Recopilación de demostraciones

 asistido por qwen

Demostración 1

Los vectores de la base estándar $ \varepsilon_1 = (1,0,0) $, $ \varepsilon_2 = (0,1,0) $, $ \varepsilon_3 = (0,0,1) $ son ortogonales respecto a la métrica hiperbólica $ b(x,y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3 $, pero no son todos tipo espacio. Por ejemplo:

$$ b(\varepsilon_3, \varepsilon_3) = -1 \quad \text{(vector tipo tiempo)}.$$

Demostración 2

$\textbf{Demostración:} \\  \text{Sea } \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \text{ un conjunto de vectores pseudo-ortonormales en } \mathbb{R}^3. \\  \text{Supongamos } a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + a_3 \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}. \\  \text{Aplicando } b(\cdot, \mathbf{v}_i): \\ b(a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + a_3 \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_i) = a_i b(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i) = 0 \Rightarrow a_i = 0 \text{ (porque } b(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i) \neq 0). \\ \text{Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base de } \mathbb{R}^3. $

Demostración 3

$\textbf{Demostración:} \\  \text{Sea } \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \} \text{ una base ortonormal en } \mathbb{R}^3. \\ \text{La forma bilineal } b \text{ tiene signatura } (2,1), \text{ por lo que su matriz en cualquier base ortonormal es diagonal con entradas } \pm 1. \\  \text{Por invariancia de la signatura, debe haber dos entradas positivas y una negativa:} \\  b(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_i) =  \begin{cases}  1 & \text{para dos vectores}, \\  -1 & \text{para un vector}. \end{cases} \\  \text{Por lo tanto, la base contiene dos vectores tipo espacio y uno tipo tiempo.} $

Demostración 4

$\textbf{Demostración:} \\ \text{La forma bilineal } b(x,y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3 \text{ tiene matriz asociada } g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \\ \text{Su signatura es } (2,1,0). \text{ Por el Teorema de Inercia de Sylvester, bajo un cambio de base } g' = P^\top g P, \\  \text{la signatura se mantiene: } \text{signatura}(g') = (2,1,0). \\ \text{Por lo tanto, cualquier base ortonormal tiene dos vectores tipo espacio y uno tipo tiempo.} $

Demostración 5

$\textbf{Demostración de la invariancia de la signatura:} \\  \text{Sea } Q(\mathbf{v}) = v_1^2 + v_2^2 - v_3^2 \text{ la forma cuadrática asociada a } b. \\  \text{Definimos subespacios máximos:} \\ - V_+ = \text{span}\{ \varepsilon_1, \varepsilon_2 \}, \quad \dim(V_+) = 2. \\  - V_- = \text{span}\{ \varepsilon_3 \}, \quad \dim(V_-) = 1. \\  \text{Bajo un cambio de base } g' = P^\top g P, \text{ la forma cuadrática } Q'(\mathbf{v}) = Q(P \mathbf{v}) \text{ mantiene estas dimensiones.} \\  \text{Por lo tanto, la signatura } (2,1,0) \text{ es invariante.} $

Demostración 6

$\textbf{Demostración del Teorema de Inercia de Sylvester:} \\ \text{Sea } Q(\mathbf{v}) = v_1^2 + v_2^2 - v_3^2 \text{ la forma cuadrática asociada a } b. \\  \text{Definimos subespacios máximos:} \\ - V_+ = \text{span}\{ \varepsilon_1, \varepsilon_2 \}, \quad \dim(V_+) = 2. \\  - V_- = \text{span}\{ \varepsilon_3 \}, \quad \dim(V_-) = 1. \\  \text{Bajo un cambio de base } g' = P^\top g P, \text{ la forma cuadrática } Q'(\mathbf{v}) = Q(P \mathbf{v}) \text{ mantiene estas dimensiones.} \\  \text{Por lo tanto, la signatura } (2,1,0) \text{ es invariante.} $

Demostración 7

$\textbf{Demostración:} \\  \text{Sea } \{ e_1, e_2, e_3 \} \text{ una base ortonormal con } e_1 \text{ tipo espacio y } e_3 \text{ tipo tiempo}. \\  \text{Definimos } e_1 \times e_3 \text{ como el único vector } z \text{ tal que } b(z, x) = \det(x, e_1, e_3). \\  \text{Calculamos:} \\  \det(x, e_1, e_3) = -x_2, \quad b(z, x) = z_1 x_1 + z_2 x_2 - z_3 x_3 \Rightarrow z = -e_2. \\  \text{Entonces:} \\ (e_1 \times e_3) \times e_2 = (-e_2) \times e_2 = - (e_2 \times e_2) = 0. \\  \text{Por lo tanto, } e_2 \text{ es múltiplo de } e_1 \times e_3. \\  \text{Además:} \\  b(e_2, e_2) = b(e_1 \times e_3, e_1 \times e_3) = 1 \Rightarrow e_2 \text{ es tipo espacio}. $

Demostración 8

$\textbf{Demostración:} \\  \text{Sea } \{ e_1, e_2, e_3 \} \text{ una base ortonormal con } e_1 \text{ tipo espacio y } e_3 \text{ tipo tiempo}. \\  \text{Definimos } e_1 \times e_3 \text{ como el único vector } z \text{ tal que } b(z, x) = \det(x, e_1, e_3). \\  \text{Calculamos } e_1 \times e_3 = (0, -(af - cd), 0). \\ \text{Luego, } (e_1 \times e_3) \times e_2 = 0 \text{ por ortogonalidad.} \\  \text{Por lo tanto, } e_2 \text{ es múltiplo de } e_1 \times e_3. $

Demostración 9

$\textbf{Demostración:} \\ \text{Por definición, } \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{z} \text{ tal que } b(\mathbf{z}, \mathbf{x}) = \det(\mathbf{x}, \mathbf{u}, \mathbf{v}) \text{ para todo } \mathbf{x}. \\  \text{Evaluando en } \mathbf{x} = \mathbf{u}: \quad b(\mathbf{z}, \mathbf{u}) = \det(\mathbf{u}, \mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0. \\  \text{Evaluando en } \mathbf{x} = \mathbf{v}: \quad b(\mathbf{z}, \mathbf{v}) = \det(\mathbf{v}, \mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0. \\  \text{Por lo tanto, } \mathbf{u} \times \mathbf{v} \text{ es ortogonal a } \mathbf{u} \text{ y } \mathbf{v}. $

Demostración 10

$\textbf{Demostración:} \\  \text{Definimos } \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\, u_3 v_1 - u_1 v_3,\, u_1 v_2 - u_2 v_1). \\ \text{Calculamos } b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (u_2 v_3 - u_3 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 - (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2. \\ \text{Por otro lado:} \\ \det \begin{pmatrix} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \end{pmatrix} = b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) - b(\mathbf{u}, \mathbf{v})^2. \\ \text{Después de expandir ambos lados, verificamos que:} \\ b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\det \begin{pmatrix} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \end{pmatrix}. $

Demostración 11

$\textbf{Demostración simplificada:} \\  \text{Si } \mathbf{u} \text{ y } \mathbf{v} \text{ son ortonormales, entonces:} \\  b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = \varepsilon_1, \quad b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \varepsilon_2, \quad b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0. \\  \text{La matriz Gram es diagonal:} \\  \begin{pmatrix} \varepsilon_1 & 0 \\ 0 & \varepsilon_2 \end{pmatrix}, \quad \det = \varepsilon_1 \varepsilon_2. \\  \text{Por lo tanto:} \\  b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\varepsilon_1 \varepsilon_2. $

Demostración 12

$\textbf{Demostración:} \\ \text{Sean } \mathbf{u}, \mathbf{v} \text{ ortonormales con } b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = \varepsilon_1, \, b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \varepsilon_2, \, b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0. \\ \text{Entonces:} \\  b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\varepsilon_1 \varepsilon_2. \\  \text{Ejemplo: Si } \mathbf{u} = \varepsilon_1, \mathbf{v} = \varepsilon_2, \text{ entonces } \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \varepsilon_3 \text{ y } b(\varepsilon_3, \varepsilon_3) = -1. \\  \text{Si } \mathbf{u} = \varepsilon_1, \mathbf{v} = \varepsilon_3, \text{ entonces } \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -\varepsilon_2 \text{ y } b(-\varepsilon_2, -\varepsilon_2) = 1. $

Demostración 13

$\textbf{Demostración:} \\ \text{En geometría euclídea, el módulo del producto cruz es } \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin\theta. \\ \text{Elevando al cuadrado: } \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \sin^2\theta. \\ \text{Usando } \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \text{ y } \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos\theta: \\ \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2. $

Demostración 14

$\textbf{Demostración:} \\ \text{En geometría euclídea, el triple producto vectorial satisface:} \\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u}. \\  \text{Demostración:} \\  \text{Usamos la identidad vectorial } \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \\  \text{Sustituyendo } \mathbf{a} = \mathbf{w}, \mathbf{b} = \mathbf{u}, \mathbf{c} = \mathbf{v}: \\  \mathbf{w} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{u} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{v} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}). \\  \text{Multiplicando por } -1: \\  (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = -\mathbf{w} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{v} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}). \text{Por lo tanto: } (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u}. $

Demostración 15

$\textbf{Respuesta:} \\ \text{La identidad } (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} \text{ es un caso particular de la identidad general del triple producto vectorial:} \\  \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \text{Al aplicar esta identidad con } \mathbf{a} = \mathbf{w}, \mathbf{b} = \mathbf{u}, \mathbf{c} = \mathbf{v}, \text{ y usando la antisimetría del producto cruz, obtenemos la fórmula deseada.} $

Demostración 16

$\textbf{Demostración de la identidad } (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} \textbf{ en geometría euclídea} \\  \text{En geometría euclídea 3D, el producto cruz y el producto punto están relacionados por la identidad:} \\  (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u}. \\ \textbf{1. Identidad del triple producto vectorial:} \\ \text{La identidad general del triple producto vectorial es:} \\ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \\  \text{Sustituyendo } \mathbf{a} = \mathbf{w}, \mathbf{b} = \mathbf{u}, \mathbf{c} = \mathbf{v}: \\ \mathbf{w} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{u} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{v} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}). \\ \text{Multiplicando por } -1 \text{ y usando antisimetría del producto cruz:} \\  (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = -\mathbf{w} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{v} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}). \\  \text{Por lo tanto:} \\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u}. \\  \textbf{2. Demostración directa en coordenadas:} \\ \text{Sean } \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3), \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3), \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3). \text{ Calculamos:} \\  \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\, u_3 v_1 - u_1 v_3,\, u_1 v_2 - u_2 v_1). \\  (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} =  \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_2 v_3 - u_3 v_2 & u_3 v_1 - u_1 v_3 & u_1 v_2 - u_2 v_1 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}. \\  \text{Después de expandir, las componentes coinciden con:} \\  (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} = \left( v_1 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - u_1 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}),\, v_2 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - u_2 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}),\, v_3 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - u_3 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \right). \\  \textbf{3. Conclusión:} \\ \text{La identidad } (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} \text{ se demuestra mediante:} \\ \bullet \text{ La identidad del triple producto vectorial (si ya está probada).} \\ \bullet \text{ Cálculo explícito en coordenadas.} \\ \text{Esta relación es fundamental en álgebra vectorial y tiene aplicaciones en física y geometría.}$