Problema de álgebra lineal ( extraído del foro de matemáticas de rincón matemático)

 Resolvemos con inteligencia artificial

Este es un problema de álgebra lineal. Me dan un espacio vectorial real de dimensión 6, V, y un endomorfismo h de V. Por otro lado, me dicen que existen v1,v2,v3∈V tales que el K[x]-módulo definido vía h viene generado por dichos vectores, esto es, Vh=K[x](v1)+K[x](v2)+K[x](v3) (donde K=R), y además sus polinomios mínimos son (x−1)2, x2+1 y x2−x, respectivamente. Me piden hallar el polinomio mínimo y el polinomio característico del endomorfismo h.

Resuélvelo explícame la solución con detalle porque hace tiempo que no estudio esta asignatura de algebra lineal estoy un poco oxidado y no me acuerdo de muchos conceptos aunque los he estudiado hace tiempo.

Respuesta

Para resolver el problema, utilizamos los conceptos del álgebra lineal y la teoría de módulos sobre dominios principales (PID), específicamente en este caso, sobre $\mathbb{R}[x]$. El espacio vectorial $V$ tiene dimensión 6, y se define un endomorfismo $h:V\to V$ con una estructura de $\mathbb{R}[x]$-módulo inducida por $h$, donde $x$ actúa como $h$. Además, se nos dan tres vectores $v_1,v_2,v_3\in V$ que generan $V$ como $\mathbb{R}[x]$-módulo, junto con sus polinomios mínimos asociados a cada uno.

Paso 1: Estructura del Módulo

Dado que $V$ es generado por $v_1,v_2,v_3$ como $\mathbb{R}[x]$-módulo, podemos descomponer $V$ como suma directa de módulos cíclicos generados por estos vectores:

$$V\simeq \frac{\mathbb{R}[x]}{(p_1(x))}\oplus \frac{\mathbb{R}[x]}{(p_2(x))}\oplus \frac{\mathbb{R}[x]}{(p_3(x))},$$

donde $p_1(x),p_2(x),p_3(x)$ son los polinomios mínimos dados para $v_1,v_2,v_3$, respectivamente:

• $p_1(x)=(x-1{)}^2$,
• $p_2(x)=x^2+1$,
• $p_3(x)=x^2-x$.

La dimensión de cada módulo cíclico corresponde al grado del polinomio asociado, y al sumar las dimensiones:

$$\mathrm{deg}(p_1(x))+\mathrm{deg}(p_2(x))+\mathrm{deg}(p_3(x))=2+2+2=6,$$

lo cual coincide con la dimensión de $V$. Esto confirma que $V$ se descompone efectivamente en una suma directa de los tres módulos cíclicos mencionados.

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Paso 2: Determinación del Polinomio Mínimo

El polinomio mínimo de $h$, denotado ${\mu }_h(x)$, es el menor polinomio mónico tal que ${\mu }_h(h)=0$. Este polinomio debe anular a todo el operador $h$, y por lo tanto, debe ser un múltiplo común de los polinomios mínimos asociados a los generadores $v_1,v_2,v_3$. Por lo tanto, se calcula como el mínimo común múltiplo (LCM) de los polinomios mínimos dados.

Factorizando los polinomios mínimos:

• $(x-1{)}^2$,
• $x^2+1$,
• $x^2-x=x(x-1)$,

tomamos el LCM considerando las potencias máximas de cada factor irreducible:

• $x$ aparece con exponente 1 en $x(x-1)$,
• $x-1$ aparece con exponente 2 en $(x-1{)}^2$,
• $x^2+1$ aparece con exponente 1.

Por lo tanto:

$${\mu }_h(x)=\text{lcm}\left((x-1{)}^2,x^2+1,x(x-1)\right)=x(x-1{)}^2(x^2+1).$$

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Paso 3: Determinación del Polinomio Característico

El polinomio característico de $h$, denotado ${\chi }_h(x)$, se obtiene como el producto de los polinomios mínimos asociados a los módulos cíclicos que conforman la descomposición directa de $V$. En este caso:

$${\chi }_h(x)=(x-1{)}^2\cdot (x^2+1)\cdot (x^2-x).$$

Simplificando $x^2-x=x(x-1)$, obtenemos:

$${\chi }_h(x)=(x-1{)}^2\cdot (x^2+1)\cdot x(x-1)=x(x-1{)}^3(x^2+1).$$

Además, verificamos que el grado del polinomio característico sea igual a la dimensión de $V$, es decir, 6:

$$\mathrm{deg}({\chi }_h(x))=\mathrm{deg}(x)+\mathrm{deg}((x-1{)}^3)+\mathrm{deg}(x^2+1)=1+3+2=6,$$

lo cual es consistente.

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Paso 4: Verificación Adicional

El polinomio mínimo debe dividir al polinomio característico, y esto se cumple ya que:

$${\mu }_h(x)=x(x-1{)}^2(x^2+1)$$

es un factor de:

$${\chi }_h(x)=x(x-1{)}^3(x^2+1).$$

Además, el número de factores irreducibles y sus grados coinciden con la teoría de módulos sobre $\mathbb{R}[x]$, lo cual refuerza la solidez del resultado.

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Respuesta Final

El polinomio mínimo del endomorfismo $h$ es:

$$\boxed{x(x-1{)}^2(x^2+1)}.$$

El polinomio característico del endomorfismo $h$ es:

$$\boxed{x(x-1{)}^3(x^2+1)}$$

Continuación y conclusión del problema:

Para verificar que nuestras conclusiones son correctas, analicemos la estructura de $V$ como $\mathbb{R}[x]$-módulo y cómo esto determina los polinomios mínimo y característico de $h$.

1. Descomposición en submódulos cíclicos

Hemos establecido que:

donde:

• $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}((x-1{)}^2)$ tiene dimensión 2 (grado del polinomio mínimo $(x-1{)}^2$).

• $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x^2+1)$ tiene dimensión 2 (grado del polinomio $x^2+1$).

• $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x^2-x)$ tiene dimensión 2 (grado del polinomio $x^2-x$).

La suma de las dimensiones es $2+2+2=6$, lo que coincide con la dimensión de $V$, confirmando que la descomposición es efectivamente una suma directa.

2. Polinomio mínimo de $h$

El polinomio mínimo ${\mu }_h(x)$ es el mínimo común múltiplo (mcm) de los polinomios mínimos de los generadores $v_1$, $v_2$, y $v_3$:

Factorizando cada polinomio:

• $(x-1{)}^2$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$ (potencia de un factor lineal).

• $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$.

• $x^2-x=x(x-1)$ (producto de factores lineales coprimos).

El mcm se obtiene tomando cada factor irreducible con su mayor exponente:

• $x$ (de $x^2-x$) con exponente 1.

• $(x-1)$ (de $(x-1{)}^2$ y $x^2-x$) con exponente 2.

• $x^2+1$ con exponente 1.

Por lo tanto:

3. Polinomio característico de $h$

El polinomio característico ${\chi }_h(x)$ es el producto de los polinomios mínimos de los submódulos cíclicos (ya que $V$ es suma directa de ellos):

Simplificando:

4. Verificación de consistencia

• Grados:

  • ${\mu }_h(x)$ tiene grado $1+2+2=5$.

  • ${\chi }_h(x)$ tiene grado $1+3+2=6$ (coincide con $\dim V$).

  • Se cumple que ${\mu }_h(x)$ divide a ${\chi }_h(x)$, como debe ser.

• Relación con la descomposición:

  • ${\mu }_h(x)$ anula a $h$ en cada submódulo cíclico.

  • ${\chi }_h(x)$ es el producto de los polinomios característicos de cada bloque en la forma canónica racional de $h$.

5. Forma canónica de $h$

La descomposición en submódulos cíclicos sugiere que $h$ puede representarse como una matriz diagonal por bloques:

donde:

• $C_{(x-1{)}^2}$ es la matriz compañera de $(x-1{)}^2$.

• $C_{x^2+1}$ es la matriz compañera de $x^2+1$.

• $C_{x^2-x}$ es la matriz compañera de $x^2-x$.

Alternativamente, dado que $x^2-x$ se descompone en factores lineales coprimos ($x$ y $x-1$), el submódulo $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x^2-x)$ puede descomponerse aún más en:

lo que corresponde a dos bloques de Jordan de tamaño 1 para los valores propios 0 y 1. Sin embargo, esto no afecta los polinomios mínimo y característico ya calculados.

6. Resumen final

• Polinomio mínimo:

  $$\boxed{{\displaystyle x(x-1{)}^2(x^2+1)}}$$

• Polinomio característico:

  $$\boxed{{\displaystyle x(x-1{)}^3(x^2+1)}}$$

Estos resultados son consistentes con todas las propiedades algebraicas y dimensionales del problema, confirmando que la solución es correcta.

El razonamiento de la máquina:

Aquí está el texto editado con las fórmulas matemáticas en LaTeX:

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Bien, intentemos abordar este problema paso a paso. Entonces, tenemos un espacio vectorial real $V$ de dimensión 6, y un endomorfismo $h:V\to V$. Nos dicen que la estructura de módulo definida mediante $h$ (que supongo que es la estructura de $\mathbb{R}[x]$-módulo donde $x$ actúa como $h$) está generada por tres vectores $v_1$, $v_2$, $v_3$. Cada uno de estos vectores tiene un polinomio mínimo: $(x-1{)}^2$ para $v_1$, $x^2+1$ para $v_2$, y $x^2-x$ para $v_3$. Necesitamos encontrar el polinomio mínimo y el polinomio característico de $h$.

Primero, recordemos algunos conceptos. La estructura de $\mathbb{R}[x]$-módulo aquí significa que podemos multiplicar vectores en $V$ por polinomios en $x$, donde multiplicar por $x$ corresponde a aplicar el endomorfismo $h$. Entonces, por ejemplo, $x\cdot v_1$ sería $h(v_1)$, $x^2\cdot v_1$ sería $h(h(v_1))$, y así sucesivamente. El polinomio mínimo de un vector $v$ con respecto a $h$ es el polinomio mónico de menor grado tal que $p(h)(v)=0$. Esto es similar al concepto de polinomio mínimo de una matriz, pero aquí es específico para cada vector generador.

Dado que $V$ está generado por $v_1$, $v_2$, $v_3$ como un $\mathbb{R}[x]$-módulo, esto sugiere que $V$ puede expresarse como la suma directa (¿o quizás no exactamente suma directa?) de submódulos cíclicos generados por cada $v_i$. Espera, no, en realidad, cuando tienes un módulo de torsión finitamente generado sobre un DIP (como $\mathbb{R}[x]$), existe el teorema de estructura que dice que se descompone en una suma directa de módulos cíclicos. Pero como estamos trabajando sobre $\mathbb{R}[x]$, que es un DIP, esto debería aplicarse. Sin embargo, dado que el campo aquí es $\mathbb{R}$, que no es algebraicamente cerrado, algunos de los factores invariantes podrían no descomponerse en factores lineales, lo que complica las cosas en comparación con $\mathbb{C}$.

Dado que se dan los polinomios mínimos para los generadores, quizás podamos usar el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre DIP aquí. La idea clave es que el módulo $V$ es isomorfo a la suma directa de $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(p_i(x))$ para varios polinomios $p_i(x)$. Aquí, dado que está generado por tres elementos con sus respectivos polinomios mínimos, ¿quizás cada generador corresponde a uno de estos módulos cíclicos? Espera, pero el polinomio mínimo para cada generador correspondería al aniquilador de ese submódulo cíclico. Entonces, si $v_1$ genera un submódulo cíclico con polinomio mínimo $(x-1{)}^2$, entonces ese submódulo es isomorfo a $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}((x-1{)}^2)$. Igualmente para los demás.

Por lo tanto, si $V_h$ está generado por $v_1$, $v_2$, $v_3$, entonces $V_h$ podría ser isomorfo a la suma directa de esos tres módulos cíclicos. Es decir:

Pero espera, ¿el hecho de estar generado por esos tres elementos implica que todo el módulo es la suma directa? No necesariamente; podrían superponerse. Sin embargo, dado que cada uno de estos módulos es cíclico y sus aniquiladores son diferentes, ¿quizás forman una suma directa? Hmm. El teorema de estructura nos dice que cualquier módulo de torsión finitamente generado sobre un DIP es una suma directa de módulos cíclicos cuyos aniquiladores son potencias de ideales primos. En nuestro caso, sobre $\mathbb{R}[x]$, los primos son lineales (como $(x-a)$) o cuadráticos irreducibles (como $x^2+1$, o $x^2-x$ si es irreducible, pero espera, $x^2-x$ se factoriza como $x(x-1)$, ¿verdad?

Espera, un momento. Verifiquemos los polinomios:

• Para $v_1$: $(x-1{)}^2$. El polinomio mínimo es $(x-1{)}^2$. Como es una potencia de un factor lineal.

• Para $v_2$: $x^2+1$. Este es irreducible sobre $\mathbb{R}$, por lo que es un ideal primo en $\mathbb{R}[x]$.

• Para $v_3$: $x^2-x$. Espera, $x^2-x$ se factoriza como $x(x-1)$. Entonces, este polinomio es reducible sobre $\mathbb{R}$. Por lo tanto, el polinomio mínimo de $v_3$ es $x^2-x$. ¿Pero el polinomio mínimo debe ser irreducible? No, espera, no. El polinomio mínimo de un operador lineal puede ser reducible, dependiendo de su descomposición. Pero, para un vector que genera un módulo cíclico, el polinomio mínimo es simplemente el polinomio mónico de menor grado tal que $p(h)(v)=0$. Así que incluso si se factoriza, siempre que sea el polinomio mínimo, está bien.

Entonces, $x^2-x$ se factoriza, pero si ese es el polinomio mínimo para $v_3$, entonces debe ser que ni $x$ ni $x-1$ aniquilan a $v_3$. Entonces, $h(v_3)\mathrm{\ne }0$ y $h(v_3)\mathrm{\ne }{v}_3$. Luego, al aplicar $h^2-h$ a $v_3$, obtenemos cero. Interesante.

Ahora, procediendo con el teorema de estructura: dado que $V$ es un $\mathbb{R}[x]$-módulo de torsión (porque cada elemento es aniquilado por algún polinomio, en particular, dado que $V$ es de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$, cualquier vector satisface alguna ecuación polinómica no nula; pero más directamente, dado que $V$ está generado por elementos de torsión (cada $v_i$ es de torsión porque tienen polinomios mínimos), entonces $V$ mismo es de torsión).

Por lo tanto, según el teorema de estructura, $V$ es isomorfo a una suma directa de módulos cíclicos primarios. Los componentes primarios corresponden a potencias de polinomios irreducibles. Sin embargo, dado que nuestro campo base es $\mathbb{R}$, debemos considerar los polinomios irreducibles sobre $\mathbb{R}$, que son lineales o cuadráticos.

Entonces, primero, enumeremos los polinomios mínimos de los generadores:

Para $v_1$: $(x-1{)}^2$. Esto es una potencia de un polinomio lineal. Así que esto contribuye con un componente primario para el primo $(x-1)$.

Para $v_2$: $x^2+1$. Este es un polinomio cuadrático irreducible sobre $\mathbb{R}$. Así que esto da un componente primario para el primo $(x^2+1)$.

Para $v_3$: $x^2-x=x(x-1)$. Esto es reducible. Sin embargo, el polinomio mínimo de $v_3$ es $x^2-x$. Pero en términos de descomposición primaria, dado que $x^2-x$ se factoriza en factores coprimos $x$ y $x-1$, podemos descomponer el módulo $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x^2-x)$ en $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x)\oplus \mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x-1)$. Porque $x$ y $x-1$ son coprimos, se aplica el Teorema Chino del Resto.

Por lo tanto, el módulo cíclico generado por $v_3$ con polinomio mínimo $x^2-x$ es en realidad isomorfo a $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x)\oplus \mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x-1)$. Lo que significaría que esta parte del módulo se divide en dos subespacios unidimensionales correspondientes a los valores propios $0$ y $1$. Pero, ¿cómo afecta esto a nuestra estructura?

Sin embargo, dado que el módulo original está generado por tres elementos $v_1$, $v_2$, $v_3$, pero debemos considerar la descomposición en componentes primarios. Si descomponemos cada uno de estos módulos cíclicos de los generadores en componentes primarios, entonces en general podemos obtener los divisores elementales.

Entonces, desglosando la contribución de cada generador:

• $v_1$: contribuye $(x-1{)}^2$ como componente primario. Así que un bloque en la forma canónica racional (si siguiéramos esa ruta) sería la matriz compañera de $(x-1{)}^2$.

• $v_2$: contribuye $x^2+1$, que ya es irreducible. Así que otro bloque sería la matriz compañera de $x^2+1$.

• $v_3$: originalmente tenía polinomio mínimo $x^2-x$, pero como eso se factoriza en $x\cdot (x-1)$, y son coprimos, como se mencionó antes, podemos escribir $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x(x-1))\cong \mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x)\oplus \mathbb{R}[x]\mathrm{/}(x-1)$. Por lo tanto, este generador $v_3$ en realidad contribuye con dos bloques unidimensionales separados correspondientes a los valores propios $0$ y $1$.

Por lo tanto, uniendo todo, los divisores elementales de $h$ serían:

De $v_1$: $(x-1{)}^2$

De $v_2$: $x^2+1$

De $v_3$: $x$ y $x-1$

Pero como necesitamos recopilarlos para todo el módulo $V$. Sin embargo, dado que $V$ es la suma directa de los módulos generados por cada $v_i$ (¿suponiendo que generan submódulos independientes?), entonces sí, podemos tomar la suma directa. Sin embargo, debemos confirmar si la suma es directa.

Pero la declaración original dice que $V$ está generado por $v_1$, $v_2$, $v_3$ como un $\mathbb{R}[x]$-módulo, pero no especifica si forman una suma directa. Por lo que podría haber superposiciones. Sin embargo, considerando que sus aniquiladores (los polinomios mínimos) son coprimos dos a dos o no.

Pensemos. Para el teorema de estructura, los factores invariantes se obtienen agrupando los divisores elementales apropiadamente. Sin embargo, si los polinomios mínimos de los generadores comparten factores comunes, entonces podría haber superposiciones.

Pero en nuestro caso, los polinomios mínimos son:

• $(x-1{)}^2$,

• $x^2+1$,

• $x(x-1)$

Nota que $x^2+1$ es irreducible y no comparte factores comunes con los otros dos polinomios. Sin embargo, $(x-1{)}^2$ y $x(x-1)$ sí comparten el factor común $(x-1)$. Por lo tanto, los módulos cíclicos generados por $v_1$ y $v_3$ pueden no ser independientes. Por lo tanto, la descomposición en suma directa podría no ser directa.

Alternativamente, usando el teorema de estructura, podemos escribir $V$ como una suma directa de módulos cíclicos con factores invariantes, que están ordenados por divisibilidad. El polinomio mínimo de $h$ es el último (mayor) factor invariante, y el polinomio característico es el producto de todos los factores invariantes.

Alternativamente, dado que tenemos un conjunto de generadores con órdenes dadas (polinomios mínimos), entonces el polinomio mínimo de $h$ es el mínimo común múltiplo (mcm) de los polinomios mínimos de los generadores. ¿Es eso correcto?

¡Sí! Recuerdo que el polinomio mínimo del operador $h$ en todo el espacio es el mcm de los polinomios mínimos de los generadores. Porque el operador debe satisfacer la condición de que aniquila todos los generadores, por lo que el polinomio mínimo debe ser un múltiplo de cada polinomio mínimo de los generadores, de ahí el mcm.

Similarmente, el polinomio característico es el producto de los polinomios mínimos de los generadores si el módulo es una suma directa de sus módulos cíclicos. Pero solo si la suma es directa. Si la suma no es directa, entonces el polinomio característico podría no ser simplemente el producto. Sin embargo, dado que sabemos que la dimensión total es 6, podemos verificar la consistencia.

Cada módulo cíclico $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(p(x))$ tiene dimensión igual al grado de $p(x)$. Entonces:

• Para $v_1$: grado de $(x-1{)}^2$ es 2 ⇒ dimensión 2.

• Para $v_2$: grado de $x^2+1$ es 2 ⇒ dimensión 2.

• Para $v_3$: grado de $x^2-x$ es 2 ⇒ dimensión 2.

Sumando: $2+2+2=6$, que coincide con la dimensión de $V$. Por lo tanto, el hecho de que las dimensiones totales sumen 6 sugiere que la suma es efectivamente directa. Porque de lo contrario, si hubiera superposiciones, la dimensión total sería menor que 6. Por lo tanto, podemos concluir que:

Por lo tanto, la descomposición es una suma directa. Por lo tanto, el polinomio mínimo de $h$ es el mínimo común múltiplo (mcm) de $(x-1{)}^2$, $x^2+1$, y $x^2-x$.

Similarmente, el polinomio característico es el producto de los polinomios mínimos de cada módulo cíclico, ya que el polinomio característico de una matriz en bloques diagonales es el producto de los polinomios característicos de cada bloque. Alternativamente, dado que cada módulo cíclico $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(p(x))$ contribuye $p(x)$ al polinomio característico. En realidad, para una matriz compañera de un polinomio $p(x)$, tanto el polinomio mínimo como el característico son $p(x)$. Por lo tanto, sí, si tenemos una suma directa de matrices compañeras, entonces el polinomio característico es el producto de los polinomios característicos individuales (es decir, el producto de los polinomios correspondientes a cada bloque). Por lo tanto, el polinomio característico es el producto de $(x-1{)}^2$, $x^2+1$, y $x^2-x$.

Entonces primero, calculemos el polinomio mínimo, que es $\text{mcm}\{(x-1{)}^2,x^2+1,x^2-x\}$.

Para calcular el mcm, factorizamos cada polinomio en irreducibles:

• $(x-1{)}^2$ se mantiene como está.

• $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$.

• $x^2-x$ se factoriza como $x(x-1)$.

Por lo tanto, el mcm debe incluir la mayor potencia de cada factor irreducible presente en cualquiera de los polinomios.

Los factores irreducibles son:

• $x-1$: aparece con exponente 2 en $(x-1{)}^2$ y exponente 1 en $x(x-1)$. Tomamos $(x-1{)}^2$.

• $x$: aparece una vez en $x(x-1)$. Ya que $x$ no aparece en los otros polinomios.

Por lo tanto, la descomposición es una suma directa. Por lo tanto, el polinomio mínimo de $h$ es el mínimo común múltiplo (mcm) de $(x-1{)}^2$, $x^2+1$, y $x^2-x$.

Similarmente, el polinomio característico es el producto de los polinomios mínimos de cada módulo cíclico, ya que el polinomio característico de una matriz en bloques diagonales es el producto de los polinomios característicos de cada bloque. Alternativamente, dado que cada módulo cíclico $\mathbb{R}[x]\mathrm{/}(p(x))$ contribuye $p(x)$ al polinomio característico. En realidad, para una matriz compañera de un polinomio $p(x)$, tanto el polinomio mínimo como el característico son $p(x)$. Por lo tanto, sí, si tenemos una suma directa de matrices compañeras, entonces el polinomio característico es el producto de los polinomios característicos individuales (es decir, el producto de los polinomios correspondientes a cada bloque). Por lo tanto, el polinomio característico es el producto de $(x-1{)}^2$, $x^2+1$, y $x^2-x$.

Entonces primero, calculemos el polinomio mínimo, que es $\text{mcm}\{(x-1{)}^2,x^2+1,x^2-x\}$.

Para calcular el mcm, factorizamos cada polinomio en irreducibles:

• $(x-1{)}^2$ se mantiene como está.

• $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$.

• $x^2-x$ se factoriza como $x(x-1)$.

Por lo tanto, el mcm debe incluir la mayor potencia de cada factor irreducible presente en cualquiera de los polinomios.

Los factores irreducibles son:

• $x-1$: aparece con exponente 2 en $(x-1{)}^2$ y exponente 1 en $x(x-1)$. Tomamos $(x-1{)}^2$.

• $x$: aparece una vez en $x(x-1)$. Ya que $x$ no aparece en los otros polinomios.

• $x^2+1$: aparece una vez.

Por lo tanto, el mcm es:

$$x\cdot (x-1{)}^2\cdot (x^2+1)$$

Por lo tanto, el polinomio mínimo ${\mu }_h(x)=x(x-1{)}^2(x^2+1)$.

Ahora, el polinomio característico ${\chi }_h(x)$ es el producto de los polinomios mínimos de cada módulo cíclico. Dado que tenemos una suma directa de tres módulos:

$${\chi }_h(x)=(x-1{)}^2\cdot (x^2+1)\cdot (x^2-x)$$

Multiplicándolos:

Primero, multiplicamos $(x-1{)}^2$ y $x^2-x$:

$$(x-1{)}^2\cdot x(x-1)=x(x-1{)}^3$$

Luego multiplicamos por $x^2+1$:

$$x(x-1{)}^3\cdot (x^2+1)$$

Alternativamente, el orden no importa:

$$[(x-1{)}^2\cdot (x^2-x)]\cdot (x^2+1)=[(x-1{)}^2\cdot x(x-1)]\cdot (x^2+1)=x(x-1{)}^3(x^2+1)$$

De cualquier manera, el polinomio característico es:

$$x(x-1{)}^3(x^2+1)$$

Verifiquemos los grados:

• Grado de $(x-1{)}^2$: 2

• Grado de $x^2+1$: 2

• Grado de $x^2-x$: 2

Grado total: $2+2+2=6$, que coincide con la dimensión de $V$. El polinomio característico debe tener grado 6, por lo que esto concuerda.

Alternativamente, expandiendo ${\mu }_h(x)=x(x-1{)}^2(x^2+1)$ tiene grado $1+2+2=5$, que es menor que 6, lo cual está bien porque el polinomio mínimo divide al polinomio característico (por Cayley-Hamilton), lo cual se cumple aquí.

Por lo tanto, el polinomio mínimo es ${\mu }_h(x)=x(x-1{)}^2(x^2+1)$, y el polinomio característico es ${\chi }_h(x)=x(x-1{)}^3(x^2+1)$.

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Respuesta Final
El polinomio mínimo es $\boxed{{\displaystyle x(x-1{)}^2(x^2+1)}}$ y el polinomio característico es $\boxed{{\displaystyle x(x-1{)}^3(x^2+1)}}$.