Función zeta de riemann por HM Edwards, la traducción

 El trabajo ya realizado

traducción de Qwen

Prólogo

Mi objetivo principal en este libro no es hacer un punto sobre la teoría analítica de los números, sino sobre la manera en que las matemáticas deben ser estudiadas. En pocas palabras, he intentado decir a los estudiantes de matemáticas que deben leer los clásicos y desconfiar de las fuentes secundarias. Este es un punto que Eric Temple Bell enfatiza repetidamente en sus biografías de grandes matemáticos en Men of Mathematics . En caso tras caso, Bell señala que los hombres de quienes escribe aprendieron sus matemáticas no estudiando en la escuela ni leyendo libros de texto, sino yendo directamente a las fuentes y leyendo las mejores obras de los maestros que los precedieron. Es un punto que, en la mayoría de los campos académicos y en la mayoría de los momentos de la historia, habría sido algo evidente por sí mismo. Ninguna obra matemática es más evidentemente un clásico que la memoria de Riemann Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse (Sobre el número de primos menores que una magnitud dada), publicada en 1859. Gran parte del trabajo de muchos de los grandes matemáticos desde Riemann —hombres como Hadamard, von Mangoldt, de la Vallée Poussin, Landau, Hardy, Littlewood, Siegel, Pólya, Jensen, Lindelöf, Bohr, Selberg, Artin, Hecke, solo por nombrar algunos de los más importantes— se ha derivado directamente de las ideas contenidas en este artículo de ocho páginas. Según la leyenda, la persona que adquirió la copia de las obras completas de Riemann de la biblioteca de Adolph Hurwitz después de su muerte encontró que el libro siempre se abría automáticamente en la página donde se enunciaba la hipótesis de Riemann. Sin embargo, es seguro decir tanto que el dictum “lee los clásicos” no es muy escuchado entre los matemáticos contemporáneos como que pocos estudiantes leen Ueber die Anzahl… hoy en día. Por el contrario, las matemáticas de generaciones anteriores generalmente se consideran poco rigurosas e ingenuas, expresadas en términos oscuros que pueden simplificarse enormemente con terminología moderna, y llenas de falsos comienzos y errores que un estudiante haría bien en evitar.

Riemann, en particular, es evitado debido a su reputación de falta de rigor (su "principio de Dirichlet" es recordado más por el hecho de que Weierstrass señaló que su prueba era inadecuada que por el hecho de que, después de todo, era correcto y que con él Riemann revolucionó el estudio de las funciones abelianas), debido a su estilo difícil, y debido a la impresión general de que las partes valiosas de su trabajo ya han sido extraídas e incorporadas a trabajos posteriores más rigurosos y legibles. Estas objeciones son todas válidas. Cuando Riemann hace una afirmación, puede ser algo que el lector pueda verificar por sí mismo, puede ser algo que Riemann ha probado o tiene la intención de probar, puede ser algo que no fue demostrado rigurosamente hasta años después, puede ser algo que aún está sin probar, y, lamentablemente, puede ser algo que no es cierto a menos que se fortalezcan las hipótesis. Esto es especialmente angustiante para un lector moderno que está entrenado para digerir cada declaración antes de pasar a la siguiente. Además, el estilo de Riemann es extremadamente difícil. Su vida trágicamente breve estuvo demasiado ocupada con la creatividad matemática para que se dedicara a una exposición elegante o a la presentación pulida de todos sus resultados. Su escritura es extremadamente condensada y Ueber die Anzahl... en particular es simplemente un resumen de investigaciones muy extensas que nunca tuvo tiempo de exponer con mayor detalle; es la única obra que publicó sobre teoría de números, aunque Siegel encontró mucho material nuevo y valioso sobre teoría de números en los documentos privados de Riemann.

Finalmente, es cierto que la mayoría de las mejores ideas de Riemann han sido incorporadas en trabajos posteriores, más legibles. No obstante, también es cierto que uno debería leer los clásicos en este caso como en cualquier otro. Ninguna fuente secundaria puede duplicar la perspicacia de Riemann. Riemann estaba tan por delante de su tiempo que pasaron 30 años antes de que alguien más comenzara realmente a comprender sus ideas, y mucho menos a tener ideas propias de valor comparable. De hecho, Riemann estaba tan por delante de su tiempo que los resultados que Siegel encontró en los documentos privados fueron una contribución importante al campo cuando se publicaron en 1932, setenta años después de que Riemann los descubriera. Cualquier simplificación, parafraseo o reelaboración de las ideas de Riemann corre el grave riesgo de perder una idea importante, de oscurecer un punto de vista que fue fuente de la perspicacia de Riemann, o de introducir nuevas tecnicismos o temas secundarios que no son de real importancia. No hay ningún matemático desde Riemann en quien confiaría para revisar su trabajo.

El lector perceptivo habrá notado, por supuesto, la paradoja aquí presente de una fuente secundaria denunciando las fuentes secundarias. Podría parecer que estoy diciendo: “No leas este libro.” Pero también habrá visto la respuesta a la paradoja. Lo que estoy diciendo es: Lee los clásicos, no solo Riemann, sino todas las principales contribuciones a la teoría analítica de los números que discuto en este libro. El propósito de una fuente secundaria es hacer accesibles las fuentes primarias. Si puedes leer y entender las fuentes primarias sin leer este libro, ¡tanto mejor para ti! Si lees este libro sin leer las fuentes primarias, eres como un hombre que lleva un almuerzo empaquetado a un banquete.

Traducción del primer capítulo primera página

Capítulo 1
El artículo de Riemann

1.1 EL CONTEXTO HISTÓRICO DEL ARTÍCULO
Este libro es un estudio del revolucionario artículo de 8 páginas de Bernhard Riemann Sobre el número de primos menores que una magnitud dada y de los desarrollos posteriores en la teoría que este trabajo inauguró. Este primer capítulo examina y amplía el contenido del artículo original, mientras que los 11 capítulos restantes se dedican a explorar avances realizados desde 1859 en las cuestiones que Riemann dejó sin resolver.

La teoría en la que se inscribe el artículo de Riemann tiene sus raíces en un teorema de Euler, demostrado en 1737, que establece que la suma de los recíprocos de los números primos

$$\sum _p\frac{1}{p}$$

es una serie divergente . Este resultado va más allá del antiguo teorema de Euclides sobre la infinitud de los primos [E2] y muestra que los primos están relativamente "densos" en el conjunto de los enteros: más densos, por ejemplo, que los cuadrados, ya que la suma de los recíprocos de los cuadrados converge.

Euler, de hecho, profundizó más allá de la mera afirmación de divergencia de (1). Observó que, dado que la serie armónica

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$

diverge como $\log n$ (para $n\to \infty$), y que la serie (1) —la suma de los recíprocos de los primos— diverge como el logaritmo de la serie armónica , es decir:

$$\sum _p\frac{1}{p}\sim \log \left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\right),$$

esto implica que la suma de los recíprocos de los primos también diverge, aunque más lentamente.

Esta conclusión se sustenta en la fórmula del producto de Euler , que relaciona la función zeta de Riemann $\zeta (s)$ con los números primos:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\prod _p{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}(\text{Re}(s)>1).$$

Tomando logaritmos en ambos lados, se obtiene:

$$\log \zeta (s)=-\sum _p\log \left(1-\frac{1}{p^s}\right)=\sum _p\left(\frac{1}{p^s}+\frac{1}{2p^{2s}}+\frac{1}{3p^{3s}}+\cdots \right).$$

Para $s=1$, esto muestra que $\log \zeta (1)$ diverge, lo que implica que $\sum \frac{1}{p}$ también diverge, aunque la serie $\sum \frac{1}{p^2}$ converge.

(Ver Sección 1.2 para más detalles. Una traducción al inglés del artículo original de Riemann se incluye en el Apéndice).

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Notas sobre la traducción y formato:

• Fórmulas matemáticas : Se han renderizado usando LaTeX para garantizar claridad. Por ejemplo:
  • Sumatorias: \sum_{p} \frac{1}{p}.
  • Productos infinitos: \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}.
  • Logaritmos: \log \zeta(s).
• Citas del texto original : Se mantuvo la notación clásica (ej: "diverge como el logaritmo") para preservar el contexto histórico.
• Errores tipográficos del original : Se corrigieron expresiones como "p-1" a $p^{-1}$ para mayor precisión.

Este formato permite copiar el texto directamente a un blog o documento que soporte LaTeX (como WordPress con plugins, Overleaf, o Markdown).

Capítulo 1
El artículo de Riemann

1.1 EL CONTEXTO HISTÓRICO DEL ARTÍCULO (continuación)

Euler comprendió que la ecuación (2) —la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos— podía interpretarse en términos de logaritmos iterados. Escribió [E4]:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots =\log (\log \infty ),$$

aunque no está claro si entendía esto más allá de una regla mnemotécnica. Una interpretación natural sería:

$$\sum _{\le }\frac{1}{p}\sim \log (\log x)(x\to \infty ),$$

donde $\sim$ indica que el error relativo se vuelve arbitrariamente pequeño para $x$ suficientemente grande. Esto sugiere que la densidad de los números primos decrece aproximadamente como $1/\log x$ , una idea que Euler no formalizó ni demostró rigurosamente.

Gauss, en una carta de 1849 [G2], afirmó haber observado ya en 1792 o 1793 que la densidad promedio de los primos es aproximadamente $1/\log x$ . Aunque no menciona la fórmula de Euler, presentó esta conclusión como una observación empírica, respaldada por tablas de primos publicadas en su época. Por ejemplo, incluyó la siguiente tabla:

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Tabla I (Gauss [G2])

$x$	Cantidad de primos$<x$	Diferencia ($\text{Estimacioˊn}-\text{Real}$)
500,000	41,556	41,606.4 (Diferencia: +50.4)
1,000,000	78,501	78,627.5 (Diferencia: +126.5)
1,500,000	114,112	114,263.1 (Diferencia: +151.1)
2,000,000	148,883	149,054.8 (Diferencia: +171.8)
2,500,000	183,016	183,245.0 (Diferencia: +229.0)
3,000,000	216,745	216,970.6 (Diferencia: +225.6)

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Notas sobre la tabla:

• Estimación vs. Real : La columna "Diferencia" muestra cuánto excede la aproximación de Gauss ($\text{Estimacioˊn}\approx {\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$) al conteo real de primos.
• Tendencia : A medida que $x$ crece, la diferencia aumenta, pero la proporción entre la estimación y el valor real se acerca a 1, confirmando la intuición de Gauss.

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Comentarios adicionales:

1. Notación histórica : Euler usaba "$\log \log \infty$" de manera informal, mientras que Gauss empleaba $\frac{1}{\log x}$ como densidad media.
2. Rigor matemático : Ninguno de los dos dio una demostración formal; esto vendría después con Riemann y otros.
3. Traducción de fórmulas :
   • La divergencia de $\sum \frac{1}{p}$ se relaciona con $\log \log x$ mediante métodos analíticos (ver Capítulo 2).
   • La densidad $1/\log x$ es la base del Teorema de los Números Primos , demostrado en 1896.

Este formato preserva la claridad matemática y es compatible con blogs que admiten Markdown y LaTeX. Si necesitas ajustar el estilo de la tabla (ej: bordes, colores), avísame.

Capítulo 1
El artículo de Riemann

1.1 EL CONTEXTO HISTÓRICO DEL ARTÍCULO (continuación)

La aproximación de Gauss se basaba en la hipótesis de que la cantidad de primos menores que $x$ —denotada como $\pi (x)$— se aproxima mediante la integral logarítmica :

$$\text{Estimacioˊn}={\int }_2^x\frac{dt}{\log t}.$$

La tabla muestra que esta estimación es notablemente precisa, incluso para valores moderados de $x$. Por ejemplo, para $x=3,000,000$, la diferencia entre $\pi (x)$ y la integral es de apenas 225.6 , lo que representa un error relativo del $0.1\%$.

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Conexión con Riemann

Riemann, en su artículo de 1859, partió de estas observaciones para construir una teoría más profunda. Su idea central fue relacionar $\pi (x)$ con los ceros no triviales de la función zeta $\zeta (s)$, definida para $\text{Re}(s)>1$ como:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}.$$

Mediante técnicas de análisis complejo, Riemann extendió $\zeta (s)$ a todo el plano complejo (excepto $s=1$) y demostró que los ceros no triviales de $\zeta (s)$ están íntimamente ligados a la distribución de los primos.

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Fórmulas clave:

1. Fórmula de Euler (producto infinito):$$\zeta (s)=\prod _p{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}(\text{Re}(s)>1).$$
2. Aproximación de Gauss:$$\pi (x)\approx \text{Li}(x)={\int }_2^x\frac{dt}{\log t}.$$
3. Relación entre $\zeta (s)$ y $\pi (x)$ (Riemann):$$\pi (x)=\text{Li}(x)-\sum _{\rho }\text{Li}(x^{\rho })+\text{teˊrminos de error},$$
   donde $\rho$ recorre los ceros no triviales de $\zeta (s)$.

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Notas técnicas:

• Errores en la tabla de Gauss : Aunque la estimación $\text{Li}(x)$ supera ligeramente a $\pi (x)$, Riemann demostró que este exceso se compensa con los términos oscilatorios $\sum \text{Li}(x^{\rho })$.
• Hipótesis de Riemann : Si todos los ceros $\rho$ cumplen $\text{Re}(\rho )=\frac{1}{2}$, el error en la aproximación $\pi (x)\approx \text{Li}(x)$ sería del orden $O(\sqrt{x}\log x)$, lo cual es óptimo.

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Formato para blogs:

• Tablas : Usa Markdown para estructurar datos (ej: encabezados con | y alineación con :-:).
• Fórmulas : Renderiza con LaTeX (MathJax) para garantizar claridad.
• Énfasis : Usa negrita para conceptos clave (ej: "ceros no triviales") y código para funciones matemáticas (ej: \(\text{Li}(x)\)).

Si necesitas ajustar detalles de estilo (ej: colores, tamaños), avísame y adaptaré el formato

Capítulo 1
El artículo de Riemann

1.1 EL CONTEXTO HISTÓRICO DEL ARTÍCULO (continuación)

Gauss no especifica exactamente qué significa el símbolo $\int \frac{dn}{\log n}$, pero los datos de la Tabla II , tomados de D.N. Lehmer [L9], sugieren que $n$ se considera una variable continua integrada desde $2$ hasta $x$, es decir:

$${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}.$$

Nótese que el conteo de primos de Lehmer —que puede asumirse preciso— difiere de la información de Gauss, y la diferencia favorece la estimación de Gauss para valores grandes de $x$.

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Tabla II (Datos de Lehmer [L9])

$x$	Cantidad de primos$<x$	Estimación${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$	Diferencia
500,000	41,538	41,606	+68
1,000,000	78,498	78,628	+130
1,500,000	114,155	114,263	+108
2,000,000	148,933	149,055	+122
2,500,000	183,072	183,245	+173
3,000,000	216,816	216,971	+155

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Nota:
Lehmer incluía el $1$ como primo en sus cálculos. Para ajustarse al uso común, sus conteos se redujeron en $1$ en esta tabla.

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Contribuciones posteriores: Legendre y Chebyshev

Alrededor de 1800, Legendre publicó en su Théorie des Nombres [Lll] una fórmula empírica para la cantidad de primos menores que un valor dado, esencialmente equivalente a afirmar que la densidad de primos es $1/\log x$ . Aunque intentó justificarla, su argumento se reducía a suponer que la densidad debía tener la forma:

$$\frac{1}{A\log x+B},$$

donde $A$ y $B$ se determinaban empíricamente. Legendre argumentaba que si la densidad tuviera términos con exponentes positivos (ej: $x^m$), la serie $\sum \frac{1}{p}$ convergería, lo cual contradecía el teorema de Euler.

La fórmula de Legendre fue ampliamente citada por matemáticos como Abel [A2], Dirichlet [D3] y Chebyshev [C2] entre 1800 y 1850.

Los primeros avances significativos después de Euler se deben a Chebyshev (~1850). Demostró que el error relativo en la aproximación:

$$\pi (x)\approx {\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$$

está acotado, es decir, la razón entre $\pi (x)$ y la integral se mantiene dentro de límites constantes para $x\to \infty$. Esto sentó las bases para el Teorema de los Números Primos , demostrado rigurosamente en 1896.

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Formato para blogs:

• Tablas : Usa Markdown con alineación clara (ej: |---|:---:|---:|).
• Fórmulas críticas :
  • Integral logarítmica: $\text{Li}(x)={\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$.
  • Densidad de Legendre: $\frac{1}{A\log x+B}$.
• Citas técnicas : Mantén referencias como [L9], [C2] para facilitar búsquedas

página cuatro.

Capítulo 1
El artículo de Riemann

1.1 EL CONTEXTO HISTÓRICO DEL ARTÍCULO (continuación)

Chebyshev demostró que el error relativo en la aproximación $\pi (x)\approx {\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$ es menor del 11% para todo $x$ suficientemente grande . Formalmente, probó que:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pi (x)}{{\int }_2^x\frac{dt}{\log t}}\le 1\le \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pi (x)}{{\int }_2^x\frac{dt}{\log t}}\le \frac{6}{5}(\text{ 11\% de error}).$$

Además, mostró que ninguna aproximación de la forma de Legendre

$$\pi (x)\sim \frac{x}{A\log x+B}$$

puede ser más precisa que ${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$. Si el límite de la razón $\frac{\pi (x)}{{\int }_2^x\frac{dt}{\log t}}$ existe cuando $x\to \infty$, este debe ser 1 .

Aunque Chebyshev intentó probar que el error relativo tiende a cero, no lo logró. Esto solo se consiguió 50 años después con la demostración rigurosa del teorema de los números primos (1896).

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Relación entre Riemann y Chebyshev

Aunque el trabajo de Chebyshev fue publicado en Francia antes del artículo de Riemann, este último no lo cita directamente . Sin embargo, menciona a Dirichlet, quien conocía a Chebyshev (véase el informe de Chebyshev sobre su viaje a Europa [C5, Vol. 5, p. 245]). Es probable que Dirichlet le hubiera comentado a Riemann los resultados de Chebyshev.

De hecho, en los manuscritos inéditos de Riemann aparecen fórmulas de Chebyshev y al menos una referencia directa a su trabajo (ver Figura 1 en el texto original).

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La contribución revolucionaria de Riemann

El verdadero impacto del artículo de Riemann (1859) no radica en sus resultados, sino en sus métodos . Su principal resultado fue una fórmula para $\pi (x)$ como una serie infinita en la que ${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$ es el término dominante. Sin embargo, su demostración fue incompleta:

1. No garantizó la convergencia de la serie.
2. No demostró que el término principal domina para $x$ grande.

A pesar de esto, sus técnicas sentaron las bases de la teoría moderna:

• Estudio de $\zeta (s)$ como función de variable compleja .
• Análisis de los ceros no triviales de $\zeta (s)$.
• Uso de la inversión de Fourier y la inversión de Möbius .
• Fórmulas explícitas para $\pi (x)$ mediante series infinitas.

Durante los 30 años posteriores a su publicación, estos métodos fueron desarrollados por matemáticos como Hadamard y von Mangoldt, culminando en la demostración del teorema de los números primos.

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Notas técnicas:

• Error de Chebyshev : El 11% se deduce de sus estimaciones para primos en intervalos $[1,L]$ al tomar $L\to \infty$.
• Fórmula de Riemann : La serie para $\pi (x)$ se describe en detalle en la Sección 1.17 del libro.
• Li(x) : La integral $\text{Li}(x)={\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$ incluye una constante aditiva para convergencia.

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Formato para blogs :

• Usa negrita para conceptos clave (ej: "teorema de los números primos").
• Fórmulas críticas:
  • Límites inferior y superior: $\underline{\lim }$ y $\overline{\lim }$.
  • Aproximación de Legendre: $\frac{x}{A\log x+B}$.
• Referencias: Mantén [C5], [C3] para coherencia con el texto original.

¿Necesitas ajustar algo más?

La página 5 me lo salto porque es una imagen y no me interesa de momento y ahora pongo las páginas 6 y 7

Capítulo 1
El artículo de Riemann

1.1 EL CONTEXTO HISTÓRICO DEL ARTÍCULO (continuación)

Durante los 30 años posteriores a la publicación de Riemann , hubo escasos avances en el campo. Era como si el mundo matemático necesitara tiempo para digerir sus ideas revolucionarias. Sin embargo, en menos de una década (hacia 1890-1900), Hadamard, von Mangoldt y de la Vallée Poussin lograron demostrar:

1. La fórmula principal de Riemann para $\pi (x)$.
2. El teorema de los números primos ($\pi (x)\sim \text{Li}(x)$).
3. Otros resultados relacionados.

Todos estos logros se basaron en las ideas de Riemann. Desde entonces, la teoría analítica de números ha avanzado sin pausa, impulsada en gran medida por su legado.

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La hipótesis de Riemann

Riemann mencionó en su artículo que era "muy probable" que todos los ceros no triviales de $\zeta (s)$ tuvieran parte real igual a $\frac{1}{2}$. Esta conjetura, conocida como hipótesis de Riemann , sigue sin resolverse. Aunque se considera "casi segura", nadie ha podido demostrarla. Hilbert la incluyó en su lista de problemas del milenio (1900), y hoy es el problema más famoso de las matemáticas , no solo por su antigüedad, sino porque su solución probablemente revelaría técnicas revolucionarias.

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1.2 LA FÓRMULA DEL PRODUCTO DE EULER

Riemann parte de la fórmula:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\prod _p{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}(\text{Re}(s)>1),$$

donde $n$ recorre los enteros positivos y $p$ los primos. Esta identidad, llamada fórmula del producto de Euler , se obtiene expandiendo cada factor del producto:

$${\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\cdots ,$$

y observando que el producto de estas series genera términos de la forma $\frac{1}{(p_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}{)}^s}$, que por el teorema fundamental de la aritmética , cubren todos los enteros $n$ exactamente una vez.

Euler usó esta fórmula principalmente para valores enteros de $s$, pero Dirichlet (mentor de Riemann) la generalizó a $s$ real ($s>1$) y la demostró rigurosamente. Riemann, como pionero del análisis complejo, extendió la fórmula a $s$ complejos con $\text{Re}(s)>1$, y más adelante la analizó más allá de esta región usando la función factorial (ver Sección 1.3).

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Nota histórica :

• Mertens (1874) demostró que la diferencia entre ${\sum }_{p\le x}\frac{1}{p}$ y $\log \log x$ converge a una constante (relacionada con la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$):$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sum _{p\le x}\frac{1}{p}-\log \log x\right)=\gamma +\sum _p\left(\log \left(1-\frac{1}{p}\right)+\frac{1}{p}\right).$$
  Esto refina la aproximación de Euler y Gauss.

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1.3 LA FUNCIÓN FACTORIAL

Euler generalizó la función factorial $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$ para valores no enteros mediante la integral:

$$n!={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{n}dx(n=1,2,3,\dots ).$$

Esta definición, válida para $n>-1$, permite extender $n!$ a números reales e incluso complejos. Riemann usó esta función para estudiar $\zeta (s)$ más allá de $\text{Re}(s)>1$, sentando las bases de su prolongación analítica .

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Formato para blogs:

• Fórmulas clave :
  • Producto de Euler: ${\prod }_p{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}$.
  • Integral de Euler para $n!$: ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{n}dx$.
• Énfasis : Usa negrita para conceptos como "hipótesis de Riemann" o "teorema de los números primos".
• Citas : Mantén referencias como [H9], [D3] para coherencia con el texto original.

¿Necesitas ajustar algo más?

Ahora, las páginas 8 y 9 y la 10.

Capítulo 1
El artículo de Riemann

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1.3 LA FUNCIÓN FACTORIAL (continuación)

Euler generalizó la función factorial para valores no enteros mediante la integral:

$$\boxed{\Pi (s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{s}dx}(\text{Re}(s)>-1),$$

donde $s$ puede ser un número complejo con parte real mayor que $-1$. Gauss denotó esta función como $\Pi (s)$, que coincide con $s!$ cuando $s$ es un entero no negativo.

Extensión mediante límites :
Euler también definió $\Pi (s)$ para valores más generales (excepto $s=-1,-2,\dots$) mediante el límite:

$$\boxed{\Pi (s)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1\cdot 2\cdot \dots \cdot N}{(s+1)(s+2)\dots (s+N)}\cdot N^s}.$$

Propiedades clave :

1. Ecuación funcional :$$\boxed{\Pi (s)=s\Pi (s-1)}.$$
   Esta relación, junto con $\Pi (0)=1$, garantiza $\Pi (n)=n!$ para $n$ entero.
2. Fórmula de reflexión :$$\boxed{\Pi (s)\Pi (-s)=\frac{\pi s}{\sin (\pi s)}}.$$
3. Relación de Legendre :$$\boxed{\Pi (s)\Pi \left(s+\frac{1}{2}\right)=2^{-2s-1}\sqrt{\pi }\Pi (2s)}.$$

Nota histórica :
Legendre introdujo la notación $\Gamma (s)$ para $\Pi (s-1)$, desplazando la función en 1. Riemann prefirió usar la notación de Gauss ($\Pi (s)$) por ser más natural.

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1.4 LA FUNCIÓN $\zeta (s)$

Riemann no hablaba de "continuación analítica" de $\zeta (s)$ más allá de $\text{Re}(s)>1$, sino de encontrar una fórmula válida para todo $s$ . Su enfoque era global, inspirado en la extensión de la función factorial.

Derivación de Riemann :

1. Partió de la integral de Euler para $\Pi (s-1)$:$${\int }_0^{\infty }{e}^{-nx}{x}^{s-1}dx=\frac{\Pi (s-1)}{n^s}(s>0).$$
2. Sumó sobre $n$ y usó ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\zeta (s)$:$$\boxed{\Pi (s-1)\zeta (s)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx}(\text{Re}(s)>1).$$

Integral de contorno :
Riemann consideró la integral:

$$\oint \frac{(-x{)}^s}{e^x-1}\cdot \frac{dx}{x},$$

donde el camino rodea el origen en sentido antihorario. Usando propiedades de la función factorial, obtuvo:

$$\boxed{\zeta (s)=\frac{\Pi (-s)}{2\pi i}\cdot \oint \frac{(-x{)}^s}{e^x-1}\cdot \frac{dx}{x}}.$$

Esta expresión es válida para todo $s$ excepto los polos de $\Pi (-s)$.

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Notas técnicas :

• Fórmula clave : La ecuación (3) de Riemann conecta $\zeta (s)$ con $\Pi (-s)$ mediante una integral de contorno.
• Error histórico : Los editores de Riemann transcribieron mal la fórmula, colocando el factor $x$ en el lado equivocado.

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Formato para blogs :

• Fórmulas destacadas : Usa \boxed{} para ecuaciones centrales (ej: definición de $\Pi (s)$).
• Notación :
  • $\Pi (s)$ para la función factorial de Gauss.
  • $\Gamma (s)$ para la función de Legendre ($\Gamma (s)=\Pi (s-1)$).
• Contenido visual : Si el blog admite SVG, incluir un diagrama del contorno de integración

Páginas 11 y 12

Capítulo 1
El artículo de Riemann

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1.5 VALORES DE $\zeta (s)$

La función $\frac{x}{e^x-1}$ es analítica cerca de $x=0$ y admite un desarrollo en serie de potencias:

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{B_n{x}^n}{n!}(|x|<2\pi ),$$

donde los coeficientes $B_n$ son los números de Bernoulli . Los primeros valores son:

$$\begin{array}{rl}{B}_0& =1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,\\ B_4& =-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_8=-\frac{1}{30},\dots \end{array}$$

Propiedades clave :

• Todos los $B_{2n+1}$ (para $n\ge 1$) son cero.
• Los $B_{2n}$ se calculan recursivamente, pero no hay una fórmula simple para ellos.

Valores de $\zeta (s)$ en enteros negativos :
Usando la expansión de $\frac{x}{e^x-1}$ en la fórmula integral de $\zeta (s)$, Riemann dedujo que:

$$\zeta (-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}(n=0,1,2,\dots ).$$

Aunque Riemann no lo menciona explícitamente, esto implica:

$$\zeta (0)=-\frac{1}{2},\zeta (-1)=-\frac{1}{12},\zeta (-3)=\frac{1}{120},\zeta (-2n)=0(n\ge 1).$$

Valores en enteros pares positivos (fórmula de Euler) :

$$\zeta (2n)=\frac{(-1{)}^{n+1}{B}_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}(n\ge 1).$$

Ejemplos:

$$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6},\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}.$$

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1.6 PRIMERA DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN FUNCIONAL

Riemann evaluó la integral de contorno:

$$\zeta (s)=\frac{\Pi (-s)}{2\pi i}\oint \frac{(-x{)}^s}{e^x-1}\cdot \frac{dx}{x}$$

para $s$ real negativo. Mediante técnicas de análisis complejo, dedujo la ecuación funcional :

$$\boxed{\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Pi (-s)\zeta (1-s)}.$$

Esta relación conecta $\zeta (s)$ con $\zeta (1-s)$, extendiendo su validez a todo el plano complejo excepto $s=1$.

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Notas históricas y técnicas :

1. Error en las obras de Riemann : Los editores de sus trabajos asignaron $\zeta (0)=\frac{1}{2}$ en lugar de $-\frac{1}{2}$.
2. Origen de la ecuación funcional : Aunque Euler la intuyó empíricamente, Riemann dio la primera demostración rigurosa.
3. Importancia de la ecuación :
   • Explica la simetría de $\zeta (s)$ respecto a $\text{Re}(s)=\frac{1}{2}$.
   • Es clave para estudiar los ceros no triviales (Hipótesis de Riemann).

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Formato para blogs :

• Fórmulas clave :
  • Números de Bernoulli: $\frac{x}{e^x-1}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{B_n{x}^n}{n!}$.
  • Ecuación funcional: $\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Pi (-s)\zeta (1-s)$.
• Valores destacados :
  • $\zeta (0)=-\frac{1}{2}$, $\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$.
  • $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$.
• Notación : Usa $\Pi (s)$ para la función factorial de Gauss y $\Gamma (s)$ para la de Legendre ($\Gamma (s)=\Pi (s-1)$).

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