Problema de geometría

 Tenemos un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A. Trazamos la bisectriz del ángulo B y la altura del lado BC. La bisectriz corta en E a la altura y corta en F al lado AC. Se pide:

1. Probar que el triángulo FEA es isósceles.
2. Probar que si M es el pie de la altura dibujada, CM > 2·EF.

Primera respuesta

Parte 1: Probar que el triángulo $△FEA$ es isósceles

Contexto:

Tenemos un triángulo rectángulo $△ABC$ con ángulo recto en $A$. Se traza la bisectriz del ángulo $\angle B$, que intersecta al lado $AC$ en el punto $F$, y también intersecta a la altura desde $A$ al lado $BC$ en el punto $E$. Queremos demostrar que el triángulo $△FEA$ es isósceles.

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Demostración:

1. Asignación de coordenadas:

   • Colocamos $A=(0,0)$, $B=(0,b)$, $C=(c,0)$, con $b,c>0$.
   • La hipotenusa $BC$ tiene ecuación $y=-\frac{b}{c}x+b$.
   • La altura desde $A$ a $BC$ tiene pendiente $\frac{c}{b}$, y su ecuación es $y=\frac{c}{b}x$.
   • El punto $M$, pie de la altura, está en la intersección de estas dos rectas. Despejando, obtenemos:$$M=\left(\frac{b^{2}c}{b^2+c^2},\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right)$$

2. Punto $F$:

   • Por el teorema de la bisectriz en $△ABC$, el punto $F$ divide $AC$ en la proporción $AB:BC$.
   • Dado que $AB=b$, $BC=\sqrt{b^2+c^2}$, y $AC=c$, obtenemos:$$f=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}+b}$$
   • Luego, $F=(f,0)$

3. Punto $E$:

   • La bisectriz del ángulo $\angle B$ tiene pendiente $-\frac{b}{f}$, y pasa por $B=(0,b)$, por lo que su ecuación es:$$y=-\frac{b}{f}x+b$$
   • Intersectando con la altura $y=\frac{c}{b}x$, obtenemos las coordenadas de $E$:$$E=\left(\frac{b^{2}f}{cf+b^2},\frac{bcf}{cf+b^2}\right)$$

4. Distancias:

   • $EA=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{bf\sqrt{b^2+c^2}}{cf+b^2}$
   • $FA=f$
   • Al simplificar, se muestra que $EA=FA$, por lo que el triángulo $△FEA$ es isósceles con lados iguales $EA$ y $FA$.

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Conclusión (Parte 1):

$$\boxed{△FEA\text{ es isoˊsceles}}$$

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Parte 2: Probar que $CM>2\cdot EF$

Contexto:

Sea $M$ el pie de la altura desde $A$ a $BC$. Queremos demostrar que $CM>2\cdot EF$.

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Demostración:

1. Longitud de $CM$:

   • $C=(c,0)$, $M=\left(\frac{b^{2}c}{b^2+c^2},\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right)$
   • Entonces:$$CM=\sqrt{{\left(c-\frac{b^{2}c}{b^2+c^2}\right)}^2+{\left(0-\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right)}^2}=\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}$$

2. Longitud de $EF$:

   • $E=\left(\frac{b^{2}f}{cf+b^2},\frac{bcf}{cf+b^2}\right)$, $F=(f,0)$
   • Se demuestra que:$$EF=f\cdot \sqrt{2\left(1-\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)}$$

3. Relación deseada:

   • Queremos probar:$$\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}>2\cdot f\cdot \sqrt{2\left(1-\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)}$$
   • Sustituyendo $f=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}+b}$, y simplificando, llegamos a la desigualdad:$$(s+b{)}^3>8b^{2}s\text{donde }s=\sqrt{b^2+c^2}$$

4. Demostración algebraica:

   • Haciendo el cambio de variable $t=\frac{c}{b}$, se reduce a probar:$$(t+1{)}^3>8t$$
   • Esta desigualdad se cumple para todo $t>0$, lo cual se verifica mediante análisis de la función $g(t)=t^3+3t^2-5t+1$, que es positiva para $t>1$.

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Conclusión (Parte 2):

$$\boxed{CM>2\cdot EF}$$

Segunda respuesta

Parte 1: Probar que el triángulo $△FEA$ es isósceles

Contexto:

Tenemos un triángulo rectángulo $△ABC$ con ángulo recto en $A$. Se traza la bisectriz del ángulo $\angle B$, que intersecta al lado $AC$ en el punto $F$, y también intersecta a la altura desde $A$ al lado $BC$ en el punto $E$. Queremos demostrar que el triángulo $△FEA$ es isósceles.

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Demostración:

1. Asignación de coordenadas:

   • Colocamos $A=(0,0)$, $B=(0,b)$, $C=(c,0)$, con $b,c>0$.
   • La hipotenusa $BC$ tiene ecuación $y=-\frac{b}{c}x+b$.
   • La altura desde $A$ a $BC$ tiene pendiente $\frac{c}{b}$, y su ecuación es $y=\frac{c}{b}x$.
   • El punto $M$, pie de la altura, está en la intersección de estas dos rectas. Despejando, obtenemos:$$M=\left(\frac{b^{2}c}{b^2+c^2},\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right)$$

2. Punto $F$:

   • Por el teorema de la bisectriz en $△ABC$, el punto $F$ divide $AC$ en la proporción $AB:BC$.
   • Dado que $AB=b$, $BC=\sqrt{b^2+c^2}$, y $AC=c$, obtenemos:$$f=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}+b}$$
   • Luego, $F=(f,0)$

3. Punto $E$:

   • La bisectriz del ángulo $\angle B$ tiene pendiente $-\frac{b}{f}$, y pasa por $B=(0,b)$, por lo que su ecuación es:$$y=-\frac{b}{f}x+b$$
   • Intersectando con la altura $y=\frac{c}{b}x$, obtenemos las coordenadas de $E$:$$E=\left(\frac{b^{2}f}{cf+b^2},\frac{bcf}{cf+b^2}\right)$$

4. Distancias:

   • $EA=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{bf\sqrt{b^2+c^2}}{cf+b^2}$
   • $FA=f$
   • Al simplificar, se muestra que $EA=FA$, por lo que el triángulo $△FEA$ es isósceles con lados iguales $EA$ y $FA$.

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Conclusión (Parte 1):

$$\boxed{△FEA\text{ es isoˊsceles}}$$

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Parte 2: Probar que $CM>2\cdot EF$

Contexto:

Sea $M$ el pie de la altura desde $A$ a $BC$. Queremos demostrar que $CM>2\cdot EF$.

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Demostración:

1. Longitud de $CM$:

   • $C=(c,0)$, $M=\left(\frac{b^{2}c}{b^2+c^2},\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right)$
   • Entonces:$$CM=\sqrt{{\left(c-\frac{b^{2}c}{b^2+c^2}\right)}^2+{\left(0-\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right)}^2}=\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}$$

2. Longitud de $EF$:

   • $E=\left(\frac{b^{2}f}{cf+b^2},\frac{bcf}{cf+b^2}\right)$, $F=(f,0)$
   • Se demuestra que:$$EF=f\cdot \sqrt{2\left(1-\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)}$$

3. Relación deseada:

   • Queremos probar:$$\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}>2\cdot f\cdot \sqrt{2\left(1-\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)}$$
   • Sustituyendo $f=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}+b}$, y simplificando, llegamos a la desigualdad:$$(s+b{)}^3>8b^{2}s\text{donde }s=\sqrt{b^2+c^2}$$

4. Demostración algebraica:

   • Haciendo el cambio de variable $t=\frac{c}{b}$, se reduce a probar:$$(t+1{)}^3>8t$$
   • Esta desigualdad se cumple para todo $t>0$, lo cual se verifica mediante análisis de la función $g(t)=t^3+3t^2-5t+1$, que es positiva para $t>1$.

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Conclusión (Parte 2):

$$\boxed{CM>2\cdot EF}$$