Estudiando $H^2$ en el libro de Ryan

 Asistido por qwen

 Los vectores de la base estándar $ \varepsilon_1 = (1,0,0) $, $ \varepsilon_2 = (0,1,0) $, $ \varepsilon_3 = (0,0,1) $ son ortogonales respecto a la métrica hiperbólica $ b(x,y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3 $, pero no son todos tipo espacio. Por ejemplo:

$$ b(\varepsilon_3, \varepsilon_3) = -1 \quad \text{(vector tipo tiempo)}$$ .

Cualquier conjunto de tres vectores ortonormales (en sentido hiperbólico) es base de $\mathbb{R}^3$

Demostración

$\textbf{Demostración:} \\ \text{Sea } \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \text{ un conjunto de vectores pseudo-ortonormales en } \mathbb{R}^3 \\ \text{Supongamos } a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + a_3 \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}. \\ \text{Aplicando } b(\cdot, \mathbf{v}_i): \\ b(a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + a_3 \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_i) = a_i b(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i) = 0 \Rightarrow a_i = 0 \text{ (porque } b(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i) \neq 0). \\ \text{Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base de } \mathbb{R}^3 $

Otra versión de la demostración:  (Fórmulas en LaTeX para tu blog)

Demostración: 

Sea $ \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} $ un conjunto de vectores pseudo-ortonormales en $ \mathbb{R}^3 $.  

Supongamos $ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + a_3 \mathbf{v}_3 = \mathbf{0} $.  

Aplicando $ b(\cdot, \mathbf{v}_i) $:  

- Para $ i = 1 $:  

  $ b(a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + a_3 \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_1) = a_1 b(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1) = 0 \Rightarrow a_1 = 0 $.  

- Repitiendo para $ i = 2 $ y $ i = 3 $, obtenemos $ a_2 = 0 $ y $ a_3 = 0 $.  

Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base de $ \mathbb{R}^3 $.  

Ejemplo explícito  

La base estándar $ \{ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \} $ satisface:  

- $ b(\varepsilon_1, \varepsilon_1) = 1 $,  

- $ b(\varepsilon_2, \varepsilon_2) = 1 $,  

- $ b(\varepsilon_3, \varepsilon_3) = -1 $,  

- $ b(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0 $ para $ i \neq j $.  

Así, $ \{ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \} $ es una base de $ \mathbb{R}^3 $.  

Conclusión

En geometría hiperbólica 3D, cualquier conjunto de tres vectores pseudo-ortonormales (con $ b(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j) = \pm 1 $ si $ i = j $ y $ 0 $ si $ i \neq j $) es linealmente independiente y forma una base de $ \mathbb{R}^3 $.  

Nota:  

- Esta propiedad se extiende a cualquier métrica con forma bilineal no degenerada.  

- Ejemplo de matriz asociada a $ b $:  

  $$   g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.  $$

Demuestra que cualquier base ortonormal tiene dos vectores tipo espacio y un vector tipo tiempo

$\textbf{Demostración:} \\  \text{Sea } \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \} \text{ una base ortonormal en } \mathbb{R}^3. \\ \text{La forma bilineal } b \text{ tiene signatura } (2,1), \text{ por lo que su matriz en cualquier base ortonormal es diagonal con entradas } \pm 1. \\  \text{Por invariancia de la signatura, debe haber dos entradas positivas y una negativa:} \\ b(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_i) = \begin{cases} 1 & \text{para dos vectores}, \\ -1 & \text{para un vector}. \end{cases} \\ \text{Por lo tanto, la base contiene dos vectores tipo espacio y uno tipo tiempo.} $

Demostración del teorema de inercia de Silvester en este caso particular

$\textbf{Demostración de la invariancia de la signatura:} \\  \text{Sea } Q(\mathbf{v}) = v_1^2 + v_2^2 - v_3^2 \text{ la forma cuadrática asociada a } b. \\  \text{Definimos subespacios máximos:} \\  - V_+ = \text{span}\{ \varepsilon_1, \varepsilon_2 \}, \quad \dim(V_+) = 2. \\  - V_- = \text{span}\{ \varepsilon_3 \}, \quad \dim(V_-) = 1. \\  \text{Bajo un cambio de base } g' = P^\top g P, \text{ la forma cuadrática } Q'(\mathbf{v}) = Q(P \mathbf{v}) \text{ mantiene estas dimensiones.} \\  \text{Por lo tanto, la signatura } (2,1,0) \text{ es invariante.} $

Demostración del Teorema de Inercia de Sylvester para el caso específico de la métrica hiperbólica 3D

En este contexto, queremos demostrar que la signatura $(2,1,0)$ de la forma bilineal

$$b(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2-x_3{y}_3$$

es invariante bajo cambios de base . Es decir, cualquier matriz congruente a

$$g=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

tendrá exactamente dos autovalores positivos y uno negativo .

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Paso 1: Forma cuadrática asociada

La forma cuadrática asociada a $b$ es:

$$Q(\mathbf{v})=b(\mathbf{v},\mathbf{v})=v_1^2+v_2^2-v_3^2.$$

Esta forma cuadrática tiene dos direcciones espaciales (donde $Q>0$ ) y una temporal (donde $Q<0$ ).

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Paso 2: Subespacios máximos de definición positiva/negativa

Definimos:

• Subespacio positivo : Un subespacio $V_{+}\subset {\mathbb{R}}^3$ donde $Q(\mathbf{v})>0$ para todo $\mathbf{v}\in V_{+}\setminus \{0\}$ .
• Subespacio negativo : Un subespacio $V_{-}\subset {\mathbb{R}}^3$ donde $Q(\mathbf{v})<0$ para todo $\mathbf{v}\in V_{-}\setminus \{0\}$ .

Afirmación :

• La dimensión máxima de $V_{+}$ es 2 .
• La dimensión máxima de $V_{-}$ es 1 .

Demostración :

1. Subespacio positivo :
   El subespacio $\text{span}\{{\epsilon }_1,{\epsilon }_2\}$ tiene dimensión 2 y cumple $Q(\mathbf{v})=v_1^2+v_2^2>0$ para todo $\mathbf{v}\ne 0$ .
   Si existiera un subespacio positivo de dimensión 3, entonces $Q(\mathbf{v})>0$ para todo $\mathbf{v}\ne 0$ , pero $Q({\epsilon }_3)=-1<0$ , lo cual es una contradicción.
   Por lo tanto, $\dim (V_{+})=2$ .

2. Subespacio negativo :
   El subespacio $\text{span}\{{\epsilon }_3\}$ tiene dimensión 1 y cumple $Q(\mathbf{v})=-v_3^2<0$ para todo $\mathbf{v}\ne 0$ .
   Si existiera un subespacio negativo de dimensión 2, entonces $Q(\mathbf{v})<0$ para todo $\mathbf{v}\ne 0$ en ese subespacio. Pero cualquier vector no nulo en $\text{span}\{{\epsilon }_1,{\epsilon }_3\}$ con $v_1\ne 0$ tendría $Q(\mathbf{v})=v_1^2-v_3^2$ , que puede ser positivo o negativo, dependiendo de $v_1$ y $v_3$ . Por lo tanto, $\dim (V_{-})=1$ .

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Paso 3: Invariancia bajo cambios de base

Sea $P\in GL(3,\mathbb{R})$ una matriz invertible que representa un cambio de base. La nueva matriz asociada a $b$ es:

$$g^{\prime }=P^{\top }gP.$$

La forma cuadrática en la nueva base es:

$$Q^{\prime }(\mathbf{v})={\mathbf{v}}^{\top }{g}^{\prime }\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\top }{P}^{\top }gP\mathbf{v}=(P\mathbf{v}{)}^{\top }g(P\mathbf{v})=Q(P\mathbf{v}).$$

Esto significa que $Q^{\prime }$ y $Q$ tienen la misma estructura:

• Si $Q(\mathbf{w})>0$ , entonces $Q^{\prime }(P^{-1}\mathbf{w})>0$ .
• Si $Q(\mathbf{w})<0$ , entonces $Q^{\prime }(P^{-1}\mathbf{w})<0$ .

Por lo tanto, los subespacios máximos donde $Q^{\prime }$ es positiva o negativa tienen las mismas dimensiones que los de $Q$ .
Es decir:

$$\dim (V_{+}^{\prime })=\dim (V_{+})=2,\dim (V_{-}^{\prime })=\dim (V_{-})=1.$$

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Paso 4: Conclusión

La signatura de $g$ es $(2,1,0)$ . Al aplicar cualquier cambio de base invertible $P$ , la nueva matriz $g^{\prime }=P^{\top }gP$ tiene la misma signatura. Por lo tanto, la signatura es invariante .

OTRA VERSIÓN

$\textbf{Demostración del Teorema de Inercia de Sylvester:} \\ \text{Sea } Q(\mathbf{v}) = v_1^2 + v_2^2 - v_3^2 \text{ la forma cuadrática asociada a } b. \\ \text{Definimos subespacios máximos:} \\ - V_+ = \text{span}\{ \varepsilon_1, \varepsilon_2 \}, \quad \dim(V_+) = 2. \\ - V_- = \text{span}\{ \varepsilon_3 \}, \quad \dim(V_-) = 1. \\ \text{Bajo un cambio de base } g' = P^\top g P, \text{ la forma cuadrática } Q'(\mathbf{v}) = Q(P \mathbf{v}) \text{ mantiene estas dimensiones.} \\ \text{Por lo tanto, la signatura } (2,1,0) \text{ es invariante.}$

Supongamos que todavía no sabemos que de tres vectores ortonormales, dos tienen que ser tipo espacio y uno tipo tiempo.

Pero supongamos también que sí sabemos que hay al menos un vector tipo espacio, y al menos un vector tipo tiempo.

Supongamos que $\{ e_1 , e_2 , e_3 \} es base ortonormal con $e_1$ tipo espacio y $e_3$  tipo tiempo.

Prueba que $ (e_1 \times e_3 )   \times  e_2   =0  $  y por tanto $e_2$  es múltiplo de $e_1  \times  e_3 $

Recuerda que nos referimos al producto vectorial que se define a través de la forma bilineal de la geometría hiperbólica que estamos en esta conversación