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 Algunas preguntas

 

quiero evaluar la integral de linea de la funcion f(z) que es igual a la fracción cuyo numerador es e elevado a i pi z y cuyo denominador es 2z^2 -5z +2 (todo multiplicado por dz) a lo largo de la curva C que es la circunferencia de centro el origen y radio 2

Vamos a evaluar la integral de línea de la función $f(z)=\frac{e^{i\pi z}}{2z^2-5z+\mathrm{2 \; \$}}f(z)\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; \backslash pi\; z\}\}\{2z^2\; -\; 5z\; +\; 2\}\$$ a lo largo de la curva $CC$, que es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Primero, observamos que el denominador de la función $f(z)f(z)$ es $2z^2-5z+2 \; 2z^2\; -\; 5z\; +\; 2$. Podemos factorizar el denominador para encontrar las singularidades de la función:

$$2z^2-5z+2=(2z-1)(z-2) 2z^2\; -\; 5z\; +\; 2\; =\; (2z\; -\; 1)(z\; -\; 2)$$

Las singularidades son los puntos donde el denominador se anula, es decir, $z=\frac{1}{2} \; z\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ y $z=2z\; =\; 2$.

La circunferencia $CC$ de radio 2 centrada en el origen incluye la singularidad en $z=\frac{1}{2}z\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ pero no incluye la singularidad en $z=2z\; =\; 2$, ya que esta última está en el borde de la circunferencia.

Usamos el teorema del residuo para calcular la integral:

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum \text{Res}(f,a)\backslash oint\_C\; f(z)\; \backslash ,\; dz\; =\; 2\backslash pi\; i\; \backslash sum\; \backslash text\{Res\}(f,\; a)$$

donde $\text{Res}(f,a)\backslash text\{Res\}(f,\; a)$ es el residuo de $f(z)f(z)$ en cada singularidad $aa$ dentro de $CC$.

El residuo en $z=\frac{1}{2}z\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ se calcula como:

$$\text{\$Res}(\frac{e^{i\pi z}}{(2z-1)(z-2)},\frac{1}{2})=\frac{e^{i\pi \left(\frac{1}{2}\right)}}{(2\left(\frac{1}{2}\right)-1)(\left(\frac{1}{2}\right)-2)}=\frac{e^{i\frac{\pi }{2}}}{(1-1)(\frac{1}{2}-2)}=\frac{e^{i\frac{\pi }{2}}}{0\cdot (-\frac{3}{2})}\backslash text\{Res\}\backslash left(\; \backslash frac\{e^\{i\; \backslash pi\; z\}\}\{(2z\; -\; 1)(z\; -\; 2)\},\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; \backslash pi\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\}\{(2\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; -\; 1)(\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; -\; 2)\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\}\{(1\; -\; 1)(\backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; 2)\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\}\{0\; \backslash cdot\; (-\backslash frac\{3\}\{2\})\}\$$$

Como podemos ver, la expresión contiene una división por cero, lo que significa que el residuo no se puede calcular de esta manera debido a que la singularidad $z=\frac{1}{2}z\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ es un polo de orden mayor que 1. Esto implica que el método directo de cálculo de residuos no se puede aplicar aquí.

Para integrales más complejas como esta, podríamos necesitar considerar desarrollos en serie de Laurent o técnicas avanzadas para evaluar los residuos.

Si necesitas más detalles sobre cómo proceder con este tipo de integrales o algún otro aspecto específico, estaré encantado de ayudarte.