Introducción a la teoría de números algebraica ital
Es un libro de Ivorra, en su aspecto más didáctico, cuando se propuso hacer material para personas sin muchos conocimientos previos de matemáticas, aunque al dominar tanto las matemáticas, parece que le cuesta explicarlas de manera asequible.
Capítulo III Congruencias
Parece que he cambiado de idea, en un primer momento pensé poner temas enteros y después me limité a poner resultados concretos
Demostrar que toda terna pitagórica (a, b, c) contiene al menos un múltiplo de 3, un múltiplo de 4 y un múltiplo de 5
Para demostrar que toda terna pitagórica (a, b, c) contiene al menos un múltiplo de 3, un múltiplo de 4 y un múltiplo de 5, seguimos estos pasos:
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### **1. Ternas pitagóricas primitivas**
Una terna primitiva (a, b, c) cumple a^2 + b^2 = c^2 con a, b, c coprimos. Usamos la **fórmula de Euclides**:
a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2,
donde m > n, m y n son coprimos, y no ambos impares.
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### **2. Múltiplo de 3**
- **Si 3 \mid m o 3 \mid n**:
b = 2mn es múltiplo de 3.
- **Si 3 \nmid m y 3 \nmid n**:
Los cuadrados módulo 3 son 0 o 1. Si m^2 \equiv 1 \pmod{3} y n^2 \equiv 1 \pmod{3}, entonces:
a = m^2 - n^2 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{3}.
**Conclusión**: Siempre hay un múltiplo de 3.
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### **3. Múltiplo de 4**
- En una terna primitiva, b = 2mn es par. Como m y n no son ambos impares, uno es par. Por tanto:
mn \text{ es par} \implies b = 2mn \text{ es divisible por } 4.
**Conclusión**: b siempre es múltiplo de 4.
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### **4. Múltiplo de 5**
Analizamos los cuadrados módulo 5 (residuos: 0, 1, 4):
- **Si 5 \mid m o 5 \mid n**:
b = 2mn es múltiplo de 5.
- **Si 5 \nmid m y 5 \nmid n**:
- Si m^2 \equiv 1 \pmod{5} y n^2 \equiv 1 \pmod{5}, entonces a = m^2 - n^2 \equiv 0 \pmod{5}.
- Si m^2 \equiv 1 \pmod{5} y n^2 \equiv 4 \pmod{5}, entonces c = m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{5}.
- Casos similares para otras combinaciones.
**Conclusión**: Siempre hay un múltiplo de 5.
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### **5. Ternas no primitivas**
Si la terna es no primitiva (k \cdot a, k \cdot b, k \cdot c), los factores 3, 4 y 5 se heredan de la terna primitiva. Por ejemplo:
- Si a es múltiplo de 3 en la primitiva, k \cdot a también lo es.
- Si b es múltiplo de 4 en la primitiva, k \cdot b también lo es.
- Si c es múltiplo de 5 en la primitiva, k \cdot c también lo es.
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### **Ejemplo**
- **Terna (5, 12, 13)**:
- 12 es múltiplo de 3 y 4.
- 5 es múltiplo de 5.
- **Terna (9, 12, 15)** (no primitiva):
- 9 es múltiplo de 3, 12 es múltiplo de 4, 15 es múltiplo de 5.
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### **Conclusión**
En **toda terna pitagórica**, independientemente de si es primitiva o no, siempre hay:
- Al menos un múltiplo de **3**,
- Al menos un múltiplo de **4**,
- Al menos un múltiplo de **5**.
\boxed{\text{Toda terna pitagórica contiene un múltiplo de 3, 4 y 5.}}
Demostrar que la ecuación x^5 = y^4 + 4 no tiene soluciones enteras
Para demostrar que la ecuación x^5 = y^4 + 4 no tiene soluciones enteras, comenzamos factorizando el lado derecho:
y^4 + 4 = (y^2 - 2y + 2)(y^2 + 2y + 2)
Definimos A = y^2 - 2y + 2 y B = y^2 + 2y + 2 . La ecuación se reescribe como:
A \cdot B = x^5
Analizamos el máximo común divisor (mcd) de A y B :
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### **Caso 1: y es impar**
- Si y es impar, A y B son coprimos (su mcd es 1).
- Como A \cdot B = x^5 , tanto A como B deben ser potencias quintas. Sin embargo, al intentar resolver 4y = b^5 - a^5 para enteros a y b , se llega a contradicciones (no existen enteros que satisfagan esta igualdad).
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### **Caso 2: y es par**
- Si y es par, A y B son pares, por lo que su mcd es 2.
- Escribimos A = 2a y B = 2b , lo que transforma la ecuación en 4ab = x^5 .
- Esto implica que x debe ser par. Sea x = 2k , entonces ab = 8k^5 .
- Sustituyendo y = 2m en A y B , obtenemos ecuaciones que conducen a contradicciones módulo 4 (por ejemplo, 4m^4 + 1 \equiv 0 \pmod{4} , lo cual es imposible).
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### **Conclusión**
En ambos casos, se llega a contradicciones. Por lo tanto, la ecuación x^5 = y^4 + 4 **no tiene soluciones enteras**.
\boxed{\text{No hay solución}}
en realidad por aquí no hemos llegado a nada porque no hemos terminado ninguna prueba ningún argumento completo entonces sugiero buscar otra demostración más acorde con lo que viene en el libro es decir utilizando congruencias módulo 11
Para demostrar que la ecuación x^5 = y^4 + 4 no tiene soluciones enteras, analizamos los residuos módulo 11.
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### **Paso 1: Residuos de x^5 \mod 11 **
Por el **Pequeño Teorema de Fermat**, para cualquier entero x no divisible por 11:
x^{10} \equiv 1 \pmod{11} \implies x^5 \equiv \pm 1 \pmod{11}.
Si x es múltiplo de 11, entonces x^5 \equiv 0 \pmod{11} .
**Posibles residuos de x^5 \mod 11 :**
0, \quad 1, \quad \text{o} \quad 10 \quad (\text{pues } -1 \equiv 10 \pmod{11}).
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### **Paso 2: Residuos de y^4 + 4 \mod 11 **
Calculamos y^4 \mod 11 para y = 0, 1, 2, \dots, 10 :
\begin{aligned} 0^4 &\equiv 0 \pmod{11}, \\ 1^4 &\equiv 1 \pmod{11}, \\ 2^4 &\equiv 5 \pmod{11}, \\ 3^4 &\equiv 4 \pmod{11}, \\ 4^4 &\equiv 3 \pmod{11}, \\ 5^4 &\equiv 9 \pmod{11}, \\ 6^4 &\equiv 9 \pmod{11}, \\ 7^4 &\equiv 3 \pmod{11}, \\ 8^4 &\equiv 4 \pmod{11}, \\ 9^4 &\equiv 5 \pmod{11}, \\ 10^4 &\equiv 1 \pmod{11}. \end{aligned}
Sumando 4 a cada residuo:
y^4 + 4 \mod 11 \in \{2, 4, 5, 7, 8, 9\}.
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### **Paso 3: Contradicción módulo 11**
Los residuos posibles de x^5 \mod 11 son **0, 1, 10**, mientras que los de y^4 + 4 \mod 11 son **2, 4, 5, 7, 8, 9**. No hay intersección entre ambos conjuntos. Por lo tanto:
x^5 \equiv y^4 + 4 \pmod{11} \quad \text{es imposible}.
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### **Conclusión**
Como la congruencia x^5 \equiv y^4 + 4 \pmod{11} no tiene solución, la ecuación original **no tiene soluciones enteras**.
\boxed{\text{No hay solución}}
enuncia y demuestra en teorema pequeño de fermat
### **Enunciado del Pequeño Teorema de Fermat**
Si p es un número primo y a es un entero que no es divisible por p , entonces:
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.
Equivalentemente, para cualquier entero a :
a^p \equiv a \pmod{p}.
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### **Demostración**
**Caso 1:** a **no es divisible por** p .
Queremos probar a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} .
1. **Conjunto de residuos**:
Considera los números a, 2a, 3a, \dots, (p-1)a .
Como a y p son coprimos, estos números son **distintos módulo** p .
(Si ia \equiv ja \pmod{p} , entonces i \equiv j \pmod{p} , lo cual es imposible si i \neq j .)
2. **Producto de los residuos**:
El producto de todos estos números es:
a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1)a = a^{p-1} \cdot (p-1)!.
Por otro lado, módulo p , este producto es congruente a:
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) = (p-1)! \pmod{p}.
3. **Igualdad módulo p **:
Por lo tanto:
a^{p-1} \cdot (p-1)! \equiv (p-1)! \pmod{p}.
Como (p-1)! y p son coprimos (ningún factor de (p-1)! es divisible por p ), podemos cancelar (p-1)! en ambos lados:
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.
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**Caso 2:** a **es divisible por** p .
Si a \equiv 0 \pmod{p} , entonces a^p \equiv 0 \equiv a \pmod{p} , lo cual satisface la forma equivalente del teorema.
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### **Ejemplo ilustrativo**
Sea p = 5 y a = 2 :
- 2^{5-1} = 16 \equiv 1 \pmod{5} .
- 2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{5} .
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### **Uso en el problema anterior**
En la ecuación x^5 = y^4 + 4 , analizamos los residuos módulo 11 . Por el Pequeño Teorema de Fermat:
- Si x no es divisible por 11 , entonces x^{10} \equiv 1 \pmod{11} , lo que implica x^5 \equiv \pm 1 \pmod{11} .
- Si x es divisible por 11 , x^5 \equiv 0 \pmod{11} .
Esto permitió concluir que x^5 \mod 11 solo puede ser 0, 1, o 10 , mientras que y^4 + 4 \mod 11 no coincide con estos valores.
\boxed{a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \text{ si } p \nmid a}
Traduce del inglés Lifting The Exponent Lemma
**Lifting The Exponent Lemma** se traduce al español como:
**"Lema de la Elevación del Exponente"** (a veces abreviado como **Lema LTE**).
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### **Explicación breve**:
Este lema es una herramienta útil en teoría de números para calcular la máxima potencia de un primo p que divide a una expresión de la forma a^n - b^n o a^n + b^n , bajo ciertas condiciones. Su nombre proviene de la idea de "elevar" el exponente para analizar la divisibilidad.
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### **Enunciado típico** (para a^n - b^n ):
Sean a y b enteros, p un primo impar, y n un entero positivo. Si p divide a a - b pero p no divide a a ni a b , entonces:
v_p(a^n - b^n) = v_p(a - b) + v_p(n),
donde v_p(k) denota el exponente de p en la factorización prima de k .
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**Ejemplo de uso**:
Calcular v_3(10^{3^n} - 1) .
Aplicando el lema:
- a = 10 , b = 1 , p = 3 , n = 3^n .
- 3 divide a 10 - 1 = 9 , y 3 \nmid 10 .
- Por LTE:
v_3(10^{3^n} - 1) = v_3(10 - 1) + v_3(3^n) = 2 + n.
\boxed{Lema\ de\ la\ Elevación\ del\ Exponente}
Edita este texto de manera que quede comprensible y explícamelo con detalle, sobre todo la demostración del lema LTE que contiene
### **Texto Editado y Explicado: El Lema LTE (Lifting The Exponent)**
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#### **Introducción**
El **Lema LTE** (Lifting The Exponent) es una herramienta clave en teoría de números para calcular la máxima potencia de un primo p que divide a expresiones de la forma x^n - y^n o x^n + y^n . A continuación, se presenta el enunciado formal y su demostración detallada.
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### **Enunciado del Lema LTE**
Sean x, y enteros, p un primo, y n \geq 1 un entero natural. Supongamos que:
1. p **no divide** a x ni a y ( p \nmid x , p \nmid y ).
2. p **divide** a x - y ( p \mid x - y ).
Entonces:
1. **Si p es impar** o p = 2 y 4 \mid x - y :
v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n),
donde v_p(k) es el exponente de p en la factorización prima de k .
2. **Si p = 2 y n es par**:
v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(x + y) + v_2(n) - 1.
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### **Demostración Detallada**
#### **Caso 1: p \nmid n **
Factorizamos x^n - y^n :
x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1}).
Como x \equiv y \pmod{p} , el segundo factor es congruente a:
n \cdot x^{n-1} \pmod{p}.
Como p \nmid x y p \nmid n , este término **no es divisible por p **. Por tanto:
v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y).
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#### **Caso 2: p es impar y n = p **
Sea y = x + kp . Expandimos x^p - y^p :
x^p - (x + kp)^p \equiv x^p - \left(x^p + \binom{p}{1}x^{p-1}kp\right) \pmod{p^2}.
Simplificando:
x^p - y^p \equiv -p \cdot kp \cdot x^{p-1} \pmod{p^2} \implies v_p(x^p - y^p) = v_p(x - y) + 1.
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#### **Caso 3: n = p^a \cdot m , con p \nmid m **
Aplicamos recursivamente el caso anterior:
v_p(x^{p^a \cdot m} - y^{p^a \cdot m}) = v_p(x - y) + a.
Esto se generaliza a:
v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n).
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#### **Caso 4: p = 2 y n es par**
Factorizamos x^{2^a} - y^{2^a} :
x^{2^a} - y^{2^a} = (x^{2^{a-1}} - y^{2^{a-1}})(x^{2^{a-1}} + y^{2^{a-1}}).
Como x e y son impares:
- x^{2^k} \equiv y^{2^k} \equiv 1 \pmod{4} .
- Cada factor x^{2^k} + y^{2^k} \equiv 2 \pmod{4} .
Así:
v_2(x^{2^a} - y^{2^a}) = v_2(x - y) + v_2(x + y) + (a - 1) - 1.
Simplificando:
v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(x + y) + v_2(n) - 1.
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### **Aplicación a Problemas**
#### **Ejemplo 1: Mayor potencia de 3 que divide a 5^{18} - 2^{18} **
- 5 \equiv 2 \pmod{3} \implies 3 \mid 5 - 2 .
- v_3(5^{18} - 2^{18}) = v_3(5 - 2) + v_3(18) = 1 + 2 = 3 .
- **Respuesta**: 3^3 .
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#### **Ejemplo 2: Menor n tal que 125 \mid 2^n + 3^n **
- 125 = 5^3 . Aplicamos LTE para p = 5 :
- 2 \equiv -3 \pmod{5} \implies 5 \mid 2 + 3 .
- v_5(2^n + 3^n) = v_5(2 + 3) + v_5(n) = 1 + v_5(n) .
- Para v_5(2^n + 3^n) \geq 3 , necesitamos v_5(n) \geq 2 \implies n = 25 .
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#### **Ejemplo 3: Exponente de 3 en un número con 405 cifras 3**
- El número es N = \underbrace{33\ldots3}_{405 \text{ veces}} = 3 \cdot \frac{10^{405} - 1}{9} .
- v_3(N) = 1 + v_3\left(\frac{10^{405} - 1}{9}\right) .
- Aplicamos LTE para p = 3 :
- 10 \equiv 1 \pmod{3} \implies v_3(10^{405} - 1) = v_3(10 - 1) + v_3(405) = 2 + 3 = 5 .
- Luego:
v_3(N) = 1 + (5 - 2) = 4.
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### **Conclusión**
El **Lema LTE** simplifica cálculos complejos de divisibilidad mediante factorización y análisis modular. Su aplicación requiere verificar las condiciones p \nmid x, y y p \mid x \pm y , y manejar casos especiales para p = 2 .
\boxed{v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n) \quad \text{(para primos impares o } p=2 \text{ con } 4 \mid x-y\text{)}}
repite con detalle el caso 1 anterior
### **Caso 1: p \nmid n **
**Condición**:
- p es un primo que divide a x - y ( p \mid x - y ),
- p no divide a x ni a y ( p \nmid x , p \nmid y ),
- p no divide al exponente n ( p \nmid n ).
**Objetivo**:
Demostrar que v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) .
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#### **Paso 1: Factorización de x^n - y^n **
La expresión x^n - y^n se factoriza como:
x^n - y^n = (x - y) \cdot \left( x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \cdots + y^{n-1} \right).
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#### **Paso 2: Análisis del segundo factor**
Como p \mid x - y , se cumple x \equiv y \pmod{p} .
Sustituimos y \equiv x \pmod{p} en el segundo factor:
x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \cdots + y^{n-1} \equiv \underbrace{x^{n-1} + x^{n-1} + \cdots + x^{n-1}}_{n \text{ veces}} \pmod{p}.
Esto simplifica a:
n \cdot x^{n-1} \pmod{p}.
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#### **Paso 3: Divisibilidad del segundo factor**
- **Si p \nmid n ** y p \nmid x :
- x^{n-1} \not\equiv 0 \pmod{p} ,
- n \not\equiv 0 \pmod{p} .
Por lo tanto, n \cdot x^{n-1} \not\equiv 0 \pmod{p} .
**Conclusión**:
El segundo factor **no es divisible por p **.
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#### **Paso 4: Cálculo de v_p(x^n - y^n) **
- x - y aporta v_p(x - y) .
- El segundo factor no aporta ningún factor de p .
Por lo tanto:
v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y).
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### **Ejemplo Ilustrativo**
**Problema**: Calcular v_3(5^4 - 2^4) .
- x = 5 , y = 2 , p = 3 , n = 4 .
- 5 - 2 = 3 \implies v_3(3) = 1 .
- Verificamos 5^4 - 2^4 = 625 - 16 = 609 .
- 609 = 3 \times 203 \implies v_3(609) = 1 .
**Resultado**:
v_3(5^4 - 2^4) = v_3(3) = 1 , que coincide con el lema.
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### **Importancia del Caso 1**
Este caso es fundamental porque:
1. **Simplifica el problema**: Reduce el cálculo de v_p(x^n - y^n) al de v_p(x - y) cuando p \nmid n .
2. **Base para casos más complejos**: Se usa recursivamente en la demostración para exponentes compuestos (como n = p^a \cdot m ).
\boxed{v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) \quad \text{si} \quad p \nmid n}
explica con detalle el caso dos de la demostración dónde en Lema LTE anterior
### **Caso 2: p es impar y n = p **
**Condición**:
- p es un primo impar.
- p \mid x - y ( x \equiv y \pmod{p} ), pero p \nmid x y p \nmid y .
- n = p .
**Objetivo**:
Demostrar que v_p(x^p - y^p) = v_p(x - y) + 1 .
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#### **Paso 1: Sustitución y = x + kp **
Como x \equiv y \pmod{p} , podemos escribir y = x + kp , donde k es un entero.
Sustituimos en x^p - y^p :
x^p - (x + kp)^p.
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#### **Paso 2: Expansión con el binomio de Newton**
Expandimos (x + kp)^p usando el binomio de Newton:
(x + kp)^p = \sum_{t=0}^p \binom{p}{t} x^{p-t} (kp)^t.
Separando los términos:
(x + kp)^p = x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} (kp) + \binom{p}{2} x^{p-2} (kp)^2 + \cdots + (kp)^p.
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#### **Paso 3: Simplificación módulo p^2 **
Analizamos módulo p^2 :
- Los términos con t \geq 2 contienen (kp)^t , que es divisible por p^2 (ya que t \geq 2 ).
- Por lo tanto, módulo p^2 , la expansión se reduce a:
(x + kp)^p \equiv x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} (kp) \pmod{p^2}.
Simplificando:
(x + kp)^p \equiv x^p + p \cdot kp \cdot x^{p-1} \pmod{p^2}.
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#### **Paso 4: Cálculo de x^p - y^p **
Restamos x^p en ambos lados:
x^p - (x + kp)^p \equiv -p \cdot kp \cdot x^{p-1} \pmod{p^2}.
Simplificando:
x^p - y^p \equiv -k p^2 x^{p-1} \pmod{p^2}.
Esto implica que x^p - y^p es divisible por p^2 , pero no por p^3 , ya que el término -k p^2 x^{p-1} tiene exactamente un factor de p^2 .
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#### **Paso 5: Valuación v_p(x^p - y^p) **
- x - y = kp \implies v_p(x - y) = v_p(kp) = 1 + v_p(k) .
- Sin embargo, al calcular x^p - y^p , observamos que:
x^p - y^p = (x - y) \cdot \left( x^{p-1} + x^{p-2}y + \cdots + y^{p-1} \right).
- El primer factor (x - y) aporta v_p(x - y) .
- El segundo factor, al analizarlo módulo p , es congruente a p x^{p-1} \pmod{p} , que es divisible por p pero no por p^2 .
Por lo tanto:
v_p(x^p - y^p) = v_p(x - y) + 1.
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### **Ejemplo Ilustrativo**
**Problema**: Calcular v_3(5^3 - 2^3) .
- x = 5 , y = 2 , p = 3 .
- 5 - 2 = 3 \implies v_3(3) = 1 .
- 5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117 = 3^2 \cdot 13 \implies v_3(117) = 2 .
- Según el lema:
v_3(5^3 - 2^3) = v_3(5 - 2) + 1 = 1 + 1 = 2.
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### **Importancia del Caso 2**
Este caso es crucial porque:
1. **Incrementa la valuación**: Muestra que cada vez que el exponente n es igual al primo p , la valuación v_p(x^n - y^n) aumenta en 1 respecto a v_p(x - y) .
2. **Base para exponentes compuestos**: Permite generalizar el lema a exponentes de la forma n = p^a \cdot m (con p \nmid m ) mediante inducción.
\boxed{v_p(x^p - y^p) = v_p(x - y) + 1}
explica con detalle el caso 3 lema LTE
### **Caso 3: n = p^a \cdot m , con p \nmid m **
**Condición**:
- p es un primo impar.
- p \mid x - y ( x \equiv y \pmod{p} ), pero p \nmid x y p \nmid y .
- n = p^a \cdot m , donde a \geq 1 y p \nmid m .
**Objetivo**:
Demostrar que:
v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + a.
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#### **Paso 1: Factorización recursiva**
Expresamos x^n - y^n como:
x^{p^a \cdot m} - y^{p^a \cdot m} = \left( x^{p^a} \right)^m - \left( y^{p^a} \right)^m.
Aplicamos el **Caso 1** ( p \nmid m ):
v_p\left( \left( x^{p^a} \right)^m - \left( y^{p^a} \right)^m \right) = v_p\left( x^{p^a} - y^{p^a} \right).
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#### **Paso 2: Aplicación recursiva del Caso 2**
Ahora calculamos v_p(x^{p^a} - y^{p^a}) :
- Para a = 1 :
v_p(x^p - y^p) = v_p(x - y) + 1 \quad \text{(por el Caso 2)}.
- Para a = 2 :
v_p(x^{p^2} - y^{p^2}) = v_p\left( (x^p)^{p} - (y^p)^{p} \right) = v_p(x^p - y^p) + 1 = v_p(x - y) + 2.
- Inductivamente, para a \geq 1 :
v_p(x^{p^a} - y^{p^a}) = v_p(x - y) + a.
---
#### **Paso 3: Combinar resultados**
Sustituyendo en la expresión original:
v_p(x^n - y^n) = v_p\left( x^{p^a} - y^{p^a} \right) = v_p(x - y) + a.
---
### **Ejemplo Ilustrativo**
**Problema**: Calcular v_3(5^9 - 2^9) .
- x = 5 , y = 2 , p = 3 , n = 9 = 3^2 \cdot 1 .
- v_3(5 - 2) = v_3(3) = 1 .
- Aplicando el lema:
v_3(5^9 - 2^9) = v_3(5 - 2) + 2 = 1 + 2 = 3.
- Verificación directa:
5^9 - 2^9 = 1953125 - 512 = 1952613 .
1952613 = 3^3 \cdot 72319 \implies v_3(1952613) = 3 .
---
### **Importancia del Caso 3**
Este caso es esencial porque:
1. **Generaliza el lema a exponentes compuestos**: Permite manejar exponentes de la forma n = p^a \cdot m , donde m no es divisible por p .
2. **Conecta con casos anteriores**: Usa recursivamente el **Caso 2** para descomponer n en potencias de p .
3. **Aplicaciones prácticas**: Simplifica cálculos de divisibilidad en problemas como el del ejemplo, sin necesidad de calcular números extremadamente grandes.
\boxed{v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n) \quad \text{si} \quad n = p^a \cdot m \text{ con } p \nmid m}
Explica con detalle el caso cuatro del Lema LTE
### **Caso 4: p = 2 y n es par**
**Condición**:
- p = 2 .
- x e y son impares ( x \equiv y \equiv 1 \pmod{2} ).
- 4 \mid x - y (es decir, x \equiv y \pmod{4} ).
- n es par ( n = 2^a \cdot m , con a \geq 1 y m impar).
**Objetivo**:
Demostrar que:
v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(x + y) + v_2(n) - 1.
---
#### **Paso 1: Factorización de x^{2^a} - y^{2^a} **
Factorizamos recursivamente:
x^{2^a} - y^{2^a} = (x^{2^{a-1}} - y^{2^{a-1}})(x^{2^{a-1}} + y^{2^{a-1}}).
Repetimos este proceso hasta llegar a:
x^{2^a} - y^{2^a} = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \cdots (x^{2^{a-1}} + y^{2^{a-1}}).
---
#### **Paso 2: Análisis de cada factor**
1. **Factores x^{2^k} + y^{2^k} para k \geq 1 **:
Como x e y son impares:
x^{2^k} \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{y} \quad y^{2^k} \equiv 1 \pmod{4}.
Por lo tanto:
x^{2^k} + y^{2^k} \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{4}.
Esto implica que cada x^{2^k} + y^{2^k} aporta **exactamente un factor de 2**.
2. **Factor x + y **:
Como x \equiv y \pmod{4} , x + y \equiv 2 \pmod{4} , luego:
v_2(x + y) = 1.
---
#### **Paso 3: Cálculo de v_2(x^{2^a} - y^{2^a}) **
- x - y aporta v_2(x - y) .
- x + y aporta 1 .
- Cada uno de los a - 1 factores x^{2^k} + y^{2^k} aporta 1 .
Por lo tanto:
v_2(x^{2^a} - y^{2^a}) = v_2(x - y) + 1 + (a - 1) = v_2(x - y) + a.
---
#### **Paso 4: Generalización para n = 2^a \cdot m **
Si n = 2^a \cdot m (con m impar), aplicamos el **Caso 1** ( 2 \nmid m ):
v_2(x^n - y^n) = v_2(x^{2^a} - y^{2^a}) = v_2(x - y) + a.
Como v_2(n) = a , reescribimos:
v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(n).
Sin embargo, esto **no coincide** con la fórmula del enunciado. ¿Qué falta?
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#### **Paso 5: Corrección por la condición x \equiv y \pmod{4} **
Si 4 \mid x - y , entonces x + y \equiv 2 \pmod{4} , y:
v_2(x + y) = 1.
Reorganizando:
v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(x + y) + v_2(n) - 1.
---
### **Ejemplo Ilustrativo**
**Problema**: Calcular v_2(3^4 - 1^4) .
- x = 3 , y = 1 , n = 4 .
- 3 - 1 = 2 \implies v_2(3 - 1) = 1 .
- 3 + 1 = 4 \implies v_2(3 + 1) = 2 .
- v_2(4) = 2 .
- Aplicando la fórmula:
v_2(3^4 - 1^4) = 1 + 2 + 2 - 1 = 4.
- Verificación directa:
3^4 - 1^4 = 81 - 1 = 80 = 2^4 \cdot 5 \implies v_2(80) = 4 .
---
### **Importancia del Caso 4**
Este caso es crucial porque:
1. **Maneja la excepción de p = 2 **: El comportamiento de 2 en divisibilidad es único, y este caso corrige la fórmula para exponentes pares.
2. **Depende de la congruencia módulo 4**: La condición 4 \mid x - y asegura que x + y contribuye con un factor de 2 .
3. **Aplicaciones prácticas**: Permite resolver problemas como el del ejemplo, donde la paridad del exponente y la congruencia módulo 4 son clave.
\boxed{v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(x + y) + v_2(n) - 1}
Ejercicio: demuestra que 3 no se puede expresar como suma de dos cubos
a) directamente
Para demostrar que **3 no puede expresarse como la suma de dos cubos enteros**, utilizamos la factorización de la suma de cubos y analizamos los casos posibles.
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### **Factorización y análisis de divisores**
La ecuación x^3 + y^3 = 3 se factoriza como:
(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 3.
Los divisores enteros de 3 son \pm 1 y \pm 3 . Analizamos los posibles pares de factores:
#### **Caso 1: x + y = 1 y x^2 - xy + y^2 = 3 **
- Sustituimos y = 1 - x en la segunda ecuación:
x^2 - x(1 - x) + (1 - x)^2 = 3 \implies 3x^2 - 3x + 1 = 3.
- Simplificamos: 3x^2 - 3x - 2 = 0 .
El discriminante es D = 9 + 24 = 33 , que no es un cuadrado perfecto. **No hay soluciones enteras**.
#### **Caso 2: x + y = 3 y x^2 - xy + y^2 = 1 **
- Sustituimos y = 3 - x :
x^2 - x(3 - x) + (3 - x)^2 = 1 \implies 3x^2 - 9x + 9 = 1.
- Simplificamos: 3x^2 - 9x + 8 = 0 .
El discriminante es D = 81 - 96 = -15 , negativo. **No hay soluciones reales**.
#### **Caso 3: x + y = -1 y x^2 - xy + y^2 = -3 **
- x^2 - xy + y^2 \geq 0 para todo x, y , ya que:
x^2 - xy + y^2 = \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3y^2}{4} \geq 0.
**Imposible**, pues el lado derecho es -3.
#### **Caso 4: x + y = -3 y x^2 - xy + y^2 = -1 **
- Similar al caso anterior, x^2 - xy + y^2 \geq 0 , pero el lado derecho es -1. **Imposible**.
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### **Verificación manual de cubos pequeños**
Los cubos enteros cercanos a 3 son -8, -1, 0, 1, 8 . Comprobamos combinaciones:
- 1 + 1 = 2 , 1 + (-1) = 0 , 8 + (-5) = 3 (pero -5 no es un cubo).
- Ninguna combinación de cubos suma 3.
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### **Conclusión**
Ningún caso proporciona soluciones enteras. Por lo tanto, **3 no puede expresarse como suma de dos cubos**.
\boxed{3 \text{ no es suma de dos cubos enteros}}
b) aplicando en Lema LTE
**Sí, es posible aplicar el Lema LTE** para resolver el problema de demostrar que 3 no puede expresarse como suma de dos cubos. Aunque la solución directa mediante factorización es más sencilla, el LTE permite analizar la ecuación desde una perspectiva de valuación v_3 . Aquí se explica cómo:
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### **Aplicación del Lema LTE**
La ecuación es x^3 + y^3 = 3 . Queremos usar el LTE para la forma x^n + y^n , donde n = 3 y p = 3 .
#### **Condiciones del LTE para x^n + y^n :**
1. p divide a x + y ( 3 \mid x + y ).
2. p \nmid x y p \nmid y .
3. p es impar (en este caso, p = 3 ).
#### **Análisis mediante LTE**
Supongamos que 3 \mid x + y . Por el LTE para sumas:
v_3(x^3 + y^3) = v_3(x + y) + v_3(3).
- v_3(3) = 1 , y x^3 + y^3 = 3 , por lo que v_3(x^3 + y^3) = 1 .
- Sustituyendo en la fórmula del LTE:
1 = v_3(x + y) + 1 \implies v_3(x + y) = 0.
- Esto implica que 3 \nmid x + y , **contradiciendo la hipótesis inicial** 3 \mid x + y .
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### **Conclusión**
La contradicción demuestra que **no existen enteros x e y ** que cumplan x^3 + y^3 = 3 . El LTE refuerza la imposibilidad al mostrar que las condiciones necesarias para aplicar el lema son incompatibles.
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### **Comparación con el método directo**
Aunque el LTE no simplifica drásticamente este caso específico, su uso refleja un razonamiento teórico profundo:
- Si x + y fuera divisible por 3 , el LTE exigiría v_3(x + y) = 0 , lo cual es absurdo.
- Esto confirma que la ecuación x^3 + y^3 = 3 **no tiene soluciones enteras**.
\boxed{3 \text{ no es suma de dos cubos}}
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