¿Qué es un tensor?

 Enlaces y explicaciones asistidas por ChatGPT

Enlace a blog sobre física

$2^3 + 3\pi = x_i ^j $

Para dar contexto a ChatGPT 

https://drive.google.com/drive/folders/1z5M24kE8DNeFKfiYclT4GLp53Es1SxGh?usp=sharing    Carpeta Postnikov Geometría  

 https://youtu.be/hqR1bznBCik

https://www.youtube.com/playlist?list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25

https://www.youtube.com/watch?v=NwEDYwZ5FzQ&list=PLAnA8FVrBl8Apg86Ve2IxIuUVdF2cFrQv&index=1 

https://www.youtube.com/watch?v=yyCsvUljtnk&list=PLjyGOVF67WFKC9J_8ebnzh1_AHareLkPb&index=7

 https://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/18-el-calculo-tensorial.html

https://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/24b-propiedades-de-los-tensores.html 

https://drive.google.com/drive/folders/1z5M24kE8DNeFKfiYclT4GLp53Es1SxGh?usp=sharing

FIN DE LOS ENLACES PARA DAR CONTEXTO

LA IDEA DE TENSOR SEGÚN CHATGTP (añadido el 4 de Enero de 2025)

Un tensor es un concepto matemático que generaliza las ideas de escalar, vector y matriz, permitiéndonos describir relaciones y propiedades en sistemas más complejos, como fuerzas, deformaciones o campos físicos en múltiples dimensiones. Se usan mucho en física, ingeniería y matemáticas para trabajar con conceptos como la relatividad, la elasticidad y los campos electromagnéticos.

Para explicarlo de manera accesible, partamos de lo básico:

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1. Escalar (tensor de orden 0):

Un escalar es simplemente un número, como $5$, $3.14$ o $-7$. Describe algo que no tiene dirección, solo tamaño o magnitud.

Ejemplo:

• La temperatura en un punto del espacio, como "20°C", es un escalar.

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2. Vector (tensor de orden 1):

Un vector es un conjunto de números que indican una magnitud y una dirección. En un espacio tridimensional, podemos representar un vector como $(v_1, v_2, v_3)$.

Ejemplo:

• La velocidad de un coche que se mueve a 60 km/h hacia el noreste es un vector.

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3. Matriz (tensor de orden 2):

Una matriz es una tabla de números con filas y columnas. Representa relaciones más complejas, como las fuerzas en varias direcciones.

Ejemplo:

• Si un objeto está sometido a varias fuerzas en diferentes direcciones, usamos una matriz para describir cómo responde el objeto a estas fuerzas.

$$\text{Matriz: } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

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4. Tensor de orden 3 o superior:

Un tensor de orden superior se construye combinando vectores o matrices en formas más complejas. Piensa en un "cubo de números" (orden 3) o incluso una figura en más dimensiones (orden mayor).

Ejemplo:

• En física, un tensor de orden 3 puede describir cómo cambia la presión en un fluido en distintas direcciones y con el tiempo.

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¿Cómo se representan?

Un tensor se describe como una colección organizada de números (componentes) en diferentes dimensiones:

1. Un escalar tiene una sola componente: $5$.
2. Un vector en 3D tiene tres componentes: $(x, y, z)$.
3. Una matriz de $3 \times 3$ tiene nueve componentes: $$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$
4. Un tensor de orden 3 puede tener 27 componentes en un "cubo" tridimensional.

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Ejemplos prácticos:

1. Tensores en la física clásica:
   • Tensor de tensiones: Describe cómo se distribuyen las fuerzas en un sólido. Si pisas una tabla, el tensor describe cómo las fuerzas se transmiten dentro de la tabla.
2. Tensores en relatividad general:
   • Tensor métrico: Describe la forma del espacio-tiempo, esencial para entender cómo la gravedad afecta la luz y los objetos.
3. Tensores en imagen digital:
   • Una imagen en color se puede modelar como un tensor: cada punto tiene un valor para rojo, verde y azul (RGB).

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Por qué son importantes:

Los tensores permiten trabajar con relaciones en múltiples dimensiones. Son como un lenguaje universal para describir fenómenos complejos, desde la deformación de un puente hasta las ondas gravitacionales detectadas por LIGO.

¿Te gustaría que amplíe algún ejemplo en particular?

PREGUNTA

 ¿Es posible dar una definición matemática rigurosa de tensor, pero manteniéndose en espacios vectoriales de dimensión dos? Si es así me gustaría conocerla y las principales propiedades expresadas en lenguaje matemático

 

RESPUESTA

Sí, es posible dar una definición matemática rigurosa de tensor limitándose a espacios vectoriales de dimensión dos, lo que facilita la comprensión del concepto sin sacrificar la precisión. A continuación, presento la definición, sus principales propiedades y ejemplos en este contexto.

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Definición matemática de tensor

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ (por ejemplo, $K = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), con $\dim(V) = 2$. Un tensor de tipo $(m, n)$ es un elemento del espacio

$$T^{m}_{n}(V) = V^{\otimes m} \otimes (V^*)^{\otimes n},$$

donde:

• $V^{\otimes m}$ es el producto tensorial de $m$ copias del espacio vectorial $V$.
• $(V^*)^{\otimes n}$ es el producto tensorial de $n$ copias del espacio dual $V^*$, que consiste en las aplicaciones lineales $f: V \to K$.
• El espacio $T^{m}_{n}(V)$ está formado por combinaciones lineales de tensores que toman $n$ vectores del espacio dual y $m$ vectores del espacio original para producir un número escalar en $K$.

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Caso en dimensión 2

Si $\dim(V) = 2$, el espacio vectorial $V$ tiene una base $\{e_1, e_2\}$, y el espacio dual $V^*$ tiene la base dual $\{e^1, e^2\}$, definida por $e^i(e_j) = \delta^i_j$ (delta de Kronecker). En este caso:

1. Tensor de tipo $(0, 0)$: Es un escalar $a \in K$.
2. Tensor de tipo $(1, 0)$: Es un vector en $V$, por ejemplo, $v = v^1 e_1 + v^2 e_2$.
3. Tensor de tipo $(0, 1)$: Es una forma lineal en $V^*$, por ejemplo, $f = f_1 e^1 + f_2 e^2$.
4. Tensor de tipo $(1, 1)$: Es un operador lineal, representado en coordenadas por una matriz $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.

Más generalmente, un tensor de tipo $(m, n)$ se puede expresar como:

$$T = \sum_{i_1, \ldots, i_m, j_1, \ldots, j_n} T^{i_1 \ldots i_m}_{j_1 \ldots j_n} \, e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_m} \otimes e^{j_1} \otimes \cdots \otimes e^{j_n},$$

donde los coeficientes $T^{i_1 \ldots i_m}_{j_1 \ldots j_n} \in K$ determinan el tensor.

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Propiedades principales

1. Linealidad: Los tensores son lineales en cada una de sus entradas. Si $T \in T^m_n(V)$, entonces:

   $$T(v_1 + v_2, \ldots, w_1 + w_2) = T(v_1, \ldots, w_1) + T(v_2, \ldots, w_2).$$

2. Cambio de base: Si cambiamos la base del espacio vectorial $V$, los componentes del tensor se transforman según reglas específicas que dependen del tipo $(m, n)$.

3. Simetría y antisimetría:

   • Un tensor es simétrico si sus componentes no cambian al permutar índices de un mismo tipo.
   • Es antisimétrico si sus componentes cambian de signo al permutar índices de un mismo tipo.

4. Contracción: Si $T \in T^m_n(V)$, es posible reducir el orden del tensor contrayendo un índice covariante con uno contravariante, obteniendo un tensor de tipo $(m-1, n-1)$.

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Ejemplos en dimensión 2

1. Escalar ($0, 0$): Un número como $5$ o $-3$.

2. Vector ($1, 0$): Un elemento como $v = 3e_1 + 2e_2$.

3. Forma lineal ($0, 1$): Una aplicación como $f = e^1 - 2e^2$.

4. Matriz ($1, 1$): Un operador como:

   $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}.$$

   Este tensor asocia vectores a otros vectores.

5. Tensor de tipo $(2, 0)$:

   $$T = T^{11} e_1 \otimes e_1 + T^{12} e_1 \otimes e_2 + T^{21} e_2 \otimes e_1 + T^{22} e_2 \otimes e_2.$$

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¿Te gustaría que desarrolle un ejemplo de cálculo específico, como la transformación bajo cambio de base o un caso físico concreto?

 PREGUNTA

Me gustaría que escribieras la definición y las propiedades de los tensores pero no en general para luego poner ejemplos en espacios de dimensión 2 (n=2 . m=2) sino directamente en espacios de dimensión 2, tanto la definición como los enunciados de las propiedades

RESPUESTA

¡Entendido! A continuación, escribo la definición de tensores directamente en espacios vectoriales de dimensión 2, junto con las propiedades correspondientes, sin pasar primero por el caso general.

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Definición de tensor en espacios de dimensión 2

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un cuerpo $K$ (como $K=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), con una base fija $\{e_1,e_2\}$. El espacio dual $V^{\ast }$, que contiene las formas lineales (funcionales lineales sobre $V$), tiene la base dual $\{e^1,e^2\}$, definida por $e^i(e_j)={\delta }_j^i$ (delta de Kronecker).

1. Un tensor de tipo $(0,0)$: Es un escalar, es decir, un número $a\in K$.

2. Un tensor de tipo $(1,0)$: Es un vector en $V$, que se puede escribir como:

   $$v=v^1{e}_1+v^2{e}_2,$$

   donde $v^1,v^2\in K$ son las componentes del vector.

3. Un tensor de tipo $(0,1)$: Es una forma lineal (elemento de $V^{\ast }$), que se escribe como:

   $$f=f_1{e}^1+f_2{e}^2,$$

   donde $f_1,f_2\in K$ son las componentes de la forma lineal.

4. Un tensor de tipo $(1,1)$: Es una aplicación lineal de $V$ en sí mismo, que se representa en coordenadas como una matriz:

   $$T=\left[\begin{array}{cc}{T}_1^1& T_2^1\\ T_1^2& T_2^2\end{array}\right],$$

   donde $T_j^i\in K$ son las componentes del tensor.

5. Un tensor de tipo $(2,0)$: Es una combinación lineal de productos tensoriales de vectores, expresada como:

   $$T=T^{11}{e}_1\otimes e_1+T^{12}{e}_1\otimes e_2+T^{21}{e}_2\otimes e_1+T^{22}{e}_2\otimes e_2\mathrm{.}$$

6. Un tensor de tipo $(0,2)$: Es una combinación lineal de productos tensoriales de formas lineales:

   $$T=T_{11}{e}^1\otimes e^1+T_{12}{e}^1\otimes e^2+T_{21}{e}^2\otimes e^1+T_{22}{e}^2\otimes e^2\mathrm{.}$$

7. Un tensor de tipo $(2,1)$: Es una combinación lineal de productos tensoriales de dos vectores con una forma lineal:

   $$T=\sum _{i,j,k}{T}_k^{ij}{e}_i\otimes e_j\otimes e^k\mathrm{.}$$

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Propiedades de los tensores en dimensión 2

1. Linealidad:
   Los tensores son lineales en cada una de sus entradas. Si $T$ es un tensor de tipo $(1,1)$, para $v,w\in V$ y $\alpha ,\beta \in K$:

   $$T(\alpha v+\beta w)=\alpha T(v)+\beta T(w)\mathrm{.}$$

2. Transformación bajo cambio de base:
   Si se cambia la base del espacio $V$, las componentes del tensor se transforman de manera específica:

   • Las componentes contravariantes (índices superiores) se transforman según las coordenadas del nuevo sistema.
   • Las componentes covariantes (índices inferiores) se transforman según la base dual del nuevo sistema.

3. Simetría:
   Un tensor $T$ de tipo $(2,0)$ es simétrico si $T^{ij}=T^{ji}$ para todos los índices $i,j$. Es antisimétrico si $T^{ij}=-T^{ji}$.

4. Contracción:
   Si $T$ es un tensor de tipo $(1,1)$ en $V$, su traza es la contracción de sus índices:

   $$\text{Traza}(T)=T_1^1+T_2^2\mathrm{.}$$

   Esto produce un escalar (tensor de tipo $(0,0)$).

5. Producto tensorial:
   Si $v\in V$ y $f\in V^{\ast }$, el producto tensorial $v\otimes f$ es un tensor de tipo $(1,1)$, que actúa sobre $w\in V$ como:

   $$(v\otimes f)(w)=f(w)v\mathrm{.}$$

6. Representación matricial:
   Un tensor de tipo $(1,1)$ puede representarse como una matriz que transforma vectores. Si $T(v)=Av$, donde $A$ es una matriz de $2\times 2$, entonces:

   $$A=\left[\begin{array}{cc}{T}_1^1& T_2^1\\ T_1^2& T_2^2\end{array}\right]\mathrm{.}$$

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¿Te gustaría que desarrolle ejemplos concretos de estas propiedades en un contexto físico o geométrico?

 ¿Hay tensores de tipo (3,2) cuando estamos en un espacio vectorial de dimensión 2 ? Si los hay ponme un par de ejemplos

 

¡Sí, existen tensores de tipo $(3,2)$ en un espacio vectorial de dimensión 2! La definición no depende de la dimensión del espacio, aunque la cantidad de componentes del tensor sí está limitada por ella.

Definición de tensores de tipo $(3,2)$

Un tensor de tipo $(3,2)$ en un espacio vectorial $V$ de dimensión 2 es un elemento del espacio:

$$T_2^3(V)=V\otimes V\otimes V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast },$$

donde:

• $V$ es el espacio original (vectorial).
• $V^{\ast }$ es el espacio dual (formas lineales).

En coordenadas, un tensor de tipo $(3,2)$ se escribe como:

$$T=\sum _{i,j,k,p,q}{T}_{pq}^{ijk}{e}_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e^p\otimes e^q,$$

donde:

• $i,j,k,p,q\in \{1,2\}$,
• $T_{pq}^{ijk}\in K$ son las componentes del tensor en la base $\{e_1,e_2\}$ de $V$ y su base dual $\{e^1,e^2\}$.

Un tensor de tipo $(3,2)$ toma como entrada dos formas lineales (elementos de $V^{\ast }$) y devuelve un vector de $V$ en cada una de las tres copias de $V$.

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Número de componentes

En un espacio vectorial de dimensión 2:

• Hay $2^3=8$ combinaciones posibles para los índices superiores $(i,j,k)$.
• Hay $2^2=4$ combinaciones posibles para los índices inferiores $(p,q)$.

Por lo tanto, un tensor de tipo $(3,2)$ tiene $8\cdot 4=32$ componentes independientes.

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Ejemplos de tensores de tipo $(3,2)$

1. Tensor de tipo $(3,2)$ definido por combinaciones específicas:

Supongamos que el tensor está definido por:

$$T_{pq}^{ijk}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{si }i=j=k\text{ y }p=q,\\ 0,& \text{en otro caso}\mathrm{.}\end{array}$$

En coordenadas explícitas, esto significa que las únicas componentes no nulas son:

$$T_{11}^{111}=1,T_{22}^{222}=1.$$

Este tensor puede interpretarse como un operador que "concentra" la acción sobre las entradas que tienen la misma dirección.

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2. Tensor de tipo $(3,2)$ con una dependencia más general:

Sea $T$ definido por:

$$T_{pq}^{ijk}=i+j-p\mathrm{.}$$

Por ejemplo:

• Para $i=1,j=2,k=2,p=1,q=2$: $$T_{12}^{122}=1+2-1=2.$$
• Para $i=2,j=1,k=1,p=2,q=1$: $$T_{21}^{211}=2+1-2=1.$$

El tensor $T$ tiene valores asignados según una regla específica, que puede usarse en aplicaciones dependiendo del problema físico o geométrico.

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Interpretación práctica

Aunque los tensores de tipo $(3,2)$ pueden parecer abstractos, aparecen en problemas avanzados, como:

• Física de fluidos: Cuando se modelan interacciones complejas entre tensiones en diferentes direcciones.
• Relatividad general: En problemas relacionados con el transporte de energía-momento en sistemas multidimensionales.

¿Te gustaría que calculemos algo específico con uno de estos tensores?

 Dime la definición general de tensor para espacios vectoriales de dimensión 2

RESPUESTA

La definición de un tensor en espacios vectoriales de dimensión 2 se construye a partir de combinaciones lineales de vectores del espacio original y de formas lineales del espacio dual. A continuación, se detalla de forma precisa.

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Definición general de tensor en espacios vectoriales de dimensión 2

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un cuerpo $K$ (como $K = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). El espacio $V$ tiene una base fija $\{e_1, e_2\}$, y su espacio dual $V^*$, que contiene las formas lineales, tiene la base dual $\{e^1, e^2\}$, definida por $e^i(e_j) = \delta^i_j$ (delta de Kronecker).

Un tensor de tipo $(m, n)$ en $V$ es un elemento del espacio:

$$T^m_n(V) = V^{\otimes m} \otimes (V^*)^{\otimes n},$$

donde:

• $V^{\otimes m}$ es el producto tensorial de $m$ copias del espacio $V$.
• $(V^*)^{\otimes n}$ es el producto tensorial de $n$ copias del espacio dual $V^*$.

En coordenadas, un tensor $T \in T^m_n(V)$ se escribe como:

$$T = \sum_{i_1, \dots, i_m, j_1, \dots, j_n} T^{i_1 \dots i_m}_{j_1 \dots j_n} \, e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_m} \otimes e^{j_1} \otimes \cdots \otimes e^{j_n},$$

donde:

• Los índices $i_1, \dots, i_m, j_1, \dots, j_n \in \{1, 2\}$.
• Los coeficientes $T^{i_1 \dots i_m}_{j_1 \dots j_n} \in K$ son las componentes del tensor en la base dada.

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Ejemplos de espacios tensoriales en dimensión 2

En un espacio vectorial $V$ con $\dim(V) = 2$:

1. Tensores de tipo $(0, 0)$: Escalares, simplemente números $a \in K$.
2. Tensores de tipo $(1, 0)$: Vectores en $V$, por ejemplo, $v = v^1 e_1 + v^2 e_2$.
3. Tensores de tipo $(0, 1)$: Formas lineales en $V^*$, como $f = f_1 e^1 + f_2 e^2$.
4. Tensores de tipo $(1, 1)$: Operadores lineales, representados como matrices de $2 \times 2$: $$T = \begin{bmatrix} T^1_1 & T^1_2 \\ T^2_1 & T^2_2 \end{bmatrix}.$$
5. Tensores de tipo $(2, 0)$: Combinaciones lineales de productos de vectores, por ejemplo: $$T = T^{11} e_1 \otimes e_1 + T^{12} e_1 \otimes e_2 + T^{21} e_2 \otimes e_1 + T^{22} e_2 \otimes e_2.$$
6. Tensores de tipo $(0, 2)$: Combinaciones lineales de productos de formas lineales: $$T = T_{11} e^1 \otimes e^1 + T_{12} e^1 \otimes e^2 + T_{21} e^2 \otimes e^1 + T_{22} e^2 \otimes e^2.$$

Más generalmente, el espacio $T^m_n(V)$ tiene $(\dim(V))^{m+n}$ componentes independientes. En el caso $\dim(V) = 2$, el número de componentes es:

$$2^{m+n}.$$

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Propiedades principales de los tensores en dimensión 2

1. Linealidad:
   Si $T \in T^m_n(V)$ y $a, b \in K$, entonces:

   $$T(a v_1 + b v_2, \ldots, w_1 + w_2) = a T(v_1, \ldots, w_1) + b T(v_2, \ldots, w_2).$$

2. Transformación bajo cambio de base:
   Las componentes de un tensor cambian de acuerdo con las reglas:

   • Índices superiores (contravariantes) se transforman como vectores.
   • Índices inferiores (covariantes) se transforman como formas lineales.

3. Simetría y antisimetría:

   • Un tensor es simétrico si sus componentes no cambian al permutar índices contravariantes (o índices covariantes).
   • Es antisimétrico si sus componentes cambian de signo al permutar índices.

4. Contracción:
   Un tensor de tipo $(m, n)$ puede reducirse a tipo $(m-1, n-1)$ contrayendo un índice superior con uno inferior:

   $$T^{ijk}_{pq} \to \sum_k T^{ijk}_{pk}.$$

5. Producto tensorial:
   Dado un tensor $T_1 \in T^m_n(V)$ y otro $T_2 \in T^{m'}_{n'}(V)$, su producto tensorial $T_1 \otimes T_2$ es un tensor en $T^{m+m'}_{n+n'}(V)$.

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Ejemplo general de tensor en dimensión 2

Un tensor de tipo $(2, 1)$ en coordenadas puede ser:

$$T = T^{11}_1 e_1 \otimes e_1 \otimes e^1 + T^{12}_2 e_1 \otimes e_2 \otimes e^2 + \dots + T^{22}_1 e_2 \otimes e_2 \otimes e^1.$$

Con un total de $2^{2+1} = 8$ componentes independientes.

Si necesitas desarrollar algún caso específico o trabajar con operaciones concretas, ¡avísame!

 PREGUNTA

Escribe cómo sería un tensor métrico en un espacio vectorial de dimensión 2

RESPUESTA

Un tensor métrico en un espacio vectorial de dimensión 2 es un tensor de tipo $(0, 2)$ que permite definir un producto interno en el espacio. Esto significa que toma dos vectores y devuelve un escalar, cumpliendo propiedades específicas de simetría y no degeneración. A continuación se presenta cómo se define y representa.

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Definición de un tensor métrico en un espacio de dimensión 2

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión 2 con una base $\{e_1, e_2\}$. Un tensor métrico $g$ es un elemento del espacio $T^0_2(V)$, es decir:

$$g \in V^* \otimes V^*.$$

En coordenadas, se escribe como:

$$g = g_{11} e^1 \otimes e^1 + g_{12} e^1 \otimes e^2 + g_{21} e^2 \otimes e^1 + g_{22} e^2 \otimes e^2,$$

donde:

• $g_{ij} \in \mathbb{R}$ son las componentes del tensor métrico en la base $\{e_1, e_2\}$,
• $e^1, e^2$ son los elementos de la base dual asociada.

El tensor métrico $g$ satisface:

1. Simetría: $g_{ij} = g_{ji}$.
2. No degeneración: $\det(g_{ij}) \neq 0$, lo que asegura que el tensor métrico define un producto interno válido.

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Representación matricial del tensor métrico

El tensor métrico $g$ puede representarse como una matriz simétrica:

$$[g] = \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix}.$$

Por la simetría $g_{12} = g_{21}$, se tiene:

$$[g] = \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{12} & g_{22} \end{bmatrix}.$$

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Propiedades del tensor métrico

1. Producto interno:
   Dados dos vectores $v, w \in V$, con coordenadas $v = v^1 e_1 + v^2 e_2$ y $w = w^1 e_1 + w^2 e_2$, el producto interno definido por $g$ es:

   $$\langle v, w \rangle_g = g_{11} v^1 w^1 + g_{12} v^1 w^2 + g_{21} v^2 w^1 + g_{22} v^2 w^2.$$

2. Longitud de un vector:
   La longitud de un vector $v \in V$ está dada por:

   $$\|v\|_g = \sqrt{\langle v, v \rangle_g}.$$

3. Ángulo entre vectores:
   Si $v, w \in V$ son vectores no nulos, el ángulo entre ellos está dado por:

   $$\cos\theta = \frac{\langle v, w \rangle_g}{\|v\|_g \|w\|_g}.$$

4. Determinante del tensor métrico:
   El determinante de la matriz $[g]$ está relacionado con la naturaleza del producto interno:

   • Si $\det[g] > 0$, el tensor métrico es definido positivo.
   • Si $\det[g] < 0$, corresponde a un producto interno indefinido.

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Ejemplo de tensor métrico en dimensión 2

1. Tensor métrico euclidiano:

   $$g = e^1 \otimes e^1 + e^2 \otimes e^2.$$

   En coordenadas, las componentes son:

   $$[g] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

   Este tensor define el producto interno clásico:

   $$\langle v, w \rangle = v^1 w^1 + v^2 w^2.$$

2. Tensor métrico no euclidiano: Supongamos:

   $$g = 2 e^1 \otimes e^1 + 3 e^1 \otimes e^2 + 3 e^2 \otimes e^1 + 5 e^2 \otimes e^2.$$

   En coordenadas:

   $$[g] = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}.$$

   Este tensor define un producto interno más general:

   $$\langle v, w \rangle = 2v^1w^1 + 3(v^1w^2 + v^2w^1) + 5v^2w^2.$$

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Interpretación geométrica

En un espacio de dimensión 2, el tensor métrico define:

• Las distancias entre puntos.
• Los ángulos entre vectores.
• El área de regiones, que se calcula como $\sqrt{\det[g]}$.

Este concepto es fundamental en geometría diferencial, física (como en relatividad general), y otros campos donde se estudian estructuras métricas.

¿Te gustaría explorar más propiedades o aplicaciones?

 PREGUNTA

¿Conoces algún libro o vídeo en el que se explique la notación tensorial (incluyendo el convenio de Einstein) de manera sencillita, poco a poco, yendo de los más simple a lo más complejo? Para que lo pueda entender alguien que jamás la haya visto con anterioridad. A ver si es posible que sean de acceso gratuito en internet

 

RESPUESTA

Entender la notación tensorial y el convenio de sumación de Einstein puede ser desafiante al principio, pero existen recursos gratuitos en línea que explican estos conceptos de manera gradual y accesible. A continuación, te recomiendo algunos materiales que podrían serte útiles:

Documentos en PDF:

1. Notación de Einstein: Este documento ofrece una introducción clara a la notación de Einstein, explicando cómo se utiliza para simplificar sumas en expresiones tensoriales. citeturn0search0

2. Apunte sobre Tensores: Este apunte proporciona una explicación detallada sobre tensores y la notación indicial, incluyendo el convenio de Einstein, con ejemplos que facilitan su comprensión. citeturn0search2

3. Notación Indicial: Este material de la Universidad Politécnica de Madrid introduce la notación indicial y el convenio de Einstein, presentando ejemplos prácticos para ilustrar su aplicación. citeturn0search8

Videos en YouTube:

1. Cálculo Tensorial: convenio de la suma de Einstein: Este video explica de manera sencilla el convenio de sumación de Einstein y cómo se aplica en el cálculo tensorial.

   videoCálculo Tensorial: convenio de la suma de Einsteinturn0search18

2. Cálculo TENSORIAL.- Convenio de la Suma de EINSTEIN 01/40: Este es el primer video de una serie que introduce el cálculo tensorial, comenzando con el convenio de suma de Einstein, ideal para principiantes.

   videoCálculo TENSORIAL.- Convenio de la Suma de EINSTEIN 01/40turn0search3

3. 41 Cálculo Tensorial I. Convenio de Suma de Einstein: Este video ofrece una introducción al cálculo tensorial y explica qué es un tensor, incluyendo el convenio de suma de Einstein.

   video41 Cálculo Tensorial I. Convenio de Suma de Einsteinturn0search10

Estos recursos están diseñados para guiarte desde conceptos básicos hasta más avanzados en notación tensorial y el convenio de Einstein. Te recomiendo comenzar con los documentos en PDF para obtener una base teórica sólida y luego complementar tu aprendizaje con los videos, que ofrecen explicaciones visuales y ejemplos prácticos.

 Añadido por ML (Menda Lerenda)

http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/2009/03/18-el-calculo-tensorial.html

 https://ocw.camins.upc.edu/repositori/ocw/materials/250401/2024/Notas%20sobre%20calculo%20tensorial.pdf

https://keepcoding.io/blog/tensores-todo-lo-que-necesitas-saber/

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial

https://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_suma_de_Einstein

https://fisicalandia.com/matematicas/tensor/

PREGUNTA

Define y da ejemplos de qué es producto tensorial de espacios vectoriales. 

 Limítate, tanto en la definición como en los ejemplos a espacios vectoriales de dimensión 2 y de dimensión tres

Como siempre, revisa los cálculos dos o tres veces para aegurar que no esten equivocados y ten en cuenta el contexto de toda la conversación que estamos manteniendo

 RESPUESTA

 

Definición de producto tensorial de espacios vectoriales (caso dimensión 2 y 3)

Dado un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ y un espacio vectorial $W$ de dimensión $m$ sobre el mismo cuerpo (por ejemplo, $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), el producto tensorial $V \otimes W$ es otro espacio vectorial cuya base está formada por los productos formales $v \otimes w$, donde $v \in V$ y $w \in W$. Este espacio tiene dimensión $n \cdot m$.

El producto tensorial $V \otimes W$ se caracteriza por las siguientes propiedades:

1. Es bilineal: $$(a v_1 + b v_2) \otimes w = a (v_1 \otimes w) + b (v_2 \otimes w),$$ $$v \otimes (a w_1 + b w_2) = a (v \otimes w_1) + b (v \otimes w_2),$$ para $a, b \in \mathbb{R}$, $v_1, v_2 \in V$, $w_1, w_2 \in W$.
2. Los elementos $v \otimes w$ son productos formales y no números.
3. Una base para $V \otimes W$ está formada por todos los productos de los elementos de las bases de $V$ y $W$.

---

Caso 1: Producto tensorial de espacios de dimensión 2

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión 2 con bases $\{e_1, e_2\}$ y $\{f_1, f_2\}$, respectivamente.

1. Definición formal: El espacio $V \otimes W$ tiene dimensión $2 \cdot 2 = 4$. Su base es:

   $$\{e_1 \otimes f_1, e_1 \otimes f_2, e_2 \otimes f_1, e_2 \otimes f_2\}.$$

2. Ejemplo: Un tensor en $V \otimes W$ puede expresarse como:

   $$T = a_{11} (e_1 \otimes f_1) + a_{12} (e_1 \otimes f_2) + a_{21} (e_2 \otimes f_1) + a_{22} (e_2 \otimes f_2),$$

   donde $a_{ij} \in \mathbb{R}$.

   Si $a_{11} = 1$, $a_{12} = 2$, $a_{21} = 3$, $a_{22} = 4$, entonces:

   $$T = (e_1 \otimes f_1) + 2 (e_1 \otimes f_2) + 3 (e_2 \otimes f_1) + 4 (e_2 \otimes f_2).$$

---

Caso 2: Producto tensorial de espacios de dimensión 3

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión 3 con bases $\{e_1, e_2, e_3\}$ y $\{f_1, f_2, f_3\}$, respectivamente.

1. Definición formal: El espacio $V \otimes W$ tiene dimensión $3 \cdot 3 = 9$. Su base es:

   $$\{e_1 \otimes f_1, e_1 \otimes f_2, e_1 \otimes f_3, e_2 \otimes f_1, e_2 \otimes f_2, e_2 \otimes f_3, e_3 \otimes f_1, e_3 \otimes f_2, e_3 \otimes f_3\}.$$

2. Ejemplo: Un tensor en $V \otimes W$ puede escribirse como:

   $$T = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_{ij} (e_i \otimes f_j),$$

   donde $a_{ij} \in \mathbb{R}$.

   Si $a_{11} = 1$, $a_{12} = 0$, $a_{13} = 2$, $a_{21} = 3$, $a_{22} = 4$, $a_{23} = 0$, $a_{31} = 1$, $a_{32} = -1$, $a_{33} = 2$, entonces:

   $$T = (e_1 \otimes f_1) + 2 (e_1 \otimes f_3) + 3 (e_2 \otimes f_1) + 4 (e_2 \otimes f_2) + (e_3 \otimes f_1) - (e_3 \otimes f_2) + 2 (e_3 \otimes f_3).$$

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Propiedades del producto tensorial

1. Dimensión: Si $V$ tiene dimensión $n$ y $W$ tiene dimensión $m$, entonces $V \otimes W$ tiene dimensión $n \cdot m$.
2. Bilinealidad: Las operaciones en $V \otimes W$ son lineales respecto a los vectores de $V$ y $W$.
3. Producto canónico: Si $v = a_1 e_1 + a_2 e_2$ en $V$ y $w = b_1 f_1 + b_2 f_2$ en $W$, entonces: $$v \otimes w = \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 a_i b_j (e_i \otimes f_j).$$

¿Te interesa explorar algún ejemplo más específico o propiedades adicionales del producto tensorial?

 PREGUNTA

 Quiero saber cómo se expresa en notación tensorial el producto de matrices. Limítate tanto en la teoría como en los ejemplos, a matrices 2x2

 RESPUESTA

Producto de matrices en notación tensorial (caso $2 \times 2$)

El producto de matrices puede interpretarse en términos de tensores, utilizando la notación indicial para describir las operaciones. Aquí nos limitamos a matrices $2 \times 2$.

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Definición teórica del producto de matrices

Sean $A = [a_{ij}]$ y $B = [b_{ij}]$ matrices $2 \times 2$, donde las entradas de $A$ son $a_{ij}$ y las de $B$ son $b_{ij}$. El producto de matrices $C = A \cdot B$ da como resultado otra matriz $C = [c_{ij}]$, donde cada entrada $c_{ij}$ se define como:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} b_{kj}.$$

• Aquí, $i$ y $j$ son los índices de las filas y columnas de $C$, respectivamente.
• $k$ es el índice de suma que recorre las columnas de $A$ y las filas de $B$.

Esta notación compacta, conocida como convención de Einstein, omite el símbolo de suma ($\sum$) bajo el acuerdo de que los índices repetidos implican sumas sobre el rango del índice.

---

Ejemplo con matrices $2 \times 2$

Sean las matrices:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}.$$

El producto $C = A \cdot B$ tiene entradas:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} b_{kj}.$$

Para cada entrada de $C$:

1. $c_{11} = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} = (1)(5) + (2)(7) = 5 + 14 = 19$,
2. $c_{12} = a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} = (1)(6) + (2)(8) = 6 + 16 = 22$,
3. $c_{21} = a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} = (3)(5) + (4)(7) = 15 + 28 = 43$,
4. $c_{22} = a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$.

Por lo tanto, el resultado es:

$$C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}.$$

---

Expresión en notación tensorial

En términos de notación tensorial, el producto de matrices se escribe como:

$$C_{ij} = A_{ik} B_{kj},$$

donde:

• $C_{ij}$ es la entrada $i,j$ de la matriz $C$,
• $A_{ik}$ es la entrada $i,k$ de la matriz $A$,
• $B_{kj}$ es la entrada $k,j$ de la matriz $B$,
• $k$ es el índice que se suma.

En el ejemplo dado:

$$C_{11} = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21}, \quad C_{12} = A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22},$$ $$C_{21} = A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21}, \quad C_{22} = A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22}.$$

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Ventajas de la notación tensorial

1. Generalidad: La expresión es válida para matrices de cualquier dimensión, no solo $2 \times 2$.
2. Simplicidad: Reduce la escritura al eliminar el símbolo de suma explícito.
3. Claridad conceptual: Facilita la conexión entre matrices y tensores, mostrando que el producto de matrices es una operación natural en el álgebra tensorial.

 PREGUNTA

 Quiero saber cómo se expresa en notación tensorial el producto de matrices. Limítate tanto en la teoría como en los ejemplos, a matrices 2x2

RESPUESTA

 

Producto de matrices en notación tensorial (caso $2 \times 2$)

El producto de matrices puede interpretarse en términos de tensores, utilizando la notación indicial para describir las operaciones. Aquí nos limitamos a matrices $2 \times 2$.

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Definición teórica del producto de matrices

Sean $A = [a_{ij}]$ y $B = [b_{ij}]$ matrices $2 \times 2$, donde las entradas de $A$ son $a_{ij}$ y las de $B$ son $b_{ij}$. El producto de matrices $C = A \cdot B$ da como resultado otra matriz $C = [c_{ij}]$, donde cada entrada $c_{ij}$ se define como:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} b_{kj}.$$

• Aquí, $i$ y $j$ son los índices de las filas y columnas de $C$, respectivamente.
• $k$ es el índice de suma que recorre las columnas de $A$ y las filas de $B$.

Esta notación compacta, conocida como convención de Einstein, omite el símbolo de suma ($\sum$) bajo el acuerdo de que los índices repetidos implican sumas sobre el rango del índice.

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Ejemplo con matrices $2 \times 2$

Sean las matrices:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}.$$

El producto $C = A \cdot B$ tiene entradas:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} b_{kj}.$$

Para cada entrada de $C$:

1. $c_{11} = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} = (1)(5) + (2)(7) = 5 + 14 = 19$,
2. $c_{12} = a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} = (1)(6) + (2)(8) = 6 + 16 = 22$,
3. $c_{21} = a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} = (3)(5) + (4)(7) = 15 + 28 = 43$,
4. $c_{22} = a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$.

Por lo tanto, el resultado es:

$$C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}.$$

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Expresión en notación tensorial

En términos de notación tensorial, el producto de matrices se escribe como:

$$C_{ij} = A_{ik} B_{kj},$$

donde:

• $C_{ij}$ es la entrada $i,j$ de la matriz $C$,
• $A_{ik}$ es la entrada $i,k$ de la matriz $A$,
• $B_{kj}$ es la entrada $k,j$ de la matriz $B$,
• $k$ es el índice que se suma.

En el ejemplo dado:

$$C_{11} = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21}, \quad C_{12} = A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22},$$ $$C_{21} = A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21}, \quad C_{22} = A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22}.$$

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Ventajas de la notación tensorial

1. Generalidad: La expresión es válida para matrices de cualquier dimensión, no solo $2 \times 2$.
2. Simplicidad: Reduce la escritura al eliminar el símbolo de suma explícito.
3. Claridad conceptual: Facilita la conexión entre matrices y tensores, mostrando que el producto de matrices es una operación natural en el álgebra tensorial. 

PREGUNTA

 

Tengo la ecuación matricial AX=B, donde A y B son matrices 2x2 y X es una matriz columna 2x1. A y B se suponen conocidas y nuestra tarea es hallar X a) Resuelve esta tarea en lenguaje matricial b) Resuelve esa misma tarea en lenguaje indicial, usando pos supuesto, también el convenio de Einstein (me interesa mucho lo de los subíndices arriba y abajo; explícalo con detalle, por favor) c) Restringiendo la explicación a matrices 2x2, explica con detalle cómo, en general se expresa la inversa de una matriz dada A

RESPUESTA

 

Parte (a): Resolución en lenguaje matricial

La ecuación matricial $A X = B$, donde:

• $A$ es una matriz $2 \times 2$,
• $X$ es una matriz columna $2 \times 1$,
• $B$ es una matriz columna $2 \times 1$,

puede resolverse si $A$ es invertible ($\det(A) \neq 0$). La solución se obtiene multiplicando por $A^{-1}$ en ambos lados:

$$X = A^{-1} B,$$

donde $A^{-1}$ es la matriz inversa de $A$.

Si $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$, la solución es:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix},$$

donde $\det(A) = ad - bc$. Sustituyendo:

$$X = A^{-1} B = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}.$$

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Parte (b): Resolución en lenguaje indicial usando notación tensorial

En notación tensorial, la ecuación matricial $A X = B$ se escribe como:

$$A_{ij} X^j = B_i,$$

donde:

• $A_{ij}$ son las entradas de la matriz $A$,
• $X^j$ son las componentes del vector columna $X$,
• $B_i$ son las componentes del vector columna $B$,
• $i$ y $j$ toman los valores $1, 2$,
• El convenio de Einstein implica suma sobre índices repetidos (aquí $j$).

Para resolver esta ecuación:

1. Si $A$ es invertible, existe la matriz inversa $A^{ij}$, que satisface:

   $$A^{ik} A_{kj} = \delta^i_j,$$

   donde $\delta^i_j$ es la delta de Kronecker ($\delta^i_j = 1$ si $i = j$, $\delta^i_j = 0$ si $i \neq j$).

2. Multiplicando ambos lados de $A_{ij} X^j = B_i$ por $A^{ki}$:

   $$A^{ki} A_{ij} X^j = A^{ki} B_i.$$

3. Usando la propiedad $A^{ki} A_{ij} = \delta^k_j$, se simplifica a:

   $$X^k = A^{ki} B_i.$$

En esta expresión:

• $A^{ki}$ es la matriz inversa de $A$ en notación indicial,
• $B_i$ es el término conocido,
• $X^k$ es la incógnita que estamos resolviendo.

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Parte (c): Inversa de una matriz $2 \times 2$

Para una matriz $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, la matriz inversa $A^{-1}$ existe si y solo si $\det(A) \neq 0$, donde:

$$\det(A) = ad - bc.$$

La fórmula para la matriz inversa es:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$

Propiedades de la matriz inversa:

1. Definición: $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, donde $I$ es la matriz identidad.
2. Simetría: La inversa de $A^{-1}$ es $A$, es decir, $(A^{-1})^{-1} = A$.
3. Linealidad en el cálculo: La matriz inversa es lineal respecto a la operación de multiplicación de matrices.

Cálculo detallado (ejemplo):

Dada $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$:

1. Determinante:

   $$\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2.$$

2. Matriz inversa:

   $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}.$$

3. Verificación: Multiplicamos $A$ por $A^{-1}$ para comprobar:

   $$A A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-2) + (2)(1.5) & (1)(1) + (2)(-0.5) \\ (3)(-2) + (4)(1.5) & (3)(1) + (4)(-0.5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Por lo tanto, $A^{-1}$ está correctamente calculada.

 REPETIMOS, PERO AHORA CONSIDERANDO QUE TANTO A COMO B COMO X SON MATRICES 2X2

Resolución para $AX = B$, donde $A$, $B$, y $X$ son matrices $2 \times 2$

Ahora consideramos que $X$ también es una matriz $2 \times 2$. Esto afecta tanto la interpretación de la ecuación como la forma de resolverla. A continuación, revisamos cada parte del problema en este nuevo contexto.

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Parte (a): Resolución en lenguaje matricial

La ecuación matricial es:

$$AX = B,$$

donde $A, X, B$ son matrices $2 \times 2$. Si $A$ es invertible ($\det(A) \neq 0$), podemos resolver para $X$ multiplicando por $A^{-1}$ desde la izquierda:

$$A^{-1}AX = A^{-1}B,$$

lo que da:

$$X = A^{-1}B.$$

Si conocemos $A$ y $B$, simplemente calculamos:

1. La inversa de $A$,
2. El producto matricial entre $A^{-1}$ y $B$.

Por ejemplo, si:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix},$$

entonces:

1. Calculamos la inversa de $A$ (como en la parte c del caso anterior):

   $$\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2, \quad A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}.$$

2. Multiplicamos $A^{-1}$ y $B$:

   $$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}.$$

Realizando el producto:

$$X = \begin{bmatrix} (-2)(5) + (1)(7) & (-2)(6) + (1)(8) \\ (1.5)(5) + (-0.5)(7) & (1.5)(6) + (-0.5)(8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 + 7 & -12 + 8 \\ 7.5 - 3.5 & 9 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}.$$

Por lo tanto, $X = \begin{bmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$.

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Parte (b): Resolución en lenguaje indicial usando notación tensorial

En notación tensorial, la ecuación $AX = B$ se escribe como:

$$A_{ik} X_{kj} = B_{ij}.$$

Aquí:

• $A_{ik}$: entrada de la fila $i$ y columna $k$ de $A$,
• $X_{kj}$: entrada de la fila $k$ y columna $j$ de $X$,
• $B_{ij}$: entrada de la fila $i$ y columna $j$ de $B$,
• Los índices $i, j, k$ recorren el rango $1, 2$,
• El convenio de Einstein implica suma sobre el índice $k$.

Para resolver esta ecuación, multiplicamos por la matriz inversa de $A$, denotada $A^{mi}$, desde la izquierda:

$$A^{mi} A_{ik} X_{kj} = A^{mi} B_{ij}.$$

Usando la propiedad de la matriz inversa:

$$A^{mi} A_{ik} = \delta^m_k,$$

donde $\delta^m_k$ es la delta de Kronecker ($\delta^m_k = 1$ si $m = k$, $\delta^m_k = 0$ si $m \neq k$), obtenemos:

$$\delta^m_k X_{kj} = X_{mj}.$$

Por lo tanto:

$$X_{mj} = A^{mi} B_{ij}.$$

Esta es la expresión general para calcular las componentes de $X$ en términos de las matrices $A$ y $B$.

Propiedades de índices:

1. $i, j$: identifican las filas y columnas de las matrices $B$ y $X$.
2. $k$: índice de suma que conecta las filas de $A$ con las filas de $X$.

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Parte (c): Inversa de una matriz $2 \times 2$

La matriz inversa de $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ es:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{con } \det(A) = ad - bc.$$

Si $\det(A) \neq 0$, esta inversa cumple:

$$A A^{-1} = I, \quad A^{-1} A = I,$$

donde $I$ es la matriz identidad.

Ejemplo de cálculo: Para $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$:

1. Determinante:

   $$\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = -2.$$

2. Inversa:

   $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}.$$

Verificación:

$$A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\mathrm{.}$$$$\mathrm{ }$$$$\mathrm{ }$$$$\mathrm{ }$$$$A A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

$$PREGUNTA$$

$$Me ha interesado muchísmo este último ejercicio y las variantes que se pueden hacer. Por favor, repite los apartados a) y b) pero ahora considerando que A es matriz 2x2 como antes, pero que tanto X como B son matrices 2x1 (es decir, vectores columna)$$

$$RESPUESTA$$

Vamos a resolver la ecuación matricial $AX = B$ considerando que:

• $A$ es una matriz $2 \times 2$,
• $X$ y $B$ son vectores columna $2 \times 1$.

Esto afecta tanto la notación como los pasos de resolución.

---

Parte (a): Resolución en lenguaje matricial

La ecuación es:

$$AX = B,$$

donde:

• $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,
• $X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$,
• $B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$.

Si $A$ es invertible ($\det(A) \neq 0$), podemos encontrar $X$ multiplicando por $A^{-1}$ desde la izquierda:

$$X = A^{-1} B.$$

Cálculo detallado (ejemplo):

Supongamos:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}.$$

1. Calculamos la inversa de $A$:

   $$\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2,$$ $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}.$$

2. Multiplicamos $A^{-1}$ por $B$:

   $$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}.$$

   Realizando el producto:

   $$X = \begin{bmatrix} (-2)(5) + (1)(6) \\ (1.5)(5) + (-0.5)(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 + 6 \\ 7.5 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4.5 \end{bmatrix}.$$

Por lo tanto:

$$X = \begin{bmatrix} -4 \\ 4.5 \end{bmatrix}.$$

---

Parte (b): Resolución en lenguaje indicial usando notación tensorial

En notación tensorial, la ecuación $AX = B$ se escribe como:

$$A_{ij} X^j = B_i,$$

donde:

• $A_{ij}$: entrada de la fila $i$ y columna $j$ de $A$,
• $X^j$: componente $j$-ésima del vector columna $X$,
• $B_i$: componente $i$-ésima del vector columna $B$,
• Los índices $i, j$ recorren $1, 2$,
• El convenio de Einstein implica suma sobre índices repetidos (aquí $j$).

Resolución:

Multiplicamos por la inversa de $A$, $A^{ki}$, desde la izquierda:

$$A^{ki} A_{ij} X^j = A^{ki} B_i.$$

Usando la propiedad $A^{ki} A_{ij} = \delta^k_j$, donde $\delta^k_j$ es la delta de Kronecker ($1$ si $k = j$, $0$ si $k \neq j$):

$$\delta^k_j X^j = X^k.$$

Por lo tanto:

$$X^k = A^{ki} B_i.$$

Esta fórmula nos da las componentes de $X$ como:

$$X^1 = A^{11} B_1 + A^{12} B_2,$$ $$X^2 = A^{21} B_1 + A^{22} B_2.$$

Ejemplo:

Con los valores de $A$ y $B$ anteriores:

• $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$,
• $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$,
• Las entradas de $A^{-1}$ son: $$A^{11} = -2, \quad A^{12} = 1, \quad A^{21} = 1.5, \quad A^{22} = -0.5.$$

Las componentes de $X$ se calculan como:

$$X^1 = (-2)(5) + (1)(6) = -10 + 6 = -4,$$ $$X^2 = (1.5)(5) + (-0.5)(6) = 7.5 - 3 = 4.5.$$

Por lo tanto:

$$X = \begin{bmatrix} -4 \\ 4.5 \end{bmatrix}.$$

$$PREGUNTA$$

 Tenemos un espacio vectorial de dimensión 2 y en él tenemos una base $\{e_1 , e_2 \}$ y nos dan un vector $\overrightarrow{A}= A^1 e_1 +A^2 e_2$   

Expresa el vector $\overrightarrow{A}$ siguiendo el convenio de Einstein

$$RESPUESTA$$

En el convenio de Einstein, los índices repetidos implican una suma implícita sobre el rango de esos índices. Esto simplifica la notación al evitar escribir explícitamente el signo de suma.

---

Vector en el espacio vectorial $V = \text{span}\{e_1, e_2\}$

Dado un vector $\vec{A}$ expresado en términos de una base $\{e_1, e_2\}$ como:

$$\vec{A} = A^1 e_1 + A^2 e_2,$$

en la notación del convenio de Einstein, se escribe como:

$$\vec{A} = A^i e_i,$$

donde:

• $i$ es un índice libre que toma los valores $1, 2$,
• $A^i$ son las componentes del vector $\vec{A}$ en la base $\{e_1, e_2\}$,
• $e_i$ son los vectores base asociados al índice $i$,
• La suma sobre $i$ es implícita debido al convenio de Einstein.

---

Ejemplo numérico

Supongamos que $\vec{A}$ tiene componentes $A^1 = 3$ y $A^2 = 4$ en la base $\{e_1, e_2\}$. Entonces, el vector es:

$$\vec{A} = A^i e_i = A^1 e_1 + A^2 e_2.$$

Sustituyendo:

$$\vec{A} = 3e_1 + 4e_2.$$

---

Notas importantes

1. Índices arriba y abajo:

   • En el convenio tensorial, los índices pueden aparecer como superíndices ($A^i$) o subíndices ($A_i$).
   • Aquí, usamos $A^i$ para denotar las componentes del vector $\vec{A}$ en la base $\{e_1, e_2\}$.

2. Dimensión del espacio:

   • Como el espacio es de dimensión $2$, los índices $i$ recorren únicamente los valores $1$ y $2$.

Esta notación resulta especialmente útil en dimensiones más altas o cuando se trabaja con tensores, donde la manipulación explícita de sumas se vuelve tediosa.

PREGUNTA

 Tenemos un espacio vectorial de dimensión 2 y en él tenemos una base $\{e_1 , e_2 \}$ y nos dan un vector $\overrightarrow{A}= A^1 e_1 +A^2 e_2$   y nos dan también otra base $\{e_{1^\prime} , e_{2^\prime}\}$ y además nos dicen que el cambio de base de la primera base a la segunda viene deado por la matriz M (cuyo determinante es distinto de cero) Expresa esta situación en lenguaje matemático usando el convenio de Einstein$$$$

$$RESPUESTA$$

Expresaremos esta situación de cambio de base en lenguaje tensorial utilizando el convenio de Einstein.

---

1. Vector en la base inicial

En la base $\{e_1, e_2\}$, el vector $\vec{A}$ se expresa como:

$$\vec{A} = A^i e_i,$$

donde:

• $A^i$ son las componentes del vector en la base inicial,
• $e_i$ son los vectores base, con $i = 1, 2$.

---

2. Relación entre las bases

La relación entre las dos bases $\{e_1, e_2\}$ y $\{e_{1'}, e_{2'}\}$ está dada por la matriz $M = [M^i_{j'}]$, donde:

$$e_{i'} = M^j_{i'} e_j.$$

Aquí:

• $M^j_{i'}$ son los coeficientes que describen el cambio de base, es decir, cómo se expresan los vectores de la base nueva $\{e_{1'}, e_{2'}\}$ en términos de la base inicial $\{e_1, e_2\}$,
• El índice $i'$ indica la base nueva, y el índice $j$ indica la base inicial.

---

3. Componentes del vector en la nueva base

Las componentes del vector $\vec{A}$ en la base nueva $\{e_{1'}, e_{2'}\}$ se denotan como $A^{i'}$. Usando la relación entre las bases, el vector $\vec{A}$ se puede escribir en la base nueva:

$$\vec{A} = A^{i'} e_{i'}.$$

Sustituyendo $e_{i'} = M^j_{i'} e_j$, obtenemos:

$$\vec{A} = A^{i'} M^j_{i'} e_j.$$

Comparando esta expresión con $\vec{A} = A^i e_i$, concluimos que las componentes del vector en la nueva base están relacionadas con las componentes en la base inicial mediante:

$$A^{i'} = M^j_{i'} A^j.$$

---

4. Resumen en notación tensorial

El cambio de base se describe completamente mediante:

1. Relación entre las bases:

   $$e_{i'} = M^j_{i'} e_j.$$

2. Transformación de las componentes del vector:

   $$A^{i'} = M^j_{i'} A^j.$$

---

Ejemplo numérico (opcional)

Si la matriz de cambio de base es:

$$M = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},$$

y el vector $\vec{A}$ tiene componentes en la base inicial:

$$A^1 = 3, \quad A^2 = 4,$$

entonces, las componentes en la nueva base son:

$$A^{1'} = M^1_{1'} A^1 + M^2_{1'} A^2 = (2)(3) + (0)(4) = 6,$$ $$A^{2'} = M^1_{2'} A^1 + M^2_{2'} A^2 = (1)(3) + (1)(4) = 7.$$

Por lo tanto, en la base nueva:

$$A^{i'} = \begin{bmatrix} 6 \\ 7 \end{bmatrix}.$$

$$PREGUNTA$$

$$Hay, creo, cierta diferencia entre la notación que estás usando y la que usa mi profesor, que es la que me interesa aprender. Te voy a dar como contexto los vídeos de las clases que estoy siguiendo, aunque no sé si podrás extraer información de ahí. Las clases están en https://www.youtube.com/watch?v=NwEDYwZ5FzQ&list=PLAnA8FVrBl8Apg86Ve2IxIuUVdF2cFrQv&index=1$$
El profesor cuyas clases estoy siguiendo utiliza la regla: Si M es la matriz del cambio de base de $ \{e_i \}$ a $ \{e_{i^\prime} \} $ entonces eso significa que multiplicando matricialmente M por las coordenadas de $ \overrightarrow{A}$ en la base $ \{e_i \}$ obtenemos las coordenadas de dicho vector en la base $ \{e_{i^\prime} \} $, es decir $ \begin{pmatrix}{A^{1^{\prime}}}\\{A^{2^{\prime}}}\end{pmatrix}  =  M \begin{pmatrix}{A^1}\\{A^2}\end{pmatrix}$

$$Aquí $M=\left({M_j^{i^{\prime} }}\right) $$$Aquí M=(Mi′j)
$$$$

$$Hay que darse cuenta de que en esta matriz el subíndice j está "sin prima" y el superíndice i está "con prima" indicando que M transforma coordenadas en la base vieja "sin prima" en coordenadas en la base nueva "con prima"$$
¿Es esto suficiente contexto para cambiar algunas fórmulas de manera que coincidan con las de mi profesor?
Inténtalo, a ver qué ocurre

$$RESPUESTA$$

Gracias por compartir el contexto. Ahora entiendo cómo tu profesor organiza los índices en la matriz de cambio de base y cómo se relaciona con la notación tensorial. Vamos a adaptar la respuesta para que sea consistente con esa convención. La clave es que la matriz de cambio de base transforma coordenadas de la base vieja a la base nueva usando la notación matricial que describes.

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1. Vector en la base inicial y la nueva base

Dado el vector $\vec{A}$, en la base $\{e_i\}$ sus coordenadas son $A^i$, y en la base $\{e_{i'}\}$, sus coordenadas son $A^{i'}$. La relación entre las coordenadas en las dos bases viene dada por la matriz $M = (M_{j}^{i'})$, con las siguientes propiedades:

• El subíndice $j$ indica la base vieja ($\{e_j\}$),
• El superíndice $i'$ indica la base nueva ($\{e_{i'}\}$).

La transformación de coordenadas sigue la regla:

$$A^{i'} = M_{j}^{i'} A^j.$$

Esta expresión significa que:

• Multiplicamos las coordenadas $A^j$ del vector en la base vieja por los elementos de la matriz $M$ (que convierte de la base vieja a la nueva),
• Obtenemos como resultado las coordenadas $A^{i'}$ en la base nueva.

---

2. Relación entre las bases

La relación entre los vectores base sigue la regla inversa a las coordenadas del vector, lo cual se expresa como:

$$e_{i'} = M_{i'}^j e_j.$$

Aquí:

• $M_{i'}^j$ son los coeficientes que transforman vectores base de la base vieja $\{e_j\}$ a la base nueva $\{e_{i'}\}$.

---

3. Notación matricial

Si representamos las coordenadas del vector $\vec{A}$ en la base inicial como una columna:

$$A = \begin{bmatrix} A^1 \\ A^2 \end{bmatrix},$$

y las coordenadas del mismo vector en la base nueva como:

$$A' = \begin{bmatrix} A^{1'} \\ A^{2'} \end{bmatrix},$$

la relación entre ellas es:

$$A' = M A,$$

donde $M = \begin{bmatrix} M_{1}^{1'} & M_{2}^{1'} \\ M_{1}^{2'} & M_{2}^{2'} \end{bmatrix}$.

---

4. Ejemplo numérico

Supongamos que:

$$M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}.$$

Entonces, las coordenadas en la nueva base son:

$$A' = M A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(3) + (1)(4) \\ (0)(3) + (1)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 4 \end{bmatrix}.$$

Por lo tanto:

$$A^{1'} = 10, \quad A^{2'} = 4.$$

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5. Resumen adaptado a tu profesor

1. La transformación de coordenadas en notación tensorial es:

   $$A^{i'} = M_{j}^{i'} A^j,$$

   donde $M_{j}^{i'}$ transforma coordenadas de la base vieja ($j$) a la base nueva ($i'$).

2. La transformación de los vectores base es:

   $$e_{i'} = M_{i'}^j e_j,$$

   donde $M_{i'}^j$ transforma vectores base de la base vieja ($j$) a la base nueva ($i'$).

3. En notación matricial:

   $$A' = M A,$$

   con $M = (M_{j}^{i'})$.

Esta notación debería coincidir con la convención que utiliza tu profesor en las clases que compartiste. ¿Te parece claro así? 😊

PREGUNTA:

Voy a adjuntar un documento nuevo para que sirva de contexto, al igual que todos  los que he mencionado en la conversación y los que tú encuentres por tu cuenta. Este documento está escrito en inglés.

La tarea que te pido está relacionada con el documento adjunto. Se trata de traducir al español las páginas que te indico del pdf :100, 101,102, 103 y la página 104 hasta que empieza a hablar de coordenadas afines, que por ahora no me interesan. Pero además te pido que me presentes las páginas indicadas sustituyendo las expresiones generales que aparecen (con $n$ términos) por las mismas expresiones, pero hasta $n=2.$  Por ejemplo si aparece la enumeración $e_1 , .... , e_n$  quiero que sólo pongas $e_1, e_2$  y así con todo.

Como siempre, ten en cuenta todo el contexto que te doy y el de la conversación que estamos manteniendo.

$$RESPUESTA$$

Traducción y Adaptación: Transformación de Coordenadas Vectoriales

Introducción a la Transformación de Coordenadas

Dado un espacio vectorial de dimensión 2 con dos bases distintas $\{e_1, e_2\}$ y $\{e_{1'}, e_{2'}\}$, queremos expresar cómo las coordenadas de un vector cambian al pasar de una base a la otra. Usaremos la notación tensorial junto con el convenio de Einstein para simplificar la representación de las ecuaciones.

Coordenadas en Diferentes Bases

Sea $\mathbf{v}$ un vector en el espacio. Sus coordenadas en la base $\{e_1, e_2\}$ están dadas por:

$$\mathbf{v} = v^i e_i, \quad i = 1, 2,$$

donde $v^i$ son las coordenadas del vector en esta base, y usamos el convenio de Einstein, que implica suma sobre índices repetidos.

En la base $\{e_{1'}, e_{2'}\}$, el mismo vector se expresa como:

$$\mathbf{v} = v^{i'} e_{i'}, \quad i' = 1', 2'.$$

Relación entre las Bases

La nueva base $\{e_{1'}, e_{2'}\}$ puede escribirse en términos de la base $\{e_1, e_2\}$:

$$e_{i'} = M_{i'}^j e_j,$$

donde $M_{i'}^j$ son los coeficientes de transformación que relacionan ambas bases. Esta matriz $M$ debe ser no singular (es decir, $\det M \neq 0$) para que las bases sean linealmente independientes.

Transformación de las Coordenadas

Usando la relación entre las bases, obtenemos las coordenadas $v^{i'}$ en la nueva base en función de las coordenadas $v^i$ en la base original:

$$v^{i'} = M_{i'}^j v^j.$$

De forma similar, si conocemos $v^{i'}$, podemos recuperar $v^i$ usando la inversa de la matriz $M$:

$$v^i = (M^{-1})_j^{i'} v^{i'}.$$

Propiedades Importantes

1. Posición de los índices: El subíndice de $M$ indica la base "antigua", y el superíndice indica la base "nueva". Esto asegura que las coordenadas transformadas sigan correctamente la notación tensorial.
2. Convenio de Einstein: Se asume suma sobre índices repetidos, con uno en posición superior y el otro en posición inferior.
3. Inversión: La matriz de cambio de base $M$ es invertible, y su inversa satisface $(M^{-1})_j^{i'} M_{i'}^k = \delta_j^k$, donde $\delta_j^k$ es el delta de Kronecker.

Ejemplo en Dimensión 2

Consideremos $\mathbf{v} = 3e_1 + 4e_2$, con coordenadas $v^1 = 3$ y $v^2 = 4$ en la base $\{e_1, e_2\}$. Supongamos que el cambio de base viene dado por:

$$M_{i'}^j = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Las nuevas coordenadas $v^{i'}$ en la base $\{e_{1'}, e_{2'}\}$ son:

$$v^{1'} = 2v^1 + v^2 = 2(3) + 4 = 10, \quad v^{2'} = -v^1 + v^2 = -(3) + 4 = 1.$$

Por lo tanto, $\mathbf{v}$ se expresa en la nueva base como:

$$\mathbf{v} = 10e_{1'} + 1e_{2'}.$$

Inversión de la Transformación

La inversa de $M$ es:

$$M^{-1} = \frac{1}{\det M} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \det M = (2)(1) - (-1)(1) = 3.$$

Por lo tanto:

$$M^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Usando $M^{-1}$, recuperamos las coordenadas originales:

$$v^1 = \frac{1}{3}(10) - \frac{1}{3}(1) = 3, \quad v^2 = \frac{1}{3}(10) + \frac{2}{3}(1) = 4.$$

$$PREGUNTA:$$

$$¿Podrías repetir la traducción anterior pero ahora:$$

$$1) traduciendo al español (igual que antes)$$

$$2) realizando el único cambio de transformar las fórmulas generales que llegan$$

$$hasta $n$ o bien hasta $n^\prime$ o bien hasta $n^\prime\prime$ por fórmulas$$

$$que sólo lleguen hasta $2$ o en su caso hasta $2^\prime$ o bien$$

$$hasta $2^\prime\prime$$$

$$3) No haciendo ningún cambio más aparte de los ya dichos, sin poner ningún ejemplo.$$

$$Para este caso concreto de tarea que te pido creo que en realidad todo el contexto de anteriores entradas de la conversación no es relevante$$

$$RESPUESTA$$

Traducción y Adaptación: Transformación de Coordenadas Vectoriales

Introducción a la Transformación de Coordenadas

Dado un espacio vectorial de dimensión 2 con dos bases distintas $\{e_1, e_2\}$ y $\{e_{1'}, e_{2'}\}$, queremos expresar cómo las coordenadas de un vector cambian al pasar de una base a la otra. Usaremos la notación tensorial junto con el convenio de Einstein para simplificar la representación de las ecuaciones.

Coordenadas en Diferentes Bases

Sea $\mathbf{v}$ un vector en el espacio. Sus coordenadas en la base $\{e_1, e_2\}$ están dadas por:

$$\mathbf{v} = v^i e_i, \quad i = 1, 2,$$

donde $v^i$ son las coordenadas del vector en esta base, y usamos el convenio de Einstein, que implica suma sobre índices repetidos.

En la base $\{e_{1'}, e_{2'}\}$, el mismo vector se expresa como:

$$\mathbf{v} = v^{i'} e_{i'}, \quad i' = 1', 2'.$$

Relación entre las Bases

La nueva base $\{e_{1'}, e_{2'}\}$ puede escribirse en términos de la base $\{e_1, e_2\}$:

$$e_{i'} = M_{i'}^j e_j, \quad i' = 1', 2'; \; j = 1, 2.$$

Transformación de las Coordenadas

Usando la relación entre las bases, obtenemos las coordenadas $v^{i'}$ en la nueva base en función de las coordenadas $v^i$ en la base original:

$$v^{i'} = M_{i'}^j v^j, \quad i' = 1', 2'; \; j = 1, 2.$$

De forma similar, si conocemos $v^{i'}$, podemos recuperar $v^i$ usando la inversa de la matriz $M$:

$$v^i = (M^{-1})_j^{i'} v^{i'}, \quad i = 1, 2; \; i' = 1', 2'.$$

Propiedades Importantes

1. Posición de los índices: El subíndice de $M$ indica la base "antigua", y el superíndice indica la base "nueva". Esto asegura que las coordenadas transformadas sigan correctamente la notación tensorial.
2. Convenio de Einstein: Se asume suma sobre índices repetidos, con uno en posición superior y el otro en posición inferior.
3. Inversión: La matriz de cambio de base $M$ es invertible, y su inversa satisface $(M^{-1})_j^{i'} M_{i'}^k = \delta_j^k$, donde $\delta_j^k$ es el delta de Kronecker, con $j = 1, 2; \; k = 1, 2$.

$2^3 + 3\pi = x_i ^j $  $e_i$  $e_{i^\prime}$     $e_{i^\prime} ^j$

$e_{i^\prime}=c_{i^\prime}^j  \cdot e_j$

$$$e_i$   $e_{i^\prime}$      $c_{i^\prime} ^j$    $e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j $$$ $$$$

$$[tex]e_i[/tex]   [tex]e_{i^\prime}[/tex]      [tex]c_{i^\prime} ^j[/tex]    [tex]e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j [/tex]$$

ei $$ALGUNOS SÍMBOLOS QUE ME PUEDEN SERVIR$$  ei′ $$$$      cji′             ei′=cji′⋅ej     

eiPREGUNTA   ei′      cji′ 

He hecho una pregunta incompleta por error: "En el contexto de las relaciones entre la notación indicial y la notación matricial, según hemos venimos conversando" y ahí le di al intro y me respondió enrollándose un montón

RESPUESTA

Las relaciones entre la notación indicial y la notación matricial son clave para conectar las fórmulas tensoriales abstractas con las operaciones concretas que solemos realizar con matrices. En el contexto de nuestras conversaciones, veamos cómo se relacionan estas dos formas de representar operaciones lineales y transformaciones de coordenadas.

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1. Notación indicial y notación matricial: concepto general

• En notación indicial, se trabaja con componentes individuales de vectores, tensores o matrices, denotados por índices ($i, j, k, \ldots$). El convenio de Einstein implica que los índices repetidos implican suma.
• En notación matricial, los objetos como vectores y matrices se representan como arreglos (matrices o vectores columna/fila), y las operaciones se escriben en términos de productos y sumas matriciales.

Ambas notaciones describen las mismas operaciones, pero la notación indicial ofrece más flexibilidad para expresar relaciones abstractas entre tensores en distintas bases.

---

2. Ejemplo: cambio de base de vectores

Dado un vector $\vec{A}$, cuyas coordenadas en una base inicial $\{e_i\}$ son $A^j$, y en una base nueva $\{e_{i'}\}$ son $A^{i'}$, el cambio de base viene dado por la matriz de transformaci\u00f3n $M = (M_{j}^{i'})$.

En notación indicial:

El cambio de base se expresa como:

$$A^{i'} = M_{j}^{i'} A^j.$$

• $A^j$: coordenadas del vector en la base vieja,
• $M_{j}^{i'}$: coeficientes de transformación,
• $A^{i'}$: coordenadas del vector en la base nueva.

En notación matricial:

Representamos las coordenadas $A^j$ y $A^{i'}$ como vectores columna:

$$A = \begin{bmatrix} A^1 \\ A^2 \end{bmatrix}, \quad A' = \begin{bmatrix} A^{1'} \\ A^{2'} \end{bmatrix},$$

y la relación matricial es:

$$A' = M A,$$

donde $M = \begin{bmatrix} M_{1}^{1'} & M_{2}^{1'} \\ M_{1}^{2'} & M_{2}^{2'} \end{bmatrix}$.

---

3. Producto interno: notación indicial y matricial

Sea $\vec{A} = A^i e_i$ y $\vec{B} = B^i e_i$ dos vectores en un espacio vectorial de dimensión 2. Su producto interno en notación indicial es:

$$\langle \vec{A}, \vec{B} \rangle = g_{ij} A^i B^j,$$

donde $g_{ij}$ es la métrica asociada al espacio.

En notación matricial:

• Representamos $A^i$ y $B^i$ como vectores columna $A$ y $B$,
• La métrica $g_{ij}$ como una matriz $G$,
• Entonces:

$$\langle \vec{A}, \vec{B} \rangle = A^T G B.$$

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4. Inversión de relaciones en ambas notaciones

Si tenemos las coordenadas $A^{i'}$ en la base nueva, podemos recuperar las coordenadas $A^j$ en la base vieja usando la inversa de $M$.

En notación indicial:

$$A^j = (M^{-1})_i^{j} A^{i'},$$

donde $(M^{-1})_i^{j}$ son los elementos de la matriz inversa de $M$.

En notación matricial:

$$A = M^{-1} A',$$

donde $M^{-1}$ es la inversa de $M$.

---

5. Conexión: regla general

La notación indicial y matricial están relacionadas mediante:

1. Índices libres: En notación indicial, los índices libres (no repetidos) corresponden a las dimensiones del vector o matriz.
2. Índices repetidos: En notación matricial, los índices que se suman (índices repetidos en indicial) se representan por multiplicaciones matriciales.
3. Orden del tensor: El orden del tensor en notación indicial determina la estructura matricial (vector, matriz, etc.) en notación matricial.

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¿Te gustaría que desarrolle un ejemplo concreto o alguna operación más avanzada en ambas notaciones? 😊

PREGUNTA:

Quiero saber cómo es la matriz  teórica  $M_{i^\prime} ^j$ , a ver si puedes escribirla y además darme el código LaTeX 

 Quiero saber cómo es la matriz teórica $M_{i^\prime} ^j$ , a ver si puedes escribirla y además darme el código LaTeX 

La matriz teórica $M_{i^\prime}^j$ representa los coeficientes de transformación del cambio de base de un espacio vectorial de dimensión 2. Cada entrada de esta matriz indica cómo las coordenadas en la base vieja ($\{e_1, e_2\}$) contribuyen a las coordenadas en la base nueva ($\{e_{1^\prime}, e_{2^\prime}$).

---

Matriz $M_{i^\prime}^j$ en notación general

Si trabajamos con un espacio vectorial de dimensión 2, la matriz $M_{i^\prime}^j$ es una matriz $2 \times 2$, con las siguientes entradas:

$$M_{i^\prime}^j = \begin{bmatrix} M_{1^\prime}^1 & M_{2^\prime}^1 \\ M_{1^\prime}^2 & M_{2^\prime}^2 \end{bmatrix}.$$

Aquí:

• Los subíndices ($1^\prime, 2^\prime$) indican la nueva base $\{e_{1^\prime}, e_{2^\prime}\}$,
• Los superíndices ($1, 2$) indican la base original $\{e_1, e_2\}$.

Cada coeficiente $M_{i^\prime}^j$ describe cómo se combina el $j$-ésimo vector de la base vieja para formar el $i^\prime$-ésimo vector de la base nueva.

---

Código LaTeX para la matriz $M_{i^\prime}^j$

Aquí tienes el código para escribir esta matriz en LaTeX:

\[
M_{i^\prime}^j =
\begin{bmatrix}
M_{1^\prime}^1 & M_{2^\prime}^1 \\
M_{1^\prime}^2 & M_{2^\prime}^2
\end{bmatrix}.
\]

Este código produce:

$$M_{i^\prime}^j = \begin{bmatrix} M_{1^\prime}^1 & M_{2^\prime}^1 \\ M_{1^\prime}^2 & M_{2^\prime}^2 \end{bmatrix}.$$

---

¿Te gustaría que añada ejemplos numéricos o que desarrolle un caso concreto con vectores de base? 😊

 

 

 

[tex]e_i[/tex]   [tex]e_{i^\prime}[/tex]      [tex]c_{i^\prime} ^j[/tex]    [tex]e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j [/tex]

  [tex]e_i[/tex]   [tex]e_{i^\prime}[/tex]      [tex]c_{i^\prime} ^j[/tex]    [tex]e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j [/tex]

[tex]e_i[/tex]   [tex]e_{i^\prime}[/tex]      [tex]c_{i^\prime} ^j[/tex]    [tex]e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j [/tex][tex]e_i[/tex]   [tex]e_{i^\prime}[/tex]      [tex]c_{i^\prime} ^j[/tex]    [tex]e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j [/tex]

 

[tex]e_i[/tex]   [tex]e_{i^\prime}[/tex]      [tex]c_{i^\prime} ^j[/tex]    [tex]e_{i^\prime} = c_{i^\prime} ^j  \cdot e_j [/tex]