Geometría euclídea y no euclídea (Ryan)

 Asistido por Qwen

Demuestra con detalle esta parte del teorema 14: Si X está sobre ℓ , la construcción se llama levantar una perpendicular ; si no, se llama bajar una perpendicular desde X hasta ℓ . El punto de intersección F=X−⟨X−P,N⟩N (donde P∈ℓ ) se denomina pie de la perpendicular .

Demostración detallada del Teorema 14: Perpendicular desde un punto a una recta

El objetivo es demostrar que, dada una recta $\ell$ y un punto $X$ , el punto $F=X-⟨X-P,N⟩N$ (donde $P\in \ell$ y $N$ es un vector unitario normal a $\ell$ ) es el pie de la perpendicular desde $X$ hasta $\ell$ . Además, se explica por qué esta construcción se llama levantar o bajar una perpendicular según la posición de $X$ .

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1. Contexto y definiciones clave

• Recta $\ell$ : Definida como $\ell =P+[v]$ , donde $P$ es un punto fijo en $\ell$ y $[v]$ es el subespacio vectorial generado por un vector dirección $v$ .
• Vector normal $N$ : Un vector unitario ($|N|=1$ ) ortogonal a $v$ (es decir, $⟨v,N⟩=0$ ).
• Producto interior : $⟨x,y⟩$ denota el producto escalar de los vectores $x$ y $y$ .

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2. Construcción del punto $F$

Dado un punto $X$ y una recta $\ell$ con vector normal $N$ , se define:

$$F=X-⟨X-P,N⟩N,$$

donde $P\in \ell$ .
Interpretación geométrica :

• El término $⟨X-P,N⟩$ mide la proyección del vector $X-P$ sobre $N$ .
• Restar $⟨X-P,N⟩N$ a $X$ elimina la componente de $X-P$ en la dirección de $N$ , lo que desplaza $X$ hacia la recta $\ell$ a lo largo de la dirección de $N$ .

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3. Demostración de que $F\in \ell$

Para verificar que $F$ pertenece a $\ell$ , usamos el Teorema 10 , que establece que $\ell$ está formada por todos los puntos $Q$ tales que $⟨Q-P,N⟩=0$ .

Paso 1 : Calculamos $⟨F-P,N⟩$ :

$$F-P=(X-⟨X-P,N⟩N)-P=(X-P)-⟨X-P,N⟩N.$$

Paso 2 : Aplicamos el producto interior con $N$ :

$$⟨F-P,N⟩=⟨X-P,N⟩-⟨X-P,N⟩⟨N,N⟩.$$

Como $N$ es unitario ($⟨N,N⟩=1$ ):

$$⟨F-P,N⟩=⟨X-P,N⟩-⟨X-P,N⟩\cdot 1=0.$$

Conclusión : $F$ satisface la condición del Teorema 10, por lo tanto $F\in \ell$ .

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4. Demostración de que $X-F$ es perpendicular a $\ell$

La dirección de $\ell$ está definida por un vector $v$ . Para que $X-F$ sea perpendicular a $\ell$ , debe ser paralelo a $N$ .

Paso 1 : Calculamos $X-F$ :

$$X-F=X-(X-⟨X-P,N⟩N)=⟨X-P,N⟩N.$$

Este vector es claramente un múltiplo escalar de $N$ , lo que implica que $X-F$ es paralelo a $N$ .

Paso 2 : Como $N$ es normal a $\ell$ , cualquier vector paralelo a $N$ es perpendicular a $\ell$ .
Conclusión : $X-F$ es perpendicular a $\ell$ .

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5. Interpretación de "levantar" y "bajar" una perpendicular

• Caso 1: $X\in \ell$
  Si $X$ ya está en $\ell$ , entonces $⟨X-P,N⟩=0$ (por el Teorema 10). Por lo tanto:

  $$F=X-0\cdot N=X.$$

  La perpendicular construida tiene longitud cero y se llama levantar una perpendicular desde $X$ en $\ell$ .

• Caso 2: $X\notin \ell$
  Si $X$ no está en $\ell$ , $⟨X-P,N⟩\ne 0$ . El vector $X-F=⟨X-P,N⟩N$ no es nulo, y su dirección es la de $N$ . Esto equivale a bajar una perpendicular desde $X$ hasta $\ell$ , y $F$ es el punto más cercano a $X$ en $\ell$ (ver Teorema 15 para detalles).

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6. Ejemplo con coordenadas

Sea $\ell$ la recta $y=0$ (eje horizontal) y $P=(0,0)$ . Su vector normal es $N=(0,1)$ .

• Ejemplo 1 : $X=(2,3)$ .

  • $⟨X-P,N⟩=⟨(2,3),(0,1)⟩=3$ .
  • $F=(2,3)-3\cdot (0,1)=(2,0)$ .
  • $F$ está en $\ell$ (su coordenada $y$ es 0), y $X-F=(0,3)$ es paralelo a $N$ , es decir, perpendicular al eje $x$ .

• Ejemplo 2 : $X=(1,0)\in \ell$ .

  • $⟨X-P,N⟩=⟨(1,0),(0,1)⟩=0$ .
  • $F=(1,0)-0\cdot (0,1)=(1,0)=X$ .
  • La perpendicular tiene longitud 0, y se denomina levantar una perpendicular .

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7. Resumen de la construcción

1. Definición de $F$ :
   $$F=X-⟨X-P,N⟩N.$$
   Este punto es la proyección ortogonal de $X$ sobre $\ell$ .
2. Propiedades :
   • $F\in \ell$ (por el Teorema 10).
   • $X-F$ es paralelo a $N$ , es decir, perpendicular a $\ell$ .
3. Casos especiales :
   • Si $X\in \ell$ , $F=X$ (levantar una perpendicular).
   • Si $X\notin \ell$ , $F$ es distinto de $X$ (bajar una perpendicular).

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Conclusión

La fórmula $F=X-⟨X-P,N⟩N$ garantiza que $F$ esté en $\ell$ y que el segmento $XF$ sea perpendicular a $\ell$ . Esto formaliza las nociones geométricas de levantar o bajar perpendiculares usando herramientas algebraicas (producto interior y vectores normales), conectando el álgebra lineal con la geometría euclidiana.

Este Qwen no acaba de hacer bien las cosas, la clave está en:

siendo $F=X-<X-P, N>N $ donde $P$ es cualquier punto de la recta ℓ. entonces:
  

$d(X,F) = \lvert X - F \rvert = \lvert X - X + \langle X - P, N \rangle N \rvert = \lvert \langle X - P, N \rangle N \rvert = \lvert \langle X - P, N \rangle \rvert \lvert N \rvert = \lvert \langle X - P \rangle \rvert$

ya que $\lvert N \rvert =1$

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En esta página, el autor introduce el concepto de simetría con respecto a una recta en el plano euclidiano (${\mathbb{E}}^2$ ) y formaliza la idea de reflexión como una transformación geométrica. Aquí está el contenido clave:

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Definición de figura y simetría

• Figura : Cualquier subconjunto del plano se llama figura . Las figuras con alta simetría son especialmente relevantes, tanto por razones estéticas como por su presencia en la naturaleza (ej.: copos de nieve, moléculas, cristales).
• Simetría respecto a una recta : Una figura es simétrica respecto a una recta $\ell$ si para todo punto $X$ , existe un punto $X^{\prime }$ tal que el punto medio de $X{X}^{\prime }$ es el pie $F$ de la perpendicular desde $X$ sobre $\ell$ . Esto se expresa algebraicamente como:
  $$\frac{1}{2}(X+X^{\prime })=F.$$
  Por el Teorema 14, esto implica:
  $$\frac{1}{2}{X}^{\prime }=\frac{1}{2}X-⟨X-P,N⟩N⟹X^{\prime }=X-2⟨X-P,N⟩N,$$
  donde $N$ es un vector unitario normal a $\ell$ y $P$ es un punto cualquiera en $\ell$ .

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Reflexión sobre una recta

La reflexión ${\Omega }_{\ell }$ respecto a una recta $\ell$ se define como la transformación:

$${\Omega }_{\ell }X=X-2⟨X-P,N⟩N,$$

donde $N$ es un vector unitario normal a $\ell$ y $P\in \ell$ .

Propiedades de la reflexión (Teorema 20)

1. Preservación de distancias :
   $$d({\Omega }_{\ell }X,{\Omega }_{\ell }Y)=d(X,Y)\forall X,Y\in {\mathbb{E}}^2.$$
2. Inversibilidad :
   $${\Omega }_{\ell }{\Omega }_{\ell }X=X\forall X\in {\mathbb{E}}^2.$$
3. Biyectividad : La reflexión es una bijeción de ${\mathbb{E}}^2$ en sí misma.

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Demostración parcial (Teorema 20.i)

El autor comienza probando la primera propiedad:

$$|{\Omega }_{\ell }X-{\Omega }_{\ell }Y{|}^2=|X-Y{|}^2-4⟨X-Y,N{⟩}^2+4⟨X-Y,N{⟩}^2=|X-Y{|}^2.$$

Esto demuestra que la reflexión preserva las distancias. La demostración se interrumpe aquí y continúa en la página siguiente.

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Figuras ilustrativas

• Figura 1.17 : Muestra cómo la distancia $d(a(t),F)$ depende del parámetro $t$ .
• Figura 1.18 : Ejemplo de una figura simétrica respecto a una recta $\ell$ .
• Figura 1.19 : Ilustra la relación entre $X$ y su imagen $X^{\prime }$ bajo la reflexión en $\ell$ .

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Objetivo del autor

El autor establece rigurosamente la noción de simetría lineal usando herramientas algebraicas (producto interior, vectores normales) y conecta esta idea con transformaciones geométricas (reflexiones). Esto prepara el terreno para analizar propiedades de figuras simétricas y generalizar el concepto a otras transformaciones isométricas (rotaciones, traslaciones).

La definición de reflexión y sus propiedades (isometría, biyección) son fundamentales para estudiar simetrías en geometría euclidiana y aplicaciones en física, química y arte

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En esta página, el autor profundiza en las propiedades de las reflexiones y introduce los conceptos de congruencia e isometrías en el plano euclidiano (${\mathbb{E}}^2$ ). Aquí está el contenido clave:

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Teorema 21: Puntos fijos de una reflexión

Enunciado : ${\Omega }_{\ell }X=X$ si y solo si $X\in \ell$ .
Demostración :

• Una reflexión ${\Omega }_{\ell }$ sobre una recta $\ell$ deja invariante un punto $X$ si y solo si la distancia desde $X$ hasta $\ell$ es cero, es decir, si $X$ pertenece a $\ell$ . Esto se deduce directamente del Teorema 10 (que relaciona la distancia de un punto a una recta con su imagen reflejada).

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Propiedades de las reflexiones

1. Involutividad : Aplicar dos veces una reflexión devuelve al punto original:

   $${\Omega }_{\ell }({\Omega }_{\ell }X)=X.$$

   Esto se demuestra algebraicamente usando la definición de reflexión:

   $${\Omega }_{\ell }X=X-2\lambda N\text{donde}\lambda =⟨X-P,N⟩.$$

   Aplicando ${\Omega }_{\ell }$ nuevamente:

   $${\Omega }_{\ell }({\Omega }_{\ell }X)={\Omega }_{\ell }(X-2\lambda N)=X-2\lambda N-2⟨X-2\lambda N-P,N⟩N=X.$$

2. Biyectividad : Las reflexiones son bijeciones isométricas (conservan distancias y son invertibles).

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Congruencia e isometrías

Definición de isometría

Un mapeo $T:{\mathbb{E}}^2\to {\mathbb{E}}^2$ es una isometría si preserva las distancias:

$$d(TX,TY)=d(X,Y)\forall X,Y\in {\mathbb{E}}^2.$$

Las reflexiones son un ejemplo de isometrías, ya que conservan tamaños y formas (como muestra la figura 1.20, donde figuras reflejadas tienen la misma "forma" y "tamaño").

Relación con movimientos rígidos

Dos figuras son congruentes si una puede transformarse en la otra mediante una isometría. La composición de dos reflexiones (figura 1.20) equivale a un movimiento rígido (traslación o rotación), reforzando la idea de que las isometrías modelan transformaciones físicas sin deformación.

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Figuras ilustrativas

• Figura 1.20 : Muestra cómo dos reflexiones sucesivas generan un movimiento rígido, preservando las propiedades geométricas de las figuras.

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Objetivo del autor

El autor establece formalmente las reflexiones como ejemplos de isometrías , conectando conceptos algebraicos (producto interior, vectores normales) con transformaciones geométricas. Esto prepara el terreno para estudiar otras isometrías (rotaciones, traslaciones) y formalizar la noción de congruencia en geometría euclidiana.

La demostración de la involutividad y biyectividad de las reflexiones refuerza su rol fundamental en la simetría y la conservación de propiedades métricas.

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Definición Dos figuras $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ son congruentes si existe una isometría $T$ tal que $T\mathcal{F}_1 = \mathcal{F}_2$.    Mostramos en la sección anterior que cada reflexión es una isometría. Aunque no toda isometría es una reflexión, veremos más adelante que cada isometría es el producto (composición) de a lo sumo tres reflexiones. Por tanto, las reflexiones son los bloques básicos de las isometrías. Cada isometría $T$ es una biyección de $\mathbb{E}^2$ sobre $\mathbb{E}^2$. De hecho, si $TX = TY$, entonces   $$  0 = d(TX, TY) = d(X, Y), $$ de donde $X = Y$. Por lo tanto, la inversa $T^{-1}$ también es una isometría porque $$  d(T^{-1}X, T^{-1}Y) = d(TT^{-1}X, TT^{-1}Y) = d(X, Y).  $$ Además, si $T$ y $S$ son isometrías, entonces  $$ d(TSX, TSY) = d(SX, SY) = d(X, Y). $$ Establecemos estos resultados formalmente: Teorema 22. i. Si $T$ y $S$ son isometrías, entonces $TS$ también es una isometría. ii. Si $T$ es una isometría, entonces $T^{-1}$ también es una isometría. iii. La identidad $I$ de $\mathbb{E}^2$ es una isometría. En otras palabras, el conjunto de todas las isometrías forma un grupo llamado grupo de isometrías de $\mathbb{E}^2$, denotado por $\mathcal{I}(\mathbb{E}^2)$. Grupos de simetría Sea $\mathcal{F}$ una figura en $\mathbb{E}^2$. Entonces el conjunto $$ \mathcal{S}(\mathcal{F}) = \{ T \in \mathcal{I}(\mathbb{E}^2) \mid T\mathcal{F} = \mathcal{F} \} $$ es un subgrupo de $\mathcal{I}(\mathbb{E}^2)$ llamado grupo de simetría de $\mathcal{F}$. El tamaño de $\mathcal{S}(\mathcal{F})$ mide el grado de simetría de la figura. Mostraremos en un capítulo posterior que un triángulo equilátero (Figura 1.21) tiene un grupo de simetría de orden 6 generado por reflexiones en sus tres medianas. Un triángulo isósceles $ABC$ (Figura 1.22) tiene un grupo de simetría de orden 2 generado por la reflexión en la mediana $AM$. El círculo tiene un grupo de simetría infinito generado por reflexiones en todos sus diámetros. Para una discusión elemental de grupos de simetría, véase Alperin [2]. Figuras ilustrativas: - Figura 1.21: Triángulo equilátero y sus ejes de simetría. - Figura 1.22: Triángulo isósceles y su eje de simetría.