CONTENIDO MATEMÁTICO I
Ahí vamos. Verlo a través foros de mates rincón matemático. Ahí vamos. Verlo a través foros de mates rincón matemático. He comprobado que funciona. Se trata de operar como si fuera publicar una entrada o post, y verlo todo en la previsualización, sin llegar a publicar nada claro que entonces la lío. Hay que copiar en el borrador de mi blog y pegar en la entrada que supuestamente iba a publicar en el foro de matemáticas y verlo en previsualización
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### Ejemplo 2.21
Consideremos la serie:
La serie converge por el criterio de Leibniz. El producto de Cauchy de esta serie por sí misma tiene término general:
Cuando
luego:
Por consiguiente:
Esta expresión converge a
---
### Ejemplo 2.22
**Demostración:**
Por el teorema anterior:
Simplificando:
Por lo tanto:
---
### Teorema 2.23 (Irracionalidad de
**Demostración:**
Supongamos
El segundo término es un entero, pero se demuestra que:
lo cual es una contradicción.
---
### Reordenación de series (Ejemplo 2.24)
La serie condicionalmente convergente:
puede reordenarse para converger a
---
### Teorema 2.25 (Reordenación de series absolutamente convergentes)
Si
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### Teorema 2.27 (Intercambio de sumas)
Si
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### Notas técnicas:
1. Usa `
2. Los símbolos como
3. Para tu blog, asegúrate de incluir un renderizador de LaTeX (como MathJax).
¿Necesitas ajustar algo más?
Un **renderizador de LaTeX** (como **MathJax** o **KaTeX**) es una herramienta que permite visualizar fórmulas y símbolos matemáticos escritos en lenguaje LaTeX directamente en una página web, documento o aplicación.
### ¿Qué hace exactamente?
- Convierte código LaTeX (ejemplo: `\frac{1}{e}`) en ecuaciones visualmente correctas (ejemplo:
- Asegura que las fórmulas se adapten a diferentes tamaños de pantalla y navegadores.
- Evita que los caracteres matemáticos se "rompan" al copiar texto desde PDFs u otros formatos.
### Ejemplo en un blog:
Si escribes en tu blog:
```html
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
<p>La serie converge a
```
El renderizador (MathJax en este caso) mostrará:
**"La serie converge a
en lugar de texto plano como `
### ¿Por qué lo necesitas?
En tu caso, al pegar texto de un PDF, los caracteres matemáticos se desordenan porque el blog no interpreta LaTeX automáticamente. Un renderizador soluciona esto.
¿Necesitas ayuda para integrar uno en tu blog?
La suma de la serie
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### **Paso 1: Recuerda la serie de Taylor para
La función exponencial
Esta serie converge para cualquier valor de
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### **Paso 2: Sustituye
Si reemplazamos
Desglosando los términos:
---
### **Paso 3: Simplifica los términos**
Observa que
Sustituyendo en la serie:
---
### **Paso 4: Conclusión**
La serie dada coincide exactamente con la expansión de
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### **Verificación numérica (para principiantes)**
Si calculamos los primeros términos de la serie:
Sumando estos términos:
El valor real de
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### **¿Por qué funciona esto?**
- La convergencia de la serie se debe a que
- La sustitución
¡Espero que te haya quedado claro! 😊
El producto de Cauchy de las series
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### **Paso 1: Definición del producto de Cauchy**
El producto de Cauchy de dos series
En este caso:
---
### **Paso 2: Expresión del término general
Sustituyendo en la fórmula:
Factorizamos
---
### **Paso 3: Simplificación usando el teorema del binomio**
Observamos que:
El sumatorio
- Para
- Para
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### **Paso 4: Cálculo de
- Si
- Si
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### **Paso 5: Serie resultante**
El producto de Cauchy es:
---
### **Verificación con funciones conocidas**
- La primera serie es
- La segunda serie es
- Su producto es
---
**Respuesta final:**
El producto de Cauchy de las dos series es
**Demostración de la irracionalidad de
**Supongamos, por contradicción, que
Entonces, existen enteros positivos
**Expresamos
Sabemos que
**Separamos la serie en dos partes:**
**Analizamos cada parte:**
1. **Suma finita (
Cada término
2. **Suma infinita (
Cada término se simplifica como:
La serie es **alternante decreciente** (en valor absoluto) y su suma cumple:
Además, como la serie es alternante, su valor absoluto es menor que el primer término:
**Contradicción:**
El lado izquierdo de la ecuación original es:
Esto implica que
**Conclusión:**
La suposición de que
---
### **Notas clave:**
- **Propiedad crucial:** La suma infinita
- **Error común:** Confundir la convergencia de la serie con propiedades de los enteros. La contradicción surge al mostrar que un entero (lado derecho) no puede ser igual a un no entero (lado izquierdo).
Vamos a desglosar este paso crucial de la demostración de la irracionalidad de
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### **Paso 1: Entender el término
Para
Por lo tanto:
Este término es siempre **positivo**, lo que justifica la primera desigualdad
---
### **Paso 2: Acotar el denominador**
Observa que cada factor en el denominador
- Si
- Si
- En general, para
---
### **Paso 3: Comparar con una serie geométrica**
Usando la desigualdad anterior:
Por ejemplo:
- Para
- Para
- Y así sucesivamente.
La suma original se acota entonces por una **serie geométrica**:
---
### **Paso 4: Calcular la serie geométrica**
La serie geométrica tiene razón
(La variable
---
### **Paso 5: Interpretar el resultado**
La desigualdad final:
implica que la suma es un número **no entero** entre 0 y 1. Esto contradice la suposición inicial de que
---
### **Visualización con
Para
Acotamos cada término:
La suma geométrica equivalente es:
---
### **Conclusión**
Este paso demuestra que la "cola" de la serie
**Explicación detallada del Ejemplo 2.24 (Reordenación de series):**
---
### **1. Serie condicionalmente convergente original**
La serie en cuestión es:
Esta serie converge condicionalmente (no absolutamente) porque:
- **Converge** por el criterio de Leibniz (términos alternados decrecientes).
- **No converge absolutamente** porque
---
### **2. Objetivo: Reordenar para obtener
El ejemplo muestra que, al reordenar los términos de
---
### **3. Estrategia de la demostración**
La clave está en **intercalar dos series**:
1. **Serie original
2. **Serie auxiliar
**Construcción de la nueva serie:**
- Se insertan **ceros** en las posiciones impares de
- Luego, se **suma término a término** con la serie original
Simplificando:
Al eliminar los ceros, obtenemos la reordenación:
---
### **4. ¿Por qué converge a
- **Suma de las series originales**:
- **Reordenación y convergencia**:
La nueva serie combina términos de
- Los términos positivos se agrupan más frecuentemente.
- Los términos negativos se espacian (aparecen cada tres términos en lugar de cada dos).
Esto altera la velocidad a la que se acumulan los términos positivos y negativos, resultando en una suma mayor que
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### **5. Detalles técnicos**
- **Riemann Rearrangement Theorem**: Toda serie condicionalmente convergente puede reordenarse para converger a **cualquier valor real** (o incluso divergir). Aquí, se usa para escalar la suma por
- **Convergencia de la reordenación**:
- Las sumas parciales de la nueva serie se aproximan a
- Por ejemplo, los primeros términos:
Al añadir más términos, la suma se acerca al valor objetivo.
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### **6. Contraste con series absolutamente convergentes**
Si una serie converge absolutamente (ej.
---
**Conclusión:**
La reordenación propuesta en el Ejemplo 2.24 ilustra cómo, al aprovechar la convergencia condicional, podemos ajustar la suma de una serie mediante una disposición estratégica de sus términos. Este fenómeno subraya la importancia del orden en series no absolutamente convergentes.
Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog:
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### **Reordenación de series (Ejemplo 2.24)**
Otro punto clave donde la convergencia absoluta es crucial es en la **reordenación de términos de una serie**.
---
#### **Ejemplo 2.24**
Consideremos la serie condicionalmente convergente:
Sabemos que:
**Construcción de una reordenación:**
1. Definimos una nueva serie
- Los términos impares son ceros:
- Los términos pares coinciden con la serie
Resultado:
2. Sumamos término a término la serie original
Los primeros términos son:
3. Eliminando los ceros, obtenemos la reordenación:
Esta serie converge a
---
#### **Teorema 2.25 (Reordenación de series absolutamente convergentes)**
Si
**Demostración:**
1. **Acotación de sumas parciales:**
Toda suma parcial de la reordenación está mayorada por una suma parcial de la serie original.
2. **Convergencia:**
Usando el criterio de Cauchy, para
Ajustando índices, se demuestra que la diferencia entre las sumas parciales de la reordenación y la serie original es menor que
---
#### **Intercambio de sumas (Teorema 2.27)**
Para series dobles
**Demostración:**
1. **Convergencia absoluta:**
Las sumas parciales de
2. **Igualdad de sumas:**
Usando desigualdades y límites, se prueba que la diferencia entre cualquier orden de suma es menor que
---
#### **Asociatividad infinita (Teorema 2.29)**
Si
siempre que las series sean absolutamente convergentes.
---
### **Notas técnicas:**
- Usa `
- Símbolos como
- Para tu blog, incluye un renderizador de LaTeX como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
¿Necesitas ajustar algo más? 😊
Vamos a explicar **paso a paso** el contenido del texto, centrándonos en los ejemplos, teoremas y demostraciones, de manera que un principiante pueda entenderlo. ¡Empecemos!
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### **1. Ejemplo 2.21: Serie condicionalmente convergente y producto de Cauchy**
**Serie dada:**
- **Convergencia:** Por el **criterio de Leibniz** (para series alternadas), como los términos
**Producto de Cauchy de la serie por sí misma:**
El término general del producto es:
- **Análisis de
Se demuestra que
- **Conclusión:** Como
- **Significado:** Esto prueba que la serie original es **condicionalmente convergente** (converge, pero no absolutamente).
---
### **2. Ejemplo 2.22: Serie alternada y número
**Serie dada:**
- **Demostración:**
1. Multiplicamos la serie por sí misma (producto de Cauchy):
2. Simplificamos usando el **teorema del binomio**:
3. Por tanto,
---
### **3. Teorema 2.23: Irracionalidad de
**Enunciado:**
**Demostración (simplificada):**
1. **Supongamos que
2. Multipliquemos ambos lados por
3. Expresamos
4. **Separamos la serie en dos partes:**
- Términos hasta
- Términos desde
5. **Contradicción:**
-
- Pero
- **Conclusión:**
---
### **4. Reordenación de series (Ejemplo 2.24)**
**Serie original (condicionalmente convergente):**
**Reordenación propuesta:**
**Explicación:**
1. **Estrategia:**
- Se combina la serie original
- Se insertan ceros en posiciones pares de
- Al sumar término a término, se elimina ceros y se reordena.
2. **Resultado:** La nueva serie converge a
---
### **5. Teorema 2.25: Reordenación de series absolutamente convergentes**
**Enunciado:** Si una serie es absolutamente convergente, cualquier reordenación de sus términos mantiene la misma suma.
**Idea de la demostración:**
- **Acotación de sumas parciales:** Las sumas parciales de la reordenación no pueden superar las de la serie original.
- **Criterio de Cauchy:** Para
- **Conclusión:** La reordenación no altera el límite.
---
### **6. Teorema 2.27: Intercambio de sumas en series dobles**
**Enunciado:** Si una serie doble
**Demostración (intuitiva):**
- **Acotación:** Las sumas parciales de filas y columnas están controladas por la convergencia absoluta.
- **Límite:** Al reorganizar términos, el error cometido se hace arbitrariamente pequeño.
---
### **7. Teorema 2.29: Asociatividad infinita**
**Enunciado:** Si una serie es absolutamente convergente, se puede agrupar sus términos en subconjuntos infinitos sin alterar la suma.
**Ejemplo:**
Si
**Idea clave:**
- La convergencia absoluta garantiza que la suma no depende del orden o agrupación.
---
### **Notas finales para principiantes:**
1. **Convergencia condicional vs. absoluta:**
- Una serie es **condicionalmente convergente** si converge, pero no absolutamente (ejemplo:
- Una serie es **absolutamente convergente** si
2. **Importancia de la convergencia absoluta:**
- Permite reordenar términos y agruparlos sin alterar la suma.
- Garantiza la convergencia de productos de Cauchy e intercambios de sumas.
3. **Herramientas clave:**
- **Criterio de Leibniz** para series alternadas.
- **Teorema del binomio** para simplificar sumas.
- **Demostraciones por contradicción** (como en la irracionalidad de
Si tienes dudas en algún paso específico, ¡avísame! 😊
### **Demostración detallada de los teoremas**
---
#### **Teorema 2.25: Reordenación de series absolutamente convergentes**
**Enunciado:**
Si
---
**Demostración paso a paso:**
1. **Definiciones:**
- Sea
- Sea
- La convergencia absoluta implica
2. **Control de colas de la serie:**
Para
3. **Relación entre términos de
Como
- Los términos restantes de
4. **Aproximación de las sumas parciales:**
- Sea
- Sea
- Para
-
-
5. **Conclusión:**
Por la desigualdad triangular:
Como
---
#### **Teorema 2.27: Intercambio de sumas en series dobles**
**Enunciado:**
Si
---
**Demostración paso a paso:**
1. **Convergencia absoluta de las iteradas:**
- Para cada
- Definamos
Así,
2. **Aproximación por sumas parciales:**
- Sea
- Para
3. **Comparación con sumas iteradas:**
- La suma iterada
- La diferencia entre
- Lo mismo aplica para
4. **Conclusión:**
Como
---
### **Notas clave para principiantes:**
- **Teorema 2.25:** La convergencia absoluta garantiza que los términos pueden reordenarse sin alterar la suma. Esto no es cierto para series condicionalmente convergentes (ejemplo:
- **Teorema 2.27:** La convergencia absoluta permite intercambiar el orden de sumación en series dobles. Esto es esencial en cálculos prácticos (ejemplo: sumas en análisis de Fourier o probabilidad).
Si tienes dudas en algún paso, ¡avísame! 😊
Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog, respetando el contenido original:
---
### **Asociatividad infinita**
Veamos ahora que las series absolutamente convergentes cumplen una versión infinita de la propiedad asociativa. Para enunciarla, introducimos la siguiente notación:
---
#### **Definición 2.28**
Sea
-
-
**Observaciones:**
1. Si
2. Si
**Convergencia absoluta:**
Una serie
- Si
- Si
**Caracterización:**
La serie
---
#### **Teorema 2.29**
Sea
-
- En tal caso:
**Demostración:**
1. **Si
- Para todo
- Además,
2. **Recíprocamente, si todas las series
- Para cada
- Por tanto,
3. **Igualdad de sumas:**
- Al enumerar los elementos de
---
### **Notas técnicas:**
- Usa `
- Símbolos como
- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye un renderizador como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
Si necesitas ajustar algo, avísame 😊.
Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog, respetando el contenido original:
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### **2.4 Series de potencias**
Una clase de series con un comportamiento especialmente satisfactorio es el de las **series de potencias**:
---
#### **Teorema 2.30**
Sea
**Entonces:**
La serie
**Demostración:**
1. Como
2. Si
3. La serie
---
#### **Radio de convergencia**
Dada una serie de potencias
1. **Convergencia en todo
2. **Convergencia solo en
3. **Convergencia en un disco
**Definición 2.31 (Disco de convergencia):**
El conjunto
- La serie converge absolutamente en
- Diverge para
- En
---
#### **Ejemplos**
1. **Serie geométrica:**
- Converge a
- Diverge en
2. **Serie armónica alternada:**
- Converge en
- En
3. **Serie de potencias absolutamente convergente:**
- Converge absolutamente en
---
#### **Teorema 2.32 (Fórmula de suma por partes)**
Sean
**Analogía:** Similar a la integración por partes, donde
---
#### **Ejemplo 2.33**
La serie
**Demostración:**
1. Aplicamos la fórmula de suma por partes con
2. Para
---
### **Propiedades clave:**
1. **Suma y producto de series de potencias:**
- Suma:
- Producto:
2. **Convergencia:** Las series resultantes convergen al menos en el disco
---
### **Notas técnicas:**
- Usa `
- Símbolos como
- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye un renderizador como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
Si necesitas ajustar algo, avísame 😊.
Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog, respetando el contenido original:
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### **Ejemplos de series de potencias y convergencia en la frontera**
---
#### **1. Serie geométrica**
- **Convergencia:**
- Para
- Para
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#### **2. Serie armónica alternada**
- **Comportamiento en la frontera
- Converge en
- Diverge en
- **Gráfica:** La función asociada (intermedia en la figura) muestra convergencia condicional en parte de la frontera.
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#### **3. Serie de potencias absolutamente convergente**
- **Convergencia en
- Absolutamente convergente (comparación con
- **Criterio de D’Alembert para
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### **Teorema 2.32 (Fórmula de suma por partes)**
Sean
**Analogía con integración por partes:**
donde
---
#### **Ejemplo 2.33**
La serie
**Demostración:**
1. Aplicamos la fórmula de suma por partes con
2. Para
3. Acotamos las sumas parciales:
4. Esto prueba que las sumas parciales forman una **sucesión de Cauchy**, garantizando convergencia.
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### **Propiedades algebraicas de series de potencias**
1. **Suma:**
2. **Producto (Teorema 2.19):**
- Las series resultantes convergen al menos en el disco común
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### **Notas técnicas:**
- Usa `
- Símbolos como
- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye un renderizador como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
- **Figuras:** La gráfica mencionada debe insertarse manualmente (no está incluida en el texto original).
Si necesitas ajustar algo, avísame 😊.
Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX para que las ecuaciones se visualicen correctamente en tu blog:
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### Ejemplo 2.21
Consideremos la serie:
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}.
$$
La serie converge por el criterio de Leibniz. El producto de Cauchy de esta serie por sí misma tiene término general:
$$
c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n - k + 1)(k + 1)}}.
$$
Cuando \( n \geq k \), tenemos:
$$
(n - k + 1)(k + 1) = \left(\frac{n}{2} + 1\right)^2 - \left(\frac{n}{2} - k\right)^2 \leq \left(\frac{n}{2} + 1\right)^2,
$$
luego:
$$
\frac{1}{\sqrt{(n - k + 1)(k + 1)}} \geq \frac{1}{\frac{n}{2} + 1} = \frac{2}{n + 2}.
$$
Por consiguiente:
$$
|c_n| \geq \sum_{k=0}^n \frac{2}{n + 2} = \frac{2(n + 1)}{n + 2}.
$$
Esta expresión converge a \( 2 \), luego \( c_n \) no converge a \( 0 \) y el producto de Cauchy no converge. El teorema anterior prueba que la serie dada es condicionalmente convergente.
---
### Ejemplo 2.22
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots = \frac{1}{e}.
$$
**Demostración:**
Por el teorema anterior:
$$
\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \right) \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!(n - k)!}.
$$
Simplificando:
$$
= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} (1 - 1)^n = 1.
$$
Por lo tanto:
$$
e \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1.
$$
---
### Teorema 2.23 (Irracionalidad de \( e \))
**Demostración:**
Supongamos \( e = \frac{m}{n} \). Entonces:
$$
n! \cdot e^{-1} = n! \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = \sum_{k=0}^m \frac{(-1)^k n!}{k!} + \sum_{k=m+1}^\infty \frac{(-1)^k n!}{k!}.
$$
El segundo término es un entero, pero se demuestra que:
$$
0 < \left| \sum_{k=m+1}^\infty \frac{(-1)^k n!}{k!} \right| < \frac{1}{m + 1} < \frac{1}{2},
$$
lo cual es una contradicción.
---
### Reordenación de series (Ejemplo 2.24)
La serie condicionalmente convergente:
$$
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},
$$
puede reordenarse para converger a \( \frac{3S}{2} \). Por ejemplo:
$$
1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots \to \frac{3}{2} \log 2.
$$
---
### Teorema 2.25 (Reordenación de series absolutamente convergentes)
Si \( \sum_{n=0}^\infty z_n \) es absolutamente convergente, cualquier reordenación \( \sum_{n=0}^\infty z_{\sigma(n)} \) converge al mismo límite.
---
### Teorema 2.27 (Intercambio de sumas)
Si \( \sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}| \) converge, entonces:
$$
\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn} = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}.
$$
---
### Notas técnicas:
1. Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.
2. Los símbolos como \( \leq \), \( \infty \), \( \binom{n}{k} \) deben escribirse con comandos LaTeX.
3. Para tu blog, asegúrate de incluir un renderizador de LaTeX (como MathJax).
¿Necesitas ajustar algo más?
Un **renderizador de LaTeX** (como **MathJax** o **KaTeX**) es una herramienta que permite visualizar fórmulas y símbolos matemáticos escritos en lenguaje LaTeX directamente en una página web, documento o aplicación.
### ¿Qué hace exactamente?
- Convierte código LaTeX (ejemplo: `\frac{1}{e}`) en ecuaciones visualmente correctas (ejemplo: \( \frac{1}{e} \)).
- Asegura que las fórmulas se adapten a diferentes tamaños de pantalla y navegadores.
- Evita que los caracteres matemáticos se "rompan" al copiar texto desde PDFs u otros formatos.
### Ejemplo en un blog:
Si escribes en tu blog:
```html
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
<p>La serie converge a \( \frac{1}{e} \).</p>
```
El renderizador (MathJax en este caso) mostrará:
**"La serie converge a \( \frac{1}{e} \)."**
en lugar de texto plano como `\( \frac{1}{e} \)`.
### ¿Por qué lo necesitas?
En tu caso, al pegar texto de un PDF, los caracteres matemáticos se desordenan porque el blog no interpreta LaTeX automáticamente. Un renderizador soluciona esto.
¿Necesitas ayuda para integrar uno en tu blog?
La suma de la serie \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 2^n}{n!}\) es \(e^{-2}\). Aquí te explico paso a paso cómo llegar a este resultado:
---
### **Paso 1: Recuerda la serie de Taylor para \(e^x\)**
La función exponencial \(e^x\) se puede expresar como una serie infinita:
\[
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]
Esta serie converge para cualquier valor de \(x\).
---
### **Paso 2: Sustituye \(x = -2\) en la serie**
Si reemplazamos \(x\) por \(-2\) en la fórmula anterior, obtenemos:
\[
e^{-2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{n!}
\]
Desglosando los términos:
\[
e^{-2} = 1 + (-2) + \frac{(-2)^2}{2!} + \frac{(-2)^3}{3!} + \cdots
\]
---
### **Paso 3: Simplifica los términos**
Observa que \((-2)^n = (-1)^n \cdot 2^n\). Por lo tanto:
\[
\frac{(-2)^n}{n!} = \frac{(-1)^n \cdot 2^n}{n!}
\]
Sustituyendo en la serie:
\[
e^{-2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 2^n}{n!}
\]
---
### **Paso 4: Conclusión**
La serie dada coincide exactamente con la expansión de \(e^{-2}\). Por lo tanto:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 2^n}{n!} = e^{-2}
\]
---
### **Verificación numérica (para principiantes)**
Si calculamos los primeros términos de la serie:
\[
\begin{align*}
n=0: & \quad \frac{(-1)^0 \cdot 2^0}{0!} = 1 \\
n=1: & \quad \frac{(-1)^1 \cdot 2^1}{1!} = -2 \\
n=2: & \quad \frac{(-1)^2 \cdot 2^2}{2!} = \frac{4}{2} = 2 \\
n=3: & \quad \frac{(-1)^3 \cdot 2^3}{3!} = \frac{-8}{6} \approx -1.333 \\
n=4: & \quad \frac{(-1)^4 \cdot 2^4}{4!} = \frac{16}{24} \approx 0.666 \\
\end{align*}
\]
Sumando estos términos: \(1 - 2 + 2 - 1.333 + 0.666 \approx 0.333\).
El valor real de \(e^{-2}\) es aproximadamente \(0.1353\), y si seguimos sumando más términos, la serie se acercará a este valor.
---
### **¿Por qué funciona esto?**
- La convergencia de la serie se debe a que \(n!\) crece mucho más rápido que \(2^n\), lo que garantiza que los términos se hagan cada vez más pequeños (condición necesaria para la convergencia).
- La sustitución \(x = -2\) es válida porque la serie de \(e^x\) converge para **cualquier** \(x\), incluso negativos.
¡Espero que te haya quedado claro! 😊
El producto de Cauchy de las series \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\) y \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\) es **1**, y se demuestra de la siguiente manera:
---
### **Paso 1: Definición del producto de Cauchy**
El producto de Cauchy de dos series \(\sum a_n\) y \(\sum b_n\) tiene término general:
\[
c_n = \sum_{k=0}^n a_k \cdot b_{n-k}.
\]
En este caso:
\[
a_k = \frac{1}{k!}, \quad b_{n-k} = \frac{(-1)^{n-k}}{(n - k)!}.
\]
---
### **Paso 2: Expresión del término general \(c_n\)**
Sustituyendo en la fórmula:
\[
c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{(-1)^{n - k}}{(n - k)!}.
\]
Factorizamos \((-1)^n\):
\[
c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k! (n - k)!}.
\]
---
### **Paso 3: Simplificación usando el teorema del binomio**
Observamos que:
\[
\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k! (n - k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k.
\]
El sumatorio \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\) corresponde al desarrollo de \((1 - 1)^n\) por el teorema del binomio:
\[
(1 - 1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k = 0^n.
\]
- Para \(n \geq 1\), \(0^n = 0\).
- Para \(n = 0\), \(0^0 = 1\).
---
### **Paso 4: Cálculo de \(c_n\)**
- Si \(n = 0\):
\[
c_0 = (-1)^0 \cdot \frac{1}{0!} \cdot \frac{1}{0!} = 1.
\]
- Si \(n \geq 1\):
\[
c_n = (-1)^n \cdot \frac{0}{n!} = 0.
\]
---
### **Paso 5: Serie resultante**
El producto de Cauchy es:
\[
\sum_{n=0}^\infty c_n = c_0 + c_1 + c_2 + \cdots = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1.
\]
---
### **Verificación con funciones conocidas**
- La primera serie es \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e\).
- La segunda serie es \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}\).
- Su producto es \(e \cdot e^{-1} = 1\), lo que coincide con el resultado obtenido.
---
**Respuesta final:**
El producto de Cauchy de las dos series es \(\boxed{1}\).
**Demostración de la irracionalidad de \( e \) (Teorema 2.23):**
**Supongamos, por contradicción, que \( e \) es racional.**
Entonces, existen enteros positivos \( m \) y \( n \) tales que \( e = \frac{m}{n} \). Multiplicando ambos lados por \( n! \), obtenemos:
\[
n! \cdot e = m \cdot (n-1)!.
\]
**Expresamos \( e \) como su serie de Taylor:**
Sabemos que \( e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \). Sustituyendo en la ecuación anterior:
\[
n! \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = m \cdot (n-1)!.
\]
**Separamos la serie en dos partes:**
\[
n! \cdot \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \right) = m \cdot (n-1)!.
\]
**Analizamos cada parte:**
1. **Suma finita (\( k = 0 \) a \( n \)):**
\[
n! \cdot \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}.
\]
Cada término \( \frac{n!}{k!} \) es entero porque \( k \leq n \). Por lo tanto, esta suma es un **entero**.
2. **Suma infinita (\( k = n+1 \) a \( \infty \)):**
\[
n! \cdot \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!}.
\]
Cada término se simplifica como:
\[
\frac{n!}{k!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots k} \quad \text{para } k > n.
\]
La serie es **alternante decreciente** (en valor absoluto) y su suma cumple:
\[
0 < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n} \leq 1 \quad \text{(para \( n \geq 1 \))}.
\]
Además, como la serie es alternante, su valor absoluto es menor que el primer término:
\[
\left| \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} \right| < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2}.
\]
**Contradicción:**
El lado izquierdo de la ecuación original es:
\[
\underbrace{\text{Entero}}_{\text{Suma finita}} + \underbrace{\text{Número en } (0, 1)}_{\text{Suma infinita}}.
\]
Esto implica que \( n! \cdot e \) no es entero, pero el lado derecho \( m \cdot (n-1)! \) sí lo es. **¡Contradicción!**
**Conclusión:**
La suposición de que \( e \) es racional es falsa. Por lo tanto, \( e \) es irracional. \(\boxed{e \notin \mathbb{Q}}\).
---
### **Notas clave:**
- **Propiedad crucial:** La suma infinita \( \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} \) es un número no entero entre \( 0 \) y \( 1 \).
- **Error común:** Confundir la convergencia de la serie con propiedades de los enteros. La contradicción surge al mostrar que un entero (lado derecho) no puede ser igual a un no entero (lado izquierdo).
Vamos a desglosar este paso crucial de la demostración de la irracionalidad de \( e \). La desigualdad en cuestión es:
\[
0 < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n} \leq 1
\]
---
### **Paso 1: Entender el término \(\frac{n!}{k!}\)**
Para \( k \geq n+1 \), el factorial \( k! \) se puede escribir como:
\[
k! = n! \cdot (n+1)(n+2)\cdots(k-1)k
\]
Por lo tanto:
\[
\frac{n!}{k!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots k}
\]
Este término es siempre **positivo**, lo que justifica la primera desigualdad \( 0 < \sum \cdots \).
---
### **Paso 2: Acotar el denominador**
Observa que cada factor en el denominador \( (n+1)(n+2)\cdots k \) es **mayor o igual que \( n+1 \)**. Por ejemplo:
- Si \( k = n+1 \), el denominador es \( n+1 \).
- Si \( k = n+2 \), el denominador es \( (n+1)(n+2) \geq (n+1)^2 \).
- En general, para \( k = n+m \) (con \( m \geq 1 \)):
\[
(n+1)(n+2)\cdots(n+m) \geq (n+1)^m
\]
---
### **Paso 3: Comparar con una serie geométrica**
Usando la desigualdad anterior:
\[
\frac{n!}{k!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots k} \leq \frac{1}{(n+1)^{k-n}}
\]
Por ejemplo:
- Para \( k = n+1 \): \( \frac{1}{n+1} \).
- Para \( k = n+2 \): \( \frac{1}{(n+1)^2} \).
- Y así sucesivamente.
La suma original se acota entonces por una **serie geométrica**:
\[
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} \leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{(n+1)^{k-n}}
\]
---
### **Paso 4: Calcular la serie geométrica**
La serie geométrica tiene razón \( r = \frac{1}{n+1} \) (que es menor que 1). Su suma es:
\[
\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^m} = \frac{\frac{1}{n+1}}{1 - \frac{1}{n+1}} = \frac{1}{n}
\]
(La variable \( m \) corresponde a \( k-n \), es decir, \( m = 1, 2, 3, \dots \)).
---
### **Paso 5: Interpretar el resultado**
La desigualdad final:
\[
0 < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} < \frac{1}{n} \leq 1
\]
implica que la suma es un número **no entero** entre 0 y 1. Esto contradice la suposición inicial de que \( e \) es racional (ya que se deduce que \( n! \cdot e^{-1} \) debería ser entero, pero no lo es).
---
### **Visualización con \( n = 2 \)**
Para \( n = 2 \):
\[
\sum_{k=3}^\infty \frac{2!}{k!} = \frac{2}{3!} + \frac{2}{4!} + \frac{2}{5!} + \cdots
\]
Acotamos cada término:
\[
\frac{2}{3!} = \frac{1}{3}, \quad \frac{2}{4!} = \frac{1}{12} < \frac{1}{3^2}, \quad \frac{2}{5!} = \frac{1}{60} < \frac{1}{3^3}, \quad \text{etc.}
\]
La suma geométrica equivalente es:
\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2} \quad (\text{que es } 1/n \text{ para } n=2).
\]
---
### **Conclusión**
Este paso demuestra que la "cola" de la serie \( \sum \frac{n!}{k!} \) es un número pequeño (menor que \( 1/n \)), lo que genera la contradicción necesaria para probar que \( e \) no puede ser racional.
**Explicación detallada del Ejemplo 2.24 (Reordenación de series):**
---
### **1. Serie condicionalmente convergente original**
La serie en cuestión es:
\[
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2.
\]
Esta serie converge condicionalmente (no absolutamente) porque:
- **Converge** por el criterio de Leibniz (términos alternados decrecientes).
- **No converge absolutamente** porque \(\sum \frac{1}{n}\) diverge.
---
### **2. Objetivo: Reordenar para obtener \( \frac{3}{2}S \)**
El ejemplo muestra que, al reordenar los términos de \( S \), podemos hacer que la nueva serie converja a \( \frac{3}{2} \ln 2 \). La reordenación propuesta es:
\[
1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots \to \frac{3}{2} \ln 2.
\]
---
### **3. Estrategia de la demostración**
La clave está en **intercalar dos series**:
1. **Serie original \( S \)**:
\[
S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots
\]
2. **Serie auxiliar \( S/2 \)**:
\[
\frac{S}{2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \cdots
\]
**Construcción de la nueva serie:**
- Se insertan **ceros** en las posiciones impares de \( S/2 \), resultando en:
\[
0 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 - \frac{1}{8} + \cdots
\]
- Luego, se **suma término a término** con la serie original \( S \):
\[
\left(1 + 0\right) + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + 0\right) + \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots
\]
Simplificando:
\[
1 + 0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + 0 - \frac{1}{4} + \cdots
\]
Al eliminar los ceros, obtenemos la reordenación:
\[
1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots
\]
---
### **4. ¿Por qué converge a \( \frac{3}{2}S \)?**
- **Suma de las series originales**:
\[
S + \frac{S}{2} = \frac{3}{2}S = \frac{3}{2} \ln 2.
\]
- **Reordenación y convergencia**:
La nueva serie combina términos de \( S \) y \( S/2 \) de manera que:
- Los términos positivos se agrupan más frecuentemente.
- Los términos negativos se espacian (aparecen cada tres términos en lugar de cada dos).
Esto altera la velocidad a la que se acumulan los términos positivos y negativos, resultando en una suma mayor que \( S \).
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### **5. Detalles técnicos**
- **Riemann Rearrangement Theorem**: Toda serie condicionalmente convergente puede reordenarse para converger a **cualquier valor real** (o incluso divergir). Aquí, se usa para escalar la suma por \( \frac{3}{2} \).
- **Convergencia de la reordenación**:
- Las sumas parciales de la nueva serie se aproximan a \( \frac{3}{2} \ln 2 \).
- Por ejemplo, los primeros términos:
\[
1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \approx 0.833, \quad \text{mientras que } \frac{3}{2} \ln 2 \approx 1.0397.
\]
Al añadir más términos, la suma se acerca al valor objetivo.
---
### **6. Contraste con series absolutamente convergentes**
Si una serie converge absolutamente (ej. \( \sum \frac{1}{n^2} \)), su suma es **invariante bajo reordenaciones**. Este no es el caso aquí, donde la convergencia condicional permite manipular el orden de los términos para alterar la suma.
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**Conclusión:**
La reordenación propuesta en el Ejemplo 2.24 ilustra cómo, al aprovechar la convergencia condicional, podemos ajustar la suma de una serie mediante una disposición estratégica de sus términos. Este fenómeno subraya la importancia del orden en series no absolutamente convergentes.
Aquí tienes el texto editado con formato LaTeX y estructura clara para su uso en un blog:
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### **Reordenación de series (Ejemplo 2.24)**
Otro punto clave donde la convergencia absoluta es crucial es en la **reordenación de términos de una serie**.
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#### **Ejemplo 2.24**
Consideremos la serie condicionalmente convergente:
\[
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2.
\]
Sabemos que:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \frac{S}{2}.
\]
**Construcción de una reordenación:**
1. Definimos una nueva serie \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) donde:
- Los términos impares son ceros: \(a_1 = 0, a_3 = 0, \dots\)
- Los términos pares coinciden con la serie \(\frac{S}{2}\):
\[
a_2 = \frac{1}{2}, \quad a_4 = -\frac{1}{4}, \quad a_6 = \frac{1}{6}, \quad \dots
\]
Resultado:
\[
0 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 - \frac{1}{8} + \cdots
\]
2. Sumamos término a término la serie original \(S\) y la nueva serie \(\sum a_n\):
\[
\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{n+1}}{n} + a_n \right).
\]
Los primeros términos son:
\[
1 + 0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + 0 + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots
\]
3. Eliminando los ceros, obtenemos la reordenación:
\[
1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6} + \cdots
\]
Esta serie converge a \(\frac{3S}{2} = \frac{3}{2} \ln 2\).
---
#### **Teorema 2.25 (Reordenación de series absolutamente convergentes)**
Si \(\sum_{n=0}^\infty z_n\) es absolutamente convergente y \(\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) es una biyección, entonces:
\[
\sum_{n=0}^\infty z_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty z_n.
\]
**Demostración:**
1. **Acotación de sumas parciales:**
Toda suma parcial de la reordenación está mayorada por una suma parcial de la serie original.
2. **Convergencia:**
Usando el criterio de Cauchy, para \(\epsilon > 0\), existe \(n_0\) tal que:
\[
\left| \sum_{k=n+1}^\infty z_k \right| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{si } n \geq n_0.
\]
Ajustando índices, se demuestra que la diferencia entre las sumas parciales de la reordenación y la serie original es menor que \(\epsilon\).
---
#### **Intercambio de sumas (Teorema 2.27)**
Para series dobles \(\sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}\) absolutamente convergentes:
\[
\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn} = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}.
\]
**Demostración:**
1. **Convergencia absoluta:**
Las sumas parciales de \(|a_{mn}|\) están acotadas.
2. **Igualdad de sumas:**
Usando desigualdades y límites, se prueba que la diferencia entre cualquier orden de suma es menor que \(\epsilon\).
---
#### **Asociatividad infinita (Teorema 2.29)**
Si \(\{A_k\}\) es una sucesión de subconjuntos disjuntos de \(\mathbb{N}\) y \(A = \bigcup_{k=0}^\infty A_k\), entonces:
\[
\sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} a_n,
\]
siempre que las series sean absolutamente convergentes.
---
### **Notas técnicas:**
- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.
- Símbolos como \(\leq\), \(\infty\), \(\binom{n}{k}\) deben escribirse con comandos LaTeX.
- Para tu blog, incluye un renderizador de LaTeX como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
¿Necesitas ajustar algo más? 😊
Vamos a explicar **paso a paso** el contenido del texto, centrándonos en los ejemplos, teoremas y demostraciones, de manera que un principiante pueda entenderlo. ¡Empecemos!
---
### **1. Ejemplo 2.21: Serie condicionalmente convergente y producto de Cauchy**
**Serie dada:**
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}.
\]
- **Convergencia:** Por el **criterio de Leibniz** (para series alternadas), como los términos \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \) son decrecientes y tienden a cero, la serie converge.
**Producto de Cauchy de la serie por sí misma:**
El término general del producto es:
\[
c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n - k + 1)(k + 1)}}.
\]
- **Análisis de \( |c_n| \):**
Se demuestra que \( |c_n| \geq \frac{2(n+1)}{n+2} \), que tiende a \( 2 \) cuando \( n \to \infty \).
- **Conclusión:** Como \( |c_n| \) no tiende a cero, el producto de Cauchy **no converge**.
- **Significado:** Esto prueba que la serie original es **condicionalmente convergente** (converge, pero no absolutamente).
---
### **2. Ejemplo 2.22: Serie alternada y número \( e \)**
**Serie dada:**
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots = \frac{1}{e}.
\]
- **Demostración:**
1. Multiplicamos la serie por sí misma (producto de Cauchy):
\[
\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \right) \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!(n - k)!}.
\]
2. Simplificamos usando el **teorema del binomio**:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(1 - 1)^n}{n!} = 1.
\]
3. Por tanto, \( e \cdot \frac{1}{e} = 1 \), lo que confirma la igualdad.
---
### **3. Teorema 2.23: Irracionalidad de \( e \)**
**Enunciado:** \( e \) no es un número racional (no se puede escribir como \( \frac{m}{n} \) con \( m, n \) enteros).
**Demostración (simplificada):**
1. **Supongamos que \( e = \frac{m}{n} \)** (con \( m, n \) enteros).
2. Multipliquemos ambos lados por \( n! \):
\[
n! \cdot e = m \cdot (n - 1)!.
\]
3. Expresamos \( e \) como su serie:
\[
n! \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = m \cdot (n - 1)!.
\]
4. **Separamos la serie en dos partes:**
- Términos hasta \( k = n \): \( S_1 = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} \) (entero).
- Términos desde \( k = n + 1 \): \( S_2 = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} \) (no entero).
5. **Contradicción:**
- \( S_2 \) es una suma de términos positivos y menores que \( \frac{1}{n} \), por lo que \( 0 < S_2 < 1 \).
- Pero \( n! \cdot e = S_1 + S_2 \) debería ser entero, ¡y \( S_1 \) es entero pero \( S_2 \) no lo es!
- **Conclusión:** \( e \) no puede ser racional.
---
### **4. Reordenación de series (Ejemplo 2.24)**
**Serie original (condicionalmente convergente):**
\[
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2.
\]
**Reordenación propuesta:**
\[
1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \cdots \to \frac{3}{2} \ln 2.
\]
**Explicación:**
1. **Estrategia:**
- Se combina la serie original \( S \) con otra serie \( \frac{S}{2} \) (términos divididos por 2).
- Se insertan ceros en posiciones pares de \( \frac{S}{2} \), resultando en:
\[
0 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + \cdots
\]
- Al sumar término a término, se elimina ceros y se reordena.
2. **Resultado:** La nueva serie converge a \( \frac{3}{2}S \).
---
### **5. Teorema 2.25: Reordenación de series absolutamente convergentes**
**Enunciado:** Si una serie es absolutamente convergente, cualquier reordenación de sus términos mantiene la misma suma.
**Idea de la demostración:**
- **Acotación de sumas parciales:** Las sumas parciales de la reordenación no pueden superar las de la serie original.
- **Criterio de Cauchy:** Para \( \epsilon > 0 \), existe \( n_0 \) tal que las colas de la serie son menores que \( \epsilon \).
- **Conclusión:** La reordenación no altera el límite.
---
### **6. Teorema 2.27: Intercambio de sumas en series dobles**
**Enunciado:** Si una serie doble \( \sum_{m,n} a_{mn} \) es absolutamente convergente, entonces:
\[
\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn} = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}.
\]
**Demostración (intuitiva):**
- **Acotación:** Las sumas parciales de filas y columnas están controladas por la convergencia absoluta.
- **Límite:** Al reorganizar términos, el error cometido se hace arbitrariamente pequeño.
---
### **7. Teorema 2.29: Asociatividad infinita**
**Enunciado:** Si una serie es absolutamente convergente, se puede agrupar sus términos en subconjuntos infinitos sin alterar la suma.
**Ejemplo:**
Si \( A = A_0 \cup A_1 \cup A_2 \cup \cdots \) (disjuntos), entonces:
\[
\sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} a_n.
\]
**Idea clave:**
- La convergencia absoluta garantiza que la suma no depende del orden o agrupación.
---
### **Notas finales para principiantes:**
1. **Convergencia condicional vs. absoluta:**
- Una serie es **condicionalmente convergente** si converge, pero no absolutamente (ejemplo: \( \sum (-1)^n / n \)).
- Una serie es **absolutamente convergente** si \( \sum |a_n| \) converge (ejemplo: \( \sum 1/n^2 \)).
2. **Importancia de la convergencia absoluta:**
- Permite reordenar términos y agruparlos sin alterar la suma.
- Garantiza la convergencia de productos de Cauchy e intercambios de sumas.
3. **Herramientas clave:**
- **Criterio de Leibniz** para series alternadas.
- **Teorema del binomio** para simplificar sumas.
- **Demostraciones por contradicción** (como en la irracionalidad de \( e \)).
Si tienes dudas en algún paso específico, ¡avísame! 😊
### **Demostración detallada de los teoremas**
---
#### **Teorema 2.25: Reordenación de series absolutamente convergentes**
**Enunciado:**
Si \(\sum_{n=0}^\infty z_n\) es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenación \(\sum_{n=0}^\infty z_{\sigma(n)}\) (con \(\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) biyectiva) converge al mismo límite.
---
**Demostración paso a paso:**
1. **Definiciones:**
- Sea \(S = \sum_{n=0}^\infty z_n\) (suma de la serie original).
- Sea \(S' = \sum_{n=0}^\infty z_{\sigma(n)}\) (suma de la reordenación).
- La convergencia absoluta implica \(\sum_{n=0}^\infty |z_n| = L < \infty\).
2. **Control de colas de la serie:**
Para \(\epsilon > 0\), existe \(N \in \mathbb{N}\) tal que:
\[
\sum_{n=N+1}^\infty |z_n| < \epsilon.
\]
3. **Relación entre términos de \(S\) y \(S'\):**
Como \(\sigma\) es biyectiva, existe \(M \in \mathbb{N}\) tal que los primeros \(M+1\) términos de \(S'\) incluyen todos los términos \(z_0, z_1, \dots, z_N\) de \(S\).
- Los términos restantes de \(S'\) (después de \(M\)) pertenecen a la "cola" \(\{z_{N+1}, z_{N+2}, \dots\}\).
4. **Aproximación de las sumas parciales:**
- Sea \(S_K = \sum_{n=0}^K z_n\) (suma parcial de \(S\)).
- Sea \(S'_M = \sum_{n=0}^M z_{\sigma(n)}\) (suma parcial de \(S'\)).
- Para \(K, M \geq N\), se cumple:
\[
|S'_M - S| \leq |S'_M - S_N| + |S_N - S|.
\]
- \(|S_N - S| < \epsilon\) (por convergencia de \(S\)).
- \(|S'_M - S_N| \leq \sum_{n=N+1}^\infty |z_n| < \epsilon\) (los términos adicionales en \(S'_M\) están en la cola).
5. **Conclusión:**
Por la desigualdad triangular:
\[
|S'_M - S| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon.
\]
Como \(\epsilon\) es arbitrario, \(S' = S\).
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#### **Teorema 2.27: Intercambio de sumas en series dobles**
**Enunciado:**
Si \(\sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}|\) converge, entonces:
\[
\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn} = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}.
\]
---
**Demostración paso a paso:**
1. **Convergencia absoluta de las iteradas:**
- Para cada \(m\), \(\sum_{n=0}^\infty |a_{mn}| \leq \sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}| < \infty\). Por tanto, \(\sum_{n=0}^\infty a_{mn}\) converge absolutamente.
- Definamos \(b_m = \sum_{n=0}^\infty a_{mn}\). Entonces:
\[
\sum_{m=0}^\infty |b_m| \leq \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty |a_{mn}| = \sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}| < \infty.
\]
Así, \(\sum_{m=0}^\infty b_m\) converge absolutamente. Lo mismo aplica para \(\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn}\).
2. **Aproximación por sumas parciales:**
- Sea \(S = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}\) (suma de la serie doble).
- Para \(\epsilon > 0\), existe \(N \in \mathbb{N}\) tal que:
\[
\sum_{m=N+1}^\infty \sum_{n=N+1}^\infty |a_{mn}| < \epsilon.
\]
3. **Comparación con sumas iteradas:**
- La suma iterada \(\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn}\) se aproxima por:
\[
\sum_{m=0}^N \sum_{n=0}^N a_{mn} + \text{(términos en la cola)}.
\]
- La diferencia entre \(S\) y la suma iterada está acotada por:
\[
\left| \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} - S \right| \leq \sum_{m=N+1}^\infty \sum_{n=N+1}^\infty |a_{mn}| < \epsilon.
\]
- Lo mismo aplica para \(\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn}\).
4. **Conclusión:**
Como \(\epsilon\) es arbitrario, todas las sumas (doble e iteradas) coinciden:
\[
\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{mn} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{mn} = \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}.
\]
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### **Notas clave para principiantes:**
- **Teorema 2.25:** La convergencia absoluta garantiza que los términos pueden reordenarse sin alterar la suma. Esto no es cierto para series condicionalmente convergentes (ejemplo: \( \sum (-1)^n/n \)).
- **Teorema 2.27:** La convergencia absoluta permite intercambiar el orden de sumación en series dobles. Esto es esencial en cálculos prácticos (ejemplo: sumas en análisis de Fourier o probabilidad).
Si tienes dudas en algún paso, ¡avísame! 😊
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### **Asociatividad infinita**
Veamos ahora que las series absolutamente convergentes cumplen una versión infinita de la propiedad asociativa. Para enunciarla, introducimos la siguiente notación:
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#### **Definición 2.28**
Sea \(\{a_n\}_{n=0}^\infty\) una sucesión de números complejos, \(A \subset \mathbb{N}\) y \(N\) un número natural. Definimos:
- \(A_N = \{a_n \mid n \in A, \, n \leq N\}\).
- \(\sum_{n \in A} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n \in A_N} a_n\).
**Observaciones:**
1. Si \(A = \{n_1, \dots, n_r\}\) es finito, entonces:
\[
\sum_{n \in A} a_n = a_{n_1} + \cdots + a_{n_r}.
\]
2. Si \(A\) es infinito, enumeramos sus elementos en orden creciente \(n_0 < n_1 < n_2 < \cdots\) y definimos:
\[
\sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=0}^\infty a_{n_k}.
\]
**Convergencia absoluta:**
Una serie \(\sum_{n \in A} a_n\) es **absolutamente convergente** si \(\sum_{n \in A} |a_n|\) converge. Esto ocurre:
- Si \(A\) es finito, trivialmente.
- Si \(A\) es infinito y \(\sum_{k=0}^\infty a_{n_k}\) converge absolutamente.
**Caracterización:**
La serie \(\sum_{n \in A} a_n\) es absolutamente convergente si y solo si el conjunto de sumas parciales \(\left\{ \sum_{n \in A_N} |a_n| \mid N \in \mathbb{N} \right\}\) está acotado superiormente.
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#### **Teorema 2.29**
Sea \(\{A_k\}_{k=0}^\infty\) una sucesión de subconjuntos de \(\mathbb{N}\) disjuntos dos a dos, y sea \(A = \bigcup_{k=0}^\infty A_k\). Entonces:
- \(\sum_{n \in A} a_n\) es absolutamente convergente **si y solo si** todas las series \(\sum_{n \in A_k} a_n\) y \(\sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} |a_n|\) lo son.
- En tal caso:
\[
\sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} a_n.
\]
**Demostración:**
1. **Si \(\sum_{n \in A} a_n\) es absolutamente convergente:**
- Para todo \(k\), \(\sum_{n \in A_k} |a_n| \leq \sum_{n \in A} |a_n|\), luego \(\sum_{n \in A_k} a_n\) converge absolutamente.
- Además, \(\sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} |a_n| \leq \sum_{n \in A} |a_n|\), por lo que también converge.
2. **Recíprocamente, si todas las series \(\sum_{n \in A_k} a_n\) son absolutamente convergentes:**
- Para cada \(N\), los términos de \(A_N\) están en una unión finita de \(A_k\), luego:
\[
\sum_{n \in A_N} |a_n| \leq \sum_{k=0}^K \sum_{n \in A_k} |a_n| \leq \sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} |a_n|.
\]
- Por tanto, \(\sum_{n \in A} a_n\) converge absolutamente.
3. **Igualdad de sumas:**
- Al enumerar los elementos de \(A_k\) como \(a_{k0} < a_{k1} < \cdots\), se aplica el **Teorema 2.27** (intercambio de sumas) y el **Teorema 2.25** (reordenación) para concluir:
\[
\sum_{k=0}^\infty \sum_{n \in A_k} a_n = \sum_{n \in A} a_n.
\]
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### **Notas técnicas:**
- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.
- Símbolos como \(\infty\), \(\leq\) o \(\sum\) deben escribirse con comandos LaTeX.
- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye un renderizador como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
Si necesitas ajustar algo, avísame 😊.
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### **2.4 Series de potencias**
Una clase de series con un comportamiento especialmente satisfactorio es el de las **series de potencias**:
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#### **Teorema 2.30**
Sea \(\{a_n\}_{n=0}^\infty\) una sucesión de números complejos y \(z_0 \neq 0\) tal que la serie \(\sum_{n=0}^\infty a_n z_0^n\) converge. Sea \(r = |z_0|\).
**Entonces:**
La serie \(\sum_{n=0}^\infty a_n z^n\) converge absolutamente para todo \(z \in \mathbb{C}\) con \(|z| < r\).
**Demostración:**
1. Como \(\sum_{n=0}^\infty a_n z_0^n\) converge, la sucesión \(\{a_n z_0^n\}\) tiende a 0 y está acotada por \(M > 0\).
2. Si \(|z| < r\), entonces:
\[
|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \left( \frac{|z|}{r} \right)^n \leq M \left( \frac{|z|}{r} \right)^n.
\]
3. La serie \(\sum_{n=0}^\infty M \left( \frac{|z|}{r} \right)^n\) es geométrica convergente (pues \(|z|/r < 1\)), por lo que \(\sum_{n=0}^\infty |a_n z^n|\) también converge (criterio de comparación).
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#### **Radio de convergencia**
Dada una serie de potencias \(\sum_{n=0}^\infty a_n z^n\), se pueden dar tres casos:
1. **Convergencia en todo \(\mathbb{C}\):** \(R = +\infty\).
2. **Convergencia solo en \(z = 0\):** \(R = 0\).
3. **Convergencia en un disco \(|z| < R\):** \(R > 0\) es el **radio de convergencia**, definido como:
\[
R = \sup \{ r > 0 \mid \text{la serie converge en } |z| = r \}.
\]
**Definición 2.31 (Disco de convergencia):**
El conjunto \(D_R = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < R \}\) se llama **disco de convergencia**.
- La serie converge absolutamente en \(D_R\).
- Diverge para \(|z| > R\).
- En \(|z| = R\), el comportamiento varía según la serie.
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#### **Ejemplos**
1. **Serie geométrica:**
\[
\sum_{n=1}^\infty z^n \quad \text{con } R = 1.
\]
- Converge a \(\frac{z}{1 - z}\) si \(|z| < 1\).
- Diverge en \(|z| = 1\) (la sucesión \(\{z^n\}\) no tiende a 0).
2. **Serie armónica alternada:**
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} \quad \text{con } R = 1.
\]
- Converge en \(z = -1\) (Leibniz) y diverge en \(z = 1\).
- En \(|z| = 1\) (excepto \(z = 1\)), converge condicionalmente (Teorema 2.33).
3. **Serie de potencias absolutamente convergente:**
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} \quad \text{con } R = 1.
\]
- Converge absolutamente en \(|z| \leq 1\) (comparación con \(\sum 1/n^2\)).
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#### **Teorema 2.32 (Fórmula de suma por partes)**
Sean \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) sucesiones finitas, y \(A_n = \sum_{i=0}^n a_i\). Entonces:
\[
\sum_{n=k}^l a_n b_n = A_l b_l - A_{k-1} b_k - \sum_{n=k}^{l-1} A_n (b_{n+1} - b_n).
\]
**Analogía:** Similar a la integración por partes, donde \(A_n \leftrightarrow \int f'(x) dx\) y \(b_n \leftrightarrow g(x)\).
---
#### **Ejemplo 2.33**
La serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}\) converge en \(|z| \leq 1\) excepto en \(z = 1\).
**Demostración:**
1. Aplicamos la fórmula de suma por partes con \(a_n = z^n\) y \(b_n = 1/n\):
\[
A_n = \sum_{i=0}^n z^i = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.
\]
2. Para \(|z| \leq 1\) y \(z \neq 1\), se demuestra que las sumas parciales forman una sucesión de Cauchy, garantizando convergencia.
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### **Propiedades clave:**
1. **Suma y producto de series de potencias:**
- Suma: \(\sum a_n z^n + \sum b_n z^n = \sum (a_n + b_n) z^n\).
- Producto: \(\left( \sum a_n z^n \right) \left( \sum b_n z^n \right) = \sum \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right) z^n\).
2. **Convergencia:** Las series resultantes convergen al menos en el disco \(D_R\) común.
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### **Notas técnicas:**
- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.
- Símbolos como \(\infty\), \(\leq\), o \(\sum\) deben escribirse con comandos LaTeX.
- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye un renderizador como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
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### **Ejemplos de series de potencias y convergencia en la frontera**
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#### **1. Serie geométrica**
\[
\sum_{n=1}^\infty z^n \quad \text{con radio de convergencia } R = 1.
\]
- **Convergencia:**
- Para \(|z| < 1\), converge a \(\frac{z}{1 - z}\).
- Para \(|z| = 1\), diverge porque \(|z^n| = 1\) no tiende a \(0\).
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#### **2. Serie armónica alternada**
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} \quad \text{con radio de convergencia } R = 1.
\]
- **Comportamiento en la frontera \(|z| = 1\):**
- Converge en \(z = -1\) (criterio de Leibniz).
- Diverge en \(z = 1\) (serie armónica).
- **Gráfica:** La función asociada (intermedia en la figura) muestra convergencia condicional en parte de la frontera.
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#### **3. Serie de potencias absolutamente convergente**
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} \quad \text{con radio de convergencia } R = 1.
\]
- **Convergencia en \(|z| \leq 1\):**
- Absolutamente convergente (comparación con \(\sum \frac{1}{n^2}\)).
- **Criterio de D’Alembert para \(|z| > 1\):**
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{z^{n+1}/(n+1)^2}{z^n/n^2} \right| = |z| > 1 \implies \text{Diverge}.
\]
---
### **Teorema 2.32 (Fórmula de suma por partes)**
Sean \(\{a_n\}_{n=0}^l\) y \(\{b_n\}_{n=0}^l\) sucesiones finitas, y \(A_n = \sum_{i=0}^n a_i\). Entonces:
\[
\sum_{n=k}^l a_n b_n = A_l b_l - A_{k-1} b_k - \sum_{n=k}^{l-1} A_n (b_{n+1} - b_n).
\]
**Analogía con integración por partes:**
\[
\int_k^l f'(x)g(x) \, dx = [f(x)g(x)]_k^l - \int_k^l f(x)g'(x) \, dx,
\]
donde \(f(x) \leftrightarrow A_n\), \(g(x) \leftrightarrow b_n\), \(f'(x) \leftrightarrow a_n\), y \(g'(x) \leftrightarrow b_{n+1} - b_n\).
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#### **Ejemplo 2.33**
La serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}\) converge en \(|z| \leq 1\) excepto en \(z = 1\).
**Demostración:**
1. Aplicamos la fórmula de suma por partes con \(a_n = z^n\) y \(b_n = \frac{1}{n}\):
\[
A_n = \sum_{i=0}^n z^i = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.
\]
2. Para \(|z| \leq 1\) y \(z \neq 1\), se tiene \(|1 - z^{n+1}| \leq 2\).
3. Acotamos las sumas parciales:
\[
\left| \sum_{n=k}^l \frac{z^n}{n} \right| \leq \frac{4}{|1 - z|} \cdot \frac{1}{k}.
\]
4. Esto prueba que las sumas parciales forman una **sucesión de Cauchy**, garantizando convergencia.
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### **Propiedades algebraicas de series de potencias**
1. **Suma:**
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n x^n = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) x^n.
\]
2. **Producto (Teorema 2.19):**
\[
\left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right) x^n.
\]
- Las series resultantes convergen al menos en el disco común \(D_R\).
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### **Notas técnicas:**
- Usa `$$ ... $$` para ecuaciones centradas y `$ ... $` para ecuaciones en línea.
- Símbolos como \(\infty\), \(\leq\), o \(\sum\) deben escribirse con comandos LaTeX.
- Para visualizar las ecuaciones en tu blog, incluye un renderizador como [MathJax](https://www.mathjax.org/).
- **Figuras:** La gráfica mencionada debe insertarse manualmente (no está incluida en el texto original).
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