Otra entrada de prueba

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### **Demostración de la fórmula**

$$ b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\det \begin{pmatrix} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \end{pmatrix} $$

Esta fórmula generaliza la identidad euclídea $ \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2 $ en geometría hiperbólica, donde la forma bilineal $ b $ tiene signatura $(2,1) $.

### **Paso 1: Definición del producto cruz**

El producto cruz $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $ se define como el único vector $ \mathbf{z} $ tal que: $$ b(\mathbf{z}, \mathbf{x}) = \det(\mathbf{x}, \mathbf{u}, \mathbf{v}) \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3. $$

Evaluando en $ \mathbf{x} = \mathbf{z} $, obtenemos:

$$ b(\mathbf{z}, \mathbf{z}) = \det(\mathbf{z}, \mathbf{u}, \mathbf{v}). $$

### **Paso 2: Cálculo explícito del producto cruz**

En la base estándar $ \{ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \} $, con la forma bilineal $ b(x, y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3 $, el producto cruz se calcula como:

$$ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2,\, u_3 v_1 - u_1 v_3,\, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right). $$

### **Paso 3: Norma cuadrada del producto cruz**

Calculamos $ b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) $:

$$ b(\mathbf{z}, \mathbf{z}) = z_1^2 + z_2^2 - z_3^2, $$

donde $ \mathbf{z} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} $. Sustituyendo las componentes de $ \mathbf{z} $:

$$ \begin{aligned} z_1 &= u_2 v_3 - u_3 v_2, \\ z_2 &= u_3 v_1 - u_1 v_3, \\ z_3 &= u_1 v_2 - u_2 v_1. \end{aligned} $$

Entonces:

$$ \begin{aligned} b(\mathbf{z}, \mathbf{z}) &= (u_2 v_3 - u_3 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 - (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2 \\ &= u_2^2 v_3^2 - 2 u_2 u_3 v_2 v_3 + u_3^2 v_2^2 + u_3^2 v_1^2 - 2 u_1 u_3 v_1 v_3 + u_1^2 v_3^2 - u_1^2 v_2^2 + 2 u_1 u_2 v_1 v_2 - u_2^2 v_1^2. \end{aligned} $$

### **Paso 4: Determinante de la matriz Gram**

Calculamos el determinante:

$$ \det \begin{pmatrix} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \end{pmatrix} = b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) - b(\mathbf{u}, \mathbf{v})^2. $$

Sustituyendo:

$$ \begin{aligned} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) &= u_1^2 + u_2^2 - u_3^2, \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) &= v_1^2 + v_2^2 - v_3^2, \\ b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) &= u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3. \end{aligned} $$

Entonces:

$$ \begin{aligned} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) &= (u_1^2 + u_2^2 - u_3^2)(v_1^2 + v_2^2 - v_3^2), \\ b(\mathbf{u}, \mathbf{v})^2 &= (u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3)^2. \end{aligned} $$

### **Paso 5: Comparación de ambas expresiones**

Después de expandir ambos lados, verificamos que:

$$ b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\left[ b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) - b(\mathbf{u}, \mathbf{v})^2 \right]. $$

Esto confirma la identidad:

### **Conclusión**

La norma cuadrada del producto cruz en geometría hiperbólica está relacionada con el determinante de la matriz Gram de $ \mathbf{u} $ y $ \mathbf{v} $, pero con un signo negativo debido a la signatura indefinida de la métrica. Esta relación generaliza la identidad euclídea y refleja la estructura geométrica no euclídea.

### **Fórmulas en LaTeX para tu blog**

```latex

\textbf{Demostración:} \\

\text{Definimos } \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\, u_3 v_1 - u_1 v_3,\, u_1 v_2 - u_2 v_1). \\

\text{Calculamos } b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (u_2 v_3 - u_3 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 - (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2. \\

\text{Por otro lado:} \\

\det \begin{pmatrix} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \end{pmatrix} = b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) - b(\mathbf{u}, \mathbf{v})^2. \\

\text{Después de expandir ambos lados, verificamos que:} \\

b(\mathbf{u} \times \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}) = -\det \begin{pmatrix} b(\mathbf{u}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \\ b(\mathbf{v}, \mathbf{u}) & b(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \end{pmatrix}.

```

Demostración de $b (u \times v, u \times v) = - ε_{1} ε_{2}$ sin usar el caso general

Suponemos que $u$ y $v$ son ortonormales en la métrica hiperbólica 3D, es decir:

$b (u, u) = ε_{1} \in {1, - 1}$ ,
$b (v, v) = ε_{2} \in {1, - 1}$ ,
$b (u, v) = 0$ .

Queremos demostrar que:

b (u \times v, u \times v) = - ε_{1} ε_{2} .

Paso 1: Definición del producto cruz

El producto cruz $u \times v$ se define como el único vector $z$ tal que:

b (z, x) = det (x, u, v) \forall x \in R^{3} .

En particular, para $x = z$ , obtenemos:

b (z, z) = det (z, u, v) .

Paso 2: Propiedades geométricas

Ortogonalidad :
Por definición, $z = u \times v$ es ortogonal a $u$ y $v$ :
$b (z, u) = 0, b (z, v) = 0.$
Dimensión del espacio ortogonal :
En $R^{3}$ , el complemento ortogonal de dos vectores linealmente independientes tiene dimensión 1. Por lo tanto, $z$ genera este subespacio.
Norma cuadrada de $z$ :
Dado que $u$ y $v$ son ortonormales, el determinante $det (z, u, v)$ mide el volumen del paralelepípedo definido por $z, u, v$ . Este volumen está relacionado con la norma de $z$ .

Paso 3: Cálculo explícito en la base estándar

Trabajamos en la base ortonormal estándar ${ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}}$ , donde:

$b (ε_{1}, ε_{1}) = 1$ ,
$b (ε_{2}, ε_{2}) = 1$ ,
$b (ε_{3}, ε_{3}) = - 1$ .

Caso 1: $u = ε_{1}$ , $v = ε_{2}$

$u \times v = ε_{3}$ ,
$b (ε_{3}, ε_{3}) = - 1$ ,
$ε_{1} ε_{2} = 1 \cdot 1 = 1$ ,
$b (u \times v, u \times v) = - 1 = - ε_{1} ε_{2}$ .

Caso 2: $u = ε_{1}$ , $v = ε_{3}$

$u \times v = - ε_{2}$ ,
$b (- ε_{2}, - ε_{2}) = b (ε_{2}, ε_{2}) = 1$ ,
$ε_{1} ε_{3} = 1 \cdot (- 1) = - 1$ ,
$b (u \times v, u \times v) = 1 = - ε_{1} ε_{2}$ .

Paso 4: Generalización mediante isometrías

Dado que $u$ y $v$ son ortonormales, existe una isometría (transformación que preserva la métrica $b$ ) que los transforma en $ε_{1}$ y $ε_{2}$ o $ε_{1}$ y $ε_{3}$ , dependiendo de sus tipos. Como las isometrías preservan la norma del producto cruz, la relación:

b (u \times v, u \times v) = - ε_{1} ε_{2}

se mantiene en cualquier base ortonormal.

Conclusión

La norma cuadrada del producto cruz de dos vectores ortonormales $u$ y $v$ está determinada por sus tipos:

Si ambos son tipo espacio ( $ε_{1} = ε_{2} = 1$ ), entonces $u \times v$ es tipo tiempo ( $b (u \times v, u \times v) = - 1$ ).
Si uno es tipo espacio y el otro tipo tiempo ( $ε_{1} = 1, ε_{2} = - 1$ ), entonces $u \times v$ es tipo espacio ( $b (u \times v, u \times v) = 1$ ).

Esta relación se sigue directamente de la estructura de la métrica hiperbólica y la definición del producto cruz, sin necesidad de recurrir al caso general.

Demostración de la identidad $∥ u \times v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} - (u \cdot v)^{2}$ en geometría euclídea

En geometría euclídea 3D, el producto cruz $u \times v$ y el producto punto $u \cdot v$ están relacionados mediante la identidad:

∥ u \times v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} - (u \cdot v)^{2} .

Esta fórmula expresa cómo el área del paralelogramo definido por $u$ y $v$ depende del ángulo entre ellos.

Demostración geométrica (usando ángulos)

Definiciones básicas :
- El módulo del producto cruz es $∥ u \times v ∥ = ∥ u ∥∥ v ∥ sin θ$ , donde $θ$ es el ángulo entre $u$ y $v$ .
- El producto punto es $u \cdot v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ$ .
Elevamos al cuadrado ambos lados del producto cruz :
$∥ u \times v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} sin^{2} θ .$
Usamos la identidad trigonométrica $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ :
$∥ u \times v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} (1 - cos^{2} θ) .$
Sustituimos $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥∥ v ∥}$ :
$∥ u \times v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} - (u \cdot v)^{2} .$

Demostración algebraica (usando coordenadas)

Sean $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ . Calculamos ambos lados de la identidad:

Producto cruz $u \times v$ :
$u \times v = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) .$
Su norma al cuadrado es:
$∥ u \times v ∥^{2} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2})^{2} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3})^{2} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})^{2} = u_{2}^{2} v_{3}^{2} + u_{3}^{2} v_{2}^{2} - 2 u_{2} u_{3} v_{2} v_{3} + u_{3}^{2} v_{1}^{2} + u_{1}^{2} v_{3}^{2} - 2 u_{1} u_{3} v_{1} v_{3} + u_{1}^{2} v_{2}^{2} + u_{2}^{2} v_{1}^{2} - 2 u_{1} u_{2} v_{1} v_{2} .$
Producto punto $u \cdot v$ :
$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} .$
Su cuadrado es:
$(u \cdot v)^{2} = u_{1}^{2} v_{1}^{2} + u_{2}^{2} v_{2}^{2} + u_{3}^{2} v_{3}^{2} + 2 u_{1} u_{2} v_{1} v_{2} + 2 u_{1} u_{3} v_{1} v_{3} + 2 u_{2} u_{3} v_{2} v_{3} .$
Restamos $(u \cdot v)^{2}$ a $∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2}$ :
$∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} - (u \cdot v)^{2} = (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}) (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) - (u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3})^{2} = u_{1}^{2} v_{2}^{2} + u_{1}^{2} v_{3}^{2} + u_{2}^{2} v_{1}^{2} + u_{2}^{2} v_{3}^{2} + u_{3}^{2} v_{1}^{2} + u_{3}^{2} v_{2}^{2} - 2 u_{1} u_{2} v_{1} v_{2} - 2 u_{1} u_{3} v_{1} v_{3} - 2 u_{2} u_{3} v_{2} v_{3} .$
Comparación :
Ambas expresiones coinciden:
$∥ u \times v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} - (u \cdot v)^{2} .$

Conclusión

La identidad se demuestra tanto mediante razonamiento geométrico (usando ángulos y funciones trigonométricas) como mediante cálculos algebraicos explícitos en coordenadas. Esta relación fundamental conecta el producto cruz y el producto punto, reflejando cómo el área del paralelogramo depende del ángulo entre los vectores.

Demuestra en geometría euclídea la propiedad siguiente:

$(u\times v) \times w = <u, w>v-<v,w>u$

Aquí hay tres productos, el producto cruz o vectorial, el producto interno o escalar y el producto de un número real por un vector

Demostración de la identidad vectorial $(u \times v) \times w = (u \cdot w) v - (v \cdot w) u$

En geometría euclídea 3D, esta identidad relaciona el producto cruz y el producto punto. Vamos a demostrarla utilizando dos enfoques: cálculo explícito en coordenadas y aplicación de la identidad del triple producto vectorial .

1. Demostración mediante cálculo en coordenadas

Sean $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ . Calculamos ambos lados de la identidad.

Paso 1: Producto cruz $u \times v$

u \times v = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) .

Paso 2: Producto cruz $(u \times v) \times w$

Sea $a = u \times v$ . Entonces:

a \times w = e_{1} a_{1} w_{1} e_{2} a_{2} w_{2} e_{3} a_{3} w_{3} .

Sustituyendo $a_{1} = u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}$ , $a_{2} = u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}$ , $a_{3} = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$ , obtenemos las componentes de $(u \times v) \times w$ :

Primera componente :
$a_{2} w_{3} - a_{3} w_{2} = (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) w_{3} - (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) w_{2} = u_{3} v_{1} w_{3} - u_{1} v_{3} w_{3} - u_{1} v_{2} w_{2} + u_{2} v_{1} w_{2} .$
Segunda componente :
$a_{3} w_{1} - a_{1} w_{3} = (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) w_{1} - (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) w_{3} = u_{1} v_{2} w_{1} - u_{2} v_{1} w_{1} - u_{2} v_{3} w_{3} + u_{3} v_{2} w_{3} .$
Tercera componente :
$a_{1} w_{2} - a_{2} w_{1} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) w_{2} - (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) w_{1} = u_{2} v_{3} w_{2} - u_{3} v_{2} w_{2} - u_{3} v_{1} w_{1} + u_{1} v_{3} w_{1} .$

Paso 3: Expresión $(u \cdot w) v - (v \cdot w) u$

Calculamos:

$u \cdot w = u_{1} w_{1} + u_{2} w_{2} + u_{3} w_{3}$ ,
$v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3}$ .

Entonces:

(u \cdot w) v - (v \cdot w) u = (v_{1} (u \cdot w) - u_{1} (v \cdot w), v_{2} (u \cdot w) - u_{2} (v \cdot w), v_{3} (u \cdot w) - u_{3} (v \cdot w)) .

Al expandir cada término, verificamos que coincide exactamente con las componentes de $(u \times v) \times w$ .

2. Demostración mediante la identidad del triple producto vectorial

Existe una identidad vectorial general:

a \times (b \times c) = b (a \cdot c) - c (a \cdot b) .

Aplicamos esta identidad con $a = w$ , $b = u$ , $c = v$ :

w \times (u \times v) = u (w \cdot v) - v (w \cdot u) .

Multiplicando por $- 1$ ambos lados:

(u \times v) \times w = - w \times (u \times v) = - [u (w \cdot v) - v (w \cdot u)] = v (w \cdot u) - u (w \cdot v) .

Reordenando:

(u \times v) \times w = (u \cdot w) v - (v \cdot w) u .

3. Interpretación geométrica

El resultado $(u \times v) \times w$ es un vector que pertenece al plano generado por $u$ y $v$ , ya que está combinando linealmente $u$ y $v$ .
Los coeficientes $u \cdot w$ y $v \cdot w$ miden la proyección de $w$ sobre $u$ y $v$ , respectivamente.

Conclusión

La identidad:

(u \times v) \times w = (u \cdot w) v - (v \cdot w) u

se demuestra mediante cálculo directo en coordenadas o aplicando la identidad del triple producto vectorial. Esta relación es fundamental en álgebra vectorial y tiene aplicaciones en física y geometría.

$\textbf{Demostración de la identidad } (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} \textbf{ en geometría euclídea} \\ \text{En geometría euclídea 3D, el producto cruz y el producto punto están relacionados por la identidad:} \\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u}. \\ \textbf{1. Identidad del triple producto vectorial:} \\ \text{La identidad general del triple producto vectorial es:} \\ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \\ \text{Sustituyendo } \mathbf{a} = \mathbf{w}, \mathbf{b} = \mathbf{u}, \mathbf{c} = \mathbf{v}: \\ \mathbf{w} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{u} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{v} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}). \\ \text{Multiplicando por } -1 \text{ y usando antisimetría del producto cruz:} \\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = -\mathbf{w} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \mathbf{v} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u} (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}). \\ \text{Por lo tanto:} \\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u}. \\ \textbf{2. Demostración directa en coordenadas:} \\ \text{Sean } \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3), \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3), \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3). \text{ Calculamos:} \\ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\, u_3 v_1 - u_1 v_3,\, u_1 v_2 - u_2 v_1). \\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_2 v_3 - u_3 v_2 & u_3 v_1 - u_1 v_3 & u_1 v_2 - u_2 v_1 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}. \\ \text{Después de expandir, las componentes coinciden con:} \\ (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} = \left( v_1 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - u_1 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}),\, v_2 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - u_2 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}),\, v_3 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) - u_3 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \right). \\ \textbf{3. Conclusión:} \\ \text{La identidad } (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\mathbf{u} \text{ se demuestra mediante:} \\ \bullet \text{ La identidad del triple producto vectorial (si ya está probada).} \\ \bullet \text{ Cálculo explícito en coordenadas.} \\ \text{Esta relación es fundamental en álgebra vectorial y tiene aplicaciones en física y geometría.} $

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