Problema de teoría de cuerpos

 Se lo planteo a la inteligencia artificial

Enunciado:

Habiendo probado que el polinomio f(x)=x4+4x3+8x2+8x+5 es irreducible sobre Q probar si lo es sobre Q(2–√3)[x] .
Y siendo α∈C una raíz de f(x). ¿Es Q(α2+2α)=Q(α)?

Respuesta.

Voy a dar dos respuestas porque el coleguita se ha equivocado y ha respondido como si la extensión de que

 se tratara fuera Q(raiz cuadrada de 3 ), entonces voy a poner esa respuesta aunque esté equivocada porque

 ha tomado el enunciado mal y luego voy a poner la respuesta correcta.

Respuesta para Q(raiz cuadrada de 3 )

Análisis del Polinomio $f(x)=x^4+4x^3+8x^2+8x+5$

Parte 1: Irreducibilidad sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$

Se nos da que el polinomio $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$. Ahora queremos determinar si sigue siendo irreducible sobre la extensión cuadrática $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

Transformación del Polinomio: Realizamos un cambio de variable $y=x+1$, lo que transforma $f(x)$ en un polinomio más simple:

$$f(x)=(y{)}^4+2y^2+2,$$

donde $y=x+1$. Denotamos este nuevo polinomio como $g(y)=y^4+2y^2+2$.

Este es un polinomio bicuadrático (solo contiene potencias pares de $y$), lo cual facilita su análisis.

Análisis de Factorización: Intentamos factorizar $g(y)$ en productos de polinomios cuadráticos con coeficientes en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Suponemos una factorización de la forma:

$$g(y)=(y^2+ay+b)(y^2-ay+d),$$

donde $a,b,d\in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Comparando coeficientes, llegamos a un sistema de ecuaciones que implica que $b=d$, y por lo tanto $b^2=2$. Esto requiere que $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$, lo cual no es cierto porque $\sqrt{2}$ no puede expresarse como combinación lineal racional de $1$ y $\sqrt{3}$.

Además, el polinomio $g(y)$ tiene raíces complejas (como se deduce al resolver $y^2=-1\pm i$), lo cual indica que no puede tener raíces en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, que es un subcampo real de $\mathbb{C}$. Por lo tanto, $g(y)$ no se descompone en factores lineales ni cuadráticos en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

Conclusión: El polinomio $f(x)$ permanece irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

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Parte 2: ¿Es $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )=\mathbb{Q}(\alpha )$?

Dado que $\alpha$ es una raíz compleja de $f(x)$, sabemos que $\mathbb{Q}(\alpha )$ es una extensión de grado 4 sobre $\mathbb{Q}$, ya que $f(x)$ es irreducible de grado 4.

Definimos $\theta ={\alpha }^2+2\alpha$. Queremos determinar si $\mathbb{Q}(\theta )=\mathbb{Q}(\alpha )$.

Transformación usando $\beta =\alpha +1$: Como hicimos antes, sustituimos $\beta =\alpha +1$, lo que lleva a $\theta ={\beta }^2-1$. Entonces, $\theta$ es un elemento de $\mathbb{Q}(\beta )$, y $\mathbb{Q}(\theta )\subseteq \mathbb{Q}(\beta )$.

El polinomio mínimo de $\beta$ es $g(y)=y^4+2y^2+2$, que tiene grado 4. El polinomio mínimo de $\theta$ se obtiene de la relación $\gamma ={\beta }^2$, que satisface:

$${\gamma }^2+2\gamma +2=0.$$

Por lo tanto, $\gamma$ genera una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}$, es decir, $[\mathbb{Q}(\gamma ):\mathbb{Q}]=2$. Como $\theta =\gamma -1$, también $\mathbb{Q}(\theta )=\mathbb{Q}(\gamma )$, y por lo tanto $[\mathbb{Q}(\theta ):\mathbb{Q}]=2$.

Grado de Extensión: Dado que $\mathbb{Q}(\theta )\subset \mathbb{Q}(\alpha )$, y $[\mathbb{Q}(\theta ):\mathbb{Q}]=2$, mientras que $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$, se sigue que $\mathbb{Q}(\theta )$ es un subcampo propio de $\mathbb{Q}(\alpha )$.

Por lo tanto, $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )\ne \mathbb{Q}(\alpha )$.

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Respuesta Final

1. El polinomio $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$:

   $$\boxed{\text{Irreducible}}$$

2. La extensión generada por ${\alpha }^2+2\alpha$ es estrictamente menor que la generada por $\alpha$:

   $$\boxed{\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )\ne \mathbb{Q}(\alpha )}$$

Ahora ponemos la respuesta correcta, es decir para Q( raíz cúbica de dos)

Análisis del Polinomio $f(x)=x^4+4x^3+8x^2+8x+5$

Parte 1: Irreducibilidad sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

Teorema Clave:
Si un polinomio $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ con grado $m$, y $K/\mathbb{Q}$ es una extensión de grado $n$ tal que $\gcd (m,n)=1$, entonces $f(x)$ permanece irreducible sobre $K$.

En este caso:

• $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ con grado $m=4$,
• La extensión $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ tiene grado $n=3$,
• Dado que $\gcd (4,3)=1$, aplicamos el teorema directamente.

Conclusión:
El polinomio $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.

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Parte 2: ¿Es $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )=\mathbb{Q}(\alpha )$?

Sea $\alpha$ una raíz de $f(x)$. Sabemos que $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$, ya que $f(x)$ es irreducible de grado 4 sobre $\mathbb{Q}$.

Definimos $\theta ={\alpha }^2+2\alpha$. Queremos determinar si $\mathbb{Q}(\theta )=\mathbb{Q}(\alpha )$.

Transformación usando $\beta =\alpha +1$:
Sustituimos $\beta =\alpha +1$, lo que implica $\alpha =\beta -1$. Entonces:

$$\theta =(\beta -1{)}^2+2(\beta -1)={\beta }^2-1.$$

Por lo tanto, $\theta ={\beta }^2-1$.

Polinomio Mínimo de $\beta$:
El polinomio mínimo de $\beta$ sobre $\mathbb{Q}$ es $g(y)=y^4+2y^2+2$, obtenido al sustituir $x=y-1$ en $f(x)$.

Polinomio Mínimo de $\gamma ={\beta }^2$:
Sea $\gamma ={\beta }^2$. Sustituyendo en $g(y)$, llegamos a:

$${\gamma }^2+2\gamma +2=0\Rightarrow \gamma =-1\pm i.$$

Así, $\gamma$ genera la extensión $\mathbb{Q}(i)$, que tiene grado 2 sobre $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\theta =\gamma -1$ también genera $\mathbb{Q}(i)$, y $[\mathbb{Q}(\theta ):\mathbb{Q}]=2$.

Comparación de Grados:
Dado que $[\mathbb{Q}(\theta ):\mathbb{Q}]=2$ y $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$, se sigue que $\mathbb{Q}(\theta )$ es un subcampo propio de $\mathbb{Q}(\alpha )$.

Conclusión:
$\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )\ne \mathbb{Q}(\alpha )$.

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Respuesta Final

1. El polinomio $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$:

   $$\boxed{Irreducible}$$

2. La extensión generada por ${\alpha }^2+2\alpha$ es estrictamente menor que la generada por $\alpha$:

   $$\boxed{\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )\ne \mathbb{Q}(\alpha )}$$

Hola, voy a poner los pensamientos que tuvo en los dos casos, traducidos al español y editados de manera que las circulaciones puedan verse bien en el blog. Al menos esa va a ser la indicación que le voy a dar a la inteligencia artificial.

Bueno, voy a abordar este problema paso a paso. Primero, tenemos el polinomio $f(x)=x^4+4x^3+8x^2+8x+5$, que ya se ha demostrado que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (los racionales). Ahora, necesitamos verificar si sigue siendo irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, la extensión de $\mathbb{Q}$ obtenida al adjuntar $\sqrt{3}$. Luego, dado que $\alpha$ es una raíz compleja de $f(x)$, debemos determinar si $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )$ es igual a $\mathbb{Q}(\alpha )$.

**Primera parte: Irreducibilidad de $f(x)$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$**

1. **Grado de la extensión**: $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ es una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}$, es decir, $[\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=2$, ya que $\sqrt{3}$ satisface la ecuación cuadrática $x^2-3=0$.

2. **Posible factorización de $f(x)$**: Si $f(x)$ se factoriza sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, podría dividirse en factores cuadráticos o lineales. Sin embargo, como $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, no puede tener factores lineales sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ a menos que $\sqrt{3}$ esté relacionado con las raíces de $f(x)$.

3. **Análisis de raíces**: Evaluamos $f(x)$ en valores racionales (por ejemplo, $x=-1,0,-2$) y encontramos que no tiene raíces racionales. Además, al calcular las raíces mediante la sustitución $y=x+1$, transformamos $f(x)$ en $g(y)=y^4+2y^2+2$, cuyas raíces son complejas ($y^2=-1\pm i$). Esto implica que todas las raíces de $f(x)$ son complejas y no reales, por lo que $f(x)$ no tiene raíces en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subseteq \mathbb{R}$.

4. **Intento de factorización en cuadráticas**: Suponemos que $f(x)$ se factoriza como $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ con coeficientes en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, encontramos contradicciones (como la necesidad de que $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$, lo cual es falso). Esto confirma que $f(x)$ no puede factorizarse en cuadráticas sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

5. **Teorema de irreducibilidad**: Dado que $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y $\gcd (2,4)=1$, por un teorema de teoría de campos, $f(x)$ permanece irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

**Segunda parte: $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )$ vs. $\mathbb{Q}(\alpha )$**

1. **Relación entre $\alpha$ y $\beta$**: Mediante la sustitución $\beta =\alpha +1$, reescribimos $f(x)$ como $g(y)=y^4+2y^2+2$. Así, $\alpha =\beta -1$.

2. **Expresión de ${\alpha }^2+2\alpha$**: Calculamos ${\alpha }^2+2\alpha =(\beta -1{)}^2+2(\beta -1)={\beta }^2-1$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )=\mathbb{Q}({\beta }^2-1)$.

3. **Grados de extensiones**:

- $\beta$ satisface $g(y)=0$, lo que implica $[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=4$.

- ${\beta }^2$ satisface ${\gamma }^2+2\gamma +2=0$, una ecuación cuadrática, por lo que $[\mathbb{Q}({\beta }^2):\mathbb{Q}]=2$.

4. **Subcampo propio**: Dado que $\mathbb{Q}({\beta }^2)$ es un subcampo cuadrático de $\mathbb{Q}(\beta )$, se concluye que $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )⊊\mathbb{Q}(\alpha )$.

**Respuesta Final**

1. El polinomio $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$:

$\boxed{{\displaystyle \text{Irreducible}}}$.

2. $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )$ no es igual a $\mathbb{Q}(\alpha )$:

$\boxed{{\displaystyle \mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )\mathrm{\ne }\mathbb{Q}(\alpha )}}$.

```

Solución detallada al problema:

Revisemos el problema paso a paso, corrigiendo el enfoque inicial donde se consideró incorrectamente la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ en lugar de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.

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1. Irreducibilidad de $f(x)$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

Polinomio original:
Dado $f(x)=x^4+4x^3+8x^2+8x+5$, que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

Transformación:
Con el cambio de variable $y=x+1$, obtenemos:

$$g(y)=y^4+2y^2+2.$$

Este polinomio también es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, como se verificó previamente.

Extensión correcta:
Ahora analizamos la irreducibilidad de $g(y)$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.

Teorema clave:
Si $K\mathrm{/}F$ es una extensión de grado $n$ y $f(x)\in F[x]$ es irreducible de grado $m$ con $\gcd (n,m)=1$, entonces $f(x)$ sigue siendo irreducible sobre $K$.

Aplicación:

• $F=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, $[K:F]=3$.

• $\mathrm{deg}(g)=4$ y $\gcd (3,4)=1$.

Conclusión:
$g(y)$ (y por tanto $f(x)$) sigue siendo irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.

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2. ¿Es $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )=\mathbb{Q}(\alpha )$?

Definiciones:
Sea $\alpha$ una raíz de $f(x)$. Definimos:

$$\beta =\alpha +1\Rightarrow \alpha =\beta -1.$$

Calculamos $\theta ={\alpha }^2+2\alpha$:

$$\theta =(\beta -1{)}^2+2(\beta -1)={\beta }^2-1.$$

Polinomio mínimo de $\beta$:
$g(y)=y^4+2y^2+2$.
Sea $\gamma ={\beta }^2$. Entonces:

$${\gamma }^2+2\gamma +2=0\Rightarrow \gamma =-1\pm i\mathrm{.}$$

Por lo tanto, $\mathbb{Q}(\gamma )=\mathbb{Q}(i)$, que es una extensión de grado 2 sobre $\mathbb{Q}$.

Subcampo generado por $\theta$:
Como $\theta =\gamma -1$, entonces:

$$\mathbb{Q}(\theta )=\mathbb{Q}(i),$$

que es un subcampo propio de $\mathbb{Q}(\alpha )$ (ya que $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$).

Conclusión:

$$\boxed{{\displaystyle \mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )\mathrm{\ne }\mathbb{Q}(\alpha )}}\mathrm{.}$$

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Resumen de resultados

1. Irreducibilidad sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$:
   $f(x)$ sigue siendo irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, gracias al teorema de extensiones con grados coprimos.

2. Subcampo $\mathbb{Q}({\alpha }^2+2\alpha )$:
   Es igual a $\mathbb{Q}(i)$, un subcampo propio de $\mathbb{Q}(\alpha )$, por lo que no coinciden.

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Nota final:
La corrección de la extensión a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ no afectó la segunda parte del problema, ya que esta depende únicamente de la estructura de $\mathbb{Q}(\alpha )$. Los resultados son consistentes y están rigurosamente justificados.

Ahora comparamos con las indicaciones que dan los seres humanos en el foro de matemáticas de rincón matemático.

Pista para resolver el problema:

Aplica la misma idea que aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2723933/prove-that-the-polynomial-x43x3-is-irreducible-over-the-field-mathbbq2

Saludos.

Bueno, el usuario quiere que traduzca y formatee correctamente su intento de demostración sobre la irreducibilidad del polinomio f(x) = x⁴ + 3x + 3 sobre Q[2¹/³]. Primero, reviso su enfoque actual. Usa el criterio de Eisenstein para mostrar que f(x) es irreducible sobre Q, lo que está bien. Luego menciona los grados de las extensiones Q(α) y Q(2¹/³), que son 4 y 3 respectivamente. Al calcular el grado de la extensión compuesta Q(α, 2¹/³), deduce que debe ser 12, asumiendo que 4 y 3 son coprimos. Esto es correcto, pero quizás necesita justificar más por qué el grado es exactamente 12 y no un divisor de 12.

Veo que el usuario intenta usar el teorema de que si dos extensiones tienen grados coprimos, el grado de su compositum es el producto. Sin embargo, debería asegurarse de que Q(α) y Q(2¹/³) sean linealmente disjuntas sobre Q. Como f(x) es irreducible sobre Q y x³ - 2 también, y dado que no comparten raíces, es probable que sean disjuntas, pero necesita mencionar esto explícitamente.

También nota que el usuario no ha probado completamente que [Q(α, 2¹/³) : Q] = 12, solo lo supone. Debería aconsejarle que verifique que las extensiones no se intersecten más allá de Q, es decir, que Q(α) ∩ Q(2¹/³) = Q. Esto se puede hacer mostrando que los grados son coprimos y usando el teorema de las torres.

Finalmente, al traducir, debo asegurarme de que todas las ecuaciones estén en LaTeX y que la estructura sea clara para publicar en un blog. También resaltar los pasos clave y las conclusiones con cuadros o formatos especiales para facilitar la lectura.

Demostración de la irreducibilidad de $f(x)=x^4+3x+3$ sobre $\mathbb{Q}(2^{1\mathrm{/}3})$:

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Paso 1: Irreducibilidad sobre $\mathbb{Q}$

Aplicamos el criterio de Eisenstein al polinomio $f(x)=x^4+3x+3$.

• Primo elegido: $p=3$.

• Verificación:

  • $3\nmid 1$ (coeficiente líder).

  • $3\mid 3$, $3\mid 3$, $3\mid 0$ (coeficientes de $x^3$, $x^2$, término constante).

  • $3^2=9\nmid 3$.

Por tanto, $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

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Paso 2: Grados de las extensiones

• Sea $\alpha \in \mathbb{C}$ una raíz de $f(x)$. Entonces:

  $$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4.$$

• Sea $\beta =2^{1\mathrm{/}3}$. El polinomio mínimo de $\beta$ es $x^3-2$, luego:

  $$[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=3.$$

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Paso 3: Grado de la extensión compuesta $\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$

Usamos la fórmula de los grados para extensiones:

$$[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\alpha )]\cdot [\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\beta )]\cdot [\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]\mathrm{.}$$

Sustituyendo los valores:

$$[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]=4\cdot [\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\alpha )]=3\cdot [\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\beta )]\mathrm{.}$$

Esto implica que $[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]$ es múltiplo de $\text{mcm}(4,3)=12$.

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Paso 4: Demostración de $[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]=12$

Para probar que el grado es exactamente $12$, verificamos que $\mathbb{Q}(\alpha )$ y $\mathbb{Q}(\beta )$ son linealmente disjuntas sobre $\mathbb{Q}$.

• Intersección de las extensiones:

  $$\mathbb{Q}(\alpha )\cap \mathbb{Q}(\beta )=\mathbb{Q}\mathrm{.}$$

  • $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$ y $[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=3$, con $\gcd (4,3)=1$.

  • Por el teorema de las torres, la intersección no puede contener subextensiones no triviales.

Por tanto:

$$[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]\cdot [\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=4\cdot 3=12.$$

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Paso 5: Conclusión sobre la irreducibilidad

Dado que $[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\beta )]=4$, el grado de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}(\beta )$ es $4$. Esto implica que el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}(\beta )$ tiene grado $4$, es decir, $f(x)$ no se factoriza en $\mathbb{Q}(\beta )[x]$.

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Resultado final:

$$\boxed{{\displaystyle f(x)=x^4+3x+3\text{ es irreducible sobre }\mathbb{Q}(2^{1\mathrm{/}3})}}\mathrm{.}$$

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Explicación gráfica

Paso	Acción	Conclusión
1	Eisenstein en $\mathbb{Q}$	$f(x)$ irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.
2	Grados de $\mathbb{Q}(\alpha )$ y $\mathbb{Q}(\beta )$	$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$, $[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=3$.
3	Fórmula de grados para $\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$	Grado múltiplo de $12$.
4	Disjointness de las extensiones	$[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]=12$.
5	Grado de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}(\beta )$	$f(x)$ irreducible en $\mathbb{Q}(\beta )[x]$.

Ahora ponemos las consideraciones qué hace la persona que responde al comentario y pregunta que ha hecho la persona que se dirige al foro para obtener información

Pista:
Ya sabes que $[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]\ge 12$. Por lo tanto, basta demostrar que $[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]\le 12$. Observa que:

$$[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}(\alpha )]\le 3,$$

ya que $2^{1\mathrm{/}3}$ es raíz de un polinomio de grado 3 con coeficientes en $\mathbb{Q}(\alpha )$ (¿adivina cuál?).

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Alternativa usando divisibilidad:
Sabemos que:

• $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$,

• $[\mathbb{Q}(2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]=3$.

Como ambos grados dividen $[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]$, se cumple:

$$12\mid [\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]\mathrm{.}$$

Si logramos demostrar que $[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]\le 12$, entonces $[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]=12$, y por ende $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(2^{1\mathrm{/}3})$.

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Clave final:
El polinomio $x^3-2$ (que tiene a $2^{1\mathrm{/}3}$ como raíz) está en $\mathbb{Q}(\alpha )[x]$. Por tanto, $[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}(\alpha )]\le 3$. Combinando esto con $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$:

$$[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha ,2^{1\mathrm{/}3}):\mathbb{Q}(\alpha )]\cdot [\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]\le 3\cdot 4=12.$$

Esto completa la demostración.