Más enteros de Gauss

 Ahora probando de nuevo varias inteligencias artificiales

Capítulo IV – Los enteros de Gauss

4.1 Sumas de dos cuadrados (I)

¿Qué números naturales pueden escribirse como suma de dos cuadrados?

Para explorar esta pregunta, calculamos todos los números ≤100 que son de la forma x² + y² con x, y enteros:

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17,
18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41,
45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72,
73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100

1. Observación de escala: Si n = x² + y² es suma de dos cuadrados, entonces para cualquier entero k, se tiene

k²·n = (k x)² + (k y)²,

es decir, todos los múltiplos cuadrados k²·n también son sumas de dos cuadrados. Por eso podemos tachar de la lista aquellos números que aparezcan solo por ser k²·n con n ya en la tabla:

4 = 2²·1    8 = 2²·2    9 = 3²·1   16 = 4²·1   18 = 3²·2   20 = 2²·5
25 = 5²·1   32 = 4²·2   36 = 6²·1  40 = 2²·10  45 = 3²·5  49 = 7²·1
50 = 5²·2   52 = 2²·13  64 = 8²·1  68 = 2²·17  72 = 6²·2  80 = 4²·5
81 = 9²·1   90 = 3²·10  98 = 7²·2 100 = 10²·1

Después de quitar esos casos, quedan como «nuevos»:

0, 1, 2, 5, 2·5=10, 13, 17, 2·13=26, 29, 2·17=34, 37,
41, 53, 2·29=58, 61, 5·13=65, 73, 2·37=74, 2·41=82, 5·17=85, 89, 97

Al descomponer estos últimos en factores primos, notamos dos hechos:

• (i) Si k²·n es suma de dos cuadrados, siempre n lo fue originalmente.

• (ii) Todos los factores primos de los números que quedan también aparecen en la tabla inicial.

Estos patrones sugieren la conjetura:

Un número entero no nulo m es suma de dos cuadrados si y sólo si su parte libre de cuadrados (el producto de los primos que lo dividen con exponente impar) es suma de dos cuadrados.

Además, un entero libre de cuadrados es suma de dos cuadrados exactamente cuando todos sus factores primos lo son.

Por tanto, el problema se reduce a entender qué primos se expresan como suma de dos cuadrados. En nuestra lista aparecen:

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, …

Conjetura final (de Fermat):

Un número natural no nulo es suma de dos cuadrados si y sólo si en su descomposición en primos, los factores con exponentes impares son o bien el 2, o bien primos congruentes con 1 (módulo 4).

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Principio de la demostración:

1. Productos de sumas de cuadrados.

La identidad $(a²+b²)(c²+d²) = (a c - b d)² + (a d + b c)²$

muestra que el producto de dos números exprimibles como suma de dos cuadrados también puede expresarse así.

2. División por un primo.

Si p es un primo tal que p = u² + v² y a = r² + s², entonces se prueba que el cociente b = a/p es también suma de cuadrados. Ello se sigue factorizando (u s ± r v) y usando divisibilidad por p.

3. Caracterización de primos divisores.

Si p divide a² + b² con (a,b)=1, se demuestra (por un argumento de descensos) que p = x² + y². Así, un entero libre de cuadrados es suma de cuadrados si y sólo si cada primo que lo divide lo es.

4. Primos ≡1 (mód 4).

Se muestra que si p ≡ 1 (mód 4), entonces existe a tal que p | ((a+1)²ⁿ − a²ⁿ) y, tras un argumento con restos menores de p y factoriales, se llega a p expresado como suma de cuadrados.

Este bosquejo completa la prueba de la conjetura de Fermat sobre sumas de dos cuadrados.

 por favor explícame con detalle esta propiedad: Si p es un primo tal que p = u² + v² y a = r² + s², entonces se prueba que el cociente b = a/p es también suma de cuadrados. Ello se sigue factorizando (u s ± r v) y usando divisibilidad por p.

Pensó durante un segundo

Vamos a demostrar paso a paso que, si $p$ es un primo que podemos escribir como

$$p = u^2 + v^2$$

y $a$ es otro entero que también es suma de cuadrados,

$$a = r^2 + s^2,$$

entonces el cociente

$$b \;=\;\frac{a}{p}$$

es también suma de cuadrados.

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1. El producto $(r^2 + s^2)(u^2 + v^2)$

Observa primero que

$$a\,p \;=\;(r^2 + s^2)\,(u^2 + v^2).$$

Gracias a la identidad de Brahmagupta–Euler para el producto de sumas de cuadrados,

$$(r^2 + s^2)(u^2 + v^2) \;=\;(r\,u - s\,v)^2 + (r\,v + s\,u)^2.$$

Por tanto tenemos

$$a\,p \;=\;(r\,u - s\,v)^2 \;+\;(r\,v + s\,u)^2.$$

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2. Factorización clave

Fíjate ahora en los dos números enteros

$$X = u\,s - r\,v, \qquad Y = u\,s + r\,v.$$

Si los multiplicas, resulta

$$X\,Y = (u\,s - r\,v)\,(u\,s + r\,v) = u^2s^2 - r^2v^2 = u^2(s^2 + r^2) - r^2(u^2 + v^2) = u^2\,a \;-\; r^2\,p.$$

Como $p$ divide $p\,r^2$, la última igualdad implica que

$$p \;\bigm|\; X\,Y.$$

Y como $p$ es primo, concluimos que $p$ divide a $X$ o $p$ divide a $Y$.

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3. Caso 1: $p\mid Y$

Supongamos $p\mid Y = u\,s + r\,v$. Entonces también divide al cuadrado:

$$p \;\bigm|\;(u\,s + r\,v)^2.$$

Volvamos a la suma de cuadrados de $a\,p$:

$$a\,p = (r\,u - s\,v)^2 + (r\,v + s\,u)^2.$$

Si $p\mid (r\,v + s\,u)^2$, entonces el otro cuadrado $(r\,u - s\,v)^2$ queda congruente con $a\,p$ módulo $p^2$. Más precisamente,

$$(r\,u - s\,v)^2 \;\equiv\; a\,p \;\pmod{p^2}.$$

De aquí se deduce que $\displaystyle \frac{(r\,u - s\,v)^2}{p^2} + \frac{(r\,v + s\,u)^2}{p^2} = \frac{a\,p}{p^2} = \frac{a}{p}$ es suma de cuadrados de enteros:

$$b = \frac{a}{p} = \Bigl(\frac{r\,u - s\,v}{p}\Bigr)^{2} \;+\;\Bigl(\frac{r\,v + s\,u}{p}\Bigr)^{2}.$$

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4. Caso 2: $p\mid X$

Si $p\mid X = u\,s - r\,v$, razonamos igual pero usando la identidad alternativa

$$(r^2 + s^2)(u^2 + v^2) = (s\,u - r\,v)^2 + (s\,v + r\,u)^2.$$

De nuevo el factor divisible por $p$ se anula al dividir entre $p^2$ y queda

$$b = \frac{a}{p} = \Bigl(\frac{s\,u - r\,v}{p}\Bigr)^{2} \;+\;\Bigl(\frac{s\,v + r\,u}{p}\Bigr)^{2}.$$

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Conclusión

En ambos casos el cociente

$$b = \frac{a}{p}$$

queda expresado como suma de dos cuadrados de enteros, lo que demuestra la propiedad deseada.

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Comentarios finales

• El punto clave es que, al factorizar $(u\,s \pm r\,v)(u\,s \mp r\,v)$, nos aseguramos de que uno de esos factores sea múltiplo de $p$.

• Luego, al dividir la representación de $a\,p$ (suma de cuadrados) entre $p^2$, obtenemos una nueva representación de $b$ como suma de dos cuadrados.

Si algo no ha quedado claro o quieres repasar algún paso con más ejemplos numéricos, ¡dímelo!

Aclaramos algunos aspectos de lo anterior repitiendo unos fragmentos de lo ya visto.

Explicación para Principiantes: Números como Suma de Dos Cuadrados

¡Hola! Vamos a explorar un tema fascinante: qué números se pueden escribir como suma de dos cuadrados perfectos. Por ejemplo, $5=1^2+2^2$ o $25=3^2+4^2$. Pero no todos los números pueden expresarse así. ¿Por qué? Aquí está la clave:

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Conceptos Básicos

1. Parte libre de cuadrados:

   • Todo número entero se puede descomponer como $m=k^2\cdot n$, donde $n$ no tiene factores cuadrados (ejemplo: $12=2^2\cdot 3$, su parte libre de cuadrados es $3$).

   • Los primos en $n$ son aquellos que aparecen con exponente impar en la factorización de $m$.

2. Conjetura Principal:

   • Un número es suma de dos cuadrados $\iff$ Su parte libre de cuadrados también lo es.

   • Ejemplo: $45=9\cdot 5=3^2\cdot 5$. Su parte libre es $5$, y como $5=1^2+2^2$, entonces $45=3^2\cdot (1^2+2^2)=3^2+6^2=9+36=45$.

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¿Qué Primos son Suma de Dos Cuadrados?

Observemos los primos que sí cumplen:

$$2,5,13,17,29,37,41,\dots$$

Patrón clave: Todos son 2 o primos congruentes con 1 módulo 4 (es decir, primos $p$ tales que $p=4k+1$ para algún $k$).

Ejemplo:

• $5=4\cdot 1+1$, y $5=1^2+2^2$.

• $13=4\cdot 3+1$, y $13=2^2+3^2$.

¿Por qué no funcionan primos como $3,7,11$ (congruentes con 3 módulo 4)?

• Si intentas escribir $3=a^2+b^2$, las opciones son $0^2+(\pm 1{)}^2=1$ o $(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2=2$. ¡Ninguna da 3!

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Demostración Intuitiva

1. Condición Necesaria:

   • Si $p=a^2+b^2$, entonces $p$ no puede ser congruente con 3 módulo 4.
     Razón: Los cuadrados módulo 4 son $0$ o $1$.

     • $0^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$,

     • $1^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$,

     • $2^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$,

     • $3^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$.

     • Entonces, $a^2+b^2\equiv 0,1,$ o $2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, pero nunca 3.

2. Condición Suficiente (para primos $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$):

   • Usando el Teorema de Fermat: Si $p=4k+1$, existe un número $x$ tal que $x^2\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.

   • Esto implica que $p$ divide a $x^2+1$, y con herramientas de teoría de números, se prueba que $p$ debe ser suma de dos cuadrados.

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Producto de Sumas de Cuadrados

Hay una fórmula mágica que permite combinar sumas de cuadrados:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2\mathrm{.}$$

Ejemplo:
$5=1^2+2^2$ y $13=2^2+3^2$. Su producto es:

$$5\cdot 13=(1\cdot 2-2\cdot 3{)}^2+(1\cdot 3+2\cdot 2{)}^2=(-4{)}^2+7^2=16+49=65.$$

¡Funciona! Esto explica por qué números compuestos pueden ser suma de cuadrados si sus factores primos lo son.

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Resumen Final

• Un número es suma de dos cuadrados si y solo si:

  1. En su factorización prima, todos los primos congruentes con 3 módulo 4 aparecen con exponente par.

  2. Ejemplo: $98=2\cdot 7^2$.

     • El primo $7\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ está al cuadrado (exponente par), y $2$ es un primo permitido.

     • Entonces, $98=7^2+7^2=49+49=98$.

• Si un primo $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, siempre podrá escribirse como suma de dos cuadrados.

¡Espero que esto te ayude a entender mejor este tema! Si tienes dudas, no dudes en preguntar.

Otra  versión.

Versión editada y estructurada del texto:

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4.1. Sumas de dos cuadrados I

Definición clave:
Todo número entero positivo $m$ puede escribirse de forma única como:

$$m=k\cdot 2^n\cdot v,$$

donde $v$ es libre de cuadrados (es decir, ningún primo divide a $v$ más de una vez). A $v$ se le llama la parte libre de cuadrados de $m$ .

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Conjeturas fundamentales:

1. Conjetura 1:
   Un número natural positivo $m$ es suma de dos cuadrados si y solo si su parte libre de cuadrados $v$ también lo es.

2. Conjetura 2:
   Un número natural libre de cuadrados $v$ es suma de dos cuadrados si y solo si todos los primos que lo dividen son:

   • El primo 2, o
   • Primos congruentes con $1\mathrm{mod}4$.

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Ejemplo práctico:

• Primos expresables como suma de dos cuadrados: $2=1^2+1^2$,$5=2^2+1^2$,$13=3^2+2^2$,$17=4^2+1^2$, etc.
  Estos primos tienen algo en común: son congruentes con $1\mathrm{mod}4$ (excepto el 2).

• Primos no expresables como suma de dos cuadrados: $3$, $7$, $11$, etc. (son congruentes con $3\mathrm{mod}4$).

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Demostración paso a paso:

1. Propiedad fundamental:

La identidad de productos de sumas de cuadrados es clave:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$$

Ejemplo: $(1^2+1^2)(2^2+1^2)=(1\cdot 2-1\cdot 1{)}^2+(1\cdot 1+1\cdot 2{)}^2=(1{)}^2+(3{)}^2=10$, que es $1^2+3^2$.

2. Si un primo $p$ divide a una suma de cuadrados:

Supongamos que $p$ es un primo, $a$ y $b$ son coprimos ($\gcd (a,b)=1$), y $p$ divide a $a^2+b^2$.
Demostración:

• Si $p\mid (a^2+b^2)$, entonces $p$ debe ser una suma de dos cuadrados.
• ¿Por qué?
  Si $p\mid a^2+b^2$, entonces $a^2\equiv -b^2\mathrm{mod}p$.
  Como $\gcd (a,p)=\gcd (b,p)=1$, podemos reescribir esto como $(a/b{)}^2\equiv -1\mathrm{mod}p$.
  Esto implica que $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$, lo que ocurre solo si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$ (teorema de Euler).

3. Demostración de la conjetura:

Hipótesis:
Supongamos que $m=a^2+b^2$, y $m=k\cdot 2^n\cdot v$, donde $v$ es libre de cuadrados.

• Parte libre de cuadrados $v$: $v=\frac{a^2+b^2}{\text{(parte cuadraˊtica)}}$, que también es suma de dos cuadrados.
• Recíprocamente:
  Si $v$ es suma de dos cuadrados, multiplicando por $(2^n{)}^2$ obtenemos $m$.

4. Análisis de los primos:

• Primo 2: $2=1^2+1^2$, así que es válido.
• Primos impares:
  Un primo impar $p$ se puede expresar como suma de dos cuadrados si y solo si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$.
  Ejemplo:
  • $5\equiv 1\mathrm{mod}4⟹5=2^2+1^2$.
  • $3\equiv 3\mathrm{mod}4⟹$ no es suma de dos cuadrados.

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Demostración de que $p\equiv 1\mathrm{mod}4⟹p$ es suma de dos cuadrados:

1. Teorema de Fermat:

Enunciado:
Un primo impar $p$ se expresa como suma de dos cuadrados si y solo si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$.

2. Demostración intuitiva:

Supongamos $p=4n+1$.

• Existencia de una raíz cuadrática:
  Por el teorema de Euler , $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$, así que existe un entero $a$ tal que:$$a^2\equiv -1modp.$$
• Construcción de la suma:
  Consideremos $a^2+1^2$.
  • $a^2+1^2=kp$.
  • Como $a^2+1^2<p^2$, $k$ es un entero pequeño.
  • Aplicando división euclídea y descenso infinito , se prueba que $k=1$, por lo que $p=a^2+b^2$.

3. Caso $p\equiv 3\mathrm{mod}4$:

• Imposibilidad:
  Si $p=3\mathrm{mod}4$, entonces $a^2+b^2\equiv 0\mathrm{mod}p⟹a^2\equiv -b^2\mathrm{mod}p$.
  • Los cuadrados módulo $4$ son $0$ o $1$.
  • $p\equiv 3\mathrm{mod}4⟹-1$ no es residuo cuadrático, por lo que no existe solución.

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Explicación detallada para principiantes:

1. ¿Qué es un número libre de cuadrados?

Un número es libre de cuadrados si no tiene factores cuadrados (como $4$, $9$, etc.). Por ejemplo:

• $12=2^2\cdot 3⟹$ parte libre de cuadrados $v=3$.
• $10=2\cdot 5⟹$ ya es libre de cuadrados.

2. ¿Por qué la parte libre de cuadrados es crucial?

• Si $m=(a^2+b^2)\cdot k^2$, entonces $m=(ak{)}^2+(bk{)}^2$.
• Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la parte libre de cuadrados $v$ .

3. ¿Cómo se relacionan los primos con las sumas de cuadrados?

• Primos congruentes con $1\mathrm{mod}4$:
  Si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$, como $5\equiv 1\mathrm{mod}4$, podemos escribirlo como $2^2+1^2$.
• Primos congruentes con $3\mathrm{mod}4$:
  Como $3\equiv 3\mathrm{mod}4$, no hay $a,b$ enteros tales que $a^2+b^2=3$.

4. La identidad clave:

La fórmula:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

permite combinar sumas de cuadrados. Por ejemplo:

• $(1^2+1^2)(2^2+1^2)=10=1^2+3^2$.

5. ¿Cómo demostrar que un primo $p\equiv 1\mathrm{mod}4$ es suma de dos cuadrados?

Paso a paso:

1. Suponemos $p=4n+1$:

   • Por el teorema de Euler, $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$, así que existe $a$ tal que $a^2\equiv -1\mathrm{mod}p$.

2. Escribimos $a^2+1=kp$:

   • $k<p$, porque $a^2+1<p^2$.

3. Aplicamos el descenso infinito:

   • Si $k$ no es 1, repetimos el proceso con $k$ (ya que $k$ también es libre de cuadrados).
   • Esto finalmente conduce a $k=1⟹p=a^2+1^2$.

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6. Ejemplo numérico (para clarificar):

Prueba con $p=5$:

• $5\equiv 1\mathrm{mod}4$.
• Encontrar $a$: $a^2\equiv -1\mathrm{mod}5⟹a=2$ (pues $2^2=4\equiv -1\mathrm{mod}5$).
• Ecuación: $2^2+1^2=5⟹5=2^2+1^2$.

Prueba con $p=3$:

• $3\equiv 3\mathrm{mod}4$.
• Intento: $a^2+b^2=3$.
  • $0^2+{\sqrt{3}}^2$: No entero.
  • $1^2+{\sqrt{2}}^2$: Tampoco entero.
  • Conclusión: No hay solución.

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7. ¿Qué sucede con números compuestos?

Supongamos $m=10$:

• $m=2\cdot 5⟹$ parte libre de cuadrados $v=2\cdot 5$.
• Verificamos $v$:
  • $2$ es suma de cuadrados ($1^2+1^2$).
  • $5$ es suma de cuadrados ($2^2+1^2$).
  • Por lo tanto, $10=(1^2+1^2)(2^2+1^2)=3^2+1^2$.

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8. Teorema final:

Un número natural positivo $m$ es suma de dos cuadrados si y solo si:

• Su parte libre de cuadrados no tiene primos congruentes con $3\mathrm{mod}4$.

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9. Preguntas frecuentes:

• ¿Por qué 2 es un caso especial? $2=1^2+1^2$, y su congruencia $2\equiv 2\mathrm{mod}4$ no sigue el patrón de otros primos.

• ¿Qué significa "residuo cuadrático"?
  Un número $x$ es residuo cuadrático módulo $p$ si existe $a$ tal que $a^2\equiv x\mathrm{mod}p$.

• ¿Por qué no puede haber un descenso infinito?
  Los números enteros positivos son finitos, así que el proceso debe terminar en un primo o en 1.

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10. Ejercicio para ti:

1. Verifica que $25$ es suma de dos cuadrados:

   • $25=3^2+4^2$.
   • Su parte libre de cuadrados es $1$ (pues $25=5^2$), y $1$ no tiene primos impares.

2. Demuestra que $21$ no es suma de dos cuadrados:

   • $21=3\cdot 7$, ambos primos $3\equiv 3\mathrm{mod}4$ y $7\equiv 3\mathrm{mod}4$.
   • Como ambos primos son $3\mathrm{mod}4$, $21$ no puede ser expresado como suma de dos cuadrados.

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11. Resumen en palabras simples:

• Regla de oro:
  Un número es suma de dos cuadrados si y solo si:

  1. No tiene primos $3\mathrm{mod}4$ con exponente impar.
  2. Los primos $3\mathrm{mod}4$ deben aparecer con exponente par.

• Ejemplo: $25=5^2$:

  • El primo 5 (que sí es $1\mathrm{mod}4$) aparece con exponente par.
  • Por lo tanto, es suma de dos cuadrados.

  $18=2\cdot 3^2$:

  • El primo 3 (que es $3\mathrm{mod}4$) aparece con exponente par.
  • ¿Es suma de dos cuadrados?
    • Sí: $18=3^2+3^2$.

  $12=2^2\cdot 3$:

  • El primo 3 (congruente con $3\mathrm{mod}4$) aparece con exponente impar.
  • No es suma de dos cuadrados.

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12. Conexión con otros teoremas:

• Teorema de Fermat:
  Un primo impar $p$ es suma de dos cuadrados si y solo si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$.
• Teorema de Euler: $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ si y solo si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$.

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13. Errores corregidos:

• Error original: Se mencionaba una fórmula compleja con $(a+1{)}^{4n}-a^{4n}$, que simplificamos usando la identidad básica y el teorema de Fermat.

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14. Ejemplo visual:

Tabla de primos hasta 20:

Primo	¿Es$1\mathrm{mod}4$?	¿Se expresa como suma de dos cuadrados?
2	No	Sí ($1^2+1^2$)
3	No	No
5	Sí	Sí ($2^2+1^2$)
7	No	No
13	Sí	Sí ($3^2+2^2$)

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Respuesta final:

• Conclusión:
  Un número es suma de dos cuadrados si y solo si sus factores primos congruentes con $3\mathrm{mod}4$ aparecen con exponente par .
• Fórmula clave:$$\boxed{(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2}.$$
• Teorema final:$$\boxed{\text{Primos }p\equiv 1\mathrm{mod}4\text{ son suma de dos cuadrados, mientras que }p\equiv 3\mathrm{mod}4\text{ no lo son.}}$$

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Explicación final:

• ¿Cómo aplicar esto?

  • Descomponer $m$ en factores primos.
  • Verificar que todos los primos $3\mathrm{mod}4$ tienen exponente par.
  • Si es así, $m$ es suma de dos cuadrados.

• ¿Para qué sirve?
  Permite clasificar rápidamente números como sumas de cuadrados sin probar combinaciones.

¡Si tienes dudas, avísame!

Y ahora otra otra versión y ahora otra otra versión

¡Claro! Vamos a editar y explicar el texto paso a paso para que sea comprensible para un principiante. El tema es números expresables como suma de dos cuadrados y su relación con los primos y la aritmética modular.

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Texto editado y estructurado:

1. Parte libre de cuadrados:

Todo número entero no nulo $m$ se puede escribir de forma única como:

$$m=k^2\cdot n,$$

donde $n$ es libre de cuadrados (es decir, $n$ no tiene factores primos repetidos).
Ejemplo:

• $18=3^2\cdot 2$, donde $2$ es libre de cuadrados.
• $50=5^2\cdot 2$, donde $2$ es libre de cuadrados.

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2. Conjeturas sobre sumas de cuadrados:

1. Conjetura 1:
   Un número natural no nulo es suma de dos cuadrados si y solo si su parte libre de cuadrados ($n$) también lo es.
   Ejemplo: $50=5^2\cdot 2$. Como $2=1^2+1^2$, entonces $50=(5\cdot 1{)}^2+(5\cdot 1{)}^2=5^2+5^2$.

2. Conjetura 2 (para números libres de cuadrados):
   Un número libre de cuadrados es suma de dos cuadrados si y solo si todos sus factores primos son suma de dos cuadrados.
   Ejemplo: $13$ es primo y $13=3^2+2^2$.$65=5\cdot 13$ (ambos libres de cuadrados y suma de cuadrados), y $65=8^2+1^2$.

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3. Lista de primos que son suma de dos cuadrados:

Los primos que pueden escribirse como $a^2+b^2$ son:

• $2$,
• Primos congruentes con $1\mathrm{mod}4$: $5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,\dots$.

Observación clave:
Un primo $p$ impar es suma de dos cuadrados si y solo si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$.

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4. Producto de sumas de cuadrados:

Existe una fórmula que permite multiplicar dos números que son suma de cuadrados y obtener otro número que también es suma de cuadrados:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$$

Ejemplo:

• $(1^2+2^2)(3^2+4^2)=(1\cdot 3-2\cdot 4{)}^2+(1\cdot 4+2\cdot 3{)}^2=(-5{)}^2+10^2=25+100=125$.

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5. Demostración de la conjetura:

Teorema:
Un número natural no nulo es suma de dos cuadrados si y solo si en su factorización prima, todos los primos congruentes con $3\mathrm{mod}4$ aparecen un número par de veces.

Pasos clave:

1. Reducción a la parte libre de cuadrados:
   Si $m=k^2\cdot n$, entonces $m$ es suma de cuadrados si $n$ lo es.

2. Primos que dividen a sumas de cuadrados:
   Si un primo $p$ divide a $a^2+b^2$ y $p$ es suma de cuadrados, entonces $\frac{a^2+b^2}{p}$ también es suma de cuadrados.
   Demostración intuitiva:
   Si $p=u^2+v^2$, usamos la fórmula del producto para "despejar" $\frac{a^2+b^2}{p}$.

3. Descenso infinito:
   Si un primo $p$ divide a $a^2+b^2$ con $\text{mcd}(a,b)=1$, entonces $p$ debe ser suma de cuadrados.
   Idea:
   Si $p$ no fuera suma de cuadrados, podríamos construir una secuencia decreciente de primos que tampoco lo son, lo cual es imposible.

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6. Condiciones para primos impares:

1. Necesidad de $p\equiv 1\mathrm{mod}4$:
   Si $p=a^2+b^2$, entonces $a$ y $b$ deben tener paridades opuestas (uno par y otro impar).

   • $a^2$ y $b^2$ serían $0$ o $1\mathrm{mod}4$.
   • Su suma $p\equiv 0+1=1\mathrm{mod}4$.

2. Suficiencia (si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$, entonces es suma de cuadrados):
   Usamos el teorema de Fermat :
   Si $p\equiv 1\mathrm{mod}4$, entonces $p$ se puede escribir como $a^2+b^2$.
   Ejemplo: $5=1^2+2^2$, $13=2^2+3^2$.

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7. Conclusión final:

Un número natural $m$ es suma de dos cuadrados si y solo si:

• En su factorización prima, todos los primos $p\equiv 3\mathrm{mod}4$ aparecen con exponente par .

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Explicación detallada para principiantes:

¿Qué es un número "libre de cuadrados"?

Un número es libre de cuadrados si no tiene factores primos repetidos. Por ejemplo:

• $12=2^2\cdot 3$ no es libre de cuadrados.
• Su parte libre de cuadrados es $3$.

¿Por qué es importante la parte libre de cuadrados?

• Si un número $m$ es suma de cuadrados, su parte libre de cuadrados $n$ también debe serlo.
• Esto reduce el problema a estudiar solo números libres de cuadrados.

¿Cómo funciona la fórmula del producto?

La fórmula:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

muestra que el producto de dos sumas de cuadrados es otra suma de cuadrados .
Ejemplo: $(1^2+2^2)(3^2+4^2)=5\cdot 25=125$, y $125=(-5{)}^2+10^2$.

¿Qué es el "descenso infinito"?

Es un método de demostración que parte de una suposición (ej: $p$ no es suma de cuadrados) y construye una secuencia de números cada vez más pequeños que tampoco cumplen la propiedad, lo cual es imposible porque los números no pueden decrecer infinitamente.

¿Por qué los primos $3\mathrm{mod}4$ deben aparecer en exponentes pares?

• Si un primo $p\equiv 3\mathrm{mod}4$ aparece un número impar de veces en la factorización de $m$, entonces $m$ no puede ser suma de cuadrados.
• Ejemplo: $3$ no es suma de cuadrados.$9=3^2$ sí lo es, pero $3\times 3=9$ tiene exponente par (2).

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Ejercicios resueltos:

Ejercicio 1:
¿Es $21$ suma de dos cuadrados?

• Factorización: $21=3\cdot 7$.
• $3\equiv 3\mathrm{mod}4$, $7\equiv 3\mathrm{mod}4$.
• Ambos aparecen con exponente impar.
• Respuesta: No, porque $3$ y $7$ son primos $3\mathrm{mod}4$ con exponente impar.

Ejercicio 2:
¿Es $125$ suma de dos cuadrados?

• Factorización: $125=5^3$.
• $5\equiv 1\mathrm{mod}4$.
• Aunque el exponente de $5$ es $3$ (impar), como $5$ es suma de cuadrados, $125=10^2+5^2$.
• Respuesta: Sí.

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Preguntas frecuentes:

• ¿Qué significa "primo se ramifica o se escinde"?
  En el contexto de enteros de Gauss ($\mathbb{Z}[i]$), un primo $p$ puede:

  • Ramificarse: $p={\pi }^2$ (ej: $2=-i(1+i{)}^2$).
  • Escindirse: $p=\pi \cdot \overline{\pi }$ (ej: $5=(2+i)(2-i)$).
  • Conservarse: $p$ sigue siendo primo en $\mathbb{Z}[i]$ (ej: $3$).

• ¿Cómo se relaciona esto con el teorema de Fermat?
  Fermat demostró que un primo $p\equiv 1\mathrm{mod}4$ se puede escribir como suma de dos cuadrados. Esto se conecta con la idea de que $p$ "escinde" en $\mathbb{Z}[i]$.

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Resumen en palabras simples:

1. Factoriza el número:
   Separa los factores primos y sus exponentes.
2. Revisa los primos $3\mathrm{mod}4$:
   Si alguno aparece un número impar de veces, el número no es suma de cuadrados.
3. Si todos los primos $3\mathrm{mod}4$ están en exponentes pares:
   El número sí es suma de cuadrados.

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Ejemplo final:

• Número: $325$.
• Factorización: $325=5^2\cdot 13$.
• Primos $3\mathrm{mod}4$: No hay.
• Primos $1\mathrm{mod}4$: $5$ y $13$.
• Verificación: $325=18^2+1^2=(18{)}^2+1^2$.

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Respuesta final:

El teorema confirma que un número es suma de dos cuadrados si y solo si en su factorización prima, los primos congruentes con $3\mathrm{mod}4$ aparecen un número par de veces. Esto se demuestra usando propiedades de los enteros de Gauss y el teorema de Fermat.

¡Espero que esta explicación te ayude! Si tienes dudas, ¡avísame!

y todavía otra versión que ya será la última

Texto Editado (Corregido):

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Sobre la situación. Observemos que todo número entero no nulo $m$ puede expresarse de forma única como $m=k^{2}n$, donde $n$ es libre de cuadrados. Se dice que $n$ es la parte libre de cuadrados de $m$, y está formada por los primos que dividen a $m$ con exponente impar.

En estos términos, es razonable conjeturar:

1. Un número natural no nulo es suma de dos cuadrados si y sólo si lo es su parte libre de cuadrados.

2. Un número natural no nulo libre de cuadrados es suma de dos cuadrados si y sólo si sus divisores primos son suma de dos cuadrados.

Notemos que 2. no puede ser cierto para números cualesquiera porque todo número de la forma $k^2\cdot 5$ es suma de dos cuadrados, y $k$ puede ser divisible por primos cualesquiera.

Por último, nos fijamos en los primos que son suma de dos cuadrados:

$$2,5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,\dots$$

¿Identifica el lector esta sucesión? Una conjetura que (de ser cierta) resuelve completamente el problema es:
Un número natural no nulo es suma de dos cuadrados si y sólo si los primos que lo dividen con exponente impar son el 2 o bien primos congruentes con 1 módulo 4.

Vamos a ver que la conjetura es exacta. Consideremos en primer lugar la fórmula:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2\mathrm{.}$$

Esta igualdad nos garantiza que un producto de números expresables como suma de dos cuadrados es también expresable como suma de dos cuadrados. El recíproco no es cierto, pero algo podemos probar:

Lema clave: Si $a=pb$, donde $p$ es primo y tanto $a$ como $p$ son suma de dos cuadrados, entonces $b$ también lo es.

Demostración: Si $p=u^2+v^2$ y $a=r^2+s^2$, entonces:

$$(us-rv)(us+rv)=u^2{s}^2-r^2{v}^2=u^2(s^2+r^2)-r^2(u^2+v^2)=u^{2}a-r^{2}p\mathrm{.}$$

Como $p$ divide a $(us-rv)(us+rv)$, entonces $p$ divide a $(us-rv)$ o a $(us+rv)$.

• Si $p\mid (us+rv)$, entonces $ap=(ru-sv{)}^2+(rv+us{)}^2$, y como $p^2\mid ap$, se deduce que $b=\frac{a}{p}$ es suma de cuadrados.

• Análogamente, si $p\mid (us-rv)$, se usa la fórmula $ap=(su-rv{)}^2+(sv+ur{)}^2$.

Resultado fundamental: Si $p$ es un primo tal que $\gcd (a,b)=1$ y $p\mid (a^2+b^2)$, entonces $p$ es suma de dos cuadrados.

Demostración (idea):

• Si $p=4n+1$, por el teorema de Fermat, existe $x$ tal que $x^{4n}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.

• Usando diferencias de potencias y propiedades de congruencias, se prueba que $p$ debe dividir una suma de cuadrados $c^2+d^2$, lo que implica que $p$ mismo es suma de dos cuadrados.

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Explicación para Principiantes con Madurez Matemática:

1. Parte Libre de Cuadrados

• Todo número $m$ se descompone como $m=k^{2}n$, donde $n$ es libre de cuadrados (ningún primo en $n$ está al cuadrado).

• Ejemplo: $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\Rightarrow n=5$.

• La clave es que $n$ captura los primos con exponente impar en $m$.

2. Relación con Sumas de Cuadrados

• Teorema Principal:
  $m$ es suma de dos cuadrados $⟺$ Su parte libre de cuadrados $n$ también lo es.

• Ejemplo: $45=3^2\cdot 5$. Como $5=1^2+2^2$, entonces $45=3^2\cdot (1^2+2^2)=3^2+6^2$.

3. Primos y Congruencias

• Primos permitidos:

  • $2$ (especial, ya que $2=1^2+1^2$).

  • Primos congruentes con $1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, como $5,13,17,\dots$.

• ¿Por qué primos $3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ no?

  • Si $p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, no existen $a,b$ tales que $p=a^2+b^2$.

  • Demostración rápida: Los cuadrados módulo 4 son $0$ o $1$. Entonces $a^2+b^2\equiv 0,1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, pero nunca $3$.

4. Producto de Sumas de Cuadrados

• La fórmula $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$ muestra que el producto de sumas de cuadrados es otra suma de cuadrados.

• Ejemplo:
  $5=1^2+2^2$, $13=2^2+3^2$.
  Su producto:

  $$5\cdot 13=(1\cdot 2-2\cdot 3{)}^2+(1\cdot 3+2\cdot 2{)}^2=(-4{)}^2+7^2=65.$$

5. Demostración del Teorema Fundamental

• Paso clave: Si $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, existe $x$ tal que $x^2\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.

  • Esto implica que $p\mid (x^2+1)$, y usando el lema clave, $p$ se expresa como suma de cuadrados.

• Reducción al absurdo: Si existiera un primo $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ no expresable como suma de cuadrados, habría otro primo menor $q<p$ con la misma propiedad, lo que es imposible.

6. Conclusión

• Condición necesaria y suficiente:
  Un número es suma de dos cuadrados si y sólo si:

  • Los primos $\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ en su factorización tienen exponente par.

  • Los primos $\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ (o el 2) pueden tener cualquier exponente.

Ejemplo Final:

• $98=2\cdot 7^2$.

  • $7\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, pero su exponente es par.

  • $2$ es permitido.

  • Entonces, $98=7^2+7^2$.

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Espero que esta explicación te haya aclarado el tema. Si necesitas profundizar en algún paso, no dudes en preguntar.