Curso breve de mecánica cuántica

 Notebook LM (sobre los apuntes de Enrique Borja de cuentos cuánticos)

INDICACIÓN:
Explícame con detalle la identidad de cierre

RESPUESTA

La identidad de cierre, también conocida como la relación de cierre o de completitud, es un concepto fundamental en el formalismo matemático de la mecánica cuántica y la computación cuántica. Se utiliza para expresar el operador identidad (𝕀) en términos de una base ortonormal de un espacio vectorial.

Aquí te detallo sus aspectos clave:

• Definición y Expresión:

  • La identidad de cierre se define como la suma de productos ket-bra de los elementos de una base ortonormal.
  • Si tenemos un espacio vectorial de dimensión finita con una base ortonormal compuesta por los vectores ${|\phi_i\rangle}{i=1}^n$, la identidad (𝕀) se puede escribir como: **𝕀 = ∑{i=1}^{n} |φ_i⟩⟨φ_i|**
  • Para un espacio de dos dimensiones complejas, como el que se usa a menudo en la computación cuántica (por ejemplo, con la base canónica $|0\rangle$ y $|1\rangle$), la relación de cierre es: 𝕀 = |0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|

• Componentes de la Expresión:

  • Producto Ket-Bra (|φ⟩⟨φ|): Un producto de un ket por un bra (en ese orden) define un operador. Este operador actúa sobre un vector, devolviendo otro vector proporcional al ket del producto original. Por ejemplo, $| \psi \rangle \langle \phi |$ actuando sobre un ket $| \chi \rangle$ daría $ \langle \phi | \chi \rangle | \psi \rangle$.
  • Base Ortonormal: La validez de esta relación se basa en que los vectores de la base son ortonormales. Esto significa que son mutuamente ortogonales (su producto interno es nulo si son diferentes, $\langle\phi_i|\phi_j\rangle = 0$ si $i \ne j$) y normalizados (su módulo es 1, $\langle\phi_i|\phi_i\rangle = 1$).

• Significado y Utilidad:

  • Actuación como Identidad: Cuando este operador (la suma de los productos ket-bra) actúa sobre cualquier vector genérico del espacio, devuelve el mismo vector. Por ejemplo, si aplicas 𝕀 a un estado $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$: 𝕀$|\psi\rangle$ = $(|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|)(\alpha|0⟩ + \beta|1⟩)$ = $\alpha|0⟩⟨0|0⟩ + \beta|0⟩⟨0|1⟩ + \alpha|1⟩⟨1|0⟩ + \beta|1⟩⟨1|1⟩$ Dado que la base es ortonormal ($\langle0|0\rangle=1$, $\langle0|1\rangle=0$, $\langle1|0\rangle=0$, $\langle1|1\rangle=1$), esto se simplifica a: = $\alpha|0⟩(1) + \beta|0⟩(0) + \alpha|1⟩(0) + \beta|1⟩(1)$ = $\alpha|0⟩ + \beta|1⟩ = |\psi\rangle$ Esto demuestra por qué es el operador identidad.
  • Representación de Vectores: Permite expresar un vector en términos de sus componentes en una base dada. Por ejemplo, $|\psi\rangle = \sum_i \langle\phi_i|\psi\rangle |\phi_i\rangle$, donde $\langle\phi_i|\psi\rangle$ es la componente (coeficiente) de $|\psi\rangle$ a lo largo del vector base $|\phi_i\rangle$.
  • Construcción de Matrices de Operadores: Es crucial para obtener la representación matricial de cualquier operador. Los elementos de la matriz $A_{ij}$ de un operador $\hat{A}$ en una base ${|e_i\rangle}$ se calculan como $\langle e_i|\hat{A}|e_j\rangle$. La relación de cierre se usa para "expandir" el operador en términos de la base y derivar explícitamente su forma matricial.
  • Cambio de Base: Es indispensable para realizar cambios entre diferentes bases. Permite expresar los vectores de una base en términos de los vectores de otra, y la matriz de cambio de base (que es una matriz unitaria) se construye a partir de los productos internos de los vectores de ambas bases.

En esencia, la identidad de cierre es una herramienta matemática que subraya la completitud de una base ortonormal en un espacio de Hilbert. Es un puente entre la representación abstracta de los estados cuánticos (kets) y operadores, y sus representaciones concretas (componentes y matrices).

Puedes imaginar la identidad de cierre como una especie de "mapa GPS universal" para un espacio vectorial. Así como un GPS puede descomponer cualquier ubicación en coordenadas (longitud, latitud) y luego reconstruirla a partir de esas coordenadas, la identidad de cierre puede descomponer cualquier estado cuántico en las "coordenadas" de una base específica (sus coeficientes) y luego reconstruir el estado original a partir de ellas, sin importar la base ortonormal que elijas. Si cambias la base, es como si cambiaras el sistema de coordenadas de tu GPS; el "mapa" (la identidad de cierre) se ajusta para que sigas viendo la misma ubicación (el mismo estado) de manera consistente.