Tarea de coursera, curso de variable compleja, módulo 3, tarea 2, primer trabajo

 Aquí copio lo que me da DeepSeek, para estudiarlo luego y, eventualmente, mandarlo

La tarea:

Encuentre la imagen del conjunto

$$U=\{z\in \mathbb{C}\mid -\frac{\pi }{2}<\text{Re}(z)<\frac{\pi }{2}\}$$

bajo la función

$$f(z)=\sin (z)\mathrm{.}$$

Para ello, responda a las siguientes preguntas:

---

1. ¿Cuál es la imagen del segmento de recta

$$L_1=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

(en el eje real) bajo $f$?
Respuesta:
La imagen es el intervalo real abierto:

$$\sin (L_1)=(-1,1)\mathrm{.}$$

---

2. ¿Cuál es la imagen del eje imaginario

$$L_2=\{iy\mid y\in \mathbb{R}\}$$

bajo $f$?
Respuesta:
La imagen es todo el eje imaginario:

$$\sin (L_2)=i\mathbb{R}\mathrm{.}$$

---

3. ¿Cuál es la imagen de la línea vertical

$$L_3=\{-\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$$

bajo $f$?
Respuesta:
La imagen es el intervalo real no acotado:

$$\sin (L_3)=(-\mathrm{\infty },-1]\mathrm{.}$$

---

4. ¿Cuál es la imagen de la línea vertical

$$L_4=\{\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$$

bajo $f$?
Respuesta:
La imagen es el intervalo real no acotado:

$$\sin (L_4)=[1,\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

---

5. Dadas sus observaciones anteriores, ¿cuál cree que es la imagen del conjunto $U$ bajo $f$?

Respuesta final:
La imagen de $U$ bajo $f(z)=\sin (z)$ es todo el plano complejo $\mathbb{C}$, excepto los intervalos reales $(-\mathrm{\infty },-1]$ y $[1,\mathrm{\infty })$:

$$\sin (U)=\mathbb{C}\setminus ((-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty }))\mathrm{.}$$

Respuesta:
La imagen del segmento de recta $L_1=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ (sobre el eje real) bajo la función es el intervalo abierto $(-1,1)$ en el eje real.

---

Explicación detallada:

1. Contexto:

   • El segmento $L_1=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ está contenido en el eje real del plano complejo, es decir, todos los puntos $z$ en $L_1$ son números reales: $z=x\in \mathbb{R}$.

   • La función , cuando $z$ es real, coincide con la función seno real.

2. Comportamiento de en $L_1$:

   • En el intervalo real $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, la función es estrictamente creciente y biyectiva.

   • Límites:

     $$\underset{x\to -{\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }$$

   • Valores intermedios:
     Para todo $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, .

3. Conclusión:

   • Como $L_1$ es un intervalo abierto y es continua y biyectiva en este dominio, la imagen de $L_1$ bajo es el intervalo abierto $(-1,1)$ en el eje real.

---

Gráfica ilustrativa:

El seno mapea el intervalo abierto $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ de manera biunívoca a $(-1,1)$.

---

Nota adicional:
Si el segmento $L_1$ hubiera incluido los extremos $\pm \frac{\pi }{2}$, la imagen sería el intervalo cerrado $[-1,1]$. Sin embargo, al ser un intervalo abierto, los valores $\pm 1$ no se alcanzan.   

SEGUNDA PREGUNTA

The question is about finding the image of the imaginary axis L₂ = {iy | y ∈ ℝ} under the complex sine function f(z) = sin(z).

Respuesta:
La imagen del eje imaginario $L_2=\{iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo la función es todo el eje imaginario $i\mathbb{R}$. Es decir:

$$$$

---

Explicación detallada:

1. Expresión de para $z=iy$:
   Para $z=iy$ (donde $y\in \mathbb{R}$), usamos la definición del seno complejo:

   $$$$

   Esto se obtiene de la identidad:

   $$$$

   y al evaluar en $x=0$:

   $$$$

2. Comportamiento de :

   • La función es una función real que toma todos los valores en $\mathbb{R}$ cuando $y\in \mathbb{R}$.

   • Rango de :

     $$$$

3. Imagen de $L_2$:

   • Dado que cubre todos los reales, multiplicando por $i$, obtenemos:

     $$$$

   • Esto corresponde a todos los números imaginarios puros.

---

Ejemplos ilustrativos:

• Si $y=0$: .

• Si $y=1$: .

• Si $y=-1$: .

---

Conclusión:
La función transforma el eje imaginario $L_2$ en todo el eje imaginario $i\mathbb{R}$. Esto contrasta con la imagen del segmento real $L_1$, que era el intervalo $(-1,1)$. La diferencia radica en cómo el seno complejo interactúa con las partes real e imaginaria de $z$.

Si tienes más dudas, ¡no dudes en preguntar! 😊

REPITE LA RESPUESTA MÁS DETALLADA

Respuesta:
La imagen del eje imaginario $L_2=\{iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo la función es todo el eje imaginario $i\mathbb{R}$. Es decir:

$$$$

---

Explicación detallada:

1. Fórmula del seno complejo para $z=iy$:
   Para $z=iy$ (con $y\in \mathbb{R}$), usamos la definición del seno complejo:

   $$$$

   donde es la función seno hiperbólico.

2. Comportamiento de :

   • es una función real que toma todos los valores reales cuando $y\in \mathbb{R}$:

     $$$$

   • Por ejemplo:

     • ,

     • ,

     • .

3. Imagen de $L_2$:
   Al multiplicar por $i$, obtenemos:

   $$$$

   Por lo tanto, la imagen cubre todos los números imaginarios puros.

---

Ejemplos concretos:

• Si $y=0$:

  $$$$

• Si $y=\ln (2)$:

  $$$$

• Si $y=-\ln (3)$:

  $$$$

---

Conclusión:

El eje imaginario $L_2$ se transforma mediante en todo el eje imaginario $i\mathbb{R}$. Esto contrasta con la imagen de un segmento real bajo , que es un intervalo acotado. La clave está en la función , que al no estar acotada, permite cubrir todo el eje imaginario.

TERCERA PREGUNTA

the user is asking about the image of the vertical line L₃ = {-π/2 + iy | y ∈ ℝ} under the complex sine function f(z) = sin(z).

Respuesta:
La imagen de la línea vertical $L_3=\{-\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo es el intervalo real $(-\mathrm{\infty },-1]$.

---

Explicación detallada:

1. Expresión de para $z=-\frac{\pi }{2}+iy$:
   Para $z=-\frac{\pi }{2}+iy$, usamos la fórmula del seno complejo:

   $$$$

   • Cálculo de las partes trigonométricas:

     $$$$

   • Simplificación:

     $$$$

2. Comportamiento de $\cosh (y)$:

   • La función hiperbólica $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$ cumple:

     $$\cosh (y)\ge 1\text{para todo }y\in \mathbb{R},$$

     y $\cosh (y)\to \mathrm{\infty }$ cuando $y\to \pm \mathrm{\infty }$.

3. Imagen de $L_3$:

   • Al multiplicar por $-1$, obtenemos:

     $$-\cosh (y)\le -1\text{para todo }y\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

   • Además, cuando $y=0$:

     $$$$

   • Cuando $y\to \pm \mathrm{\infty }$:

     $$-\cosh (y)\to -\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

   Por tanto, la imagen es:

   $$$$

---

Ejemplos ilustrativos:

• Si $y=0$:

  $$$$

• Si $y=1$:

  $$$$

• Si $y=-2$:

  $$$$

---

Conclusión:

La función transforma la línea vertical $L_3$ en todos los números reales menores o iguales que $-1$. Esto ocurre porque la componente imaginaria se anula ($\cos (-\pi \mathrm{/}2)=0$), y la parte real se extiende desde $-1$ hasta $-\mathrm{\infty }$ debido al crecimiento hiperbólico de $\cosh (y)$.

Repite la respuesta dando explicaciones más detalladas

Respuesta Detallada:
La imagen de la línea vertical $L_3=\{-\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo la función es el intervalo real $(-\mathrm{\infty },-1]$. A continuación, se explica paso a paso por qué ocurre esto.

---

Paso 1: Fórmula del seno complejo

Para cualquier $z=x+iy$, el seno complejo se define como:

$$$$

donde:

• y $\cos (x)$ son funciones trigonométricas reales,

• $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$ (coseno hiperbólico),

• (seno hiperbólico).

---

Paso 2: Evaluar en $z=-\frac{\pi }{2}+iy$

Sustituimos $x=-\frac{\pi }{2}$ en la fórmula:

$$$$

Cálculo de las componentes:

1. Parte real:

   $$$$$$\cosh (y)\ge 1\text{para todo }y\in \mathbb{R}\text{(propiedad del coseno hiperb}\acute{\text{o}}\text{lico)}\mathrm{.}$$

   Por lo tanto:

   $$$$

2. Parte imaginaria:

   $$\cos (-\frac{\pi }{2})=0\text{(valor conocido del coseno real)},$$$$$$

   Por lo tanto:

   $$$$

Conclusión intermedia:

$$$$

---

Paso 3: Comportamiento de $-\cosh (y)$

El coseno hiperbólico $\cosh (y)$ tiene las siguientes propiedades:

1. Dominio y rango:

   $$\cosh (y)\ge 1\text{para todo }y\in \mathbb{R},\cosh (0)=1,\cosh (y)\to \mathrm{\infty }\text{ cuando }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

2. Simetría:

   $$\cosh (-y)=\cosh (y)\text{(funci}\acute{\text{o}}\text{n par)}\mathrm{.}$$

Al multiplicar por $-1$:

$$-\cosh (y)\le -1\text{para todo }y\in \mathbb{R},$$

y:

$$-\cosh (y)\to -\mathrm{\infty }\text{cuando }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

---

Paso 4: Imagen de $L_3$

La función $-\cosh (y)$ toma todos los valores reales desde $-\mathrm{\infty }$ hasta $-1$:

1. Cuando $y=0$:

   $$-\cosh (0)=-1.$$

2. Cuando $y\to \pm \mathrm{\infty }$:

   $$-\cosh (y)\to -\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

3. Para $y\mathrm{\ne }0$:

   $$-\cosh (y)\in (-\mathrm{\infty },-1)\text{(ejemplo: }y=1⟹-\cosh (1)\approx -1.543\text{)}\mathrm{.}$$

Conclusión final:

$$$$

---

Ejemplos Numéricos

1. Caso $y=0$:

   $$$$

2. Caso $y=1$:

   $$$$

3. Caso $y=2$:

   $$$$

---

Visualización Gráfica

• Eje vertical $L_3$: Todos los puntos $-\frac{\pi }{2}+iy$ forman una línea vertical en $x=-\frac{\pi }{2}$.

• Imagen bajo : Una semirrecta real que comienza en $-1$ y se extiende hacia $-\mathrm{\infty }$.

---

¿Por qué desaparece la parte imaginaria?

La parte imaginaria de depende de . En $x=-\frac{\pi }{2}$:

$$\cos (-\frac{\pi }{2})=0⟹$$

Esto anula cualquier contribución imaginaria, reduciendo la imagen a un subconjunto del eje real.

---

Contraste con Casos Anteriores

1. Segmento real $L_1=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$:
   Imagen: $(-1,1)$ (intervalo acotado en el eje real).

2. Eje imaginario $L_2=\{iy\}$:
   Imagen: $i\mathbb{R}$ (todo el eje imaginario).

3. Línea vertical $L_3$:
   Imagen: $(-\mathrm{\infty },-1]$ (semirrecta real no acotada).

---

Conclusión

La combinación de:

1. La componente real fija $x=-\frac{\pi }{2}$,

2. El crecimiento hiperbólico de $\cosh (y)$,

3. La anulación de la parte imaginaria,

fuerza a la imagen de $L_3$ bajo a ser $(-\mathrm{\infty },-1]$. Este resultado ilustra cómo las funciones complejas transforman geometrías no triviales en el plano.

he user is pointing out that some formulas in my previous response didn't render correctly. Let me check what happened.

Respuesta Detallada (con fórmulas corregidas):
La imagen de la línea vertical $L_3=\{-\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo la función $f(z)=\sin (z)$ es el intervalo real $(-\mathrm{\infty },-1]$. A continuación, se explica paso a paso por qué ocurre esto.

---

Paso 1: Fórmula del seno complejo

Para cualquier $z=x+iy$, el seno complejo se define como:

$$\sin (z)=\sin (x+iy)=\sin (x)\cosh (y)+i\cos (x)\sinh (y),$$

donde:

• $\sin (x)$ y $\cos (x)$ son funciones trigonométricas reales,

• $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$ (coseno hiperbólico),

• $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ (seno hiperbólico).

---

Paso 2: Evaluar $\sin (z)$ en $z=-\frac{\pi }{2}+iy$

Sustituimos $x=-\frac{\pi }{2}$ en la fórmula:

$$\sin (-\frac{\pi }{2}+iy)=\sin (-\frac{\pi }{2})\cosh (y)+i\cos (-\frac{\pi }{2})\sinh (y)\mathrm{.}$$

Cálculo de las componentes:

1. Parte real:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2})=-1\text{(valor conocido del seno real)},$$$$\cosh (y)\ge 1\text{para todo }y\in \mathbb{R}\text{(propiedad del coseno hiperb}\acute{\text{o}}\text{lico)}\mathrm{.}$$

   Por lo tanto:

   $$\text{Re}(\sin (z))=-1\cdot \cosh (y)=-\cosh (y)\mathrm{.}$$

2. Parte imaginaria:

   $$\cos (-\frac{\pi }{2})=0\text{(valor conocido del coseno real)},$$$$\sinh (y)\in \mathbb{R}\text{(el seno hiperb}\acute{\text{o}}\text{lico es real)}\mathrm{.}$$

   Por lo tanto:

   $$\text{Im}(\sin (z))=0\cdot \sinh (y)=0.$$

Conclusión intermedia:

$$\sin (-\frac{\pi }{2}+iy)=-\cosh (y)\text{(n}\acute{\text{u}}\text{mero real puro)}\mathrm{.}$$

---

Paso 3: Comportamiento de $-\cosh (y)$

El coseno hiperbólico $\cosh (y)$ tiene las siguientes propiedades:

1. Dominio y rango:

   $$\cosh (y)\ge 1\text{para todo }y\in \mathbb{R},\cosh (0)=1,\cosh (y)\to \mathrm{\infty }\text{ cuando }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

2. Simetría:

   $$\cosh (-y)=\cosh (y)\text{(funci}\acute{\text{o}}\text{n par)}\mathrm{.}$$

Al multiplicar por $-1$:

$$-\cosh (y)\le -1\text{para todo }y\in \mathbb{R},$$

y:

$$-\cosh (y)\to -\mathrm{\infty }\text{cuando }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

---

Paso 4: Imagen de $L_3$

La función $-\cosh (y)$ toma todos los valores reales desde $-\mathrm{\infty }$ hasta $-1$:

1. Cuando $y=0$:

   $$-\cosh (0)=-1.$$

2. Cuando $y\to \pm \mathrm{\infty }$:

   $$-\cosh (y)\to -\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

3. Para $y\mathrm{\ne }0$:

   $$-\cosh (y)\in (-\mathrm{\infty },-1)\text{(ejemplo: }y=1⟹-\cosh (1)\approx -1.543\text{)}\mathrm{.}$$

Conclusión final:

$$\sin (L_3)=\{-\cosh (y)\mid y\in \mathbb{R}\}=(-\mathrm{\infty },-1]\mathrm{.}$$

---

Ejemplos Numéricos

1. Caso $y=0$:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2}+i\cdot 0)=-\cosh (0)=-1.$$

2. Caso $y=1$:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2}+i\cdot 1)=-\frac{e^1+e^{-1}}{2}\approx -\mathrm{1.543.}$$

3. Caso $y=2$:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2}+i\cdot 2)=-\frac{e^2+e^{-2}}{2}\approx -\mathrm{3.762.}$$

---

Visualización Gráfica

• Eje vertical $L_3$: Todos los puntos $-\frac{\pi }{2}+iy$ forman una línea vertical en $x=-\frac{\pi }{2}$.

• Imagen bajo $\sin (z)$: Una semirrecta real que comienza en $-1$ y se extiende hacia $-\mathrm{\infty }$.

---

¿Por qué desaparece la parte imaginaria?

La parte imaginaria de $\sin (z)$ depende de $\cos (x)\sinh (y)$. En $x=-\frac{\pi }{2}$:

$$\cos (-\frac{\pi }{2})=0⟹\text{Im}(\sin (z))=0.$$

Esto anula cualquier contribución imaginaria, reduciendo la imagen a un subconjunto del eje real.

---

Contraste con Casos Anteriores

1. Segmento real $L_1=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$:
   Imagen: $(-1,1)$ (intervalo acotado en el eje real).

2. Eje imaginario $L_2=\{iy\}$:
   Imagen: $i\mathbb{R}$ (todo el eje imaginario).

3. Línea vertical $L_3$:
   Imagen: $(-\mathrm{\infty },-1]$ (semirrecta real no acotada).

---

Conclusión

La combinación de:

1. La componente real fija $x=-\frac{\pi }{2}$,

2. El crecimiento hiperbólico de $\cosh (y)$,

3. La anulación de la parte imaginaria,

fuerza a la imagen de $L_3$ bajo $\sin (z)$ a ser $(-\mathrm{\infty },-1]$. Este resultado ilustra cómo las funciones complejas transforman geometrías no triviales en el plano.

A ver si puedes repetirme la respuesta sin que intervengan las funciones hiperbólicas, sólo manipulando la definición de $\sin z = \frac{e^{îz}- e^{-îz}}{2}$ y expresando las partes real e imaginaria a partir de $e^x$ y de $e^{îy}$

Respuesta Detallada (sin usar funciones hiperbólicas):
La imagen de la línea vertical $L_3=\{-\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo $f(z)=\sin (z)$ es el intervalo real $(-\mathrm{\infty },-1]$. A continuación, se explica usando solo la definición exponencial del seno complejo:

---

Definición exponencial del seno complejo

Para $z\in \mathbb{C}$, el seno complejo se define como:

$$\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\mathrm{.}$$

---

Paso 1: Sustituir $z=-\frac{\pi }{2}+iy$ en la definición

Sea $z=-\frac{\pi }{2}+iy$. Calculamos $iz$ y $-iz$:

$$iz=i(-\frac{\pi }{2}+iy)=-\frac{i\pi }{2}-y,-iz=\frac{i\pi }{2}+y\mathrm{.}$$

Ahora expandimos $e^{iz}$ y $e^{-iz}$:

$$e^{iz}=e^{-\frac{i\pi }{2}-y}=e^{-y}\cdot e^{-i\frac{\pi }{2}},e^{-iz}=e^{\frac{i\pi }{2}+y}=e^y\cdot e^{i\frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$

---

Paso 2: Evaluar $e^{-i\frac{\pi }{2}}$ y $e^{i\frac{\pi }{2}}$

Usando la fórmula de Euler $e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$:

$$e^{-i\frac{\pi }{2}}=\cos (-\frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2})=0-i,e^{i\frac{\pi }{2}}=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0+i\mathrm{.}$$

Por tanto:

$$e^{iz}=e^{-y}\cdot (-i)=-i{e}^{-y},e^{-iz}=e^y\cdot i=i{e}^y\mathrm{.}$$

---

Paso 3: Sustituir en la fórmula de $\sin (z)$

$$\sin (z)=\frac{-i{e}^{-y}-i{e}^y}{2i}=\frac{-i(e^y+e^{-y})}{2i}\mathrm{.}$$

Simplificando $i$:

$$\sin (z)=\frac{-(e^y+e^{-y})}{2}=-\frac{e^y+e^{-y}}{2}\mathrm{.}$$

---

Paso 4: Analizar $-\frac{e^y+e^{-y}}{2}$

1. Dominio de $y$:
   $y\in \mathbb{R}$, y $e^y>0$, $e^{-y}>0$.

2. Mínimo valor:
   Por la desigualdad $e^y+e^{-y}\ge 2$ (igualdad si $y=0$):

   $$-\frac{e^y+e^{-y}}{2}\le -1.$$

3. Comportamiento en $y\to \pm \mathrm{\infty }$:

   • Si $y\to \mathrm{\infty }$, $e^y\to \mathrm{\infty }$, $e^{-y}\to 0$, entonces $-\frac{e^y+e^{-y}}{2}\to -\mathrm{\infty }$.

   • Si $y\to -\mathrm{\infty }$, $e^{-y}\to \mathrm{\infty }$, $e^y\to 0$, entonces $-\frac{e^y+e^{-y}}{2}\to -\mathrm{\infty }$.

---

Paso 5: Conclusión

La expresión $-\frac{e^y+e^{-y}}{2}$:

• Alcanza su valor máximo $-1$ cuando $y=0$.

• Tiende a $-\mathrm{\infty }$ cuando $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$.

• No tiene parte imaginaria (resultado puramente real).

Por lo tanto, la imagen de $L_3$ es:

$$\sin (L_3)=\{-\frac{e^y+e^{-y}}{2}\mid y\in \mathbb{R}\}=(-\mathrm{\infty },-1]\mathrm{.}$$

---

Ejemplos

1. Si $y=0$:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2}+i\cdot 0)=-\frac{e^0+e^0}{2}=-1.$$

2. Si $y=1$:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2}+i\cdot 1)=-\frac{e^1+e^{-1}}{2}\approx -\mathrm{1.543.}$$

3. Si $y=-2$:

   $$\sin (-\frac{\pi }{2}+i\cdot (-2))=-\frac{e^{-2}+e^2}{2}\approx -\mathrm{3.762.}$$

---

Visualización

• La línea vertical $L_3$ se transforma en una semirrecta real desde $-1$ hasta $-\mathrm{\infty }$.

• La ausencia de parte imaginaria se debe a la cancelación exacta en $\sin (z)$, originada por $\cos (-\pi \mathrm{/}2)=0$

CUARTA PREGUNTA

The user is asking about the image of the vertical line $L_4=\{\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ under the complex sine function $f(z)=\sin (z)$.

Respuesta:
La imagen de la línea vertical $L_4=\{\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo $f(z)=\sin (z)$ es el intervalo real $[1,\mathrm{\infty })$.

---

Explicación detallada:

1. Fórmula del seno complejo para $z=\frac{\pi }{2}+iy$:

   $$\sin (\frac{\pi }{2}+iy)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\cosh (y)+i\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\sinh (y)\mathrm{.}$$

2. Simplificación:

   • $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$,

   • $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.
     Por lo tanto:

   $$\sin (\frac{\pi }{2}+iy)=1\cdot \cosh (y)+i\cdot 0=\cosh (y)\mathrm{.}$$

3. Comportamiento de $\cosh (y)$:

   • $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}\ge 1$ para todo $y\in \mathbb{R}$.

   • $\cosh (0)=1$,

   • $\cosh (y)\to \mathrm{\infty }$ cuando $y\to \pm \mathrm{\infty }$.

4. Imagen de $L_4$:

   $$\sin (L_4)=\{\cosh (y)\mid y\in \mathbb{R}\}=[1,\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

---

Ejemplos ilustrativos:

• Si $y=0$:

  $$\sin (\frac{\pi }{2}+i\cdot 0)=\cosh (0)=1.$$

• Si $y=1$:

  $$\sin (\frac{\pi }{2}+i\cdot 1)=\cosh (1)\approx \mathrm{1.543.}$$

• Si $y=-2$:

  $$\sin (\frac{\pi }{2}+i\cdot (-2))=\cosh (-2)=\cosh (2)\approx \mathrm{3.762.}$$

---

Conclusión:

La función $\sin (z)$ transforma la línea vertical $L_4$ en todos los números reales mayores o iguales que 1, es decir, el intervalo $[1,\mathrm{\infty })$. Esto se debe a que la parte imaginaria se anula ($\cos (\pi \mathrm{/}2)=0$), y la parte real crece hiperbólicamente desde 1 hasta $\mathrm{\infty }$.

Por favor, vuelve a contestarme como antes, sin que intervengan seno ni coseno hiperbólicos

Respuesta Detallada (sin usar funciones hiperbólicas):
La imagen de la línea vertical $L_4=\{\frac{\pi }{2}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo $f(z)=\sin (z)$ es el intervalo real $[1,\mathrm{\infty })$. A continuación, se explica usando solo la definición exponencial del seno complejo:

---

Definición exponencial del seno complejo

Para $z\in \mathbb{C}$, el seno complejo se define como:

$$\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\mathrm{.}$$

---

Paso 1: Sustituir $z=\frac{\pi }{2}+iy$ en la definición

Sea $z=\frac{\pi }{2}+iy$. Calculamos $iz$ y $-iz$:

$$iz=i(\frac{\pi }{2}+iy)=\frac{i\pi }{2}-y,-iz=-\frac{i\pi }{2}+y\mathrm{.}$$

Ahora expandimos $e^{iz}$ y $e^{-iz}$:

$$e^{iz}=e$$

---

Paso 2: Evaluar $e^{\frac{i\pi }{2}}$ y $e^{-\frac{i\pi }{2}}$

Usando la fórmula de Euler $e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$:

$$e^{\frac{i\pi }{2}}=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0+i,e^{-\frac{i\pi }{2}}=\cos (-\frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2})=0-i\mathrm{.}$$

Por tanto:

$$e^{iz}=e^{-y}\cdot i=i{e}^{-y},e^{-iz}=e^y\cdot (-i)=-i{e}^y\mathrm{.}$$

---

Paso 3: Sustituir en la fórmula de $\sin (z)$

$$\sin (z)=\frac{i{e}^{-y}-(-i{e}^y)}{2i}=\frac{i{e}^{-y}+i{e}^y}{2i}\mathrm{.}$$

Simplificando $i$:

$$\sin (z)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}\mathrm{.}$$

---

Paso 4: Analizar $\frac{e^y+e^{-y}}{2}$

1. Dominio de $y$:
   $y\in \mathbb{R}$, y $e^y>0$, $e^{-y}>0$.

2. Mínimo valor:
   Por la desigualdad $e^y+e^{-y}\ge 2$ (igualdad si $y=0$):

   $$\frac{e^y+e^{-y}}{2}\ge 1.$$

3. Comportamiento en $y\to \pm \mathrm{\infty }$:

   • Si $y\to \mathrm{\infty }$, $e^y\to \mathrm{\infty }$, $e^{-y}\to 0$, entonces $\frac{e^y+e^{-y}}{2}\to \mathrm{\infty }$.

   • Si $y\to -\mathrm{\infty }$, $e^{-y}\to \mathrm{\infty }$, $e^y\to 0$, entonces $\frac{e^y+e^{-y}}{2}\to \mathrm{\infty }$.

---

Paso 5: Conclusión

La expresión $\frac{e^y+e^{-y}}{2}$:

• Alcanza su valor mínimo $1$ cuando $y=0$.

• Tiende a $\mathrm{\infty }$ cuando $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$.

• No tiene parte imaginaria (resultado puramente real).

Por lo tanto, la imagen de $L_4$ es:

$$\sin (L_4)=\{\frac{e^y+e^{-y}}{2}\mid y\in \mathbb{R}\}=[1,\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

---

Ejemplos

1. Si $y=0$:

   $$\sin (\frac{\pi }{2}+i\cdot 0)=\frac{e^0+e^0}{2}=1.$$

2. Si $y=1$:

   $$\sin (\frac{\pi }{2}+i\cdot 1)=\frac{e^1+e^{-1}}{2}\approx \mathrm{1.543.}$$

3. Si $y=-2$:

   $$\sin (\frac{\pi }{2}+i\cdot (-2))=\frac{e^{-2}+e^2}{2}\approx \mathrm{3.762.}$$

---

Visualización

• La línea vertical $L_4$ se transforma en una semirrecta real que comienza en $1$ y se extiende hacia $\mathrm{\infty }$.

• La ausencia de parte imaginaria se debe a que $\cos (\pi \mathrm{/}2)=0$, lo que anula la componente imaginaria.

¿Cuál sería la imagen de la recta $\frac{\pi}{4} +îy$? (siendo f(z) la función seno complejo de variable compleja). Por favor contesta sin que intervengan las funciones hiperbólicas

Respuesta:
La imagen de la línea vertical $L=\{\frac{\pi }{4}+iy\mid y\in \mathbb{R}\}$ bajo $f(z)=\sin (z)$ es la rama derecha de la hipérbola definida por la ecuación:

$${(\text{Re}(w))}^2-{(\text{Im}(w))}^2=\frac{1}{2},$$

donde $\text{Re}(w)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

---

Explicación detallada (sin funciones hiperbólicas):

1. Definición exponencial del seno complejo:

   $$\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\mathrm{.}$$

2. Sustituir $z=\frac{\pi }{4}+iy$:

   $$iz=i(\frac{\pi }{4}+iy)=\frac{i\pi }{4}-y,-iz=-\frac{i\pi }{4}+y\mathrm{.}$$$$e^{iz}=e^{\frac{i\pi }{4}}\cdot e^{-y},e^{-iz}=e^{-\frac{i\pi }{4}}\cdot e^y\mathrm{.}$$

3. Evaluar $e^{\frac{i\pi }{4}}$ y $e^{-\frac{i\pi }{4}}$:

   $$e^{\frac{i\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},e^{-\frac{i\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

4. Calcular $\sin (z)$:

   $$\sin (z)=\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})e^{-y}-(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})e^y}{2i}\mathrm{.}$$

5. Simplificar la expresión:
   Separando partes real e imaginaria:

   $$\text{Re}(\sin (z))=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^y+e^{-y}),\text{Im}(\sin (z))=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^y-e^{-y})\mathrm{.}$$

6. Relación entre partes real e imaginaria:
   Definiendo $u=\text{Re}(\sin (z))$ y $v=\text{Im}(\sin (z))$:

   $$u^2-v^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2[(e^y+e^{-y}{)}^2-(e^y-e^{-y}{)}^2]=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

7. Dominio de $u$:
   Como $e^y+e^{-y}\ge 2$, entonces:

   $$u=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^y+e^{-y})\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

---

Ejemplos:

• Si $y=0$:

  $$\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow (u,v)=(\frac{\sqrt{2}}{2},0)\mathrm{.}$$

• Si $y=\ln (2)$:

  $$\sin (\frac{\pi }{4}+i\ln (2))=\frac{\sqrt{2}}{4}(2+\frac{1}{2})+i\frac{\sqrt{2}}{4}(2-\frac{1}{2})=\frac{5\sqrt{2}}{8}+i\frac{3\sqrt{2}}{8}\mathrm{.}$$

---

Conclusión:

La imagen de $L=\frac{\pi }{4}+iy$ bajo $\sin (z)$ es la rama derecha de la hipérbola $u^2-v^2=\frac{1}{2}$, donde $u\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$. Esta curva representa todos los números complejos $w$ cuya parte real e imaginaria satisfacen dicha ecuación hiperbólica.

QUINTA PREGUNTA

the user is asking about the image of the set U under the complex sine function f(z) = sin(z). The set U is defined as all complex numbers z where the real part of z is between -π/2 and π/2

Respuesta:
La imagen del conjunto $U=\{z\in \mathbb{C}\mid -\frac{\pi }{2}<\text{Re}(z)<\frac{\pi }{2}\}$ bajo es todo el plano complejo $\mathbb{C}$, excepto los números reales que satisfacen $\mathrm{\mid }\text{Re}(w)\mathrm{\mid }\ge 1$. Es decir:

$$$$

---

Explicación detallada:

1. Casos analizados previamente:

   • Segmento real $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$:
     Imagen: $(-1,1)$ en el eje real.

   • Eje imaginario $\{iy\}$:
     Imagen: Todo el eje imaginario $i\mathbb{R}$.

   • Líneas verticales $\text{Re}(z)=\pm \frac{\pi }{2}$:
     Imagen: $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$ en el eje real.

   • Línea vertical $\text{Re}(z)=\frac{\pi }{4}$:
     Imagen: Rama de hipérbola $u^2-v^2=\frac{1}{2}$.

2. Comportamiento general para $z=x+iy\in U$:
   Usando :

   • Parte real: .

     • $\cosh (y)\ge 1$, y .

     • , pero no cubre $\mathrm{\mid }\text{Re}(w)\mathrm{\mid }\ge 1$ (solo se alcanzan estos valores en $\text{Re}(z)=\pm \frac{\pi }{2}$, excluidos de $U$).

   • Parte imaginaria: .

     • $\cos (x)>0$ en $U$, y .

     • La parte imaginaria cubre todos los reales $\mathbb{R}$.

3. Geometría de la imagen:

   • Para cada $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, la imagen es una hipérbola en el plano $\mathbb{C}$, parametrizada por $y$:

     $$$$

   • Al variar $x$, estas hipérbolas cubren todo el plano complejo, excepto los intervalos $(-\mathrm{\infty },-1]$ y $[1,\mathrm{\infty })$ en el eje real (que corresponden a $\text{Re}(z)=\pm \frac{\pi }{2}$, excluidos de $U$).

---

Conclusión:

La función transforma la banda vertical $U$ en todos los números complejos excepto los reales con $\mathrm{\mid }\text{Re}(w)\mathrm{\mid }\ge 1$. Esto se debe a que:

• Los intervalos $(-1,1)$ se cubren cuando $y=0$.

• Los puntos fuera del eje real se cubren mediante las hipérbolas generadas al variar $y$.

• Los extremos $\pm 1$ no se incluyen porque $\text{Re}(z)=\pm \frac{\pi }{2}\mathrm{\notin }U$.