Esta entrada contiene varios enlaces al tema

ARTÍCULO SOBRE LA TOPOLOGÍA ARITMÉTICA

Una topología de los números naturales

Gabriel Ruiz Hernández
Instituto de Matemáticas, UNAM
1 de septiembre de 1997

Resumen

En este trabajo describimos un espacio topológico $X$ con las siguientes propiedades:

Numerable
Hausdorff
Conexo
No localmente conexo

Introducción

La Topología es una de las ramas más modernas de las matemáticas, centrada en propiedades cualitativas de los objetos matemáticos. Su desarrollo ha generado áreas como la topología algebraica, diferencial, de conjuntos y geométrica. Este trabajo pertenece a la topología de conjuntos.

Definición de espacio topológico

Un espacio topológico es una pareja $(X, τ)$ , donde $τ$ es una familia de subconjuntos de $X$ (llamados abiertos ) que cumplen:

$X$ y $\emptyset$ están en $τ$ .
La unión arbitraria de elementos de $τ$ está en $τ$ .
La intersección finita de elementos de $τ$ está en $τ$ .

Ejemplo: Topología usual de $R$

La topología usual en $R$ se define como:

τ = {U \subset R ∣ \forall x \in U, \exists a, b \in R tales que x \in (a, b) \subset U} .

Nuestro espacio topológico

Definimos una topología en $N$ usando progresiones aritméticas. Dados $a, b \in N$ con $g cd (a, b) = 1$ , definimos:

U_{b} (a) = {a + bk \in N ∣ k \in Z} .

Sea $β = {U_{b} (a) ∣ a, b \in N, g cd (a, b) = 1}$ . Demostramos que $β$ es una base para una topología en $N$ .

Lema 1

Si $U_{x} (y), U_{b} (a) \in β$ , entonces $U_{x} (y) \cap U_{b} (a) \neq = \emptyset$ si y solo si $g cd (x, b) ∣ y - a$ .

Lema 2

Si $z \in U_{x} (y) \cap U_{b} (a)$ , entonces $g cd (z, lcm (x, b)) = 1$ .

Propiedades del espacio $X$

Hausdorff : Para puntos distintos $a, c \in N$ , existen abiertos disjuntos $U_{a c + 1} (a)$ y $U_{a c + 1} (c)$ .
Conexo : No puede escribirse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos.
No localmente conexo : No existe un abierto conexo contenido en $U_{2} (1)$ que contenga a $1$ .

Demostración de conexidad

Supongamos $X = H \cup K$ con $H, K$ abiertos y cerrados. Si $U_{x} (y) \subset H$ y $U_{b} (a) \subset K$ , entonces $U_{x} (y) \cap U_{b} (a) = \emptyset$ , contradiciendo la definición de base.

Demostración de no local conexidad

Para $U_{2} (1) = {1, 3, 5, \dots}$ , cualquier abierto conexo $H \subset U_{2} (1)$ que contenga a $1$ debe estar contenido en la intersección $⋂_{n \in N} U_{2^{n}} (1) = {1}$ , lo cual es imposible (ya que ${1}$ no es abierto).

Referencias

Guillemin, V., Pollack, A. Differential Topology . Prentice-Hall, 1974.
Kelly, J. L. General Topology . Van Nostrand, 1955.
Kosniowski, C. Topología algebraica . Reverté, 1992.
Moise, E. E. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3 . Springer-Verlag, 1977.
Steen, S. L. A., Seebach, J. A. Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, 1978.

Aquí tienes el texto corregido y formateado con LaTeX para su uso en tu blog:

---

# Una topología de los números naturales
**Gabriel Ruiz Hernández**
*Instituto de Matemáticas, UNAM*
*1 de septiembre de 1997*

## Resumen
En este trabajo describimos un espacio topológico $ X $ con las siguientes propiedades:
- Numerable
- Hausdorff
- Conexo
- No localmente conexo

## Introducción
La Topología es una de las ramas más modernas de las matemáticas, centrada en propiedades cualitativas de los objetos matemáticos. Su desarrollo ha generado áreas como la topología algebraica, diferencial, de conjuntos y geométrica. Este trabajo pertenece a la topología de conjuntos.

## Definición de espacio topológico
Un **espacio topológico** es una pareja $ (X, \tau) $, donde $ \tau $ es una familia de subconjuntos de $ X $ (llamados *abiertos*) que cumplen:
1. $ X $ y $ \emptyset $ están en $ \tau $.
2. La unión arbitraria de elementos de $ \tau $ está en $ \tau $.
3. La intersección finita de elementos de $ \tau $ está en $ \tau $.

### Ejemplo: Topología usual de $ \mathbb{R} $
La topología usual en $ \mathbb{R} $ se define como:
$$
\tau = \{ U \subset \mathbb{R} \mid \forall x \in U, \exists a,b \in \mathbb{R} \text{ tales que } x \in (a,b) \subset U \}.
$$

## Nuestro espacio topológico
Definimos una topología en $ \mathbb{N} $ usando progresiones aritméticas. Dados $ a, b \in \mathbb{N} $ con $ \gcd(a,b) = 1 $, definimos:
$$
U_b(a) = \{ a + bk \in \mathbb{N} \mid k \in \mathbb{Z} \}.
$$
Sea $ \beta = \{ U_b(a) \mid a, b \in \mathbb{N}, \gcd(a,b) = 1 \} $. Demostramos que $ \beta $ es una base para una topología en $ \mathbb{N} $.

### Lema 1
Si $ U_x(y), U_b(a) \in \beta $, entonces $ U_x(y) \cap U_b(a) \neq \emptyset $ si y solo si $ \gcd(x, b) \mid y - a $.

### Lema 2
Si $ z \in U_x(y) \cap U_b(a) $, entonces $ \gcd(z, \mathrm{lcm}(x, b)) = 1 $.

## Propiedades del espacio $ X $
1. **Hausdorff**: Para puntos distintos $ a, c \in \mathbb{N} $, existen abiertos disjuntos $ U_{ac+1}(a) $ y $ U_{ac+1}(c) $.
2. **Conexo**: No puede escribirse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos.
3. **No localmente conexo**: No existe un abierto conexo contenido en $ U_2(1) $ que contenga a $ 1 $.

### Demostración de conexidad
Supongamos $ X = H \cup K $ con $ H, K $ abiertos y cerrados. Si $ U_x(y) \subset H $ y $ U_b(a) \subset K $, entonces $ U_x(y) \cap U_b(a) = \emptyset $, contradiciendo la definición de base.

### Demostración de no local conexidad
Para $ U_2(1) = \{1, 3, 5, \dots\} $, cualquier abierto conexo $ H \subset U_2(1) $ que contenga a $ 1 $ debe estar contenido en la intersección $ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} U_{2^n}(1) = \{1\} $, lo cual es imposible (ya que $ \{1\} $ no es abierto).

---

## Referencias
1. Guillemin, V., Pollack, A. *Differential Topology*. Prentice-Hall, 1974.
2. Kelly, J. L. *General Topology*. Van Nostrand, 1955.
3. Kosniowski, C. *Topología algebraica*. Reverté, 1992.
4. Moise, E. E. *Geometric Topology in Dimensions 2 and 3*. Springer-Verlag, 1977.
5. Steen, S. L. A., Seebach, J. A. *Counterexamples in Topology*. Springer-Verlag, 1978.

---

### Notas sobre el formato
- Todas las fórmulas matemáticas están en LaTeX, encerradas entre $ ... $.
- Los símbolos especiales (como acentos) han sido corregidos.
- Se han estructurado secciones y listas para mejorar la legibilidad.

¿Te gustaría que agregue algún comentario adicional o ajuste específico?

PROPUESTA PARA DEMOSTRAR EN LA TOPOLOGÍA ANTERIOR EL TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN ÚNICA EN NÚMEROS PRIMOS

Para abordar la unicidad de la descomposición en factores primos usando herramientas topológicas , es crucial distinguir entre la topología del orden y la topología aritmética definida en el texto proporcionado. Aunque el usuario menciona explícitamente la topología del orden, el texto describe una topología alternativa basada en progresiones aritméticas con condiciones de coprimalidad. Esta topología es más adecuada para explorar propiedades aritméticas como la factorización única. A continuación, se presenta una estrategia detallada:

1. Clarificación: Topología del Orden vs. Topología Aritmética

Topología del orden en ℕ :
En ℕ con la topología del orden, cada singleton ${n}$ es abierto (discreto), lo que hace que el espacio sea "trivial" desde el punto de vista topológico. No es útil para probar propiedades aritméticas como la unicidad de la factorización, ya que no refleja estructuras multiplicativas.
Topología aritmética del texto :
El texto define una topología en ℕ usando progresiones aritméticas $U_{b} (a) = {a + bk \in N ∣ k \in Z, g cd (a, b) = 1}$ . Esta topología es:
- Hausdorff : Puntos distintos pueden separarse con abiertos disjuntos.
- Conexa : No se puede dividir en dos abiertos disjuntos no vacíos.
- No localmente conexa : Algunos puntos no tienen vecindades conexas.
Esta topología es más rica y sensible a la estructura multiplicativa, por lo que se enfocaremos en ella.

2. Reformulación Topológica del Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema establece que todo $n > 1$ se descompone de manera única en primos. En términos topológicos:

Números primos son "átomos" de la estructura multiplicativa.
La unicidad de la factorización se traduce en una propiedad de irreducibilidad topológica o conexidad .

Objetivo : Demostrar que cada número natural $n > 1$ tiene una representación única como intersección de abiertos asociados a primos.

3. Estrategia Paso a Paso

Paso 1: Identificar Primos como Elementos Topológicos Especiales

En la topología aritmética, los números primos pueden asociarse a abiertos de la forma $U_{p} (0) = {p k ∣ k \in N}$ (múltiplos de $p$ ).
Estos abiertos son "irreducibles" en el sentido de que no pueden expresarse como uniones de otros abiertos sin perder propiedades clave (ejemplo: no se pueden dividir en subconjuntos abiertos disjuntos).

Paso 2: Relacionar Factorización con Operaciones Topológicas

La factorización $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}}$ se corresponde con la intersección de abiertos: $i = 1 ⋂ k U_{p_{i}^{e_{i}}} (0) .$
La unicidad de la factorización implica que esta intersección es única para cada $n$ .

Paso 3: Usar la Conexidad para Imponer Unicidad

El espacio es conexo , lo que significa que no puede dividirse en dos abiertos disjuntos no vacíos.
Si existieran dos factorizaciones distintas de $n$ , esto generaría una partición del espacio en abiertos disjuntos, contradiciendo la conexidad.

Paso 4: Aplicar el Axioma de Hausdorff para Separar Primos

Dados dos primos distintos $p$ y $q$ , existen abiertos disjuntos $U_{p} (0)$ y $U_{q} (0)$ , garantizados por la propiedad Hausdorff.
Esto asegura que los primos son "independientes" en la topología, reforzando la unicidad de su combinación.

Paso 5: Probar que las Descomposiciones No Únicas Generan Contradicciones

Supongamos que $n$ tiene dos factorizaciones distintas:
$n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}} = q_{1}^{f_{1}} \dots q_{m}^{f_{m}}$ .
Esto implicaría que $n$ pertenece a dos intersecciones de abiertos distintas:
$⋂ U_{p_{i}^{e_{i}}} (0)$ y $⋂ U_{q_{j}^{f_{j}}} (0)$ .
Si estas intersecciones fueran diferentes, el espacio tendría una partición en abiertos disjuntos, violando la conexidad.

4. Ejemplo Concreto con la Topología del Texto

Sea $n = 6$ . Su factorización es $2 \cdot 3$ .
En la topología aritmética:
- $U_{2} (0) = {2, 4, 6, 8, \dots}$ ,
- $U_{3} (0) = {3, 6, 9, 12, \dots}$ .
La intersección $U_{2} (0) \cap U_{3} (0) = {6, 12, 18, \dots}$ contiene múltiplos comunes, pero el único múltiplo mínimo es $6$ .
Si existiera otra factorización, como $6 = a \cdot b$ con $a$ o $b$ no primo, esto crearía una intersección incompatible con la estructura de los abiertos asociados a primos.

5. Conclusión

La topología aritmética del texto permite reinterpretar la unicidad de la factorización prima como una propiedad de conexidad y Hausdorff en el espacio topológico de los naturales. Cualquier descomposición no única generarían particiones contradictorias con estas propiedades. Por lo tanto, la estrategia general es:

Definir una topología sensible a la estructura multiplicativa (como la del texto).
Identificar primos con elementos topológicos irreducibles.
Usar la conexidad para garantizar unicidad de intersecciones de abiertos.
Aplicar la propiedad Hausdorff para separar primos y evitar ambigüedades.

Esta aproximación fusiona álgebra y topología, mostrando cómo herramientas cualitativas pueden demostrar resultados cuantitativos clásicos

RESTO DE LA ENTRADA

La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.¹ Es una disciplina que estudia las propiedades de losespacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo deconsistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad,metricidad o metrizabilidad, entre otros.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—.

Continuar leyendo en https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa#Topolog.C3.ADa_General_o_Conjuntista

1) Primero estudiemos la topología "conjuntista" en general y después pasamos al caso X=N
http://www.uam.es/otros/openmat/cursos/topo/topo.html#Material_de_lectura

Un curso de topologia conjuntista
http://eva.universidad.edu.uy/course/view.php?id=2935

https://www.ehu.eus/~mtwmastm/topo20132014.pdf

Libro clásico para estudiar topología general

https://psm73.files.wordpress.com/2009/11/topologia-munkres.pdf

Topología aplicada a la economía
https://www.academia.edu/898045/Elementos_de_topolog%C3%ADa_y_de_la_teor%C3%ADa_de_conjuntos_en_la_teor%C3%ADa_del_equilibrio_general

2) Ahora nos centramos en la topología para números naturales.

En el conjunto de los números naturales, o en el de los enteros, se pueden definir varias topologías, por ejemplo, la topología discreta o la cofinita, que se pueden definir en un amplio número de conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_cofinita

Sin embargo, existe una topología para los números naturales, más específica, aunque hay versiones para números naturales y para números enteros.
Esta topología es popular porque gracias a ella se puede dar una demostración topológica de la infinitud de los números primos.
http://gaussianos.com/demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/

De momento sólo van enlaces a sitios donde se expone parte de la teoría
http://topologia-i.blogspot.com.es/2009/01/demostracin-topolgica-de-la-infinitud.html
http://www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/eureka/n11/en1104.pdf