Anillos cuadráticos y similares

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¿Qué es un cuerpo de números?

Un cuerpo de números (o campo de números) es una extensión finita del cuerpo $\mathbb{Q}$ de los números racionales, contenida en el cuerpo de los números complejos $\mathbb{C}$. En otras palabras, es un subcuerpo de $\mathbb{C}$ de dimensión finita como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$.

Propiedades y características clave de un cuerpo de números:

Generación por números algebraicos: Todo cuerpo de números $K$ puede expresarse como $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ para algún número algebraico $\alpha$. Un número algebraico es un número complejo que es raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros.
- La dimensión de $K$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, denotada $[K:\mathbb{Q}]$, es el grado de la extensión. Este grado es igual al grado del polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}$.
- Los elementos de un cuerpo de números son de la forma $a_0 + a_1\alpha + \dots + a_{n-1}\alpha^{n-1}$, donde $a_i \in \mathbb{Q}$ y $n$ es el grado de la extensión.
Anillo de enteros: Un concepto fundamental asociado a cada cuerpo de números $K$ es su anillo de enteros, denotado $O_K$ (o $\mathcal{O}_K$).
- El anillo de enteros $O_K$ se define como el conjunto de enteros algebraicos contenidos en $K$. Los enteros algebraicos son raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros.
- $O_K$ es un dominio de integridad y es la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $K$.
- La norma y la traza de cualquier elemento de $O_K$ son números enteros racionales.
- Las unidades (elementos invertibles) en $O_K$ son los elementos $x$ tales que su norma $N(x) = \pm 1$.
- Si la norma de un elemento $x \in O_K$ es un número primo en $\mathbb{Z}$, entonces $x$ es un elemento irreducible en $O_K$.
Propiedades de factorización:
- El anillo de enteros $O_K$ es un dominio de Dedekind, lo que implica que cada ideal no nulo puede factorizarse de manera única como producto de ideales primos.
- Sin embargo, $O_K$ no necesariamente es un dominio de factorización única (DFU) en términos de elementos, a diferencia de $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es un DFU.
- La "distancia" de $O_K$ a ser un DFU (o un dominio de ideales principales, DIP) se mide por el grupo de clases. Este grupo de clases es siempre finito.
- Todo cuerpo de números tiene una base entera, lo que significa que su anillo de enteros $O_K$ es un grupo abeliano libre de rango $n = [K:\mathbb{Q}]$.

Ejemplos de cuerpos de números:

Cuerpos cuadráticos: Son los cuerpos de la forma $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, donde $d$ es un entero libre de cuadrados (no divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1) distinto de 0 y 1.
- Si $d > 0$, se les llama cuerpos cuadráticos reales (están formados solo por números reales).
- Si $d < 0$, se les llama cuerpos cuadráticos imaginarios o complejos (contienen números imaginarios).
- El anillo de enteros para $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ si $d \not\equiv 1 \pmod 4$, y $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$ si $d \equiv 1 \pmod 4$. Por ejemplo, para $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, $d=-2 \not\equiv 1 \pmod 4$, por lo que su anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
Cuerpos ciclotómicos: Son los cuerpos de la forma $\mathbb{Q}(\zeta_m)$, donde $\zeta_m = e^{2\pi i/m}$ es una raíz $m$-ésima primitiva de la unidad. El grado de esta extensión es $\varphi(m)$, donde $\varphi$ es la función de Euler.

Los cuerpos de números son el principal objeto de estudio de la teoría algebraica de números, y su análisis proporciona "implicaciones nada triviales sobre la aritmética de los números enteros".

¿Cómo se halla la norma en el anillo de enteros de un cuerpo cuadrático?¿Es la misma norma la del anillo de enteros que la del cuerpo cuadrático? ¿Qué relación tiene la norma con las unidades? ¿Y en los cuerpos ciclotómicos, se contestan igual todas esas preguntas?

Para trabajar los conceptos de primo e irreducible en un anillo, es fundamental comprender cómo se define la norma de sus elementos, especialmente en el contexto de los anillos de enteros de cuerpos numéricos, como los cuerpos cuadráticos y ciclotómicos. La norma es una herramienta crucial para el estudio de la aritmética en estos anillos, incluyendo la determinación de unidades y la factorización.

La Norma en el Anillo de Enteros de un Cuerpo Cuadrático

¿Cómo se halla la norma? Un cuerpo cuadrático es una extensión de grado dos sobre los números racionales $\mathbb{Q}$, y puede construirse tomando el cuerpo de números $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, donde $d$ es un entero libre de cuadrados ($d \neq 0, 1$). El anillo de enteros de un cuerpo cuadrático $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$, denotado $O_K$ o $\mathbb{Z}[\omega]$, es el conjunto de enteros algebraicos contenidos en $K$.

La norma de un elemento $\alpha = a + b\sqrt{d}$ en un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ se define como $N(\alpha) = (a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$. Esta norma es multiplicativa, es decir, $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.

El anillo de enteros $\mathbb{Z}[\omega]$ depende del valor de $d$ módulo 4:
- Si $d \equiv 2, 3 \pmod{4}$, entonces $\omega = \sqrt{d}$, y los elementos de $O_K$ son de la forma $a + b\sqrt{d}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$. La norma de $\alpha = a + b\sqrt{d}$ es $N(\alpha) = a^2 - db^2$.
- Si $d \equiv 1 \pmod{4}$, entonces $\omega = \frac{1+\sqrt{d}}{2}$, y los elementos de $O_K$ son de la forma $a + b\omega$ con $a, b \in \mathbb{Z}$. En este caso, la norma de $\alpha = a + b\left(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right)$ es $N(\alpha) = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 - d\left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 + ab + \frac{1-d}{4}b^2$.
¿Es la misma norma la del anillo de enteros que la del cuerpo cuadrático? La función norma se define primero para el cuerpo cuadrático $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Esta función mapea elementos de $K$ a $\mathbb{Q}$. Cuando se restringe esta función al anillo de enteros $O_K$, la norma de un elemento en $O_K$ siempre será un número entero racional. En los cuerpos cuadráticos imaginarios ($d < 0$), la norma $N(a+bi) = a^2+b^2$ es el cuadrado de la distancia habitual desde el origen y es siempre no negativa, lo que la convierte en un número natural. Por lo tanto, es la misma función norma, pero cuando se aplica a los elementos del anillo de enteros, su co-dominio se reduce de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Z}$ (o $\mathbb{N}$ si $d<0$).
¿Qué relación tiene la norma con las unidades? Un elemento $\epsilon$ en el anillo de enteros $O_K$ es una unidad (es decir, tiene un inverso multiplicativo en $O_K$) si y solo si su norma es $\pm 1$.
- En cuerpos cuadráticos imaginarios, las unidades son finitas, y se calcula que para $d=-1$ (enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$), las unidades son $\pm 1, \pm i$. Para $d=-3$ (enteros de Eisenstein $\mathbb{Z}[\zeta]$), las unidades son $\pm 1, \pm \zeta, \pm \zeta^2$ (que son las seis raíces sextas de la unidad).
- En cuerpos cuadráticos reales, el grupo de unidades puede ser infinito, como en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ o $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$. La existencia de unidades distintas de $\pm 1$ está garantizada en cualquier cuerpo cuadrático real. Estas unidades se pueden expresar como $\pm \eta^n$, donde $\eta$ es una unidad fundamental.
La norma también es útil para identificar elementos irreducibles: si la norma de un elemento $x$ en un anillo de enteros $O_K$ es un número primo racional, entonces $x$ es irreducible en $O_K$.

La Norma en los Cuerpos Ciclotómicos

Las preguntas sobre la norma se responden de manera similar en los cuerpos ciclotómicos, pero con una definición de norma más general:

¿Cómo se halla la norma? Un cuerpo ciclotómico $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ es una extensión de $\mathbb{Q}$ generada por una raíz $m$-ésima primitiva de la unidad, $\zeta_m = e^{2\pi i/m}$. El anillo de enteros de un cuerpo ciclotómico $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ es $\mathbb{Z}[\zeta_m]$. La norma de un número ciclotómico $\alpha$ de orden $p$ (para $p$ primo) se define como el producto de todos sus conjugados: $N(\alpha) = \prod_{j \in U_p} \sigma_j(\alpha)$, donde $\sigma_j$ son los automorfismos de Galois que envían $\zeta_p$ a $\zeta_p^j$. La norma de un entero ciclotómico es un número entero racional. Además, la norma es siempre no negativa para los enteros ciclotómicos.
¿Es la misma norma la del anillo de enteros que la del cuerpo ciclotómico? Al igual que en los cuerpos cuadráticos, la función norma se define para el cuerpo ciclotómico y luego se restringe a su anillo de enteros. El co-dominio de la norma para elementos en el cuerpo es $\mathbb{Q}$, mientras que para elementos en el anillo de enteros es $\mathbb{Z}$ (o $\mathbb{N}$ dado que es no negativa).
¿Qué relación tiene la norma con las unidades? Un entero ciclotómico $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_m]$ es una unidad si y solo si su norma es 1. Este es un resultado general para los anillos de enteros de cuerpos numéricos. Sin embargo, el comportamiento de las unidades en los anillos ciclotómicos puede ser más complejo. Por ejemplo, el anillo de los enteros ciclotómicos de orden 5 ($\mathbb{Z}[\omega]$ donde $\omega = \zeta_5$) contiene al anillo de enteros de un cuerpo cuadrático real $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ (que es $\mathbb{Z}[\epsilon]$ donde $\epsilon = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$). Dado que $\mathbb{Z}[\epsilon]$ tiene infinitas unidades, el anillo de enteros ciclotómicos de orden 5 también tiene infinitas unidades. El Teorema de las Unidades de Dirichlet describe la estructura del grupo de unidades en general, afirmando que es un grupo abeliano finitamente generado.

En resumen, la norma es una función fundamental que se define para el cuerpo numérico y luego se restringe al anillo de enteros, mapeando los elementos del anillo de enteros a números enteros. Esta propiedad permite caracterizar las unidades como aquellos elementos cuya norma es $\pm 1$ (o $1$ si la norma es siempre positiva) y juega un papel crucial en el estudio de la factorización y la aritmética de estos anillos.

Has escrito que " En los cuerpos cuadráticos imaginarios (d<0), la norma

N(a+bi)=a2+b2

es el cuadrado de la distancia habitual desde el origen y es siempre no negativa, lo que la convierte en un número natural". ¿Se puede aplicar eso a d=-3? Hazlo, para poder localizar un fallo, si lo hay.

El enunciado que mencionaste, "En los cuerpos cuadráticos imaginarios ($d<0$), la norma $N(a+bi)=a^2+b^2$ es el cuadrado de la distancia habitual desde el origen y es siempre no negativa, lo que la convierte en un número natural" [Previous conversation], contiene una generalización que no se aplica directamente a todos los cuerpos cuadráticos imaginarios, como en el caso de $d=-3$. Permíteme explicarte y aplicar la norma para el caso $d=-3$.

La definición general de la norma en un cuerpo cuadrático $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$: La norma de un elemento $\alpha = a + b\sqrt{d}$ en un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ se define como $N(\alpha) = (a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$. Esta función norma siempre es multiplicativa, es decir, $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.
El caso específico $d=-1$ (Enteros Gaussianos): Para el cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, los elementos se expresan comúnmente como $a+bi$ donde $i=\sqrt{-1}$. El anillo de enteros en este caso es $\mathbb{Z}[i]$. Si aplicamos la definición general de la norma con $d=-1$: $N(a+bi) = a^2 - (-1)b^2 = a^2 + b^2$. En este caso, la norma $N(a+bi) = a^2+b^2$ sí representa el cuadrado de la distancia habitual desde el origen en el plano complejo, y es siempre no negativa.
El caso $d=-3$ (Enteros de Eisenstein): Aquí es donde la expresión de la norma difiere. El cuerpo cuadrático es $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. Sin embargo, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ no es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, sino $\mathbb{Z}[\omega]$, donde $\omega = \frac{1+\sqrt{-3}}{2}$. Esta distinción es crucial porque $d \equiv 1 \pmod 4$. Los elementos de este anillo de enteros, llamados enteros de Eisenstein, son de la forma $a+b\omega$ con $a, b \in \mathbb{Z}$. Para calcular la norma de $\alpha = a+b\omega$, podemos sustituir $\omega$: $\alpha = a + b\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right) = \left(a + \frac{b}{2}\right) + \left(\frac{b}{2}\right)\sqrt{-3}$. Ahora aplicamos la fórmula general de la norma $N(x+y\sqrt{d}) = x^2 - dy^2$ con $x = a + \frac{b}{2}$, $y = \frac{b}{2}$ y $d=-3$: $N(a+b\omega) = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 - (-3)\left(\frac{b}{2}\right)^2$. $= \left(a^2 + ab + \frac{b^2}{4}\right) + \left(\frac{3b^2}{4}\right)$ $= a^2 + ab + b^2$. Como puedes observar, la norma de un entero de Eisenstein $a+b\omega$ es $\mathbf{N(a+b\omega) = a^2+ab+b^2}$, que no es de la forma $a^2+b^2$.

A pesar de que la fórmula es diferente, la norma en cuerpos cuadráticos imaginarios ($d < 0$) siempre da un número entero no negativo. Para el caso de Eisenstein, $N(a+b\omega) = a^2+ab+b^2 = \left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$, lo cual es claramente no negativo.

En resumen, el "fallo" que podrías estar buscando es que la expresión específica $N(a+bi)=a^2+b^2$ solo es válida para los enteros gaussianos ($d=-1$). Para el cuerpo cuadrático imaginario $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\omega]$ y la norma de un elemento $a+b\omega$ es $a^2+ab+b^2$. La idea fundamental de que la norma mapea a números enteros y es no negativa en cuerpos imaginarios se mantiene, pero la expresión algebraica de la norma depende de la estructura particular del anillo de enteros, la cual a su vez depende de $d$ módulo 4.

¿Cuál es el anillo de enteros del cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$?

El anillo de enteros del cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

Para determinar el anillo de enteros de un cuerpo cuadrático de la forma $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, donde $d$ es un entero libre de cuadrados, se sigue la siguiente regla:

Si $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$.
Si $d \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$.

En el caso de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$:

El valor de $d$ es $3$.
Al calcular $3 \pmod 4$, obtenemos $3$.
Dado que $3 \equiv 3 \pmod 4$, se aplica el primer caso de la regla.

Por lo tanto, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$. Este anillo está formado por todos los números de la forma $a+b\sqrt{3}$, donde $a$ y $b$ son enteros racionales.

Como hemos conversado, un cuerpo de números es una extensión finita del cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$, y los cuerpos cuadráticos son un ejemplo de estos cuerpos [conversación previa, 381]. El anillo de enteros de un cuerpo de números $K$, denotado $O_K$ o $\mathcal{O}_K$, es el conjunto de enteros algebraicos contenidos en $K$ [conversación previa, 99, 336, 567]. En el caso de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$, $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{3}]} = \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es un subanillo del cuerpo $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ y es la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$.

¿Qué significa "clausura entera" en la frase En el caso de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$, $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{3}]} = \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es un subanillo del cuerpo $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ y es la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ ?

En el contexto de los cuerpos de números y sus anillos de enteros, la frase "clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$" se refiere al conjunto de todos los enteros algebraicos que están contenidos en el cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$.

Para entender esto, desglosemos los términos clave:

Entero algebraico: Un número complejo $\alpha$ es un entero algebraico si es la raíz de algún polinomio mónico (es decir, con coeficiente principal 1) cuyos demás coeficientes son números enteros. Este concepto se puede generalizar: un elemento $\alpha$ de un anillo $B$ es entero sobre un subanillo $A$ si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en $A$. Los enteros algebraicos son, por tanto, los elementos de $\mathbb{C}$ que son enteros sobre $\mathbb{Z}$.
- Una propiedad fundamental es que un número algebraico $\alpha$ es entero algebraico si y solo si su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ tiene coeficientes enteros.
- El conjunto de todos los enteros algebraicos forma un anillo.
Anillo de Enteros de un Cuerpo de Números ($O_K$): Dado un cuerpo de números $K$ (una extensión finita de $\mathbb{Q}$ contenida en $\mathbb{C}$ [conversación previa, 384]), su anillo de enteros $O_K$ (o $\mathcal{O}_K$) se define como el conjunto de todos los enteros algebraicos que pertenecen a $K$.
- Por definición, el anillo de enteros $O_K$ es un subanillo del cuerpo $K$.
Clausura Entera (o Clausura Integral): En un sentido más general, la clausura entera de un anillo $A$ en un anillo más grande $B$ (que contiene a $A$) es el conjunto de todos los elementos de $B$ que son enteros sobre $A$. Si este conjunto coincide con $A$ mismo, se dice que $A$ es íntegramente cerrado en $B$.

Aplicación a $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$:

Contexto: El cuerpo $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ es un cuerpo cuadrático [conversación previa, 220, 224, 268, 391], lo que significa que es un subcuerpo de $\mathbb{C}$ de dimensión dos como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial [conversación previa, 20, 220, 268, 391]. Todo cuerpo cuadrático puede expresarse como $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ para algún entero $d$ libre de cuadrados (no divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1) [conversación previa, 21, 22, 224, 234, 242, 250, 265, 269, 391, 408]. En este caso, $d=3$.
Determinación del Anillo de Enteros: Para un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, el anillo de enteros $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ se determina según el valor de $d$ módulo 4 [conversación previa, 222, 225, 237, 245, 253, 265, 392, 410, 517]:
- Si $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ [conversación previa, 222, 225, 237, 245, 253, 265, 392, 410].
- Si $d \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$ [conversación previa, 222, 225, 237, 245, 253, 265, 392, 410].
Para $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$: Dado que $d=3$ y $3 \equiv 3 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ [conversación previa]. Esto significa que los elementos de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ que son enteros algebraicos son precisamente los de la forma $a+b\sqrt{3}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$ [conversación previa, 235, 244, 252].
Conclusión: La frase "es la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$" significa que $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es el conjunto más grande de elementos dentro de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ que se comportan como "enteros" con respecto a los enteros racionales $\mathbb{Z}$. Es decir, cualquier elemento $\alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ que sea raíz de un polinomio mónico con coeficientes en $\mathbb{Z}$ (o cuyo polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ tenga coeficientes en $\mathbb{Z}$), debe pertenecer a $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

Importancia: Este concepto es fundamental en la teoría algebraica de números porque los anillos de enteros de los cuerpos de números, como $O_K$, tienen propiedades aritméticas importantes. Por ejemplo, son dominios de Dedekind, lo que implica que cada ideal no nulo puede factorizarse de manera única como producto de ideales primos [conversación previa]. La "clausura entera" es una de las condiciones necesarias para que un dominio sea de Dedekind. Esto permite extender muchas ideas de la aritmética de los números enteros racionales ($\mathbb{Z}$) a estos anillos más generales, aunque con algunas diferencias (como la posible falta de factorización única de elementos) [conversación previa, 19].

Halla la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$

Para hallar la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, debemos determinar el anillo de enteros de este cuerpo cuadrático, el cual se denota como $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{5}]}$ o $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{5}]}$.

Aquí tienes un razonamiento detallado basado en la información de las fuentes y nuestra conversación previa:

Concepto de Clausura Entera:
- La clausura entera de $\mathbb{Z}$ en un cuerpo de números $K$ (como $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$) es el conjunto de todos los enteros algebraicos que pertenecen a ese cuerpo $K$.
- Un entero algebraico es un número complejo $\alpha$ que es raíz de un polinomio mónico (con coeficiente principal 1) cuyos demás coeficientes son números enteros. Por ejemplo, un número racional $a \in \mathbb{Q}$ es un entero algebraico si y solo si $a \in \mathbb{Z}$.
- El conjunto de todos los enteros algebraicos en un cuerpo de números forma un subanillo de dicho cuerpo. Este subanillo es conocido como el anillo de enteros del cuerpo.
Determinación del Anillo de Enteros para Cuerpos Cuadráticos en General:
- Un cuerpo cuadrático es una extensión de $\mathbb{Q}$ de la forma $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, donde $d$ es un entero libre de cuadrados (es decir, no es divisible por el cuadrado de ningún entero distinto de 1). En este caso, $d=5$.
- La forma del anillo de enteros $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ depende del valor de $d$ módulo 4:
  - Si $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$. Sus elementos son de la forma $a+b\sqrt{d}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$.
  - Si $d \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]$. Sus elementos son de la forma $a+b\left(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right)$ con $a, b \in \mathbb{Z}$.
Aplicación al caso $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$:
- En este caso, $d=5$.
- Comprobamos $d \pmod 4$: $5 \equiv 1 \pmod 4$.
- Dado que $5 \equiv 1 \pmod 4$, se aplica la segunda regla.
- Por lo tanto, la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ es el anillo $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$.

Detalles y Consideraciones Adicionales:

El elemento $\omega = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es un entero algebraico porque es raíz del polinomio mónico $x^2-x-1=0$, cuyos coeficientes son enteros. Por esta razón, $\omega$ debe estar incluido en el anillo de enteros.
Es importante destacar que el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ (formado por elementos $a+b\sqrt{5}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$) no es la clausura entera completa de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$. Aunque $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ es un subanillo del cuerpo, no contiene a todos los enteros algebraicos del cuerpo. Por ejemplo, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es un entero algebraico en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, pero no es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ porque sus coeficientes no son ambos enteros. La elección correcta para el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ es $\mathbb{Z}[\omega]$.
Las unidades en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ son de la forma $x+y\omega$ tales que su norma $N(x+y\omega) = x^2+xy-y^2 = \pm 1$. La unidad fundamental es $\omega$ misma.

En resumen, la clausura entera de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ es $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$, un anillo cuyos elementos son de la forma $a + b\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ con $a, b \in \mathbb{Z}$.

Estoy trabajando en $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ Quiero encontrar un subanillo de dicho cuerpo tal que su cuerpo de fracciones coincida con el cuerpo con el que trabajamos.

Razona el asunto en general y luego desarrolla en detalle los casos d=-1, d=2, d=-2, d=3, d=-3

Para el cuerpo $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, un subanillo clave cuyo cuerpo de fracciones coincide con $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es su anillo de enteros.

A continuación, se detalla el razonamiento en general y luego se desarrollan los casos específicos solicitados:

El concepto de Cuerpo de Fracciones y Anillo de Enteros

Cuerpo de Fracciones: Dado un dominio de integridad (un anillo conmutativo con identidad y sin divisores de cero) $\mathcal{A}$, su cuerpo de fracciones (o cuerpo de cocientes) es el menor cuerpo que contiene a $\mathcal{A}$. Se construye a partir de pares ordenados de elementos de $\mathcal{A}$ (fracciones $a/b$, con $b \neq 0$) con las operaciones usuales de suma y producto de fracciones. El cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ es el cuerpo de fracciones del anillo de los números enteros $\mathbb{Z}$.
Anillo de Enteros de un Cuerpo Cuadrático: Un cuerpo cuadrático $K$ es una extensión de grado dos sobre $\mathbb{Q}$, de la forma $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, donde $d$ es un entero libre de cuadrados (es decir, no es divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1). El anillo de enteros de un cuerpo de números $K$, denotado $O_K$ o $\mathcal{O}_K$, es el conjunto de todos los enteros algebraicos contenidos en $K$ [conversación previa, 567; 397, 519]. Un número es un entero algebraico si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros. El anillo de enteros $O_K$ es un subanillo del cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ y, crucialmente, es la clausura integral (o entera) de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$. Además, $O_K$ es un dominio de integridad y un dominio de Dedekind, lo que implica que es íntegramente cerrado sobre su cuerpo de fracciones.

Por lo tanto, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es el subanillo cuyo cuerpo de fracciones coincide con $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$. La determinación de este anillo depende del valor de $d$ módulo 4:

Si $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$.
Si $d \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]}$.

Casos en Detalle

A continuación, se aplica esta regla para los valores de $d$ solicitados:

1. Caso $d = -1$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]$

Determinación del anillo de enteros: Para $d = -1$, tenemos $-1 \equiv 3 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$, que se conoce comúnmente como el anillo de los enteros gaussianos, denotado $\mathbb{Z}[i]$. Sus elementos son de la forma $a+bi$, donde $a, b \in \mathbb{Z}$.
Propiedades: $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio euclídeo (DE) con la norma $N(a+bi) = a^2+b^2$. Al ser un dominio euclídeo, es también un dominio de ideales principales (DIP) y, por ende, un dominio de factorización única (DFU). Esto significa que los enteros gaussianos tienen propiedades aritméticas muy similares a las de los enteros racionales, incluyendo la descomposición única en factores primos.

2. Caso $d = 2$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$

Determinación del anillo de enteros: Para $d = 2$, tenemos $2 \equiv 2 \pmod 4$. Así, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{2}]}$. Sus elementos son de la forma $a+b\sqrt{2}$, con $a, b \in \mathbb{Z}$.
Propiedades: $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio euclídeo con el valor absoluto de la norma. Los dominios euclídeos son DFU, por lo que también posee factorización única. Las unidades en este anillo son los elementos $x+y\sqrt{2}$ tales que $x^2-2y^2=\pm 1$.

3. Caso $d = -2$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{-2}]$

Determinación del anillo de enteros: Para $d = -2$, tenemos $-2 \equiv 2 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]}$. Sus elementos son de la forma $a+b\sqrt{-2}$, con $a, b \in \mathbb{Z}$.
Propiedades: $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es un dominio euclídeo. Las unidades son los elementos $a+b\sqrt{-2}$ tales que $N(a+b\sqrt{-2}) = a^2+2b^2 = \pm 1$. Dado que $a,b$ son enteros, las únicas soluciones son $a=\pm 1, b=0$, lo que implica que las únicas unidades son $\pm 1$. Al ser euclídeo, es un DFU.

4. Caso $d = 3$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$

Determinación del anillo de enteros: Para $d = 3$, tenemos $3 \equiv 3 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{3}]}$ [conversación previa, 222, 225, 237, 245, 253, 265, 392, 410, 517, 534]. Sus elementos son de la forma $a+b\sqrt{3}$, con $a, b \in \mathbb{Z}$ [conversación previa, 235, 244, 252].
Propiedades: $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es un dominio euclídeo con el valor absoluto de la norma. Las unidades son de la forma $x+y\sqrt{3}$ tales que $x^2-3y^2=\pm 1$. Al ser euclídeo, es un DFU.

5. Caso $d = -3$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$

Determinación del anillo de enteros: Para $d = -3$, tenemos $-3 \equiv 1 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$. Este anillo es comúnmente conocido como el anillo de los enteros de Eisenstein, y sus elementos son de la forma $a+b\omega_E$, donde $\omega_E = \frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ (o a veces $\zeta = e^{2\pi i/3} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$) y $a, b \in \mathbb{Z}$. Cabe destacar que $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$ y $\mathbb{Z}[\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}]$ son el mismo anillo.
Propiedades: El anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ es un dominio euclídeo. Las unidades son los elementos $a+b\omega_E$ cuya norma es $\pm 1$. Para $d=-3$, las unidades son $\pm 1, \pm \omega_E, \pm \omega_E^2$ (que también se pueden expresar como $\pm 1, \pm \zeta, \pm \zeta^2$). Al ser un dominio euclídeo, es un DFU. De hecho, los dominios euclídeos mencionados para los valores de $d = -1, -2, -3, -7, -11$ son los únicos cuerpos cuadráticos imaginarios cuyos anillos de enteros son dominios euclídeos.

Cuando te hice la pregunta"Estoy trabajando en Q[d−−√] Quiero encontrar un subanillo de dicho cuerpo tal que su cuerpo de fracciones coincida con el cuerpo con el que trabajamos.

Razona el asunto en general y luego desarrolla en detalle los casos d=-1, d=2, d=-2, d=3, d=-3" Lo que esperaba, y sigo esperando, es que demuestres que el cuerpo de fracciones del anillo de enteros es $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ en el caso general y en los particulares que te he señalado

Para encontrar un subanillo de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ tal que su cuerpo de fracciones coincida con $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, es fundamental entender el concepto de cuerpo de fracciones y la definición del anillo de enteros de un cuerpo cuadrático.

Razonamiento General

Cuerpo de Fracciones: Dado un dominio de integridad (un anillo conmutativo con identidad y sin divisores de cero) $\mathcal{A}$, su cuerpo de fracciones (o cuerpo de cocientes) es el menor cuerpo que contiene a $\mathcal{A}$. Se construye formalmente a partir de pares ordenados de elementos de $\mathcal{A}$ (que representan fracciones $a/b$, con $b \neq 0$) con las operaciones usuales de suma y producto de fracciones. Un ejemplo clásico es que el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ es el cuerpo de fracciones del anillo de los números enteros $\mathbb{Z}$. Crucialmente, si $\mathbb{F}$ es ya un cuerpo, entonces su propio cuerpo de fracciones $Q(\mathbb{F})$ es $\mathbb{F}$ mismo.
Anillo de Enteros de un Cuerpo Cuadrático: Un cuerpo cuadrático $K$ es una extensión de grado dos sobre $\mathbb{Q}$, de la forma $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, donde $d$ es un entero libre de cuadrados (es decir, no es divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1). El anillo de enteros de un cuerpo de números $K$, denotado $O_K$ o $\mathcal{O}_K$, es el conjunto de todos los enteros algebraicos contenidos en $K$. Un número $\alpha$ es un entero algebraico si es raíz de un polinomio mónico (con coeficiente principal 1) con coeficientes enteros. El anillo de enteros $O_K$ es un subanillo de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ y es la clausura integral de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$.

La estructura de este anillo de enteros $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ depende del valor de $d$ módulo 4:
- Si $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$. Sus elementos son de la forma $a+b\sqrt{d}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$.
- Si $d \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]}$. Sus elementos son de la forma $a+b\left(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right)$ con $a, b \in \mathbb{Z}$.

El anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es el subanillo cuyo cuerpo de fracciones coincide con $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$.

Demostración de que el Cuerpo de Fracciones de $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ es $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$

Para demostrar que el cuerpo de fracciones de $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ es $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, debemos mostrar que:

$O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ es un subanillo de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$. Esto se desprende directamente de su construcción y definición.
Todo elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ puede expresarse como una fracción de elementos de $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$.

Consideremos un elemento arbitrario $\alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$. Por definición de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, $\alpha$ puede expresarse en la forma $r + s\sqrt{d}$, donde $r$ y $s$ son números racionales.

Dado que $r$ y $s$ son números racionales, podemos escribirlos con un denominador común. Es decir, existen enteros $A, B, C$ con $C \neq 0$ tales que $r = \frac{A}{C}$ y $s = \frac{B}{C}$. Sustituyendo esto en la expresión de $\alpha$: $$ \alpha = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}\sqrt{d} = \frac{A+B\sqrt{d}}{C} $$ Ahora, analizamos los dos casos para el anillo de enteros $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$:

Caso 1: $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$ El anillo de enteros es $\mathbf{O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]} = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$.
- El numerador $A+B\sqrt{d}$: Dado que $A$ y $B$ son enteros, $A+B\sqrt{d}$ es directamente de la forma $a+b\sqrt{d}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, $\mathbf{A+B\sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$.
- El denominador $C$: $C$ es un entero, y el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$ es un subanillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ (puesto que $a+0\sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ para cualquier $a \in \mathbb{Z}$). Por lo tanto, $\mathbf{C \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$.
- Así, cualquier elemento $\alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ puede expresarse como una fracción de dos elementos que pertenecen a $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$. Esto demuestra que $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.
Caso 2: $d \equiv 1 \pmod 4$ El anillo de enteros es $\mathbf{O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]} = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]}$. Sea $\omega = \frac{1+\sqrt{d}}{2}$.
- Podemos expresar $\sqrt{d}$ en términos de $\omega$: $\sqrt{d} = 2\omega - 1$.
- Sustituimos esta expresión en $\alpha = r+s\sqrt{d}$: $$ \alpha = r + s(2\omega - 1) = (r-s) + 2s\omega $$
- Como $r$ y $s$ son números racionales, $(r-s)$ y $2s$ también son racionales. Así, podemos encontrar enteros $A', B', C'$ con $C' \neq 0$ tales que $(r-s) = \frac{A'}{C'}$ y $2s = \frac{B'}{C'}$.
- Entonces, $\alpha$ puede reescribirse como: $$ \alpha = \frac{A'}{C'} + \frac{B'}{C'}\omega = \frac{A'+B'\omega}{C'} $$
- El numerador $A'+B'\omega$: Dado que $A'$ y $B'$ son enteros, $A'+B'\omega$ es de la forma $a+b\omega$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, $\mathbf{A'+B'\omega \in \mathbb{Z}[\omega]}$.
- El denominador $C'$: $C'$ es un entero, y los enteros $\mathbb{Z}$ son un subanillo de $\mathbb{Z}[\omega]$ (puesto que $a+0\omega \in \mathbb{Z}[\omega]$ para cualquier $a \in \mathbb{Z}$). Por lo tanto, $\mathbf{C' \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[\omega]}$.
- Así, cualquier elemento $\alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ puede expresarse como una fracción de dos elementos que pertenecen a $\mathbb{Z}[\omega]$. Esto demuestra que $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]$.

En ambos casos, hemos demostrado que cualquier elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ puede formarse como una fracción de elementos del anillo de enteros correspondiente, confirmando que el cuerpo de fracciones del anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es precisamente $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$.

Casos en Detalle

A continuación, aplicamos este razonamiento a los valores específicos de $d$:

1. Caso $d = -1$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{-1}] = \mathbb{Q}[i]$

Anillo de Enteros: Para $d = -1$, tenemos $-1 \equiv 3 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{-1}] = \mathbb{Z}[i]}$ (los enteros gaussianos) [Anterior, 213, 217, 233, 239, 245, 30, 31, 53].
Demostración del Cuerpo de Fracciones: Un elemento arbitrario de $\mathbb{Q}[i]$ es de la forma $r+si$, donde $r, s \in \mathbb{Q}$. Podemos escribir $r = A/C$ y $s = B/C$ para enteros $A, B, C$ con $C \neq 0$. Entonces, $r+si = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}i = \frac{A+Bi}{C}$. Dado que $A+Bi$ es un entero gaussiano (pues $A, B \in \mathbb{Z}$) y $C$ es un entero (y, por lo tanto, un entero gaussiano), hemos expresado cualquier elemento de $\mathbb{Q}[i]$ como una fracción de elementos de $\mathbb{Z}[i]$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}[i]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}[i]$.

2. Caso $d = 2$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$

Anillo de Enteros: Para $d = 2$, tenemos $2 \equiv 2 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{2}]}$ [Anterior, 213, 216, 350, 480].
Demostración del Cuerpo de Fracciones: Un elemento arbitrario de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ es de la forma $r+s\sqrt{2}$, donde $r, s \in \mathbb{Q}$. Podemos escribir $r = A/C$ y $s = B/C$ para enteros $A, B, C$ con $C \neq 0$. Entonces, $r+s\sqrt{2} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}\sqrt{2} = \frac{A+B\sqrt{2}}{C}$. Dado que $A+B\sqrt{2}$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (pues $A, B \in \mathbb{Z}$) y $C$ es un entero (y, por lo tanto, un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$), hemos expresado cualquier elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ como una fracción de elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

3. Caso $d = -2$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{-2}]$

Anillo de Enteros: Para $d = -2$, tenemos $-2 \equiv 2 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]}$ [Anterior, 213, 216, 350, 480, 56].
Demostración del Cuerpo de Fracciones: Un elemento arbitrario de $\mathbb{Q}[\sqrt{-2}]$ es de la forma $r+s\sqrt{-2}$, donde $r, s \in \mathbb{Q}$. Podemos escribir $r = A/C$ y $s = B/C$ para enteros $A, B, C$ con $C \neq 0$. Entonces, $r+s\sqrt{-2} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}\sqrt{-2} = \frac{A+B\sqrt{-2}}{C}$. Dado que $A+B\sqrt{-2}$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ (pues $A, B \in \mathbb{Z}$) y $C$ es un entero (y, por lo tanto, un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$), hemos expresado cualquier elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt{-2}]$ como una fracción de elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}[\sqrt{-2}]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.

4. Caso $d = 3$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$

Anillo de Enteros: Para $d = 3$, tenemos $3 \equiv 3 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{3}]}$ [Anterior, 213, 216, 350, 480].
Demostración del Cuerpo de Fracciones: Un elemento arbitrario de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ es de la forma $r+s\sqrt{3}$, donde $r, s \in \mathbb{Q}$. Podemos escribir $r = A/C$ y $s = B/C$ para enteros $A, B, C$ con $C \neq 0$. Entonces, $r+s\sqrt{3} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}\sqrt{3} = \frac{A+B\sqrt{3}}{C}$. Dado que $A+B\sqrt{3}$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ (pues $A, B \in \mathbb{Z}$) y $C$ es un entero (y, por lo tanto, un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$), hemos expresado cualquier elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ como una fracción de elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

5. Caso $d = -3$: Cuerpo Cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$

Anillo de Enteros: Para $d = -3$, tenemos $-3 \equiv 1 \pmod 4$. Por lo tanto, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right]}$ (los enteros de Eisenstein) [Anterior, 213, 217, 237, 244, 350, 480]. Sea $\omega_E = \frac{1+\sqrt{-3}}{2}$.
Demostración del Cuerpo de Fracciones: Un elemento arbitrario de $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ es de la forma $r+s\sqrt{-3}$, donde $r, s \in \mathbb{Q}$. Sabemos que $\sqrt{-3} = 2\omega_E - 1$. Sustituimos esto en la expresión de $\alpha$: $\alpha = r + s(2\omega_E - 1) = (r-s) + 2s\omega_E$. Dado que $(r-s)$ y $2s$ son racionales, podemos escribirlos como $(r-s) = A'/C'$ y $2s = B'/C'$ para enteros $A', B', C'$ con $C' \neq 0$. Entonces, $\alpha = \frac{A'}{C'} + \frac{B'}{C'}\omega_E = \frac{A'+B'\omega_E}{C'}$. Dado que $A'+B'\omega_E$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\omega_E]$ (pues $A', B' \in \mathbb{Z}$) y $C'$ es un entero (y, por lo tanto, un elemento de $\mathbb{Z}[\omega_E]$), hemos expresado cualquier elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ como una fracción de elementos de $\mathbb{Z}[\omega_E]$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right]$.

¿Cuál es el motivo profundo para que en todos estos razonamientos se den dos casos diferenciados? (d congruente con 2 o con 3 módulo 4 es un caso, y d congruente con 1 módulo 4 es otro caso)

El motivo profundo por el que los razonamientos sobre los anillos de enteros de los cuerpos cuadráticos $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ se dividen en dos casos diferenciados (d congruente con 2 o 3 módulo 4, y d congruente con 1 módulo 4) radica en la definición de los enteros algebraicos y las condiciones de divisibilidad por 4 que determinan la forma de la base integral del anillo.

Aquí se explica en detalle, apoyándose en las fuentes:

Definición del Anillo de Enteros ($O_K$):
- El anillo de enteros $O_K$ de un cuerpo cuadrático $K = \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ (donde $d$ es un entero libre de cuadrados) es el conjunto de todos los enteros algebraicos contenidos en $K$.
- Un número $\alpha \in K$ es un entero algebraico si es raíz de un polinomio mónico (coeficiente principal 1) con coeficientes enteros.
- Cualquier elemento $\alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ puede escribirse como $\alpha = a + b\sqrt{d}$ donde $a, b \in \mathbb{Q}$. Su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ es $x^2 - 2ax + (a^2 - b^2d) = 0$. Para que $\alpha$ sea un entero algebraico, los coeficientes de este polinomio ($2a$ y $a^2 - b^2d$) deben ser enteros.
Análisis de la Estructura de $O_K$ según $d \pmod 4$:
- Caso 1: $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$
  - En este caso, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$. Esto significa que, si un elemento $a+b\sqrt{d}$ es un entero algebraico, entonces $a$ y $b$ deben ser ya enteros.
  - Para entender por qué, consideremos un elemento $\alpha = \frac{A+B\sqrt{d}}{C}$ donde $A, B, C \in \mathbb{Z}$ y $C$ es el denominador común más pequeño. Las propiedades de los enteros algebraicos implican que $C$ solo puede ser 1 o 2.
  - (En la siguiente pregunta vemos que propiedades son esas)
  - Si $C=1$, entonces $a,b \in \mathbb{Z}$, y $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.
  - Si $C=2$, entonces $\alpha = \frac{A+B\sqrt{d}}{2}$. Para que $\alpha$ sea un entero algebraico, necesitamos que $2(\frac{A}{2}) = A \in \mathbb{Z}$ y $(\frac{A}{2})^2 - (\frac{B}{2})^2d = \frac{A^2-B^2d}{4} \in \mathbb{Z}$.
  - La condición clave es $A^2 - B^2d \equiv 0 \pmod 4$.
    - Si $A$ es par ($A=2k$), entonces $A^2 \equiv 0 \pmod 4$. Esto implica $B^2d \equiv 0 \pmod 4$.
      - Si $B$ es par ($B=2m$), entonces $B^2 \equiv 0 \pmod 4$, y $\alpha = \frac{2k+2m\sqrt{d}}{2} = k+m\sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$. En este subcaso, $\alpha$ ya es un entero de $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.
      - Si $B$ es impar, entonces $B^2 \equiv 1 \pmod 4$. Esto implicaría $d \equiv 0 \pmod 4$. Sin embargo, $d$ es libre de cuadrados, por lo que no puede ser divisible por 4 (no puede ser $d=4k'$). Así, esta posibilidad se descarta.
    - Si $A$ es impar, entonces $A^2 \equiv 1 \pmod 4$. Esto implica $1 - B^2d \equiv 0 \pmod 4$, lo que significa $B^2d \equiv 1 \pmod 4$. Para que $B^2d \equiv 1 \pmod 4$, $B$ debe ser impar (ya que $B^2 \equiv 1 \pmod 4$) y, crucialmente, $d$ debe ser congruente con $1 \pmod 4$.
  - Por lo tanto, si $d \equiv 2$ o $3 \pmod 4$, la única forma en que $\frac{A+B\sqrt{d}}{2}$ puede ser un entero algebraico es si $A$ y $B$ son ambos pares, lo que significa que el elemento ya se encuentra en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$. No hay "nuevos" enteros algebraicos de la forma $\frac{A+B\sqrt{d}}{2}$ cuando $d \equiv 2, 3 \pmod 4$.
- Caso 2: $d \equiv 1 \pmod 4$
  - En este caso, el anillo de enteros es $\mathbf{\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]}$.
  - La razón principal es que, cuando $d \equiv 1 \pmod 4$, el elemento $\omega = \frac{1+\sqrt{d}}{2}$ es un entero algebraico. Su polinomio mínimo es $x^2 - x + \frac{1-d}{4} = 0$. Como $d \equiv 1 \pmod 4$, entonces $1-d$ es un múltiplo de 4, lo que hace que $\frac{1-d}{4}$ sea un entero. Por lo tanto, los coeficientes del polinomio son enteros, y $\omega$ es un entero algebraico.
  - Este elemento $\omega$ no es de la forma $a'+b'\sqrt{d}$ con $a',b' \in \mathbb{Z}$ (a menos que $d$ sea un cuadrado, lo cual no es el caso ya que es libre de cuadrados). Por ejemplo, si tomamos $A=1, B=1$ (ambos impares), el elemento $\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ es un entero algebraico que no está en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.
  - Por consiguiente, $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ no es el conjunto completo de enteros algebraicos cuando $d \equiv 1 \pmod 4$. El anillo de enteros es "más grande" y contiene elementos con coeficientes semienteros que son enteros algebraicos.
Conexión con el Discriminante:
- La clasificación de los cuerpos cuadráticos y sus anillos de enteros está intrínsecamente ligada al discriminante del cuerpo, que se define de manera diferente para los dos casos: $d$ si $d \equiv 1 \pmod 4$, y $4d$ si $d \not\equiv 1 \pmod 4$. Esta definición refleja las bases enteras correspondientes: ${1, \sqrt{d}}$ para $d \not\equiv 1 \pmod 4$ y ${1, \frac{1+\sqrt{d}}{2}}$ para $d \equiv 1 \pmod 4$.

En resumen, la razón fundamental para la división en dos casos es que la condición de paridad de $d$ (módulo 4) determina si existen enteros algebraicos "adicionales" en el cuerpo cuadrático que no pueden ser expresados simplemente como $a+b\sqrt{d}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$. Cuando $d \equiv 1 \pmod 4$, sí existen estos elementos (como $\frac{1+\sqrt{d}}{2}$), lo que requiere una base diferente para el anillo de enteros. En los otros casos, no existen tales elementos que no estén ya en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, lo que simplifica la estructura del anillo de enteros.

Vamos a contestar a porqué C sólo puede valer 1, o 2 en el caso d congruente con 2 ó 3 módulo 4

Para entender por qué, en el análisis del anillo de enteros algebraicos de un cuerpo cuadrático $ \mathbb{Q}[\sqrt{d}] $, el denominador $ C $ en la expresión $ \alpha = \frac{A + B\sqrt{d}}{C} $ (donde $ A, B, C \in \mathbb{Z} $ y $ C $ es el denominador común más pequeño) **solo puede ser 1 o 2**, procedemos con un razonamiento riguroso basado en las propiedades de los enteros algebraicos.

## **1. Definición y condiciones para ser entero algebraico**

Un número $ \alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{d}] $ es un **entero algebraico** si su polinomio mínimo sobre $ \mathbb{Q} $ tiene coeficientes enteros. Para $ \alpha = \frac{A + B\sqrt{d}}{C} $, este polinomio es:

$$x^2 - \left( \frac{2A}{C} \right)x + \frac{A^2 - B^2 d}{C^2}$$

Para que $ \alpha $ sea un entero algebraico, **ambos coeficientes deben ser enteros**:

1. $ \frac{2A}{C} \in \mathbb{Z} \Rightarrow C \mid 2A $

2. $ \frac{A^2 - B^2 d}{C^2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow C^2 \mid (A^2 - B^2 d) $

Estas dos condiciones imponen restricciones fuertes sobre el valor de $ C $.

## **2. Análisis del denominador $ C $**

Supongamos que $ C > 2 $. Demostraremos que esto lleva a una contradicción.

#### **Paso 1: $ C $ no puede tener factores primos mayores que 2**

Sea $ p $ un factor primo de $ C $ tal que $ p > 2 $. Entonces:

- De la primera condición $ C \mid 2A $, se sigue que $ p \mid 2A $. Como $ p > 2 $, $ p \nmid 2 $, por lo tanto $ p \mid A $.

- De la segunda condición $ C^2 \mid (A^2 - B^2 d) $, se sigue que $ p^2 \mid (A^2 - B^2 d) $. Dado que $ p \mid A $, escribimos $ A = pA' $, entonces:

$$ p^2 \mid (p^2 A'^2 - B^2 d) \Rightarrow p^2 \mid -B^2 d $$

Como $ d $ es libre de cuadrados (por ser un discriminante fundamental), $ p^2 \nmid d $, por lo tanto $ p \mid B $.

Así, $ p \mid A $ y $ p \mid B $, lo cual contradice la suposición de que $ \gcd(A, B, C) = 1 $ (es decir, que $ \alpha $ está en su forma reducida). Por lo tanto, **$ C $ no puede tener factores primos mayores que 2**.

### **Paso 2: $ C $ solo puede ser una potencia de 2**

Dado que $ C $ solo puede contener el factor primo 2, $ C $ debe ser de la forma $ 2^k $, donde $ k \geq 0 $.

Ahora analizamos si $ C = 4 $ (es decir, $ k = 2 $) es posible.

##### **Caso $ C = 4 $:**

- De $ C \mid 2A $, se sigue que $ 4 \mid 2A \Rightarrow 2 \mid A \Rightarrow A = 2A' $.

- Entonces $ \alpha = \frac{2A' + B\sqrt{d}}{4} = \frac{A' + (B/2)\sqrt{d}}{2} $.

- Para que $ C = 4 $ sea el denominador mínimo, $ B $ debe ser **impar** (de lo contrario, $ B = 2B' $ y $ \alpha = \frac{A' + B'\sqrt{d}}{2} $, con denominador 2).

Ahora verificamos la segunda condición:

$$\frac{A^2 - B^2 d}{C^2} = \frac{4A'^2 - B^2 d}{16} \in \mathbb{Z}

\Rightarrow 4A'^2 - B^2 d \equiv 0 \pmod{16}$$

Dado que $ B $ es impar, $ B^2 \equiv 1 \pmod{8} $, por lo tanto $ B^2 \equiv 1 $ o $ 9 \pmod{16} $. Analicemos casos específicos:

- Si $ d \equiv 1 \pmod{4} $, por ejemplo $ d = 5 $, entonces $ B^2 d \equiv B^2 \pmod{16} $, y $ 4A'^2 \equiv 0 $ o $ 4 \pmod{16} $. Pero $ B^2 \equiv 1 $ o $ 9 \pmod{16} $, por lo que $ 4A'^2 - B^2 d \not\equiv 0 \pmod{16} $.

- Si $ d \equiv 2 $ o $ 3 \pmod{4} $, similarmente, $ 4A'^2 - B^2 d \not\equiv 0 \pmod{16} $.

En ambos casos, **no se cumple la condición de que el norma sea entero**, lo que implica que **$ C = 4 $ no es posible**.

Por lo tanto, **$ C $ no puede ser mayor que 2**.

## **3. Conclusión**

Las condiciones para que $ \alpha = \frac{A + B\sqrt{d}}{C} $ sea un entero algebraico implican que:

- $ C $ **no puede tener factores primos mayores que 2** (porque llevaría a contradicciones con la minimalidad del denominador).

- $ C $ **tampoco puede ser 4 o mayores** (porque no se cumplen las condiciones de integrabilidad).

Por lo tanto, **el único denominador posible en forma reducida es $ C = 1 $ o $ C = 2 $**.

Este resultado es general para cualquier cuerpo cuadrático $ \mathbb{Q}[\sqrt{d}] $, independientemente del valor de $ d \mod 4 $. Sin embargo, dependiendo de $ d \mod 4 $, uno de estos valores será excluido:

- Si $ d \equiv 2 $ o $ 3 \pmod{4} $, entonces $ \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] $, por lo que **solo $ C = 1 $ es válido**.

- Si $ d \equiv 1 \pmod{4} $, entonces $ \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1 + \sqrt{d}}{2}\right] $, por lo que **$ C = 2 $ también es válido**.

### **Respuesta final**

$$\boxed{C \text{ solo puede ser } 1 \text{ o } 2 \text{ porque cualquier denominador mayor que 2 viola las condiciones de integrabilidad requeridas para que } \alpha \text{ sea un entero algebraico.}}$$

Muy buena pregunta! Vamos a desglosarlo con detalle:

Contexto

Estamos trabajando con el campo cuadrático $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ y buscamos saber cuáles son los posibles denominadores que aparecen en los enteros algebraicos de ese campo, es decir, números de la forma $\alpha = a + b\sqrt{d}$ con $a, b \in \mathbb{Q}$ que sean enteros algebraicos (es decir, raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros).

Para estudiar esto, queremos saber para qué denominadores $C$ puede aparecer $\alpha = \frac{A+B\sqrt{d}}{C}$ con $A, B, C \in \mathbb{Z}$ y $\gcd(A, B, C) = 1$ , y que ese elemento sea un entero algebraico.

Paso a paso: cuándo puede $C$ ser distinto de $1$ o $2$

Supón que $\alpha = \frac{A+B\sqrt{d}}{C}$ es un entero algebraico. Su polinomio minimal es:

x^2 - Sx + P = 0

donde $S$ y $P$ son respectivamente la traza y la norma de $\alpha$ .

Traza: $\operatorname{Tr}(\alpha) = \alpha + \overline{\alpha} = 2a$
Norma: $\operatorname{Nm}(\alpha) = \alpha \cdot \overline{\alpha} = a^2 - b^2 d$

Aquí $\overline{\alpha}$ es el conjugado: $\overline{\alpha} = a - b\sqrt{d}$ .

Como $\alpha$ es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en $\mathbb{Z}$ , la traza y la norma deben ser enteras.

Trabajemos con $a$ y $b$ racionales:

a = \frac{A}{C}, \qquad b = \frac{B}{C}

Entonces:

\operatorname{Tr}(\alpha) = 2a = 2\frac{A}{C} = \frac{2A}{C} \in \mathbb{Z}

\operatorname{Nm}(\alpha) = a^2 - d b^2 = \left( \frac{A}{C} \right)^2 - d \left( \frac{B}{C} \right)^2 = \frac{A^2 - d B^2}{C^2} \in \mathbb{Z}

Por tanto, necesariamente:

$C$ divide a $2A$
$C^2$ divide a $A^2 - d B^2$

Restricción sobre $C$

Si $C$ es impar, entonces $C$ divide a $2A$ , así que $C$ divide a $A$ (pues es coprimo con 2). Pero estamos suponiendo que $A, B, C$ son coprimos, así que esto sólo puede pasar si $C = 1$ (¡imposible que un primo mayor que 1 divida a $A$ sin ser común divisor con $B$ y $C$ ).
Si $C$ es par, llama $C = 2k$ con $k$ entero positivo. Entonces $2k$ debe dividir a $2A$ , así que $k$ divide a $A$ . Si $k \geq 2$ , entonces $4$ divide a $C^2$ que divide a $A^2 - d B^2$ , y así sucesivamente. El razonamiento preciso aquí es técnico, pero haciendo el desarrollo se ve que sólo puede suceder para $C = 1$ o $C = 2$ (si pruebas a construir el polinomio minimal para $C \geq 3$ , los coeficientes quedan fraccionales, imposibles).

Pero, ¿por qué aparecen solo $1$ ó $2$ ?

Esto sale de la fórmula para los enteros algebraicos en campos cuadráticos:

\alpha = \frac{a + b\sqrt{d}}{C}

Con el calculo de la traza y la norma, la única manera de que ambos resultados sean enteros es si $C = 1$ o $C = 2$ ; los casos posibles corresponden exactamente a:

Para $d \equiv 1 \pmod{4}$ , aparecen denominadores $2$ : los enteros algebraicos tienen la forma $\frac{a + b\sqrt{d}}{2}$ con $a \equiv b \pmod{2}$
Para $d \equiv 2, 3 \pmod{4}$ , solo pueden ser con $C=1$ : es decir, enteros algebraicos solo de la forma $a + b\sqrt{d}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$

Resumiendo

La condición de ser entero algebraico forza que el denominador sea a lo sumo $2$ , y nunca mayor. Si fuese mayor, una de las dos condiciones quedaría fraccionaria, contradiciendo que la traza y/o la norma son enteras.
Por eso, en la frase mencionada, se dice: "...las propiedades de los enteros algebraicos implican que $C$ solo puede ser 1 o 2".

En resumen:
El denominador de un entero algebraico cuadrático tiene que ser divisor de 2, por lo que solo puede ser $1$ o $2$ , pues denominadores mayores harían que la traza y la norma no fueran enteras. Por eso, esas son las únicas opciones.

Encuentra razonadamente todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$

Para encontrar razonadamente todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$, debemos seguir un proceso estructurado, apoyándonos en las definiciones y propiedades proporcionadas por las fuentes.

Identificación del cuerpo cuadrático y su anillo de enteros:
- El cuerpo dado es $K = \mathbb{Q}[\sqrt{33}]$. Aquí, $d=33$, que es un entero libre de cuadrados.
- Para determinar la forma del anillo de enteros $O_K$ de un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, necesitamos verificar la congruencia de $d$ módulo 4.
- Dado que $33 \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ es $O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right]$.
- Denotaremos $\omega = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$. Así, $O_K = \mathbb{Z}[\omega] = {a+b\omega \mid a,b \in \mathbb{Z}}$. Por definición, todos los elementos de $O_K$ son enteros algebraicos.
Definición de subanillo de enteros algebraicos:
- Un "subanillo de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$" es, por lo tanto, un subanillo de $O_K = \mathbb{Z}[\omega]$.
- Un subanillo de un anillo unitario (como $O_K$, que contiene a $1$) debe contener a la identidad multiplicativa $1$.
Caracterización de la estructura de los subanillos de $O_K$:
- El anillo $O_K = \mathbb{Z}[\omega]$ es un grupo abeliano libre de rango 2 sobre $\mathbb{Z}$, con base ${1, \omega}$.
- Cualquier subanillo $S$ de $O_K$ es también un $\mathbb{Z}$-submódulo de $O_K$. Como $O_K$ es un $\mathbb{Z}$-módulo libre de rango 2, cualquier $\mathbb{Z}$-submódulo $S$ debe ser también un $\mathbb{Z}$-módulo libre de rango 0, 1 o 2.
Analicemos cada caso de rango:
- Rango 0: El único $\mathbb{Z}$-módulo de rango 0 es ${0}$. Sin embargo, como se mencionó, un subanillo debe contener a $1$, por lo que ${0}$ no es un subanillo válido en este contexto.
- Rango 1: Un $\mathbb{Z}$-módulo libre de rango 1 que contiene a $1$ debe ser de la forma $\mathbb{Z} \cdot 1 = \mathbb{Z}$.
  - Para verificar si $\mathbb{Z}$ es un subanillo de $O_K$: Los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los enteros ordinarios. Como $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}[\sqrt{33}]$, y todos los elementos de $O_K$ son enteros algebraicos, $\mathbb{Z}$ es efectivamente un subanillo de $O_K$. Este es el primer tipo de subanillo.
- Rango 2: Un subanillo de $O_K$ que también es un $\mathbb{Z}$-módulo libre de rango 2 se conoce como un orden de $K$.
  - Las fuentes establecen que los órdenes de un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ son de la forma $O_m = \mathbb{Z}[m\omega]$ para cualquier entero positivo $m \ge 1$. Esto significa que los elementos de $O_m$ son de la forma $a+b(m\omega)$, donde $a,b \in \mathbb{Z}$.
  - Para que $\mathbb{Z}[m\omega]$ sea un anillo, debe ser cerrado bajo la multiplicación. Sabemos que $\omega = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$. Calculemos $\omega^2$: $\omega^2 = \left(\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{33} + 33}{4} = \frac{34 + 2\sqrt{33}}{4} = \frac{17+\sqrt{33}}{2}$ [Cálculo no presente en las fuentes, pero es una extensión lógica]. Podemos expresar $\frac{17+\sqrt{33}}{2}$ en términos de $1$ y $\omega$: $\frac{17+\sqrt{33}}{2} = 8 + \frac{1+\sqrt{33}}{2} = 8 + \omega$ [Cálculo no presente en las fuentes, pero es una extensión lógica]. Así, $\omega^2 = 8+\omega$.
  - Ahora, para la cerradura bajo multiplicación en $\mathbb{Z}[m\omega]$: Sean $\alpha = a+b(m\omega)$ y $\beta = c+d(m\omega)$ elementos de $\mathbb{Z}[m\omega]$ ($a,b,c,d,m \in \mathbb{Z}$). $\alpha\beta = (a+bm\omega)(c+dm\omega) = ac + adm\omega + bcm\omega + bdm^2\omega^2$ $= ac + (ad+bc)m\omega + bdm^2(8+\omega)$ $= ac + (ad+bc)m\omega + 8bdm^2 + bdm^2\omega$ $= (ac+8bdm^2) + (ad+bc+bdm)m\omega$. Dado que $a,b,c,d,m$ son enteros, los coeficientes $(ac+8bdm^2)$ y $(ad+bc+bdm)$ son también enteros. Por lo tanto, $\alpha\beta$ tiene la forma $A+B(m\omega)$ con $A,B \in \mathbb{Z}$, lo que demuestra que $\mathbb{Z}[m\omega]$ es cerrado bajo multiplicación y, por ende, es un subanillo de $O_K$.
  - El caso $m=1$ corresponde al propio anillo de enteros $O_K = \mathbb{Z}[\omega]$, que es el orden maximal.
  - Para $m > 1$, se obtienen órdenes propios (subanillos más pequeños).

Conclusión: Los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ son:

El anillo de los enteros racionales, $\mathbb{Z}$.
Los órdenes de la forma $\mathbb{Z}[m\omega]$ para cada entero positivo $m \ge 1$, donde $\omega = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$. Estos órdenes incluyen al propio anillo de enteros $O_K = \mathbb{Z}[\omega]$ (cuando $m=1$) y todos sus subanillos de rango 2.

ESPECIFICA MÁS

Para caracterizar los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$, es fundamental comprender primero la estructura del anillo de enteros de este cuerpo cuadrático y luego analizar sus posibles subanillos.

El Anillo de Enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$: El cuerpo dado es $K = \mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ [Consulta anterior]. Para determinar su anillo de enteros $O_K$, se observa que $d=33$ es un entero libre de cuadrados [Consulta anterior]. Dado que $33 \equiv 1 \pmod 4$, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ es $O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right]$. Si denotamos $\omega = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$, entonces $O_K = \mathbb{Z}[\omega] = {a+b\omega \mid a,b \in \mathbb{Z}}$. Por definición, todos los elementos de $O_K$ son enteros algebraicos. Un subanillo de enteros algebraicos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ es, por lo tanto, un subanillo de $O_K$. Un subanillo de un anillo unitario (como $O_K$, que contiene a $1$) debe contener la identidad multiplicativa $1$.
Caracterización de los Subanillos: Dado que $O_K = \mathbb{Z}[\omega]$ es un grupo abeliano libre de rango 2 sobre $\mathbb{Z}$ con base ${1, \omega}$ (como un $\mathbb{Z}$-módulo), cualquier subanillo $S$ de $O_K$ que contenga $1$ debe ser un $\mathbb{Z}$-submódulo de rango 1 o 2.
- Subanillos de Rango 1: Un $\mathbb{Z}$-submódulo de rango 1 que contiene $1$ debe ser de la forma $\mathbb{Z}k$ para algún entero $k$. Para que contenga $1$, $k$ debe dividir a $1$, lo que implica $k=\pm 1$. Por lo tanto, el único subanillo de rango 1 es $\mathbf{\mathbb{Z}}$.
  - Propiedades de $\mathbb{Z}$:
    - $\mathbb{Z}$ es un subanillo de $\mathbb{Q}$, y $\mathbb{Q}$ es un subcuerpo de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$.
    - Los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los enteros ordinarios. Por lo tanto, $\mathbb{Z}$ es efectivamente un subanillo de enteros algebraicos.
    - Es un dominio íntegro ordenado arquimediano.
    - Es un dominio euclídeo (con la norma del valor absoluto), y por ende, un dominio de ideales principales (DIP) y un dominio de factorización única (DFU).
- Subanillos de Rango 2 (Órdenes): Cualquier subanillo $S$ de $O_K$ de rango 2 que contenga $1$ se denomina un orden de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$. Los órdenes de un cuerpo cuadrático $K = \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ son de la forma $\mathbb{Z}[m\omega]$ para algún entero positivo $m \ge 1$.
  
  Para $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$, estos subanillos son de la forma $\mathbf{\mathbb{Z}[m\omega]} = {a+b(m\omega) \mid a,b \in \mathbb{Z}}$ para $m \ge 1$.
  - Cerradura bajo las operaciones de anillo:
    - Contienen $1$ (pues $1 = 1 + 0 \cdot m\omega$).
    - Son cerrados bajo la suma y la resta (como $\mathbb{Z}$-módulos).
    - Cerradura bajo la multiplicación: Para que $\mathbb{Z}[m\omega]$ sea un anillo, debe ser cerrado bajo la multiplicación. El polinomio mínimo de $\omega = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$ sobre $\mathbb{Q}$ es $x^2 - x - 8 = 0$ (información externa, derivada de las fuentes). Esto implica que $\omega^2 = \omega + 8$. Sean $\alpha = a+bm\omega$ y $\beta = c+dm\omega$ elementos de $\mathbb{Z}[m\omega]$ con $a,b,c,d,m \in \mathbb{Z}$. $\alpha\beta = (a+bm\omega)(c+dm\omega) = ac + (ad+bc)m\omega + bdm^2\omega^2$ Sustituyendo $\omega^2 = \omega + 8$: $\alpha\beta = ac + (ad+bc)m\omega + bdm^2(\omega+8)$ $= ac + (ad+bc)m\omega + 8bdm^2 + bdm^2\omega$ $= (ac+8bdm^2) + (ad+bc+bdm)m\omega$. Como $a,b,c,d,m$ son enteros, los coeficientes $A=(ac+8bdm^2)$ y $B=(ad+bc+bdm)$ son enteros. Así, $\alpha\beta$ es de la forma $A+B(m\omega)$, demostrando que $\mathbb{Z}[m\omega]$ es cerrado bajo multiplicación y, por lo tanto, es un subanillo de $O_K$.
  - Propiedades según el valor de $m$:
    - Caso $m=1$: Este es el propio anillo de enteros $\mathbf{O_K = \mathbb{Z}[\omega]}$.
      - Es el orden maximal de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$.
      - Es integralmente cerrado, lo que significa que contiene todos los enteros algebraicos de su cuerpo de fracciones $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$.
      - Es un dominio de Dedekind, ya que es noetheriano, de dimensión 1 (como todo anillo de números algebraicos no nulo), e integralmente cerrado.
      - Para $d=33$, el anillo de enteros $O_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{33}}{2}]$ es un dominio euclídeo con respecto al valor absoluto de la norma algebraica. Un dominio euclídeo es un dominio de ideales principales (DIP), y todo DIP es un dominio de factorización única (DFU).
      - El discriminante de $O_K$ es $d = 33$.
    - Caso $m > 1$: Estos son los órdenes propios $\mathbf{\mathbb{Z}[m\omega]}$.
      - Son subanillos de $O_K$, pero no son el orden maximal.
      - No son integralmente cerrados, porque no contienen todos los enteros algebraicos de $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ (por ejemplo, $\omega$ no está en $\mathbb{Z}[m\omega]$ para $m>1$).
      - Al no ser integralmente cerrados (para $m>1$), no son dominios de Dedekind.
      - Generalmente, los órdenes no maximales no son dominios de factorización única ni dominios de ideales principales. Por ejemplo, $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ no es un DFU, mientras que su orden maximal $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$ sí lo es.
      - El discriminante de un orden $\mathbb{Z}[m\omega]$ es $m^2 \Delta_K = 33m^2$. Esto muestra cómo cada orden es distinto y está anidado en $O_K$.

En resumen, los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ son:

$\mathbb{Z}$: El anillo de los enteros racionales, que es un dominio euclídeo, un DIP y un DFU.
$\mathbb{Z}[m\omega]$ para cualquier entero positivo $m \ge 1$, donde $\omega = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$.

Para $m=1$, es el anillo de enteros maximal $O_K = \mathbb{Z}[\omega]$, que es un dominio de Dedekind, un dominio euclídeo y, por tanto, un DIP y un DFU.
Para $m>1$, son órdenes propios que son subanillos de $O_K$ pero no son integralmente cerrados, ni dominios de Dedekind, ni generalmente DIP o DFU.

Otra respuesta (Qwen)

Para encontrar todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $ \mathbb{Q}[\sqrt{33}] $, procedemos de manera estructurada analizando las propiedades del cuerpo cuadrático y sus órdenes.

### **1. Estructura del cuerpo cuadrático**

El campo $ \mathbb{Q}[\sqrt{33}] $ es un cuerpo cuadrático con $ d = 33 $, que es libre de cuadrados. Dado que $ 33 \equiv 1 \mod 4 $, el anillo de enteros algebraicos $ \mathcal{O}_K $ (donde $ K = \mathbb{Q}[\sqrt{33}] $) está dado por:

$$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\left[ \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \right]$$

Definimos $ \alpha = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} $, cuyo polinomio mínimo es:

$$x^2 - x - 8 = 0$$

Este polinomio es mónico con coeficientes enteros, por lo que $ \alpha $ es un entero algebraico.

### **2. Definición de órdenes en un cuerpo cuadrático**

Un **orden** en $ K $ es un subanillo $ R \subseteq \mathcal{O}_K $ que contiene a $ \mathbb{Z} $ y es un módulo libre de rango 2 sobre $ \mathbb{Z} $. En un cuerpo cuadrático, todos los órdenes tienen la forma:

$$R_f = \mathbb{Z} + f\mathcal{O}_K$$

para algún entero positivo $ f $, llamado **conductor** del orden. Este conductor $ f $ representa el índice $ [\mathcal{O}_K : R_f] $, es decir, la cantidad de elementos en $ \mathcal{O}_K $ que no están en $ R_f $.

En términos explícitos, si $ \alpha = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} $, entonces:

$$R_f = \mathbb{Z} + f\mathcal{O}_K = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}(f\alpha)$$

Esto implica que cada orden $ R_f $ puede ser descrito como:

$$R_f = \left\{ a + b(f\alpha) \mid a, b \in \mathbb{Z} \right\}$$

o equivalentemente:

$$R_f = \mathbb{Z}[f\alpha]$$

**3. Verificación de que todos los subanillos son órdenes**

Cualquier subanillo $ R \subseteq \mathcal{O}_K $ que contenga a $ \mathbb{Z} $ debe ser un módulo libre de rango 2 sobre $ \mathbb{Z} $, ya que $ \mathcal{O}_K $ es un módulo libre de rango 2 y cualquier submódulo de rango máximo también lo es. Por lo tanto, $ R $ tiene una base de la forma $ \{1, \theta\} $, donde $ \theta \in \mathcal{O}_K $ y $ \theta \notin \mathbb{Z} $.

Dado que $ \theta \in \mathcal{O}_K $, puede escribirse como $ \theta = m + n\alpha $ para algunos $ m, n \in \mathbb{Z} $, con $ n \neq 0 $. Entonces:

$$R = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\theta = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}(m + n\alpha) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}(n\alpha)$$

Esto muestra que $ R = R_n $, es decir, todo subanillo de enteros algebraicos en $ \mathbb{Q}[\sqrt{33}] $ es un orden de la forma $ R_f $ para algún $ f \in \mathbb{N} $.

### **4. Descripción explícita de los órdenes**

Para cada $ f \in \mathbb{N} $, el orden $ R_f $ se describe como:

$$R_f = \mathbb{Z} + f\mathcal{O}_K = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}(f\alpha)$$

Con $ \alpha = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} $, tenemos:

$$f\alpha = \frac{f + f\sqrt{33}}{2}$$

Por lo tanto, los elementos de $ R_f $ son de la forma:

$$a + b \cdot \frac{f + f\sqrt{33}}{2}, \quad a, b \in \mathbb{Z}$$

Equivalentemente, $ R_f $ puede escribirse como:

$$R_f = \mathbb{Z}\left[ \frac{f + f\sqrt{33}}{2} \right]$$

stos órdenes son todos distintos, ya que el índice $ [\mathcal{O}_K : R_f] = f $, lo cual implica que diferentes valores de $ f $ producen subanillos distintos.

### **5. Ejemplos concretos**

- **$ f = 1 $:**

$$ R_1 = \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\left[ \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \right] $$

- **$ f = 2 $:**

$$ R_2 = \mathbb{Z} + 2\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{33}] $$

- **$ f = 3 $:**

$$ R_3 = \mathbb{Z}\left[ \frac{3 + 3\sqrt{33}}{2} \right] $$

- **$ f = 4 $:**

$$ R_4 = \mathbb{Z}\left[ \frac{4 + 4\sqrt{33}}{2} \right] = \mathbb{Z}[2 + 2\sqrt{33}] $$

Cada uno de estos es un subanillo de enteros algebraicos contenido en $ \mathbb{Q}[\sqrt{33}] $.

### **6. Conclusión**

Todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $ \mathbb{Q}[\sqrt{33}] $ son precisamente los órdenes de la forma:

$$R_f = \mathbb{Z} + f\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[f\alpha], \quad \text{con } f \in \mathbb{N}$$

donde $ \alpha = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} $.

Estos órdenes están en correspondencia biyectiva con los enteros positivos $ f $, y cada uno representa un subanillo distinto de $ \mathcal{O}_K $.

### **Respuesta final**

$$\boxed{\left\{ \mathbb{Z}[f \cdot \tfrac{1 + \sqrt{33}}{2}] \mid f \in \mathbb{N} \right\}}$$

Otra respuesta (perplexity)

Para encontrar razonadamente todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ , procedamos paso a paso:

1. El anillo de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\sqrt{33})$

Sea $K = \mathbb{Q}(\sqrt{33})$ . El anillo de enteros algebraicos de $K$ (el anillo de enteros de $K$ ), denotado $O_K$ , viene dado de forma estándar como:

O_K = \begin{cases} \mathbb{Z}\left[\dfrac{1 + \sqrt{d}}{2}\right] & \text{si } d \equiv 1 \pmod{4} \\ \mathbb{Z}[\sqrt{d}] & \text{si } d \equiv 2,3 \pmod{4} \end{cases}

En nuestro caso, $d = 33 \equiv 1 \pmod{4}$ , así que:

O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right] = \left\{ a + b \frac{1+\sqrt{33}}{2} : a, b \in \mathbb{Z} \right\}

Esto corresponde a los elementos $x = m + n\sqrt{33}$ con $m, n \in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$ , y $m - n \in \mathbb{Z}$ .

2. Estructura de subanillos posibles

Cualquier subanillo de enteros algebraicos en $K$ será, por definición, un subanillo de $O_K$ .

Observación general en cuerpos cuadráticos:

$\mathbb{Z}$ siempre es subanillo de $O_K$ .
$\mathbb{Z}[\sqrt{33}] \subseteq O_K$ , pero suele ser más pequeño que $O_K$ cuando $d \equiv 1 \pmod{4}$ , como en este caso.
Todo subanillo de enteros algebraicos de $K$ está entre $\mathbb{Z}$ y $O_K$ , es decir,
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[\sqrt{33}] \subset O_K$

a) ¿Por qué $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ es subanillo propio de $O_K$ ?

La inclusión $\mathbb{Z}[\sqrt{33}] \subset O_K$ se debe a que no todo elemento de $O_K$ está en $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ , pero sí al revés. Por ejemplo, $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ está en $O_K$ pero no está en $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ .

3. Subanillos de $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ :

Todo subanillo entre $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ es de la forma $\mathbb{Z}[k\sqrt{33}]$ para algún entero $k \geq 1$ , pero sólo $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ son subanillos maximalmente relevantes, ya que cualquier otro subanillo generado por algún múltiplo $k\sqrt{33}$ está ya incluido en $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ .

4. Resumen de los subanillos

Los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ son:

$\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$
$O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1 + \sqrt{33}}{2}\right]$

No existen más subanillos intermedios de enteros algebraicos, pues:

Todo subanillo entre $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ y $O_K$ estaría de la forma $\mathbb{Z}[a + b\frac{1+\sqrt{33}}{2}]$ , pero estos coinciden con uno de los dos anteriores según los valores de $a, b$ .

5. Justificación

Esta clasificación general es válida para extensiones cuadráticas $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ con $d \equiv 1 \pmod{4}$ . La clave es que los únicos subanillos de enteros algebraicos son

El anillo de los enteros racionales,
El subanillo natural generado por $\sqrt{d}$ ,
El anillo completo de enteros de $K$ 1 23.

En conclusión:
Los únicos subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$ son $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}[\sqrt{33}]$ y $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{33})} = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right]$ .

La misma pregunta para $\mathbb{Q}[\sqrt{5} , \sqrt{13}]$

(Responde perplexity)

Para encontrar razonadamente todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}, \sqrt{13}]$, primero determinamos la estructura de este campo y su anillo de enteros.

1. Estructura del campo y grado

$\mathbb{Q}[\sqrt{5}, \sqrt{13}]$ es el campo generado sobre $\mathbb{Q}$ por $\sqrt{5}$ y $\sqrt{13}$. Es una extensión de grado 4 (ya que $\sqrt{5}$ y $\sqrt{13}$ son cuadráticos independientes sobre $\mathbb{Q}$).

Una base de $\mathbb{Q}[\sqrt{5}, \sqrt{13}]$ sobre $\mathbb{Q}$ es:

\{1, \sqrt{5}, \sqrt{13}, \sqrt{65}\}

2. Anillo de enteros algebraicos

Para cada cuadrática, los anillos de enteros son:

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$: $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})} = \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ (pues $5 \equiv 1 \pmod{4}$)
$\mathbb{Q}(\sqrt{13})$: $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{13})} = \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right]$ (pues $13 \equiv 1 \pmod{4}$)

Para el compósito $K = \mathbb{Q}(\sqrt{5}, \sqrt{13})$, se cumple que

O_K \supseteq \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2},\, \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right]

De hecho, usualmente ocurre la igualdad:

O_K = \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2},\, \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right]

Es decir, todo entero algebraico en $K$ se puede expresar como combinación $\mathbb{Z}$-lineal de $1$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, $\frac{(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{13})}{4}$.

3. Subanillos de enteros algebraicos posibles

Por la teoría general:

Siempre $\mathbb{Z}$ es un subanillo.
Siempre los anillos de enteros de cualquier subcampo lo son, en particular:
- $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$ y $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{13})}$
- $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{65})} = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{65}}{2}\right]$ (ya que $65 \equiv 1 \pmod{4}$ y $\sqrt{65} = \sqrt{5}\sqrt{13}$)
Los subanillos generados por combinar a nivel de anillos los anteriores, como $\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$, $\mathbb{Z}\left[\sqrt{13}\right]$, etc., así como sumas de ellos.
El propio $O_K$.

4. Listado razonado de subanillos

Los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $\mathbb{Q}[\sqrt{5},\sqrt{13}]$ son precisamente:

$\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ (los enteros cuadráticos de $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$)
$\mathbb{Z}\left[\sqrt{13}\right]$, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right]$ (los enteros cuadráticos de $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$)
$\mathbb{Z}\left[\sqrt{65}\right]$, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{65}}{2}\right]$ (los enteros cuadráticos de $\mathbb{Q}(\sqrt{65})$)
Subanillos generados por sumas, como $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right] = O_K$
Anillos generados por múltiplos, del tipo $\mathbb{Z}\left[k_1\sqrt{5},k_2\sqrt{13}\right]$ (contenidos en los anteriores y usualmente igualados a ellos si $k_1,k_2=1$)
El propio anillo de enteros de $K$:
$O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right]$

5. Resumen estructural

Existen exactamente los subanillos de la forma:

Los anillos de enteros de los subcampos cuadráticos (y sus subanillos),
Todos los subanillos entre $\mathbb{Z}$ y el anillo de enteros de $K$ generados por los elementos anteriores,
El anillo de enteros completo de $K$.

En conclusión:
Los subanillos de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}[\sqrt{5},\sqrt{13}]$ son todos los anillos generados sobre $\mathbb{Z}$ por combinaciones enteras (posiblemente fraccionarias cuando corresponda, según la paridad del discriminante) de $1$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{65}$, y, en especial,

\mathbb{Z},\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right],\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right],\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{65}}{2}\right],\ O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}\right]

No hay subanillos intermedios relevantes de enteros algebraicos que no estén generados así1.

La misma pregunta para $\mathbb{Q}[\sqrt{5} , \sqrt{13}]$

(Responde Qwen)

Para encontrar todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $ \mathbb{Q}[\sqrt{5}, \sqrt{13}] $, seguimos un análisis estructurado basado en las propiedades del cuerpo biquadrático y sus órdenes.

## **1. Estructura del cuerpo biquadrático**

El campo $ K = \mathbb{Q}[\sqrt{5}, \sqrt{13}] $ es un cuerpo biquadrático, es decir, una extensión de Galois de $ \mathbb{Q} $ con grupo de Galois $ C_2 \times C_2 $. Este cuerpo tiene grado 4 sobre $ \mathbb{Q} $, ya que $ \sqrt{5} $ y $ \sqrt{13} $ son linealmente independientes sobre $ \mathbb{Q} $, y $ 5 $ y $ 13 $ son primos distintos.

Definimos los siguientes elementos clave:

- $ \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $, raíz del polinomio $ x^2 - x - 1 = 0 $

- $ \beta = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} $, raíz del polinomio $ x^2 - x - 3 = 0 $

Ambos $ \alpha $ y $ \beta $ son enteros algebraicos, y el anillo de enteros $ \mathcal{O}_K $ del campo $ K $ está dado por:

$$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha, \beta]$$

Esto se debe a que $ \alpha $ y $ \beta $ generan $ K $ como cuerpo y forman una base libre de rango 4 sobre $ \mathbb{Z} $, lo cual se confirma mediante el cálculo del discriminante del campo, que resulta ser $ 4225 = 65^2 $, igual al discriminante del anillo $ \mathbb{Z}[\alpha, \beta] $.

### **2. Caracterización de los órdenes en $ K $**

Un **orden** en $ K $ es un subanillo $ R \subseteq \mathcal{O}_K $ que contiene a $ \mathbb{Z} $ y es un módulo libre de rango 4 sobre $ \mathbb{Z} $. En este caso, debido a que $ K $ es el compositum de dos cuerpos cuadráticos linealmente disjuntos ($ \mathbb{Q}(\sqrt{5}) $ y $ \mathbb{Q}(\sqrt{13}) $), todos los órdenes en $ K $ pueden ser descritos como productos tensoriales de órdenes en los subcuerpos cuadráticos.

#### **Subcuerpos cuadráticos**

- $ L_1 = \mathbb{Q}(\sqrt{5}) $: su anillo de enteros es $ \mathcal{O}_{L_1} = \mathbb{Z}[\alpha] $

- $ L_2 = \mathbb{Q}(\sqrt{13}) $: su anillo de enteros es $ \mathcal{O}_{L_2} = \mathbb{Z}[\beta] $

#### **Órdenes en subcuerpos cuadráticos**

En cada subcuerpo cuadrático, los órdenes están parametrizados por un entero positivo $ f $, llamado **conductor**, y tienen la forma:

- En $ L_1 $: $ R_{f_1} = \mathbb{Z}[f_1 \alpha] $

- En $ L_2 $: $ R_{f_2} = \mathbb{Z}[f_2 \beta] $

Estos órdenes son subanillos de $ \mathcal{O}_{L_1} $ y $ \mathcal{O}_{L_2} $, respectivamente, y contienen a $ \mathbb{Z} $.

#### **Órdenes en $ K $**

Dado que $ K $ es el compositum de $ L_1 $ y $ L_2 $, y $ \mathcal{O}_K = \mathcal{O}_{L_1} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{O}_{L_2} $, cualquier orden en $ K $ puede ser descrito como el producto tensorial de órdenes en $ L_1 $ y $ L_2 $. Por lo tanto, todos los órdenes en $ K $ tienen la forma:

$$R_{f_1, f_2} = R_{f_1} \otimes_{\mathbb{Z}} R_{f_2} = \mathbb{Z}[f_1 \alpha] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[f_2 \beta]$$

Esto equivale a:

$$R_{f_1, f_2} = \mathbb{Z}\left[ f_1 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, f_2 \cdot \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \right]$$

donde $ f_1, f_2 \in \mathbb{N} $.

### **3. Ejemplos concretos**

**Orden maximal**: $ f_1 = 1 $, $ f_2 = 1 $

$$ R_{1,1} = \mathbb{Z}\left[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \right] = \mathcal{O}_K $$

- **Orden $ \mathbb{Z}[\sqrt{5}, \sqrt{13}] $**: $ f_1 = 2 $, $ f_2 = 2 $

$$ R_{2,2} = \mathbb{Z}\left[ \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2}, \frac{2 + 2\sqrt{13}}{2} \right] = \mathbb{Z}[\sqrt{5}, \sqrt{13}] $$

- **Orden $ \mathbb{Z}[\alpha, \sqrt{13}] $**: $ f_1 = 1 $, $ f_2 = 2 $

$$ R_{1,2} = \mathbb{Z}\left[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{2 + 2\sqrt{13}}{2} \right] = \mathbb{Z}[\alpha, \sqrt{13}] $$

- **Orden $ \mathbb{Z}[\sqrt{5}, \beta] $**: $ f_1 = 2 $, $ f_2 = 1 $

$$ R_{2,1} = \mathbb{Z}\left[ \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \right] = \mathbb{Z}[\sqrt{5}, \beta] $$

Todos estos ejemplos son consistentes con la descripción general.

### **4. Conclusión**

Todos los subanillos de enteros algebraicos contenidos en $ \mathbb{Q}[\sqrt{5}, \sqrt{13}] $ son precisamente los órdenes de la forma:

$$\boxed{ \mathbb{Z}\left[ f_1 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, f_2 \cdot \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \right] \quad \text{para } f_1, f_2 \in \mathbb{N} }$$

Estos órdenes están en correspondencia biyectiva con pares de enteros positivos $ (f_1, f_2) $, y cada uno representa un subanillo distinto de $ \mathcal{O}_K $.

Quiero trabajar los conceptos de primo e irreducible. Dime qué son, pon un ejemplo en que coincidan y otro ejemplo en que no

Para comprender los conceptos de elemento primo y elemento irreducible en un anillo, es crucial analizarlos en el contexto de un dominio de integridad (un anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero). Estos conceptos son fundamentales en la teoría algebraica de números y la factorización.

1. ¿Qué es un Elemento Irreducible?

Un elemento $p$ en un dominio de integridad $D$ es irreducible (o simple) si cumple las siguientes condiciones:

No es cero.
No es una unidad (es decir, no tiene inverso multiplicativo en $D$).
Sus únicos divisores son las unidades de $D$ o sus asociados en $D$.
- Dos elementos $a$ y $b$ son asociados si $a|b$ y $b|a$, lo que equivale a decir que $b = ua$ para alguna unidad $u \in D$.
- Este tipo de descomposiciones, donde uno de los factores es una unidad, se considera trivial. Por lo tanto, un elemento irreducible es aquel que solo tiene descomposiciones triviales.

2. ¿Qué es un Elemento Primo?

Un elemento $p$ en un dominio de integridad $D$ es primo si cumple las siguientes condiciones:

No es cero.
No es una unidad.
Para cualesquiera elementos $a, b \in D$, si $p$ divide al producto $ab$, entonces $p$ divide a $a$ o $p$ divide a $b$.
- Esta propiedad también se describe como que el ideal generado por $p$, $(p)$, es un ideal primo (es decir, si $ab \in (p)$, entonces $a \in (p)$ o $b \in (p)$).

3. Relación entre Primos e Irreducibles

Todo elemento primo es irreducible. La demostración de esta propiedad es un ejercicio común.
Sin embargo, el recíproco no es cierto en general: no todo elemento irreducible es necesariamente primo.
La equivalencia entre ambos conceptos se da en los dominios de factorización única (DFU). Un dominio de integridad es un DFU si y solo si todo elemento irreducible es primo.

4. Ejemplo en que Coinciden

El caso más conocido y fundamental donde los conceptos de primo e irreducible coinciden es en el anillo de los números enteros $\mathbb{Z}$.

$\mathbb{Z}$ es un dominio de factorización única (DFU). Este es el Teorema Fundamental de la Aritmética, que afirma que todo entero mayor que 1 puede factorizarse de manera única como producto de primos.
En $\mathbb{Z}$, los elementos irreducibles son $\pm p$, donde $p$ es un número primo positivo (ej: $\pm 2, \pm 3, \pm 5, \ldots$).
Dado que $\mathbb{Z}$ es un DFU, y en un DFU todo irreducible es primo, se concluye que en $\mathbb{Z}$ los elementos primos e irreducibles son los mismos.

Nota de la conversación: Nuestro cuerpo de estudio, $\mathbb{Q}[\sqrt{33}]$, tiene como anillo de enteros $O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right]$ [conversación anterior]. Este anillo es un dominio euclídeo [conversación anterior], y todo dominio euclídeo es un dominio de ideales principales (DIP), y todo DIP es un DFU. Por lo tanto, en $O_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right]$, los conceptos de elemento primo y elemento irreducible también coinciden.

5. Ejemplo en que No Coinciden

Un contraejemplo clásico donde un elemento es irreducible pero no primo es el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = {a + b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb{Z}}$. Este anillo no es un DFU.

Consideremos el número $\mathbf{2}$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$:

¿Es $2$ irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$? Sí.
- Para probarlo, usamos la norma $N(a+b\sqrt{-5}) = a^2+5b^2$. La norma es multiplicativa, es decir, $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.
- $N(2) = 2^2 + 5(0)^2 = 4$.
- Si $2 = \alpha\beta$ para $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, entonces $N(2) = N(\alpha)N(\beta)$, es decir, $4 = N(\alpha)N(\beta)$.
- Esto implica que $N(\alpha)$ y $N(\beta)$ deben ser divisores de 4. Los posibles valores para la norma son $1, 2, 4$.
- Si $N(\alpha) = 1$, entonces $\alpha$ es una unidad. Las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ son $\pm 1$.
- Si $N(\alpha) = 4$, entonces $N(\beta) = 1$, por lo que $\beta$ es una unidad. En este caso, $\alpha$ sería un asociado de $2$.
- ¿Puede $N(\alpha) = 2$? Si $N(\alpha) = a^2+5b^2 = 2$ para $a,b \in \mathbb{Z}$, no hay soluciones enteras, ya que si $b \ne 0$, $5b^2 \ge 5$, y si $b=0$, $a^2=2$ no tiene solución entera.
- Por lo tanto, cualquier factor de $2$ debe ser una unidad o un asociado de $2$. Esto significa que $2$ es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.
¿Es $2$ primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$? No.
- Consideremos la siguiente igualdad en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$: $\mathbf{6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})}$.
- Tenemos que $2$ divide a $6$, es decir, $2 | (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$.
- Ahora, verifiquemos si $2$ divide a alguno de los factores:
  - $N(1+\sqrt{-5}) = 1^2 + 5(1)^2 = 6$.
  - $N(2) = 4$.
  - Si $2$ dividiera a $1+\sqrt{-5}$, entonces $N(2)$ dividiría a $N(1+\sqrt{-5})$, es decir, $4 | 6$, lo cual es falso.
- Por lo tanto, $2$ no divide a $1+\sqrt{-5}$. De manera análoga, $2$ no divide a $1-\sqrt{-5}$.
- Como $2$ divide al producto $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ pero no divide a ninguno de los factores individualmente, $2$ no es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

Este ejemplo demuestra que un elemento puede ser irreducible sin ser primo, y es la razón principal por la que $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es un dominio de factorización única. Otros ejemplos de anillos que no son DFU incluyen $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{-26}]$.

Halla los primos e irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Para hallar los elementos irreducibles del anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, es fundamental comprender la estructura de este anillo y sus propiedades de factorización. El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un ejemplo de un anillo de enteros de un cuerpo cuadrático, en este caso, $D=2$.

A continuación, se detalla el razonamiento para caracterizar sus elementos irreducibles:

Dominio Euclidiano (DE):
- El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio euclidiano con respecto a la función norma $\varphi(a+b\sqrt{2}) = |N(a+b\sqrt{2})| = |a^2 - 2b^2|$. La demostración implica elegir $q_1, q_2 \in \mathbb{Z}$ de modo que $|a-q_1| \le 1/2$ y $|b-q_2| \le 1/2$ para $x/y = a+b\sqrt{2}$ en el cuerpo de fracciones $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, asegurando que el resto $r$ tenga una norma menor que la de $y$. Un dominio euclidiano es un dominio de integridad que posee una función euclidiana (o norma euclidiana).
Implicaciones de ser un Dominio Euclidiano:
- Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales (DIP). Esto significa que todo ideal en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ puede ser generado por un único elemento.
- Todo dominio de ideales principales es un dominio de factorización única (DFU). En un DFU, cada elemento no nulo y no invertible se puede escribir de forma única (salvo el orden de los factores y asociación) como un producto de elementos irreducibles.
- Una propiedad crucial de los DFU es que los elementos primos e irreducibles son equivalentes. Por lo tanto, en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, para caracterizar los elementos irreducibles, es suficiente caracterizar los elementos primos.
Unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$:
- Un elemento $x \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es una unidad (es decir, invertible) si y solo si su norma $N(x) = \pm 1$.
- Para $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, las unidades son los elementos $a+b\sqrt{2}$ tales que $a^2 - 2b^2 = \pm 1$. El grupo de unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es infinito, y se puede expresar como $O^\times = {\pm(1+\sqrt{2})^k \mid k \in \mathbb{Z}}$.
Caracterización de elementos primos (irreducibles) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$: Dado que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un DFU, podemos caracterizar sus elementos primos (o irreducibles) mediante el análisis de la factorización de los números primos de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Un elemento $u \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es primo si y solo si es de uno de los siguientes tipos, según el Teorema 4.17 y el Teorema 4.18:
- Elementos cuya norma es un número primo de $\mathbb{Z}$ (salvo signo):
  - Si $u = a+b\sqrt{2}$ es un elemento tal que $N(u) = \pm p$, donde $p$ es un número primo en $\mathbb{Z}$, entonces $u$ es irreducible (y, por lo tanto, primo en un DFU). Estos elementos no son asociados a primos de $\mathbb{Z}$.
- Elementos asociados a números primos de $\mathbb{Z}$ que permanecen primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$:
  - Si $p$ es un número primo en $\mathbb{Z}$ tal que $p$ es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, entonces $u = \epsilon p$ (donde $\epsilon$ es una unidad) es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
Para determinar qué números primos de $\mathbb{Z}$ pertenecen a cada categoría, analizamos el comportamiento de un primo racional $p$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$:
- Caso 1: El primo racional $p=2$:
  - Para $D=2$, se cumple la condición $D \equiv 2 \pmod 4$ [82, 100, 118, parte 3(c)], lo que implica que $2$ se descompone como $2 = \epsilon u^2$, es decir, es asociado al cuadrado de un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
  - Además, $p=2$ divide a $D=2$ [82, 100, 118, parte 4)], lo que también lleva a $2 = \epsilon u^2$.
  - En particular, tenemos que $\mathbf{2 = (\sqrt{2})^2 = (-1)(\sqrt{2})^2}$. El elemento $\sqrt{2}$ es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ porque su norma es $N(\sqrt{2}) = (0)^2 - 2(1)^2 = -2$, que es $\pm p$ con $p=2$ primo en $\mathbb{Z}$. Así, $\sqrt{2}$ (y sus asociados, como $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}(1+\sqrt{2})^k$) son los elementos primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ con norma $\pm 2$.
- Caso 2: Los primos racionales impares $p \neq 2$:
  - Un primo $p \in \mathbb{Z}$ se descompone en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ como el producto de dos primos no asociados, $p = uv$, si y solo si la congruencia $a^2 \equiv 2 \pmod p$ tiene solución en $\mathbb{Z}$ [82, 100, 118, parte 2(a)]. Esto equivale a que $2$ sea un residuo cuadrático módulo $p$, denotado por $\left(\frac{2}{p}\right) = 1$. Por la ley de reciprocidad cuadrática, esto ocurre cuando $p \equiv 1 \pmod 8$ o $p \equiv 7 \pmod 8$ (es decir, $p \equiv \pm 1 \pmod 8$).
    - En este caso, los factores primos $u$ y $v$ son de la forma $a+b\sqrt{2}$ con $N(u) = \pm p$. Por ejemplo, para $p=7$ ($7 \equiv -1 \pmod 8$), $3^2 - 2(1)^2 = 7$, así que $3+\sqrt{2}$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ con norma $7$. Su conjugado $3-\sqrt{2}$ también lo es, y $7 = (3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})$.
  - Un primo $p \in \mathbb{Z}$ permanece primo (es irreducible) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ si y solo si la congruencia $a^2 \equiv 2 \pmod p$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$ [82, 100, 118, parte 2(b)]. Esto equivale a que $2$ no sea un residuo cuadrático módulo $p$, denotado por $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$. Esto ocurre cuando $p \equiv 3 \pmod 8$ o $p \equiv 5 \pmod 8$ (es decir, $p \equiv \pm 3 \pmod 8$).
    - En este caso, $p$ en sí mismo (y sus asociados) es un elemento primo de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Por ejemplo, para $p=3$ ($3 \equiv 3 \pmod 8$), la ecuación $a^2 \equiv 2 \pmod 3$ no tiene soluciones (solo $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=1 \pmod 3$). Por lo tanto, $3$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

En resumen, los elementos irreducibles (primos) de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ son, salvo asociación por las unidades $\pm(1+\sqrt{2})^k$:

$\sqrt{2}$ (con norma $\pm 2$).
Los números primos $p \in \mathbb{Z}$ que cumplen $p \equiv \pm 3 \pmod 8$ (estos son primos con norma $\pm p^2$).
Los elementos $a+b\sqrt{2}$ (y sus conjugados $a-b\sqrt{2}$) cuya norma es un primo $p \in \mathbb{Z}$ tal que $p \equiv \pm 1 \pmod 8$.

Halla la descomposición en factores primos e irreducibles de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en el anillo cuadrático $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Para hallar los elementos irreducibles (o primos) del anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (el anillo de números de la forma $a+b\sqrt{2}$ con $a, b$ números enteros), es fundamental entender la estructura de este anillo y sus propiedades de factorización. El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio de integridad.

El razonamiento para caracterizar sus elementos irreducibles se basa en las siguientes propiedades:

Dominio Euclidiano (DE): El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio euclidiano con respecto a la función norma $\varphi(a+b\sqrt{2}) = |N(a+b\sqrt{2})| = |a^2 - 2b^2|$ [34, Ejercicio 13.4]. Un dominio euclidiano es un tipo de anillo donde se puede realizar una "división con resto", similar a los números enteros.
Implicaciones de ser un Dominio Euclidiano:
- Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales (DIP). Esto significa que todo ideal en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ puede ser generado por un único elemento.
- Todo dominio de ideales principales es un dominio de factorización única (DFU). Esto es crucial porque en un DFU, cada elemento no nulo y no invertible se puede escribir de forma única (salvo el orden de los factores y la asociación por unidades) como un producto de elementos irreducibles.
- En un DFU, los elementos primos e irreducibles son equivalentes. Un elemento $p$ es irreducible si no es cero, no es una unidad, y sus únicos divisores son unidades o asociados a $p$. Un elemento $p$ es primo si no es cero, no es una unidad, y si divide un producto $xy$, entonces divide a $x$ o divide a $y$.
Unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$: Un elemento $x \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es una unidad (es decir, invertible) si y solo si su norma $N(x) = \pm 1$. En $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, las unidades son $\pm (1+\sqrt{2})^k$ para cualquier entero $k$ (por ejemplo, $1^2 - 2(1)^2 = -1$, por lo que $1+\sqrt{2}$ es una unidad) [mencionado en conversación anterior, consistente con fuentes]. Los elementos que son unidades no se consideran irreducibles.
Caracterización de elementos primos (irreducibles) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$: Los elementos primos de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ se clasifican en función de cómo se comportan los números primos de $\mathbb{Z}$ al factorizarse en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$:
- El primo racional $p=2$:
  - El número $2$ se descompone como $2 = -(\sqrt{2})^2$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. El elemento $\sqrt{2}$ es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ porque su norma es $N(\sqrt{2}) = 0^2 - 2(1)^2 = -2$, y un elemento cuya norma es $\pm p$ (con $p$ primo en $\mathbb{Z}$) es primo en el anillo.
- Primos racionales impares $p \neq 2$:
  - Primos que se descomponen (split): Si un primo $p \in \mathbb{Z}$ cumple $p \equiv 1 \pmod 8$ o $p \equiv 7 \pmod 8$, entonces $p$ se descompone en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ como el producto de dos primos no asociados, $p = uv$, donde $u$ y $v$ son de la forma $a+b\sqrt{2}$ con $N(u) = \pm p$ [mencionado en conversación anterior, basado en Teorema 4.13(a) para $d=2$ y condición $a^2 \equiv d \pmod p$, 56].
  - Primos que permanecen primos (inert): Si un primo $p \in \mathbb{Z}$ cumple $p \equiv 3 \pmod 8$ o $p \equiv 5 \pmod 8$, entonces $p$ permanece primo (es irreducible) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ [mencionado en conversación anterior, basado en Teorema 4.13(b) para $d=2$ y condición $a^2 \not\equiv d \pmod p$, 56].

A continuación, se presenta la descomposición en factores primos de los números 1 al 10 en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, utilizando la convención de que se ignora la asociación por unidades cuando se presenta el resultado. Las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ incluyen $\pm 1$, $\pm (1+\sqrt{2})$, etc.

1: 1 es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Las unidades no son consideradas irreducibles.
2: $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$. $\sqrt{2}$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
3: Como $3 \equiv 3 \pmod 8$, $3$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (permanece inerte) [mencionado en conversación anterior].
4: $4 = 2 \cdot 2 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^4$.
5: Como $5 \equiv 5 \pmod 8$, $5$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (permanece inerte) [mencionado en conversación anterior].
6: $6 = 2 \cdot 3 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 3$.
7: Como $7 \equiv 7 \pmod 8$, $7$ se descompone en dos factores primos no asociados. Una factorización es $7 = (3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})$ [mencionado en conversación anterior]. Los elementos $3+\sqrt{2}$ y $3-\sqrt{2}$ son primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ porque sus normas son $N(3+\sqrt{2}) = 3^2 - 2(1)^2 = 7$ y $N(3-\sqrt{2}) = 3^2 - 2(-1)^2 = 7$, las cuales son un primo de $\mathbb{Z}$.
8: $8 = 2^3 = ((-1) \cdot (\sqrt{2})^2)^3 = -1 \cdot (\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^6$.
9: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.
10: $10 = 2 \cdot 5 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 5$.

Revisa $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$. $\sqrt{2}$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y revisa $6 = 2 \cdot 3 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 3$. y revisa $8 = 2^3 = ((-1) \cdot (\sqrt{2})^2)^3 = -1 \cdot (\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^6$. por si hubiera algún error

A continuación, revisaré las descomposiciones en factores primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ que ha proporcionado, basándome en la información de las fuentes y nuestra conversación previa.

Es importante recordar que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio euclidiano (DE) con respecto a la función norma $\varphi(a+b\sqrt{2}) = |N(a+b\sqrt{2})| = |a^2 - 2b^2|$ [34, Ejercicio 13.4, 77, 104, 131, 258]. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales (DIP), y todo DIP es un dominio de factorización única (DFU). En un DFU, los elementos primos e irreducibles son equivalentes. Las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ son los elementos $x$ tales que $N(x) = \pm 1$, y el grupo de unidades es infinito, dado por $O^\times = {\pm(1+\sqrt{2})^k \mid k \in \mathbb{Z}}$. Las unidades se ignoran en la unicidad de la factorización.

Revisión de las descomposiciones:

$2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$ y si $\sqrt{2}$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$:
- Norma de $\sqrt{2}$: La norma de $\sqrt{2}$ es $N(\sqrt{2}) = (0)^2 - 2(1)^2 = -2$.
- Primacidad de $\sqrt{2}$: Un elemento $u \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es irreducible (y por tanto primo en un DFU) si su norma $N(u) = \pm p$, donde $p$ es un número primo en $\mathbb{Z}$ [mencionado en nuestra conversación anterior]. Dado que $N(\sqrt{2}) = -2$ y $2$ es un número primo en $\mathbb{Z}$, $\sqrt{2}$ es efectivamente un elemento primo (irreducible) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
- Factorización de 2: Las fuentes establecen que, para el anillo de enteros $O$ de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$, si $D \equiv 2 \pmod 4$ o $D \equiv 3 \pmod 4$, entonces el primo racional $2$ se factoriza como $2 = \epsilon u^2$, donde $\epsilon$ es una unidad y $u$ es un elemento primo de $O$. Para $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, tenemos $D=2$, que es $2 \equiv 2 \pmod 4$. Por lo tanto, $2$ se "ramifica" y se factoriza como asociado a un cuadrado de un primo. En este caso, $N(\sqrt{2})=-2$, y $N(-1)=1$. La factorización $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$ es correcta.
$6 = 2 \cdot 3 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 3$:
- Factorización de 2: Como se verificó en el punto anterior, $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$, donde $\sqrt{2}$ es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y $-1$ es una unidad.
- Factorización de 3: Para determinar si $3$ es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, analizamos su congruencia módulo $8$. Tenemos $3 \equiv 3 \pmod 8$. Las reglas de factorización de primos racionales impares en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ indican que si un primo $p \in \mathbb{Z}$ satisface $p \equiv 3 \pmod 8$ o $p \equiv 5 \pmod 8$, entonces $p$ permanece primo (inerte) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ [mencionado en nuestra conversación anterior]. Por lo tanto, $3$ es un elemento primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
- Combinación: Al combinar estas factorizaciones, obtenemos $6 = 2 \cdot 3 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 3$. Esta descomposición es correcta.
$8 = 2^3 = ((-1) \cdot (\sqrt{2})^2)^3 = -1 \cdot (\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^6$:
- Factorización de 2: Partiendo de la factorización de $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$.
- Elevación a la potencia: $2^3 = (-1 \cdot (\sqrt{2})^2)^3 = (-1)^3 \cdot ((\sqrt{2})^2)^3 = -1 \cdot (\sqrt{2})^{2 \cdot 3} = -1 \cdot (\sqrt{2})^6$.
- Asociación: Dado que $-1$ es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, la expresión $-1 \cdot (\sqrt{2})^6$ es asociada con $(\sqrt{2})^6$. En un dominio de factorización única, las factorizaciones son únicas salvo el orden de los factores y la asociación por unidades. Por lo tanto, la factorización en términos de factores primos principales se puede expresar como $(\sqrt{2})^6$, omitiendo la unidad. Esta descomposición es correcta.

En conclusión, todas las descomposiciones en factores primos que ha proporcionado son correctas y consistentes con las propiedades de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ como un dominio de factorización única.

No comprendo 2=−1⋅(2–√)2

Entiendo perfectamente su confusión con la expresión $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Revisando la aritmética y las propiedades del anillo, se ha identificado una imprecisión en las factorizaciones presentadas anteriormente. Permítame aclararlo.

Propiedades de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Para contextualizar, el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (números de la forma $a+b\sqrt{2}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$) es un dominio euclidiano (DE) con respecto a la función norma $\varphi(a+b\sqrt{2}) = |N(a+b\sqrt{2})| = |a^2 - 2b^2|$ [34, Ejercicio 13.4, 71, 84, 97, 532]. Como todo DE es un dominio de ideales principales (DIP) [44, Teorema 10, 566], y todo DIP es un dominio de factorización única (DFU) [6, Corolario 13.3.10, 34, 65, Corolario 4.9, 78, 91, 104, 559, Teorema 2.2.1], cada elemento no nulo y no invertible de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ puede escribirse de forma única (salvo el orden de los factores y la asociación por unidades) como un producto de elementos irreducibles (primos) [6, 46, Proposición 9, 65, Corolario 4.8, 78, 91].

Análisis de los factores

Elemento $\sqrt{2}$:
- La norma de $\sqrt{2}$ es $N(\sqrt{2}) = (0)^2 - 2(1)^2 = -2$.
- Un elemento $u \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ cuya norma es $\pm p$ (donde $p$ es un número primo en $\mathbb{Z}$) es irreducible (y por lo tanto primo en un DFU) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ [68, Lema 4.14, 81, 94]. Dado que $N(\sqrt{2}) = -2$ y $2$ es un número primo en $\mathbb{Z}$, $\sqrt{2}$ es un elemento primo (irreducible) en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
Elemento $-1$:
- La norma de $-1$ es $N(-1) = (-1)^2 - 2(0)^2 = 1$.
- Un elemento $x \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es una unidad (es decir, invertible) si y solo si su norma $N(x) = \pm 1$ [1, Observación 13.1.2, 40, 44, Corolario 6, 106, 167, Proposición 3.9(a), 308, Lema, 309, 351, 442, 510, 517, 565]. Las unidades, por definición, no se consideran elementos irreducibles y se "ignoran" en la unicidad de la factorización [104, Definición 3.2, 105, 305, 336].

Corrección de la factorización de 2

La confusión surge de la propiedad básica de multiplicación:

$(\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.
Por lo tanto, si tuviéramos $2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$, esto implicaría $2 = -1 \cdot 2$, lo que resulta en $2 = -2$, lo cual es incorrecto.

La factorización correcta del número $2$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es simplemente:

$2 = (\sqrt{2})^2$ [fuera de las fuentes, pero es una consecuencia directa de la definición y las propiedades, y se alinea con la idea de que 2 se "ramifica" como el cuadrado de un primo asociado, como se sugiere en [35 b).(iii) para D=2, donde el ideal $\langle 2 \rangle$ es $\langle 2, \sqrt{2} \rangle^2 = \langle \sqrt{2} \rangle^2$].

El factor $-1$ es una unidad. Si factorizamos $-2$, entonces sí tendríamos $-2 = -1 \cdot (\sqrt{2})^2$. Sin embargo, para el número $2$, la unidad $-1$ no es un factor esencial en su descomposición en irreducibles; la forma más directa y canónica, despreciando unidades, es $(\sqrt{2})^2$.

Revisión de las otras descomposiciones afectadas

Esta corrección impacta directamente las factorizaciones de $6$ y $8$ que se habían proporcionado, ya que utilizaban el factor $(-1) \cdot (\sqrt{2})^2$ para representar $2$.

$6$:
- La factorización original fue: $6 = 2 \cdot 3 = (-1) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 3$.
- La factorización corregida es: $6 = (\sqrt{2})^2 \cdot 3$. El número $3$ es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ porque $3 \equiv 3 \pmod 8$ y, por lo tanto, permanece inerte [mencionado en nuestra conversación anterior, basándose en [35 a).(ii)] y.
$8$:
- La factorización original fue: $8 = 2^3 = ((-1) \cdot (\sqrt{2})^2)^3 = -1 \cdot (\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^6$.
- La factorización corregida es: $8 = ((\sqrt{2})^2)^3 = (\sqrt{2})^6$. Al ser $-1$ una unidad, su presencia no afecta la esencia de la factorización en términos de factores primos principales. Sin embargo, si se busca la igualdad estricta, $(-1)^3 = -1$, por lo que $((-1)(\sqrt{2})^2)^3 = -(\sqrt{2})^6$, lo que sería una factorización de $-8$. La factorización de $8$ es simplemente $(\sqrt{2})^6$.

Lamento cualquier confusión causada por la imprecisión anterior. La claridad en estas factorizaciones es fundamental para entender la aritmética en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

Te voy a poner una tarea difícil, exigente. Se trata de que me respondas a todas las preguntas que te he hecho hasta ahora, pero con relación a $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ Parece más difícil, pero no lo es. ¡¡Ánimo, tu puedes!!

¡Claro que sí! Con gusto abordaremos esta tarea difícil y exigente, analizando las propiedades de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ y sus factorizaciones, en contraste con $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. ¡Ánimo!

Propiedades fundamentales de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$

El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ se compone de números de la forma $a+b\sqrt{-2}$, donde $a, b \in \mathbb{Z}$. Es un anillo de enteros de un cuerpo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, donde $D=-2$.

Dominio Euclídeo (DE), Dominio de Ideales Principales (DIP) y Dominio de Factorización Única (DFU):
- Dominio Euclídeo: Las fuentes confirman que para $D=-2$, el anillo de enteros $O$ (que en este caso es $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ dado que $-2 \not\equiv 1 \pmod 4$ [156, Teorema 2.2(a), 177]) es euclídeo respecto a la función norma $\varphi(a+b\sqrt{-2}) = |N(a+b\sqrt{-2})| = |a^2 - (-2)b^2| = |a^2 + 2b^2|$ [43, Proposición 4.20, 50, Proposición 4.20, 57, Proposición 4.20]. Esto se debe a que $-2$ es uno de los valores $D$ libres de cuadrados con $|D|<3$ para los que se ha demostrado que $O$ es euclídeo.
- Dominio de Ideales Principales (DIP): Un resultado fundamental en álgebra conmutativa establece que todo dominio euclídeo es un dominio de ideales principales [4, 27, Teorema 11, 71, 273]. Por lo tanto, $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es un DIP.
- Dominio de Factorización Única (DFU): De igual manera, todo dominio de ideales principales es un dominio de factorización única [6, Corolario 13.3.10, 46, Proposición 9, 71, 227, 273]. Consecuentemente, $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es un DFU. Esto significa que cada elemento no nulo y no invertible de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ tiene una factorización única como producto de elementos primos (irreducibles), salvo el orden de los factores y la asociación por unidades.
Unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$:
- Las unidades (elementos invertibles) en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ son los elementos $x$ cuya norma $N(x) = \pm 1$ [1, Observación 13.1.2, 40, 44, Corolario 6, 106, 167, Proposición 3.9(a), 265].
- Para un elemento $a+b\sqrt{-2} \in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, su norma es $N(a+b\sqrt{-2}) = a^2 - (-2)b^2 = a^2 + 2b^2$.
- Buscamos soluciones enteras para $a^2 + 2b^2 = \pm 1$. Dado que $a^2+2b^2$ siempre es no negativo, debemos resolver $a^2 + 2b^2 = 1$.
- Si $b \neq 0$, entonces $2b^2 \ge 2$, lo que haría $a^2 + 2b^2 \ge 2$, superando $1$.
- Por lo tanto, $b$ debe ser $0$. Si $b=0$, entonces $a^2 = 1$, lo que implica $a = \pm 1$.
- Así, las únicas unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ son ${\mathbf{\pm 1}}$. Este es un grupo de unidades finito, a diferencia de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ donde el grupo de unidades es infinito [mencionado en conversaciones anteriores].

Análisis de la primacía y factorizaciones:

Ahora, abordemos las preguntas específicas sobre la primacía de $\sqrt{-2}$ y las factorizaciones de $2$, $6$ y $8$.

Elemento $\sqrt{-2}$ y la factorización de $2$:
- Primacía de $\sqrt{-2}$: La norma de $\sqrt{-2}$ es $N(\sqrt{-2}) = (0)^2 + 2(1)^2 = 2$. Un elemento $u \in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es irreducible (y por lo tanto primo en un DFU) si su norma $N(u) = \pm p$, donde $p$ es un número primo en $\mathbb{Z}$ [68, Lema 4.14, 81, 94]. Dado que $N(\sqrt{-2}) = 2$ y $2$ es un número primo en $\mathbb{Z}$, $\sqrt{-2}$ es un elemento primo (irreducible) en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
- Factorización de $2$: En el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, podemos escribir $2$ utilizando $\sqrt{-2}$. Tenemos $(\sqrt{-2})^2 = -2$. Para obtener $2$, necesitamos multiplicar por $-1$: $\mathbf{2 = (-1) \cdot (\sqrt{-2})^2}$. Esta factorización es correcta. El factor $-1$ es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ y $\sqrt{-2}$ es un elemento primo. Esta situación es diferente a la de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, donde $2 = (\sqrt{2})^2$ directamente, y la inclusión de $-1$ llevaría a una inconsistencia aritmética si se aplicara directamente. En $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, la unidad $-1$ es necesaria para ajustar el signo resultante del cuadrado. El número $2$ se "ramifica" en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ como el cuadrado de un primo asociado, ya que $D=-2 \equiv 2 \pmod 4$ [información de la discusión previa sobre ramificación en cuerpos cuadráticos, que indica que para $D \equiv 2 \pmod 4$ o $D \equiv 3 \pmod 4$, el primo racional $2$ se factoriza como $\epsilon u^2$, donde $\epsilon$ es una unidad y $u$ un primo].
Primacía de $3$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$:
- Para determinar si un primo racional impar $p$ (como $3$) es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$, se utiliza el símbolo de Legendre $(\frac{D}{p})$ [mencionado en la conversación anterior].
- Para $p=3$ y $D=-2$, calculamos $(\frac{-2}{3})$. Tenemos $-2 \equiv 1 \pmod 3$.
- Por lo tanto, $(\frac{-2}{3}) = (\frac{1}{3}) = 1$.
- Cuando $(\frac{D}{p}) = 1$, el primo racional $p$ se escinde en dos factores primos distintos (no asociados) en el anillo de enteros [mencionado en la conversación anterior].
- Buscamos elementos $a+b\sqrt{-2}$ cuya norma sea $3$. Es decir, $a^2+2b^2=3$.
- Si $b=1$, entonces $a^2+2(1)^2=3 \implies a^2=1 \implies a=\pm 1$.
- Así, encontramos los factores $1+\sqrt{-2}$ y $1-\sqrt{-2}$. Ambos son primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ porque sus normas son $3$, que es un primo en $\mathbb{Z}$.
- Por lo tanto, $3$ NO es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$; se escinde como $\mathbf{3 = (1+\sqrt{-2})(1-\sqrt{-2})}$. Esto contrasta con $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, donde $3$ es inerte (permanece primo) porque $(\frac{2}{3}) = -1$.
Factorización de $6$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$:
- Partiendo de $6 = 2 \cdot 3$.
- Sustituyendo las factorizaciones encontradas: $2 = (-1) \cdot (\sqrt{-2})^2$ $3 = (1+\sqrt{-2})(1-\sqrt{-2})$
- Obtenemos la factorización de $6$: $\mathbf{6 = (-1) \cdot (\sqrt{-2})^2 \cdot (1+\sqrt{-2}) \cdot (1-\sqrt{-2})}$.
- Todos los factores $\sqrt{-2}$, $1+\sqrt{-2}$ y $1-\sqrt{-2}$ son primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, y $-1$ es una unidad.
Factorización de $8$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$:
- Partiendo de $8 = 2^3$.
- Usando la factorización de $2 = (-1) \cdot (\sqrt{-2})^2$: $8 = ((-1) \cdot (\sqrt{-2})^2)^3$ $8 = (-1)^3 \cdot ((\sqrt{-2})^2)^3$ $8 = -1 \cdot (\sqrt{-2})^{2 \cdot 3}$ $8 = -1 \cdot (\sqrt{-2})^6$
- Dado que $-1$ es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, esta expresión es asociada con $(\sqrt{-2})^6$. En un dominio de factorización única, las factorizaciones son únicas salvo el orden de los factores y la asociación por unidades.
- Por lo tanto, la factorización en términos de factores primos principales se puede expresar como $\mathbf{(\sqrt{-2})^6}$.

En resumen, $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es un anillo con excelentes propiedades aritméticas (DE, DIP, DFU). Sus unidades son solo $\pm 1$. El elemento $\sqrt{-2}$ es primo y es fundamental para la factorización de $2$ y sus potencias. El primo $3$ no es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, sino que se escinde en dos factores primos distintos. Todas las factorizaciones presentadas son consistentes con las propiedades de este anillo.

PREGUNTAS PARA PLANTEAR A NOTEBOOK LM

¿Qué me puedes decir de todo lo que hemos conversado antes, pero respecto a $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{3}}]$ ?
¿Cuál es su anillo de enteros?. ¿Cuáles son los primos, cuáles son los irreducibles?

Claro, abordemos el caso del cuerpo de números $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{3}}]$ (que es lo mismo que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$), que es una extensión cúbica de los números racionales $\mathbb{Q}$, a diferencia de los cuerpos cuadráticos que habíamos discutido.

El Anillo de Enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

¿Cuál es su anillo de enteros? Un cuerpo de números $K$ es cualquier extensión finita de $\mathbb{Q}$. En este caso, $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un cuerpo de números porque $\sqrt{2}$ es una raíz del polinomio $x^3 - 2 = 0$, que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y tiene grado 3. Los elementos de este cuerpo se pueden expresar de forma única como $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}$, con $a, b, c \in \mathbb{Q}$.

El anillo de enteros de un cuerpo de números $K$, denotado $O_K$, es el conjunto de todos los enteros algebraicos contenidos en $K$. Un número complejo $\alpha$ se define como un entero algebraico si es una raíz de un polinomio mónico (coeficiente principal 1) con coeficientes en $\mathbb{Z}$.

Dado que $\sqrt{2}$ es una raíz de $x^3 - 2 = 0$, que es un polinomio mónico con coeficientes enteros, $\sqrt{2}$ es un entero algebraico. En el caso de extensiones puras como $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, donde $m$ es un entero libre de cubos, el anillo de enteros es frecuentemente de la forma $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$. Siguiendo esta línea, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Esto significa que los elementos del anillo de enteros son de la forma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}$, donde $a, b, c$ son números enteros racionales.

Primos e Irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Las definiciones de elementos primos e irreducibles se aplican de manera general en cualquier dominio de integridad (un anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero). El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio de integridad porque está contenido en el cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

Elementos Irreducibles: Un elemento $p$ en un dominio de integridad es irreducible si no es cero, no es una unidad (es decir, no tiene un inverso multiplicativo en el anillo), y si cualquier divisor $x$ de $p$ es una unidad o un asociado de $p$. En otras palabras, no se puede factorizar en elementos "más pequeños" no triviales dentro del anillo.
Elementos Primos: Un elemento $p$ en un dominio de integridad es primo si no es cero, no es una unidad, y si $p$ divide a un producto $ab$, entonces $p$ debe dividir a $a$ o $p$ debe dividir a $b$.
Relación entre Primos e Irreducibles: En cualquier dominio de integridad, todo elemento primo es irreducible. Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta en general. Un dominio es un Dominio de Factorización Única (DFU) si y solo si todo elemento irreducible es primo. El anillo de enteros de un cuerpo numérico es un DFU si y solo si es un Dominio de Ideales Principales (DIP).

La Norma y su Relación con Unidades y Elementos Irreducibles

La norma es una herramienta fundamental para el estudio de la aritmética en estos anillos, incluyendo la identificación de unidades y elementos irreducibles.

Cálculo de la Norma (general): Para un elemento $\alpha$ en el anillo de enteros $O_K$ de un cuerpo de números $K$, la norma de $\alpha$, $N(\alpha)$, se define como el producto de todos los conjugados de $\alpha$. Esta norma es siempre un número entero racional.
Relación con las Unidades: Un elemento $\epsilon$ en el anillo de enteros $O_K$ es una unidad (es decir, tiene un inverso multiplicativo en $O_K$) si y solo si su norma es $\pm 1$.
Relación con los Irreducibles: Si la norma de un elemento $x$ en un anillo de enteros $O_K$ es un número primo racional (un número primo en $\mathbb{Z}$), entonces $x$ es irreducible en $O_K$. Esta propiedad es muy útil para encontrar elementos irreducibles.

En Cuerpos Ciclotómicos

Para los cuerpos ciclotómicos $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$, las respuestas a estas preguntas son muy similares:

El anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ es $\mathbb{Z}[\zeta_m]$.
La norma de un elemento en $\mathbb{Z}[\zeta_m]$ se calcula como el producto de sus conjugados, y su valor es un número entero.
Un elemento $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_m]$ es una unidad si y solo si su norma es $\pm 1$ (o $1$ si la norma es siempre no negativa).
Las definiciones de primo e irreducible son las mismas que para $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ u otros dominios de integridad.

En resumen, los conceptos de norma, unidad, primo e irreducible son fundamentales y se aplican de manera general en los anillos de enteros de cuerpos numéricos como $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y los cuerpos ciclotómicos. La norma sirve como una herramienta poderosa para identificar unidades y elementos irreducibles. Sin embargo, si un anillo de enteros dado es un Dominio de Factorización Única (es decir, si todo irreducible es primo y las factorizaciones son esencialmente únicas) varía de un cuerpo a otro.

LE HAGO REPETIR LA RESPUESTA, A VER SI ENMIENDA LOS ERRORES

Nuestra conversación previa se centró en los cuerpos cuadráticos imaginarios y, en particular, en los enteros gaussianos (que corresponden a $d=-1$) [Previous conversation]. El cuerpo que ahora nos concierne, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, es una extensión cúbica de los números racionales, lo que implica diferencias fundamentales con los cuerpos cuadráticos. Es importante notar que $\sqrt{2}$ se refiere a la raíz cúbica real de $2$.

El Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

El cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un cuerpo de números porque $\sqrt{2}$ es una raíz del polinomio irreducible $x^3 - 2 = 0$ sobre $\mathbb{Q}$. Los elementos de este cuerpo pueden expresarse de forma única como $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}$, donde $a, b, c \in \mathbb{Q}$.

El Anillo de Enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

El anillo de enteros de un cuerpo de números $K$, denotado $O_K$, es el conjunto de todos los enteros algebraicos contenidos en $K$. Un número es un entero algebraico si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros. Dado que $\sqrt{2}$ es raíz de $x^3-2=0$ (un polinomio mónico con coeficientes enteros), $\sqrt{2}$ es un entero algebraico.

Para extensiones cúbicas puras de la forma $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, donde $m$ es un entero libre de cubos (es decir, ningún cubo primo divide a $m$), el anillo de enteros es frecuentemente $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$. En nuestro caso, $m=2$, que es libre de cubos, y cumple las condiciones para que el anillo de enteros sea $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Esto significa que los elementos del anillo de enteros son de la forma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}$, donde $a, b, c$ son números enteros (racionales).

La Norma en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

La norma es una herramienta fundamental en la teoría de números algebraicos. Para un elemento $\alpha$ en un cuerpo de números, la norma $N(\alpha)$ se define como el producto de $\alpha$ y todos sus conjugados. Esta norma es siempre un número entero racional si $\alpha$ es un entero algebraico. Además, la norma es multiplicativa, es decir, $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.

A diferencia de los cuerpos cuadráticos imaginarios donde la norma es siempre no negativa, en cuerpos de números reales como $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, la norma puede tomar valores negativos. Por ejemplo, en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (un cuerpo cuadrático real), $N(1+\sqrt{2}) = 1^2 - 2(1)^2 = -1$.

Para un elemento $\alpha = a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, su norma se calcula utilizando sus tres conjugados (uno real y dos complejos conjugados). La fórmula general para $N(a+b\sqrt{m}+c\sqrt{m^2})$ es $a^3+mb^3+m^2c^3-3mabc$. Aplicando esto a $m=2$:

$N(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}) = a^3 + 2b^3 + 4c^3 - 6abc$

Como puedes observar, esta fórmula es considerablemente más compleja que la $a^2+b^2$ que discutimos para los enteros gaussianos, y también es diferente de $a^2+b^2$ o $a^2+ab+b^2$ que son las normas en los anillos de enteros de cuerpos cuadráticos imaginarios [Previous conversation, 17].

Un elemento $\epsilon$ en el anillo de enteros $O_K$ es una unidad (es decir, tiene un inverso multiplicativo en $O_K$) si y solo si su norma es $\pm 1$.

Primos e Irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

En cualquier dominio de integridad (como es $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$), las definiciones de elementos primos e irreducibles son las siguientes:

Un elemento $p$ es irreducible si no es cero, no es una unidad, y no puede factorizarse en elementos "más pequeños" (no triviales) dentro del anillo [Outside source].
Un elemento $p$ es primo si no es cero, no es una unidad, y si $p$ divide a un producto $ab$, entonces $p$ debe dividir a $a$ o $p$ debe dividir a $b$ [Outside source].

En general, todo elemento primo es irreducible, pero lo contrario no siempre es cierto. Un anillo de enteros es un Dominio de Factorización Única (DFU) si y solo si todo elemento irreducible es primo [Outside source]. La norma es una herramienta útil para identificar elementos irreducibles: si la norma de un elemento $x$ en un anillo de enteros $O_K$ es un número primo racional (un primo en $\mathbb{Z}$), entonces $x$ es irreducible en $O_K$ [Outside source]. Sin embargo, la determinación de si $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un DFU es una cuestión más avanzada no directamente cubierta en detalle por las fuentes proporcionadas.

Conclusión

Para reiterar, la afirmación original de que la norma $N(a+bi)=a^2+b^2$ es el cuadrado de la distancia habitual desde el origen y es siempre no negativa se aplica únicamente a los enteros gaussianos ($d=-1$). Para el cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, que es una extensión cúbica real, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y la norma de un elemento $\alpha = a+b\sqrt{2}+c\sqrt{4}$ es $N(\alpha) = a^3+2b^3+4c^3-6abc$. Esta norma puede ser negativa y no corresponde a la distancia euclidiana simple. Los conceptos de norma, unidades, y elementos irreducibles y primos siguen siendo válidos, pero sus fórmulas y propiedades específicas se adaptan a la estructura particular de cada cuerpo numérico.

Lo mismo para cuerpos ciclotómicos. Contesta en general y luego particulariza a $\mathbb{Q}[e^{\frac{2i\pi}{3}}]$

¿Qué son los anillos de Dedekind? ¿En qué sentido permiten generalizar los casos que hemo visto, comentado en esta conversación?