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Seguimos trabajando sobre series

 

2.3. Convergencia absoluta

Teorema 2.15 (Criterio de Cauchy para series):

Una serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}_n$ de números complejos converge si y solo si para todo $ϵ>0$, existe un $n_0$ tal que si $n_0\le m\le k$, entonces:

$$\left|\sum _{n=m}^k{z}_n\right|<ϵ.$$

Demostración:
La condición expresa que la sucesión de sumas parciales $\{S_k\}$ (donde $S_k={\sum }_{n=0}^k{z}_n$) es una sucesión de Cauchy . Esto se sigue directamente de la definición, pues:

$$S_k-S_m=\sum _{n=m+1}^k{z}_n.$$

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Definición 2.16 (Convergencia absoluta):

Una serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_n$ de números complejos se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos ${\sum }_{n=0}^{\infty }|x_n|$ converge.

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Teorema 2.17 (Convergencia absoluta implica convergencia):

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostración:
Sea ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}_n$ absolutamente convergente. Por el criterio de Cauchy (Teorema 2.15):

• Dado $ϵ>0$, existe $n_0$ tal que para $n_0\le m\le k$:$$\sum _{n=m}^k|z_n|<ϵ.$$
• Usamos la desigualdad triangular :$$\left|\sum _{n=m}^k{z}_n\right|\le \sum _{n=m}^k|z_n|<ϵ.$$
• Por lo tanto, $\{S_k\}$ es una sucesión de Cauchy, y como $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$) es completo, converge.

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Importancia de la convergencia absoluta:

• Si una serie converge absolutamente, también converge.
• Recíproco falso: Existen series convergentes (condicionalmente) que no son absolutamente convergentes.
  Ejemplo:
  La serie alternante ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ (serie armónica alternante) converge, pero ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left|\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right|=\sum \frac{1}{n}$ diverge.

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Definición 2.18 (Producto de Cauchy):

El producto de Cauchy de dos series ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ y ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ es la serie:

$$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right).$$

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Teorema 2.19 (Convergencia del producto de Cauchy):

Si ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ y ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ son series convergentes de números complejos, y al menos una de ellas converge absolutamente , entonces:

$$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n\right).$$

Demostración clave:
Supongamos que $\sum a_n$ converge absolutamente a $A$, y $\sum b_n$ converge a $B$.

• Sumas parciales:
  • $A_N={\sum }_{k=0}^N{a}_k$.
  • $B_N={\sum }_{k=0}^N{b}_k$, y ${\beta }_N=B_N-B$.
• Expresión del producto de Cauchy:$$C_N=\sum _{n=0}^N\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)=A_{N}B+\text{error}.$$
• Control del error:
  • El error ${\sum }_{k=0}^N{a}_k{\beta }_{N-k}$ debe tender a 0.
  • Usamos la convergencia absoluta de $\sum a_n$ para acotar:$$\left|\sum _{k=0}^N{a}_k{\beta }_{N-k}\right|\le \sum _{k=0}^N|a_k||{\beta }_{N-k}|<ϵ.$$

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Ejemplos aplicados:

1. Serie geométrica:

   • ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}$ (converge absolutamente para $|z|<1$).
   • Producto de Cauchy consigo misma:$${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n\right)}^2=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^n=\frac{1}{(1-z{)}^2}.$$

2. Serie del tipo $\frac{1}{(1-z{)}^3}$:

   • Multiplicando $\sum (n+1)z^n$ (convergente absolutamente) por $\sum z^n$:$$\frac{1}{(1-z{)}^3}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(n+1)(n+2)}{2}{z}^n.$$

3. Cálculo de $\sum n^2{z}^n$:

   • Usando combinaciones de las series anteriores:$$\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{z}^n.$$

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Explicación detallada:

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1. Teorema 2.15 (Criterio de Cauchy para series):

¿Qué dice?
Una serie converge si y solo si sus términos "acaban siendo insignificantes" en bloques.

• Ejemplo:
  La serie $\sum \frac{1}{n^2}$ cumple que ${\sum }_{n=m}^k\frac{1}{n^2}$ es pequeño para $m,k$ grandes.

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2. Convergencia absoluta vs condicional:

• Convergencia absoluta:
  La serie $\sum |z_n|$ converge → garantiza convergencia de $\sum z_n$.
• Convergencia condicional:
  La serie $\sum z_n$ converge, pero $\sum |z_n|$ diverge.
  Ejemplo clásico:
  Serie armónica alternante $\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$.

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3. Teorema 2.17 (Por qué la convergencia absoluta implica convergencia):

• Demostración intuitiva:
  • Si $\sum |z_n|$ converge, los términos $z_n$ se anulan rápidamente.
  • La desigualdad triangular asegura que:$$\left|\sum _{n=m}^k{z}_n\right|\le \sum _{n=m}^k|z_n|.$$
  • Como $\sum |z_n|$ converge, ${\sum }_{n=m}^k|z_n|\to 0$ al aumentar $m$ y $k$, por lo que $\sum z_n$ también converge.

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4. Producto de Cauchy (Teorema 2.19):

¿Para qué sirve?
Permite multiplicar series infinitas como si fueran polinomios, pero requiere convergencia absoluta de al menos una de ellas.

Demostración en etapas:

• Suposiciones:
  • $\sum a_n\to A$, $\sum b_n\to B$, y $\sum |a_n|<\infty$.
• Error a controlar:$$\text{Error}=\sum _{k=0}^N{a}_k{\beta }_{N-k},$$
  donde ${\beta }_{N-k}=B_{N-k}-B$.
• Acotación del error:
  • Parte 1: Términos con $k\le n_0$:$$\sum _{k=0}^{n_0}|a_k{\beta }_{N-k}|\le \frac{ϵ}{2}.$$
  • Parte 2: Términos con $k>n_0$:$$\sum _{k=n_0+1}^N|a_k{\beta }_{N-k}|\le \frac{ϵ}{2}.$$
• Conclusión:
  El error total es $<ϵ⟹{\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n\to A\cdot B$.

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5. Ejemplos prácticos:

Serie geométrica $\sum z^n$:

• Producto de Cauchy consigo misma:$${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n\right)}^2=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^n.$$
  • Ejemplo numérico:
    • $z=\frac{1}{2}⟹\frac{1}{(1-1/2{)}^2}=4$.
    • La serie ${\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ converge a 4.

Serie $\sum n^2{z}^n$:

• Derivación:$$\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{z}^n.$$
  • Ejemplo:
    • $z=\frac{1}{2}⟹\frac{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})}{(1-\frac{1}{2}{)}^3}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}=6$.
    • La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{2^n}$ converge a 6.

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6. Contraejemplo de convergencia condicional:

La serie $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$:

• Converge condicionalmente (por el criterio de Leibniz).
• Producto de Cauchy consigo misma:
  • Los términos $c_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ no tienden a 0.
  • Por lo tanto, el producto de Cauchy diverge.

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7. ¿Por qué es importante la convergencia absoluta?

• Manipulación segura de series:
  Permite reordenar términos, diferenciar, integrar, etc., sin alterar el límite.
• Producto de Cauchy:
  Sin convergencia absoluta, el producto podría no coincidir con el producto de los límites.

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8. Explicación del ejemplo final:

Cálculo de ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^2{z}^n$:

• Pasos:
  1. $\frac{1}{(1-z{)}^2}={\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)z^n$.
  2. Multiplicar por $z$:$$\frac{z}{(1-z{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^{n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }n{z}^n.$$
  3. Multiplicar $\frac{z}{(1-z{)}^2}$ por $\frac{1}{1-z}$:$$\frac{z}{(1-z{)}^3}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2}{z}^n.$$
  4. Combinar términos:$$\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{z}^n.$$

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9. Errores comunes y aclaraciones:

• ¿Qué pasa si ninguna serie converge absolutamente?
  El producto de Cauchy podría no converger o no coincidir con el producto de los límites.
• ¿Es la convergencia absoluta suficiente para todo?
  Sí, para garantizar convergencia, manipulación de series y validez del producto de Cauchy.

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Respuesta final:

• Convergencia absoluta:$$\boxed{\sum _{n=0}^{\infty }|x_n|<\infty ⟹\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n\text{ converge.}}$$
• Producto de Cauchy:$$\boxed{\text{Si }\sum a_n\text{ y }\sum b_n\text{ convergen (una absolutamente), entonces }\sum (a\ast b{)}_n=\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right).}$$

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