CONTENIDO MATEMÁTICO II

 Ahí vamos. Verlo a través foros de mates rincón matemático. He comprobado que funciona. Se trata de operar como si fuera publicar una entrada o post, y verlo todo en la previsualización, sin llegar a publicar nada claro que entonces la lío. Hay que copiar en el borrador de mi blog y pegar en la entrada que supuestamente iba a publicar en el foro de matemáticas y verlo en previsualización

Aquí tienes el texto editado de manera óptima para tu blog, con formato LaTeX, estructura clara y fidelidad al contenido original:

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### **Ejemplo 2.21: Serie condicionalmente convergente y producto de Cauchy**  

Consideremos la serie:  

\[

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}.

\]  

- **Convergencia:** Por el criterio de Leibniz, la serie converge (los términos \(1/\sqrt{n+1}\) son decrecientes y tienden a cero).  

**Producto de Cauchy de la serie por sí misma:**  

El término general es:  

\[

c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n - k + 1)(k + 1)}}.

\]  

- **Acotación de \(|c_n|\):**  

  Para \(n \geq k\),  

  \[

  (n - k + 1)(k + 1) = \left(\frac{n}{2} + 1\right)^2 - \left(\frac{n}{2} - k\right)^2 \leq \left(\frac{n}{2} + 1\right)^2,

  \]  

  luego:  

  \[

  \frac{1}{\sqrt{(n - k + 1)(k + 1)}} \geq \frac{2}{n + 2}.

  \]  

  Por tanto:  

  \[

  |c_n| \geq \sum_{k=0}^n \frac{2}{n + 2} = \frac{2(n + 1)}{n + 2} \xrightarrow{n \to \infty} 2 \neq 0.

  \]  

  **Conclusión:** El producto de Cauchy no converge, confirmando que la serie original es **condicionalmente convergente**.

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### **Ejemplo 2.22: Serie alternada y \(e^{-1}\)**  

La serie:  

\[

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots = \frac{1}{e}.

\]  

**Demostración:**  

1. Multiplicamos la serie por \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e\):  

   \[

   \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \right) \cdot e = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!(n - k)!}.

   \]  

2. Usando el teorema del binomio:  

   \[

   \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = (1 - 1)^n = 0 \quad \text{para } n \geq 1.

   \]  

3. Simplificamos:  

   \[

   \sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!} = 1 \implies e \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1 \implies \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{e}.

   \]

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### **Teorema 2.23: Irracionalidad de \(e\)**  

**Enunciado:** \(e\) no es racional (no puede escribirse como \(m/n\) con \(m, n \in \mathbb{N}\)).  

**Demostración:**  

1. Supongamos \(e = \frac{m}{n}\). Multiplicamos por \(n!\):  

   \[

   n! \cdot e = m \cdot (n - 1)!.

   \]  

2. Expresamos \(e\) como su serie:  

   \[

   n! \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = m \cdot (n - 1)!.

   \]  

3. Separamos en términos hasta \(k = m\) y colas:  

   \[

   \text{Suma finita} + \text{Suma infinita} = \text{Entero} + \text{No entero}.

   \]  

   - La suma infinita \(\sum_{k=m+1}^\infty \frac{n!}{k!}\) es menor que \(1/2\), ¡contradiciendo que el lado izquierdo sea entero!  

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### **Reordenación de series (Ejemplo 2.24)**  

**Serie original:**  

\[

S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2.

\]  

**Reordenación:**  

\[

1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots \to \frac{3}{2} \ln 2.

\]  

**Estrategia:**  

- Combinamos \(S\) con \(S/2\) (términos divididos por 2) e insertamos ceros estratégicos.  

- Usamos el **Teorema de Riemann** para series condicionalmente convergentes: su reordenación puede alterar la suma.

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### **Teorema 2.25: Reordenación de series absolutamente convergentes**  

**Enunciado:**  

Si \(\sum_{n=0}^\infty z_n\) es absolutamente convergente, cualquier reordenación \(\sum_{n=0}^\infty z_{\sigma(n)}\) converge al mismo límite.  

**Demostración (idea clave):**  

- Las sumas parciales de la reordenación están acotadas por \(\sum |z_n|\).  

- Usando el criterio de Cauchy, se prueba que ambas series comparten el mismo límite.

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### **Teorema 2.27: Intercambio de sumas en series dobles**  

**Enunciado:**  

Si \(\sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}|\) converge, entonces:  

\[

\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn} = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}.

\]  

**Demostración (resumen):**  

1. **Convergencia absoluta de las iteradas:**  

   \[

   \sum_{m=0}^\infty |a_{mn}| \leq \sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}| < \infty.

   \]  

2. **Igualdad de sumas:**  

   A través de desigualdades y límites, se muestra que el error entre cualquier orden de suma es menor que \(\epsilon\).

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### **Asociatividad infinita (Teorema 2.29)**  

**Enunciado:**  

Si \(A = \bigcup_{k=0}^\infty A_k\) (con \(A_k\) disjuntos), entonces:  

\[

\sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} a_n,

\]  

siempre que las series sean absolutamente convergentes.  

**Demostración:**  

- **Convergencia absoluta:**  

  \[

  \sum_{n \in A} |a_n| \leq \sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} |a_n|.

  \]  

- **Igualdad de sumas:**  

  Reordenamos los términos usando el Teorema 2.25 y 2.27.

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### **2.4 Series de potencias**  

**Definición clave:**  

El **radio de convergencia** \(R\) es el supremo de los \(r > 0\) donde \(\sum a_n z^n\) converge.  

**Ejemplos:**  

1. **Serie geométrica:**  

   \[

   \sum_{n=1}^\infty z^n \quad \text{con } R = 1.

   \]  

   - Converge a \(\frac{z}{1 - z}\) si \(|z| < 1\).  

   - Diverge en \(|z| = 1\).  

2. **Serie armónica alternada:**  

   \[

   \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} \quad \text{con } R = 1.

   \]  

   - Converge en \(z = -1\) (Leibniz) y diverge en \(z = 1\).  

3. **Serie absolutamente convergente:**  

   \[

   \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} \quad \text{con } R = 1.

   \]  

   - Converge absolutamente en \(|z| \leq 1\) (comparación con \(\sum 1/n^2\)).

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### **Teorema 2.32: Fórmula de suma por partes**  

**Enunciado:**  

Sean \(A_n = \sum_{i=0}^n a_i\). Entonces:  

\[

\sum_{n=k}^l a_n b_n = A_l b_l - A_{k-1} b_k - \sum_{n=k}^{l-1} A_n (b_{n+1} - b_n).

\]  

**Demostración:**  

Descomponemos \(a_n = A_n - A_{n-1}\) y reorganizamos términos (analogía con integración por partes).

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### **Notas técnicas:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \(\infty\), \(\sqrt{}\) o \(\sum\) deben escribirse con LaTeX.  

- Para visualizar las ecuaciones, incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/) en tu blog.  

- **Figuras:** La referencia a gráficas debe añadirse manualmente (no está en el texto original).  

¿Necesitas más ajustes? 😊

Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para tu blog, respetando el contenido original:

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### **Teorema 2.32 (Fórmula de suma por partes)**  

Sean \(\{a_n\}_{n=0}^l\) y \(\{b_n\}_{n=0}^l\) sucesiones finitas de números complejos. Definimos \(A_n = \sum_{i=0}^n a_i\) (con \(A_{-1} = 0\)). Entonces, para \(0 \leq k \leq l\):  

\[

\sum_{n=k}^l a_n b_n = A_l b_l - A_{k-1} b_k - \sum_{n=k}^{l-1} A_n (b_{n+1} - b_n).

\]  

**Analogía con integración por partes:**  

Si el lector está familiarizado con el cálculo integral, notará que esta fórmula es similar a:  

\[

\int_k^l f'(x)g(x) \, dx = [f(x)g(x)]_k^l - \int_k^l f(x)g'(x) \, dx,

\]  

donde \(f(x) \leftrightarrow A_n\), \(f'(x) \leftrightarrow a_n = A_n - A_{n-1}\), \(g(x) \leftrightarrow b_n\), y \(g'(x) \leftrightarrow b_{n+1} - b_n\).

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**Demostración:**  

\[

\begin{align*}

\sum_{n=k}^l a_n b_n &= \sum_{n=k}^l (A_n - A_{n-1}) b_n \\

&= \sum_{n=k}^l A_n b_n - \sum_{n=k}^l A_{n-1} b_n \\

&= \sum_{n=k}^{l-1} A_n b_n + A_l b_l - \sum_{n=k+1}^l A_{n-1} b_n - A_{k-1} b_k \\

&= A_l b_l - A_{k-1} b_k + \sum_{n=k}^{l-1} (A_n b_n - A_n b_{n+1}) \\

&= A_l b_l - A_{k-1} b_k - \sum_{n=k}^{l-1} A_n (b_{n+1} - b_n).

\end{align*}

\]

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### **Ejemplo 2.33**  

La serie  

\[

\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} = \frac{z}{1} + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \cdots

\]  

converge para todos los números complejos con \(|z| \leq 1\), excepto en \(z = 1\).

**Demostración:**  

1. Aplicamos el Teorema 2.32 con \(a_n = z^n\) y \(b_n = \frac{1}{n}\):  

   \[

   A_n = \sum_{i=0}^n z^i = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.

   \]  

2. Para \(|z| \leq 1\) y \(z \neq 1\), se cumple \(|1 - z^{n+1}| \leq 2\).  

3. Acotamos las sumas parciales:  

   \[

   \left| \sum_{n=k}^l \frac{z^n}{n} \right| \leq \frac{4}{|1 - z|} \cdot \frac{1}{k}.

   \]  

4. Esto prueba que las sumas parciales forman una **sucesión de Cauchy**, garantizando convergencia.

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### **Propiedades algebraicas de series de potencias**  

1. **Suma de series:**  

   \[

   \sum_{n=0}^\infty a_n x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) x^n.

   \]  

2. **Producto de series (Teorema 2.19):**  

   \[

   \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right) x^n.

   \]  

   - Las series resultantes convergen al menos en el disco común de convergencia \(D_R\).

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### **Notas técnicas:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \(\infty\), \(\sum\), \(\leq\) o \(\frac{a}{b}\) deben escribirse con comandos LaTeX.  

- Para visualizar las ecuaciones, incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/) en tu blog.  

- **Figuras:** La referencia a gráficas debe añadirse manualmente (no está incluida en el texto original).  

Si necesitas ajustar algo, avísame 😊.

Aquí tienes una explicación detallada y paso a paso del texto, adaptada para un principiante:

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### **Teorema 3.7 (Criterio de Mayoración de Weierstrass)**  

**Enunciado:**  

Si tenemos una sucesión de funciones continuas \( f_n: D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) y una sucesión de números reales \( \{M_n\} \) tales que:  

1. \( |f_n(z)| \leq M_n \) para todo \( z \in D \).  

2. \( \sum_{n=0}^\infty M_n \) converge.  

Entonces:  

- La serie \( \sum_{n=0}^\infty f_n(z) \) **converge absolutamente** para todo \( z \in D \).  

- La función suma \( f(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n(z) \) es **continua** en \( D \).

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#### **Demostración (Explicada para principiantes):**  

**1. Convergencia absoluta:**  

- Por el **criterio de comparación** (Teorema 2.10), si \( |f_n(z)| \leq M_n \) y \( \sum M_n \) converge, entonces \( \sum |f_n(z)| \) también converge.  

- Esto implica que \( \sum f_n(z) \) converge absolutamente en \( D \).

**2. Continuidad de \( f(z) \):**  

- Fijamos un punto \( a \in D \). Queremos probar que \( f(z) \) es continua en \( a \), es decir:  

  \[

  \lim_{z \to a} f(z) = f(a).

  \]

- Usamos la **desigualdad triangular** para acotar \( |f(z) - f(a)| \):  

  \[

  |f(z) - f(a)| \leq \underbrace{\left| \sum_{n=k+1}^\infty f_n(z) \right|}_{\text{Términos "lejanos"}} + \underbrace{\left| \sum_{n=0}^k (f_n(z) - f_n(a)) \right|}_{\text{Términos "cercanos"}} + \underbrace{\left| \sum_{n=k+1}^\infty f_n(a) \right|}_{\text{Términos "lejanos en } a}.

  \]

- **Acotación de términos "lejanos":**  

  - Como \( \sum M_n \) converge, su cola \( \sum_{n=k+1}^\infty M_n \) se puede hacer menor que \( \epsilon/4 \) eligiendo \( k \) suficientemente grande.  

  - Por tanto:  

    \[

    \left| \sum_{n=k+1}^\infty f_n(z) \right| \leq \sum_{n=k+1}^\infty |f_n(z)| \leq \sum_{n=k+1}^\infty M_n < \epsilon/4.

    \]

    Lo mismo aplica para \( \sum_{n=k+1}^\infty |f_n(a)| < \epsilon/4 \).

- **Acotación de términos "cercanos":**  

  - Para cada \( f_n \) con \( n \leq k \), como son continuas en \( a \), existe un \( \delta_n > 0 \) tal que:  

    \[

    |z - a| < \delta_n \implies |f_n(z) - f_n(a)| < \frac{\epsilon}{2(k+1)}.

    \]

  - Elegimos \( \delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \dots, \delta_k\} \).  

  - Si \( |z - a| < \delta \), entonces:  

    \[

    \left| \sum_{n=0}^k (f_n(z) - f_n(a)) \right| \leq \sum_{n=0}^k |f_n(z) - f_n(a)| < (k+1) \cdot \frac{\epsilon}{2(k+1)} = \epsilon/2.

    \]

- **Conclusión:**  

  Sumando las tres partes:  

  \[

  |f(z) - f(a)| < \epsilon/4 + \epsilon/2 + \epsilon/4 = \epsilon.

  \]

  Esto prueba que \( f(z) \) es continua en \( a \).

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### **Teorema 3.8: Continuidad de series de potencias**  

**Enunciado:**  

Una función \( f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \) definida por una serie de potencias con radio de convergencia \( R > 0 \) es **continua en su disco de convergencia** \( D_R = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < R \} \). Si \( R = \infty \), \( f(z) \) es continua en todo \( \mathbb{C} \).

**Demostración:**  

1. **Elección de radios auxiliares:**  

   - Sea \( |z| < s < r < R \).  

   - Como \( \sum a_n r^n \) converge, \( |a_n r^n| \leq M \) para algún \( M > 0 \).

2. **Acotación de términos:**  

   - Para \( |z| < s \), definimos \( M_n = M \left( \frac{s}{r} \right)^n \).  

   - Entonces:  

     \[

     |a_n z^n| \leq |a_n| s^n = |a_n r^n| \left( \frac{s}{r} \right)^n \leq M \left( \frac{s}{r} \right)^n = M_n.

     \]

   - La serie \( \sum M_n \) es geométrica convergente (pues \( s/r < 1 \)).

3. **Aplicación del Teorema 3.7:**  

   - Por Weierstrass, \( f(z) \) converge uniformemente en \( D_s \), y como cada \( a_n z^n \) es continua, \( f(z) \) es continua en \( D_s \).  

   - Como esto vale para todo \( s < R \), \( f(z) \) es continua en \( D_R \).

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### **Teorema 3.9: Unicidad de los coeficientes de una serie de potencias**  

**Enunciado:**  

Si dos series de potencias \( f(z) = \sum a_n z^n \) y \( g(z) = \sum b_n z^n \) coinciden en una sucesión \( \{\xi_n\} \) de números no nulos que converge a \( 0 \), entonces **todos sus coeficientes son iguales** (\( a_n = b_n \) para todo \( n \)).

**Demostración:**  

1. **Supongamos que algún coeficiente difiere:**  

   - Sea \( r \) el **menor índice** tal que \( a_r \neq b_r \).  

   - Entonces, para \( k < r \), \( a_k = b_k \), y podemos escribir:  

     \[

     f(z) = \sum_{n=0}^{r-1} a_n z^n + a_r z^r + z^{r+1} \sum_{n=0}^\infty a_{n+r+1} z^n,

     \]

     \[

     g(z) = \sum_{n=0}^{r-1} a_n z^n + b_r z^r + z^{r+1} \sum_{n=0}^\infty b_{n+r+1} z^n.

     \]

   - Definimos \( f^*(z) = \sum_{n=0}^\infty a_{n+r+1} z^n \) y \( g^*(z) = \sum_{n=0}^\infty b_{n+r+1} z^n \), que son continuas en \( 0 \).

2. **Igualdad en la sucesión \( \xi_n \):**  

   - Si \( f(\xi_n) = g(\xi_n) \), entonces:  

     \[

     a_r \xi_n^r + \xi_n^{r+1} f^*(\xi_n) = b_r \xi_n^r + \xi_n^{r+1} g^*(\xi_n).

     \]

   - Dividimos entre \( \xi_n^r \) (como \( \xi_n \neq 0 \)):  

     \[

     a_r + \xi_n f^*(\xi_n) = b_r + \xi_n g^*(\xi_n).

     \]

   - Tomamos el límite cuando \( n \to \infty \):  

     - \( \xi_n \to 0 \), luego \( \xi_n f^*(\xi_n) \to 0 \cdot f^*(0) = 0 \).  

     - \( \xi_n g^*(\xi_n) \to 0 \cdot g^*(0) = 0 \).  

     - Por tanto: \( a_r = b_r \), ¡contradicción!  

**Conclusión:**  

No puede existir un \( r \) donde \( a_r \neq b_r \), luego \( a_n = b_n \) para todo \( n \).

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### **Notas clave para principiantes:**  

1. **Teorema de Weierstrass:**  

   - Garantiza que si "dominamos" una serie de funciones con una serie convergente de constantes, la serie original converge uniformemente.  

   - **Importancia:** La continuidad se preserva bajo convergencia uniforme.

2. **Continuidad de series de potencias:**  

   - Las series de potencias son funciones "suaves" (continuas) dentro de su disco de convergencia.  

   - Ejemplo: \( e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \) es continua en \( \mathbb{C} \).

3. **Unicidad de coeficientes:**  

   - Si dos series de potencias coinciden cerca de \( 0 \), ¡son la misma serie!  

   - Aplicación: Identificar coeficientes al desarrollar funciones analíticas.

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### **Ejemplo intuitivo (no en el texto):**  

Supongamos dos series:  

\[

f(z) = 1 + z + z^2 + \cdots \quad \text{y} \quad g(z) = 1 + 2z + z^2 + \cdots.

\]  

Si \( f(z) = g(z) \) para \( z = 1/2, 1/3, 1/4, \dots \), entonces \( a_1 = 1 \) debe ser igual a \( b_1 = 2 \), lo cual es imposible. Por tanto, \( f \neq g \).

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### **Formato para tu blog:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/) para renderizar LaTeX.  

¿Necesitas más aclaraciones? 😊

Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para tu blog, respetando el contenido original:

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### **Teorema 3.11 (Ecuación funcional de Cauchy)**  

**Enunciado:**  

Si \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) es una función **continua** que satisface:  

\[

f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \text{para todo } x, y \in \mathbb{R},

\]  

entonces \( f(x) = a x \), donde \( a = f(1) \).

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#### **Demostración paso a paso:**  

**1. \( f(0) = 0 \):**  

- Sustituimos \( x = 0 \) e \( y = 0 \):  

  \[

  f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 0.

  \]

**2. \( f(-x) = -f(x) \):**  

- Sustituimos \( y = -x \):  

  \[

  f(x) + f(-x) = f(x + (-x)) = f(0) = 0 \implies f(-x) = -f(x).

  \]

**3. \( f(n) = a n \) para \( n \in \mathbb{N} \):**  

- Por inducción:  

  - \( n = 1 \): \( f(1) = a \).  

  - Suponiendo \( f(n) = a n \), entonces:  

    \[

    f(n + 1) = f(n) + f(1) = a n + a = a(n + 1).

    \]

**4. \( f(n) = a n \) para \( n \in \mathbb{Z} \):**  

- Para \( n \) negativo, usamos el paso 2:  

  \[

  f(n) = -f(-n) = -a(-n) = a n.

  \]

**5. \( f(r) = a r \) para \( r \in \mathbb{Q} \):**  

- Si \( r = \frac{m}{n} \) (con \( m \in \mathbb{Z} \), \( n \in \mathbb{N} \)):  

  \[

  f\left( \frac{m}{n} \right) = \frac{1}{n} f(m) = \frac{a m}{n} = a r.

  \]

**6. \( f(x) = a x \) para \( x \in \mathbb{R} \):**  

- Sea \( x \in \mathbb{R} \). Tomamos una sucesión de racionales \( \{x_k\} \to x \).  

- Por continuidad:  

  \[

  f(x) = \lim_{k \to \infty} f(x_k) = \lim_{k \to \infty} a x_k = a x.

  \]

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### **Nota histórica y observación clave:**  

- **Cauchy (1821):** Demostró este teorema bajo la hipótesis de continuidad.  

- **Sin continuidad:** Existen funciones no lineales que cumplen \( f(x + y) = f(x) + f(y) \), pero **no son explícitas** (su construcción requiere el axioma de elección).  

- **Importancia de la continuidad:** Garantiza que \( f \) sea lineal y, por tanto, "bien comportada".

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### **Ejercicio propuesto:**  

*Probar que si \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) cumple la ecuación funcional de Cauchy y es **continua en un punto**, entonces es continua en todo \( \mathbb{R} \), y por tanto \( f(x) = a x \).*  

**Pista:**  

- Usa que \( f \) es aditiva (\( f(x + h) - f(x) = f(h) \)).  

- Si \( f \) es continua en \( c \), prueba que \( \lim_{h \to 0} f(h) = 0 \).

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### **Formato para tu blog:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \(\infty\), \(\mathbb{R}\), \(\lim\) deben escribirse con comandos LaTeX.  

- Incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/) para renderizar las fórmulas.  

¿Necesitas más detalles en algún paso? 😊

Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog, respetando el contenido original:

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### **Teorema 3.21 (Abel)**  

**Enunciado:**  

Si la serie \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) es convergente, entonces la función \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) es **continua en \([0, 1]\)**.

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#### **Demostración:**  

1. **Normalización:**  

   - Sin pérdida de generalidad, suponemos \(\sum_{n=0}^\infty a_n = 0\) (redefiniendo \(a_0\)).  

   - Por tanto, \(f(1) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot 1^n = 0\).

2. **Aplicación de la fórmula de suma por partes (Teorema 2.32):**  

   Definimos \(A_n = \sum_{i=0}^n a_i\). Aplicando la fórmula:  

   \[

   \sum_{n=0}^l a_n x^n = A_l x^l - \sum_{n=0}^{l-1} A_n (x^{n+1} - x^n).

   \]  

   Simplificamos:  

   \[

   \sum_{n=0}^l a_n x^n = (1 - x) \sum_{n=0}^{l-1} A_n x^n + A_l x^l.

   \]

3. **Tomando el límite \(l \to \infty\):**  

   - Como \(\lim_{l \to \infty} A_l = \sum_{n=0}^\infty a_n = 0\), obtenemos:  

     \[

     f(x) = (1 - x) \sum_{n=0}^\infty A_n x^n.

     \]

4. **Acotación para \(x \in [0, 1]\):**  

   - Dado \(\epsilon > 0\), elegimos \(n_0\) tal que \(|A_n| < \epsilon/2\) para \(n \geq n_0\).  

   - **Parte 1 (términos desde \(n_0\)):**  

     \[

     \left| (1 - x) \sum_{n=n_0}^\infty A_n x^n \right| \leq \frac{\epsilon}{2} (1 - x) \sum_{n=n_0}^\infty x^n \leq \frac{\epsilon}{2}.

     \]  

   - **Parte 2 (términos hasta \(n_0 - 1\)):**  

     \[

     \left| (1 - x) \sum_{n=0}^{n_0-1} A_n x^n \right| \leq M (1 - x),

     \]  

     donde \(M = \max \{ |A_0|, \dots, |A_{n_0-1}| \}\).

5. **Continuidad en \(x = 1\):**  

   - Si \(1 - x < \epsilon/(2M)\), entonces:  

     \[

     |f(x) - f(1)| \leq \left| \text{Parte 1} \right| + \left| \text{Parte 2} \right| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.

     \]  

   - Esto prueba que \(f\) es continua en \(x = 1\).

6. **Continuidad en \([0, 1)\):**  

   - Para \(x \in [0, 1)\), \(f(x)\) es una serie de potencias convergente en su disco de convergencia, luego es continua por el **Teorema 2.25**.

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### **Notas técnicas:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \(\infty\), \(\sum\), \(\epsilon\) o \(\lim\) deben escribirse con comandos LaTeX.  

- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/).  

¿Necesitas más ajustes? 😊

Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para tu blog, respetando el contenido original:

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### **Suma de Abel: Extensión de la convergencia**  

Si una serie \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) es convergente, pero desconocemos su suma, podemos analizar su **serie de potencias asociada** \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\). Gracias al **Teorema 3.21 (Abel)**, podemos calcular la suma original como:  

\[

\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{x \to 1} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.

\]  

---

### **Nota importante:**  

- **Dominio del límite:** El límite debe entenderse como \(x \to 1\) **a través de números reales en \([0, 1]\)** (no en todo el disco de convergencia \(D_R\)).  

- **Razón:** En el disco de convergencia \(D_R\) (que incluye números complejos), el límite podría no existir. Por ejemplo, en el Ejemplo 5.11 se muestra una sucesión compleja en \(D_R\) que converge a \(1\), pero las imágenes no convergen a \(f(1)\).

---

### **Suma de Abel para series divergentes**  

Incluso si \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) es **divergente**, su **suma de Abel** puede existir:  

\[

\text{Suma de Abel} = \lim_{x \to 1} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \quad (|x| < 1).

\]  

#### **Ejemplo 1: Serie de Grandi**  

\[

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots.

\]  

- **Suma de Abel:**  

  Para \(|x| < 1\), la serie de potencias es geométrica:  

  \[

  \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = \frac{1}{1 + x}.

  \]  

  Tomando \(x \to 1\):  

  \[

  1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{2}.

  \]  

  Este resultado coincide con la intuición histórica de Grandi y la duda de Euler sobre su validez.

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#### **Ejemplo 2: Serie aritmético-geométrica**  

La serie:  

\[

\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n z^n = z - 2z^2 + 3z^3 - 4z^4 + \cdots

\]  

- **Suma en \(|z| < 1\):**  

  \[

  \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n z^n = \frac{z}{(1 + z)^2}.

  \]  

- **Suma de Abel en \(z = 1\):**  

  \[

  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \lim_{z \to 1} \frac{z}{(1 + z)^2} = \frac{1}{4}.

  \]

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### **Ejercicio propuesto:**  

*Probar que la **suma de Cesàro** de la serie \(1 - 2 + 3 - 4 + \cdots\) es divergente.*  

**Pista:**  

- La suma de Cesàro promedia las sumas parciales.  

- Las sumas parciales alternan entre \(1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\), y sus promedios no convergen.

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### **Notas técnicas:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \(\infty\), \(\lim\), \(\sum\) o \(\frac{a}{b}\) deben escribirse con comandos LaTeX.  

- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/).  

¿Necesitas más detalles en algún paso? 😊

Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog, respetando el contenido original:

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### **Definición 3.30: Conjuntos cerrados, acotados y compactos**  

Un conjunto \( K \subset \mathbb{C} \) es:  

1. **Cerrado** si toda sucesión convergente \(\{x_n\}_{n=0}^\infty \subset K\) tiene su límite en \( K \):  

   \[

   \lim_{n \to \infty} x_n = L \in K.

   \]  

2. **Acotado** si existe \( M > 0 \) tal que \( |x| \leq M \) para todo \( x \in K \).  

3. **Compacto** si es **cerrado y acotado**.

**Ejemplos de conjuntos compactos:**  

1. Intervalos cerrados y acotados en \( \mathbb{R} \): \([a, b]\).  

2. Rectángulos en \( \mathbb{C} \):  

   \[

   [a, b] \times [c, d] = \{ x + yi \in \mathbb{C} \mid a \leq x \leq b, \, c \leq y \leq d \}.

   \]  

3. Discos cerrados en \( \mathbb{C} \):  

   \[

   \overline{D}_r = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq r \}.

   \]

---

### **Teorema 3.31 (de Weierstrass)**  

Si \( f: K \subset \mathbb{C} \to \mathbb{R} \) es continua y \( K \) es compacto, existen \( x_0, x_1 \in K \) tales que:  

\[

f(x_0) \leq f(x) \leq f(x_1) \quad \text{para todo } x \in K.

\]  

**Demostración:**  

1. **Acotación de \( f \):**  

   - Supongamos que \( A = \{ f(x) \mid x \in K \} \) no está acotado.  

   - Para cada \( n \in \mathbb{N} \), existe \( x_n \in K \) con \( f(x_n) > n \).  

   - Por **Bolzano-Weierstrass** (Teorema 1.24), \(\{x_n\}\) tiene una subsucesión convergente \(\{x_{n_k}\}\) con límite \( L \in K \).  

   - Por continuidad de \( f \):  

     \[

     f(L) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) \geq \lim_{k \to \infty} n_k = \infty,

     \]  

     ¡contradicción! Por tanto, \( A \) está acotado.

2. **Existencia de máximo y mínimo:**  

   - Sea \( M = \sup A \). Existe una sucesión \(\{x_n\} \subset K\) tal que \( f(x_n) \to M \).  

   - Por Bolzano-Weierstrass, \(\{x_n\}\) tiene una subsucesión convergente \(\{x_{n_k}\}\) con límite \( c \in K \).  

   - Por continuidad:  

     \[

     f(c) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = M.

     \]  

   - Análogamente, se prueba la existencia de un mínimo \( f(x_0) \).

---

### **Teorema 3.32: Consecuencia del teorema de Weierstrass**  

Si \( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) es continua y toma un valor \( c \), entonces existen \( x_{\text{min}}, x_{\text{max}} \in [a, b] \) tales que:  

\[

f(x_{\text{min}}) = c \quad \text{y} \quad f(x_{\text{max}}) = c.

\]  

**Demostración:**  

- Sea \( K = \{ x \in [a, b] \mid f(x) = c \} \).  

  - \( K \) es cerrado (por continuidad de \( f \)) y acotado (contenido en \([a, b]\)), luego es compacto.  

- Aplicamos Weierstrass a \( g(x) = x \) en \( K \):  

  \[

  \exists \, x_{\text{min}}, x_{\text{max}} \in K \text{ tales que } g(x_{\text{min}}) \leq g(x) \leq g(x_{\text{max}}) \quad \forall x \in K.

  \]

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### **Teorema 3.33 (Teorema Fundamental del Álgebra)**  

**Enunciado:**  

Todo polinomio no constante \( p(x) \in \mathbb{C}[x] \) tiene al menos una raíz en \( \mathbb{C} \).

**Demostración (idea clave):**  

1. **Reducción al absurdo:**  

   - Supongamos \( p(x) \neq 0 \) para todo \( x \in \mathbb{C} \).  

   - Sea \( c \in \mathbb{C} \) donde \( |p(x)| \) alcanza su mínimo (por Weierstrass en \( \overline{D}_M \)).  

2. **Construcción del polinomio \( q(x) \):**  

   - Definimos \( q(x) = \frac{p(x + c)}{p(c)} \), que cumple \( |q(x)| \geq 1 = |q(0)| \).  

   - Descomponemos \( q(x) \) como:  

     \[

     q(x) = a_n x^n + \cdots + a_k x^k + 1 \quad (a_k \neq 0).

     \]  

3. **Contradicción:**  

   - Elegimos \( a \in \mathbb{C} \) tal que \( a^k = -1/a_k \).  

   - Para \( 0 < x < 1 \), se demuestra:  

     \[

     |q(a x)| < 1,

     \]  

     contradiciendo que \( |q(0)| = 1 \) es el mínimo.  

4. **Factorización:**  

   - Si \( p(c) = 0 \), el polinomio se factoriza como:  

     \[

     p(x) = a_0 (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n).

     \]  

---

### **Notas técnicas:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \(\mathbb{C}\), \(\sup\), \(\lim\) o \(\overline{D}_r\) deben escribirse con comandos LaTeX.  

- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/).  

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**Demostración del Teorema Fundamental del Álgebra (Teorema 3.33):**  

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### **Teorema 3.33 (Fundamental del Álgebra)**  

**Enunciado:**  

Todo polinomio no constante \( p(x) \in \mathbb{C}[x] \) tiene al menos una raíz en \( \mathbb{C} \).

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#### **Demostración Paso a Paso:**  

1. **Comportamiento en el infinito:**  

   - Sea \( p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \) con \( a_n \neq 0 \) y \( n \geq 1 \).  

   - Cuando \( |x| \to \infty \), el término \( a_n x^n \) domina, por lo que \( |p(x)| \to \infty \).  

   - Existe \( M > 0 \) tal que si \( |x| \geq M \), entonces \( |p(x)| > |p(0)| \).

2. **Mínimo en el disco cerrado \( \overline{D}_M \):**  

   - El disco \( \overline{D}_M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq M \} \) es **compacto** (cerrado y acotado).  

   - Por el **Teorema de Weierstrass** (Teorema 3.31), \( |p(z)| \) alcanza su mínimo en algún \( c \in \overline{D}_M \).

3. **Mínimo global en \( c \):**  

   - Para \( x \in \overline{D}_M \), \( |p(c)| \leq |p(x)| \).  

   - Para \( x \notin \overline{D}_M \), \( |p(c)| \leq |p(0)| < |p(x)| \).  

   - Por tanto, \( |p(c)| \) es el **mínimo absoluto** de \( |p(z)| \) en \( \mathbb{C} \).

4. **Supongamos \( p(c) \neq 0 \):**  

   - Definimos \( q(x) = \frac{p(x + c)}{p(c)} \).  

   - Propiedades de \( q(x) \):  

     - \( q(0) = 1 \).  

     - \( |q(x)| \geq 1 \) para todo \( x \in \mathbb{C} \).  

5. **Descomposición de \( q(x) \):**  

   - Sea \( k > 0 \) el menor índice con \( a_k \neq 0 \):  

     \[

     q(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_k x^k + 1.

     \]  

   - Elegimos \( a \in \mathbb{C} \) tal que \( a^k = -\frac{1}{a_k} \) (existencia garantizada por el Teorema 5.10).  

6. **Evaluación de \( q(a x) \):**  

   - Sustituyendo \( x \) por \( a x \):  

     \[

     q(a x) = a_n (a x)^n + a_{n-1} (a x)^{n-1} + \cdots - x^k + 1.

     \]  

   - Agrupamos términos:  

     \[

     q(a x) = x^{k+1} \cdot r(x) - x^k + 1,

     \]  

     donde \( r(x) \) es un polinomio.  

7. **Contradicción con el mínimo:**  

   - Para \( x \) pequeño (\( 0 < x < 1 \)):  

     \[

     |q(a x)| \leq |1 - x^k| + x^{k+1} |r(x)|.

     \]  

   - Como \( \lim_{x \to 0} x \cdot r(x) = 0 \), existe \( x \) tal que \( x |r(x)| < 1 \).  

   - Por tanto:  

     \[

     |q(a x)| < 1 - x^k + x^k = 1,

     \]  

     ¡contradiciendo que \( |q(0)| = 1 \) es el mínimo!  

**Conclusión:**  

\( p(c) = 0 \), es decir, \( c \) es una raíz de \( p(x) \).

---

### **Factorización de Polinomios**  

- Si \( p(c) = 0 \), factorizamos \( p(x) = (x - c) p_1(x) \).  

- Repitiendo el proceso \( n \) veces, obtenemos:  

  \[

  p(x) = a_0 (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n).

  \]  

---

### **Notas Clave:**  

- **Compacidad:** El disco \( \overline{D}_M \) garantiza la existencia del mínimo (Teorema de Weierstrass).  

- **Contradicción:** La suposición \( p(c) \neq 0 \) lleva a \( |q(a x)| < 1 \), violando la minimalidad de \( |q(0)| \).  

- **Raíces complejas:** Todo polinomio de grado \( n \) tiene exactamente \( n \) raíces en \( \mathbb{C} \) (contando multiplicidades).  

---

### **Formato para tu blog:**  

- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.  

- Símbolos como \( \mathbb{C} \), \( \lim \), \( \sum \) o \( \overline{D}_M \) requieren LaTeX.  

- Incluye [MathJax](https://www.mathjax.org/) para renderizar las fórmulas.  

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