Jugando con la IA para que resuelva problemas de olimpíadas matemáticas

Lo hago con DeepSeek, que es gratis

INDICACIÓN

Eres un experto matemático que resuelves problemas de olimpiadas matemáticas para explicárselos a tus alumnos y alumnas, que tienen entre 12 y 17 años y están estudiando enseñanza media, bachillerato, y que tienen mucho interés en aprender matemáticas.
En la próxima indicación te voy a poner un problema de los que se han puesto en las olimpíadas matemáticas de algunos países, para que lo resuelvas con todo detalle, paso a paso

RESPUESTA

¡Claro! Estoy listo para ayudarte a resolver el problema paso a paso. Por favor, envíame el enunciado del problema de la olimpiada matemática que deseas resolver, y lo abordaremos juntos de manera detallada y clara para que tus alumnos y alumnas puedan entenderlo perfectamente. ¡Vamos a ello! 😊

INDICACIÓN

Halla el menor entero tal que la suma de sus cifras sea 2001 y el producto de sus cifras sea $2^{751}$

RESPUESTA

¡Vamos a resolver este problema paso a paso! El objetivo es encontrar el menor entero positivo tal que:

1. La **suma de sus cifras** sea **2001**.
2. El **producto de sus cifras** sea **$2^{751}$**.

### Análisis del problema

Primero, observamos que el producto de las cifras es $2^{751}$, lo que implica que todas las cifras del número deben ser potencias de 2 (es decir, 1, 2, 4, 8, etc.), ya que cualquier otro número introduciría factores primos distintos de 2 en el producto.

Además, queremos que el número sea el **menor posible**. Para minimizar un número, debemos:
- Minimizar su cantidad de cifras (es decir, usar cifras lo más grandes posibles).
- Ordenar las cifras de menor a mayor (es decir, colocar las cifras más pequeñas a la izquierda).

### Paso 1: Determinar las cifras del número

Como el producto de las cifras es $2^{751}$, todas las cifras deben ser potencias de 2. Las posibles cifras son: 1, 2, 4, 8, 16, 32, etc. Sin embargo, en un número, las cifras deben ser dígitos del 1 al 9 (no podemos tener cifras como 16 o 32, ya que no son dígitos). Por lo tanto, las únicas cifras posibles son **1, 2, 4 y 8**.

### Paso 2: Maximizar las cifras más grandes

Para minimizar el número de cifras (y así minimizar el número), debemos usar la mayor cantidad posible de cifras grandes (8), ya que 8 aporta más a la suma con menos cifras.

- Cada cifra **8** aporta **8** a la suma y **$2^3$** al producto (ya que $8 = 2^3$).
- Cada cifra **4** aporta **4** a la suma y **$2^2$** al producto.
- Cada cifra **2** aporta **2** a la suma y **$2^1$** al producto.
- Cada cifra **1** aporta **1** a la suma y **$2^0$** al producto.

### Paso 3: Calcular la cantidad de cifras 8

Primero, calculamos cuántas cifras **8** podemos usar. Cada 8 aporta $2^3$ al producto, por lo que si usamos $k$ cifras 8, el producto total será $2^{3k}$.

Queremos que el producto sea $2^{751}$, por lo que:
\[
3k \leq 751 \implies k \leq \frac{751}{3} \approx 250.333.
\]
Como $k$ debe ser un entero, el máximo valor de $k$ es **250**.

Entonces, usamos **250 cifras 8**. Esto aporta:
- Suma: $250 \times 8 = 2000$.
- Producto: $2^{3 \times 250} = 2^{750}$.

### Paso 4: Ajustar la suma y el producto

La suma requerida es **2001**, pero con 250 cifras 8 solo hemos alcanzado **2000**. Necesitamos **1** más en la suma.

Además, el producto requerido es $2^{751}$, pero con 250 cifras 8 solo hemos alcanzado $2^{750}$. Necesitamos multiplicar por $2^1 = 2$.

Para lograr esto, reemplazamos una cifra **8** por una cifra **2** y una cifra **1**:
- La cifra **2** aporta **2** a la suma y **$2^1$** al producto.
- La cifra **1** aporta **1** a la suma y **$2^0$** al producto.

Al reemplazar una cifra **8** por una cifra **2** y una cifra **1**, la suma total aumenta en:
\[
(2 + 1) - 8 = -5.
\]
Esto no nos ayuda, ya que necesitamos aumentar la suma en **1**. Por lo tanto, este enfoque no funciona.

### Paso 5: Ajustar con cifras 4 y 2

En lugar de reemplazar una cifra **8** por una cifra **2** y una cifra **1**, reemplazamos una cifra **8** por una cifra **4** y una cifra **2**:
- La cifra **4** aporta **4** a la suma y **$2^2$** al producto.
- La cifra **2** aporta **2** a la suma y **$2^1$** al producto.

Al reemplazar una cifra **8** por una cifra **4** y una cifra **2**, la suma total aumenta en:
\[
(4 + 2) - 8 = -2.
\]
Esto tampoco nos ayuda, ya que necesitamos aumentar la suma en **1**.

### Paso 6: Ajustar con cifras 1

Para aumentar la suma en **1**, necesitamos agregar una cifra **1**. Sin embargo, agregar una cifra **1** no afecta el producto (ya que $1 = 2^0$), pero aumenta la suma en **1**.

Entonces, el número final tendrá:
- **249 cifras 8** (en lugar de 250).
- **1 cifra 4**.
- **1 cifra 2**.
- **1 cifra 1**.

Verificamos la suma y el producto:
- Suma: $249 \times 8 + 4 + 2 + 1 = 1992 + 4 + 2 + 1 = 1999$.
- Producto: $2^{3 \times 249} \times 2^2 \times 2^1 \times 2^0 = 2^{747} \times 2^2 \times 2^1 \times 2^0 = 2^{750}$.

Aún no alcanzamos la suma requerida de **2001**. Necesitamos aumentar la suma en **2** más.

### Paso 7: Ajustar con cifras 2

Para aumentar la suma en **2**, podemos agregar una cifra **2**. Sin embargo, agregar una cifra **2** aumenta el producto en $2^1$, lo que no nos permite alcanzar $2^{751}$.

En su lugar, reemplazamos una cifra **8** por dos cifras **4**:
- Cada cifra **4** aporta **4** a la suma y **$2^2$** al producto.
- Al reemplazar una cifra **8** por dos cifras **4**, la suma total aumenta en:
\[
(4 + 4) - 8 = 0.
\]
Esto no ayuda.

### Paso 8: Solución final

La solución óptima es:
- **249 cifras 8**.
- **1 cifra 4**.
- **1 cifra 2**.
- **1 cifra 1**.

Esto da:
- Suma: $249 \times 8 + 4 + 2 + 1 = 1992 + 4 + 2 + 1 = 1999$.
- Producto: $2^{747} \times 2^2 \times 2^1 \times 2^0 = 2^{750}$.

Para alcanzar la suma de **2001**, agregamos **2 cifras 1** adicionales:
- Suma: $1999 + 1 + 1 = 2001$.
- Producto: $2^{750} \times 2^0 \times 2^0 = 2^{750}$.

Pero necesitamos que el producto sea $2^{751}$, por lo que reemplazamos una cifra **1** por una cifra **2**:
- Suma: $1999 + 2 + 1 = 2002$ (excede en 1).
- Producto: $2^{750} \times 2^1 \times 2^0 = 2^{751}$.

Para corregir la suma, reemplazamos una cifra **8** por una cifra **7** (pero 7 no es una potencia de 2, lo que no es válido).

La solución correcta es:
- **249 cifras 8**.
- **1 cifra 4**.
- **2 cifras 2**.
- **0 cifras 1**.

Esto da:
- Suma: $249 \times 8 + 4 + 2 + 2 = 1992 + 4 + 2 + 2 = 2000$.
- Producto: $2^{747} \times 2^2 \times 2^1 \times 2^1 = 2^{751}$.

Para alcanzar la suma de **2001**, agregamos **1 cifra 1**:
- Suma: $2000 + 1 = 2001$.
- Producto: $2^{751} \times 2^0 = 2^{751}$.

### Respuesta final

El menor entero que cumple las condiciones es un número con:
- **249 cifras 8**.
- **1 cifra 4**.
- **2 cifras 2**.
- **1 cifra 1**.

El número es:
\[
\boxed{1248\underbrace{88\ldots8}_{249 \text{ veces}}}
\]

INDICACIÓN

El resultado que ofreces es casi correcto, pero la suma da 1999 y el producto $2^{750}$ Creo que todo el razonamiento es correcto salvo los últimos dos o tres subapartados

RESPUESTA

**Respuesta Correcta y Explicación Detallada**

Para encontrar el menor entero que cumpla:
1. **Suma de cifras = 2001**
2. **Producto de cifras = $2^{751}$**

### **Análisis Inicial**
- **Producto $2^{751}$**: Todas las cifras deben ser potencias de 2 (1, 2, 4, 8), ya que cualquier otro número introduciría factores primos distintos de 2.
- **Minimizar el número**: Se logra usando la menor cantidad de cifras posible (priorizando cifras grandes) y ordenando de menor a mayor.

### **Paso 1: Maximizar la cantidad de 8s**
Cada **8** aporta 8 a la suma y $2^3$ al producto.
- Máximo posible de 8s: $ \left\lfloor \frac{751}{3} \right\rfloor = 250 $, pero 250 × 8 = 2000 (falta 1 en la suma) y $250 \times 3 = 750$ (falta 1 en el exponente).

### **Paso 2: Ajustar para cumplir suma y producto**
- **Reducir un 8** ($x = 249$) para ajustar el producto:
- Producto restante: $751 - 3 \times 249 = 751 - 747 = 4$.
- Esto se logra con **2 cuatros** ($y = 2$), ya que $2 \times 2 = 4$.
- **Suma restante**: $2001 - (249 \times 8 + 2 \times 4) = 2001 - (1992 + 8) = 1$.
- Se añade **un 1** ($w = 1$).

### **Verificación Final**
- **Suma**: $249 \times 8 + 2 \times 4 + 1 = 1992 + 8 + 1 = 2001$.
- **Producto**: $3 \times 249 + 2 \times 2 + 0 \times 1 + 1 \times 0 = 747 + 4 = 751$ → $2^{751}$.

### **Ordenar las cifras**
Para formar el menor número posible, las cifras se ordenan de menor a mayor:
- **1** al inicio, seguido de **4, 4**, y luego **249 ochos**.

### **Número Resultante**
\[
\boxed{144\underbrace{888\ldots8}_{249 \text{ ochos}}}
\]

**Explicación de la Corrección**
El error inicial fue incluir un **2**, lo que alteraba innecesariamente el producto y la suma. La solución correcta utiliza **1, 4, 4** y **249 ochos**, cumpliendo ambas condiciones y minimizando el número al ordenar las cifras de menor a mayor.

INDICACIÓN

La solución es correcta y está perfectamente explicada

RESPUESTA

**Respuesta Final**

El menor entero positivo que cumple con una suma de cifras igual a 2001 y un producto de cifras igual a $2^{751}$ se construye de la siguiente manera:

1. **Componentes del número**:
   - **249 cifras de 8**: Contribuyen $249 \times 8 = 1992$ a la suma y $2^{747}$ al producto.
   - **2 cifras de 4**: Añaden $4 + 4 = 8$ a la suma y $2^2 \times 2^2 = 2^4$ al producto.
   - **1 cifra de 1**: Agrega 1 a la suma y no afecta el producto ($2^0$).

2. **Verificación**:
   - **Suma total**: $1992 + 8 + 1 = 2001$ ✅
   - **Producto total**: $2^{747} \times 2^4 = 2^{751}$ ✅

3. **Ordenamiento**:
   - Para formar el número más pequeño posible, las cifras se ordenan de menor a mayor:
     - **1** al inicio.
     - **4** y **4** a continuación.
     - **249 ochos** al final.

**Número resultante**:
\[
\boxed{144\underbrace{888\ldots8}_{249 \text{ ochos}}}
\]

**Explicación clave**:
- Al maximizar la cantidad de ochos (la cifra más grande permitida) se minimiza la cantidad total de cifras.
- Los ajustes con cuatros y un uno permiten alcanzar exactamente la suma y el producto requeridos.
- El orden ascendente asegura que el número sea el menor posible.

INDICACIÓN

Un polígono se dice ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares.

Demuestra que si un polígono ortogonal puede cubrirse por rectángulos 2x1 sin que se traslapen, entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par

RESPUESTA

**Demostración:**

Para demostrar que un polígono ortogonal cubrible con rectángulos 2×1 debe tener al menos un lado de longitud par, utilizaremos un argumento de paridad basado en el **coloreado de tablero de ajedrez**.

### **Paso 1: Coloreado del polígono**
Imaginemos el polígono como una cuadrícula de coordenadas enteras y coloreamos cada casilla unitaria alternando blanco y negro, como un tablero de ajedrez. Cada rectángulo 2×1 cubrirá **exactamente una casilla blanca y una negra**. Por lo tanto, para que exista una cobertura con estos rectángulos, el polígono debe contener **igual cantidad de casillas blancas y negras**.

### **Paso 2: Análisis de paridad de las longitudes**
Supongamos, por contradicción, que **todos los lados del polígono son impares**. Al recorrer el polígono:
- Cada segmento horizontal o vertical de longitud impar alternará las coordenadas de las casillas entre par e impar.
- Por ejemplo, un segmento horizontal de longitud impar que inicia en $(x, y)$ con $x$ par terminará en $(x + \text{impar}, y)$, que tiene $x$ impar. Esto alterna la paridad de $x + y$ (blanco ↔ negro).

### **Paso 3: Efecto de lados impares en el coloreado**
Cada lado impar introduce un **desequilibrio** en el conteo de casillas blancas y negras:
- Un segmento horizontal o vertical de longitud impar cubre $\frac{\text{longitud} + 1}{2}$ casillas de un color y $\frac{\text{longitud} - 1}{2}$ del otro.
- Por ejemplo, un segmento de 3 unidades cubre 2 casillas de un color y 1 del otro, generando un desequilibrio de $+1$ o $-1$.

### **Paso 4: Suma de desequilibrios**
Al ser el polígono cerrado, el número total de segmentos horizontales y verticales es par. Sin embargo, si todos los lados son impares:
- Cada par de segmentos consecutivos (horizontal + vertical) contribuye un desequilibrio neto de $0$ (uno suma $+1$ y otro $-1$).
- No obstante, al terminar el recorrido, el desequilibrio total **no se cancela** porque la suma de longitudes impares en cada dirección (horizontal y vertical) debe ser **par** para cerrar el polígono. Esto solo es posible si el número de segmentos en cada dirección es par, pero el desequilibrio acumulado por cada segmento impar conduce a un **desequilibrio global impar**.

### **Paso 5: Conclusión**
- Si todos los lados son impares, el número total de casillas blancas y negras **difiere en una cantidad impar**, lo que imposibilita la cobertura con rectángulos 2×1 (que requieren igual cantidad de ambos colores).
- Por lo tanto, **al menos un lado debe ser par** para equilibrar el conteo de casillas y permitir la cobertura.

\[
\boxed{\text{Al menos un lado del polígono debe tener longitud par.}}
\]

LA RESPUESTA DE CHATGPT

Paso 1: Comprensión del problema

Nos dan un polígono ortogonal, es decir, un polígono cuyos lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares.

Nos dicen que este polígono puede cubrirse completamente con dominos de tamaño $2 \times 1$ (o $1 \times 2$ ), sin que haya solapamientos ni partes del polígono sin cubrir.

Debemos demostrar que al menos uno de los lados del polígono tiene longitud par.

Paso 2: Análisis con paridad y ajedrezado

Un método clásico para resolver problemas de teselado con fichas de tamaño $2 \times 1$ es usar un ajedrezado.

Definición de la coloración ajedrezada

Consideremos el polígono colocado sobre una cuadrícula con coordenadas enteras.
Pintamos los cuadrados de la cuadrícula en un patrón de ajedrezado (como en un tablero de ajedrez).
Un domino $2 \times 1$ siempre cubre una casilla blanca y una casilla negra.

Propiedad fundamental

El número total de casillas blancas y negras dentro del polígono debe ser el mismo o diferir en exactamente 0 para que los dominos puedan cubrir el área sin solaparse ni dejar huecos.

Paso 3: Relación con la paridad de los lados

Sea $A$ el área del polígono ortogonal. Dado que el polígono está cubierto completamente por dominos $2 \times 1$ , su área debe ser par, es decir:

A \equiv 0 \pmod{2}

Sabemos que un polígono ortogonal está formado por rectángulos más pequeños unidos de manera que los lados siguen direcciones horizontales o verticales.
El área de un polígono ortogonal es dado por la fórmula del área para polígonos simples, la cual se calcula sumando los productos cruzados de las coordenadas de sus vértices. Pero en este caso, dado que el polígono es ortogonal, su área se puede escribir como:

A = \sum (\text{anchura de los rectángulos} \times \text{altura de los rectángulos})

Si todos los lados fueran impares, entonces cada producto $\text{anchura} \times \text{altura}$ también sería impar.
La suma de números impares es impar, lo que contradice que $A$ debe ser par.

Por lo tanto, al menos uno de los lados del polígono debe tener longitud par para garantizar que $A$ sea par y se pueda teselar con dominos $2 \times 1$ .

Conclusión

Hemos demostrado que en cualquier polígono ortogonal que pueda cubrirse completamente con dominos $2 \times 1$ , al menos uno de sus lados debe ser par, porque de lo contrario su área sería impar y no podría cubrirse completamente con piezas de área 2.

✅ Problema resuelto.

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