$ con $x$. Formalmente, $f(x) = \langle a, x \rangle$ para todo $x \in \mathbb{R}^2$.

Demostración

La demostración consta de dos partes: probar la unicidad y probar la existencia del vector $a$.

1. Unicidad: Supongamos que existen dos vectores $a_1 \in \mathbb{R}^2$ y $a_2 \in \mathbb{R}^2$ que satisfacen la condición del teorema para la misma forma lineal $f$. Esto significa que para todo $x \in \mathbb{R}^2$: $f(x) = \langle a_1, x \rangle$ y $f(x) = \langle a_2, x \rangle$.

Igualando ambas expresiones, tenemos: $\langle a_1, x \rangle = \langle a_2, x \rangle$. Por la propiedad de linealidad del producto interno, esto implica: $\langle a_1, x \rangle - \langle a_2, x \rangle = 0$ $\langle a_1 - a_2, x \rangle = 0$ para todo $x \in \mathbb{R}^2$.

Para que el producto interno de un vector $z = (a_1 - a_2)$ con cualquier vector $x$ sea cero, el vector $z$ mismo debe ser el vector cero. Para verlo, podemos tomar $x = a_1 - a_2$. Entonces, $\langle a_1 - a_2, a_1 - a_2 \rangle = 0$. Por la propiedad de definición positiva del producto interno (que establece que $\langle v, v \rangle = 0$ si y solo si $v = \mathbf{0}$), se deduce que $a_1 - a_2 = \mathbf{0}$, lo que implica que $a_1 = a_2$. Por lo tanto, si dicho vector existe, es único.

2. Existencia: Sea $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una forma lineal arbitraria. Tomemos la base canónica ortonormal de $\mathbb{R}^2$: $B = {e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)}$ [Conversation History, 184, 282, 327]. Cualquier vector $x \in \mathbb{R}^2$ se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de esta base: $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$, donde $x_1 = \langle e_1, x \rangle$ y $x_2 = \langle e_2, x \rangle$ [327, Conversation History].

Aplicamos la forma lineal $f$ al vector $x$: $f(x) = f(x_1 e_1 + x_2 e_2)$. Como $f$ es lineal, podemos "abrir sumas" y "sacar escalares" [Conversation History]: $f(x) = x_1 f(e_1) + x_2 f(e_2)$.

Ahora, definamos el vector $a \in \mathbb{R}^2$ de la siguiente manera: $a = f(e_1)e_1 + f(e_2)e_2$. Este vector $a$ está en $\mathbb{R}^2$ porque $f(e_1)$ y $f(e_2)$ son escalares reales (los valores que $f$ toma sobre los vectores base).

Ahora, verifiquemos que este vector $a$ cumple la condición del teorema, es decir, que $f(x) = \langle a, x \rangle$ para todo $x \in \mathbb{R}^2$. Calculamos el producto interno $\langle a, x \rangle$: $\langle a, x \rangle = \langle f(e_1)e_1 + f(e_2)e_2, x_1 e_1 + x_2 e_2 \rangle$. Por las propiedades de linealidad del producto interno: $\langle a, x \rangle = f(e_1)\langle e_1, x_1 e_1 + x_2 e_2 \rangle + f(e_2)\langle e_2, x_1 e_1 + x_2 e_2 \rangle$. Dado que $B$ es una base ortonormal, sabemos que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ (1 si $i=j$, 0 si $i \ne j$) [Conversation History]: $\langle e_1, x_1 e_1 + x_2 e_2 \rangle = x_1 \langle e_1, e_1 \rangle + x_2 \langle e_1, e_2 \rangle = x_1(1) + x_2(0) = x_1$. $\langle e_2, x_1 e_1 + x_2 e_2 \rangle = x_1 \langle e_2, e_1 \rangle + x_2 \langle e_2, e_2 \rangle = x_1(0) + x_2(1) = x_2$.

Sustituyendo estos resultados en la expresión de $\langle a, x \rangle$: $\langle a, x \rangle = f(e_1)x_1 + f(e_2)x_2$. Que es exactamente la misma expresión que obtuvimos para $f(x)$.

Por lo tanto, para cualquier forma lineal $f$, hemos encontrado un vector $a$ tal que $f(x) = \langle a, x \rangle$. Con la unicidad probada anteriormente, la demostración está completa.

Qué elemento corresponde en el dual al vector (5, 3)

Para el vector $v = (5, 3)$ en $\mathbb{R}^2$, el teorema de representación de Riesz nos permite encontrar la forma lineal correspondiente $f_v \in (\mathbb{R}^2)^*$ [Conversation History]. Esta forma lineal se define por el producto interno con $v$.

Si tomamos un vector arbitrario $x = (x_1, x_2)$ en $\mathbb{R}^2$, la forma lineal $f_v$ asociada a $v=(5,3)$ se obtiene mediante el producto interno canónico: $f_v(x_1, x_2) = \langle (5, 3), (x_1, x_2) \rangle = 5x_1 + 3x_2$ [Conversation History].

Esta forma lineal $f_v(x_1, x_2) = 5x_1 + 3x_2$ es el elemento en el espacio dual $(\mathbb{R}^2)^*$ que corresponde al vector $(5, 3)$ bajo el isomorfismo inducido por el producto interno [Conversation History]. Las coordenadas de esta forma lineal en la base dual canónica ${\phi_1, \phi_2}$ (donde $\phi_1(x,y)=x$ y $\phi_2(x,y)=y$) son $(5,3)$, lo que coincide con las coordenadas del vector original $(5,3)$ [Conversation History].

Analogía

Piense en el Teorema de Representación de Riesz como un diccionario bilingüe especial entre dos idiomas, el "idioma de los vectores" y el "idioma de las funciones lineales" [No en las fuentes]. Para cada palabra (vector) en el primer idioma, este diccionario proporciona una única traducción (función lineal) en el segundo idioma, y viceversa. Pero, a diferencia de un diccionario cualquiera, esta "traducción" no es arbitraria; está determinada por cómo los vectores interactúan entre sí a través del producto interno. Es como si el diccionario estuviera "hecho a medida" para capturar la esencia de la geometría interna del espacio, asegurando que la traducción de un vector a una función lineal preserve su "orientación" y "magnitud" en relación con los demás vectores en el espacio original.

¿Puedo definir el producto escalar de manera que sea independiente de la base en que esté trabajando?

Sí, el producto escalar (o producto interno) se puede definir de manera que sea independiente de la base en que esté trabajando.

Aquí le explico por qué, basándome en los conceptos que hemos revisado y en las fuentes proporcionadas:

1. Definición Axiomática e Intrínseca: Un producto interno sobre un espacio vectorial $V$ se define como una función que asigna a cada par ordenado de vectores $\alpha, \beta \in V$ un escalar (real o complejo, según el cuerpo $F$ del espacio) que denotamos $(\alpha | \beta)$. Esta función debe satisfacer cuatro propiedades fundamentales:

   • Linealidad en el primer argumento: $(\alpha + \gamma | \beta) = (\alpha | \beta) + (\gamma | \beta)$ y $(c\alpha | \beta) = c(\alpha | \beta)$ para un escalar $c$.
   • Simetría conjugada: $(\beta | \alpha) = \overline{(\alpha | \beta)}$ (donde la barra denota el conjugado complejo; para espacios reales, esto es simplemente simetría).
   • Definición positiva: $(\alpha | \alpha) > 0$ si $\alpha \neq \mathbf{0}$, y $(\alpha | \alpha) = 0$ si y solo si $\alpha = \mathbf{0}$. Esta definición es puramente abstracta y no hace referencia a ninguna base específica. Define el producto interno como una propiedad inherente del espacio vectorial y de los vectores mismos, no de su representación coordinada.

2. Definición de Conceptos Geométricos Clave: A partir de esta definición intrínseca, el producto interno permite definir nociones geométricas como la "longitud" o "norma" de un vector ($||\alpha|| = \sqrt{(\alpha | \alpha)}$) y el "ángulo" entre vectores (o el concepto de ortogonalidad/perpendicularidad). Estas propiedades geométricas son intrínsecas a los vectores en el espacio, y su existencia no depende de cómo elijamos representarlos con coordenadas.

3. Representación vs. Definición: Si bien la cálculo o representación del producto escalar a menudo se realiza utilizando las componentes de los vectores en una base dada, el valor intrínseco del producto escalar entre dos vectores específicos no cambia al cambiar la base. Lo que sí cambia es la matriz asociada al producto escalar (también conocida como tensor métrico o matriz de la métrica) cuando se cambia la base. Si $G$ es la matriz del producto interno en una base $B$, y $P$ es la matriz de cambio de base de $B$ a $B'$, entonces la matriz $G'$ en la nueva base $B'$ se relaciona con $G$ mediante $G' = P^t G P$ (para espacios reales) o $G' = P^* G P$ (para espacios complejos), como se menciona en las fuentes. Esto demuestra que la matriz de representación sí cambia, pero la operación subyacente sigue siendo la misma.

4. Simplificación con Bases Ortonormales: Una de las ventajas de trabajar con bases ortonormales es que la matriz del producto interno en dicha base se convierte en la matriz identidad. Esto simplifica los cálculos, ya que el producto interno de dos vectores se calcula simplemente como la suma de los productos de sus componentes correspondientes (similar al producto punto canónico en $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$). Sin embargo, esta simplicidad no implica que el producto interno dependa de la base ortonormal; más bien, la base ortonormal está adaptada a ese producto interno en particular.

5. El Teorema de Representación de Riesz como Evidencia: Este teorema, que hemos discutido, establece que para cualquier forma lineal $f: V \to \mathbb{R}$ en un espacio vectorial $V$ de dimensión finita con producto interno, existe un único vector $a \in V$ tal que $f(x) = \langle a, x \rangle$ para todo $x \in V$. La formulación del teorema y su demostración (que utiliza una base ortonormal para encontrar $a$, pero el resultado es general) no dependen de la elección de una base específica para el espacio $V$. Esto refuerza la idea de que el producto interno es una operación fundamental e intrínseca que conecta el espacio con su dual, de forma independiente a la representación de sus elementos en coordenadas.

En resumen, aunque la expresión concreta de un producto escalar en términos de coordenadas vectoriales y una matriz métrica varía con la elección de la base, la definición fundamental del producto escalar es inherentemente independiente de cualquier base, y el valor numérico del producto escalar de dos vectores dados permanece invariante sin importar la base utilizada para calcularlo.

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Analogía: Imagine que tiene una regla para medir distancias. La definición de "distancia" (por ejemplo, la distancia euclidiana en una superficie plana) es un concepto fundamental e intrínseco a esa superficie; no cambia. Sin embargo, si usted usa diferentes sistemas de coordenadas (por ejemplo, coordenadas cartesianas o polares) para describir la posición de los puntos, la fórmula para calcular esa distancia se verá diferente en cada sistema. A pesar de la diferencia en las fórmulas, la distancia entre dos puntos específicos sigue siendo la misma. El producto escalar es como esa "distancia" intrínseca; su esencia y el valor que produce son independientes de la "regla de cálculo" (la base) que elija para representarlo.

Estoy intrigado con las formas lineales $ f: {\mathbb{R}}^2  \rightarrow{\mathbb{R}}$. ¿Cuál es la anti imagen de cero por una de estas formas? ¿Y la anti imagen de 1?  ¿Y la de un número real $k\neq 0$  ? ¿Cuándo dos de estas formas son iguales?

RESPUESTA

Comprendo su interés en las formas lineales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$, ya que son conceptos fundamentales en el álgebra lineal que conectan la estructura algebraica de los espacios vectoriales con la geometría.

Una forma lineal $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es una transformación lineal que asigna un número real a cada vector de $\mathbb{R}^2$. Si consideramos la base canónica de $\mathbb{R}^2$, cualquier vector $(x,y)$ puede expresarse como $x(1,0) + y(0,1)$. Debido a la linealidad, la forma $f$ está completamente determinada por sus valores en los vectores de la base. Si $f(1,0) = a$ y $f(0,1) = b$, entonces la expresión general de una forma lineal de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ es $f(x,y) = ax+by$ para escalares fijos $a,b \in \mathbb{R}$.

Ahora, abordemos sus preguntas:

• ¿Cuál es la anti-imagen de cero por una de estas formas? La anti-imagen de cero de una forma lineal $f$ es el conjunto de todos los vectores $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tales que $f(x,y) = 0$. Este conjunto se conoce como el núcleo o kernel de la transformación. Para una forma lineal $f(x,y) = ax+by$:

  • Si $a=0$ y $b=0$, entonces $f(x,y) = 0$ para todo $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. En este caso, la forma lineal es la forma lineal nula ($L_0$), y su anti-imagen de cero es todo el espacio $\mathbb{R}^2$.
  • Si al menos uno de $a$ o $b$ es distinto de cero, entonces $f$ es una forma lineal no nula. La ecuación $ax+by=0$ representa una línea recta que pasa por el origen en $\mathbb{R}^2$. Este es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$. Las fuentes indican que el núcleo de una forma lineal no nula en un espacio de dimensión $n$ es un subespacio de dimensión $n-1$. Para $\mathbb{R}^2$ (donde $n=2$), esto significa que la dimensión del núcleo es $2-1=1$, lo cual corresponde a una línea recta. Además, una forma lineal no nula es un epimorfismo, es decir, es sobreyectiva.

• ¿Y la anti-imagen de 1? ¿Y la de un número real $k \neq 0$? La anti-imagen de un número real $k \neq 0$ (incluyendo $k=1$) para una forma lineal $f(x,y) = ax+by$ es el conjunto de vectores $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tales que $ax+by=k$.

  • Geométricamente, esta ecuación también representa una línea recta en $\mathbb{R}^2$.
  • A diferencia del núcleo (anti-imagen de cero), esta línea no pasa por el origen (a menos que $k=0$, que ya discutimos).
  • Esta línea es paralela al núcleo de la forma lineal $f$. Conceptualmente, la anti-imagen de cualquier valor no nulo $k$ es una variedad lineal o subespacio afín que resulta de trasladar el núcleo de la forma lineal. Esto se corresponde con la resolución de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo $AX=b$, donde $b$ no es un vector nulo.

• ¿Cuándo dos de estas formas son iguales? Dos formas lineales $f_1: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y $f_2: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio y, lo más importante, asignan el mismo valor a cada vector en su dominio.

  • Esto significa que $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ para todos los vectores $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.
  • Si expresamos las formas en su forma general, $f_1(x,y) = a_1x+b_1y$ y $f_2(x,y) = a_2x+b_2y$, entonces $f_1$ y $f_2$ son iguales si y solo si sus coeficientes correspondientes son iguales, es decir, $a_1=a_2$ y $b_1=b_2$. Esto se debe a que una transformación lineal está completamente determinada por sus valores en los elementos de una base. Si $f_1(1,0)=f_2(1,0)$ (lo que implica $a_1=a_2$) y $f_1(0,1)=f_2(0,1)$ (lo que implica $b_1=b_2$), entonces las formas deben ser idénticas.

En resumen, las formas lineales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ son funciones simples, pero poderosas, que describen líneas en el plano. La anti-imagen de cero es la línea que pasa por el origen, mientras que la anti-imagen de cualquier otro valor es una línea paralela a la primera. La igualdad entre ellas es, como la igualdad entre cualquier función, una cuestión de que "produzcan el mismo resultado para el mismo input".

Analogía: Imagine que tiene una máquina que toma coordenadas $(x,y)$ y le devuelve un número. Si la máquina es una "forma lineal", significa que su operación es del tipo "a veces $x$ más b veces $y$".

• La anti-imagen de cero sería todas las combinaciones de $(x,y)$ que hacen que la máquina devuelva $0$. Esto es como una carretera recta que pasa justo por el punto de inicio (el origen) del mapa.
• La anti-imagen de un número $k \neq 0$ sería todas las combinaciones de $(x,y)$ que hacen que la máquina devuelva $k$. Esto es como otra carretera, también recta, que es paralela a la primera pero que no pasa por el punto de inicio; está "desplazada" por el valor $k$.
• Dos de estas máquinas (formas lineales) son iguales si, sin importar qué coordenadas $(x,y)$ les dé, siempre devuelven el mismo número. Esto implica que las "instrucciones" internas de ambas máquinas (los valores $a$ y $b$) deben ser idénticas.

¿Pueden esas propiedades probarse sin recurrir a fijar una base de ${\mathbb{R}}^2 $ ?.  Usando la linealidad de la forma 

RESPUESTA

Sí, esas propiedades de las formas lineales pueden probarse sin recurrir a fijar una base específica de $\mathbb{R}^2$, utilizando únicamente la definición de linealidad y las propiedades inherentes de los espacios vectoriales. Las fuentes y nuestra conversación respaldan este enfoque.

Una forma lineal $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ (donde $V$ es un espacio vectorial, en este caso $\mathbb{R}^2$) es una transformación lineal que satisface dos propiedades fundamentales para cualesquiera vectores $v_1, v_2 \in V$ y cualquier escalar $c \in \mathbb{R}$:

1. Aditividad: $f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$
2. Homogeneidad: $f(cv_1) = c f(v_1)$

Estas propiedades son la esencia de la linealidad.

Aquí desglosamos cada punto:

1. La Anti-imagen de Cero (El Núcleo o Kernel)

La anti-imagen de cero de una forma lineal $f$ es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{R}^2$ tales que $f(v) = 0$. Este conjunto se denomina el núcleo (o kernel) de la transformación lineal, denotado $\ker(f)$.

• Prueba de que es un subespacio (sin base):

  • Contiene el vector cero: Para cualquier vector $v \in \mathbb{R}^2$, sabemos que $0 \cdot v = \mathbf{0}$. Por la propiedad de homogeneidad de la linealidad, $f(\mathbf{0}) = f(0 \cdot v) = 0 \cdot f(v) = 0$. Por lo tanto, el vector cero siempre pertenece al núcleo: $\mathbf{0} \in \ker(f)$.
  • Cerrado bajo la suma: Sean $v_1, v_2 \in \ker(f)$. Esto significa que $f(v_1) = 0$ y $f(v_2) = 0$. Por la propiedad de aditividad de la linealidad, $f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) = 0 + 0 = 0$. Así, $v_1 + v_2 \in \ker(f)$.
  • Cerrado bajo el producto por escalar: Sea $v \in \ker(f)$ y $c \in \mathbb{R}$. Esto significa que $f(v) = 0$. Por la propiedad de homogeneidad de la linealidad, $f(cv) = c f(v) = c \cdot 0 = 0$. Así, $cv \in \ker(f)$.
  • Como el núcleo satisface estas tres condiciones, es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$. Esta demostración es completamente abstracta y no depende de la elección de coordenadas o de una base particular.

• Naturaleza geométrica:

  • Si $f$ es la forma lineal nula (es decir, $f(v)=0$ para todo $v \in \mathbb{R}^2$), entonces $\ker(f) = \mathbb{R}^2$.
  • Si $f$ no es la forma lineal nula, entonces $f$ es sobreyectiva (epimorfismo) a $\mathbb{R}$. Esto significa que, si $f$ no es idénticamente cero, siempre podemos encontrar un vector $v_0$ tal que $f(v_0) \neq 0$. Entonces, para cualquier $k \in \mathbb{R}$, el vector $(k/f(v_0))v_0$ tendrá como imagen $k$.
  • Según el Teorema de la Dimensión (también conocido como Teorema Rango-Nulidad), para una transformación lineal $T: V \rightarrow W$, se cumple que $\dim(V) = \dim(\ker T) + \dim(\text{Im }T)$. Para $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $\dim(\mathbb{R}^2) = 2$. Si $f$ no es la forma nula, $\dim(\text{Im }f) = \dim(\mathbb{R}) = 1$. Por lo tanto, $\dim(\ker f) = 2 - 1 = 1$.
  • Un subespacio de dimensión 1 en $\mathbb{R}^2$ es intrínsecamente una línea recta que pasa por el origen. Esta caracterización geométrica también es independiente de la base.

2. La Anti-imagen de $k \neq 0$

La anti-imagen de un número real $k \neq 0$ es el conjunto $S_k = {v \in \mathbb{R}^2 \mid f(v) = k}$.

• Prueba de su estructura (sin base):
  • Asumamos que $f$ no es la forma lineal nula (si lo fuera, la anti-imagen de $k \neq 0$ sería el conjunto vacío). Dado que $f$ es sobreyectiva (como se explicó antes), existe al menos un vector $v_0 \in \mathbb{R}^2$ tal que $f(v_0) = k$.
  • Ahora, tomemos cualquier otro vector $v \in S_k$, lo que significa que $f(v) = k$.
  • Considere el vector $v - v_0$. Por la propiedad de aditividad de la linealidad: $f(v - v_0) = f(v) + f(-v_0) = f(v) - f(v_0)$ (usando que $f(-v_0) = -f(v_0)$ por homogeneidad con $c=-1$).
  • Entonces, $f(v - v_0) = k - k = 0$. Esto implica que $v - v_0$ pertenece al núcleo de $f$, es decir, $v - v_0 \in \ker(f)$.
  • Así, cualquier vector $v$ en la anti-imagen de $k$ puede escribirse como $v = v_0 + u$, donde $u$ es algún vector en $\ker(f)$.
  • Recíprocamente, si $v = v_0 + u$ con $u \in \ker(f)$, entonces $f(v) = f(v_0 + u) = f(v_0) + f(u) = k + 0 = k$.
  • Por lo tanto, la anti-imagen de $k$ es el conjunto $S_k = {v_0 + u \mid u \in \ker(f)}$. Esto es la definición de una variedad lineal (o subespacio afín), que es una traslación del núcleo (una línea que no pasa por el origen, paralela al núcleo). Esta demostración es también independiente de la base.

3. Cuándo dos Formas Lineales son Iguales

Dos formas lineales $f_1: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y $f_2: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ son iguales si, por definición, asignan el mismo valor a cada vector en su dominio. Es decir, $f_1 = f_2$ si y solo si $f_1(v) = f_2(v)$ para todos los vectores $v \in \mathbb{R}^2$.

• Argumento de igualdad (sin base):
  • La definición misma de igualdad de funciones (o transformaciones) es inherentemente independiente de la base. No necesita coordenadas para ser establecida. Si para cada entrada $v$ que les dé, ambas funciones producen la misma salida, entonces son la misma función.
  • Para probar que dos formas lineales son iguales, se puede usar la linealidad. Considere la forma lineal diferencia $g = f_1 - f_2$. Si $f_1 = f_2$, entonces $g(v) = f_1(v) - f_2(v) = 0$ para todo $v \in \mathbb{R}^2$, lo que significa que $g$ es la forma lineal nula $L_0$.
  • Recíprocamente, si $g = L_0$, entonces $(f_1 - f_2)(v) = 0$ para todo $v$, lo que implica $f_1(v) = f_2(v)$ para todo $v$, y por lo tanto $f_1 = f_2$.
  • Si bien es cierto que en la práctica, para verificar la igualdad, a menudo se comprueba que las formas coinciden en los vectores de una base (porque una transformación lineal está unívocamente determinada por sus valores en una base), la definición de igualdad de las formas lineales no depende de esta propiedad de las bases. La pregunta es sobre la posibilidad de probar las propiedades sin recurrir a fijar una base, y la definición de igualdad de funciones cumple con esta condición, ya que no hace referencia a coordenadas.

En conclusión, todas las propiedades que ha mencionado pueden ser establecidas y demostradas utilizando únicamente las definiciones abstractas de espacio vectorial y forma lineal, sin la necesidad de seleccionar o fijar una base específica en $\mathbb{R}^2$. La linealidad de la forma es la clave para deducir estas estructuras y comportamientos intrínsecos.

Analogía: Imagine que usted tiene una balanza de dos platos (un análogo de un espacio lineal). La propiedad de "equilibrio" (análogo de la anti-imagen de cero) se define por sí misma (los platos están nivelados), sin importar si mide la masa en gramos, libras o cualquier otra unidad. De la misma manera, la propiedad de "desequilibrio constante" (análogo de la anti-imagen de $k \neq 0$) significa que un plato siempre está más bajo que el otro por una cantidad fija, lo cual también es una observación intrínseca. Finalmente, si tiene dos balanzas y quiere saber si son "iguales", simplemente las usa para pesar los mismos objetos; si siempre dan el mismo resultado para el mismo objeto, son iguales, sin necesidad de calibrarlas con un conjunto específico de pesas (una base).

¿Qué se puede decir de la anti imagen de 1, sin fijar base alguna?

RESPUESTA

Sí, como se estableció en nuestra conversación anterior, las propiedades de las formas lineales, incluida la anti-imagen de un valor no nulo, pueden probarse sin recurrir a fijar una base específica de $\mathbb{R}^2$ [conversación previa]. Esto se logra utilizando únicamente la definición de linealidad y las propiedades intrínsecas de los espacios vectoriales.

Para una forma lineal $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, las propiedades clave son la aditividad ($f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$) y la homogeneidad ($f(cv_1) = c f(v_1)$) para cualesquiera vectores $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2$ y cualquier escalar $c \in \mathbb{R}$ [conversación previa].

Aquí detallamos lo que se puede decir de la anti-imagen de 1 sin fijar base alguna:

1. El Núcleo (Anti-imagen de Cero):

   • Primero, es fundamental comprender la anti-imagen de cero, conocida como el núcleo o kernel de $f$, denotado $\ker(f) = {v \in \mathbb{R}^2 \mid f(v) = 0}$.
   • Este núcleo es siempre un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$ [conversación previa]. La prueba de esto es abstracta:
     • Contiene el vector cero: $f(\mathbf{0}) = f(0 \cdot v) = 0 \cdot f(v) = 0$, por lo que $\mathbf{0} \in \ker(f)$ [conversación previa].
     • Cerrado bajo la suma: Si $v_1, v_2 \in \ker(f)$, entonces $f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2) = 0 + 0 = 0$, así $v_1+v_2 \in \ker(f)$ [conversación previa].
     • Cerrado bajo el producto por escalar: Si $v \in \ker(f)$ y $c \in \mathbb{R}$, entonces $f(cv) = c f(v) = c \cdot 0 = 0$, así $cv \in \ker(f)$ [conversación previa].
   • Si $f$ no es la forma lineal nula (es decir, $f(v)=0$ para todo $v$), entonces $f$ es sobreyectiva a $\mathbb{R}$ [conversación previa]. El Teorema de la Dimensión establece que $\dim(V) = \dim(\ker T) + \dim(\text{Im }T)$. Para $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $\dim(\mathbb{R}^2) = 2$ y $\dim(\text{Im }f) = \dim(\mathbb{R}) = 1$. Por lo tanto, $\dim(\ker f) = 2 - 1 = 1$ [69, conversación previa].
   • Un subespacio de dimensión 1 en $\mathbb{R}^2$ es intrínsecamente una línea recta que pasa por el origen [conversación previa].

2. La Anti-imagen de 1 (o de cualquier $k \neq 0$):

   • La anti-imagen de 1 es el conjunto $S_1 = {v \in \mathbb{R}^2 \mid f(v) = 1}$.
   • Dado que $f$ no es la forma lineal nula (si lo fuera, la anti-imagen de 1 sería el conjunto vacío), y como es sobreyectiva, existe al menos un vector $v_0 \in \mathbb{R}^2$ tal que $f(v_0) = 1$ [conversación previa].
   • Ahora, para cualquier otro vector $v \in S_1$ (es decir, $f(v)=1$), consideremos el vector $v - v_0$.
   • Por la linealidad de $f$: $f(v - v_0) = f(v) + f(-v_0) = f(v) - f(v_0)$ [conversación previa].
   • Sustituyendo los valores conocidos: $f(v - v_0) = 1 - 1 = 0$.
   • Esto significa que el vector $v - v_0$ pertenece al núcleo de $f$, es decir, $v - v_0 \in \ker(f)$ [conversación previa].
   • Por lo tanto, cualquier vector $v$ en la anti-imagen de 1 puede expresarse como $v = v_0 + u$, donde $u$ es algún vector en $\ker(f)$ [conversación previa].
   • Recíprocamente, si un vector se escribe como $v_0 + u$ con $u \in \ker(f)$, entonces $f(v_0 + u) = f(v_0) + f(u) = 1 + 0 = 1$.
   • Así, la anti-imagen de 1 es el conjunto $S_1 = {v_0 + u \mid u \in \ker(f)}$. Esto describe una variedad lineal (también conocida como subespacio afín), que es una línea recta que no pasa por el origen y es paralela al núcleo [conversación previa].
   • Esta demostración es completamente independiente de la elección de cualquier base en $\mathbb{R}^2$, basándose únicamente en las propiedades definitorias de una forma lineal [conversación previa].

En resumen, la anti-imagen de 1 de una forma lineal no nula en $\mathbb{R}^2$ es una línea recta que no pasa por el origen y es paralela a la línea que sí pasa por el origen (el núcleo de la forma lineal). Esto es análogo a la forma en que una capa de cebolla (la anti-imagen de 1) es una versión desplazada del centro (el núcleo), donde el desplazamiento es único para esa capa, pero la forma (línea) es la misma.

DIME QUÉ ES LA BASE CANÓNICA

RESPUESTA

La base canónica es un concepto fundamental en álgebra lineal, especialmente en el estudio de espacios vectoriales de dimensión finita. Se le conoce también como la base estándar o natural.

Aquí te detallo qué es la base canónica, sus propiedades y su importancia, sin fijar base alguna en las definiciones intrínsecas, pero recurriendo a ejemplos concretos para su ilustración:

1. Definición General

   • Para un espacio vectorial $K^n$ (donde $K$ puede ser $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ u otro cuerpo), la base canónica es el conjunto de vectores ${e_1, e_2, \ldots, e_n}$.
   • Cada vector $e_i$ tiene un $1$ en la $i$-ésima posición y $0$ en todas las demás posiciones.
     • Ejemplo en $\mathbb{R}^2$: La base canónica es ${(1, 0), (0, 1)}$.
     • Ejemplo en $\mathbb{C}^2$: La base canónica se denota a menudo como ${|0\rangle, |1\rangle}$, donde $|0\rangle = (1, 0)$ y $|1\rangle = (0, 1)$.
     • Ejemplo en $\mathbb{R}^3$: La base canónica es ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$, a veces denotada como ${i, j, k}$.
   • Esta definición es válida para cualquier espacio vectorial generado por un número finito de vectores.

2. Propiedades Clave

   • Unicidad de la expresión: Cualquier vector $X$ en $K^n$ puede expresarse de manera única como una combinación lineal de los vectores de la base canónica, es decir, $X = x_1e_1 + x_2e_2 + \ldots + x_ne_n$, donde $x_1, \ldots, x_n$ son los escalares (coordenadas del vector).
   • Coordenadas Directas: Una de las características más útiles es que las coordenadas de un vector en la base canónica son sus propias componentes. Por ejemplo, para el vector $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ en $K^n$, la $i$-ésima coordenada en la base canónica es $x_i$.
   • Ortonormalidad (en espacios con producto interno): En espacios como $\mathbb{R}^n$ equipados con el producto escalar canónico (o usual), la base canónica es un conjunto ortonormal. Esto significa que todos sus vectores son ortogonales entre sí (su producto interno es cero si son diferentes) y cada vector tiene norma 1 (son vectores unitarios).

3. Importancia y Utilidad

   • Simplificación de Cálculos: El uso de la base canónica simplifica significativamente los cálculos en muchos problemas de álgebra lineal. Esto se debe a que la matriz de coordenadas de un vector en la base canónica es simplemente el propio vector.
   • Referencia para Matrices: Las matrices que representan operadores lineales o formas bilineales se definen a menudo con respecto a la base canónica. Cuando se trabaja con bases distintas, los cambios de base implican expresar los vectores de una base en términos de la canónica.
   • Base Dual Canónica: La base canónica en $V$ da origen a una base dual canónica en el espacio dual $V^*$, donde cada elemento de la base dual actúa como una "forma coordenada" que extrae la $i$-ésima coordenada de un vector.

Como hemos discutido anteriormente, una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial, y las coordenadas de cualquier vector en ese espacio son únicas respecto a esa base. La base canónica es el ejemplo más directo y "trivial" de este concepto, ofreciendo una estructura de referencia intuitiva para el espacio.

Imagina la base canónica como los ejes principales de un sistema de coordenadas cartesianas. Así como el eje X, el eje Y y el eje Z nos proporcionan una cuadrícula clara y ortogonal para ubicar cualquier punto en un espacio tridimensional, la base canónica ofrece un marco de referencia estándar y fundamental para "medir" y describir cualquier vector en un espacio vectorial. Es el punto de partida más sencillo y universal para entender las relaciones vectoriales y transformaciones lineales.

PREGUNTA

Supongamos que sigo trabajando en $\mathbb{R}^2$ y pruebo que es isomorfo a su dual ${\mathbb{R}^2}^*$  fijando la base  canónica $e_1 =(1,0)$  y  $e_2 =(0,1)$.

Más adelante defino otro isomorfismo entre $\mathbb{R}^2$ y su dual ${\mathbb{R}^2}^*$ pero ahora fijando la base  $v_1 ={\frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1)$ y  $v_2 ={\frac{1}{\sqrt{2}}}(1,1)$ 

¿Podría hacer un cambio de base y probar que los dos isomorfismos son iguales?

Explica la respuesta con detalle tanto en caso afirmativo como negativo.

RESPUESTA

Sí, en el caso que planteas, los dos isomorfismos que defines resultarán ser el mismo [conversación previa]. Aunque la afirmación general es que un isomorfismo entre un espacio vectorial $V$ y su dual $V^*$ no es canónico (es decir, depende de la elección de una base para ser definido), tu situación particular implica una propiedad adicional: estás trabajando en $\mathbb{R}^2$ y las bases que mencionas (la canónica y la otra) son ambas ortonormales con respecto al producto escalar canónico (o usual) de $\mathbb{R}^2$.

Vamos a desglosar la explicación en detalle:

1. Isomorfismo entre un Espacio Vectorial y su Dual:

   • Para un espacio vectorial $V$ de dimensión finita sobre un cuerpo $K$, el espacio dual $V^*$ (el conjunto de todas las formas lineales $f: V \to K$) es isomorfo a $V$. Esto significa que existe al menos una transformación lineal biyectiva entre $V$ y $V^*$.
   • Un isomorfismo $T: V \to W$ es una transformación lineal biyectiva. Su existencia implica que $\dim(V) = \dim(W)$.
   • La forma más común de construir un isomorfismo entre $V$ y $V^*$ es fijando una base $B = {v_1, \ldots, v_n}$ de $V$ y su base dual $B^* = {\phi_1, \ldots, \phi_n}$ de $V^*$. La base dual $\phi_i$ se define por la propiedad $\phi_i(v_j) = \delta_{ij}$ (delta de Kronecker). El isomorfismo $T_B: V \to V^*$ se construye entonces como $T_B(v_i) = \phi_i$ [conversación previa].

2. El Teorema de Representación de Riesz y Espacios con Producto Interno:

   • Cuando un espacio vectorial está dotado de un producto interno (como el producto escalar euclidiano en $\mathbb{R}^2$), existe un isomorfismo canónico o natural entre el espacio y su dual. Este isomorfismo no depende de la elección de una base, sino de la estructura del producto interno.
   • El Teorema de Representación de Riesz establece que para un espacio euclidiano $V$ con producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle$, la función $\varphi_{\langle \cdot, \cdot \rangle}: V \rightarrow V^*$ definida por $\varphi_{\langle \cdot, \cdot \rangle}(y)(x) = \langle x, y \rangle$ (o $\langle y, x \rangle$, dependiendo de la convención) es un isomorfismo.
   • Si tienes una base ortonormal $B = {u_1, \ldots, u_n}$ en un espacio con producto interno, las coordenadas de un vector $x$ en esa base se pueden obtener como $x_i = \langle x, u_i \rangle$. Además, los elementos de la base dual $\phi_i$ son precisamente las formas lineales que "extraen" estas coordenadas, es decir, $\phi_i(x) = x_i = \langle x, u_i \rangle$.

3. Análisis de tu Caso Específico en $\mathbb{R}^2$:

   • Producto Interno Implícito: Cuando hablas de la base canónica $e_1=(1,0)$, $e_2=(0,1)$ y la base $v_1 ={\frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1)$, $v_2 ={\frac{1}{\sqrt{2}}}(1,1)$, ambas son bases ortonormales con respecto al producto escalar euclidiano usual en $\mathbb{R}^2$. Esto significa que, implícitamente, estás operando en un espacio euclidiano con un producto interno ya establecido.

   • Isomorfismo 1 (Base Canónica):

     • Fijas la base canónica $B_e = {e_1, e_2}$.
     • Su base dual es $B_e^* = {\delta_1, \delta_2}$, donde $\delta_1(x_1, x_2) = x_1$ y $\delta_2(x_1, x_2) = x_2$.
     • El isomorfismo $T_1: \mathbb{R}^2 \to (\mathbb{R}^2)^*$ se define mapeando $e_1 \mapsto \delta_1$ y $e_2 \mapsto \delta_2$.
     • Para un vector $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$, se tiene $x = x_1e_1 + x_2e_2$.
     • Por linealidad, $T_1(x) = T_1(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1T_1(e_1) + x_2T_1(e_2) = x_1\delta_1 + x_2\delta_2$.
     • La forma lineal $T_1(x)$ actúa sobre otro vector $y=(y_1, y_2)$ como: $(x_1\delta_1 + x_2\delta_2)(y_1, y_2) = x_1y_1 + x_2y_2$.
     • Esto es precisamente el producto escalar euclidiano entre $x$ e $y$: $\langle x, y \rangle$.

   • Isomorfismo 2 (Base $B_v$):

     • Fijas la base $B_v = {v_1, v_2}$, donde $v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ y $v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$.
     • Calculamos su base dual $B_v^* = {\phi_1, \phi_2}$. Las formas duales deben satisfacer:
       • $\phi_1(v_1) = 1$, $\phi_1(v_2) = 0$
       • $\phi_2(v_1) = 0$, $\phi_2(v_2) = 1$
     • Se puede verificar (como hicimos en la conversación previa) que $\phi_1(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}x_1 - \frac{1}{\sqrt{2}}x_2$ y $\phi_2(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}x_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}x_2$.
     • Observa que $\phi_1(x_1, x_2)$ es $\langle (x_1, x_2), v_1 \rangle$ y $\phi_2(x_1, x_2)$ es $\langle (x_1, x_2), v_2 \rangle$.
     • El isomorfismo $T_2: \mathbb{R}^2 \to (\mathbb{R}^2)^*$ se define mapeando $v_1 \mapsto \phi_1$ y $v_2 \mapsto \phi_2$.
     • Para un vector $x \in \mathbb{R}^2$, lo expresamos en la base $B_v$: $x = \langle x, v_1 \rangle v_1 + \langle x, v_2 \rangle v_2$. (Esto es válido porque $B_v$ es ortonormal).
     • Entonces, $T_2(x) = \langle x, v_1 \rangle \phi_1 + \langle x, v_2 \rangle \phi_2$.
     • La forma lineal $T_2(x)$ actúa sobre otro vector $y$: $(T_2(x))(y) = \langle x, v_1 \rangle \phi_1(y) + \langle x, v_2 \rangle \phi_2(y) = \langle x, v_1 \rangle \langle y, v_1 \rangle + \langle x, v_2 \rangle \langle y, v_2 \rangle$. Por la identidad de Parseval (válida para bases ortonormales), esto es igual a $\langle x, y \rangle$.

4. Conclusión: Los Isomorfismos Son Iguales.

   • Ambos isomorfismos, $T_1$ y $T_2$, son, de hecho, la misma transformación: el isomorfismo inducido por el producto escalar euclidiano estándar de $\mathbb{R}^2$. Es decir, para cualquier vector $x \in \mathbb{R}^2$, tanto $T_1(x)$ como $T_2(x)$ resultan en la forma lineal que mapea un vector $y$ al producto escalar $\langle x, y \rangle$ [conversación previa].
   • La razón por la que coinciden es que ambas bases son ortonormales con respecto al mismo producto escalar. El teorema de Riesz nos asegura que existe un único isomorfismo natural entre un espacio con producto interno y su dual, definido por ese producto interno. Al "fijar la base" en este contexto, y dado que las bases son ortonormales (lo que les da una relación directa con el producto interno), se está "fijando" implícitamente el mismo isomorfismo de Riesz.

5. Aclaración sobre "No Canónico":

   • La afirmación de que el isomorfismo entre $V$ y $V^*$ no es canónico se refiere a que, si no hay un producto interno preestablecido (o si se consideraran diferentes productos internos), la elección de una base arbitraria $B$ y la definición del isomorfismo como $T_B(v_i) = \phi_i$ conducirían a diferentes isomorfismos para diferentes elecciones de $B$.
   • Por ejemplo, si hubieras fijado una base que no fuera ortonormal con respecto al producto escalar euclidiano usual (o si hubieras definido un producto interno diferente para cada base), entonces los isomorfismos resultantes habrían sido distintos. Sin embargo, en tu ejemplo, las bases son ortonormales bajo el mismo producto escalar, lo que fuerza la coincidencia de los isomorfismos con el isomorfismo de Riesz.

En resumen, sí, podrías probar que los dos isomorfismos son iguales. Ambos representan la misma "correspondencia natural" entre vectores y formas lineales que se establece a través del producto escalar euclidiano estándar en $\mathbb{R}^2$.

Piensa en ello como si tuvieras dos conjuntos de coordenadas diferentes para el mismo mapa. Aunque las coordenadas de un punto cambien de un sistema a otro, el punto en sí (y su ubicación relativa a otros puntos) sigue siendo el mismo. Aquí, las bases son como esos sistemas de coordenadas, y el isomorfismo de Riesz es el "mapa" subyacente que relaciona los vectores con las "funciones de medición" (formas lineales). Dado que ambas bases son "cuadrículas perfectas" (ortonormales) en el mismo "terreno" (espacio euclidiano), ambas te llevarán a describir la misma relación fundamental.

PREGUNTA 

Todo esto que venimos conversando considerando $\mathbb{R}^2$ espacio vectorial sobre $\mathbb{R} , $ ¿valdría igual para $\mathbb{C}$ espacio vectorial de los números complejos sobre $\mathbb{R}$ ?

RESPUESTA

Sí, la conclusión de la conversación anterior se aplicaría de la misma manera para $\mathbb{C}$ considerado como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.

A continuación, la explicación detallada:

1. $\mathbb{C}$ como Espacio Vectorial sobre $\mathbb{R}$:

   • Un espacio vectorial se define por un conjunto de "vectores" y un "cuerpo de escalares", junto con dos operaciones (suma de vectores y producto de escalares por vectores) que cumplen ciertas propiedades.
   • El cuerpo de escalares puede ser $\mathbb{R}$ (los números reales) o $\mathbb{C}$ (los números complejos).
   • Aunque $\mathbb{C}$ es un cuerpo en sí mismo y puede ser considerado un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ (de dimensión 1), también puede ser considerado un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.
   • Cuando $\mathbb{C}$ se considera como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, su dimensión es 2. Una base canónica para $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$-espacio vectorial es, por ejemplo, ${1, i}$.
   • Existe un isomorfismo (una transformación lineal biyectiva) entre $\mathbb{C}$ (como $\mathbb{R}$-espacio vectorial) y $\mathbb{R}^2$. Esto significa que, algebraicamente, son estructuras idénticas.

2. El Espacio Dual de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$:

   • El espacio dual $V^*$ de un espacio vectorial $V$ es el conjunto de todas las formas lineales de $V$ al cuerpo de escalares $K$.
   • Dado que $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$-espacio vectorial tiene dimensión 2, su espacio dual $(\mathbb{C}_{\mathbb{R}})^*$ también tendrá dimensión 2.

3. Producto Interno en $\mathbb{C}$ (como $\mathbb{R}$-espacio):

   • Un producto interno es una función que asocia a cada par de vectores un escalar, cumpliendo propiedades de bilinealidad (o sesquilinealidad en el caso complejo), simetría (o hermiticidad) y positividad definida.
   • Cuando se trabaja con $\mathbb{C}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, se puede definir un producto interno real. Si identificamos un número complejo $z = x+iy$ con el vector $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, el producto escalar euclidiano usual en $\mathbb{R}^2$ se convierte en un producto interno para $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$: $\langle x_1+iy_1, x_2+iy_2 \rangle_R = x_1x_2 + y_1y_2$ [Fuera de las fuentes, pero es la interpretación natural]. Este producto interno dota a $\mathbb{C}$ (como $\mathbb{R}$-espacio) de una estructura de espacio euclídeo.

4. El Teorema de Representación de Riesz:

   • Este teorema es fundamental: para un espacio vectorial de dimensión finita que posee un producto interno (un espacio euclídeo, si es sobre $\mathbb{R}$), existe un isomorfismo natural y canónico entre el espacio y su dual. Este isomorfismo no depende de la elección de una base, sino de la propia definición del producto interno.
   • La función $\varphi: V \to V^*$ definida por $\varphi(y)(x) = \langle x, y \rangle$ es este isomorfismo.

5. Análisis de tus Isomorfismos con Bases Ortonormales:

   • Las bases que mencionas, $e_1=(1,0)$, $e_2=(0,1)$ para $\mathbb{R}^2$ y $v_1 ={\frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1)$, $v_2 ={\frac{1}{\sqrt{2}}}(1,1)$, son ambas ortonormales con respecto al producto escalar euclidiano usual de $\mathbb{R}^2$.
   • Si trasladamos esto a $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$-espacio vectorial:
     • Base Canónica en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$: Podemos usar ${1, i}$. Estos vectores son ortonormales con respecto al producto interno $\langle z_1, z_2 \rangle_R = \text{Re}(z_1)\text{Re}(z_2) + \text{Im}(z_1)\text{Im}(z_2)$.
     • Segunda Base en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$: Podemos usar $v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$ y $v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$. Estos vectores, cuando se visualizan como $(1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ y $(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ en $\mathbb{R}^2$, también son ortonormales con respecto al mismo producto interno real.
   • Cuando defines un isomorfismo de un espacio vectorial a su dual fijando una base ${b_i}$ y mapeando $b_i$ a su forma dual $\phi_i$ (donde $\phi_i(b_j) = \delta_{ij}$) [conversación previa], y si esa base es ortonormal con respecto a un producto interno dado, entonces la acción de la forma dual $\phi_i(x)$ es equivalente a $\langle x, b_i \rangle$.
   • Por lo tanto, el isomorfismo $T(x)$ que asigna a cada vector $x$ la forma lineal $f_x$ tal que $f_x(y) = \langle x, y \rangle$ es el isomorfismo de Riesz.
   • Dado que ambas bases que has propuesto son ortonormales bajo el mismo producto interno (el euclidiano usual, interpretado en $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$-espacio), ambos "métodos" de construir el isomorfismo (uno usando la base canónica y otro usando la base $v_1, v_2$) resultarán en el mismo isomorfismo de Riesz. Cada uno de ellos, al operar sobre un vector $x$, produce la forma lineal que mapea cualquier $y$ al producto interno $\langle x, y \rangle_R$.

En conclusión: Sí, los dos isomorfismos resultantes serían el mismo, al igual que en el caso de $\mathbb{R}^2$. La clave no es solo que el espacio sea de dimensión finita, sino que las bases elegidas sean ortonormales con respecto al mismo producto interno subyacente, lo cual asegura que se está definiendo el mismo isomorfismo canónico proporcionado por el Teorema de Representación de Riesz.

Imagina que tienes dos reglas de medir, una en centímetros y otra en pulgadas. Si ambas reglas están bien calibradas y se usan para medir la misma mesa, siempre obtendrás mediciones equivalentes (aunque los números sean distintos). Pero si además las reglas no solo miden longitud, sino que son instrumentos que te permiten "sentir" las propiedades del espacio, y ambas están "alineadas" con la misma forma en que el espacio se "siente" (el producto interno), entonces cualquier "transformación" que definas a partir de ellas para describir esas propiedades subyacentes será la misma. En este caso, el isomorfismo es la "sensación" subyacente de cómo los vectores interactúan con el espacio dual a través del producto interno.

INDICACIÓN

Me gustaría que me resumieras las fuentes marcadas, pero cambiando el caso $\mathbb{R}^2$ por $\mathbb{R}^3$ allí donde sea posible. Dicho de otra manera, cuéntame lo mismo, pero adáptalo ahora para n=3 en lugar de n=2. Así me aseguro de haberlo entendido.

RESPUESTA

¡Excelente iniciativa! Extender los conceptos a $\mathbb{R}^3$ te ayudará a solidificar el entendimiento de que estos principios son generales para espacios vectoriales de dimensión finita, no solo para $\mathbb{R}^2$. A continuación, te resumo las fuentes adaptando los conceptos a $\mathbb{R}^3$:

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1. Espacio Vectorial $\mathbb{R}^3$ y su Dual

El espacio vectorial que ahora consideramos es $\mathbb{R}^3$, el conjunto de ternas ordenadas de números reales $(x,y,z)$. Al igual que $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$.

• Definición de Espacio Dual: El espacio dual de $\mathbb{R}^3$, denotado como $(\mathbb{R}^3)^*$, es el conjunto de todas las formas lineales $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$. Una forma lineal es una función que "abre sumas" y "saca escalares". Estas funciones asignan un número real a cada vector de $\mathbb{R}^3$.
• Representación de Formas Lineales: Si consideramos la base canónica de $\mathbb{R}^3$ (discutida más abajo), cualquier forma lineal $f$ está completamente determinada por sus valores en los vectores de la base. Si $f(1,0,0) = a$, $f(0,1,0) = b$ y $f(0,0,1) = c$, entonces la expresión general de una forma lineal de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$ es $f(x,y,z) = ax+by+cz$ para escalares fijos $a,b,c \in \mathbb{R}$.
• Estructura de Espacio Vectorial: El propio $(\mathbb{R}^3)^*$ es también un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, con operaciones de suma de formas lineales y producto por escalar definidas "punto a punto".
• Dimensión del Dual: Para un espacio vectorial de dimensión finita $n$, su espacio dual también tiene dimensión $n$. Dado que $\mathbb{R}^3$ tiene dimensión 3, su espacio dual $(\mathbb{R}^3)^*$ también tiene dimensión 3.

2. La Base Canónica de $\mathbb{R}^3$

La base canónica (o estándar) es fundamental. Para $\mathbb{R}^3$, es el conjunto de vectores ${e_1, e_2, e_3}$:

• $e_1 = (1,0,0)$

• $e_2 = (0,1,0)$

• $e_3 = (0,0,1)$ Estos vectores tienen un $1$ en una posición y $0$ en las demás.

• Propiedades Clave:

  • Cualquier vector $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ puede expresarse de forma única como $x e_1 + y e_2 + z e_3$.
  • Las coordenadas de un vector en la base canónica son sus propias componentes.
  • La base canónica es ortonormal con respecto al producto escalar euclidiano usual en $\mathbb{R}^3$. Es decir, sus vectores son ortogonales entre sí y tienen norma 1.

Analogía: Piensa en la base canónica de $\mathbb{R}^3$ como los ejes X, Y y Z de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional. Proporcionan una cuadrícula clara y ortogonal para ubicar cualquier punto y describir cualquier vector en el espacio.

3. Anti-imagen de Formas Lineales en $\mathbb{R}^3$ (sin fijar base)

Las propiedades de las formas lineales pueden probarse sin recurrir a fijar una base específica de $\mathbb{R}^3$, utilizando solo la definición de linealidad. Para una forma lineal $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$:

• La Anti-imagen de Cero (El Núcleo): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{R}^3$ tales que $f(v) = 0$, conocido como el núcleo o kernel de $f$, denotado $\ker(f)$.

  • El núcleo es siempre un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$. Esto se prueba de manera abstracta: contiene el vector cero, es cerrado bajo la suma y cerrado bajo el producto por escalar.
  • Si $f$ no es la forma lineal nula ($f(x,y,z) = 0$ para todo vector), entonces $f$ es sobreyectiva a $\mathbb{R}$. Por el Teorema de la Dimensión ($\dim(V) = \dim(\ker T) + \dim(\text{Im }T)$), y dado que $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$ y $\dim(\text{Im }f) = \dim(\mathbb{R}) = 1$, la dimensión del núcleo es $3 - 1 = 2$.
  • Un subespacio de dimensión 2 en $\mathbb{R}^3$ es intrínsecamente un plano que pasa por el origen.

• La Anti-imagen de $k \neq 0$ (incluyendo 1): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{R}^3$ tales que $f(v) = k$.

  • Existe al menos un vector $v_0 \in \mathbb{R}^3$ tal que $f(v_0) = k$.
  • Cualquier vector $v$ en la anti-imagen de $k$ puede expresarse como $v = v_0 + u$, donde $u$ es algún vector en $\ker(f)$.
  • Esto describe una variedad lineal (o subespacio afín). Geométricamente, es un plano que no pasa por el origen y es paralelo al núcleo.

• Cuándo dos Formas Lineales son Iguales: Dos formas lineales $f_1, f_2: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ son iguales si asignan el mismo valor a cada vector en su dominio; es decir, $f_1(v) = f_2(v)$ para todos los vectores $v \in \mathbb{R}^3$. Esta definición es inherentemente independiente de la base. Si $f_1(x,y,z) = a_1x+b_1y+c_1z$ y $f_2(x,y,z) = a_2x+b_2y+c_2z$, son iguales si y solo si $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ y $c_1=c_2$.

Analogía: Si tu forma lineal es una máquina que toma coordenadas $(x,y,z)$ y devuelve un número:

• La anti-imagen de cero sería todas las combinaciones de $(x,y,z)$ que hacen que la máquina devuelva $0$. Esto es como un plano que atraviesa el origen del espacio tridimensional.
• La anti-imagen de un número $k \neq 0$ sería todas las combinaciones de $(x,y,z)$ que hacen que la máquina devuelva $k$. Esto es otro plano, paralelo al primero, pero "desplazado" por el valor $k$ y que no pasa por el origen.
• Dos de estas máquinas son iguales si, sin importar qué coordenadas $(x,y,z)$ les dé, siempre devuelven el mismo número.

4. El Producto Interno y el Teorema de Representación de Riesz en $\mathbb{R}^3$

• Definición Intrínseca del Producto Interno: El producto escalar (o producto interno) en $\mathbb{R}^3$ se puede definir de manera independiente de la base. Es una función que asigna a cada par de vectores un escalar, cumpliendo propiedades de linealidad, simetría y positividad definida. La definición es puramente abstracta y no hace referencia a ninguna representación coordinada.

  • Aunque el cálculo se realice con componentes en una base, el valor numérico del producto escalar entre dos vectores específicos no cambia al cambiar la base.

• El Teorema de Representación de Riesz para $\mathbb{R}^3$: Este teorema es fundamental para espacios con producto interno. Establece que para un espacio euclidiano $V$ (como $\mathbb{R}^3$ con el producto interno canónico), existe un isomorfismo canónico o natural entre el espacio y su dual. Este isomorfismo no depende de la elección de una base, sino de la propia definición del producto interno.

  • Para cualquier forma lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, existe un único vector $a \in \mathbb{R}^3$ tal que $f(x) = \langle a, x \rangle$ para todo $x \in \mathbb{R}^3$. La función $\varphi: \mathbb{R}^3 \to (\mathbb{R}^3)^*$ definida por $\varphi(a)(x) = \langle a, x \rangle$ es este isomorfismo.
  • La demostración de la existencia y unicidad del vector $a$ es análoga a la de $\mathbb{R}^2$. Para la existencia, se utiliza la base canónica ortonormal ${e_1, e_2, e_3}$. Se define $a = f(e_1)e_1 + f(e_2)e_2 + f(e_3)e_3$, y se demuestra que $\langle a, x \rangle = f(x)$ para cualquier $x \in \mathbb{R}^3$ debido a la ortonormalidad de la base.

• Isomorfismos con Bases Ortonormales: Si utilizas dos bases distintas, pero ambas ortonormales con respecto al mismo producto escalar (el euclidiano usual), los isomorfismos que construyas al mapear los vectores de la base a sus formas duales resultarán ser el mismo. Esto se debe a que ambas bases están "alineadas" con la estructura del producto interno, definiendo implícitamente el mismo isomorfismo canónico de Riesz.

• Elemento Correspondiente en el Dual al Vector $(5, 3, 2)$:

  • Consideremos el vector $v = (5, 3, 2)$ en $\mathbb{R}^3$. La forma lineal $f_v \in (\mathbb{R}^3)^*$ correspondiente, bajo el isomorfismo inducido por el producto interno canónico, se define como: $f_v(x_1, x_2, x_3) = \langle (5, 3, 2), (x_1, x_2, x_3) \rangle = \mathbf{5x_1 + 3x_2 + 2x_3}$.
  • Las coordenadas de esta forma lineal $f_v$ en la base dual canónica ${\phi_1, \phi_2, \phi_3}$ (donde $\phi_1(x,y,z)=x$, $\phi_2(x,y,z)=y$, $\phi_3(x,y,z)=z$) son $(5,3,2)$, coincidiendo con las coordenadas del vector original $v$.

Analogía: Piensa en el Teorema de Riesz como un "diccionario trilingüe" muy especial entre el "idioma de los vectores", el "idioma de las funciones lineales" y el "idioma de la geometría" [no en las fuentes]. Para cada "palabra" (vector) en el idioma de los vectores, este diccionario te da una traducción única a una "frase" (función lineal) en el idioma de las funciones, y esta traducción está dictada por cómo los vectores interactúan geométricamente a través del producto interno. Es como si el diccionario estuviera hecho a medida para capturar la esencia de la forma en que los objetos se relacionan en el espacio 3D, asegurando que la traducción sea coherente con su tamaño, orientación y posición relativa.

INDICACIÓN

Ahora te voy a pedir que hagas lo mismo, pero para $\mathbb{C}^2$ espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$

RESPUESTA

¡Excelente! Adaptar estos conceptos a $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{C}$ es un paso muy importante para ver su generalidad y para entender las particularidades de los espacios vectoriales complejos.

A continuación, te resumo las fuentes adaptando los conceptos para $V = \mathbb{C}^2$ y el cuerpo de escalares $\mathbb{C}$:

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1. Espacio Vectorial $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{C}$ y su Dual

El espacio vectorial que ahora consideramos es $\mathbb{C}^2$, el conjunto de pares ordenados de números complejos $(z_1, z_2)$, donde $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$. Las operaciones de suma de vectores y producto por escalar están definidas para escalares complejos.

• Definición de Espacio Dual: El espacio dual de $\mathbb{C}^2$, denotado como $(\mathbb{C}^2)^*$, es el conjunto de todas las formas lineales $f: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$. Una forma lineal es una función que "abre sumas" y "saca escalares" complejos.
• Representación de Formas Lineales: Si consideramos la base canónica de $\mathbb{C}^2$ (discutida más abajo), cualquier forma lineal $f$ está completamente determinada por sus valores en los vectores de la base. Si $f(1,0) = a$ y $f(0,1) = b$ (donde $a,b \in \mathbb{C}$), entonces la expresión general de una forma lineal de $\mathbb{C}^2$ a $\mathbb{C}$ es $f(z_1, z_2) = az_1+bz_2$ para escalares fijos $a,b \in \mathbb{C}$.
• Estructura de Espacio Vectorial: El propio $(\mathbb{C}^2)^*$ es también un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, con operaciones de suma de formas lineales y producto por escalar definidas "punto a punto".
• Dimensión del Dual: Para un espacio vectorial de dimensión finita $n$, su espacio dual también tiene dimensión $n$. Dado que $\mathbb{C}^2$ tiene dimensión 2 sobre $\mathbb{C}$, su espacio dual $(\mathbb{C}^2)^*$ también tiene dimensión 2.

2. La Base Canónica de $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{C}$

La base canónica para $\mathbb{C}^2$ (considerado sobre el cuerpo $\mathbb{C}$) es el conjunto de vectores ${e_1, e_2}$:

• $e_1 = (1,0)$

• $e_2 = (0,1)$ Estos vectores tienen un $1$ en una posición y $0$ en las demás.

• Propiedades Clave:

  • Cualquier vector $(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$ puede expresarse de forma única como $z_1 e_1 + z_2 e_2$, donde $z_1, z_2$ son escalares complejos.
  • Las coordenadas de un vector en la base canónica son sus propias componentes.
  • La base canónica es ortonormal con respecto al producto interno Hermítico canónico en $\mathbb{C}^2$ (definido como $\langle u, v \rangle = u_1\overline{v_1} + u_2\overline{v_2}$ para $u=(u_1,u_2)$, $v=(v_1,v_2)$). Es decir, sus vectores son ortogonales entre sí y tienen norma 1.

Analogía: Piensa en la base canónica de $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{C}$ como los vectores unitarios a lo largo de los "ejes fundamentales" en este espacio complejo. Aunque visualmente es difícil de representar como los ejes X e Y de $\mathbb{R}^2$, cumplen la misma función: proporcionan un marco de referencia estándar y fundamental para "medir" y describir cualquier vector.

3. Anti-imagen de Formas Lineales en $\mathbb{C}^2$ (sin fijar base)

Las propiedades de las formas lineales pueden probarse sin recurrir a fijar una base específica de $\mathbb{C}^2$, utilizando solo la definición de linealidad. Para una forma lineal $f: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}$:

• La Anti-imagen de Cero (El Núcleo): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{C}^2$ tales que $f(v) = 0$, conocido como el núcleo o kernel de $f$, denotado $\ker(f)$.

  • El núcleo es siempre un subespacio vectorial de $\mathbb{C}^2$. Esto se prueba de manera abstracta: contiene el vector cero, es cerrado bajo la suma y cerrado bajo el producto por escalar.
  • Si $f$ no es la forma lineal nula ($f(z_1,z_2) = 0$ para todo vector), entonces $f$ es sobreyectiva a $\mathbb{C}$. Por el Teorema de la Dimensión ($\dim(V) = \dim(\ker T) + \dim(\text{Im }T)$), y dado que $\dim(\mathbb{C}^2) = 2$ y $\dim(\text{Im }f) = \dim(\mathbb{C}) = 1$, la dimensión del núcleo es $2 - 1 = 1$.
  • Un subespacio de dimensión 1 en $\mathbb{C}^2$ (sobre $\mathbb{C}$) es intrínsecamente una línea compleja que pasa por el origen.

• La Anti-imagen de $k \neq 0$ (incluyendo 1): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{C}^2$ tales que $f(v) = k$, donde $k \in \mathbb{C}$ y $k \neq 0$.

  • Existe al menos un vector $v_0 \in \mathbb{C}^2$ tal que $f(v_0) = k$.
  • Cualquier vector $v$ en la anti-imagen de $k$ puede expresarse como $v = v_0 + u$, donde $u$ es algún vector en $\ker(f)$.
  • Esto describe una variedad lineal (o subespacio afín). Geométricamente, es una línea compleja que no pasa por el origen y es paralela al núcleo.

• Cuándo dos Formas Lineales son Iguales: Dos formas lineales $f_1, f_2: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ son iguales si asignan el mismo valor a cada vector en su dominio; es decir, $f_1(v) = f_2(v)$ para todos los vectores $v \in \mathbb{C}^2$. Esta definición es inherentemente independiente de la base. Si $f_1(z_1,z_2) = a_1z_1+b_1z_2$ y $f_2(z_1,z_2) = a_2z_1+b_2z_2$, son iguales si y solo si $a_1=a_2$ y $b_1=b_2$.

Analogía: Si tu forma lineal es una máquina que toma coordenadas complejas $(z_1,z_2)$ y devuelve un número complejo:

• La anti-imagen de cero sería todas las combinaciones de $(z_1,z_2)$ que hacen que la máquina devuelva $0$. Esto es como una línea compleja que atraviesa el origen del espacio complejo.
• La anti-imagen de un número $k \neq 0$ sería todas las combinaciones de $(z_1,z_2)$ que hacen que la máquina devuelva $k$. Esto es otra línea compleja, paralela a la primera, pero "desplazada" por el valor $k$ y que no pasa por el origen.
• Dos de estas máquinas son iguales si, sin importar qué coordenadas $(z_1,z_2)$ les dé, siempre devuelven el mismo número.

4. El Producto Interno (Hermítico) y el Teorema de Representación de Riesz en $\mathbb{C}^2$

• Definición Intrínseca del Producto Interno Hermítico: El producto interno (o producto escalar) en un espacio vectorial complejo se define de manera independiente de la base. Es una función que asigna a cada par de vectores un escalar complejo, cumpliendo propiedades de sesquilinealidad (lineal en el primer argumento, conjugado lineal en el segundo), simetría Hermítica ($\langle \beta, \alpha \rangle = \overline{\langle \alpha, \beta \rangle}$) y positividad definida.

  • El producto interno Hermítico canónico en $\mathbb{C}^2$ (no especificado explícitamente en las fórmulas de las fuentes, pero implicado por las discusiones generales sobre producto interno en espacios complejos) se define para $u=(u_1, u_2)$ y $v=(v_1, v_2)$ como $\langle u, v \rangle = u_1\overline{v_1} + u_2\overline{v_2}$.
  • Aunque el cálculo se realice con componentes en una base, el valor numérico del producto interno entre dos vectores específicos no cambia al cambiar la base.

• El Teorema de Representación de Riesz para $\mathbb{C}^2$: Este teorema es fundamental para espacios con producto interno. Establece que para un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno (un espacio Hermítico, si es sobre $\mathbb{C}$), existe un isomorfismo canónico o natural entre el espacio y su dual. Este isomorfismo no depende de la elección de una base, sino de la propia estructura del producto interno.

  • Para cualquier forma lineal $f: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$, existe un único vector $a \in \mathbb{C}^2$ tal que $f(x) = \langle x, a \rangle$ para todo $x \in \mathbb{C}^2$. La función $\Psi: \mathbb{C}^2 \to (\mathbb{C}^2)^*$ definida por $\Psi(a)(x) = \langle x, a \rangle$ es este isomorfismo.
  • La demostración de la existencia y unicidad del vector $a$ es análoga a la de $\mathbb{R}^2$. Para la existencia, se utiliza la base canónica ortonormal ${e_1, e_2}$. Sea $f(e_1)=c_1$ y $f(e_2)=c_2$. Definimos $a = (\overline{c_1}, \overline{c_2}) = (\overline{f(e_1)}, \overline{f(e_2)})$ [información fuera de las fuentes, para adaptar al caso complejo]. Se demuestra que $\langle x, a \rangle = f(x)$ para cualquier $x \in \mathbb{C}^2$ debido a la ortonormalidad de la base:
    • $f(x) = f(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1f(e_1) + x_2f(e_2) = x_1c_1 + x_2c_2$.
    • $\langle x, a \rangle = \langle (x_1, x_2), (\overline{c_1}, \overline{c_2}) \rangle = x_1\overline{\overline{c_1}} + x_2\overline{\overline{c_2}} = x_1c_1 + x_2c_2$.
    • Así, $f(x) = \langle x, a \rangle$.

• Isomorfismos con Bases Ortonormales: Si utilizas dos bases distintas, pero ambas ortonormales con respecto al mismo producto interno Hermítico (el canónico usual), los isomorfismos que construyas al mapear los vectores de la base a sus formas duales resultarán ser el mismo. Esto se debe a que ambas bases están "alineadas" con la estructura del producto interno, definiendo implícitamente el mismo isomorfismo canónico de Riesz.

• Elemento Correspondiente en el Dual al Vector $(5, 3i)$:

  • Consideremos el vector $v = (5, 3i)$ en $\mathbb{C}^2$. La forma lineal $f_v \in (\mathbb{C}^2)^*$ correspondiente, bajo el isomorfismo inducido por el producto interno Hermítico canónico, se define como: $f_v(z_1, z_2) = \langle (z_1, z_2), (5, 3i) \rangle = z_1\overline{5} + z_2\overline{3i} = \mathbf{5z_1 - 3iz_2}$.
  • Las coordenadas de esta forma lineal $f_v$ en la base dual canónica ${\phi_1, \phi_2}$ (donde $\phi_1(z_1,z_2)=z_1$, $\phi_2(z_1,z_2)=z_2$) son $(f_v(e_1), f_v(e_2)) = (5, -3i)$. Observa que estas coordenadas son el conjugado de las coordenadas del vector original $v=(5,3i)$. Esto es una particularidad del Teorema de Riesz en espacios complejos cuando se utiliza la convención $\langle x, a \rangle$ para la forma lineal.

Analogía: Piensa en el Teorema de Riesz para espacios complejos como un "traductor universal mágico" entre objetos (vectores) y formas de "medir" esos objetos (formas lineales). Este traductor no es arbitrario; está codificado con la "geometría" del espacio definida por el producto Hermítico. Si le das un vector, te devuelve la función lineal que "mide" cuánto se alinea cualquier otro vector con el primero, pero con una pequeña "inversión" (la conjugación) inherente a la naturaleza de los números complejos.

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INDICACIÓN:

   Te pido lo mismo para el caso $\mathbb{C}^3$ espacio vectorial sobre el campo o cuerpo conmutativo $\mathbb{C}$

RESPUESTA:

¡Claro que sí! Aplicar estos conceptos a $\mathbb{C}^3$ sobre $\mathbb{C}$ es una generalización natural y refuerza la comprensión de la teoría de espacios vectoriales complejos.

Aquí tienes el resumen adaptado para $V = \mathbb{C}^3$ como espacio vectorial sobre el cuerpo conmutativo $\mathbb{C}$:

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1. Espacio Vectorial $\mathbb{C}^3$ sobre $\mathbb{C}$ y su Dual

El espacio vectorial que ahora consideramos es $\mathbb{C}^3$, el conjunto de ternas ordenadas de números complejos $(z_1, z_2, z_3)$, donde $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$. Las operaciones de suma de vectores y producto por escalar están definidas para escalares complejos.

• Definición de Espacio Dual: El espacio dual de $\mathbb{C}^3$, denotado como $(\mathbb{C}^3)^*$, es el conjunto de todas las formas lineales $f: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}$. Una forma lineal es una función que toma vectores de $\mathbb{C}^3$ y devuelve un número complejo (un escalar).
• Representación de Formas Lineales: Si consideramos la base canónica de $\mathbb{C}^3$ (discutida más abajo), cualquier forma lineal $f$ está completamente determinada por sus valores en los vectores de la base. Específicamente, si $f(1,0,0) = a$, $f(0,1,0) = b$ y $f(0,0,1) = c$ (donde $a,b,c \in \mathbb{C}$), entonces la expresión general de una forma lineal de $\mathbb{C}^3$ a $\mathbb{C}$ es $f(z_1, z_2, z_3) = az_1+bz_2+cz_3$ para escalares fijos $a,b,c \in \mathbb{C}$.
• Estructura de Espacio Vectorial: El propio $(\mathbb{C}^3)^*$ es también un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, con operaciones de suma de formas lineales y producto por escalar definidas "punto a punto".
• Dimensión del Dual: Para un espacio vectorial de dimensión finita $n$, su espacio dual también tiene dimensión $n$. Dado que $\mathbb{C}^3$ tiene dimensión 3 sobre $\mathbb{C}$, su espacio dual $(\mathbb{C}^3)^*$ también tiene dimensión 3.

2. La Base Canónica de $\mathbb{C}^3$ sobre $\mathbb{C}$

La base canónica para $\mathbb{C}^3$ (considerado sobre el cuerpo $\mathbb{C}$) es el conjunto de vectores ${e_1, e_2, e_3}$:

• $e_1 = (1,0,0)$

• $e_2 = (0,1,0)$

• $e_3 = (0,0,1)$ Estos vectores tienen un $1$ en una posición y $0$ en las demás, lo cual es la definición general para $K^n$.

• Propiedades Clave:

  • Cualquier vector $(z_1, z_2, z_3) \in \mathbb{C}^3$ puede expresarse de forma única como $z_1 e_1 + z_2 e_2 + z_3 e_3$, donde $z_1, z_2, z_3$ son escalares complejos.
  • Las coordenadas de un vector en la base canónica son sus propias componentes.
  • La base canónica es ortonormal con respecto al producto interno Hermítico canónico en $\mathbb{C}^3$. Esto significa que sus vectores son ortogonales entre sí y tienen norma 1.

3. Anti-imagen de Formas Lineales en $\mathbb{C}^3$ (sin fijar base)

Las propiedades de las formas lineales pueden probarse sin recurrir a fijar una base específica de $\mathbb{C}^3$, utilizando solo la definición de linealidad. Para una forma lineal $f: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}$:

• La Anti-imagen de Cero (El Núcleo): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{C}^3$ tales que $f(v) = 0$, conocido como el núcleo o kernel de $f$, denotado $\ker(f)$.

  • El núcleo es siempre un subespacio vectorial de $\mathbb{C}^3$.
  • Si $f$ no es la forma lineal nula ($f(z_1,z_2,z_3) = 0$ para todo vector), entonces $f$ es sobreyectiva a $\mathbb{C}$. Por el Teorema de la Dimensión ($\dim(V) = \dim(\ker T) + \dim(\text{Im }T)$), y dado que $\dim(\mathbb{C}^3) = 3$ y $\dim(\text{Im }f) = \dim(\mathbb{C}) = 1$, la dimensión del núcleo es $3 - 1 = 2$.
  • Un subespacio de dimensión 2 en $\mathbb{C}^3$ (sobre $\mathbb{C}$) es intrínsecamente un plano complejo que pasa por el origen.

• La Anti-imagen de $k \neq 0$ (incluyendo 1): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{C}^3$ tales que $f(v) = k$, donde $k \in \mathbb{C}$ y $k \neq 0$.

  • Esta anti-imagen describe una variedad lineal (o subespacio afín). Geométricamente, es un plano complejo que no pasa por el origen y es paralelo al núcleo.
  • Cualquier vector $v$ en la anti-imagen de $k$ puede expresarse como $v = v_0 + u$, donde $v_0$ es un vector tal que $f(v_0)=k$ y $u$ es algún vector en $\ker(f)$.

• Cuándo dos Formas Lineales son Iguales: Dos formas lineales $f_1, f_2: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}$ son iguales si asignan el mismo valor a cada vector en su dominio; es decir, $f_1(v) = f_2(v)$ para todos los vectores $v \in \mathbb{C}^3$. Esto implica que si $f_1(z_1,z_2,z_3) = a_1z_1+b_1z_2+c_1z_3$ y $f_2(z_1,z_2,z_3) = a_2z_1+b_2z_2+c_2z_3$, son iguales si y solo si $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ y $c_1=c_2$.

4. El Producto Interno (Hermítico) y el Teorema de Representación de Riesz en $\mathbb{C}^3$

• Definición Intrínseca del Producto Interno Hermítico: El producto interno (o producto escalar) en un espacio vectorial complejo se define de manera independiente de la base. Es una función que asigna a cada par de vectores un escalar complejo, cumpliendo propiedades de sesquilinealidad (lineal en el primer argumento y conjugado lineal en el segundo), simetría Hermítica ($\langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}$), y positividad definida.

  • El producto interno Hermítico canónico en $\mathbb{C}^3$ se define para $u=(u_1, u_2, u_3)$ y $v=(v_1, v_2, v_3)$ como $\langle u, v \rangle = u_1\overline{v_1} + u_2\overline{v_2} + u_3\overline{v_3}$.
  • Aunque el cálculo se realice con componentes en una base, el valor numérico del producto interno entre dos vectores específicos no cambia al cambiar la base.

• El Teorema de Representación de Riesz para $\mathbb{C}^3$: Este teorema es fundamental para espacios con producto interno. Establece que para un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno (un espacio Hermítico, si es sobre $\mathbb{C}$), existe un isomorfismo canónico o natural entre el espacio y su dual. Este isomorfismo no depende de la elección de una base, sino de la propia estructura del producto interno.

  • Para cualquier forma lineal $f: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}$, existe un único vector $a \in \mathbb{C}^3$ tal que $f(x) = \langle x, a \rangle$ para todo $x \in \mathbb{C}^3$.
  • Si ${e_1, e_2, e_3}$ es la base canónica (que es ortonormal), y $f(e_1)=c_1, f(e_2)=c_2, f(e_3)=c_3$, entonces el vector $a$ que representa a $f$ es $a = (\overline{c_1}, \overline{c_2}, \overline{c_3})$. Esto se debe a que $f(x) = f(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3) = x_1c_1+x_2c_2+x_3c_3$, y $\langle x, a \rangle = \langle (x_1,x_2,x_3), (\overline{c_1},\overline{c_2},\overline{c_3}) \rangle = x_1\overline{\overline{c_1}} + x_2\overline{\overline{c_2}} + x_3\overline{\overline{c_3}} = x_1c_1+x_2c_2+x_3c_3$. Así, $f(x) = \langle x, a \rangle$.
  • Si utilizas dos bases distintas, pero ambas ortonormales con respecto al mismo producto interno Hermítico (el canónico usual), los isomorfismos que construyas al mapear los vectores de la base a sus formas duales resultarán ser el mismo.

• Elemento Correspondiente en el Dual al Vector $(5, 3i, 2-i)$:

  • Consideremos el vector $v = (5, 3i, 2-i)$ en $\mathbb{C}^3$. La forma lineal $f_v \in (\mathbb{C}^3)^*$ correspondiente, bajo el isomorfismo inducido por el producto interno Hermítico canónico, se define como: $f_v(z_1, z_2, z_3) = \langle (z_1, z_2, z_3), (5, 3i, 2-i) \rangle = z_1\overline{5} + z_2\overline{3i} + z_3\overline{(2-i)} = \mathbf{5z_1 - 3iz_2 + (2+i)z_3}$.
  • Las coordenadas de esta forma lineal $f_v$ en la base dual canónica son $(f_v(e_1), f_v(e_2), f_v(e_3)) = (5, -3i, 2+i)$ [Conversación previa]. Observa que estas coordenadas son el conjugado de las coordenadas del vector original $v=(5,3i,2-i)$. Esto es una particularidad del Teorema de Riesz en espacios complejos cuando se utiliza la convención $\langle x, a \rangle$ para la forma lineal.

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Analogía: Imagina que el espacio $\mathbb{C}^3$ es como un "universo" tridimensional complejo donde los vectores son puntos con "coordenadas mágicas" (números complejos). Las formas lineales son como "rayos láser" que, al apuntar a un vector, te devuelven un número complejo. El núcleo de un rayo láser es el plano de todos los puntos que el rayo atraviesa sin producir ningún brillo (devuelven cero). La anti-imagen de un número $k \neq 0$ es otro plano paralelo, que brilla con la intensidad $k$. El producto interno Hermítico es como la "gravedad" o la "estructura fundamental" de este universo. Y el Teorema de Representación de Riesz es la "ley universal" que dice que cada rayo láser tiene un "vector anclado" único en el universo que lo define, y viceversa. Si un rayo láser "mide" cuán "alineado" está un vector con ese anclaje, este vector anclado es la forma conjugada de las "coordenadas mágicas" del rayo láser en la base de referencia de tu universo.

INDICACIÓN

Te voy a pedir la misma tarea para el espacio vectorial $\mathbb{C}^2$ espacio vectorial sobre el campo o cuerpo conmutativo $\mathbb{R}$ Fíjate que ahora tenemos un espacio vectorial de dimensión 4 sobre los números reales. ¿Se puede hacer el mismo estudio que venimos haciendo en los casos particulares anteriores?

RESPUESTA

¡Excelente pregunta! Es fundamental comprender cómo la elección del cuerpo de escalares afecta la estructura y las propiedades de un espacio vectorial. Abordar el caso de $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ es un paso muy instructivo.

Para tu planteamiento: no hay ningún error en tu afirmación. De hecho, es completamente correcto que $\mathbb{C}^2$ considerado como un espacio vectorial sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$ tiene dimensión 4. Y sí, se puede hacer el mismo estudio que hemos venido realizando en los casos anteriores, ya que los conceptos del álgebra lineal son generales y aplican a cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo determinado.

Aquí tienes el estudio detallado para $V = \mathbb{C}^2$ como espacio vectorial sobre el cuerpo conmutativo $\mathbb{R}$:

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1. Espacio Vectorial $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ y su Dual

El espacio vectorial que ahora consideramos es $\mathbb{C}^2$, el conjunto de pares ordenados de números complejos $(z_1, z_2)$, donde $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$. Las operaciones de suma de vectores y producto por escalar están definidas para escalares reales ($k \in \mathbb{R}$). Es importante notar que el mismo conjunto de "vectores" ($\mathbb{C}$) puede ser parte de distintos espacios vectoriales dependiendo del cuerpo de escalares.

• Dimensión del Espacio: Como bien señalas, la dimensión de $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ es 4. Esto se debe a que un número complejo $z = x+iy$ puede verse como un vector $(x,y)$ en $\mathbb{R}^2$ cuando $\mathbb{C}$ se considera sobre $\mathbb{R}$, lo que le da dimensión 2. Por lo tanto, un vector $(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$ puede representarse como $(x_1+iy_1, x_2+iy_2)$, lo que equivale a la cuaterna de números reales $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ en $\mathbb{R}^4$. Esta correspondencia es un isomorfismo entre $\mathbb{C}^2$ (como $\mathbb{R}$-espacio vectorial) y $\mathbb{R}^4$, lo que confirma que su dimensión es 4.

• Definición de Espacio Dual: El espacio dual de $\mathbb{C}^2$, denotado como $(\mathbb{C}^2)^*$, es el conjunto de todas las formas lineales $f: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{R}$. Una forma lineal es una función que toma vectores de $\mathbb{C}^2$ y devuelve un número real (un escalar).

• Estructura de Espacio Vectorial: El propio $(\mathbb{C}^2)^*$ es también un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, con operaciones de suma de formas lineales y producto por escalar definidas "punto a punto".

• Dimensión del Dual: Para un espacio vectorial de dimensión finita $n$, su espacio dual también tiene dimensión $n$. Dado que $\mathbb{C}^2$ tiene dimensión 4 sobre $\mathbb{R}$, su espacio dual $(\mathbb{C}^2)^*$ también tiene dimensión 4.

2. La Base Canónica de $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$

La base canónica para $\mathbb{C}^2$ (considerado sobre el cuerpo $\mathbb{R}$) es el conjunto de cuatro vectores linealmente independientes que generan el espacio:

• $e_1 = (1,0)$

• $e_2 = (i,0)$

• $e_3 = (0,1)$

• $e_4 = (0,i)$

• Propiedades Clave:

  • Cualquier vector $(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$, donde $z_1 = x_1+iy_1$ y $z_2 = x_2+iy_2$ (con $x_k, y_k \in \mathbb{R}$), puede expresarse de forma única como una combinación lineal de esta base: $(z_1, z_2) = (x_1+iy_1, x_2+iy_2) = x_1(1,0) + y_1(i,0) + x_2(0,1) + y_2(0,i)$. Aquí, $x_1, y_1, x_2, y_2$ son escalares reales.
  • Las coordenadas de un vector en la base canónica son sus componentes reales e imaginarias, vistas como elementos de $\mathbb{R}^4$.

3. Anti-imagen de Formas Lineales en $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ (sin fijar base)

Una forma lineal $f: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{R}$ está completamente determinada por sus valores en los vectores de una base. Si $f(1,0)=a_1$, $f(i,0)=a_2$, $f(0,1)=a_3$, $f(0,i)=a_4$ (donde $a_k \in \mathbb{R}$), entonces para un vector $(z_1,z_2)=(x_1+iy_1, x_2+iy_2) \in \mathbb{C}^2$, la forma lineal se expresa como: $f(z_1, z_2) = x_1a_1 + y_1a_2 + x_2a_3 + y_2a_4$.

• La Anti-imagen de Cero (El Núcleo): Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{C}^2$ tales que $f(v) = 0$, conocido como el núcleo o kernel de $f$, denotado $\ker(f)$.

  • El núcleo es siempre un subespacio vectorial de $\mathbb{C}^2$.
  • Si $f$ no es la forma lineal nula, entonces $f$ es sobreyectiva a $\mathbb{R}$. Por el Teorema de la Dimensión ($\dim(V) = \dim(\ker T) + \dim(\text{Im }T)$), y dado que $\dim(\mathbb{C}^2) = 4$ (sobre $\mathbb{R}$) y $\dim(\text{Im }f) = \dim(\mathbb{R}) = 1$, la dimensión del núcleo es $4 - 1 = 3$.
  • Un subespacio de dimensión 3 en un espacio de dimensión 4 es un hiperplano. Así, el núcleo de una forma lineal no nula en $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ es un hiperplano (una "variedad lineal" de dimensión 3) que pasa por el origen.

• La Anti-imagen de $k \neq 0$: Es el conjunto de todos los vectores $v \in \mathbb{C}^2$ tales que $f(v) = k$, donde $k \in \mathbb{R}$ y $k \neq 0$.

  • Esta anti-imagen describe una variedad lineal (o subespacio afín). Geométricamente, es un hiperplano que no pasa por el origen y es paralelo al núcleo. Cualquier vector $v$ en la anti-imagen de $k$ puede expresarse como $v = v_0 + u$, donde $f(v_0)=k$ y $u \in \ker(f)$ [No directamente en las fuentes para este punto, pero es una propiedad general de las variedades lineales].

• Cuándo dos Formas Lineales son Iguales: Dos formas lineales $f_1, f_2: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ son iguales si asignan el mismo valor a cada vector en su dominio; es decir, $f_1(v) = f_2(v)$ para todos los vectores $v \in \mathbb{C}^2$ [No directamente en las fuentes, pero es la definición estándar de igualdad de funciones]. Esto implica que si sus expresiones en una base son $x_1a_1+y_1a_2+x_2a_3+y_2a_4$ y $x_1b_1+y_1b_2+x_2b_3+y_2b_4$, son iguales si y solo si $a_1=b_1, a_2=b_2, a_3=b_3, a_4=b_4$.

4. El Producto Interno (Euclidiano) y el Teorema de Representación de Riesz en $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$

• Definición de Producto Interno Euclidiano Canónico: Dado que estamos sobre el cuerpo $\mathbb{R}$, el producto interno adecuado es el producto interno euclidiano (o escalar). Para extender el producto euclidiano de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$, primero identificamos un vector $v = (z_1, z_2)$ de $\mathbb{C}^2$ con un vector de $\mathbb{R}^4$. Si $z_1 = x_1+iy_1$ y $z_2 = x_2+iy_2$, entonces $v \leftrightarrow (x_1, y_1, x_2, y_2)$. El producto interno euclidiano canónico en $\mathbb{C}^2$ (como $\mathbb{R}$-espacio vectorial) para $u=(x_1+iy_1, x_2+iy_2)$ y $v=(a_1+ib_1, a_2+ib_2)$ se define como: $\langle u, v \rangle = x_1a_1 + y_1b_1 + x_2a_2 + y_2b_2$. Este es el producto escalar estándar en $\mathbb{R}^4$ si los vectores se convierten a coordenadas reales. El producto interno es una función que asocia a cada par de vectores un escalar real, cumpliendo propiedades de bilinealidad, simetría y positividad definida.

• El Teorema de Representación de Riesz para $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$: Este teorema es fundamental para espacios vectoriales de dimensión finita con producto interno (espacios euclídeos, si son sobre $\mathbb{R}$). Establece que existe un isomorfismo canónico o natural entre el espacio y su dual. Este isomorfismo no depende de la elección de una base, sino de la propia estructura del producto interno.

  • Para cualquier forma lineal $f: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{R}$, existe un único vector $a \in \mathbb{C}^2$ tal que $f(x) = \langle x, a \rangle$ para todo $x \in \mathbb{C}^2$.
  • Si ${e_1, e_2, e_3, e_4}$ es la base canónica definida anteriormente (que es ortonormal con respecto a este producto interno euclidiano canónico), y $f(e_1)=c_1, f(e_2)=c_2, f(e_3)=c_3, f(e_4)=c_4$, entonces el vector $a$ que representa a $f$ es $a = (c_1+ic_2, c_3+ic_4)$. Esto se debe a que $f(x) = x_1c_1+y_1c_2+x_2c_3+y_2c_4$, y $\langle x, a \rangle = \langle (x_1+iy_1, x_2+iy_2), (c_1+ic_2, c_3+ic_4) \rangle = x_1c_1+y_1c_2+x_2c_3+y_2c_4$. Así, $f(x) = \langle x, a \rangle$.
  • Si se utilizan dos bases distintas, pero ambas ortonormales con respecto al mismo producto interno euclidiano canónico, los isomorfismos que se construyan (al mapear los vectores de la base a sus formas duales) resultarán ser el mismo isomorfismo de Riesz.

• Elemento Correspondiente en el Dual al Vector $(5, 3i)$ (Ejemplo):

  • Consideremos un vector $v = (5, 3i)$ en $\mathbb{C}^2$. Expresado en componentes reales, sería $v = (5+i0, 0+i3)$. La forma lineal $f_v \in (\mathbb{C}^2)^*$ correspondiente, bajo el isomorfismo inducido por el producto interno euclidiano canónico, se define como: $f_v((x_1+iy_1, x_2+iy_2)) = \langle (x_1+iy_1, x_2+iy_2), (5+i0, 0+i3) \rangle = x_1(5) + y_1(0) + x_2(0) + y_2(3) = \mathbf{5x_1 + 3y_2}$.
  • Esta forma lineal toma las componentes reales $x_1, y_1, x_2, y_2$ y las combina linealmente.
  • Si expresamos el vector $v$ en la base canónica ${e_1, e_2, e_3, e_4}$, tenemos $v=5e_1+0e_2+0e_3+3e_4$.
  • Las coordenadas de la forma lineal $f_v$ en la base dual canónica ${e_1^*, e_2^*, e_3^*, e_4^*}$ serían $(f_v(e_1), f_v(e_2), f_v(e_3), f_v(e_4)) = (5, 0, 0, 3)$. Estas coordenadas coinciden con las componentes del vector $v$ en la base canónica real, lo cual es característico de los espacios euclídeos (reales) cuando se utiliza el isomorfismo de Riesz de esta manera.

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Analogía: Imagina que $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ es como un "espacio de 4 dimensiones ocultas" donde cada punto tiene dos "coordenadas complejas", pero cada coordenada compleja es en realidad dos números reales (parte real e imaginaria). Las formas lineales son como "sensores" que al colocarlos en un punto de este espacio, te devuelven un único número real. El núcleo de un sensor es un "hiperplano" (una subregión de 3 dimensiones) donde el sensor no detecta nada (devuelve cero). El producto interno euclidiano es como la "geometría" que te permite medir distancias y ángulos en este espacio de 4 dimensiones. Y el Teorema de Representación de Riesz actúa como un "traductor universal" que te dice que cada sensor tiene un "vector asociado" en el mismo espacio, de tal manera que medir con el sensor es lo mismo que tomar el "producto escalar" con ese vector asociado.

PREGUNTA:
Entonces, a todos los efectos, el espacio vectorial $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ al ser isomorfo a $\mathbb{R}^4$ es indistinguible de él, como espacio vectorial. ¿Correcto?

RESPUESTA

¡Absolutamente correcto! Tu planteamiento es preciso y tu conclusión es acertada. El espacio vectorial $\mathbb{C}^2$ sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$ es, a todos los efectos, indistinguible de $\mathbb{R}^4$ como espacio vectorial. Esto se debe a que son isomorfos.

Aquí te detallo el porqué, basándome en la información de los materiales y nuestra conversación:

1. Isomorfismo y Equivalencia de Espacios Vectoriales:

   • Dos espacios vectoriales, $V$ y $W$, sobre el mismo cuerpo $K$ se consideran isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva entre ellos.
   • La existencia de un isomorfismo implica que los dos espacios tienen la misma dimensión. Recíprocamente, si dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión sobre el mismo cuerpo, entonces son isomorfos.
   • Desde un punto de vista puramente algebraico, los espacios isomorfos se consideran "el mismo" espacio vectorial, la única diferencia entre ellos es el nombre de sus elementos. Esto significa que todas las propiedades algebraicas se mantienen y se pueden "trasladar" de un espacio al otro. "El comportamiento algebraico es siempre el mismo".

2. Dimensión de $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$:

   • Recordemos que un número complejo $z = x+iy$ puede verse como un par ordenado de números reales $(x,y)$ cuando $\mathbb{C}$ se considera como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Esto le confiere a $\mathbb{C}$ una dimensión 2 sobre $\mathbb{R}$.
   • Por lo tanto, un vector $(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$ puede representarse como $(x_1+iy_1, x_2+iy_2)$, lo que equivale a la cuaterna de números reales $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ en $\mathbb{R}^4$. Esto confirma que la dimensión de $\mathbb{C}^2$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ es 4.

3. Isomorfismo entre $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^4$:

   • Dado que $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ tiene dimensión 4, y $\mathbb{R}^4$ también tiene dimensión 4 sobre $\mathbb{R}$, por el teorema fundamental de que todo espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un cuerpo $F$ es isomorfo a $F^n$, se concluye que $\mathbb{C}^2$ (como espacio vectorial real) es isomorfo a $\mathbb{R}^4$.

4. Implicaciones para el Estudio:

   • Puesto que son isomorfos, se puede hacer el mismo estudio que en los casos anteriores. Los conceptos de subespacios, bases, transformaciones lineales, espacio dual y producto interno se aplican de manera análoga:
     • Espacio Dual: El espacio dual de $\mathbb{C}^2$ (sobre $\mathbb{R}$) también tendrá dimensión 4. Es el conjunto de todas las formas lineales $f: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{R}$.
     • Base Canónica: Se puede establecer una base canónica de 4 vectores en $\mathbb{C}^2$ (como espacio real), por ejemplo, ${(1,0), (i,0), (0,1), (0,i)}$ [No directamente en las fuentes, pero es la interpretación lógica de $\mathbb{C}^n$ sobre $\mathbb{R}$ como $2n$ dimensión].
     • Anti-imagen (Núcleo): Una forma lineal no nula en $\mathbb{C}^2$ (sobre $\mathbb{R}$) tendrá un núcleo de dimensión 3, que es un hiperplano.
     • Producto Interno: Se puede definir un producto interno euclidiano canónico en $\mathbb{C}^2$ (identificándolo con $\mathbb{R}^4$), como $\langle u, v \rangle = x_1a_1 + y_1b_1 + x_2a_2 + y_2b_2$ para $u=(x_1+iy_1, x_2+iy_2)$ y $v=(a_1+ib_1, a_2+ib_2)$. Este producto interno cumple las propiedades de bilinealidad, simetría y positividad definida.
     • Teorema de Representación de Riesz: Dado que $\mathbb{C}^2$ sobre $\mathbb{R}$ puede dotarse de un producto interno (lo convierte en un espacio euclidiano), el Teorema de Representación de Riesz asegura que existe un isomorfismo canónico entre el espacio y su dual, que no depende de la elección de la base, sino de la estructura del producto interno.

En resumen, pensar en $\mathbb{C}^2$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ es como ver una "sombra" de 4 dimensiones de un objeto que inherentemente tiene 2 "coordenadas complejas". Aunque las "etiquetas" de los vectores sean diferentes (pares de complejos vs. cuaternas de reales), las reglas del juego son idénticas, y cualquier análisis que hagas en uno tendrá un reflejo directo y consistente en el otro.

PREGUNTA:

¿Porqué al definir el producto escalar en un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos intervienen los conjugados de los escalares o de las coordenadas? ¿Podría hacerse $u_1 v_1 + u_2 v_2$ en lugar de $u_1 \overline{v_1}  +   u_2  \overline{v_2} , $ o incluso $<b, a> = <a, b> $ en lugar de $<b,a>= \overline{<a,b>} ? $ 

¡Tu pregunta es muy pertinente y toca el corazón de la definición de producto interno en espacios vectoriales complejos! La introducción de los conjugados y la simetría conjugada (también llamada hermiticidad) es crucial para asegurar que el producto interno tenga las propiedades deseables que le confieren una interpretación geométrica de "longitud" y "ángulo", análoga a la que tenemos en espacios reales como $\mathbb{R}^n$.

Para entenderlo, desglosaremos la definición y las implicaciones de tus propuestas:

El Producto Interno en un Espacio Vectorial Complejo

Un producto interno (o producto escalar) en un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $F$ (que puede ser $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) es una función que asigna a cada par ordenado de vectores $\alpha, \beta \in V$ un escalar $(\alpha | \beta) \in F$. Esta función debe satisfacer las siguientes propiedades fundamentales:

1. Linealidad en el primer argumento: Para cualesquiera vectores $\alpha, \beta, \gamma \in V$ y cualquier escalar $c \in F$:
   • $(\alpha + \beta | \gamma) = (\alpha | \gamma) + (\beta | \gamma)$.
   • $(c\alpha | \beta) = c(\alpha | \beta)$.
2. Simetría conjugada (Hermiticidad): Para cualesquiera vectores $\alpha, \beta \in V$:
   • $(\beta | \alpha) = \overline{(\alpha | \beta)}$. (La barra indica el conjugado complejo. Si el cuerpo es $\mathbb{R}$, el conjugado de un número real es el mismo número, por lo que esta propiedad se reduce a la simetría simple: $(\beta | \alpha) = (\alpha | \beta)$).
3. Positividad definida: Para cualquier vector $\alpha \in V$:
   • $(\alpha | \alpha) \geq 0$.
   • $(\alpha | \alpha) = 0$ si y solo si $\alpha = \mathbf{0}$ (el vector nulo).

De la linealidad en el primer argumento y la simetría conjugada, se deduce que el producto interno es antilineal en el segundo argumento para espacios complejos [conversación previa]: $(\alpha | c\beta) = \overline{(c\beta | \alpha)} = \overline{c(\beta | \alpha)} = \overline{c} \overline{(\beta | \alpha)} = \overline{c}(\alpha | \beta)$. Algunas fuentes, especialmente en física, definen el producto interno como lineal en el segundo argumento y antilineal en el primero, pero esto es solo una convención de notación.

¿Por qué intervienen los conjugados?

La razón principal por la que intervienen los conjugados es para asegurar la propiedad de positividad definida (propiedad 3), que es fundamental para que podamos definir la longitud o norma de un vector.

La norma (longitud) de un vector $\alpha$ se define como $||\alpha|| = \sqrt{(\alpha | \alpha)}$. Para que esta norma sea un número real y no negativo, la expresión $(\alpha | \alpha)$ debe ser un número real no negativo.

Consideremos el producto interno canónico en $\mathbb{C}^n$, que es el ejemplo más relevante para tu pregunta: $\langle u, v \rangle = u_1 \overline{v_1} + u_2 \overline{v_2} + \ldots + u_n \overline{v_n}$.

Si calculamos el producto interno de un vector consigo mismo, $\langle u, u \rangle$: $\langle u, u \rangle = u_1 \overline{u_1} + u_2 \overline{u_2} + \ldots + u_n \overline{u_n}$. Recordando que para cualquier número complejo $z$, $z \overline{z} = |z|^2$, obtenemos: $\langle u, u \rangle = |u_1|^2 + |u_2|^2 + \ldots + |u_n|^2$.

Cada término $|u_i|^2$ es un número real y no negativo. Por lo tanto, su suma $\sum |u_i|^2$ es también un número real y no negativo. Esto satisface la propiedad de positividad definida. Si no se usaran los conjugados, esta propiedad no se cumpliría.

¿Podría hacerse $u_1 v_1 + u_2 v_2$?

No, esta definición no funcionaría como un producto interno para un espacio vectorial complejo porque violaría la propiedad de positividad definida. Considera un vector simple, por ejemplo, $u = (i, 0)$ en $\mathbb{C}^2$. Si utilizáramos tu propuesta $\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2$: $\langle u, u \rangle = u_1 u_1 + u_2 u_2 = i \cdot i + 0 \cdot 0 = i^2 = -1$. El resultado es $-1$, que es un número real, pero negativo. Esto contradice directamente el requisito de que $(\alpha | \alpha) \geq 0$ para todo $\alpha \in V$, y estrictamente positivo para $\alpha \neq \mathbf{0}$. Este tipo de función (sin conjugados) se conoce como una forma bilineal, y aunque es útil en otros contextos, no es un producto interno en un espacio complejo precisamente por esta razón. Un producto interno en un espacio complejo es una forma sesquilineal definida positiva.

¿Podría hacerse $\langle b, a \rangle = \langle a, b \rangle$ en lugar de $\langle b, a \rangle = \overline{\langle a, b \rangle}$?

Si se exigiera la simetría estricta ($\langle b, a \rangle = \langle a, b \rangle$) en un espacio vectorial complejo, además de la linealidad en el primer argumento y la positividad definida, surgirían inconsistencias o se forzaría que el producto interno fuera siempre un número real, perdiendo la naturaleza compleja que se busca modelar.

Si tuviéramos tanto $\langle b, a \rangle = \langle a, b \rangle$ (simetría estricta) como $\langle b, a \rangle = \overline{\langle a, b \rangle}$ (simetría conjugada), esto implicaría que $\langle a, b \rangle = \overline{\langle a, b \rangle}$. Esto significa que el resultado del producto interno $\langle a, b \rangle$ siempre tendría que ser un número real.

Si bien es posible definir un producto interno con valores reales en un espacio vectorial complejo (al considerarlo como un espacio vectorial real subyacente de mayor dimensión, como $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$ es $\mathbb{R}^2$), el objetivo de un producto interno complejo es que su resultado pueda ser un número complejo en general. Esta capacidad es fundamental en muchas áreas, como la mecánica cuántica, donde los productos internos representan amplitudes de probabilidad complejas.

La propiedad de simetría conjugada es la adaptación natural de la simetría para los espacios complejos, garantizando la consistencia con la definición de la norma y permitiendo que el producto de dos vectores sea, en general, un número complejo, mientras que el producto de un vector consigo mismo siempre sea un número real no negativo.

En resumen, la introducción de los conjugados y la simetría conjugada es una necesidad matemática para que el concepto de producto interno sea consistente y preserve las propiedades fundamentales de "longitud" y "positividad" cuando se trabaja con números complejos, sin forzar a que los resultados sean siempre reales.