Primeras páginas de Geometría euclídea y no euclídea desde el punto de vista analítico

 Asistido por Qwen

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1. El plano coordenado

• Definición del plano : Se parte del plano cartesiano familiar de la geometría analítica. Cada par ordenado de números reales $(p_1,p_2)$ determina un único punto $P$ en el plano.
• Origen : El punto $(0,0)$ se llama origen .
• Vectores como puntos : El par ordenado $(p_1,p_2)$ también se denomina vector de coordenadas del punto $P$ . Aunque matemáticamente "punto" y "vector" son equivalentes, el término "vector" sugiere una magnitud y dirección (un segmento orientado desde el origen hasta $P$ ), mientras que "punto" se refiere a una ubicación específica.

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2. El espacio vectorial ${\mathbb{R}}^2$

• Definición de vectores en ${\mathbb{R}}^2$ :
  • Si $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$ son vectores, su suma se define como:
    $$x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2).$$
  • Si $c$ es un número real y $x=(x_1,x_2)$ es un vector, la multiplicación escalar se define como:
    $$cx=(c{x}_1,c{x}_2).$$
• Propiedades algebraicas :
  • La suma de vectores es asociativa y conmutativa .
  • El vector $(0,0)$ se llama vector cero y actúa como elemento neutro para la suma.
  • Se mencionan propiedades básicas (como las de la Teorema 1), que incluyen la asociatividad y conmutatividad de la suma, y cómo interactúan las operaciones de suma y multiplicación escalar.

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3. Objetivo del autor

El autor establece las bases para trabajar con vectores en el plano (${\mathbb{R}}^2$ ), definiendo operaciones clave (suma y multiplicación escalar) y sus propiedades. Esto permite formalizar el estudio de la geometría euclidiana mediante herramientas algebraicas, preparando el terreno para temas como transformaciones lineales, producto escalar, o ecuaciones de rectas y curvas.

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Resumen

En esencia, la página construye el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^2$ definiendo cómo operar con vectores y estableciendo sus propiedades algebraicas, conectando la noción geométrica de puntos en el plano con la estructura de un espacio vectorial.

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En esta página, el autor continúa desarrollando la estructura del espacio vectorial ${\mathbb{R}}^2$ introduciendo el concepto de producto interior (también llamado producto punto o producto escalar ), que permite definir nociones geométricas clave como la longitud de un vector y el ángulo entre vectores . Aquí está lo que se presenta:

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1. Propiedades adicionales de los vectores en ${\mathbb{R}}^2$

Se enumeran propiedades algebraicas básicas de la suma de vectores y la multiplicación escalar (puntos iii a viii), como:

• $x+0=x$ (elemento neutro aditivo).
• $x+(-x)=0$ (inverso aditivo).
• $1x=x$ (neutro multiplicativo).
• Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de escalares: $c(x+y)=cx+cy$ .
• Asociatividad de la multiplicación escalar: $(cd)x=c(dx)$ .

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2. Espacio con producto interior ${\mathbb{R}}^2$

Definición del producto interior

Dados dos vectores $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$ , se define su producto interior como:

$$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2$$

Este es equivalente al producto punto en geometría euclidiana.

Propiedades del producto interior (Teorema 2)

El producto interior satisface:

1. Bilinealidad : $⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$ .
2. Linealidad en el segundo argumento : $⟨x,cy⟩=c⟨x,y⟩$ .
3. Simetría : $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$ .
4. No degenerado : Si $⟨x,y⟩=0$ para todo $x\in {\mathbb{R}}^2$ , entonces $y$ es el vector cero.

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3. Longitud (norma) de un vector

La longitud (o norma ) de un vector $x=(x_1,x_2)$ se define usando el producto interior:

$$|x|=\sqrt{⟨x,x⟩}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$$

Esto conecta directamente el producto interior con la noción geométrica de distancia. Nota clave:

$$|x{|}^2=⟨x,x⟩$$

Propiedades de la norma (Teorema 3)

1. No negatividad : $|x|\ge 0$ para todo $x$ .
2. Definición positiva : Si $|x|=0$ , entonces $x=0$ (vector cero).
3. Homogeneidad : $|cx|=|c||x|$ para todo escalar $c$ .

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Objetivo del autor

El autor establece las bases para trabajar con espacios euclidianos , donde el producto interior permite:

• Medir ángulos y distancias.
• Analizar ortogonalidad entre vectores.
• Generalizar conceptos geométricos a dimensiones más altas.

La conexión entre el producto interior y la norma es fundamental, ya que permite derivar propiedades críticas como el teorema de Pitágoras y la desigualdad del coseno en futuros desarrollos.

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En esta página, el autor presenta y demuestra dos resultados clave en la geometría euclidiana plana: la desigualdad de Cauchy-Schwarz y su corolario (desigualdad del triángulo) para vectores en ${\mathbb{R}}^2$ . Aquí está el contenido detallado:

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Teorema 4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Para dos vectores $x,y\in {\mathbb{R}}^2$ , se cumple:

$$|⟨x,y⟩|\le |x||y|.$$

Igualdad si y solo si $x$ y $y$ son proporcionales (es decir, uno es múltiplo escalar del otro).

Demostración :

1. Se define la función real $f(t)=|x+ty{|}^2$ para $t\in \mathbb{R}$ .
2. Esta función es no negativa para todo $t$ y toma el valor 0 solo si $x$ es múltiplo de $y$ .
3. Expandiendo $f(t)$ :
   $$f(t)=|x{|}^2+2t⟨x,y⟩+t^2|y{|}^2.$$
   Es un polinomio cuadrático en $t$ .
4. Para que $f(t)\ge 0$ para todo $t$ , el discriminante del polinomio debe ser no positivo:
   $$(2⟨x,y⟩{)}^2-4|y{|}^2|x{|}^2\le 0⟹⟨x,y{⟩}^2\le |x{|}^2|y{|}^2.$$
   Esto implica $|⟨x,y⟩|\le |x||y|$ .
5. La igualdad ocurre si y solo si $x$ y $y$ son proporcionales (el discriminante es cero).

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Corolario (Desigualdad del triángulo)

Para $x,y\in {\mathbb{R}}^2$ :

$$|x+y|\le |x|+|y|.$$

Igualdad si y solo si $x$ y $y$ son proporcionales con un factor de proporcionalidad no negativo .

Demostración :

1. Usando la expansión del cuadrado de la norma:
   $$|x+y{|}^2=|x{|}^2+2⟨x,y⟩+|y{|}^2.$$
2. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
   $$|x+y{|}^2\le |x{|}^2+2|x||y|+|y{|}^2=(|x|+|y|{)}^2.$$
3. Tomando raíces cuadradas:
   $$|x+y|\le |x|+|y|.$$
4. Si hay igualdad, entonces $⟨x,y⟩=|x||y|$ , lo que implica que $x$ y $y$ son proporcionales con un factor $c\ge 0$ (ya que $⟨x,y⟩=c|y{|}^2$ y $|x||y|=|c||y{|}^2$ , así que $c=|c|$ ).

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Objetivo del autor

El autor establece las bases para trabajar con normas y productos interiores en ${\mathbb{R}}^2$ , demostrando rigurosamente cómo estas nociones geométricas (ángulos, longitudes) se relacionan algebraicamente. La desigualdad de Cauchy-Schwarz y el triángulo son herramientas fundamentales para analizar propiedades como ortogonalidad, dependencia lineal y convergencia en espacios vectoriales.

La demostración utiliza técnicas básicas de álgebra lineal (polinomios, discriminantes) y conecta conceptos clave como proporcionalidad , norma y producto interior , preparando el terreno para temas avanzados como proyecciones, bases ortonormales y transformaciones lineales

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En esta página, el autor profundiza en la geometría euclidiana plana (${\mathbb{E}}^2$ ) integrando conceptos algebraicos y geométricos, y establece propiedades fundamentales como la distancia y las rectas . Aquí está el contenido clave:

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1. El plano euclidiano ${\mathbb{E}}^2$

El autor define el plano euclidiano como el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^2$ equipado con una función distancia :

$$d(P,Q)=|Q-P|,$$

donde $|\cdot |$ denota la norma (longitud) de un vector. Esta definición combina lo algebraico (propiedades de vectores) con lo geométrico (medida de separación entre puntos).

Propiedades de la distancia (Teorema 5)

Se enumeran las propiedades esenciales:

1. No negatividad : $d(P,Q)\ge 0$ .
2. Identidad : $d(P,Q)=0$ si y solo si $P=Q$ .
3. Simetría : $d(P,Q)=d(Q,P)$ .
4. Desigualdad del triángulo : $d(P,Q)+d(Q,R)\ge d(P,R)$ , con igualdad si y solo si $Q-P=u(R-Q)$ para algún escalar no negativo $u$ (es decir, los puntos son colineales).

La demostración se basa en teoremas previos:

• Las primeras tres propiedades siguen directamente del Teorema 3 (propiedades de la norma).
• La desigualdad del triángulo se deduce del Corolario del Teorema 4 (desigualdad de Cauchy-Schwarz).

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2. Rectas en el plano

Definición usando vectores

Una recta en geometría analítica se caracteriza por tener vectores direccionalmente proporcionales entre pares de puntos. Para un vector no nulo $v$ , se define su dirección como el conjunto de todos los múltiplos escalares de $v$ :

$$[v]=\{tv\mid t\in \mathbb{R}\}.$$

Dado un punto $P$ y un vector $v$ , la recta que pasa por $P$ con dirección $[v]$ se expresa como:

$$\ell =\{X\mid X-P\in [v]\},$$

lo que significa que todo punto $X$ en la recta difiere de $P$ por un vector proporcional a $v$ .

Representación gráfica

La figura 1.1 ilustra esto: la recta $\ell$ está formada por $P$ más todos los vectores en la dirección $[v]$ . Esto conecta formalmente la idea algebraica de combinaciones lineales con la noción geométrica de recta.

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Objetivo del autor

El autor construye rigurosamente el plano euclidiano definiendo distancia y rectas mediante herramientas algebraicas (normas, vectores), preparando el terreno para temas como proyecciones, ángulos y transformaciones. La conexión entre álgebra y geometría es clave para formalizar conceptos intuitivos (como "colinealidad") y garantizar coherencia matemática.

Esta página refuerza la idea de que la geometría euclidiana no es solo intuitiva, sino que puede derivarse de principios algebraicos sólidos, como las propiedades de los espacios con producto interior.

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En esta página, el autor profundiza en la representación analítica de rectas en el plano euclidiano (${\mathbb{E}}^2$ ), conectando conceptos geométricos con herramientas algebraicas. Aquí está el contenido clave:

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1. Rectas y vectores dirección

Una recta $\ell$ se define como:

$$\ell =P+[v],$$

donde $P$ es un punto y $[v]$ es el conjunto de todos los múltiplos escalares de un vector no nulo $v$ (su dirección ). Esto significa que $\ell$ está formada por el punto $P$ más todos los vectores proporcionales a $v$ .

Sinónimos para "un punto $X$ pertenece a la recta $\ell$ ":

• $X\in \ell$ .
• $\ell$ contiene a $X$ .
• $X$ está sobre $\ell$ .
• $\ell$ pasa por $X$ .
• $X$ e $\ell$ son incidentes.
• $\ell$ es incidente con $X$ .

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2. Axiomas vs. enfoque analítico

El autor contrasta dos enfoques de geometría:

• Geometría axiomática : Toma puntos y rectas como objetos primitivos y define la incidencia como relación fundamental. Las propiedades se deducen de axiomas (ver Greenberg [16]).
• Enfoque analítico : Usa vectores y ecuaciones paramétricas para definir rectas, evitando axiomas abstractos. Aquí, las propiedades surgen de operaciones algebraicas.

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3. Teorema 6: Unicidad de la recta por dos puntos

Enunciado : Dados dos puntos distintos $P$ y $Q$ en ${\mathbb{E}}^2$ , existe una única recta que los contiene, denotada como $\overleftrightarrow{PQ}$ .

Demostración :

1. Sea $v$ un vector no nulo. La recta $P+[v]$ pasa por $Q$ si y solo si $Q-P\in [v]$ .
2. Esto implica que $[Q-P]=[v]$ , lo que define únicamente la recta $\overleftrightarrow{PQ}=P+[Q-P]$ .

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4. Ecuación paramétrica de una recta

Un punto típico $X$ en la recta $\ell =\overleftrightarrow{PQ}$ se expresa como:

$$\alpha (t)=P+t(Q-P)=(1-t)P+tQ,t\in \mathbb{R}.$$

• Interpretación geométrica :
  • Cuando $t=0$ , $\alpha (0)=P$ ; cuando $t=1$ , $\alpha (1)=Q$ .
  • Valores intermedios de $t$ dan puntos entre $P$ y $Q$ .
  • Ver Figura 1.3 : La distancia entre dos puntos $\alpha (t_1)$ y $\alpha (t_2)$ en la recta es:
    $$d(\alpha (t_1),\alpha (t_2))=|t_2-t_1||Q-P|.$$

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5. Caracterización algebraica de "entre"

Un punto $X$ está entre $P$ y $Q$ si se puede escribir como:

$$X=(1-t)P+tQ,\text{con }0<t<1.$$

Esto equivale a la noción geométrica de "colinealidad con $P$ y $Q$ " y se relaciona con la propiedad de orden en $\mathbb{R}$ .

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Objetivo del autor

El autor establece rigurosamente cómo las rectas en el plano euclidiano pueden definirse mediante vectores y ecuaciones paramétricas , conectando formalmente la geometría sintética (axiomática) con la álgebra lineal. Esto permite derivar propiedades geométricas (como unicidad de rectas o entreness) usando operaciones vectoriales, facilitando análisis más avanzados (como proyecciones o intersecciones).

La Figura 1.2 ilustra una recta con un vector dirección $v$ , mientras que la Figura 1.3 muestra la interpretación vectorial de la parametrización, vinculando $t$ con la posición relativa de $X$ entre $P$ y $Q$

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En esta página, el autor establece una caracterización algebraica de la relación "estar entre" en el plano euclidiano ${\mathbb{E}}^2$ y define conceptos geométricos clave como segmentos y puntos medios . Aquí está el contenido detallado:

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Teorema 7: Caracterización de un punto entre otros dos

Enunciado : Sean $P$ , $X$ y $Q$ puntos distintos en ${\mathbb{E}}^2$ . $X$ está entre $P$ y $Q$ si y solo si:

$$d(P,X)+d(X,Q)=d(P,Q),$$

donde $d(\cdot ,\cdot )$ denota la distancia euclidiana.

Demostración :

1. Si $X$ está entre $P$ y $Q$ :

   • Por definición, existe $t\in (0,1)$ tal que:
     $$X=(1-t)P+tQ.$$
   • La distancia $d(P,X)=|X-P|=|t(Q-P)|=t|Q-P|$ .
   • Análogamente, $d(X,Q)=(1-t)|Q-P|$ .
   • Sumando ambas distancias:
     $$d(P,X)+d(X,Q)=t|Q-P|+(1-t)|Q-P|=|Q-P|=d(P,Q).$$

2. Recíprocamente, si $d(P,X)+d(X,Q)=d(P,Q)$ :

   • Existe un escalar positivo $u$ tal que $X-P=u(Q-X)$ .
   • Resolviendo para $X$ :
     $$X=\frac{1}{1+u}P+\frac{u}{1+u}Q.$$
   • Definiendo $t=\frac{u}{1+u}$ (con $0<t<1$ ), se obtiene:
     $$X=(1-t)P+tQ,$$
     lo que demuestra que $X$ está entre $P$ y $Q$ .

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Figuras ilustrativas

• Figura 1.4 : Muestra un punto $X$ no entre $P$ y $Q$ , donde $d(P,X)+d(X,Q)>d(P,Q)$ .
• Figura 1.5 : Ilustra un punto $X$ entre $P$ y $Q$ , donde $d(P,X)+d(X,Q)=d(P,Q)$ .

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Segmentos y puntos medios

• Segmento : El conjunto de puntos entre $P$ y $Q$ , denotado por $\overline{PQ}$ , se llama segmento . $P$ y $Q$ son los extremos , y los demás puntos son interiores .
• Punto medio : Un punto $M$ es medio de $\overline{PQ}$ si:
  $$d(P,M)=d(M,Q)=\frac{1}{2}d(P,Q).$$
  Esto implica que:
  $$M=\frac{1}{2}(P+Q).$$
  (La unicidad se deduce de un ejercicio previo).

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Intersección de rectas

Si dos rectas $\ell$ y $m$ pasan por un punto $P$ , decimos que se intersectan en $P$ y que $P$ es su punto de intersección . Esto reafirma el Teorema 6 (unicidad de la recta por dos puntos).

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Objetivo del autor

El autor conecta la definición algebraica de "entreность" con la noción geométrica, usando herramientas como las ecuaciones paramétricas y la norma euclidiana. Además, introduce conceptos fundamentales como segmentos y puntos medios, preparando el terreno para temas avanzados como polígonos, convexidad y transformaciones.

Las figuras refuerzan la interpretación visual, mientras que el cálculo algebraico garantiza rigor matemático.

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En esta página, el autor profundiza en propiedades fundamentales de rectas y vectores en el plano euclidiano ${\mathbb{E}}^2$ , introduciendo conceptos clave como pares ortonormales y la ecuación de una recta mediante vectores normales. Aquí está el contenido detallado:

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Teorema 8: Intersección de rectas

Dos rectas distintas en ${\mathbb{E}}^2$ tienen a lo sumo un punto de intersección . Esto significa que:

• O bien no se intersectan (son paralelas).
• O bien se intersectan en exactamente un punto.

Además:

• Si tres o más rectas pasan por un mismo punto $P$ , se llaman concurrentes .
• Si tres o más puntos están alineados en una recta, se llaman colineales .

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Pares ortonormales

Definición de ortogonalidad

Dos vectores $v$ y $w$ son ortogonales si su producto interior es cero:

$$⟨v,w⟩=0.$$

Un vector de longitud 1 se llama vector unitario . Un par de vectores unitarios ortogonales se denomina par ortonormal .

Construcción de vectores perpendiculares

Dado un vector $v=(v_1,v_2)$ , se define su vector perpendicular $v^{\perp }=(-v_2,v_1)$ . Es fácil verificar que:

• $v$ y $v^{\perp }$ son ortogonales.
• Tienen la misma longitud.
• Aplicar la operación perpendicular dos veces invierte el vector:
  $$(v^{\perp }{)}^{\perp }=-v.$$

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Teorema 9: Descomposición en pares ortonormales

Enunciado : Sea $\{v,w\}$ un par ortonormal en ${\mathbb{R}}^2$ . Para cualquier vector $x\in {\mathbb{R}}^2$ , se cumple:

$$x=⟨x,v⟩v+⟨x,w⟩w.$$

Demostración :

1. Los vectores $v$ y $w$ son linealmente independientes (forman una base de ${\mathbb{R}}^2$ , ver Apéndice D).
2. Para cualquier $x\in {\mathbb{R}}^2$ , existen escalares únicos $\lambda$ y $\mu$ tales que:
   $$x=\lambda v+\mu w.$$
3. Usando propiedades del producto interior:
   $$⟨x,v⟩=\lambda ⟨v,v⟩+\mu ⟨w,v⟩=\lambda ,$$
   $$⟨x,w⟩=\lambda ⟨v,w⟩+\mu ⟨w,w⟩=\mu .$$
   Por lo tanto, $\lambda =⟨x,v⟩$ y $\mu =⟨x,w⟩$ .

Interpretación geométrica : La figura 1.6 ilustra cómo cualquier vector $x$ se proyecta sobre los ejes definidos por $v$ y $w$ , con las componentes dadas por los productos interiores.

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Ecuación de una recta

Vectores normales

Si una recta $\ell$ tiene un vector dirección $v$ , entonces un vector normal a $\ell$ es aquel perpendicular a $v$ . Claramente, dos vectores normales a la misma recta son proporcionales.

El autor anuncia que derivará la ecuación de una recta en términos de su vector normal, refiriéndose a las figuras 1.7 y 1.8 para su ilustración.

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Objetivo del autor

El autor establece herramientas algebraicas (pares ortonormales) para descomponer vectores y prepara el terreno para ecuaciones de rectas usando vectores normales. Esto conecta conceptos anteriores (producto interior, bases) con aplicaciones geométricas, reforzando la relación entre álgebra lineal y geometría euclidiana.

La demostración del Teorema 9 demuestra cómo los pares ortonormales permiten expresar cualquier vector como combinación lineal de sus proyecciones, una idea clave para temas futuros como proyecciones ortogonales y coordenadas en bases arbitrarias.

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En esta página, el autor establece conexiones entre vectores normales , ecuaciones de rectas y propiedades del producto interior en el plano euclidiano ${\mathbb{R}}^2$ . Aquí está el contenido detallado:

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Teorema 10

Enunciado : Sea $P$ un punto fijo y $\{v,N\}$ un par ortonormal. El conjunto de puntos $X$ tales que $⟨X-P,N⟩=0$ es la recta $\ell =P+[v]$ .

Demostración :

1. Por el Teorema 9, cualquier punto $X\in {\mathbb{R}}^2$ se descompone como:
   $$X-P=⟨X-P,v⟩v+⟨X-P,N⟩N.$$
2. Si $X$ está en la recta $\ell =P+[v]$ , entonces $X-P=tv$ para algún $t\in \mathbb{R}$ . Esto implica:
   $$⟨X-P,N⟩=⟨tv,N⟩=t⟨v,N⟩=0,$$
   ya que $v$ y $N$ son ortogonales.
3. Recíprocamente, si $⟨X-P,N⟩=0$ , la descomposición anterior reduce a:
   $$X-P=⟨X-P,v⟩v⟹X\in P+[v].$$

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Corolario

Si $N$ es cualquier vector no nulo, el conjunto $\{X\mid ⟨X-P,N⟩=0\}$ es la recta que pasa por $P$ con vector normal $N$ y dirección $N^{\perp }$ .

Demostración :

• Basta notar que $⟨X-P,N⟩=0$ equivale a $⟨X-P,N/\Vert N\Vert ⟩=0$ (escalares no afectan la condición de ortogonalidad) y aplicar el Teorema 10.

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Teorema 11

Enunciado : Sean $a,b,c\in \mathbb{R}$ . El conjunto $\{(x,y)\mid ax+by+c=0\}$ es:

1. El conjunto vacío si $a=b=0$ y $c\ne 0$ .
2. Todo el plano ${\mathbb{R}}^2$ si $a=b=0$ y $c=0$ .
3. Una recta con vector normal $(a,b)$ en otro caso.

Demostración :

• Casos (i) y (ii) : Obvios (si $a=b=0$ , la ecuación reduce a $c=0$ ).
• Caso (iii) : Si $a^2+b^2\ne 0$ , el conjunto no es vacío. Tomando $P=(-c/a,0)$ o $P=(0,-c/b)$ (al menos uno está definido), la ecuación $ax+by+c=0$ equivale a:
  $$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\text{donde }P=(x_1,y_1).$$
  Esto define una recta que pasa por $P$ con vector normal $N=(a,b)$ .

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Interpretación geométrica

• Figura 1.7 : Si $⟨X-P,N⟩\ne 0$ , el punto $X$ no está en la recta $\ell =P+[v]$ .
• Figura 1.8 : Si $⟨X-P,N⟩=0$ , $X$ está en la recta $\ell =P+[v]$ .

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Objetivo del autor

El autor conecta formalmente la ecuación lineal $ax+by+c=0$ con la noción de vectores normales y rectas en el plano , usando herramientas algebraicas (producto interior) y geométricas (ortogonalidad). Esto permite representar rectas de manera unificada mediante vectores y garantiza coherencia entre álgebra y geometría.

La demostración refuerza la idea de que cualquier recta en ${\mathbb{R}}^2$ puede definirse mediante un vector normal $(a,b)$ y un punto $P$ , extendiendo así conceptos previos como pares ortonormales y descomposición de vectores.

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En esta página, el autor profundiza en las propiedades de las rectas perpendiculares en el plano euclidiano, conectando conceptos algebraicos (vectores ortogonales) con resultados geométricos clásicos como el teorema de Pitágoras . Aquí está el contenido clave:

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1. Rectas perpendiculares

Dos rectas $\ell$ y $m$ son perpendiculares si sus vectores dirección son ortogonales ($\ell \perp m$ ). Esto implica que los segmentos que definen las rectas también son perpendiculares.

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Teorema 12 (Teorema de Pitágoras)

Enunciado : Sean $P$ , $Q$ y $R$ tres puntos distintos. Se cumple:

$$|R-P{|}^2=|Q-P{|}^2+|R-Q{|}^2\text{si y solo si}\overrightarrow{QP}\perp \overrightarrow{RQ}.$$

Demostración :

• Usa la fórmula vectorial $|x+y{|}^2=|x{|}^2+2⟨x,y⟩+|y{|}^2$ .
• Si $⟨x,y⟩=0$ (ortogonalidad), entonces $|x+y{|}^2=|x{|}^2+|y{|}^2$ .
• Aplicando esto a $x=Q-P$ y $y=R-Q$ , se deduce la relación de Pitágoras.

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Teorema 13

Enunciado : Si $\ell \perp m$ , entonces $\ell$ y $m$ se intersectan en un único punto.
Demostración :

• Suponiendo vectores dirección unitarios $v$ y $w$ para $\ell$ y $m$ , respectivamente, se expresa un punto común $F$ mediante combinaciones lineales.
• Por el Teorema 8 (únicidad de intersección de rectas), $F$ es único.

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Teorema 14 (Iniciado)

Enunciado parcial : Sea $X$ un punto y $\ell$ una recta. Existe una única recta $m$ que pasa por $X$ y es perpendicular a $\ell$ .
Nota : La demostración continúa en la página siguiente, usando construcciones basadas en vectores normales y proyecciones.

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Figuras ilustrativas

• Figura 1.9 : Muestra rectas perpendiculares con vectores dirección ortogonales.
• Figura 1.10 : Ilustra cómo trazar una perpendicular desde un punto $X$ hasta una recta $\ell$ .

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Objetivo del autor

El autor establece rigurosamente las propiedades de las rectas perpendiculares usando herramientas algebraicas (producto interior, vectores unitarios) y conecta estos resultados con teoremas clásicos como el de Pitágoras. Esto prepara el terreno para temas avanzados como proyecciones ortogonales y distancias mínimas.

La demostración del Teorema 12 refuerza la relación entre álgebra lineal y geometría, mientras que el Teorema 13 garantiza la unicidad de la intersección, evitando ambigüedades en futuros desarrollos

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En esta página, el autor profundiza en propiedades de rectas perpendiculares , distancia de un punto a una recta y rectas paralelas/intersección , usando herramientas algebraicas y geométricas. Aquí está el contenido clave:

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Teorema 14 (Continuación)

Define cómo construir la única recta perpendicular $m$ a una recta $\ell$ que pasa por un punto $X$ :

1. $m=X+[N]$ , donde $N$ es un vector unitario normal a $\ell$ .
2. Si $X$ está sobre $\ell$ , la construcción se llama levantar una perpendicular ; si no, se llama bajar una perpendicular desde $X$ hasta $\ell$ . El punto de intersección $F=X-⟨X-P,N⟩N$ (donde $P\in \ell$ ) se denomina pie de la perpendicular .

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Teorema 15: Distancia mínima

Enunciado : Sea $\ell$ una recta y $X$ un punto no sobre $\ell$ . Si $F$ es el pie de la perpendicular desde $X$ a $\ell$ , entonces $F$ es el punto de $\ell$ más cercano a $X$ .

Demostración :

• Por el teorema de Pitágoras, para cualquier $P\in \ell$ :
  $$|X-P{|}^2=|X-F{|}^2+|F-P{|}^2.$$
  Esto implica que $|X-P|\ge |X-F|$ , con igualdad solo si $P=F$ .

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Definición: Distancia de un punto a una recta

La distancia $d(X,\ell )$ de un punto $X$ a una recta $\ell$ con vector unitario normal $N$ se define como:

$$d(X,\ell )=|⟨X-P,N⟩|,$$

donde $P$ es cualquier punto de $\ell$ . Esta distancia es la mínima entre $X$ y cualquier punto de $\ell$ .

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Corolario: Bisectriz perpendicular

La bisectriz perpendicular de un segmento $PQ$ es la recta que pasa por su punto medio $M$ y es perpendicular a $PQ$ . Consiste en todos los puntos equidistantes de $P$ y $Q$ .

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Rectas paralelas e intersectantes

• Paralelismo : Dos rectas $\ell$ y $m$ son paralelas ($\ell \parallel m$ ) si no tienen puntos en común.
• Criterio algebraico : $\ell \parallel m$ si y solo si sus vectores dirección son proporcionales.

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Figuras ilustrativas

• Figura 1.11 : Muestra cómo se levanta una perpendicular desde $X$ hasta $\ell$ .
• Figura 1.12 : Ilustra que $F$ es el punto más cercano de $\ell$ a $X$ .
• Figura 1.13 : Representa la bisectriz perpendicular de un segmento $PQ$ , pasando por su medio $M$ .

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Objetivo del autor

El autor conecta formalmente conceptos geométricos (perpendicularidad, distancia mínima) con herramientas algebraicas (producto interior, vectores normales), garantizando rigor matemático. La demostración del Teorema 15 refuerza la relación entre el teorema de Pitágoras y la distancia euclidiana, mientras que la bisectriz perpendicular introduce simetría y equidistancia, fundamentales en geometría euclidiana.

Las figuras ayudan a visualizar construcciones clásicas, como bajar una perpendicular o encontrar el punto medio de un segmento.

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En esta página, el autor establece propiedades clave de rectas paralelas y perpendiculares en el plano euclidiano, usando vectores y distancias. Aquí está el contenido detallado:

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Teorema 16: Paralelismo de rectas

Enunciado : Dos rectas distintas $\ell$ y $m$ son paralelas si y solo si tienen la misma dirección.

Demostración :

• Si $\ell$ y $m$ comparten un punto $F$ y direcciones $[v]$ y $[w]$ , entonces $\ell =F+[v]$ y $m=F+[w]$ . Si $\ell \parallel m$ , los vectores $v$ y $w$ deben ser proporcionales ($[v]=[w]$ ).
• Recíprocamente, si $\ell$ y $m$ tienen direcciones no proporcionales $[v]$ y $[w]$ , existe un punto común $F=P-tv=Q-sw$ (donde $P\in \ell$ , $Q\in m$ ), lo que contradice la distinción de las rectas.

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Relaciones entre paralelismo y perpendicularidad (Teorema 17)

1. Si $\ell \parallel m$ y $m\perp n$ , entonces $\ell \perp n$ o $\ell \parallel n$ .
2. Si $\ell \parallel m$ y $m\perp n$ , entonces $\ell \perp n$ .
3. Si $\ell \perp n$ y $m\perp n$ , entonces $\ell \parallel m$ o $\ell =m$ .

Estos resultados se ilustran en las figuras 1.14–1.16.

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Teorema 18: Distancia constante entre rectas paralelas

Para rectas paralelas $\ell$ y $m$ :

• Existe un único número $d(\ell ,m)$ tal que $d(X,\ell )=d(Y,m)=d(\ell ,m)$ para todos $X\in m$ y $Y\in \ell$ .
• Si $N$ es un vector unitario normal a ambas rectas, entonces:
  $$|⟨X-Y,N⟩|=d(\ell ,m).$$
  Esto demuestra que las rectas paralelas mantienen una distancia "equidistante".

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Teorema 19: Comportamiento de rectas secantes

Si $\ell$ y $m$ se intersectan en $P$ , y $\alpha (t)=P+tw$ es una parametrización de $m$ , entonces la distancia $d(\alpha (t),\ell )$ recorre todos los números reales no negativos, cada uno apareciendo dos veces. Esto se ilustra en la figura 1.17.

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Figuras ilustrativas

• Figura 1.14 : Muestra rectas paralelas $\ell \parallel m$ y una tercera recta $n$ perpendicular a ambas.
• Figura 1.15 : Ilustra cómo $\ell \parallel m$ y $m\perp n$ implica $\ell \perp n$ .
• Figura 1.16 : Demuestra que para rectas paralelas $\ell \parallel m$ , la distancia $d(X,\ell )=d(Y,m)=d(\ell ,m)$ .

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Objetivo del autor

El autor formaliza las nociones intuitivas de paralelismo y perpendicularidad usando vectores y producto interior, conectando estos conceptos con propiedades métricas (distancia). Esto prepara el terreno para generalizar ideas en geometrías no euclidianas y analizar familias de rectas parametrizadas.

Las demostraciones omitidas se dejan como ejercicios, mientras que las figuras refuerzan la interpretación geométrica de los teoremas.

POR MOTIVOS TÉCNICOS,  continúo en la próxima entrada del blog