Demostraciones de algunos resultados

 Apoyo a las dos entradas anteriores

1) Demostración de que la suma de los recíprocos de los números naturales diverge

PRUEBA

Paso 1: Entendiendo la divergencia

Una serie es la suma infinita de términos. Decimos que diverge si sus sumas parciales crecen sin límite. Por ejemplo, si sumamos $1+1+1+\cdots$, claramente diverge. Pero en la serie armónica, los términos $1/n$ se hacen cada vez más pequeños. ¿Cómo puede divergir entonces?

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Paso 2: Agrupación estratégica de términos

La clave está en agrupar los términos de manera inteligente. Observa:

$$\begin{array}{rl}S& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots \\ & >1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots \end{array}$$

Explicación :

• En cada grupo, reemplazamos los términos por el menor término del grupo . Por ejemplo:
  • En el grupo $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$, el menor término es $\frac{1}{4}$.
  • En el grupo $\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}$, el menor término es $\frac{1}{8}$.

Al hacer esto, estamos subestimando la suma real, pero aún así podemos concluir que la suma total crece indefinidamente.

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Paso 3: Calculando la cota inferior

Ahora, calcula la suma de cada grupo:

$$\begin{array}{rl}\text{Primer teˊrmino}& :1\\ \text{Segundo teˊrmino}& :\frac{1}{2}\\ \text{Tercer grupo}& :\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \text{Cuarto grupo}& :4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}\\ \text{Quinto grupo}& :8\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{2}\\ & ⋮\end{array}$$

Resultado :
Cada grupo (después del primer término) suma al menos $\frac{1}{2}$. Por lo tanto, la suma total $S$ cumple:

$$S>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots$$

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Paso 4: Conclusión

La suma $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots$ claramente diverge (es como sumar $1+k\cdot \frac{1}{2}$ para $k\to \infty$). Como la serie armónica $S$ es mayor que una serie divergente , ¡también debe divergir!

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Reflexión final

Aunque los términos $1/n$ se hacen pequeños, su acumulación es lo suficientemente rápida para que la suma crezca sin límite. De hecho, se puede probar que la suma parcial $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n}$ crece aproximadamente como $\ln (N)$, que tiende a infinito (aunque muy lentamente).

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Ejercicio para pensar

• ¿Qué pasa si en lugar de sumar $1/n$, sumamos $1/n^2$?
  (Pista: ¡Esta sí converge! A ${\pi }^2/6$, como verás más adelante en tus estudios).

¿Quieres que profundicemos en algún paso?

En el contexto de la anterior entrada, dame alguna pista para poder resolver el "ejercicio para pensar" que me propusiste, es decir,¿Qué pasa si en lugar de sumar $1/n$, sumamos 1/n

${}^2$
   ?

?   (∑   

${}_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$

)

¡Genial que quieras explorar esto! Vamos a analizar la serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$. Aquí tienes una pista estructurada:

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Pista 1: Comparación con una serie conocida

La serie $\sum \frac{1}{n^2}$ es un caso particular de las series-p , que tienen la forma $\sum \frac{1}{n^p}$.

• Si $p>1$ , la serie converge .
• Si $p\le 1$ , la serie diverge .

En este caso, $p=2$, ¡así que la serie converge! Pero, ¿cómo demostrarlo?

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Pista 2: Usa la prueba de comparación

Compara $\frac{1}{n^2}$ con una serie más simple que sepas que converge. Por ejemplo:

• Para $n\ge 2$, $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$.
• La serie $\sum \frac{1}{n(n-1)}$ es telescópica:$$\sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1.$$
  Por tanto, $\sum \frac{1}{n^2}$ converge porque es menor que una serie convergente.

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Pista 3: Calcula parcialmente y observa

Calcula las sumas parciales para $N=1,2,3,\dots$ y observa su comportamiento:

$$S_N=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{N^2}.$$

Verás que crece muy lentamente (mucho más que la serie armónica, pero no diverge). Por ejemplo:

• $S_{10}\approx 1.5498$,
• $S_{100}\approx 1.6349$,
• $S_{1000}\approx 1.6439$.

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Pista 4: El resultado sorprendente

La suma exacta de esta serie fue calculada por Euler en el siglo XVIII:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx \mathrm{1.6449.}$$

¡Sí, aparece $\pi$ en una suma de números racionales! Esto está relacionado con funciones trigonométricas y polinomios, pero eso lo verás más adelante.

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Ejercicio adicional

Intenta demostrar que ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge usando la prueba de la integral :

1. Compara la serie con la integral ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx$.
2. ¿Qué concluyes?

¿Qué resultados matemáticos, qué teorías tenía yo que haber estudiado para poder comprender la demostración de 

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$$

RESPUESTA

Para comprender la demostración de Euler de que ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$, necesitas familiarizarte con varios conceptos matemáticos clave. Aquí te explico los resultados y teorías que debes dominar, ordenados de menor a mayor complejidad:

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1. Cálculo básico y series infinitas

• Series numéricas : Entender qué es una serie, convergencia/divergencia, y criterios como el de comparación, la integral, o el de Leibniz.
• Serie geométrica : Saber que ${\sum }_{n=0}^{\infty }{r}^n=\frac{1}{1-r}$ para $|r|<1$.
• Serie telescópica : Reconocer sumas que se colapsan (ej: $\sum \frac{1}{n(n+1)}$).

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2. Desarrollos en serie de Taylor

• Polinomios de Taylor : Aproximar funciones suaves como $e^x$, $\sin (x)$, o $\cos (x)$ usando polinomios.
• Serie de Taylor para $\sin (x)$ :$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$Este es el punto de partida de la demostración de Euler.

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3. Productos infinitos

• Factorización de funciones : Saber que algunas funciones pueden escribirse como productos infinitos. Por ejemplo, Euler usó:$$\sin (x)=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2}\right)$$
  Esta fórmula se basa en que los ceros de $\sin (x)$ son $x=k\pi$ para $k\in \mathbb{Z}$.

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4. Coeficientes de una serie y un producto

• Comparar expansiones : Al desarrollar el producto infinito de $\sin (x)$, Euler igualó los coeficientes de $x^3$ en la serie de Taylor y en el producto. Esto requiere:
  • Saber expandir productos infinitos como polinomios.
  • Igualar términos de la misma potencia de $x$.

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5. Análisis de Fourier (enfoque alternativo)

Una demostración moderna usa series de Fourier :

• Desarrollo de Fourier : Expresar funciones periódicas como sumas de senos y cosenos.
• Identidad de Parseval : Relacionar la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier con la integral de la función al cuadrado.
• Aplicación a $f(x)=x$ : Al expandir $f(x)$ en serie de Fourier y aplicar Parseval, se obtiene $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$.

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6. Teoría de funciones analíticas (nivel avanzado)

• Prolongación analítica : Entender cómo extender funciones a dominios complejos.
• Residuos y teorema de los residuos : Usar herramientas de variable compleja para calcular sumas (esto es más técnico y menos intuitivo que el método de Euler).

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Ruta de estudio recomendada

1. Primer paso : Domina series numéricas y desarrollos de Taylor (cálculo básico).
2. Segundo paso : Estudia productos infinitos y la factorización de funciones (análisis real).
3. Tercer paso : Explora series de Fourier y aplicaciones (análisis de Fourier).
4. Nivel avanzado : Profundiza en variable compleja y residuos.

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Libros y recursos

• Cálculo : Cálculo de Spivak o Calculus de Stewart.
• Análisis real : Principles of Mathematical Analysis de Rudin (Cap. 8-9).
• Series de Fourier : Fourier Series and Boundary Value Problems de Churchill.
• Historia y motivación : Euler: The Master of Us All de William Dunham.

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Consejo clave

¡No te frustres si no entiendes todo de golpe! La demostración de Euler es un ejemplo clásico de insight matemático , pero requiere madurez. Empieza por reproducir la prueba paso a paso, y consulta ejemplos similares (como la suma de $\sum \frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$) para ver patrones.

¿Quieres que desarrolle algún concepto en particular

Expandir $f(x)$ = x en serie de Fourier, explicado paso a paso, recuerda, sólo llevo tres o cuatro meses estudiando el grado de matemáticas, pero soy voluntarioso y entusiasta

RESPUESTA

¡Vamos a expandir $f(x)=x$ en serie de Fourier paso a paso! Como estás empezando, explicaré cada concepto desde cero.

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1. ¿Qué es una serie de Fourier?

Una serie de Fourier permite expresar una función periódica $f(x)$ como una suma infinita de senos y cosenos. Aunque $f(x)=x$ no es periódica , podemos definirla en un intervalo y luego extenderla periódicamente. Usaremos el intervalo $[-\pi ,\pi ]$, que es estándar.

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2. Función periódica y simetría

• Intervalo : Trabajamos en $[-\pi ,\pi ]$ y repetimos $f(x)$ cada $2\pi$.
• Simetría : $f(x)=x$ es impar en $[-\pi ,\pi ]$, ya que $f(-x)=-f(x)$.
  Consecuencia : La serie de Fourier solo tendrá términos seno (los coeficientes de coseno serán cero).

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3. Fórmulas de los coeficientes

Para una función $f(x)$ definida en $[-\pi ,\pi ]$, la serie de Fourier es:

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right),$$

donde:

• $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$,
• $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx$,
• $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx$.

Pero como $f(x)=x$ es impar :

• $a_0=0$ (la integral de una función impar en $[-a,a]$ es cero),
• $a_n=0$ (por la misma razón),
• Solo necesitamos calcular $b_n$.

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4. Cálculo de $b_n$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin (nx)dx.$$

Simplificación : Como $x\sin (nx)$ es par (producto de dos funciones impares), podemos integrar de $0$ a $\pi$ y multiplicar por 2:

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin (nx)dx.$$

Integración por partes :

• Sea $u=x$ ⇒ $du=dx$,
• $dv=\sin (nx)dx$ ⇒ $v=-\frac{\cos (nx)}{n}$.

Aplicamos:

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

Sustituyendo:

$$\int x\sin (nx)dx=-\frac{x\cos (nx)}{n}{|}_0^{\pi }+\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }\cos (nx)dx.$$

Evaluamos término a término :

1. Primer término:

   $$-\frac{x\cos (nx)}{n}{|}_0^{\pi }=-\frac{\pi \cos (n\pi )}{n}+\frac{0\cdot \cos (0)}{n}=-\frac{\pi (-1{)}^n}{n}.$$

   (Recuerda que $\cos (n\pi )=(-1{)}^n$).

2. Segundo término:

   $$\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }\cos (nx)dx=\frac{1}{n}\cdot \frac{\sin (nx)}{n}{|}_0^{\pi }=\frac{\sin (n\pi )-\sin (0)}{n^2}=0.$$

   (Ya que $\sin (n\pi )=0$ para $n$ entero).

Resultado final :

$${\int }_0^{\pi }x\sin (nx)dx=-\frac{\pi (-1{)}^n}{n}.$$

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5. Coeficientes $b_n$ y serie final

Sustituyendo en $b_n$:

$$b_n=\frac{2}{\pi }\left(-\frac{\pi (-1{)}^n}{n}\right)=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}.$$

Serie de Fourier :

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx).$$

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6. Ejemplo concreto

Para $x\in (-\pi ,\pi )$, la serie converge a $f(x)=x$. Por ejemplo:

• En $x=\pi /2$:$$\frac{\pi }{2}=2\left(\sin (\pi /2)-\frac{1}{2}\sin (\pi )+\frac{1}{3}\sin (3\pi /2)-\cdots \right).$$

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7. Notas importantes

1. Convergencia : La serie converge a $f(x)$ en todos los puntos donde $f$ es continua. En $x=\pi$ o $x=-\pi$, converge al promedio $0$ (discontinuidad por periodicidad).
2. Extensión periódica : Fuera de $[-\pi ,\pi ]$, la serie repite $f(x)$ cada $2\pi$. Por ejemplo, en $x=3\pi /2$, la serie daría $-\pi /2$, no $3\pi /2$.

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¿Qué has aprendido?

• A identificar simetrías (par/impar) para simplificar cálculos.
• A usar integración por partes en el contexto de series de Fourier.
• La importancia de la periodicidad en la convergencia de la serie.

¿Quieres ver otro ejemplo o profundizar en algún paso?

      

 Explícame cómo se hallan los coeficientes de la serie de fourier de una función. Dame una idea de cómo se justifica ese procedimiento o por lo menos de cómo se llega a él

RESPUESTA

1. Idea intuitiva: Descomposición en ondas básicas

Imagina que una función periódica $f(x)$ es como una "mezcla de ondas" de diferentes frecuencias. Los coeficientes de Fourier $a_0$, $a_n$, y $b_n$ miden la "contribución" de cada onda (frecuencia) a la función original.

• $a_0$: Componente constante (promedio de $f(x)$).
• $a_n$: Contribución de $\cos (nx)$.
• $b_n$: Contribución de $\sin (nx)$.

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2. Ortogonalidad de senos y cosenos

La clave está en que las funciones $\sin (nx)$ y $\cos (nx)$ son ortogonales en el intervalo $[-\pi ,\pi ]$. Esto significa:

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\cos (mx)dx=0\text{para todo }n,m,$$$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (nx)\sin (mx)dx=\{\begin{array}{ll}\pi & \text{si }n=m\ne 0,\\ 0& \text{si }n\ne m,\end{array}$$$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (nx)\cos (mx)dx=\{\begin{array}{ll}\pi & \text{si }n=m\ne 0,\\ 2\pi & \text{si }n=m=0,\\ 0& \text{si }n\ne m.\end{array}$$

Esta ortogonalidad permite "aislar" cada coeficiente.

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3. Fórmulas de los coeficientes

Dada $f(x)$ periódica en $[-\pi ,\pi ]$, su serie de Fourier es:

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right),$$

donde los coeficientes se calculan así:

a) Coeficiente $a_0$:

Integra $f(x)$ sobre $[-\pi ,\pi ]$:

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx.$$

Justificación : Al integrar ambos lados de la serie de Fourier, las integrales de $\cos (nx)$ y $\sin (nx)$ se anulan, dejando solo $a_0$.

b) Coeficientes $a_n$ (para $n\ge 1$):

Multiplica $f(x)$ por $\cos (mx)$, integra y usa ortogonalidad:

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx.$$

Justificación : Al multiplicar la serie de Fourier por $\cos (mx)$ e integrar, todos los términos se anulan excepto cuando $n=m$.

c) Coeficientes $b_n$:

Multiplica $f(x)$ por $\sin (mx)$, integra y usa ortogonalidad:

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx.$$

Justificación : Similar al caso de $a_n$, pero con $\sin (nx)$.

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4. Ejemplo: $f(x)=x$ en $[-\pi ,\pi ]$

Ya vimos que $a_n=0$ (por simetría impar) y $b_n=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$.
Justificación :

• $a_0=0$ porque $f(x)=x$ tiene promedio cero en $[-\pi ,\pi ]$.
• $a_n=0$ porque $x\cos (nx)$ es impar.
• $b_n$ se calcula integrando $x\sin (nx)$, como vimos antes.

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5. ¿Por qué funciona esto?

La ortogonalidad garantiza que cada coeficiente $a_n$ o $b_n$ no se "contamine" con otras frecuencias. Es como descomponer un vector en componentes perpendiculares:

$$f(x)=\text{"componente constante"}+\text{"componente de frecuencia 1"}+\text{"frecuencia 2"}+\cdots$$

Este proceso es similar a la proyección ortogonal en álgebra lineal.

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6. Conexión con el mínimo error

Los coeficientes de Fourier minimizan el error cuadrático medio entre $f(x)$ y su aproximación por una suma finita de senos y cosenos. Esto se demuestra usando cálculo variacional, pero intuitivamente, es como ajustar una recta de regresión, ¡pero con funciones trigonométricas!

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Reflexión final

Aunque el cálculo de los coeficientes parece "mágico", está basado en propiedades profundas de ortogonalidad y minimización de errores. Con práctica, verás que es una herramienta poderosa para analizar señales, resolver EDOs y más.

¿Quieres que desarrolle algún paso con más detalle?

  

Explícame la  Identidad de Parseval : Relacionar la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier con la integral de la función al cuadrado.  Necesito el enunciado y una idea de cómo se justifica o de cómo se llega a ella

RESPUESTA 

Identidad de Parseval
La identidad de Parseval relaciona la integral del cuadrado de una función con la suma de los cuadrados de sus coeficientes de Fourier . Es un caso particular del teorema de Plancherel en espacios de Hilbert y tiene aplicaciones en análisis de señales, física y matemáticas puras.

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Enunciado

Sea $f(x)$ una función periódica de periodo $2\pi$, con serie de Fourier:

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right).$$

Entonces, se cumple:

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2).$$

Esto significa que la energía total de la función (integral del cuadrado) es igual a la suma de las energías de sus componentes de Fourier .

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¿Cómo se justifica?

La idea clave es ortogonalidad de las funciones seno y coseno. Aquí está el esquema de la demostración:

1. Partimos de la serie de Fourier :

   $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right).$$

2. Elevamos al cuadrado ambos lados :

   $$|f(x){|}^2={\left(\frac{a_0}{2}\right)}^2+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2{\cos }^2(nx)+b_n^2{\sin }^2(nx)\right)+\text{teˊrminos cruzados}.$$

3. Integramos sobre $[-\pi ,\pi ]$ :

   $${\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx={\int }_{-\pi }^{\pi }{\left(\frac{a_0}{2}\right)}^{2}dx+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^2(nx)dx+b_n^2{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^2(nx)dx\right)+\text{integrales de teˊrminos cruzados}.$$

4. Usamos ortogonalidad :

   • Los términos cruzados (ej: $\cos (nx)\sin (mx)$) se anulan por ortogonalidad.
   • Las integrales de ${\cos }^2(nx)$ y ${\sin }^2(nx)$ sobre $[-\pi ,\pi ]$ valen $\pi$:$${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^2(nx)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^2(nx)dx=\pi .$$

5. Simplificamos :

   $${\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}\cdot 2\pi +\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)\cdot \pi .$$

   Dividiendo ambos lados entre $\pi$, obtenemos la identidad de Parseval:

   $$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2).$$

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Ejemplo intuitivo

Imagina que $f(x)$ es una señal eléctrica. La integral $\int |f(x){|}^{2}dx$ representa su energía total , mientras que los coeficientes $a_n,b_n$ miden la energía en cada frecuencia. Parseval nos dice que la energía total es la suma de las energías en cada frecuencia .

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¿Por qué es útil?

1. Compresión de señales : Si muchos $a_n,b_n$ son pequeños, podemos aproximar $f(x)$ con pocos términos sin perder mucha energía.
2. Convergencia de series : Si $\int |f(x){|}^{2}dx<\infty$, garantiza que los coeficientes $a_n,b_n$ decaen a cero (lema de Riemann-Lebesgue).
3. Física cuántica : Relaciona la norma de una función de onda con sus componentes en el espacio de momentos.

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Conexión con la serie $\sum \frac{1}{n^2}$

Euler usó una versión de Parseval para calcular $\sum \frac{1}{n^2}$. Si aplicamos la identidad a $f(x)=x$ en $[-\pi ,\pi ]$:

1. Los coeficientes son $a_n=0$, $b_n=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$.
2. Calculamos:$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{{\pi }^2}{3}.$$
3. Aplicamos Parseval:$$\frac{{\pi }^2}{3}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{4}{n^2}\right)⟹\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

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Reflexión final

Parseval es un puente entre el análisis temporal (la función $f(x)$) y el análisis frecuencial (sus coeficientes de Fourier). ¡Es una herramienta fundamental para entender cómo la información se distribuye en diferentes escalas!

¿Quieres ver otro ejemplo o profundizar en algún paso?

 

Quiero demostrar que si m y n son primos entre sí, entonces la congruencia p congruente con n módulo m tiene infinitas soluciones, que son números primos p. Dame alguna pista

Qwen2.5-Max12:13 am

Para demostrar que si $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces la congruencia $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ tiene infinitas soluciones donde $p$ es un número primo, puedes seguir estas pistas y razonamientos:

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1. Reformula el problema

La congruencia $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ significa que $p=mk+n$ para algún entero $k$. Por lo tanto, estás buscando números primos de la forma $p=mk+n$.

El objetivo es demostrar que existen infinitos primos de esta forma cuando $m$ y $n$ son primos entre sí (es decir, $\text{mcd}(m,n)=1$).

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2. Usa el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas

El teorema de Dirichlet establece que si $a$ y $b$ son enteros primos entre sí ($\text{mcd}(a,b)=1$), entonces la progresión aritmética

$$a,a+b,a+2b,a+3b,\dots$$

contiene infinitos números primos.

En tu caso:

• La progresión es $n,n+m,n+2m,n+3m,\dots$.
• Como $m$ y $n$ son primos entre sí ($\text{mcd}(m,n)=1$), el teorema de Dirichlet garantiza que hay infinitos primos en esta progresión.

Esto resuelve directamente el problema, pero si quieres una idea más constructiva o una demostración alternativa, sigue las siguientes pistas.

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3. Argumenta por contradicción

Supón que solo hay un número finito de primos $p$ que satisfacen $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$. Llama a estos primos $p_1,p_2,\dots ,p_k$.

• Construye un nuevo número $N$ de la forma $N=m\cdot M+n$, donde $M$ es un entero elegido cuidadosamente.
• Demuestra que $N$ no puede ser divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_k$, lo que implica que $N$ debe ser un nuevo primo (o múltiplo de un primo nuevo) que también satisface $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$.
• Esto contradice la suposición de que solo hay un número finito de tales primos.

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4. Conexión con la teoría de números modulares

Otra manera de abordar el problema es observar que la condición $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ define una clase de residuos módulo $m$. Dado que $m$ y $n$ son primos entre sí, esta clase de residuos contiene infinitos elementos, algunos de los cuales son primos.

La clave está en usar propiedades de las clases de residuos y la distribución de los primos dentro de ellas.

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5. Idea intuitiva detrás del teorema de Dirichlet

El teorema de Dirichlet se basa en la idea de que los primos están distribuidos "uniformemente" entre las clases de residuos módulo $m$, siempre que $m$ y $n$ sean primos entre sí. Esto significa que cualquier clase de residuos válida (como $n(\mathrm{mod}m)$) contendrá infinitos primos.

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Conclusión

La herramienta principal para resolver este problema es el teorema de Dirichlet , que garantiza que hay infinitos primos en la progresión aritmética $n,n+m,n+2m,\dots$ cuando $\text{mcd}(m,n)=1$. Si deseas una demostración más detallada o constructiva, puedes explorar argumentos por contradicción o propiedades de las clases de residuos.

$$\boxed{\text{Por el teorema de Dirichlet, hay infinitos primos }p\text{ tales que }p\equiv n(\mathrm{mod}m).}$$

Qwen2.5-Max

La idea detrás de tu razonamiento es interesante y está inspirada en la demostración clásica de Euclides de que hay infinitos números primos. Sin embargo, hay algunos problemas técnicos en la forma en que lo has planteado que hacen que esta "demostración" no sea completamente correcta. Vamos a analizarlo paso a paso para ver por qué.

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Tu razonamiento

1. Supones que solo hay un número finito de primos de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$. Llamemos a estos primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$.
2. Construyes el número $mt+n$, donde $t=p_1{p}_2\cdots p_r$ (el producto de todos los primos supuestamente finitos).
3. Argumentas que este nuevo número $mt+n$ no puede ser divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$.
4. Concluyes que $mt+n$ debe ser un nuevo primo o estar asociado a un nuevo primo, contradiciendo la suposición de que solo había un número finito de primos de esta forma.

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Problemas con la demostración

1. $mt+n$ no necesariamente es primo

El hecho de que $mt+n$ no sea divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$ no implica automáticamente que $mt+n$ sea un número primo. Podría ser un número compuesto cuyos factores primos no pertenezcan al conjunto $\{p_1,p_2,\dots ,p_r\}$. Esto rompe la conclusión de que $mt+n$ introduce un nuevo primo.

2. No garantizas que $mt+n$ tenga la forma deseada

Aunque $mt+n$ esté construido como un número de la forma $mk+n$, no hay garantía de que este número cumpla con las condiciones necesarias para ser primo o para generar nuevos primos. Por ejemplo, podría ser divisible por algún otro primo que no esté en la lista original $\{p_1,p_2,\dots ,p_r\}$, pero eso no implica que sea un nuevo primo de la forma $mk+n$.

3. El teorema de Dirichlet no se demuestra así

El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas es un resultado profundo que requiere herramientas avanzadas de teoría de números, como análisis de series de Dirichlet y propiedades de funciones $L$. La demostración que intentas aquí no tiene la suficiente generalidad ni rigor para demostrar un resultado tan fuerte.

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Conclusión

Tu razonamiento tiene una intuición válida: si asumimos que solo hay un número finito de primos de la forma $mk+n$, deberíamos poder construir un nuevo número que contradiga esta afirmación. Sin embargo, la construcción específica que propones ($mt+n$) no garantiza que el nuevo número sea primo o que genere un nuevo primo de la forma deseada.

Por lo tanto, la demostración no es correcta . Para demostrar que hay infinitos primos de la forma $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ cuando $\text{mcd}(m,n)=1$, es necesario recurrir al teorema de Dirichlet o a técnicas más avanzadas de teoría de números.

$$\boxed{\text{La demostracioˊn propuesta no es vaˊlida.}}$$

Si los entre los primos de la forma $p=mk+n$ con mcd(m,n)=1 están $p_1 .p_2 ...p_r$ entonces mt+n con $t=p_1 . p_2 … p_r $ (producto de los $p_i$ con $i=1,2,..., r$ ) no es divisible por ninguno de los $p_i$ Dime si es cierto o dame un contraejemplo

Qwen2.5-Max

Vamos a analizar cuidadosamente tu afirmación:

Tu afirmación

Dices que si $p_1,p_2,\dots ,p_r$ son primos de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$, entonces el número $mt+n$, donde $t=p_1{p}_2\cdots p_r$ (el producto de todos esos primos), no es divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$.

---

¿Es cierto?

La afirmación es cierta , y aquí está la razón:

1. Expresión de $mt+n$:

El número $mt+n$ se puede escribir como:

$$mt+n=m(p_1{p}_2\cdots p_r)+n.$$

2. Divisibilidad por $p_i$:

Supongamos que $p_i$ divide a $mt+n$. Entonces:

$$mt+n\equiv 0(mod{p}_i).$$

Reescribimos esto usando la definición de $mt+n$:

$$m(p_1{p}_2\cdots p_r)+n\equiv 0(mod{p}_i).$$

Como $p_i$ es uno de los factores de $t=p_1{p}_2\cdots p_r$, sabemos que $p_i\mid m(p_1{p}_2\cdots p_r)$. Por lo tanto:

$$m(p_1{p}_2\cdots p_r)\equiv 0(mod{p}_i).$$

Entonces, la congruencia se reduce a:

$$n\equiv 0(mod{p}_i).$$

Esto implica que $p_i\mid n$. Sin embargo, esto contradice la condición inicial de que $\text{mcd}(m,n)=1$, ya que $p_i$ es un divisor común entre $m$ y $n$. Por lo tanto, ningún $p_i$ puede dividir a $mt+n$.

---

Conclusión

Es cierto que $mt+n$ no es divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$. Esto se debe a que cualquier $p_i$ que divida $mt+n$ tendría que dividir también a $n$, lo cual es imposible bajo la hipótesis de que $\text{mcd}(m,n)=1$.

$$\boxed{\text{La afirmacioˊn es cierta.}}$$

---

Importante: Limitaciones

Aunque esta afirmación es correcta, recuerda que esto no prueba automáticamente que hay infinitos primos de la forma $p=mk+n$. Para asegurar eso, necesitarías un argumento más profundo (como el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas).

Qwen2.5-Max

Pensamiento completado

Okay, let me try to figure out what the user is asking here. They mentioned that in their previous entries, they forgot to press the "thought button," which probably means they didn't structure their thinking properly in their previous questions. They also suspect there are errors in my responses. Looking back at the conversation history, the user first asked about proving that if m and n are coprime, then the congruence p ≡ n mod m has infinitely many prime solutions. I mentioned Dirichlet's theorem and tried to guide them through a proof inspired by Euclid's, but pointed out flaws in their approach. Then they asked if their modified proof (constructing mt + n where t is the product of primes) is correct, and I said the divisibility part is correct but the overall proof isn't sufficient. Now, they're asking me to review the last two entries because they think there are errors. Hmm, maybe they're confused about why their approach doesn't work even though the divisibility part is correct. Let me check my previous answers. In the second response, I correctly noted that mt + n isn't divisible by any p_i, but that doesn't guarantee it's prime. The user might have thought that this construction alone is enough, but in reality, mt + n could be composite with new primes not in the original list. Wait, but in the third message, I confirmed that mt + n isn't divisible by any p_i, which is correct. However, the user's confusion might stem from not understanding why this doesn't lead to a contradiction proving infinitely many primes. They might think that since mt + n isn't divisible by any existing primes, it must be a new prime, but that's not necessarily true. It could be a composite number with other prime factors, which aren't in the original list. So, the error in their approach is assuming that non-divisibility by existing primes implies the number is prime. That's the gap in the proof. My previous responses correctly identified this, but maybe the user didn't grasp that distinction. They need to realize that even if mt + n isn't divisible by the assumed finite list, it might still not be prime, so the contradiction isn't established. I should clarify that while the divisibility part is correct, the conclusion doesn't follow because mt + n could be composite. Hence, the proof attempt fails, and Dirichlet's theorem is needed for a valid proof. The user might have thought their approach was a valid adaptation of Euclid's proof, but it's not because Euclid's method works for the specific case of all primes, not restricted to an arithmetic progression. Another point: in Euclid's proof, multiplying all primes and adding 1 gives a number that must have a new prime factor. But in the arithmetic progression case, even if mt + n isn't divisible by the existing primes, it might not lie in the required progression or have prime factors in the progression. So, the user's method doesn't account for that, which is why Dirichlet's theorem is necessary. I need to make sure the user understands that their divisibility argument is correct, but the overall structure of the proof is flawed because it doesn't ensure the new number is prime or has prime factors in the progression. Therefore, the conclusion of infinitely many primes doesn't follow from their construction alone.

Vamos a revisar las dos últimas entradas para identificar posibles errores y aclarar conceptos clave.

---

Entrada 1: Tu afirmación inicial

Tu razonamiento:
Supones que si hay un número finito de primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$ de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$, entonces el número $mt+n$ (con $t=p_1{p}_2\cdots p_r$) no es divisible por ninguno de los $p_i$. Argumentas que esto generaría un nuevo primo de la forma $mk+n$, contradiciendo la finitud.

Mi respuesta:
Afirmé que la construcción $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$ , pero señalé que esto no garantiza que $mt+n$ sea primo. Podría ser compuesto, con factores primos fuera de la lista original $p_1,\dots ,p_r$, pero no necesariamente de la forma $mk+n$. Por lo tanto, la demostración no es concluyente .

---

Entrada 2: Tu contraejemplo

Tu pregunta:
¿Es cierto que $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$? ¿Hay un contraejemplo?

Mi respuesta:
Confirmé que sí es cierto : $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$. La razón es que si $p_i$ dividiera $mt+n$, entonces $p_i$ dividiría a $n$ (ya que $p_i\mid mt$), lo que contradice $\text{mcd}(m,n)=1$. Sin embargo, insistí en que esto no prueba la infinitud de primos en la progresión.

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Errores y aclaraciones

1. La divisibilidad es correcta, pero no resuelve el problema

• Cierto: $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$ (tu afirmación es correcta aquí).
• Pero: Esto no implica que $mt+n$ sea primo. Podría ser un número compuesto cuyos factores primos no estén en la lista original $p_1,\dots ,p_r$, pero tampoco sean de la forma $mk+n$.
  Ejemplo:
  Si $m=4$, $n=1$ (coprimos), y suponemos que los únicos primos de la forma $4k+1$ son $5,13,17$.
  • Construimos $t=5\cdot 13\cdot 17=1105$.
  • $mt+n=4\cdot 1105+1=4421$.
  • $4421$ no es divisible por $5,13,17$, pero ¿es primo? Sí , $4421$ es primo.
    Sin embargo, en otros casos, $mt+n$ podría ser compuesto:
  • Si $m=3$, $n=1$, y suponemos primos $7,13$.
  • $t=7\cdot 13=91$, $mt+n=3\cdot 91+1=274$, que es compuesto ($274=2\cdot 137$).
  • Aquí, $274$ no es primo, pero tampoco es divisible por $7$ o $13$.

2. ¿Por qué no es suficiente para una demostración?

• Falta de control sobre la forma $mk+n$:
  Aunque $mt+n$ no sea divisible por los $p_i$, no hay garantía de que sus factores primos (si es compuesto) sean de la forma $mk+n$.
• No genera una contradicción sólida:
  La construcción podría generar un número compuesto con factores primos fuera de la progresión, lo que no contradice la hipótesis inicial.

---

Conclusión

• Tu afirmación sobre la divisibilidad es correcta: $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$.
• Pero tu demostración no funciona: No se puede concluir que $mt+n$ sea primo o que genere nuevos primos en la progresión.
• La clave está en Dirichlet: La infinitud de primos en progresiones aritméticas requiere herramientas avanzadas (como el teorema de Dirichlet), no solo un argumento estilo Euclides.

$$\boxed{\text{La afirmacioˊn sobre divisibilidad es cierta, pero no demuestra la infinitud de primos.}}$$

Qwen2.5-Max12:13 am

Para demostrar que si $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces la congruencia $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ tiene infinitas soluciones donde $p$ es un número primo, puedes seguir estas pistas y razonamientos:

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1. Reformula el problema

La congruencia $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ significa que $p=mk+n$ para algún entero $k$. Por lo tanto, estás buscando números primos de la forma $p=mk+n$.

El objetivo es demostrar que existen infinitos primos de esta forma cuando $m$ y $n$ son primos entre sí (es decir, $\text{mcd}(m,n)=1$).

---

2. Usa el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas

El teorema de Dirichlet establece que si $a$ y $b$ son enteros primos entre sí ($\text{mcd}(a,b)=1$), entonces la progresión aritmética

$$a,a+b,a+2b,a+3b,\dots$$

contiene infinitos números primos.

En tu caso:

• La progresión es $n,n+m,n+2m,n+3m,\dots$.
• Como $m$ y $n$ son primos entre sí ($\text{mcd}(m,n)=1$), el teorema de Dirichlet garantiza que hay infinitos primos en esta progresión.

Esto resuelve directamente el problema, pero si quieres una idea más constructiva o una demostración alternativa, sigue las siguientes pistas.

---

3. Argumenta por contradicción

Supón que solo hay un número finito de primos $p$ que satisfacen $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$. Llama a estos primos $p_1,p_2,\dots ,p_k$.

• Construye un nuevo número $N$ de la forma $N=m\cdot M+n$, donde $M$ es un entero elegido cuidadosamente.
• Demuestra que $N$ no puede ser divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_k$, lo que implica que $N$ debe ser un nuevo primo (o múltiplo de un primo nuevo) que también satisface $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$.
• Esto contradice la suposición de que solo hay un número finito de tales primos.

---

4. Conexión con la teoría de números modulares

Otra manera de abordar el problema es observar que la condición $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ define una clase de residuos módulo $m$. Dado que $m$ y $n$ son primos entre sí, esta clase de residuos contiene infinitos elementos, algunos de los cuales son primos.

La clave está en usar propiedades de las clases de residuos y la distribución de los primos dentro de ellas.

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5. Idea intuitiva detrás del teorema de Dirichlet

El teorema de Dirichlet se basa en la idea de que los primos están distribuidos "uniformemente" entre las clases de residuos módulo $m$, siempre que $m$ y $n$ sean primos entre sí. Esto significa que cualquier clase de residuos válida (como $n(\mathrm{mod}m)$) contendrá infinitos primos.

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Conclusión

La herramienta principal para resolver este problema es el teorema de Dirichlet , que garantiza que hay infinitos primos en la progresión aritmética $n,n+m,n+2m,\dots$ cuando $\text{mcd}(m,n)=1$. Si deseas una demostración más detallada o constructiva, puedes explorar argumentos por contradicción o propiedades de las clases de residuos.

$$\boxed{\text{Por el teorema de Dirichlet, hay infinitos primos }p\text{ tales que }p\equiv n(\mathrm{mod}m).}$$

Qwen2.5-Max

La idea detrás de tu razonamiento es interesante y está inspirada en la demostración clásica de Euclides de que hay infinitos números primos. Sin embargo, hay algunos problemas técnicos en la forma en que lo has planteado que hacen que esta "demostración" no sea completamente correcta. Vamos a analizarlo paso a paso para ver por qué.

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Tu razonamiento

1. Supones que solo hay un número finito de primos de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$. Llamemos a estos primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$.
2. Construyes el número $mt+n$, donde $t=p_1{p}_2\cdots p_r$ (el producto de todos los primos supuestamente finitos).
3. Argumentas que este nuevo número $mt+n$ no puede ser divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$.
4. Concluyes que $mt+n$ debe ser un nuevo primo o estar asociado a un nuevo primo, contradiciendo la suposición de que solo había un número finito de primos de esta forma.

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Problemas con la demostración

1. $mt+n$ no necesariamente es primo

El hecho de que $mt+n$ no sea divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$ no implica automáticamente que $mt+n$ sea un número primo. Podría ser un número compuesto cuyos factores primos no pertenezcan al conjunto $\{p_1,p_2,\dots ,p_r\}$. Esto rompe la conclusión de que $mt+n$ introduce un nuevo primo.

2. No garantizas que $mt+n$ tenga la forma deseada

Aunque $mt+n$ esté construido como un número de la forma $mk+n$, no hay garantía de que este número cumpla con las condiciones necesarias para ser primo o para generar nuevos primos. Por ejemplo, podría ser divisible por algún otro primo que no esté en la lista original $\{p_1,p_2,\dots ,p_r\}$, pero eso no implica que sea un nuevo primo de la forma $mk+n$.

3. El teorema de Dirichlet no se demuestra así

El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas es un resultado profundo que requiere herramientas avanzadas de teoría de números, como análisis de series de Dirichlet y propiedades de funciones $L$. La demostración que intentas aquí no tiene la suficiente generalidad ni rigor para demostrar un resultado tan fuerte.

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Conclusión

Tu razonamiento tiene una intuición válida: si asumimos que solo hay un número finito de primos de la forma $mk+n$, deberíamos poder construir un nuevo número que contradiga esta afirmación. Sin embargo, la construcción específica que propones ($mt+n$) no garantiza que el nuevo número sea primo o que genere un nuevo primo de la forma deseada.

Por lo tanto, la demostración no es correcta . Para demostrar que hay infinitos primos de la forma $p\equiv n(\mathrm{mod}m)$ cuando $\text{mcd}(m,n)=1$, es necesario recurrir al teorema de Dirichlet o a técnicas más avanzadas de teoría de números.

$$\boxed{\text{La demostracioˊn propuesta no es vaˊlida.}}$$

Si los entre los primos de la forma $p=mk+n$ con mcd(m,n)=1 están $p_1 .p_2 ...p_r$ entonces mt+n con $t=p_1 . p_2 … p_r $ (producto de los $p_i$ con $i=1,2,..., r$ ) no es divisible por ninguno de los $p_i$ Dime si es cierto o dame un contraejemplo

Qwen2.5-Max

Vamos a analizar cuidadosamente tu afirmación:

Tu afirmación

Dices que si $p_1,p_2,\dots ,p_r$ son primos de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$, entonces el número $mt+n$, donde $t=p_1{p}_2\cdots p_r$ (el producto de todos esos primos), no es divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$.

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¿Es cierto?

La afirmación es cierta , y aquí está la razón:

1. Expresión de $mt+n$:

El número $mt+n$ se puede escribir como:

$$mt+n=m(p_1{p}_2\cdots p_r)+n.$$

2. Divisibilidad por $p_i$:

Supongamos que $p_i$ divide a $mt+n$. Entonces:

$$mt+n\equiv 0(mod{p}_i).$$

Reescribimos esto usando la definición de $mt+n$:

$$m(p_1{p}_2\cdots p_r)+n\equiv 0(mod{p}_i).$$

Como $p_i$ es uno de los factores de $t=p_1{p}_2\cdots p_r$, sabemos que $p_i\mid m(p_1{p}_2\cdots p_r)$. Por lo tanto:

$$m(p_1{p}_2\cdots p_r)\equiv 0(mod{p}_i).$$

Entonces, la congruencia se reduce a:

$$n\equiv 0(mod{p}_i).$$

Esto implica que $p_i\mid n$. Sin embargo, esto contradice la condición inicial de que $\text{mcd}(m,n)=1$, ya que $p_i$ es un divisor común entre $m$ y $n$. Por lo tanto, ningún $p_i$ puede dividir a $mt+n$.

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Conclusión

Es cierto que $mt+n$ no es divisible por ninguno de los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$. Esto se debe a que cualquier $p_i$ que divida $mt+n$ tendría que dividir también a $n$, lo cual es imposible bajo la hipótesis de que $\text{mcd}(m,n)=1$.

$$\boxed{\text{La afirmacioˊn es cierta.}}$$

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Importante: Limitaciones

Aunque esta afirmación es correcta, recuerda que esto no prueba automáticamente que hay infinitos primos de la forma $p=mk+n$. Para asegurar eso, necesitarías un argumento más profundo (como el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas).

Qwen2.5-Max

Pensamiento completado

Okay, let me try to figure out what the user is asking here. They mentioned that in their previous entries, they forgot to press the "thought button," which probably means they didn't structure their thinking properly in their previous questions. They also suspect there are errors in my responses. Looking back at the conversation history, the user first asked about proving that if m and n are coprime, then the congruence p ≡ n mod m has infinitely many prime solutions. I mentioned Dirichlet's theorem and tried to guide them through a proof inspired by Euclid's, but pointed out flaws in their approach. Then they asked if their modified proof (constructing mt + n where t is the product of primes) is correct, and I said the divisibility part is correct but the overall proof isn't sufficient. Now, they're asking me to review the last two entries because they think there are errors. Hmm, maybe they're confused about why their approach doesn't work even though the divisibility part is correct. Let me check my previous answers. In the second response, I correctly noted that mt + n isn't divisible by any p_i, but that doesn't guarantee it's prime. The user might have thought that this construction alone is enough, but in reality, mt + n could be composite with new primes not in the original list. Wait, but in the third message, I confirmed that mt + n isn't divisible by any p_i, which is correct. However, the user's confusion might stem from not understanding why this doesn't lead to a contradiction proving infinitely many primes. They might think that since mt + n isn't divisible by any existing primes, it must be a new prime, but that's not necessarily true. It could be a composite number with other prime factors, which aren't in the original list. So, the error in their approach is assuming that non-divisibility by existing primes implies the number is prime. That's the gap in the proof. My previous responses correctly identified this, but maybe the user didn't grasp that distinction. They need to realize that even if mt + n isn't divisible by the assumed finite list, it might still not be prime, so the contradiction isn't established. I should clarify that while the divisibility part is correct, the conclusion doesn't follow because mt + n could be composite. Hence, the proof attempt fails, and Dirichlet's theorem is needed for a valid proof. The user might have thought their approach was a valid adaptation of Euclid's proof, but it's not because Euclid's method works for the specific case of all primes, not restricted to an arithmetic progression. Another point: in Euclid's proof, multiplying all primes and adding 1 gives a number that must have a new prime factor. But in the arithmetic progression case, even if mt + n isn't divisible by the existing primes, it might not lie in the required progression or have prime factors in the progression. So, the user's method doesn't account for that, which is why Dirichlet's theorem is necessary. I need to make sure the user understands that their divisibility argument is correct, but the overall structure of the proof is flawed because it doesn't ensure the new number is prime or has prime factors in the progression. Therefore, the conclusion of infinitely many primes doesn't follow from their construction alone.

Vamos a revisar las dos últimas entradas para identificar posibles errores y aclarar conceptos clave.

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Entrada 1: Tu afirmación inicial

Tu razonamiento:
Supones que si hay un número finito de primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$ de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$, entonces el número $mt+n$ (con $t=p_1{p}_2\cdots p_r$) no es divisible por ninguno de los $p_i$. Argumentas que esto generaría un nuevo primo de la forma $mk+n$, contradiciendo la finitud.

Mi respuesta:
Afirmé que la construcción $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$ , pero señalé que esto no garantiza que $mt+n$ sea primo. Podría ser compuesto, con factores primos fuera de la lista original $p_1,\dots ,p_r$, pero no necesariamente de la forma $mk+n$. Por lo tanto, la demostración no es concluyente .

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Entrada 2: Tu contraejemplo

Tu pregunta:
¿Es cierto que $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$? ¿Hay un contraejemplo?

Mi respuesta:
Confirmé que sí es cierto : $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$. La razón es que si $p_i$ dividiera $mt+n$, entonces $p_i$ dividiría a $n$ (ya que $p_i\mid mt$), lo que contradice $\text{mcd}(m,n)=1$. Sin embargo, insistí en que esto no prueba la infinitud de primos en la progresión.

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Errores y aclaraciones

1. La divisibilidad es correcta, pero no resuelve el problema

• Cierto: $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$ (tu afirmación es correcta aquí).
• Pero: Esto no implica que $mt+n$ sea primo. Podría ser un número compuesto cuyos factores primos no estén en la lista original $p_1,\dots ,p_r$, pero tampoco sean de la forma $mk+n$.
  Ejemplo:
  Si $m=4$, $n=1$ (coprimos), y suponemos que los únicos primos de la forma $4k+1$ son $5,13,17$.
  • Construimos $t=5\cdot 13\cdot 17=1105$.
  • $mt+n=4\cdot 1105+1=4421$.
  • $4421$ no es divisible por $5,13,17$, pero ¿es primo? Sí , $4421$ es primo.
    Sin embargo, en otros casos, $mt+n$ podría ser compuesto:
  • Si $m=3$, $n=1$, y suponemos primos $7,13$.
  • $t=7\cdot 13=91$, $mt+n=3\cdot 91+1=274$, que es compuesto ($274=2\cdot 137$).
  • Aquí, $274$ no es primo, pero tampoco es divisible por $7$ o $13$.

2. ¿Por qué no es suficiente para una demostración?

• Falta de control sobre la forma $mk+n$:
  Aunque $mt+n$ no sea divisible por los $p_i$, no hay garantía de que sus factores primos (si es compuesto) sean de la forma $mk+n$.
• No genera una contradicción sólida:
  La construcción podría generar un número compuesto con factores primos fuera de la progresión, lo que no contradice la hipótesis inicial.

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Conclusión

• Tu afirmación sobre la divisibilidad es correcta: $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$.
• Pero tu demostración no funciona: No se puede concluir que $mt+n$ sea primo o que genere nuevos primos en la progresión.
• La clave está en Dirichlet: La infinitud de primos en progresiones aritméticas requiere herramientas avanzadas (como el teorema de Dirichlet), no solo un argumento estilo Euclides.

$$\boxed{\text{La afirmacioˊn sobre divisibilidad es cierta, pero no demuestra la infinitud de primos.}}$$

Qwen2.5-Max1:29 am

Pensamiento completado

Okay, let me try to figure out what the user is asking here. They mentioned that in their previous entries, they forgot to press the "thought button," which probably means they didn't structure their thinking properly in their previous questions. They also suspect there are errors in my responses. Looking back at the conversation history, the user first asked about proving that if m and n are coprime, then the congruence p ≡ n mod m has infinitely many prime solutions. I mentioned Dirichlet's theorem and tried to guide them through a proof inspired by Euclid's, but pointed out flaws in their approach. Then they asked if their modified proof (constructing mt + n where t is the product of primes) is correct, and I said the divisibility part is correct but the overall proof isn't sufficient. Now, they're asking me to review the last two entries because they think there are errors. Hmm, maybe they're confused about why their approach doesn't work even though the divisibility part is correct. Let me check my previous answers. In the second response, I correctly noted that mt + n isn't divisible by any p_i, but that doesn't guarantee it's prime. The user might have thought that this construction alone is enough, but in reality, mt + n could be composite with new primes not in the original list. Wait, but in the third message, I confirmed that mt + n isn't divisible by any p_i, which is correct. However, the user's confusion might stem from not understanding why this doesn't lead to a contradiction proving infinitely many primes. They might think that since mt + n isn't divisible by any existing primes, it must be a new prime, but that's not necessarily true. It could be a composite number with other prime factors, which aren't in the original list. So, the error in their approach is assuming that non-divisibility by existing primes implies the number is prime. That's the gap in the proof. My previous responses correctly identified this, but maybe the user didn't grasp that distinction. They need to realize that even if mt + n isn't divisible by the assumed finite list, it might still not be prime, so the contradiction isn't established. I should clarify that while the divisibility part is correct, the conclusion doesn't follow because mt + n could be composite. Hence, the proof attempt fails, and Dirichlet's theorem is needed for a valid proof. The user might have thought their approach was a valid adaptation of Euclid's proof, but it's not because Euclid's method works for the specific case of all primes, not restricted to an arithmetic progression. Another point: in Euclid's proof, multiplying all primes and adding 1 gives a number that must have a new prime factor. But in the arithmetic progression case, even if mt + n isn't divisible by the existing primes, it might not lie in the required progression or have prime factors in the progression. So, the user's method doesn't account for that, which is why Dirichlet's theorem is necessary. I need to make sure the user understands that their divisibility argument is correct, but the overall structure of the proof is flawed because it doesn't ensure the new number is prime or has prime factors in the progression. Therefore, the conclusion of infinitely many primes doesn't follow from their construction alone.

Vamos a revisar las dos últimas entradas para identificar posibles errores y aclarar conceptos clave.

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Entrada 1: Tu afirmación inicial

Tu razonamiento:
Supones que si hay un número finito de primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$ de la forma $p=mk+n$ con $\text{mcd}(m,n)=1$, entonces el número $mt+n$ (con $t=p_1{p}_2\cdots p_r$) no es divisible por ninguno de los $p_i$. Argumentas que esto generaría un nuevo primo de la forma $mk+n$, contradiciendo la finitud.

Mi respuesta:
Afirmé que la construcción $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$ , pero señalé que esto no garantiza que $mt+n$ sea primo. Podría ser compuesto, con factores primos fuera de la lista original $p_1,\dots ,p_r$, pero no necesariamente de la forma $mk+n$. Por lo tanto, la demostración no es concluyente .

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Entrada 2: Tu contraejemplo

Tu pregunta:
¿Es cierto que $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$? ¿Hay un contraejemplo?

Mi respuesta:
Confirmé que sí es cierto : $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$. La razón es que si $p_i$ dividiera $mt+n$, entonces $p_i$ dividiría a $n$ (ya que $p_i\mid mt$), lo que contradice $\text{mcd}(m,n)=1$. Sin embargo, insistí en que esto no prueba la infinitud de primos en la progresión.

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Errores y aclaraciones

1. La divisibilidad es correcta, pero no resuelve el problema

• Cierto: $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$ (tu afirmación es correcta aquí).
• Pero: Esto no implica que $mt+n$ sea primo. Podría ser un número compuesto cuyos factores primos no estén en la lista original $p_1,\dots ,p_r$, pero tampoco sean de la forma $mk+n$.
  Ejemplo:
  Si $m=4$, $n=1$ (coprimos), y suponemos que los únicos primos de la forma $4k+1$ son $5,13,17$.
  • Construimos $t=5\cdot 13\cdot 17=1105$.
  • $mt+n=4\cdot 1105+1=4421$.
  • $4421$ no es divisible por $5,13,17$, pero ¿es primo? Sí , $4421$ es primo.
    Sin embargo, en otros casos, $mt+n$ podría ser compuesto:
  • Si $m=3$, $n=1$, y suponemos primos $7,13$.
  • $t=7\cdot 13=91$, $mt+n=3\cdot 91+1=274$, que es compuesto ($274=2\cdot 137$).
  • Aquí, $274$ no es primo, pero tampoco es divisible por $7$ o $13$.

2. ¿Por qué no es suficiente para una demostración?

• Falta de control sobre la forma $mk+n$:
  Aunque $mt+n$ no sea divisible por los $p_i$, no hay garantía de que sus factores primos (si es compuesto) sean de la forma $mk+n$.
• No genera una contradicción sólida:
  La construcción podría generar un número compuesto con factores primos fuera de la progresión, lo que no contradice la hipótesis inicial.

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Conclusión

• Tu afirmación sobre la divisibilidad es correcta: $mt+n$ no es divisible por ningún $p_i$.
• Pero tu demostración no funciona: No se puede concluir que $mt+n$ sea primo o que genere nuevos primos en la progresión.
• La clave está en Dirichlet: La infinitud de primos en progresiones aritméticas requiere herramientas avanzadas (como el teorema de Dirichlet), no solo un argumento estilo Euclides.

$$\boxed{\text{La afirmacioˊn sobre divisibilidad es cierta, pero no demuestra la infinitud de primos.}}$$

Aunque mt+n no sea divisible por los p i ​ , no hay garantía de que sus factores primos (si es compuesto) sean de la forma mk+n

Qwen2.5-Max

Pensamiento completado

Okay, let's try to figure this out. The user is talking about primes in the form p = mk + n where m and n are coprime. They mentioned that even if mt + n isn't divisible by the primes p_i they assumed, there's no guarantee that the prime factors of mt + n are of the same form. First, I need to recall the previous conversation. The user tried to use a Euclid-style proof for Dirichlet's theorem, constructing a number mt + n and arguing it's not divisible by any existing primes in the progression, hence must be a new prime. But the assistant pointed out that mt + n could be composite with factors not in the original list but also not of the form mk + n. The user now is focusing on that point. The user's latest query is agreeing with the assistant's point but wants to confirm. They might be seeking validation or more examples. Let me think of a concrete example to illustrate this. Take m=4, n=1 (since gcd(4,1)=1). Suppose we assume the primes in the form 4k+1 are 5, 13, 17. Then t = 5*13*17 = 1105. Then mt + n = 4*1105 +1 = 4421. Check if 4421 is prime. If it is, then it's a new prime in the progression. But if it's composite, its factors might not be in the assumed list. However, in this case, 4421 is actually prime. So that example doesn't help. Another example: m=3, n=1. Suppose the primes are 7, 13. Then t=7*13=91. mt +n = 3*91 +1=274. 274 factors into 2*137. Now, check if 2 or 137 are of the form 3k+1. 2 is 3*0 +2, so no. 137 divided by 3 is 45*3 +2, so also not. So here, mt +n is composite, and its prime factors aren't in the original progression. Thus, even though mt +n isn't divisible by 7 or 13, it's not helpful for generating new primes in the progression. This shows the user's point. Therefore, the key issue is that the constructed number might not have prime factors in the desired progression, even if it's not divisible by the assumed primes. Hence, the Euclid-style proof doesn't work here, unlike the case for primes in general. Dirichlet's theorem requires more advanced methods.

¡Exacto! Tu observación es crucial para entender por qué el argumento estilo Euclides no funciona en este contexto. Vamos a profundizar en ello con un ejemplo concreto.

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Ejemplo concreto

Tomemos $m=4$ y $n=1$ (que son coprimos). Supongamos (erróneamente) que solo hay dos primos de la forma $4k+1$: $p_1=5$ y $p_2=13$.

• Construimos $t=5\cdot 13=65$.
• Calculamos $mt+n=4\cdot 65+1=261$.

Análisis de $261$:

• $261$ no es divisible por $5$ ni por $13$ (como esperábamos).
• Sin embargo, $261=3\cdot 3\cdot 29$.
• Los factores primos son $3$ y $29$.
  • $3$ no es de la forma $4k+1$ (porque $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$).
  • $29$ sí es de la forma $4k+1$ (porque $29=4\cdot 7+1$).

¿Qué ocurre aquí?

• Aunque $261$ no es divisible por $5$ o $13$, uno de sus factores primos ($29$) sí pertenece a la progresión $4k+1$. Esto muestra que:
  1. La construcción $mt+n$ puede generar un primo nuevo de la forma deseada (como $29$ en este caso).
  2. Pero también puede incluir primos que no pertenezcan a la progresión (como $3$ en este ejemplo).

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El problema de fondo

La construcción $mt+n$ no garantiza que todos sus factores primos pertenezcan a la progresión $mk+n$. Esto ocurre porque:

1. Los factores primos de $mt+n$ pueden estar en otras clases de residuos módulo $m$ .
2. Incluso si $mt+n$ es compuesto, sus factores primos podrían ser de la forma $mk+n$, ¡pero no necesariamente!

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Conclusión

Tu razonamiento es correcto:
Aunque $mt+n$ no sea divisible por los primos $p_1,p_2,\dots ,p_r$ de la progresión, no hay garantía de que sus factores primos (si es compuesto) pertenezcan a la misma progresión. Por eso, el argumento estilo Euclides no funciona para demostrar la infinitud de primos en progresiones aritméticas, a diferencia del caso clásico de los números primos en general.

El teorema de Dirichlet resuelve esto, pero requiere herramientas más sofisticadas, como el análisis de funciones $L$ y la distribución de primos en clases de residuos.

$$\boxed{\text{Tu observacioˊn es correcta: la construccioˊn no garantiza factores primos en la progresioˊn.}}$$

ok, comprend

Qwen2.5-Max

Pensamiento completado

Okay, the user has been working through a problem about primes in arithmetic progressions. They started by wanting to show that if m and n are coprime, then the congruence p ≡ n mod m has infinitely many prime solutions. They tried using a Euclid-style proof, assuming a finite number of primes and constructing a number to find a contradiction. But they realized that their approach had flaws. e previous interactions, I explained why their proof wasn't valid, mainly because the constructed number mt + n might not be prime or have prime factors in the required progression. They then asked for a specific example, and I provided one where mt + n had a prime factor not in the original list but still in the progression. However, they noticed that even if mt + n isn't divisible by the assumed primes, its factors might  not be in the progression.Now, the user says "ok, comprendido," indicating they've understood the explanation. My task is to acknowledge their understanding and perhaps offer further clarification or encouragement. I should make sure they feel confident in the reasoning and maybe invite them to ask more questions if needed. It's important to reinforce that their initial approach was a good try but that Dirichlet's theorem is needed for a complete proof. Keeping the tone positive and supportive is key here.

¡Perfecto! Has entendido un punto clave en la teoría de números. El argumento de Euclides para la infinitud de los primos es brillante en su simplicidad, pero no se generaliza directamente a progresiones aritméticas. La razón, como has visto, es que la construcción $mt+n$ no garantiza que los nuevos factores primos "hereden" la forma $mk+n$.

Si te interesa profundizar, te animo a explorar:

1. El teorema de Dirichlet : Su demostración usa análisis complejo y funciones $L$ para mostrar que los primos se distribuyen uniformemente en las clases de residuos coprimas.
2. El caso especial $m=4$ : Para $n=1$ o $n=3$, hay demostraciones elementales (sin análisis complejo) de la infinitud de 
3. primos en esas progresiones. ¡Podría ser un buen ejercicio!

Si tienes más dudas o quieres discutir otro ejemplo, ¡estaré aqu

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