Pareto

 La inteligencia artificial y el foro de matemáticas

$x_0 +x_1=7_a$

enunciado de la indicación que le he hecho a la inteligencia artificial: Este problema pertenece a la estadística avanzada. Qué pido que la resuelvas a razonadamente.

Sean cuatro variables aleatorias con distribución Pareto independientes, con soporte positivo y media uno. Cuánto vale    P(X1+X2+X3+X4<5).

### Descripción del problema

Se nos dan **cuatro variables aleatorias independientes con distribución de Pareto**, definidas en el dominio positivo ($ X_i \in (0, \infty) $), y con **media igual a 1**. Se pide calcular:

$$ P(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 < 5) $$

### Observaciones clave

La **distribución de Pareto** se define por dos parámetros:

- **Parámetro de forma** $ \alpha > 1 $         - **Parámetro de escala** $ x_m > 0 $

La **media** de una distribución de Pareto es:   

$$ \mathbb{E}[X] = \frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}, \quad \text{para } \alpha > 1 $$

Dado que la media es 1, podemos despejar $ x_m $ en función de $ \alpha $:

$$ x_m = \frac{\alpha - 1}{\alpha}$$

Sin embargo, **no se proporciona el valor de $ \alpha $**, lo cual es crucial para determinar la distribución exacta de las variables.

### Dificultad: Parámetro de forma no especificado

El problema está **mal definido** sin conocer el parámetro de forma $ \alpha $. Esto genera una **familia infinita de distribuciones de Pareto** compatibles con las condiciones dadas.

Además, la **suma de variables de Pareto independientes** no tiene una forma cerrada conocida, y su distribución depende fuertemente de $ \alpha $. Por tanto, **no es posible resolver el problema de manera única** sin más información.

## Estrategia alternativa: Distribución exponencial como caso límite

Una opción razonable es considerar el **caso límite de la distribución de Pareto cuando $ \alpha \to \infty $**, que converge a una **distribución exponencial** con media 1.

Bajo esta suposición:

- Si cada $ X_i \sim \text{Exp}(1) $, entonces la suma $ S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim \text{Gamma}(4, 1) $

- La probabilidad pedida se calcula usando la **función de distribución acumulativa (CDF)** de una distribución Gamma:

$$ P(S < 5) = 1 - e^{-5} \left(1 + 5 + \frac{25}{2} + \frac{125}{6} \right) $$

Realizando los cálculos:

$$ P(S < 5) \approx 1 - e^{-5} \cdot 39.3333 \approx 1 - 0.006738 \cdot 39.3333 \approx 1 - 0.265 = 0.735 $$

Redondeando a dos decimales:

$$ \boxed{0.74} $$

# Conclusión

Dado que el **parámetro de forma $ \alpha $** no fue especificado, el problema está **subdeterminado**. Sin embargo, si se asume una **distribución exponencial** (caso límite de Pareto con $ \alpha \to \infty $), la probabilidad de que la suma sea menor que 5 es aproximadamente:

$$ \boxed{0.74}$$