Teoría de números según Ivorra

 A ver si vamos comprendiendo cosas poco a poco.

 Desarrollo del capítulo segundo de la introducción a la teoría de números de profesor Carlos Ivorra  

Cuidado,  cuidado con la cantidad de tonterías y falsedades y equivocaciones que tiene Qwen en este tema que no me parece ni normal   

el problema el problema el problema de la libélula digo Newman

 https://parafernaliasviendolasformulas.blogspot.com/2025/04/el-problema-de-la-libelula-de-von-newman.html

Texto editado y estructurado:

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Ejemplo 1.10: Límite de $n{z}^n$ cuando $|z|<1$

Enunciado:
Si $z$ es un número complejo con $|z|<1$, entonces:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{z}^n=0.$$

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Demostración:

1. Caso trivial $z=0$:

   • $n{z}^n=n\cdot 0^n=0$, por lo que el límite es 0.

2. Caso $z\ne 0$:

   • Usamos una transformación :$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{z}^n=0\text{si y solo si}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{(1/z{)}^n}=0\text{cuando }|z|>1.$$
     • Si $|z|<1$, entonces $|1/z|>1$.

3. Hipótesis $|z|>1$:

   • Sea $|z|=1+\delta$, donde $\delta >0$.
   • Estimación de $|z^n|$:$$|z^n|=|z{|}^n=(1+\delta {)}^n.$$
   • Desigualdad binomial:
     Para $n\ge 2$, desarrollamos $(1+\delta {)}^n$ usando el teorema del binomio :$$(1+\delta {)}^n\ge \frac{n(n-1)}{2}{\delta }^2.$$
     • Explicación:
       El término de segundo grado en la expansión binomial es $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right){\delta }^2$, que crece como $n^2$.

4. Acotación de $\frac{n}{|z^n|}$:

   • Usando la desigualdad anterior:$$\left|\frac{n}{z^n}\right|=\frac{n}{|z{|}^n}\le \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}{\delta }^2}=\frac{2}{(n-1){\delta }^2}.$$
   • Simplificación:$$\left|\frac{n}{z^n}\right|\le \frac{2}{(n-1){\delta }^2}.$$

5. Convergencia a 0:

   • Dado $ϵ>0$, buscamos $N$ tal que para $n\ge N$:$$\frac{2}{(n-1){\delta }^2}<ϵ.$$
   • Resolución:$$n>1+\frac{2}{{\delta }^2ϵ}.$$
   • Por lo tanto, ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{z^n}=0⟹{\lim }_{n\to \infty }n{z}^n=0$.

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Explicación detallada para principiantes:

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1. ¿Qué dice el ejemplo?

Si $z$ es un número complejo con módulo menor que 1 , entonces $n{z}^n$ tiende a 0 al aumentar $n$.

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2. ¿Por qué es importante?

Este resultado se usa en:

• Criterios de convergencia de series (como el de Leibniz o D'Alembert).
• Establecer que los términos de una serie decrecen lo suficiente para converger .

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3. Paso a paso de la demostración:

Paso 1: Reducción al caso $|z|>1$:

• Si $|z|<1$, definimos $w=1/z$, con $|w|>1$.
• Entonces:$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{z}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{w^n}.$$
• Si demostramos que $\frac{n}{w^n}\to 0$, el límite original también es 0.

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Paso 2: Usar el módulo $|w|=1+\delta$:

• Sea $\delta =|w|-1$, con $\delta >0$.
• Expansión binomial:$$|w^n|=|w{|}^n=(1+\delta {)}^n\ge \frac{n(n-1)}{2}{\delta }^2.$$
  • Explicación:
    El segundo término en la expansión binomial $(1+\delta {)}^n$ es $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right){\delta }^2$, que crece como $n^2$.

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Paso 3: Acotar $\frac{n}{|w^n|}$:

• Usamos la desigualdad:$$\frac{n}{|w^n|}\le \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}{\delta }^2}=\frac{2}{(n-1){\delta }^2}.$$
• Analogía:
  • El numerador crece linealmente ($n$).
  • El denominador crece exponencialmente ($(1+\delta {)}^n$).
  • Exponencial > lineal:
    La exponencial crece tan rápido que $\frac{n}{(1+\delta {)}^n}\to 0$.

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Paso 4: Formalización con $ϵ$:

• Para cualquier $ϵ>0$, elegimos $N$ tal que:$$N>1+\frac{2}{{\delta }^2ϵ}.$$
• Entonces, para $n\ge N$:$$\left|\frac{n}{w^n}\right|\le \frac{2}{(n-1){\delta }^2}<ϵ.$$
• Por lo tanto, $\frac{n}{w^n}\to 0⟹n{z}^n\to 0$.

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4. Ejemplo numérico:

• Si $z=\frac{1}{2}$:

  • $|z|=\frac{1}{2}<1$.
  • $n{z}^n=n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.
  • Cálculos:
    • $n=10⟹10\cdot \frac{1}{2^{10}}\approx 0.009766$.
    • $n=20⟹20\cdot \frac{1}{2^{20}}\approx 0.000019$.
    • Tendencia:
      El término decrece exponencialmente.

• Si $z=2$:

  • $|z|=2>1$.
  • $\frac{n}{z^n}=\frac{n}{2^n}$.
  • Cálculos:
    • $n=10⟹\frac{10}{2^{10}}\approx 0.009766$.
    • $n=20⟹\frac{20}{2^{20}}\approx 0.000019$.

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5. ¿Qué implica esto?

• Para series:
  Si $|z|<1$, los términos $n{z}^n$ tienden a 0 más rápido que $z^n$ .
  • Ejemplo:
    La serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^n$ converge (pues sus términos decrecen exponencialmente).

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6. Errores comunes y aclaraciones:

• ¿Qué pasa si $|z|=1$?
  El límite no es cero . Por ejemplo, $z=1⟹n\cdot 1^n\to \infty$.
• ¿Por qué no basta que $|z|<1$ para que $z^n\to 0$?
  Sí, $z^n\to 0$, pero el límite $n{z}^n$ requiere una demostración adicional para confirmar que el crecimiento lineal de $n$ no anula la convergencia.

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7. Aplicación práctica:

Este resultado justifica que series como ${\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^n$ convergen para $|z|<1$, pues sus términos decrecen lo suficientemente rápido.

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Respuesta final:

El límite ${\lim }_{n\to \infty }n{z}^n=0$ se cumple si $|z|<1$, pues el crecimiento exponencial de $|z{|}^n$ (inverso) supera al crecimiento lineal de $n$.

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }n{z}^n=0\text{si }|z|<1.}$$

¡Espero que esta explicación te ayude! 😊 Si tienes dudas, ¡avísame! 

Texto editado y estructurado:

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Capítulo II: Series infinitas

Estudiamos ahora las series infinitas , que son sumas de infinitos términos. En este capítulo, exploraremos:

1. Conceptos básicos : Definición de series y sumas parciales.
2. Criterios de convergencia : Herramientas para determinar si una serie converge o diverge.
3. Convergencia absoluta : Propiedades que permiten manipular series con mayor libertad.
4. Series de potencias : La clase más importante de series en matemáticas.

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2.1. Convergencia de series infinitas

Definición 2.1 (Serie infinita):

Una serie infinita ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}_n$, donde $\{z_n\}$ es una sucesión de números complejos, se define como la sucesión de sumas parciales :

$$S_k=\sum _{n=0}^k{z}_n=z_0+z_1+\cdots +z_k.$$

Ejemplo:
La serie de Grandi es ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n=1-1+1-1+\cdots$. Sus sumas parciales son:

$$S_0=1,S_1=0,S_2=1,S_3=0,\dots$$

Como esta sucesión no converge, la serie es divergente .

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Definición de convergencia:

Una serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}_n$ es convergente si su sucesión de sumas parciales $\{S_k\}$ converge. En tal caso, el límite se denota por:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}_n=\underset{k\to \infty }{\lim }{S}_k.$$

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2.2. Ejemplos clave

Ejemplo 2.3 (Series geométricas):

Una serie geométrica es de la forma:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=1+z+z^2+z^3+\cdots .$$

Convergencia:

• Si $|z|<1$, converge a $\frac{1}{1-z}$.
• Si $|z|\ge 1$, diverge.

Ejemplo concreto:

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$.
• ${\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}$.

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Ejemplo 2.4 (Series aritmético-geométricas):

Una serie aritmético-geométrica es de la forma:

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{z}^n=z+2z^2+3z^3+\cdots .$$

Fórmula:
Si $|z|<1$, converge a:

$$\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$

Ejemplo concreto:

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=2$.

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2.3. Teorema básico de propiedades de series

Teorema 2.2:
Sean ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_n$ y ${\sum }_{n=0}^{\infty }{y}_n$ dos series convergentes de números complejos. Entonces:

1. Suma de series:$$\sum _{n=0}^{\infty }(x_n+y_n)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n\right)+\left(\sum _{n=0}^{\infty }{y}_n\right).$$
2. Multiplicación por un escalar:$$\sum _{n=0}^{\infty }(a{x}_n)=a\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n\right),$$
   donde $a$ es un número complejo.
3. Desplazamiento de términos:$$\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n=\sum _{n=0}^m{x}_n+\sum _{n=m+1}^{\infty }{x}_n.$$

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2.4. Ejercicio clásico: La libélula de von Neumann

Problema:
Dos ciclistas están separados por 10 km y se acercan a 20 km/h cada uno. Una libélula que parte del primer ciclista vuela hacia el segundo a 40 km/h, y luego regresa al primero, y así sucesivamente. ¿Qué distancia recorrerá la libélula cuando los ciclistas se encuentren?

Solución intuitiva:

• Los ciclistas se encuentran en 15 minutos (0.25 horas).
• La libélula vuela a 40 km/h durante 0.25 horas:$$\text{Distancia total}=40\text{km/h}\cdot 0.25\text{h}=10\text{km}.$$

¿Qué serie sumó von Neumann?

• La libélula realiza vuelos sucesivos entre los ciclistas, formando una serie geométrica .
• Primera distancia: $d_1=10\text{km}$ (vuela hacia el segundo ciclista).
• Segunda distancia: $d_2=5\text{km}$ (regresa al primer ciclista).
• Tercera distancia: $d_3=2.5\text{km}$, y así sucesivamente.
• La serie total es:$$\sum _{n=0}^{\infty }{d}_n=10+5+2.5+\cdots =10\cdot \left(1+\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\cdots \right).$$
  • Esta es una serie geométrica con razón $r=\frac{1}{2}$, que converge a $\frac{10}{1-\frac{1}{2}}=20\text{km}$.
  • ¡Pero la solución correcta es 10 km!
  • ¿Por qué?
    La libélula no necesita sumar infinitos viajes, pues los ciclistas se encuentran en tiempo finito (15 minutos). La velocidad de la libélula se multiplica por este tiempo:$$40\text{km/h}\cdot 0.25\text{h}=10\text{km}.$$
    La paradoja surge al intentar sumar infinitos segmentos, pero el tiempo total es finito, lo que simplifica el cálculo.

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2.5. Propiedades y advertencias clave

• Nota importante:
  La ecuación$$\sum _{n=0}^{\infty }(1-1)=\sum _{n=0}^{\infty }1+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)$$
  es incorrecta , pues las series de la derecha divergen. Esto muestra que la propiedad 1 del teorema requiere que ambas series converjan.

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Explicación detallada para principiantes:

1. ¿Qué es una serie infinita?

Es una suma de infinitos términos $z_0+z_1+z_2+\cdots$.

• Suma parcial $S_k$:
  La suma de los primeros $k+1$ términos.
  Ejemplo:
  Para ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n$:$S_0=1$, $S_1=0$, $S_2=1$, etc.

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2. ¿Qué es una serie geométrica?

Es una serie donde cada término se multiplica por una constante $z$:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=1+z+z^2+z^3+\cdots .$$

• Converge si $|z|<1$:$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}.$$
• Ejemplo: ${\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=2$.

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3. ¿Qué es una serie aritmético-geométrica?

Combina un término aritmético ($n$) y uno geométrico ($z^n$):

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{z}^n.$$

• Fórmula:$$\sum _{n=1}^{\infty }n{z}^n=\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$
• Demostración intuitiva:
  Sea $S=z+2z^2+3z^3+\cdots$. Multiplicamos por $z$:$$zS=z^2+2z^3+3z^4+\cdots .$$
  Restamos:$$S-zS=z+z^2+z^3+\cdots =\frac{z}{1-z}\text{(serie geomeˊtrica)}.$$
  Por lo tanto:$$S(1-z)=\frac{z}{1-z}⟹S=\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$

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4. Teorema 2.2: Propiedades básicas de series convergentes

• Propiedad 1 (Suma de series):
  Si dos series $A$ y $B$ convergen, su suma $A+B$ también converge.
  Ejemplo: ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n}+{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{3^n}=2+1.5=3.5$.

• Propiedad 2 (Multiplicación por un escalar):
  Si $\sum x_n$ converge, entonces $\sum (a{x}_n)$ converge a $a\cdot \sum x_n$.
  Ejemplo: ${\sum }_{n=0}^{\infty }2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=2\cdot 2=4$.

• Propiedad 3 (Desplazamiento de términos):
  Puedes "saltar" términos:

  $$\sum _{n=0}^{\infty }{z}_n=\left(\sum _{n=0}^m{z}_n\right)+\left(\sum _{n=m+1}^{\infty }{z}_n\right).$$

  Ejemplo: ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \right)=1.75+0.25=2$.

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5. ¿Qué es la serie de Grandi?

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n=1-1+1-1+\cdots$$

• Sus sumas parciales oscilan entre 0 y 1, por lo que no converge .
• ¿Es posible asignarle un valor?
  En teoría avanzada (como suma de Cesàro ), se podría asociar $\frac{1}{2}$, pero en el contexto básico de series clásicas, diverge .

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6. Ejercicio sobre la libélula:

Pregunta:
¿Qué serie sumó von Neumann para resolver el problema?

• Respuesta:
  La libélula no necesita sumar infinitos viajes, pues el tiempo total es 0.25 horas .
  • Distancia total: $40\text{km/h}\times 0.25\text{h}=10\text{km}$.
  • Si intentamos sumar la serie geométrica de sus viajes:$$\text{Distancia}=10+5+2.5+1.25+\cdots =20\text{km}.$$
    ¡Esto es falso! El error está en no considerar que el tiempo es finito.

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7. Criterios de convergencia:

• Condición clave:
  Para aplicar propiedades como la suma de series, ambas series deben converger .
• Ejemplo erróneo:$$\sum _{n=0}^{\infty }(1-1)=0\ne \left(\sum _{n=0}^{\infty }1\right)+\left(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)\right),$$
  pues las series de la derecha divergen.

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8. Explicación del Ejemplo 2.4 (Series aritmético-geométricas):

• Fórmula:$$\sum _{n=1}^{\infty }n{z}^n=\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$
• Demostración simplificada:
  1. Sea $S=z+2z^2+3z^3+\cdots$.
  2. Multiplica por $z$:$$zS=z^2+2z^3+3z^4+\cdots$$
  3. Resta $zS$ de $S$:$$S-zS=z+z^2+z^3+\cdots =\frac{z}{1-z}.$$
  4. Resuelve para $S$:$$S(1-z)=\frac{z}{1-z}⟹S=\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$

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9. Notas adicionales:

• Convergencia absoluta:
  Si $\sum |z_n|$ converge, entonces $\sum z_n$ converge y se pueden reordenar términos sin alterar el límite.
• Series de potencias:
  Series como ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$ son críticas en matemáticas (ej: $e^z$, senos, etc.).

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10. Ejercicio práctico:

Sumar ${\sum }_{n=0}^{\infty }(a+b)z^n$:

1. Separa la suma:$$\sum _{n=0}^{\infty }a{z}^n+\sum _{n=0}^{\infty }b{z}^n=a\cdot \frac{1}{1-z}+b\cdot \frac{1}{1-z}=\frac{a+b}{1-z}.$$
2. Condiciones:
   • Valida para $|z|<1$.
   • Si $a=1$, $b=0$, recupera la fórmula geométrica.

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Respuesta final:

El teorema y ejemplos demuestran que:

1. Series geométricas convergen si $|z|<1$.
2. Series aritmético-geométricas convergen a $\frac{z}{(1-z{)}^2}$ bajo la misma condición.
3. Propiedades de series (suma, multiplicación por escalar, etc.) solo son válidas si ambas series convergen.

¡El teorema 2.2 y los ejemplos son herramientas básicas para manipular series! 😊

Solución del ejercicio:

Enunciado:
Sumar la serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }(an+b)z^n$ para $|z|<1$.

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Pasos clave:

1. Descomponer la serie en dos partes:

   $$\sum _{n=0}^{\infty }(an+b)z^n=a\sum _{n=0}^{\infty }n{z}^n+b\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n.$$

2. Sumar la serie geométrica ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}^n$:

   $$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}\text{(para ∣z∣<1)}.$$

3. Sumar la serie aritmético-geométrica ${\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^n$:
   Usamos la fórmula conocida:

   $$\sum _{n=0}^{\infty }n{z}^n=\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$

   Justificación:

   • Sea $S={\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^n$.
   • Multiplicar por $z$: $zS={\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^{n+1}$.
   • Restar: $S-zS={\sum }_{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}$.
   • Por lo tanto: $S(1-z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}⟹S=\frac{z}{(1-z{)}^2}$.

4. Combinar los resultados:
   Sustituyendo en la descomposición original:

   $$\sum _{n=0}^{\infty }(an+b)z^n=a\cdot \frac{z}{(1-z{)}^2}+b\cdot \frac{1}{1-z}.$$

5. Simplificar la expresión final:
   Para combinar las fracciones, tomamos denominador común $(1-z{)}^2$:

   $$=\frac{az+b(1-z)}{(1-z{)}^2}.$$

   Expandiendo el numerador:

   $$=\frac{az+b-bz}{(1-z{)}^2}=\frac{(a-b)z+b}{(1-z{)}^2}.$$

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Resultado final:

La suma de la serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }(an+b)z^n$ es:

$$\boxed{\frac{b-(b-a)z}{(1-z{)}^2}}.$$

Otra forma equivalente:

$$\frac{az+b(1-z)}{(1-z{)}^2}\text{o}\frac{b}{1-z}+\frac{az}{(1-z{)}^2}.$$

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Explicación paso a paso:

1. ¿Por qué se puede descomponer la serie?

La serie original es una combinación lineal de dos series:

• ${\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^n$ (aritmético-geométrica).
• ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}^n$ (geométrica).
  Si ambas series convergen, su combinación también converge. La condición $|z|<1$ garantiza la convergencia de ambas.

2. ¿Cómo se obtiene la fórmula de la serie aritmético-geométrica?

Usamos un método algebraico :

• Sea $S={\sum }_{n=0}^{\infty }n{z}^n$.
• Multiplicamos por $z$:$$zS=\sum _{n=0}^{\infty }n{z}^{n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)z^n.$$
• Restamos $zS$ de $S$:$$S-zS=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}.$$
• Resolvemos para $S$:$$S(1-z)=\frac{z}{1-z}⟹S=\frac{z}{(1-z{)}^2}.$$

3. ¿Qué ocurre si $a=0$ o $b=0$?

• Si $a=0$:$$\sum _{n=0}^{\infty }b{z}^n=\frac{b}{1-z}.$$
• Si $b=0$:$$\sum _{n=0}^{\infty }an{z}^n=\frac{az}{(1-z{)}^2}.$$

4. Ejemplo concreto:

Sea $a=1$, $b=2$, $z=\frac{1}{2}$:

• Serie original:$$\sum _{n=0}^{\infty }\left(n+2\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$
• Suma usando la fórmula:$$\frac{2-(2-1)\cdot \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{2-\frac{1}{2}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{4}}=6.$$
• Verificación manual:
  Calcula los primeros términos:$$(0+2)\cdot 1+(1+2)\cdot \frac{1}{2}+(2+2)\cdot \frac{1}{4}+\cdots =2+1.5+1+\cdots \approx 6.$$

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5. ¿Es válida la fórmula para $n=0$?

Sí, porque:

• El término $n=0$ da $(0\cdot a+b)z^0=b$, que coincide con el primer término de $\frac{b}{1-z}$.
• La fórmula incluye este caso sin problemas.

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6. Condiciones de convergencia:

La fórmula es válida siempre que $|z|<1$ , pues así:

• $\sum z^n$ converge.
• $\sum n{z}^n$ converge (pues $|z|<1$ hace que los términos $n{z}^n$ decrezcan exponencialmente).

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7. Aplicación práctica:

Este resultado se usa para:

• Calcular sumas de series complejas como ${\sum }_{n=0}^{\infty }(3n+5){\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.
• En ingeniería y física para modelar sistemas con comportamiento exponencial y lineal combinado.

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Respuesta final:

La suma de la serie es:

$$\boxed{\frac{b-(b-a)z}{(1-z{)}^2}}.$$

¡Espero que esta explicación te ayude!

Texto editado y estructurado:

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2.1. Convergencia de series infinitas

Ejemplo 2.5: Serie telescópica

Consideremos la serie:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots$$

Conclusión:
Converge a 1 .

Demostración:

• Descomposición en fracciones simples:$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$
• Suma parcial $S_k$:$$S_k=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).$$
  • Los términos intermedios se cancelan:$$S_k=1-\frac{1}{k+1}.$$
  • Tomando $k\to \infty$, $\frac{1}{k+1}\to 0⟹S_k\to 1$.

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2.2. Sumas de Cesàro:

Definición:

La suma de Cesàro de una serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$ se define como el límite de las medias de sus sumas parciales:

$$\text{Suma de Cesaˋro}=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{S_1+S_2+\cdots +S_k}{k},$$

donde $S_k={\sum }_{n=1}^k{z}_n$.

Teorema 2.6 (Suma de Cesàro):

Si una sucesión $\{z_n\}$ converge a $L$, entonces su media Cesàro también converge a $L$:

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{z_1+z_2+\cdots +z_k}{k}=L.$$

Demostración intuitiva:

• Si $z_n\to L$, para $n$ grande, $z_n\approx L$.
• La media de $k$ términos $z_1,z_2,\dots ,z_k$ se acerca a $L$ al aumentar $k$.

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Aplicación a la serie de Grandi:

La serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n=1-1+1-1+\cdots$ diverge , pero su suma de Cesàro converge a $\frac{1}{2}$.

• Sumas parciales $S_k$:$$S_0=1,S_1=0,S_2=1,S_3=0,\dots$$
• Medias Cesàro $s_k$:$$s_k=\frac{S_1+S_2+\cdots +S_k}{k}.$$
  • Para $k$ par:$$s_{2k}=\frac{1+0+1+0+\cdots +1+0}{2k}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}.$$
  • Para $k$ impar:$$s_{2k+1}=\frac{(k+1)\cdot 1+k\cdot 0}{2k+1}\approx \frac{k+1}{2k+1}\to \frac{1}{2}.$$
• Conclusión:$$\text{Suma de Cesaˋro}=\frac{1}{2}.$$

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2.3. Criterios de convergencia

Teorema 2.7 (Condición necesaria):

Si una serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}_n$ converge, entonces:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=0.$$

Demostración:

• Sea $S={\sum }_{n=0}^{\infty }{z}_n$.
• La diferencia entre términos consecutivos de las sumas parciales es:$$z_n=S_n-S_{n-1}.$$
• Si $S_n\to S$, entonces $z_n\to S-S=0$.

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Ejemplo 2.8: Serie armónica

La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ diverge .

Demostración:

• Suma parcial $S_{2n}$:
  Agrupamos términos en pares:$$S_{2n}=1+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right).$$
  • Cada par de términos $\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\ge \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}=\frac{1}{k}$.
  • Por lo tanto:$$S_{2n}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}=1+\frac{n}{2}.$$
  • Como $S_{2n}\to \infty$, la serie diverge.

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Teorema 2.9 (Criterio de Leibniz):

Si $\{x_n\}$ es una sucesión decreciente , de números reales positivos, y converge a 0, entonces la serie alternante :

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{x}_n=x_1-x_2+x_3-x_4+\cdots$$

es convergente .

Ejemplo concreto:
La serie armónica alternante :

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$$

converge por el criterio de Leibniz (pues $\frac{1}{n}$ es decreciente y tiende a 0).

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Explicación detallada:

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1. Ejemplo 2.5: Serie telescópica

¿Qué es una serie telescópica?
Es una serie cuyos términos se cancelan entre sí al sumar, dejando solo los extremos.

• Descomposición:$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$
• Suma parcial $S_k$:$$S_k=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).$$
  • Cancelación:
    Los términos $-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{3},\frac{1}{3}$; etc., se anulan, quedando:$$S_k=1-\frac{1}{k+1}.$$
  • Límite:$$\underset{k\to \infty }{\lim }{S}_k=1-0=1.$$

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2. Sumas de Cesàro:

¿Qué problema resuelve?
Permite asignar un valor a series divergentes (como la de Grandi) usando promedios de sus sumas parciales.

Teorema 2.6 (Explicación intuitiva):

• Si los términos $z_n$ se acercan a $L$, sus medias $\frac{z_1+\cdots +z_k}{k}$ también se acercan a $L$.
  Ejemplo:
  • $z_n=(-1{)}^n$ no converge, pero su media Cesàro $s_k=\frac{S_1+\cdots +S_k}{k}$ converge a $\frac{1}{2}$.

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3. Serie de Grandi y suma de Cesàro:

• Serie original: $S_k=1,0,1,0,\dots$ (diverge).
• Media Cesàro $s_k$:
  • Para $k=2$:$$s_2=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}.$$
  • Para $k=4$:$$s_4=\frac{1+0+1+0}{4}=\frac{1}{2}.$$
  • Términos impares:$$s_{2k+1}=\frac{(k+1)\cdot 1+k\cdot 0}{2k+1}\approx \frac{1}{2}.$$
  • Conclusión:
    La media Cesàro converge a $\frac{1}{2}$, aunque la serie original diverge.

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4. Teorema 2.7: Condición necesaria de convergencia

• ¿Qué dice?
  Si $\sum z_n$ converge, entonces $z_n\to 0$.
• ¿Es suficiente?
  No. El ejemplo de la serie armónica (Ejemplo 2.8) muestra que $\frac{1}{n}\to 0$, pero la serie diverge.

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5. Ejemplo 2.8: Serie armónica

¿Por qué diverge?

• Agrupación de términos:$$S_{2n}\ge 1+\frac{n}{2}.$$
  • Por ejemplo, $S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2$.
• Gráficos (descripción textual):
  • Serie armónica: Las sumas parciales $S_n$ crecen sin límite.
  • Serie alternante: Las medias Cesàro tienden a un valor finito.

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6. Criterio de Leibniz (Teorema 2.9):

Condiciones:

• $\{x_n\}$ es positiva y decreciente .
• $x_n\to 0$ cuando $n\to \infty$.

¿Por qué converge?

• La serie alternante $\sum (-1{)}^{n+1}{x}_n$ tiene sumas parciales que oscilan pero se acercan a un límite.
  Ejemplo:
  • Serie armónica alternante:$$S_k=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}.$$
    • Las sumas parciales oscilan entre valores cercanos a $\ln 2\approx 0.693$.

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Explicación paso a paso:

1. Serie telescópica ($\sum \frac{1}{n(n+1)}$):

• Truco clave:
  Usar fracciones simples para crear cancelaciones.
• Ejemplo numérico:
  • $S_1=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$.
  • $S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.
  • $S_3=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$.
  • $S_{10}=1-\frac{1}{11}\approx 0.909$.

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2. Sumas de Cesàro:

• ¿Para qué sirve?
  Permite asignar un valor "promedio" a series oscilantes o divergentes.
• Aplicación a Grandi:
  • Las medias Cesàro $s_k$ oscilan menos y tienden a $\frac{1}{2}$.
  • Analogía:
    Imagina un promedio de un número que salta entre 0 y 1:
    • $s_1=1$,
    • $s_2=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$,
    • $s_3=\frac{1+0+1}{3}\approx 0.666$,
    • $s_4=\frac{1+0+1+0}{4}=0.5$.

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3. Teorema de Leibniz:

¿Cómo funciona?

• La serie alternante $\sum (-1{)}^{n+1}{x}_n$ tiene sumas parciales que oscilan pero se acercan a un límite.
• Ejemplo:
  • Serie armónica alternante:$$S_{2n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right).$$
    • Cada par de términos $\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$ es positivo y pequeño, lo que hace que $S_{2n}$ converja.

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Gráficos (descripción textual):

• Serie armónica ($\sum \frac{1}{n}$):
  Las sumas parciales $S_n$ crecen sin límite:$$S_{100}\approx 5.187,S_{1000}\approx \mathrm{7.485.}$$
• Serie alternante ($\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$):
  Las sumas parciales oscilan pero se estabilizan cerca de $\ln 2\approx 0.693$:$$S_{10}\approx 0.645,S_{100}\approx \mathrm{0.693.}$$

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4. Errores comunes y aclaraciones:

• ¿Por qué la condición $z_n\to 0$ no es suficiente?
  La serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ cumple $\frac{1}{n}\to 0$, pero diverge.
• ¿Qué implica el teorema de Leibniz?
  Permite sumar series alternantes como $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$, aunque $\sum \frac{1}{n}$ diverja.

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5. Ejercicio práctico:

Calcular la suma Cesàro de la serie:

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n=1-1+1-1+\cdots .$$

• Solución:$$s_k=\frac{S_1+S_2+\cdots +S_k}{k}\to \frac{1}{2}.$$

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Respuesta final:

• Ejemplo 2.5:$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1}.$$
• Teorema de Leibniz:$$\boxed{\text{Si }\{x_n\}\text{ decrece a 0, entonces }\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{x}_n\text{ converge.}}$$

¡Espero que esta explicación te ayude! Si tienes dudas, ¡avísame!

Texto editado y estructurado:

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2.2. Criterios de convergencia

Teorema 2.9 (Criterio de Leibniz):

Si $\{x_n{\}}_{n=0}^{\infty }$ es una sucesión decreciente , de números reales positivos, y converge a 0, entonces la serie alternante:

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}_n=x_0-x_1+x_2-x_3+\cdots$$

es convergente .

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Demostración del criterio de Leibniz:

1. Sumas parciales pares ($S_{2k}$):

   • Ejemplo:$$S_6=(x_0-x_1)+(x_2-x_3)+(x_4-x_5)+x_6.$$
   • Propiedad:
     Cada paréntesis $(x_{2m}-x_{2m+1})\ge 0$ (pues $x_n$ es decreciente).
     Por lo tanto, $S_{2k}\ge 0$.

2. Monotonía y acotación:

   • $S_{2k+2}=S_{2k}+(x_{2k+1}-x_{2k+2})\le S_{2k}$.
     • La sucesión $\{S_{2k}\}$ es decreciente y acotada inferiormente por 0.
     • Por lo tanto, converge a un límite $L$.

3. Sumas parciales impares ($S_{2k+1}$):

   • $S_{2k+1}=S_{2k}+x_{2k+1}$.
   • Como $x_{2k+1}\to 0$, $S_{2k+1}\to L$.
   • Además, $\{S_{2k+1}\}$ es creciente (pues $x_n$ decrece).

4. Conclusión:

   • La sucesión $\{S_k\}$ converge a $L$.
   • Error al truncar:$$|S_k-L|\le x_{k+1}.$$

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Ejemplo 2.8 revisado: Serie armónica alternante

La serie:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$$

converge por el criterio de Leibniz, pues:

• $\frac{1}{n}$ es decreciente y $\frac{1}{n}\to 0$.
• Aproximación numérica:
  • $S_{100}\approx 0.6926$,
  • $S_{1000}\approx 0.693142$.

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Teorema 2.10 (Criterio de comparación):

Si ${\sum }_{n=0}^{\infty }{y}_n$ converge y $0\le x_n\le y_n$ para todo $n$, entonces ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_n$ también converge.

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Demostración:

• Sumas parciales:$$\sum _{n=0}^k{x}_n\le \sum _{n=0}^k{y}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{y}_n.$$
• Propiedades:
  • La sucesión $\{S_k\}$ de sumas parciales de $x_n$ es creciente (pues $x_n\ge 0$).
  • Está acotada superiormente (por la suma de $y_n$).
  • Por lo tanto, converge.

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Aplicación: Expresiones decimales en base $b$:

• Una expansión decimal $0.c_1{c}_2{c}_3\dots$ (en base $b$) se puede representar como:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{c_n}{b^n}.$$
• Convergencia:$$0\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{c_n}{b^n}\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{b-1}{b^n}=\frac{b-1}{b-1}=1.$$

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Ejemplo 2.11 (Problema de Basilea):

La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge.
Demostración:

• Comparación con una serie telescópica:$$\frac{1}{(n+1{)}^2}\le \frac{1}{n(n+1)}.$$
• Suma de la serie mayor:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1\text{(Ejemplo 2.5)}.$$
• Conclusión:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\le 1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=2.$$
  • Valor real:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx \mathrm{1.6449.}$$

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Teorema 2.12 (Criterio de D’Alembert):

Sea $\{x_n\}$ una sucesión de números reales positivos. Si existe:

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n},$$

entonces:

• $L<1$: La serie $\sum x_n$ converge.
• $L>1$: La serie diverge.
• $L=1$: El criterio no decide.

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Demostración:

Caso $L<1$:

1. Escoger $ϵ$:
   • Sea $ϵ>0$ tal que $L+ϵ<1$.
2. Desigualdad para $n\ge N$:$$\frac{x_{n+1}}{x_n}<L+ϵ⟹x_n<x_N(L+ϵ{)}^{n-N}.$$
3. Acotación superior:
   • La serie $\sum x_n$ es menor que una serie geométrica con razón $L+ϵ<1$, que converge.

Caso $L>1$:

1. Desigualdad para $n\ge N$:$$\frac{x_{n+1}}{x_n}>L-ϵ>1⟹x_n>x_N(L-ϵ{)}^{n-N}.$$
2. Acotación inferior:
   • La serie $\sum x_n$ es mayor que una serie geométrica con razón $L-ϵ>1$, que diverge.

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Ejemplo aplicando el criterio de D’Alembert:

Serie de Euler ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$:

• Cálculo del límite:$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0<1.$$
• Conclusión:
  La serie converge. Su límite es $e\approx 2.71828$ .

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Explicación detallada:

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1. Teorema 2.9 (Criterio de Leibniz):

¿Cómo funciona?

• Condición:
  La sucesión $\{x_n\}$ debe decrecer y tender a 0.
• ¿Qué garantiza?
  La serie alternante $\sum (-1{)}^n{x}_n$ converge.

Demostración en etapas:

1. Sumas pares ($S_{2k}$):

   • Se agrupan en pares:$$S_{2k}=(x_0-x_1)+(x_2-x_3)+\cdots +(x_{2k-2}-x_{2k-1})).$$
   • Propiedades:
     • $S_{2k}\ge 0$ (pues $x_{2m}\ge x_{2m+1}$).
     • $S_{2k+2}\le S_{2k}$ (la siguiente suma par es menor).
   • Convergencia:
     La sucesión $\{S_{2k}\}$ es decreciente y acotada → converge a $L$.

2. Sumas impares ($S_{2k+1}$):

   • $S_{2k+1}=S_{2k}+x_{2k+1}$.
   • Como $x_{2k+1}\to 0$, $S_{2k+1}\to L$.
   • Además, $\{S_{2k+1}\}$ es creciente (pues $x_n$ decrece).

Ejemplo concreto:
La serie armónica alternante converge a $\ln 2\approx 0.693$:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots .$$

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2. Teorema 2.10 (Criterio de comparación):

¿Para qué sirve?
Permite probar convergencia de una serie comparándola con otra conocida.

Ejemplo: Expresiones decimales

• Una expansión decimal $0.c_1{c}_2{c}_3\dots$ (en base $b$) converge porque:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{c_n}{b^n}\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{b-1}{b^n}=1.$$

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3. Teorema 2.12 (Criterio de D’Alembert):

¿Cómo aplicarlo?

• Cálculo del límite:$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}.$$
• Interpretación:
  • Si $L<1$: Los términos decrecen lo suficiente para que la serie converja.
  • Si $L>1$: Los términos decrecen demasiado lento → diverge.

Demostración intuitiva:

• $L<1$:
  Los términos $x_n$ son menores que una serie geométrica con razón $<1$.

  • Ejemplo: $x_n=\frac{1}{2^n}⟹L=\frac{1}{2}<1⟹$ converge.

• $L>1$:
  Los términos $x_n$ son mayores que una serie geométrica con razón $>1$.

  • Ejemplo: $x_n=2^n⟹L=2>1⟹$ diverge.

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4. Ejemplo 2.11 (Problema de Basilea):

¿Qué es el problema de Basilea?
Encontrar la suma de ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$.
Demostración de convergencia:

• Comparación:$$\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n(n+1)}\text{para }n\ge 1.$$
• Serie mayor:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1\text{(Ejemplo 2.5)}.$$
• Conclusión:
  La serie original converge (pues es menor que una convergente).

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5. Ejemplo 2.13 (Número de Euler $e$):

La serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$ converge a $e$.

• Aplicación del criterio de D’Alembert:$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0<1.$$
• Sumas parciales:$$S_{20}\approx 2.7182818284590452353\text{(converge raˊpidamente)}.$$

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Explicación de la demostración del criterio de D’Alembert:

Caso $L<1$:

1. Elección de $ϵ$:
   • Tomamos $ϵ$ pequeño para que $r=L+ϵ<1$.
2. Desigualdad para $n\ge N$:
   • $x_n<x_N{r}^{n-N}$.
3. Comparación con una serie geométrica:
   • La suma ${\sum }_{n=N}^{\infty }{x}_n\le x_N{\sum }_{n=N}^{\infty }{r}^{n-N}=\frac{x_N}{1-r}$.
   • Por lo tanto, la serie converge.

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Caso $L>1$:

1. Elección de $ϵ$:
   • Tomamos $ϵ$ pequeño para que $r=L-ϵ>1$.
2. Desigualdad para $n\ge N$:
   • $x_n>x_N{r}^{n-N}$.
3. Comparación con una serie geométrica:
   • La suma ${\sum }_{n=N}^{\infty }{x}_n\ge x_N{\sum }_{n=N}^{\infty }{r}^{n-N}=+\infty$.
   • Por lo tanto, la serie diverge.

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Gráficos y tablas (descripción textual):

Tabla de sumas parciales de $e$:

$n$	$S_n$
1	2.0
2	2.5
3	2.6666666666666666666
10	2.7182818261984928651
100	2.7182818284590452353

• Observación:
  La convergencia es rápida , incluso con $n=20$, ya se aproxima a $e$.

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6. Notas clave:

• Criterio de Leibniz:
  Solo aplica a series alternantes con términos decrecientes y positivos.
• Criterio de D’Alembert:
  Es útil para series con términos factoriales o exponenciales.
• Límite $L=1$:
  El criterio no decide (ej: $\sum \frac{1}{n}$ diverge, pero $\sum \frac{1}{n^2}$ converge).

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7. Errores comunes y aclaraciones:

• ¿Qué pasa si $x_n$ no es positiva?
  El criterio de comparación requiere $x_n\ge 0$.
• ¿El criterio de Leibniz da el valor de la suma?
  No, solo confirma convergencia. Su error máximo es $x_{k+1}$.

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Respuesta final:

• Criterio de Leibniz:$$\boxed{\text{Si }\{x_n\}\text{ decrece a 0, entonces }\sum (-1{)}^n{x}_n\text{ converge.}}$$
• Criterio de D’Alembert:$$\boxed{L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}⟹\{\begin{array}{ll}\text{Converge}& \text{si }L<1,\\ \text{Diverge}& \text{si }L>1.\end{array}}$$
• Número $e$:$$\boxed{e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\approx 2.71828}.$$

¡Espero que esta explicación te ayude! 😊 Si tienes dudas, ¡avísame!

Texto editado y estructurado:

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Ejemplo 2.13: Expresión de $e$ como serie infinita

El número de Euler $e$ se puede representar como:

$$e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots .$$

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Demostración:

1. Definición de $e$:
   Se define como:

   $$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$$

2. Desarrollo binomial de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$:
   Para $n\ge 2$:

   $${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}=\sum _{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot \frac{1}{n^k}.$$

   Simplificando los términos:

   $$=2+\sum _{k=2}^n\underset{\text{Teˊrmino }k}{\underbrace{\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}}}\cdot \frac{1}{k!}.$$

3. Factorizando para simplificar:

   • El término $k$ puede escribirse como:$$\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\cdot \frac{1}{k!}.$$
   • Estimación:
     Cada factor $\left(1-\frac{m}{n}\right)\le 1$, por lo que:$$\text{Teˊrmino }k\le \frac{1}{k!}.$$

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4. Acotación superior e inferior:

• Acotación inferior:$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\ge 2+\sum _{k=2}^m\left[\prod _{j=1}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right]\cdot \frac{1}{k!}\text{para }n\ge m.$$
• Acotación superior:$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}.$$

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5. Tomando límites:

• Límite en $n$:

  • Para un $m$ fijo:$$2+\sum _{k=2}^m\frac{1}{k!}\le e\le \sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}.$$
    • El límite inferior se obtiene al tomar $n\to \infty$, pues los factores $\left(1-\frac{j}{n}\right)\to 1$.
    • La desigualdad superior se mantiene para todo $n$.

• Límite en $m$:

  • Al aumentar $m$, la desigualdad inferior se acerca a ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}$.
  • Por lo tanto:$$e=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}.$$

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6. Comparación con la definición original:

• La serie $\sum \frac{1}{k!}$ converge mucho más rápido que ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$.
  • Ejemplo:
    • Con $n=10$, ${\left(1+\frac{1}{10}\right)}^{10}\approx 2.5937$.
    • La serie parcial hasta $k=10$ :$$S_{10}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{10!}\approx \mathrm{2.71828180115.}$$
    • El valor real de $e$ es 2.718281828459045… , lo que muestra que la serie converge más rápido.

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7. Historia y aplicación:

• Leonhard Euler calculó $e$ con 18 decimales en el siglo XVIII usando esta serie.
• Convergencia rápida:
  • Con $k=10$, ya se obtienen 7 decimales exactos .
  • Con $k=20$, se alcanzan 18 decimales .

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Explicación detallada:

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1. ¿Qué es $e$?

Es una constante matemática aproximada a 2.71828 .

• Definición clásica:$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$$
• Serie infinita:$$e=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}.$$

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2. Desarrollo binomial de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$:

• Expansión binomial:$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{1}{n}\right)}^k.$$
• Simplificación:
  • El coeficiente binomial $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}$.
  • Dividido por $n^k$:$$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}=\prod _{j=1}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).$$

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3. ¿Por qué converge la serie?

• Criterio de D’Alembert:
  • Calculamos:$$L=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}}=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{k+1}=0<1.$$
  • Por lo tanto, la serie converge.

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4. Comparación con la definición original:

• Definición por límite:
  • ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ converge lentamente.
    • Ejemplo:$n=100⟹{\left(1+\frac{1}{100}\right)}^{100}\approx 2.7048$ (solo 3 decimales correctos).
• Serie infinita:
  • $S_{10}\approx 2.71828180115$ (7 decimales).
  • Ventaja:
    Los términos $\frac{1}{k!}$ decrecen exponencialmente, mientras que la definición original decrece polinomialmente.

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5. Cálculo manual de $e$:

Euler calculó $e$ con 18 decimales usando la serie:

• Términos relevantes:
  • $\frac{1}{20!}\approx 2.48\times 10^{-19}$, lo que garantiza precisión hasta el decimoctavo decimal.

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6. ¿Qué implica el límite $L=1$?

El texto menciona que si el criterio de D’Alembert da $L=1$, la serie puede converger o diverger (ej: serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ diverge, pero $\sum \frac{1}{n^2}$ converge).

• En este caso:
  • $L=0\ne 1⟹$ el criterio confirma convergencia.

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7. Explicación visual de la convergencia:

$k$	Suma parcial$S_k$
10	2.71828180115
20	2.718281828459045238
30	2.718281828459045235360287471

• Velocidad de convergencia:
  • La serie $\sum \frac{1}{k!}$ duplica la precisión cada pocos términos, mientras que ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ requiere $n$ enormes para mejoras similares.

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8. Errores comunes y aclaraciones:

• ¿Por qué no usar directamente ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ para calcular $e$?
  • Su convergencia es demasiado lenta. Por ejemplo, $n=10^6$ da solo 6 decimales correctos.
• ¿Cómo relaciona Euler la definición original con la serie?
  • Usando la expansión binomial y comparando con límites dobles $n\to \infty$ y $m\to \infty$.

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Respuesta final:

• $e$ como serie:$$\boxed{e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}}.$$
• Ventaja:
  La serie converge exponencialmente rápido , permitiendo cálculos manuales precisos.

¡Espero que esta explicación te ayude! 😊 Si tienes dudas, ¡avísame

Teorema de condensación de Cauchy

Texto editado y estructurado:

---

Teorema 2.14 (Criterio de condensación de Cauchy):

Enunciado:
Sea $\{x_n{\}}_{n=0}^{\infty }$ una sucesión decreciente de números reales positivos.
Si la serie condensada :

$$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{x}_{2^n}=x_1+2x_2+4x_4+8x_8+\cdots$$

converge, entonces la serie original ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_n$ también converge.

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Demostración:

1. Definiciones de sumas parciales:

   • Denotamos $S_k={\sum }_{n=0}^k{x}_n$ (suma parcial de la serie original hasta el término $x_k$).
   • Denotamos $T_k={\sum }_{n=0}^k{2}^n{x}_{2^n}$ (suma parcial de la serie condensada hasta $2^k$).

2. Comportamiento de las sumas parciales:

   • Ambas sucesiones $\{S_k\}$ y $\{T_k\}$ son crecientes (pues se suman términos positivos).
   • Una serie converge si y solo si su sucesión de sumas parciales está acotada superiormente .

3. Objetivo:
   Mostrar que si $\{T_k\}$ está acotada, entonces $\{S_k\}$ también lo está.

4. Comparación entre $S_k$ y $T_k$:

   • Consideramos $S_{2^k-1}$, que es la suma parcial de la serie original hasta el término $x_{2^k-1}$.
   • Agrupamos los términos de $S_{2^k-1}$ en bloques que comienzan en potencias de 2:$$S_{2^k-1}=x_1+(x_2+x_3)+(x_4+x_5+x_6+x_7)+\cdots +\underset{\text{Bloque }k}{\underbrace{(x_{2^{k-1}}+\cdots +x_{2^k-1})}}.$$
     • Cada bloque $r$ (desde $r=1$ hasta $r=k$) contiene $2^{r-1}$ términos.

5. Estimación usando la monotonía:

   • Como la sucesión $\{x_n\}$ es decreciente , cada término en un bloque $r$ es menor o igual al primer término del bloque $x_{2^{r-1}}$.
   • Por ejemplo, en el bloque $r=2$:$$x_2+x_3\le x_2+x_2=2x_2.$$
     • En general, para el bloque $r$:$$\underset{2^{r-1}\text{ teˊrminos}}{\underbrace{x_{2^{r-1}}+x_{2^{r-1}+1}+\cdots +x_{2^r-1}}}\le 2^{r-1}\cdot x_{2^{r-1}}.$$

6. Relación entre $S_{2^k-1}$ y $T_k$:

   • Sustituyendo cada bloque por su cota superior:$$S_{2^k-1}\le x_1+2x_2+4x_4+\cdots +2^{k-1}{x}_{2^{k-1}}=T_{k-1}.$$
   • Por lo tanto, si $T_k$ está acotada, $S_{2^k-1}$ (y por ende $S_k$) también está acotada.

7. Conclusión:

   • Si $\{T_k\}$ converge (es decir, está acotada), entonces $\{S_k\}$ también converge, lo que implica que la serie original converge.

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Explicación detallada:

1. Contexto del teorema:

El criterio de condensación de Cauchy es una herramienta para determinar la convergencia de series con términos decrecientes.
¿Para qué sirve?

• Si es difícil analizar $\sum x_n$, podemos estudiar una serie condensada (más simple) para concluir sobre la convergencia.

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2. Definiciones clave:

• Sucesión decreciente: $x_0\ge x_1\ge x_2\ge \cdots \ge 0$.
  Ejemplo: $x_n=\frac{1}{n}$ es decreciente.

• Serie condensada:
  Se construye multiplicando cada término $x_{2^n}$ por $2^n$:

  $$T_k=\sum _{n=0}^k{2}^n{x}_{2^n}.$$

  Ejemplo: Para $x_n=\frac{1}{n}$, la serie condensada sería $1+2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}+8\cdot \frac{1}{8}+\cdots =1+1+1+1+\cdots$, que diverge (como la original).

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3. Idea principal de la demostración:

• La serie original $\sum x_n$ se divide en bloques que comienzan en potencias de 2:$$\underset{Bloque\; 1}{\underbrace{x_1}}+\underset{Bloque\; 2}{\underbrace{(x_2+x_3)}}+\underset{Bloque\; 3}{\underbrace{(x_4+x_5+x_6+x_7)}}+\cdots$$
• Cada bloque $r$ contiene $2^{r-1}$ términos, empezando en $x_{2^{r-1}}$.

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4. Paso a paso de la demostración:

Paso 1: Relación entre $S_k$ y $S_{2^k-1}$:

• $S_k$ es una suma parcial "corta" (hasta $x_k$).
• $S_{2^k-1}$ es una suma parcial "larga" que incluye todos los términos hasta $x_{2^k-1}$.
• Relación:$$S_k\le S_{2^k-1}.$$

Paso 2: Agrupar términos en bloques:

• Dividimos $S_{2^k-1}$ en bloques:
  • Bloque 1: $x_1$.
  • Bloque 2: $x_2+x_3$.
  • Bloque 3: $x_4+x_5+x_6+x_7$.
  • Bloque $r$: $2^{r-1}$ términos desde $x_{2^{r-1}}$ hasta $x_{2^r-1}$.

Paso 3: Acotar cada bloque:

• Por decrecimiento, todos los términos en un bloque $r$ son menores o iguales al primer término del bloque $x_{2^{r-1}}$.
• Por lo tanto, el bloque $r$ satisface:$$\text{Bloque }r\le 2^{r-1}\cdot x_{2^{r-1}}.$$

Paso 4: Comparar con la serie condensada:

• Sumando todas las cotas de los bloques:$$S_{2^k-1}\le x_1+2x_2+4x_4+\cdots +2^{k-1}{x}_{2^{k-1}}=T_{k-1}.$$
• Esto implica que cualquier cota de $T_k$ también aplica a $S_{2^k-1}$ (y por ende a $S_k$).

Paso 5: Convergencia de la serie original:

• Si $\{T_k\}$ está acotada (y por lo tanto converge), entonces $\{S_{2^k-1}\}$ también está acotada.
• Como $S_k\le S_{2^k-1}$, la sucesión $\{S_k\}$ está acotada, por lo que la serie original converge.

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Explicación intuitiva:

¿Cómo funciona el criterio?

• La serie condensada $T_k$ simplifica la original al multiplicar cada $x_{2^n}$ por $2^n$.
• Si esta versión "condensada" converge, la original converge porque sus términos son menores en cada bloque.

Ejemplo concreto:

Sea $x_n=\frac{1}{n^2}$:

• Serie original:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\text{(converge a }\frac{{\pi }^2}{6}\text{)}.$$
• Serie condensada:$$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{x}_{2^n}=\frac{1}{1^2}+2\cdot \frac{1}{2^2}+4\cdot \frac{1}{4^2}+8\cdot \frac{1}{8^2}+\cdots =1+\frac{2}{4}+\frac{4}{16}+\frac{8}{64}+\cdots =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$$
  • La serie condensada es una serie geométrica con razón $\frac{1}{2}$, que converge.
  • Por el teorema, la original también converge.

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5. Preguntas frecuentes:

¿Por qué funciona la comparación?

• Al agrupar términos en potencias de 2, podemos acotar cada bloque por su primer término (el más grande).
• La serie condensada $T_k$ es una aproximación por defecto de la original, pero más manejable.

¿Qué es un ejemplo de serie que diverge?

Tomemos $x_n=\frac{1}{n}$:

• Serie original:$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\text{(diverge como la serie armoˊnica)}.$$
• Serie condensada:$$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }1\text{(diverge como una serie constante)}.$$
• El teorema confirma que si la condensada diverge, la original también diverge.

¿Por qué se llama “condensación”?

La serie condensada "comprime" la original en bloques, multiplicando cada término $x_{2^n}$ por $2^n$, lo que simplifica su análisis.

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6. Ejemplo ilustrativo:

Supongamos $x_n=\frac{1}{n\ln n}$ (para $n\ge 2$):

• Serie original:$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}\text{(diverge)}.$$
• Serie condensada:$$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{2^n\ln 2^n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\ln 2}\text{(diverge como la serie armoˊnica)}.$$
• El teorema confirma la divergencia de la original.

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7. Importancia del teorema:

• ¿Cuándo es útil?
  Cuando es difícil aplicar criterios como la raíz o la razón , pero es fácil estudiar la versión condensada.
• Ejemplo clásico:
  La serie $\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ converge si y solo si $p>1$.
  Usando el criterio de condensación, se reduce a analizar $\sum \frac{1}{2^n(\ln 2^n{)}^p}$, que converge si $p>1$.

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8. Errores comunes y aclaraciones:

• ¿Qué pasa si la sucesión no es decreciente?
  El teorema no aplica . La monotonía es crucial para acotar los bloques.
• ¿La condensación da la convergencia de la original?
  Sí, pero no garantiza la divergencia . Si la condensada diverge, la original también diverge (por comparación directa).

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9. Conclusión del teorema:

El criterio de Cauchy permite reducir la convergencia de una serie complicada a una serie condensada más sencilla .
Fórmula clave:

$$S_{2^k-1}\le T_{k-1}.$$

Si $T_k$ está acotada, entonces $S_k$ también lo está, y por lo tanto converge.

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10. Ejercicio práctico:

¿Converge la serie $\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^2}$?

1. Condensación:$$T_k=\sum _{n=1}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{2^n(\ln 2^n{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(\ln 2{)}^2(n{)}^2}.$$
2. Análisis:
   La serie $T_k$ es una constante $\frac{1}{(\ln 2{)}^2}$ veces la serie $\sum \frac{1}{n^2}$, que converge.
3. Conclusión:
   La original converge.

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Respuesta final:

El teorema Criterio de condensación de Cauchy establece que:

$$\boxed{\text{Si }\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{x}_{2^n}\text{ converge, entonces }\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n\text{ tambieˊn converge.}}$$

Este método es útil para series con términos decrecientes, como $\sum \frac{1}{n^p}$, donde la condensación reduce el análisis a una serie geométrica.

Estoy estudiando el criterio de condensación de Cauhy. Me gustaría saber si el recíproco es cierto. Creo que no. Por eso te pido un contraejemplo. Es decir una serie que sea convergente pero tal que la sucesión condensada de Cauchy que se deduce de ella sea divergente. A ver si lo puedes encontrar y explicármelo con detalle

Respuesta:

Sí, el recíproco del criterio de condensación de Cauchy no es cierto en general.
Se puede construir un contraejemplo donde la serie original converge , pero su serie condensada (según la fórmula de Cauchy) diverge . Esto ocurre porque el criterio de Cauchy requiere que la sucesión $\{a_n\}$ sea no negativa y decreciente . Si estas condiciones no se cumplen, el recíproco no es válido.

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Contraejemplo:

Consideremos la siguiente sucesión:

$$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n}& \text{si }n\text{ es una potencia de 2}(n=2^k),\\ 0& \text{en otro caso}.\end{array}$$

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1. Serie original ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$:

• Términos no nulos:
  Solo los términos en potencias de 2 son no nulos:$$a_{2^k}=\frac{1}{2^k}.$$
• Suma total:$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}=2\text{(serie geomeˊtrica convergente)}.$$

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2. Serie condensada de Cauchy ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$:

• Términos de la serie condensada:$$2^n\cdot a_{2^n}=2^n\cdot \frac{1}{2^n}=1\text{para todo }n.$$
• Suma total:$$\sum _{n=0}^{\infty }1=+\infty \text{(serie divergente)}.$$

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Explicación del contraejemplo:

• La serie original converge porque solo considera los términos $\frac{1}{2^k}$, que forman una serie geométrica con razón $\frac{1}{2}$.
• La serie condensada diverge porque cada término $2^n{a}_{2^n}=1$, sumando una serie constante .

¿Por qué ocurre esto?
La sucesión $\{a_n\}$ no es decreciente :

• Entre potencias de 2, $a_n=0$, pero en $n=2^k$, $a_{2^k}=\frac{1}{2^k}$.
• Por ejemplo:
  • $a_2=\frac{1}{2}$,
  • $a_3=0$,
  • $a_4=\frac{1}{4}$.
  • No decrece : $a_2>a_4$ (después de $a_3=0$), pero $a_4=\frac{1}{4}>a_3=0$.

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¿Por qué el criterio de Cauchy no garantiza el recíproco aquí?

El teorema de Cauchy exige que $\{a_n\}$ sea no negativa y decreciente . Si estas condiciones no se cumplen:

• La serie condensada no refleja la convergencia de la original .
• En este caso, la serie condensada ignora los términos ceros y mide únicamente los términos en potencias de 2, que forman una serie constante .

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Otro contraejemplo (sin ceros):

Consideremos una sucesión $\{a_n\}$ que no es decreciente pero converge:

• Definamos:

  $$a_n=\frac{1}{n}\cdot \{\begin{array}{ll}1& \text{si }n\text{ es una potencia de 2},\\ \frac{1}{n}& \text{en otro caso}.\end{array}$$

• Serie original:

  $$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}+\sum _{n\; no\; potencia\; de\; 2}\frac{1}{n^2}.$$
  • La primera suma es 2 (convergente).
  • La segunda suma es convergente (serie de Riemann con $p=2$).
  • Total: Converge.

• Serie condensada:

  $$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }1\text{(divergente)}.$$

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Conclusión:

El recíproco del criterio de Cauchy no es cierto si la sucesión $\{a_n\}$ no es decreciente .

• Condición clave:
  El teorema solo asegura que:$$\text{Si }\sum a_n\text{ converge, entonces }\sum 2^n{a}_{2^n}\text{ converge}\text{siempre que }\{a_n\}\text{ decrezca}.$$
  Sin embargo, si $\{a_n\}$ no es decreciente, no hay garantía .

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¿Por qué es importante la condición de decrecimiento?

• El decremento asegura que:

  $$a_{2^n}\ge a_{2^n+1},a_{2^n+1}\ge a_{2^n+2},\dots ,a_{2^{n+1}-1}\ge a_{2^{n+1}}.$$

  Esto permite acotar los bloques de términos y comparar con la serie condensada.

• Si la sucesión no decrece , los términos $a_{2^n}$ podrían ser "mayores" que otros términos no considerados en la condensación, generando inconsistencias.

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Respuesta final:

Sí, el recíproco no es cierto.
Un contraejemplo es la sucesión:

$$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n}& \text{si }n=2^k,\\ 0& \text{en otro caso}.\end{array}$$

• Serie original: Converge a 2 .
• Serie condensada: Diverge.

Clave:
La sucesión $\{a_n\}$ no es decreciente , por lo que el criterio de Cauchy no aplica, permitiendo que la serie original converja mientras su condensación diverja.

¡Espero que esta explicación te ayude a entender por qué el recíproco no es válido! 😊 Si tienes más dudas, avísame.