Otro problema de álgebra

 

Buenas , he tratado de realizar este ejercicio , pero no he tenido mucha fortuna , es el siguiente :

Un elemento x en R se llama nilpotente si xm=0 para algun m perteneciente a Z+

a)Muestre que si n=akb para algunos enteros a y b , entonces  ab¯ es un elemento nilpotente de Z/nZ

b)Si a∈Z es un entero , muestre que el elemento a¯∈Z/nZ es nilpotente si y solo si cada divisor primo de n es tambien un divisor de a.En particular ,determine los elementos nilpotentes de Z/72Z
explicitamente.

c)Sea R el anillo de funciones que van de un conjunto no vacio X a un cuerpo F. Pruebe que R no contiene elementos nilpotentes no nulos

RESPUESTA AL APARTADO a)

Para demostrar que  

$\overline{ab}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es nilpotente cuando $n=a^{k}b$ , seguimos estos pasos:

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1. Definición de nilpotencia

Un elemento $x\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es nilpotente si existe $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tal que $x^m\equiv 0\mathrm{mod}n$ .

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2. Elección de $m=k$

Dado que $n=a^{k}b$ , consideramos la potencia $m=k$ . Calculamos:

$$(ab{)}^k=a^k{b}^k$$

Factorizamos $a^k{b}^k$ como:

$$a^k{b}^k=(a^{k}b)\cdot b^{k-1}$$

Como $n=a^{k}b$ , este producto contiene a $n$ como factor. Por lo tanto:

$$n\mid (ab{)}^k\Rightarrow (ab{)}^k\equiv 0modn$$

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3. Conclusión

En el anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , esto implica:

$${\overline{ab}}^k=\overline{(ab{)}^k}=\overline{0}$$

Por lo tanto, $\overline{ab}$ es nilpotente de índice $k$ .

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Respuesta final:

Dado $n=a^{k}b$ , el elemento $\overline{ab}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es nilpotente porque ${\overline{ab}}^k=\overline{0}$ . Esto se sigue de que $(ab{)}^k=a^k{b}^k=n\cdot b^{k-1}$ , lo cual es divisible por $n$ .

RESPUESTA AL APARTADO b)

Respuesta al apartado b):

Demostración:

Un elemento $\overline{a}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es nilpotente si y solo si cada primo que divide a $n$ también divide a $a$ .

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1. Demostración del teorema

(⇒) Si $\overline{a}$ es nilpotente, entonces todo primo $p\mid n$ divide a $a$ :

• Supongamos que $\overline{a}$ es nilpotente, es decir, existe $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tal que $a^m\equiv 0\mathrm{mod}n$ .
• Esto implica que $n\mid a^m$ .
• Sea $p$ un primo que divide a $n$ . Como $p\mid n$ y $n\mid a^m$ , entonces $p\mid a^m$ .
• Por la propiedad de primos, $p\mid a$ .
  Por lo tanto, todo primo que divide a $n$ también divide a $a$ .

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(⇐) Si todo primo $p\mid n$ divide a $a$ , entonces $\overline{a}$ es nilpotente:

• Sea $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ la factorización en primos de $n$ .
• Supongamos que cada $p_i\mid a$ . Entonces, $a=p_1^{f_1}{p}_2^{f_2}\cdots p_k^{f_k}\cdot d$ , donde $f_i\ge 1$ y $d$ es coprimo con cada $p_i$ .
• Elegimos $m=\max \{e_1,e_2,\dots ,e_k\}$ . Entonces:
  $$a^m=p_1^{m{f}_1}{p}_2^{m{f}_2}\cdots p_k^{m{f}_k}\cdot d^m$$
  Como $m{f}_i\ge e_i$ para todo $i$ , cada $p_i^{e_i}\mid a^m$ , y por lo tanto $n\mid a^m$ .
• Por lo tanto, $a^m\equiv 0\mathrm{mod}n$ , lo que implica que ${\overline{a}}^m=\overline{0}$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

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2. Ejemplo: Nilpotentes en $\mathbb{Z}/72\mathbb{Z}$

Factorizamos $72=2^3\cdot 3^2$ . Los primos que dividen a $72$ son $2$ y $3$ .

Condición para ser nilpotente:

Un elemento $\overline{a}\in \mathbb{Z}/72\mathbb{Z}$ es nilpotente si y solo si $2\mid a$ y $3\mid a$ , es decir, $a$ es divisible por $\text{lcm}(2,3)=6$ .

Elementos nilpotentes en $\mathbb{Z}/72\mathbb{Z}$ :

Los múltiplos de $6$ menores que $72$ son:

$$\overline{0},\overline{6},\overline{12},\overline{18},\overline{24},\overline{30},\overline{36},\overline{42},\overline{48},\overline{54},\overline{60},\overline{66}$$

Estos son los 12 elementos nilpotentes de $\mathbb{Z}/72\mathbb{Z}$ .

RESPUESTA AL APARTADO c)

Respuesta al apartado c):

Demostración:

Queremos probar que el anillo $R$ de funciones $f:X\to F$ (donde $X$ es un conjunto no vacío y $F$ es un cuerpo) no tiene elementos nilpotentes no nulos .

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1. Definición de elemento nilpotente

Un elemento $f\in R$ es nilpotente si existe un entero positivo $n$ tal que $f^n=0$ , donde $0$ es la función cero (es decir, $f^n(x)=0$ para todo $x\in X$ ).

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2. Propiedades del cuerpo $F$

En un cuerpo $F$ , el único elemento nilpotente es el cero .
Prueba:
Supongamos que $a\in F$ y $a^n=0$ para algún $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ .

• Si $a\ne 0$ , entonces existe $a^{-1}\in F$ .
• Multiplicando ambos lados por $a^{-n}$ :
  $$a^n\cdot a^{-n}=0\cdot a^{-n}\Rightarrow 1=0,$$
  lo cual es una contradicción.
• Por lo tanto, $a=0$ .

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3. Aplicación al anillo $R$

Sea $f\in R$ tal que $f^n=0$ .
Para cada $x\in X$ , se cumple:

$$f^n(x)=(f(x){)}^n=0\text{(en }F).$$

Por la propiedad del cuerpo $F$ , esto implica que $f(x)=0$ para todo $x\in X$ .
Por lo tanto, $f$ es la función cero .

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4. Conclusión

En el anillo $R$ , el único elemento nilpotente es la función cero .

$$\boxed{\text{El anillo }R\text{ no contiene elementos nilpotentes no nulos.}}$$

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Ejemplo ilustrativo:

• Si $F=\mathbb{R}$ y $X=\mathbb{R}$ , cualquier función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que satisfaga $f^n(x)=0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ debe ser la función constante cero.
• Esto se extiende a cualquier cuerpo $F$ y conjunto $X$ no vacío.

COLORÍN COLORADO, ESTE PROBLEMA SE HA ACABADO. PERO AHORA COMPAREN, DAMAS Y CABALLEROS, CON LAS RESPUESTAS DADAS POR HUMANOS EN EL FORO DE MATEMÁTICAS

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=59848.msg239073#msg239073

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