Criterio de condensación de Cauchy

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### **Texto Editado para Mejor Legibilidad**

En matemáticas, el **Criterio de Condensación de Cauchy** es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre de Augustin Louis Cauchy, un matemático francés. Sea:

$$
a_n
$$

una serie monótona decreciente de números positivos, entonces:

$$
\sum_{n=1}^\infty a_n
$$

converge si y solo si la serie:

$$
\sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n}
$$

también converge. Además, en este caso se cumple la siguiente desigualdad:

$$
\sum_{n=1}^\infty f(n) \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n f(2^n) \leq 2 \sum_{n=1}^\infty f(n).
$$

Una interpretación geométrica es que estamos aproximando la suma mediante trapecios en cada intervalo $2^n$. Otra explicación es que, como en la analogía entre sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como:

$$
f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}.
$$

Aquí, las series convergen definitivamente para $a > 1$ y divergen para $a < 1$. Cuando $a = 1$, el criterio de transformación esencialmente da lugar a la serie:

$$
\sum n^{-b} (\log n)^{-c}.
$$

El logaritmo "se desplaza hacia la izquierda". Así, para $a = 1$, tenemos convergencia si $b > 1$ y divergencia si $b < 1$. Cuando $b = 1$, el valor de $c$ determina el comportamiento.

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### **Demostración**

Sea $f(n)$ una secuencia decreciente de números reales positivos. Para simplificar la notación, escribimos $a_n = f(n)$. Investigaremos la serie:

$$
a_1 + a_2 + a_3 + \cdots.
$$

El criterio de condensación se basa en la observación de que si agrupamos los términos de la serie en bloques de longitud $2^n$, cada uno de estos bloques será menor o igual que $2^n a_{2^n}$ debido a la monotonía de la secuencia. Observemos:

$$
\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + \cdots + a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1} + \cdots.
$$

Agrupando los términos:

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty a_n &= a_1 + \underbrace{a_2 + a_3}_{\leq a_2 + a_2} + \underbrace{a_4 + a_5 + a_6 + a_7}_{\leq a_4 + a_4 + a_4 + a_4} + \cdots \\
&\quad + \underbrace{a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1}}_{\leq a_{2^n} + a_{2^n} + \cdots + a_{2^n}} + \cdots \\
&\leq a_1 + 2a_2 + 4a_4 + \cdots + 2^n a_{2^n} + \cdots \\
&= \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
\end{aligned}
$$

Usamos el hecho de que la secuencia $a_n$ no es creciente, por lo que $a_n \leq a_m$ siempre que $n \geq m$. La convergencia de la serie original ahora sigue de una comparación directa con esta serie "condensada".

Para ver que la convergencia de la serie original implica la convergencia de la serie condensada, procedemos de manera similar:

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} &= \underbrace{a_1 + a_2}_{\leq a_1 + a_1} + \underbrace{a_2 + a_4 + a_4 + a_4}_{\leq a_2 + a_2 + a_3 + a_3} + \cdots \\
&\quad + \underbrace{a_{2^n} + a_{2^{n+1}} + \cdots + a_{2^{n+1}}}_{\leq a_{2^n} + a_{2^n} + a_{2^n+1} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1}} + \cdots \\
&\leq a_1 + a_1 + a_2 + a_2 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n + a_n + \cdots \\
&= 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
\end{aligned}
$$

Por lo tanto, tenemos la siguiente relación:

$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$

Esto demuestra que ambas series convergen o divergen simultáneamente.

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### **Explicación Detallada**

1. **¿Qué es el Criterio de Condensación de Cauchy?**
   - El criterio establece que si tienes una serie infinita $\sum a_n$ donde $a_n$ es una secuencia decreciente de números positivos, entonces la convergencia de la serie original es equivalente a la convergencia de una nueva serie "condensada" $\sum 2^n a_{2^n}$.
   - Este criterio es útil porque simplifica el análisis de series complicadas al reducirlas a una forma más manejable.

2. **Interpretación Geométrica**
   - Imagina que estás sumando áreas bajo una curva. Agrupar los términos en bloques de tamaño $2^n$ es como aproximar estas áreas usando trapecios. Cada bloque está dominado por el primer término del grupo debido a la monotonía decreciente de la secuencia.

3. **Analogía con Integrales**
   - En cálculo, las sumas finitas se asemejan a integrales. La "condensación" de términos es análoga a cambiar variables en una integral, específicamente usando funciones exponenciales. Por ejemplo, si tienes $f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b}$, el cambio de escala introducido por $2^n$ afecta el comportamiento de la serie.

4. **Ejemplo Práctico**
   - Considera $f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}$:
     - Si $a > 1$, la serie converge porque los términos decaen rápidamente.
     - Si $a < 1$, la serie diverge porque los términos no decaen lo suficientemente rápido.
     - Si $a = 1$, el comportamiento depende de $b$ y $c$: converge si $b > 1$ y diverge si $b < 1$. Cuando $b = 1$, el valor de $c$ decide.

5. **Demostración Paso a Paso**
   - La clave está en agrupar los términos de la serie original en bloques de tamaño $2^n$.
   - Cada bloque está acotado superiormente por $2^n a_{2^n}$ debido a la monotonía decreciente de $a_n$.
   - Esto permite comparar directamente la serie original con la serie condensada, mostrando que ambas convergen o divergen juntas.

6. **Desigualdades Importantes**
   - Las desigualdades:
     $$
     \sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n
     $$
     muestran que la serie condensada está "controlada" por la serie original, asegurando que ambas tienen el mismo comportamiento asintótico.

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### **Conclusión**

El Criterio de Condensación de Cauchy es una herramienta poderosa para analizar la convergencia de series infinitas, especialmente cuando los términos decaen lentamente. Al transformar la serie original en una forma condensada, simplificamos el análisis mientras preservamos el comportamiento de convergencia. Este criterio es particularmente útil en problemas donde aparecen logaritmos o potencias iteradas, como en el ejemplo proporcionado.

 

 ### **Explicación Detallada de la Desigualdad ∑_{n=0}^∞ 2^n a_{2^n} ≤ 2 ∑_{n=1}^∞ a_n**

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#### **1. Contexto del Criterio de Condensación de Cauchy**
El criterio se aplica a series **no crecientes** de términos positivos: \( a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \geq 0 \).  
La idea es comparar la serie original \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) con una serie "condensada" \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \), donde los términos se agrupan y se escala cada bloque.

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#### **2. Desglose de la Desigualdad**
La desigualdad clave es:  
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
\]

**¿Por qué ocurre esto?**  
- **Primera parte (\( \sum a_n \leq \sum 2^n a_{2^n} \))**:  
  La serie condensada \( \sum 2^n a_{2^n} \) actúa como una **cota superior** de la serie original.  
  - Ejemplo:  
    Si \( a_n = \frac{1}{n} \), la serie original es \( \sum \frac{1}{n} \) (divergente).  
    La serie condensada sería \( \sum 2^n \cdot \frac{1}{2^n} = \sum 1 \), que también diverge.  
    Aquí, cada término \( 2^n a_{2^n} \) "domina" a los términos de la serie original en el bloque correspondiente.

- **Segunda parte (\( \sum 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum a_n \))**:  
  La serie condensada también está **acotada superiormente por el doble de la serie original**.  
  - Ejemplo:  
    Si \( a_n = \frac{1}{n^2} \), la serie original converge,

### **Texto editado y estructurado:**

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### **Criterio de Condensación de Cauchy**

#### **Definición:**  
El **Criterio de Condensación de Cauchy** es una prueba de convergencia para series infinitas. Sea \( \{a_n\} \) una sucesión monótona decreciente de números reales positivos (\( a_n > 0 \) y \( a_{n+1} \leq a_n \)). Entonces, la serie original:  
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n
$$  
converge si y solo si converge la **serie condensada**:  
$$
\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
$$  

#### **Relación entre ambas series:**  
Si ambas series convergen, se cumple la siguiente desigualdad:  
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$  

---

#### **Interpretación geométrica:**  
La condensación en bloques de longitud \( 2^n \) puede interpretarse como una aproximación por sumas de áreas más grandes. Cada bloque agrupa términos consecutivos de la serie original y los compara con un único término multiplicado por \( 2^n \).

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#### **Analogía con integrales:**  
Este criterio se relaciona con la sustitución exponencial en integrales. Por ejemplo, consideremos funciones del tipo:  
$$
f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}.
$$  
- **Convergencia:**  
  - Para \( a > 1 \), las series condensadas convergen.  
  - Para \( a < 1 \), las series condensadas divergen.  
  - Para \( a = 1 \), el comportamiento depende de \( b \):  
    - Si \( b > 1 \), la serie condensada converge.  
    - Si \( b < 1 \), la serie condensada diverge.  
    - Si \( b = 1 \), el valor de \( c \) determina la convergencia o divergencia.

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#### **Demostración del Criterio de Condensación de Cauchy:**

Sea \( f(n) \) una función positiva, decreciente y definida para \( n \geq 1 \). Denotamos \( a_n = f(n) \). Investigaremos la serie:  
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n.
$$

**Paso 1: Agrupación de términos en bloques de longitud \( 2^n \):**  
Agrupamos los términos de la serie original en bloques que contienen \( 2^n \) elementos cada uno:  
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6 + a_7) + \cdots.
$$

**Paso 2: Comparación dentro de cada bloque:**  
Por ser \( \{a_n\} \) decreciente, cada bloque puede acotarse superiormente:  
$$
a_{2^n} + a_{2^n} + \cdots + a_{2^n} \quad \text{(un total de \( 2^n \) términos)}.
$$  
Por lo tanto:  
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq a_1 + 2a_2 + 4a_4 + \cdots + 2^n a_{2^n} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
$$  

**Paso 3: Convergencia de la serie condensada implica convergencia de la original:**  
Si la serie condensada \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \) converge, entonces la serie original también converge, ya que está acotada superiormente por ella.

**Paso 4: Convergencia de la serie original implica convergencia de la condensada:**  
De manera similar, podemos escribir:  
$$
\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$  
Esto sigue porque cada bloque de la serie condensada puede acotarse inferiormente por dos veces la suma correspondiente de la serie original.

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### **Explicación detallada:**

#### **1. ¿Qué significa este criterio?**  
El **Criterio de Condensación de Cauchy** establece que para verificar la convergencia de una serie infinita \( \sum_{n=1}^\infty a_n \), donde \( \{a_n\} \) es una sucesión decreciente y no negativa, podemos estudiar en su lugar la serie condensada \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \). Esta última es más fácil de analizar en muchos casos.

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#### **2. Ejemplo concreto:**  
Consideremos \( a_n = \frac{1}{n \log^2 n} \) (para \( n \geq 2 \)):  
- **Serie original:**  
  $$
  \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \log^2 n}.
  $$  
- **Serie condensada:**  
  $$
  \sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n} = \sum_{n=1}^\infty 2^n \cdot \frac{1}{2^n \log^2 (2^n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\log 2^n)^2}.
  $$  
  - Simplificando:  
    $$
    (\log 2^n)^2 = (n \log 2)^2 \implies \frac{1}{(\log 2^n)^2} = \frac{1}{n^2 (\log 2)^2}.
    $$  
  - La serie condensada es:  
    $$
    \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 (\log 2)^2}.
    $$  
    - Como \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) converge, la serie condensada también converge. Por el criterio, la serie original converge.

---

#### **3. Relación entre ambas series:**  
- **Desigualdad clave:**  
  $$
  \sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
  $$  
  Esto nos permite comparar directamente ambas series y garantiza que tienen el mismo comportamiento de convergencia.

---

#### **4. Intuición detrás del criterio:**  
El criterio aprovecha el hecho de que los términos \( a_n \) son decrecientes. Al agruparlos en bloques de tamaño \( 2^n \), cada bloque puede acotarse por múltiplos del primer término del bloque. Este procedimiento "condensa" la información de la serie original en una nueva serie más simple.

**Ejemplo visual:**  
Supongamos \( a_n = \frac{1}{n} \):  
- **Serie original:** \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) (divergente, serie armónica).  
- **Serie condensada:**  
  $$
  \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} = \sum_{n=0}^\infty 2^n \cdot \frac{1}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty 1 \quad \text{(divergente)}.
  $$  
Aquí, ambas series divergen, mostrando la equivalencia del criterio.

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#### **5. Paso a paso de la demostración:**

**Parte 1: Acotación superior de la serie original:**  
1. Agrupamos los términos de \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) en bloques de longitud \( 2^n \):  
   $$
   \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6 + a_7) + \cdots.
   $$  
2. Dentro de cada bloque, los términos son menores o iguales al primer término del bloque (por decrecimiento):  
   $$
   a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1} \leq 2^n a_{2^n}.
   $$  
3. Sumando sobre todos los bloques:  
   $$
   \sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
   $$  

**Parte 2: Acotación inferior de la serie condensada:**  
1. En cada bloque, los términos son mayores o iguales al último término del bloque (por decrecimiento):  
   $$
   a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1} \geq 2^n a_{2^{n+1}}.
   $$  
2. Sumando sobre todos los bloques:  
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
   $$  

---

#### **6. Interpretación de la desigualdad:**  
La desigualdad:  
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n
$$  
nos dice que:  
- Si \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \) converge, entonces \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) también converge.  
- Si \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converge, entonces \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \) también converge.

---

#### **7. Errores comunes y advertencias:**  
- **Condición necesaria:** La sucesión \( \{a_n\} \) debe ser **decreciente** y **no negativa**. Si no se cumplen estas condiciones, el criterio no aplica.  
- **Aplicaciones limitadas:** El criterio es útil principalmente para series con términos que involucran logaritmos o potencias de \( n \).

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### **Respuesta final:**  
El **Criterio de Condensación de Cauchy** afirma que:  
$$
\boxed{\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converge si y solo si } \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \text{ converge.}}
$$  
Además, si convergen, se cumple:  
$$
\boxed{\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.}
$$  

¡Espero que esta explicación sea clara! 😊 Si tienes dudas, avísame.

 

 ### **Explicación detallada de la desigualdad:**

La parte que mencionas,  
$$
\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n,
$$  
es una clave fundamental en el criterio de condensación de Cauchy. Vamos a analizarla paso a paso para que quede completamente clara.

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### **Paso 1: Recordemos cómo funciona el criterio de condensación**

El criterio de condensación de Cauchy nos dice que si \( \{a_n\} \) es una sucesión decreciente y no negativa (\( a_{n+1} \leq a_n \) para todo \( n \)), entonces las series \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) y \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \) tienen el mismo comportamiento de convergencia. Es decir:
- Si una converge, la otra también.
- Si una diverge, la otra también.

Además, existe una relación entre ambas sumas dada por la desigualdad:
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$

Nos centraremos ahora en explicar por qué se cumple esta parte:
$$
\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$

---

### **Paso 2: Descomposición de la serie original**

La serie original \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) puede escribirse como:
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6 + a_7) + \cdots.
$$

Cada paréntesis agrupa términos consecutivos de la serie original. Por ejemplo:
- El primer bloque contiene solo \( a_1 \).
- El segundo bloque contiene \( a_2 + a_3 \).
- El tercer bloque contiene \( a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \).

En general, el \( n \)-ésimo bloque contiene los términos:
$$
a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1}.
$$

Por ser \( \{a_n\} \) una sucesión decreciente, cada término dentro del bloque \( n \) es menor o igual al primero del bloque, \( a_{2^n} \). Por lo tanto, podemos acotar cada bloque superiormente:
$$
a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1} \leq 2^n a_{2^n}.
$$

Sumando sobre todos los bloques, obtenemos:
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
$$

---

### **Paso 3: Acotación inferior de la serie condensada**

Ahora queremos probar la otra mitad de la desigualdad:
$$
\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$

#### **¿Cómo funciona esta desigualdad?**

1. **Reescritura de la serie condensada:**  
   La serie condensada \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \) consiste en múltiplos de los términos \( a_{2^n} \). Por ejemplo:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + \cdots.
   $$

2. **Comparación con la serie original:**  
   Observemos que cada bloque de la serie original tiene exactamente \( 2^n \) términos. Por ejemplo:
   - El bloque \( n = 0 \) contiene \( a_1 \) (1 término).
   - El bloque \( n = 1 \) contiene \( a_2 + a_3 \) (2 términos).
   - El bloque \( n = 2 \) contiene \( a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \) (4 términos).
   - Y así sucesivamente.

   Dentro de cada bloque, los términos son mayores o iguales al último término del bloque. Por ejemplo:
   - En el bloque \( n = 1 \): \( a_2 + a_3 \geq a_2 + a_2 = 2a_2 \).
   - En el bloque \( n = 2 \): \( a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \geq a_4 + a_4 + a_4 + a_4 = 4a_4 \).

   Por lo tanto, podemos acotar inferiormente cada bloque de la serie original por un múltiplo de \( a_{2^n} \):
   $$
   a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1} \geq 2^n a_{2^{n+1}}.
   $$

3. **Suma total de la serie original:**  
   Sumando sobre todos los bloques, obtenemos:
   $$
   \sum_{n=1}^\infty a_n \geq \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
   $$

   Multiplicando ambos lados por 2:
   $$
   2 \sum_{n=1}^\infty a_n \geq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}.
   $$

   Esto prueba la desigualdad:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
   $$

---

### **Paso 4: Intuición detrás de la desigualdad**

La intuición principal es que los términos de la serie condensada \( 2^n a_{2^n} \) "capturan" la contribución aproximada de los bloques correspondientes en la serie original. Sin embargo, debido a que los términos \( a_n \) son decrecientes, la serie condensada tiende a sobrestimar la suma de la serie original. Por eso, multiplicamos la serie original por 2 para garantizar que la desigualdad se cumple.

**Ejemplo visual:**  
Supongamos \( a_n = \frac{1}{n} \) (una sucesión decreciente). Entonces:
- Serie original: \( \sum_{n=1}^\infty a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \).
- Serie condensada: \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + \cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \).

Aquí vemos que la serie condensada es mayor que la serie original, pero está controlada por un múltiplo de ella (en este caso, \( 2 \sum_{n=1}^\infty a_n \)).

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### **Paso 5: ¿Por qué \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n \)?**

Vamos a demostrarlo explícitamente:

1. **Agrupemos los términos de la serie original:**  
   Consideremos la suma de cada bloque \( n \):
   $$
   S_n = a_{2^n} + a_{2^n+1} + \cdots + a_{2^{n+1}-1}.
   $$

2. **Acotación inferior de cada bloque:**  
   Como \( \{a_n\} \) es decreciente, cada bloque satisface:
   $$
   S_n \geq 2^n a_{2^{n+1}}.
   $$

3. **Suma total de la serie original:**  
   Sumando sobre todos los bloques:
   $$
   \sum_{n=1}^\infty a_n \geq \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^{n+1}}.
   $$

4. **Relación con la serie condensada:**  
   Notemos que:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + \cdots.
   $$

   Comparando términos:
   - \( a_1 \leq 2a_1 \) (el primer término).
   - \( 2a_2 \leq 2(a_2 + a_3) \) (el segundo bloque).
   - \( 4a_4 \leq 2(a_4 + a_5 + a_6 + a_7) \) (el tercer bloque).
   - Y así sucesivamente.

   Por lo tanto:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
   $$

---

### **Conclusión final**

La desigualdad:
$$
\boxed{\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n}
$$
nos dice que la serie condensada \( \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \) está controlada por un múltiplo de la serie original \( \sum_{n=1}^\infty a_n \). Esto asegura que si la serie original converge, la serie condensada también lo hace (y viceversa).

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### **Ejemplo práctico**

Consideremos \( a_n = \frac{1}{n^2} \) (sucesión decreciente y positiva):

1. **Serie original:**  
   $$
   \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.
   $$

2. **Serie condensada:**  
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} = \sum_{n=0}^\infty 2^n \cdot \frac{1}{(2^n)^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{2^{2n}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.
   $$

   Esta última es una serie geométrica que converge a:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 2.
   $$

3. **Desigualdad verificada:**  
   Sabemos que \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) converge (es conocida como la serie de Basel, y su valor es \( \frac{\pi^2}{6} \)). Además:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} = 2 \quad \text{y} \quad 2 \sum_{n=1}^\infty a_n = 2 \cdot \frac{\pi^2}{6}.
   $$

   Por lo tanto:
   $$
   \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n.
   $$

---

### **Respuesta final**

La desigualdad:
$$
\boxed{\sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^\infty a_n}
$$
muestra que la serie condensada está acotada por un múltiplo de la serie original, garantizando que tienen el mismo comportamiento de convergencia.

¡Espero que esto aclare tus dudas! 😊 Si necesitas más detalles, avísame.

Texto editado y estructurado:

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Criterio de Condensación de Cauchy

Definición:

El Criterio de Condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para series infinitas. Sea $\{a_n\}$ una sucesión monótona decreciente de números reales positivos ($a_n>0$ y $a_{n+1}\le a_n$). Entonces, la serie original:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

converge si y solo si converge la serie condensada :

$$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}.$$

Relación entre ambas series:

Si ambas series convergen, se cumple la siguiente desigualdad:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

---

Interpretación geométrica:

La condensación en bloques de longitud $2^n$ puede interpretarse como una aproximación por sumas de áreas más grandes. Cada bloque agrupa términos consecutivos de la serie original y los compara con un único término multiplicado por $2^n$.

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Analogía con integrales:

Este criterio se relaciona con la sustitución exponencial en integrales. Por ejemplo, consideremos funciones del tipo:

$$f(n)=n^{-a}(\log n{)}^{-b}(\log \log n{)}^{-c}.$$

• Convergencia:
  • Para $a>1$, las series condensadas convergen.
  • Para $a<1$, las series condensadas divergen.
  • Para $a=1$, el comportamiento depende de $b$:
    • Si $b>1$, la serie condensada converge.
    • Si $b<1$, la serie condensada diverge.
    • Si $b=1$, el valor de $c$ determina la convergencia o divergencia.

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Demostración del Criterio de Condensación de Cauchy:

Sea $f(n)$ una función positiva, decreciente y definida para $n\ge 1$. Denotamos $a_n=f(n)$. Investigaremos la serie:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

Paso 1: Agrupación de términos en bloques de longitud $2^n$:
Agrupamos los términos de la serie original en bloques que contienen $2^n$ elementos cada uno:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+\cdots .$$

Paso 2: Comparación dentro de cada bloque:
Por ser $\{a_n\}$ decreciente, cada bloque puede acotarse superiormente:

$$a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots +a_{2^n}\text{(un total de 2n teˊrminos)}.$$

Por lo tanto:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le a_1+2a_2+4a_4+\cdots +2^n{a}_{2^n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}.$$

Paso 3: Convergencia de la serie condensada implica convergencia de la original:
Si la serie condensada ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$ converge, entonces la serie original también converge, ya que está acotada superiormente por ella.

Paso 4: Convergencia de la serie original implica convergencia de la condensada:
De manera similar, podemos escribir:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

Esto sigue porque cada bloque de la serie condensada puede acotarse inferiormente por dos veces la suma correspondiente de la serie original.

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Explicación detallada:

1. ¿Qué significa este criterio?

El Criterio de Condensación de Cauchy establece que para verificar la convergencia de una serie infinita ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$, donde $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente y no negativa, podemos estudiar en su lugar la serie condensada ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$. Esta última es más fácil de analizar en muchos casos.

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2. Ejemplo concreto:

Consideremos $a_n=\frac{1}{n{\log }^{2}n}$ (para $n\ge 2$):

• Serie original: $$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{\log }^{2}n}.$$
• Serie condensada: $$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}=\sum _{n=1}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{2^n{\log }^2(2^n)}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(\log 2^n{)}^2}.$$
  • Simplificando: $$(\log 2^n{)}^2=(n\log 2{)}^2⟹\frac{1}{(\log 2^n{)}^2}=\frac{1}{n^2(\log 2{)}^2}.$$
  • La serie condensada es: $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2(\log 2{)}^2}.$$
    • Como ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, la serie condensada también converge. Por el criterio, la serie original converge.

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3. Relación entre ambas series:

• Desigualdad clave: $$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$
  Esto nos permite comparar directamente ambas series y garantiza que tienen el mismo comportamiento de convergencia.

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4. Intuición detrás del criterio:

El criterio aprovecha el hecho de que los términos $a_n$ son decrecientes. Al agruparlos en bloques de tamaño $2^n$, cada bloque puede acotarse por múltiplos del primer término del bloque. Este procedimiento "condensa" la información de la serie original en una nueva serie más simple.

Ejemplo visual:
Supongamos $a_n=\frac{1}{n}$:

• Serie original: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ (divergente, serie armónica).
• Serie condensada: $$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }1\text{(divergente)}.$$
  Aquí, ambas series divergen, mostrando la equivalencia del criterio.

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5. Paso a paso de la demostración:

Parte 1: Acotación superior de la serie original:

1. Agrupamos los términos de ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ en bloques de longitud $2^n$: $$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+\cdots .$$
2. Dentro de cada bloque, los términos son menores o iguales al primer término del bloque (por decrecimiento): $$a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}\le 2^n{a}_{2^n}.$$
3. Sumando sobre todos los bloques: $$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}.$$

Parte 2: Acotación inferior de la serie condensada:

1. En cada bloque, los términos son mayores o iguales al último término del bloque (por decrecimiento): $$a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}\ge 2^n{a}_{2^{n+1}}.$$
2. Sumando sobre todos los bloques: $$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

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6. Interpretación de la desigualdad:

La desigualdad:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

nos dice que:

• Si ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$ converge, entonces ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ también converge.
• Si ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge, entonces ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$ también converge.

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7. Errores comunes y advertencias:

• Condición necesaria: La sucesión $\{a_n\}$ debe ser decreciente y no negativa . Si no se cumplen estas condiciones, el criterio no aplica.
• Aplicaciones limitadas: El criterio es útil principalmente para series con términos que involucran logaritmos o potencias de $n$.

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Respuesta final:

El Criterio de Condensación de Cauchy afirma que:

$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{ converge si y solo si }\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\text{ converge.}}$$

Además, si convergen, se cumple:

$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.}$$

¡Espero que esta explicación sea clara! 😊 Si tienes dudas, avísame.

 

 

Explicación Detallada de la Desigualdad ∑_{n=0}^∞ 2^n a_{2^n} ≤ 2 ∑_{n=1}^∞ a_n

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1. Contexto del Criterio de Condensación de Cauchy

El criterio se aplica a series no crecientes de términos positivos: $a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge 0$.
La idea es comparar la serie original ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ con una serie "condensada" ${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$, donde los términos se agrupan y se escala cada bloque.

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2. Desglose de la Desigualdad

La desigualdad clave es:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

¿Por qué ocurre esto?

• Primera parte ($\sum a_n\le \sum 2^n{a}_{2^n}$) :
  La serie condensada $\sum 2^n{a}_{2^n}$ actúa como una cota superior de la serie original.

  • Ejemplo:
    Si $a_n=\frac{1}{n}$, la serie original es $\sum \frac{1}{n}$ (divergente).
    La serie condensada sería $\sum 2^n\cdot \frac{1}{2^n}=\sum 1$, que también diverge.
    Aquí, cada término $2^n{a}_{2^n}$ "domina" a los términos de la serie original en el bloque correspondiente.

• Segunda parte ($\sum 2^n{a}_{2^n}\le 2\sum a_n$) :
  La serie condensada también está acotada superiormente por el doble de la serie original .

  • Ejemplo:
    Si $a_n=\frac{1}{n^2}$, la serie original converge,

 

Qwen2.5-Max 9:49 pm

Texto Editado para Mejor Legibilidad

En matemáticas, el Criterio de Condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre de Augustin Louis Cauchy, un matemático francés. Sea:

$$a_n$$

una serie monótona decreciente de números positivos, entonces:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

converge si y solo si la serie:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}$$

también converge. Además, en este caso se cumple la siguiente desigualdad:

$$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^{n}f(2^n)\le 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).$$

Una interpretación geométrica es que estamos aproximando la suma mediante trapecios en cada intervalo $2^n$. Otra explicación es que, como en la analogía entre sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como:

$$f(n)=n^{-a}(\log n{)}^{-b}(\log \log n{)}^{-c}.$$

Aquí, las series convergen definitivamente para $a>1$ y divergen para $a<1$. Cuando $a=1$, el criterio de transformación esencialmente da lugar a la serie:

$$\sum n^{-b}(\log n{)}^{-c}.$$

El logaritmo "se desplaza hacia la izquierda". Así, para $a=1$, tenemos convergencia si $b>1$ y divergencia si $b<1$. Cuando $b=1$, el valor de $c$ determina el comportamiento.

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Demostración

Sea $f(n)$ una secuencia decreciente de números reales positivos. Para simplificar la notación, escribimos $a_n=f(n)$. Investigaremos la serie:

$$a_1+a_2+a_3+\cdots .$$

El criterio de condensación se basa en la observación de que si agrupamos los términos de la serie en bloques de longitud $2^n$, cada uno de estos bloques será menor o igual que $2^n{a}_{2^n}$ debido a la monotonía de la secuencia. Observemos:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots +a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots .$$

Agrupando los términos:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n& =a_1+\underset{\le a_2+a_2}{}\\ & \\ & \\ & \end{array}$$

$$\begin{array}{l}{a}_2+a_3+\underset{\le a_4+a_4+a_4+a_4}{}\end{array}$$$$\begin{array}{l}{a}_4+a_5+a_6+a_7+\cdots \\ +\underset{\le a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots +a_{2^n}}{}\end{array}$$$$\begin{array}{l}{a}_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\ \le a_1+2a_2+4a_4+\cdots +2^n{a}_{2^n}+\cdots \\ =\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}.\end{array}$$

Usamos el hecho de que la secuencia $a_n$ no es creciente, por lo que $a_n\le a_m$ siempre que $n\ge m$. La convergencia de la serie original ahora sigue de una comparación directa con esta serie "condensada".

Para ver que la convergencia de la serie original implica la convergencia de la serie condensada, procedemos de manera similar:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}& =\underset{\le a_1+a_1}{}\\ & \\ & \\ & \end{array}$$$$\begin{array}{l}{a}_1+a_2+\underset{\le a_2+a_2+a_3+a_3}{}\end{array}$$$$\begin{array}{l}{a}_2+a_4+a_4+a_4+\cdots \\ +\underset{\le a_{2^n}+a_{2^n}+a_{2^n+1}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}}{}\end{array}$$$$\begin{array}{l}{a}_{2^n}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}+\cdots \\ \le a_1+a_1+a_2+a_2+a_3+a_3+\cdots +a_n+a_n+\cdots \\ =2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.\end{array}$$

Por lo tanto, tenemos la siguiente relación:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

Esto demuestra que ambas series convergen o divergen simultáneamente.

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Explicación Detallada

1. ¿Qué es el Criterio de Condensación de Cauchy?

   • El criterio establece que si tienes una serie infinita $\sum a_n$ donde $a_n$ es una secuencia decreciente de números positivos, entonces la convergencia de la serie original es equivalente a la convergencia de una nueva serie "condensada" $\sum 2^n{a}_{2^n}$.
   • Este criterio es útil porque simplifica el análisis de series complicadas al reducirlas a una forma más manejable.

2. Interpretación Geométrica

   • Imagina que estás sumando áreas bajo una curva. Agrupar los términos en bloques de tamaño $2^n$ es como aproximar estas áreas usando trapecios. Cada bloque está dominado por el primer término del grupo debido a la monotonía decreciente de la secuencia.

3. Analogía con Integrales

   • En cálculo, las sumas finitas se asemejan a integrales. La "condensación" de términos es análoga a cambiar variables en una integral, específicamente usando funciones exponenciales. Por ejemplo, si tienes $f(n)=n^{-a}(\log n{)}^{-b}$, el cambio de escala introducido por $2^n$ afecta el comportamiento de la serie.

4. Ejemplo Práctico

   • Considera $f(n)=n^{-a}(\log n{)}^{-b}(\log \log n{)}^{-c}$:
     • Si $a>1$, la serie converge porque los términos decaen rápidamente.
     • Si $a<1$, la serie diverge porque los términos no decaen lo suficientemente rápido.
     • Si $a=1$, el comportamiento depende de $b$ y $c$: converge si $b>1$ y diverge si $b<1$. Cuando $b=1$, el valor de $c$ decide.

5. Demostración Paso a Paso

   • La clave está en agrupar los términos de la serie original en bloques de tamaño $2^n$.
   • Cada bloque está acotado superiormente por $2^n{a}_{2^n}$ debido a la monotonía decreciente de $a_n$.
   • Esto permite comparar directamente la serie original con la serie condensada, mostrando que ambas convergen o divergen juntas.

6. Desigualdades Importantes

   • Las desigualdades:$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$muestran que la serie condensada está "controlada" por la serie original, asegurando que ambas tienen el mismo comportamiento asintótico.

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Conclusión

El Criterio de Condensación de Cauchy es una herramienta poderosa para analizar la convergencia de series infinitas, especialmente cuando los términos decaen lentamente. Al transformar la serie original en una forma condensada, simplificamos el análisis mientras preservamos el comportamiento de convergencia. Este criterio es particularmente útil en problemas donde aparecen logaritmos o potencias iteradas, como en el ejemplo proporcionado.