BOORRRRADOORR PARRA LOS COMPLEJOS

 ENTRADA AUXILIAR

DEFINICIONES, TEOREMAS, PROPOSICIONES, LEMAS, COROLARIOS DEL TEMA 36

1. Definición 36.1 (Curva cerrada positivamente orientada):
   Una curva cerrada en el plano complejo $\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$ se dice positivamente orientada si se recorre en sentido antihorario.

2. Definición 36.2 (Dominio simplemente conexo):
   Un dominio $D\subseteq \mathbb{C}$ es simplemente conexo si cualquier curva cerrada contenida en $D$ puede deformarse continuamente dentro de $D$ hasta convertirse en un punto.

3. Definición 36.3 (Vecindad de un punto):
   Una vecindad de un punto $z_0\in \mathbb{C}$ es un disco abierto centrado en $z_0$, es decir, un conjunto de la forma:

   $$B(z_0,r)=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{\mid }z-z_0\mathrm{\mid }<r\}\mathrm{.}$$

4. Definición 36.4 (Función holomorfa en un dominio):
   Una función $f:D\to \mathbb{C}$ es holomorfa en un dominio $D\subseteq \mathbb{C}$ si es derivable en cada punto de $D$.

5. Teorema 36.0 (Teorema de Green):
   Sea $D\subset {\mathbb{R}}^2$ un dominio, y sea $C$ una curva cerrada, simple y positivamente orientada que es la frontera de $D$. Si $P$ y $Q$ son funciones de clase $C^1$ en $D$, entonces:

   $${\int }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y})dxdy\mathrm{.}$$

6. Teorema 36.1 (Teorema Integral de Cauchy):
   Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ y $\gamma$ es una curva cerrada, simple y positivamente orientada contenida completamente en $D$, entonces:

   $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

7. Proposición 36.1 (Independencia del contorno):
   Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ simplemente conexo, la integral de $f$ entre dos puntos $z_1$ y $z_2$ no depende del camino tomado, siempre que esté contenido en $D$.

8. Proposición 36.2 (Existencia de primitivas):
   Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, entonces $f$ admite una primitiva $F$ en $D$, es decir, existe $F$ tal que $F^{\mathrm{\prime }}(z)=f(z)$ para todo $z\in D$.

9. Proposición 36.3 (Deformación de contornos):
   Si $f$ es holomorfa en $D$, las integrales a lo largo de contornos que se pueden deformar uno en otro dentro de $D$ son iguales.

10. Proposición 36.4 (Integral a lo largo de la frontera de un triángulo):
    Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, y $T$ es un triángulo contenido en $D$, entonces la integral de $f$ a lo largo de la frontera de $T$ es igual a cero:

    $${\int }_{\mathrm{\partial }T}f(z)dz=0.$$

11. Proposición 36.5 (Propiedad de reducción a un punto):
    Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$, y $\gamma$ es un contorno cerrado que puede deformarse continuamente hasta reducirse a un punto dentro de $D$, entonces:

    $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

12. Corolario 36.1 (Integral en curvas interiores):
    Si $f$ es holomorfa en $D$ y ${\gamma }_1$ y ${\gamma }_2$ son dos curvas cerradas homotópicas en $D$, entonces:

    $${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz\mathrm{.}$$

13. Teorema 36.2 (Valor medio para integrales):
    Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces para cualquier $z_1$ en la frontera del disco, se cumple que:

    $$f(z_1)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_1}dz,$$

    donde $\gamma$ es la frontera del disco.

14. Lema 36.1 (Descomposición de una curva cerrada):
    Una curva cerrada $\gamma$ contenida en un dominio simplemente conexo $D$ puede descomponerse en curvas cerradas más pequeñas dentro de $D$, preservando la orientación.

15. Lema 36.2 (Integral en un disco):
    Si $f$ es holomorfa en un disco cerrado $\overline{B(z_0,r)}$ y $\gamma$ es la frontera de $B(z_0,r)$, orientada positivamente, entonces:

    $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

16. Lema 36.3 (Aproximación por polinomios):
    Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces $f$ puede aproximarse uniformemente por polinomios en cualquier subconjunto compacto de $B(z_0,r)$.

17. 1. Teorema 36.0 (Teorema de Green):
       Sea $D\subset {\mathbb{R}}^2$ un dominio, y sea $C$ una curva cerrada, simple y positivamente orientada que es la frontera de $D$. Si $P$ y $Q$ son funciones de clase $C^1$ en $D$, entonces:

       $${\int }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y})dxdy\mathrm{.}$$

    2. Teorema 36.1 (Teorema Integral de Cauchy):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ y $\gamma$ es una curva cerrada, simple y positivamente orientada contenida completamente en $D$, entonces:

       $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    3. Proposición 36.1 (Independencia del contorno):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ simplemente conexo, la integral de $f$ entre dos puntos $z_1$ y $z_2$ no depende del camino tomado, siempre que esté contenido en $D$.

    4. Proposición 36.2 (Existencia de primitivas):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, entonces $f$ admite una primitiva $F$ en $D$, es decir, existe $F$ tal que $F^{\mathrm{\prime }}(z)=f(z)$ para todo $z\in D$.

    5. Proposición 36.3 (Deformación de contornos):
       Si $f$ es holomorfa en $D$, las integrales a lo largo de contornos que se pueden deformar uno en otro dentro de $D$ son iguales.

    6. Proposición 36.4 (Integral a lo largo de la frontera de un triángulo):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, y $T$ es un triángulo contenido en $D$, entonces la integral de $f$ a lo largo de la frontera de $T$ es igual a cero:

       $${\int }_{\mathrm{\partial }T}f(z)dz=0.$$

    7. Proposición 36.5 (Propiedad de reducción a un punto):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$, y $\gamma$ es un contorno cerrado que puede deformarse continuamente hasta reducirse a un punto dentro de $D$, entonces:

       $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    8. Corolario 36.1 (Integral en curvas interiores):
       Si $f$ es holomorfa en $D$ y ${\gamma }_1$ y ${\gamma }_2$ son dos curvas cerradas homotópicas en $D$, entonces:

       $${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz\mathrm{.}$$

    9. Teorema 36.2 (Valor medio para integrales):
       Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces para cualquier $z_1$ en la frontera del disco, se cumple que:

       $$f(z_1)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_1}dz,$$

       donde $\gamma$ es la frontera del disco.

    10. Lema 36.1 (Descomposición de una curva cerrada):
        Una curva cerrada $\gamma$ contenida en un dominio simplemente conexo $D$ puede descomponerse en curvas cerradas más pequeñas dentro de $D$, preservando la orientación.

    11. Lema 36.2 (Integral en un disco):
        Si $f$ es holomorfa en un disco cerrado $\overline{B(z_0,r)}$ y $\gamma$ es la frontera de $B(z_0,r)$, orientada positivamente, entonces:

        $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    12. Lema 36.3 (Aproximación por polinomios):
        Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces $f$ puede aproximarse uniformemente por polinomios en cualquier subconjunto compacto de $B(z_0,r)$.

    13. Teorema 36.0 (Teorema de Green):
        Sea $D\subset {\mathbb{R}}^2$ un dominio, y sea $C$ una curva cerrada, simple y positivamente orientada que es la frontera de $D$. Si $P$ y $Q$ son funciones de clase $C^1$ en $D$, entonces:

        $${\int }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y})dxdy\mathrm{.}$$

    14. Teorema 36.1 (Teorema Integral de Cauchy):
        Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ y $\gamma$ es una curva cerrada, simple y positivamente orientada contenida completamente en $D$, entonces:

        $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    15. Proposición 36.1 (Independencia del contorno):
        Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ simplemente conexo, la integral de $f$ entre dos puntos $z_1$ y $z_2$ no depende del camino tomado, siempre que esté contenido en $D$.

    16. Proposición 36.2 (Existencia de primitivas):
        Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, entonces $f$ admite una primitiva $F$ en $D$, es decir, existe $F$ tal que $F^{\mathrm{\prime }}(z)=f(z)$ para todo $z\in D$.

    17. Proposición 36.3 (Deformación de contornos):
        Si $f$ es holomorfa en $D$, las integrales a lo largo de contornos que se pueden deformar uno en otro dentro de $D$ son iguales.

    18. Proposición 36.4 (Integral a lo largo de la frontera de un triángulo):
        Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, y $T$ es un triángulo contenido en $D$, entonces la integral de $f$ a lo largo de la frontera de $T$ es igual a cero:

        $${\int }_{\mathrm{\partial }T}f(z)dz=0.$$

    19. Proposición 36.5 (Propiedad de reducción a un punto):
        Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$, y $\gamma$ es un contorno cerrado que puede deformarse continuamente hasta reducirse a un punto dentro de $D$, entonces:

        $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    20. Corolario 36.1 (Integral en curvas interiores):
        Si $f$ es holomorfa en $D$ y ${\gamma }_1$ y ${\gamma }_2$ son dos curvas cerradas homotópicas en $D$, entonces:

        $${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz\mathrm{.}$$

    21. Teorema 36.2 (Valor medio para integrales):
        Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces para cualquier $z_1$ en la frontera del disco, se cumple que:

        $$f(z_1)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_1}dz,$$

        donde $\gamma$ es la frontera del disco.

    22. Lema 36.1 (Descomposición de una curva cerrada):
        Una curva cerrada $\gamma$ contenida en un dominio simplemente conexo $D$ puede descomponerse en curvas cerradas más pequeñas dentro de $D$, preservando la orientación.

    23. Lema 36.2 (Integral en un disco):
        Si $f$ es holomorfa en un disco cerrado $\overline{B(z_0,r)}$ y $\gamma$ es la frontera de $B(z_0,r)$, orientada positivamente, entonces:

        $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    24. Lema 36.3 (Aproximación por polinomios):
        Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces $f$ puede aproximarse uniformemente por polinomios en cualquier subconjunto compacto de $B(z_0,r)$.

    1. Teorema 36.0 (Teorema de Green):
       Sea $D\subset {\mathbb{R}}^2$ un dominio, y sea $C$ una curva cerrada, simple y positivamente orientada que es la frontera de $D$. Si $P$ y $Q$ son funciones de clase $C^1$ en $D$, entonces:

       $${\int }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y})dxdy\mathrm{.}$$

    2. Teorema 36.1 (Teorema Integral de Cauchy):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ y $\gamma$ es una curva cerrada, simple y positivamente orientada contenida completamente en $D$, entonces:

       $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    3. Proposición 36.1 (Independencia del contorno):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$ simplemente conexo, la integral de $f$ entre dos puntos $z_1$ y $z_2$ no depende del camino tomado, siempre que esté contenido en $D$.

    4. Proposición 36.2 (Existencia de primitivas):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, entonces $f$ admite una primitiva $F$ en $D$, es decir, existe $F$ tal que $F^{\mathrm{\prime }}(z)=f(z)$ para todo $z\in D$.

    5. Proposición 36.3 (Deformación de contornos):
       Si $f$ es holomorfa en $D$, las integrales a lo largo de contornos que se pueden deformar uno en otro dentro de $D$ son iguales.

    6. Proposición 36.4 (Integral a lo largo de la frontera de un triángulo):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio simplemente conexo $D$, y $T$ es un triángulo contenido en $D$, entonces la integral de $f$ a lo largo de la frontera de $T$ es igual a cero:

       $${\int }_{\mathrm{\partial }T}f(z)dz=0.$$

    7. Proposición 36.5 (Propiedad de reducción a un punto):
       Si $f$ es holomorfa en un dominio $D$, y $\gamma$ es un contorno cerrado que puede deformarse continuamente hasta reducirse a un punto dentro de $D$, entonces:

       $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    8. Corolario 36.1 (Integral en curvas interiores):
       Si $f$ es holomorfa en $D$ y ${\gamma }_1$ y ${\gamma }_2$ son dos curvas cerradas homotópicas en $D$, entonces:

       $${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz\mathrm{.}$$

    9. Teorema 36.2 (Valor medio para integrales):
       Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces para cualquier $z_1$ en la frontera del disco, se cumple que:

       $$f(z_1)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_1}dz,$$

       donde $\gamma$ es la frontera del disco.

    10. Lema 36.1 (Descomposición de una curva cerrada):
        Una curva cerrada $\gamma$ contenida en un dominio simplemente conexo $D$ puede descomponerse en curvas cerradas más pequeñas dentro de $D$, preservando la orientación.

    11. Lema 36.2 (Integral en un disco):
        Si $f$ es holomorfa en un disco cerrado $\overline{B(z_0,r)}$ y $\gamma$ es la frontera de $B(z_0,r)$, orientada positivamente, entonces:

        $${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

    12. Lema 36.3 (Aproximación por polinomios):
        Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces $f$ puede aproximarse uniformemente por polinomios en cualquier subconjunto compacto de $B(z_0,r)$.

    1. Si $f$ es holomorfa en un disco $B(z_0,r)$, entonces $f$ puede aproximarse uniformemente por polinomios en cualquier subconjunto compacto de $B(z_0,r)$.

       DUDAS SOBRE ANÁLISIS COMPLEJO

        Parece una tontería, pero ¿cómo se justifica la fórmula $dz=dx+idy$ ?

       Respuesta de ChatGPT

       No es una tontería en absoluto; de hecho, es una propiedad clave en análisis complejo y tiene sentido en el contexto del cálculo diferencial. Vamos a justificar la fórmula con precisión.

       Justificación de la fórmula $dz = dx + i dy$

       En análisis complejo, la variable compleja se expresa en términos de sus coordenadas reales:

       $$z = x + i y,$$

       donde $x$ y $y$ son funciones diferenciables de una variable real (por ejemplo, si estamos parametrizando una curva en el plano complejo).

       Ahora, si $z$ depende de un parámetro $t$, podemos diferenciar ambos lados:

       $$dz = d(x + i y).$$

       Usando la linealidad de la diferencial:

       $$dz = dx + i dy.$$

       Interpretación geométrica:

    2. $dx$ representa el pequeño cambio en la coordenada $x$.
    3. $dy$ representa el pequeño cambio en la coordenada $y$.
    4. Multiplicar $dy$ por $i$ lo rota $90^\circ$ en el plano complejo, lo que es consistente con la estructura de los números complejos.

    Ejemplo:
    Si $z$ sigue la trayectoria parametrizada $z(t) = x(t) + i y(t)$, entonces diferenciando en $t$:

    $$\frac{dz}{dt} = \frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt}.$$

    Multiplicando por $dt$, obtenemos:

    $$dz = dx + i dy.$$

    Esta es la justificación formal de la fórmula.

    RESPUESTA DE DEEPSEEK

    ¡Por supuesto! Vamos a profundizar en la justificación de la fórmula \( dz = dx + i \, dy \) y a explicar con más detalle cómo surge y por qué es importante. También veremos un ejemplo concreto para que quede completamente claro.
    
    ---
    
    ### **1. Definición de la diferencial en el plano complejo**
    En el análisis complejo, trabajamos con funciones de una variable compleja \( z = x + i y \), donde \( x \) e \( y \) son variables reales. La **diferencial \( dz \)** representa un cambio infinitesimal en \( z \), y se define en términos de los cambios infinitesimales en \( x \) e \( y \).
    
    Matemáticamente, la diferencial de \( z \) se expresa como:
    \[
    dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy.
    \]
    
    ---
    
    ### **2. Cálculo de las derivadas parciales de \( z \)**
    Dado que \( z = x + i y \), calculamos las derivadas parciales de \( z \) respecto a \( x \) e \( y \):
    
    - **Derivada parcial respecto a \( x \)**:
      \[
      \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x + i y) = 1.
      \]
      Aquí, \( y \) se trata como una constante porque estamos derivando respecto a \( x \).
    
    - **Derivada parcial respecto a \( y \)**:
      \[
      \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x + i y) = i.
      \]
      Aquí, \( x \) se trata como una constante porque estamos derivando respecto a \( y \).
    
    ---
    
    ### **3. Sustitución en la expresión de \( dz \)**
    Sustituyendo las derivadas parciales en la definición de \( dz \), obtenemos:
    \[
    dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = 1 \cdot dx + i \cdot dy.
    \]
    Por lo tanto:
    \[
    dz = dx + i \, dy.
    \]
    
    ---
    
    ### **4. Interpretación geométrica**
    La fórmula \( dz = dx + i \, dy \) refleja que un cambio infinitesimal en \( z \) tiene dos componentes:
    1. **Componente real (\( dx \))**: Representa el cambio en la dirección del eje \( x \).
    2. **Componente imaginaria (\( i \, dy \))**: Representa el cambio en la dirección del eje \( y \), multiplicado por \( i \) (la unidad imaginaria).
    
    Esto es análogo a cómo en \( \mathbb{R}^2 \), un vector infinitesimal se expresa como \( d\mathbf{r} = dx \, \mathbf{i} + dy \, \mathbf{j} \), donde \( \mathbf{i} \) y \( \mathbf{j} \) son los vectores unitarios en las direcciones \( x \) e \( y \), respectivamente.
    
    ---
    
    ### **5. Relación con la integral compleja**
    La fórmula \( dz = dx + i \, dy \) es crucial para definir la **integral compleja** de una función \( f(z) \). Si \( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) \), entonces:
    \[
    f(z) \, dz = (u + i v)(dx + i \, dy).
    \]
    Expandiendo el producto:
    \[
    f(z) \, dz = u \, dx + i u \, dy + i v \, dx + i^2 v \, dy.
    \]
    Simplificando \( i^2 = -1 \):
    \[
    f(z) \, dz = (u \, dx - v \, dy) + i (v \, dx + u \, dy).
    \]
    Esto permite expresar la integral compleja en términos de integrales reales:
    \[
    \int_\gamma f(z) \, dz = \int_\gamma (u \, dx - v \, dy) + i \int_\gamma (v \, dx + u \, dy).
    \]
    
    ---
    
    ### **6. Ejemplo concreto**
    Vamos a calcular la integral \( \int_\gamma z \, dz \), donde \( \gamma \) es el segmento de recta que va desde \( z = 0 \) hasta \( z = 1 + i \).
    
    #### **Paso 1: Parametrización de \( \gamma \)**
    Parametrizamos \( \gamma \) como:
    \[
    z(t) = t + i t, \quad \text{con } t \in [0, 1].
    \]
    Entonces:
    \[
    dz = \frac{dz}{dt} dt = (1 + i) dt.
    \]
    
    #### **Paso 2: Expresión de \( z \, dz \)**
    Sustituyendo \( z = t + i t \) y \( dz = (1 + i) dt \):
    \[
    z \, dz = (t + i t)(1 + i) dt = t(1 + i)^2 dt.
    \]
    Calculamos \( (1 + i)^2 \):
    \[
    (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.
    \]
    Por lo tanto:
    \[
    z \, dz = t \cdot 2i \, dt = 2i t \, dt.
    \]
    
    #### **Paso 3: Cálculo de la integral**
    Integramos \( z \, dz \) a lo largo de \( \gamma \):
    \[
    \int_\gamma z \, dz = \int_{0}^{1} 2i t \, dt = 2i \int_{0}^{1} t \, dt = 2i \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = 2i \cdot \frac{1}{2} = i.
    \]
    
    #### **Paso 4: Verificación usando \( dz = dx + i \, dy \)**
    Expresamos \( z \, dz \) en términos de \( dx \) y \( dy \):
    \[
    z \, dz = (x + i y)(dx + i \, dy) = x \, dx + i x \, dy + i y \, dx - y \, dy.
    \]
    Agrupando términos reales e imaginarios:
    \[
    z \, dz = (x \, dx - y \, dy) + i (x \, dy + y \, dx).
    \]
    Integramos a lo largo de \( \gamma \):
    \[
    \int_\gamma z \, dz = \int_\gamma (x \, dx - y \, dy) + i \int_\gamma (x \, dy + y \, dx).
    \]
    Sustituyendo \( x = t \), \( y = t \), \( dx = dt \), \( dy = dt \):
    \[
    \int_\gamma z \, dz = \int_{0}^{1} (t \, dt - t \, dt) + i \int_{0}^{1} (t \, dt + t \, dt) = 0 + i \int_{0}^{1} 2t \, dt = i.
    \]
    El resultado coincide con el cálculo anterior.
    
    ---
    
    ### **7. Conclusión**
    La fórmula \( dz = dx + i \, dy \) no es trivial, sino una **herramienta esencial** que conecta el análisis complejo con el cálculo en \( \mathbb{R}^2 \). Su justificación proviene de la definición de la diferencial en términos de las partes real e imaginaria de \( z \), y es clave para entender y trabajar con integrales complejas. 😊 

    INDICACIÓN

    Me hace falta demostrar esta igualdad en el campo real \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\pi}{2}, \end{equation*} A ver si me puedes proporcionar una demostración, en lo posible autocontenida, y lo más detallada que se pueda

    RESPUESTA DE CHATGPT

    La integral de Gauss

    $$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt$$

    es un resultado clásico en análisis real y aparece con frecuencia en probabilidad y física. Su evaluación suele hacerse con coordenadas polares. Sin embargo, lo que necesitas demostrar es la versión semidefinida:

    $$\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

    Voy a darte una demostración detallada y autocontenida.

    ---

    Paso 1: Evaluación de la Integral de Gauss Completa

    Definimos la integral completa:

    $$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt.$$

    Calculamos $I^2$ en coordenadas cartesianas como sigue:

    $$I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^2} ds \right).$$

    Cambiamos a coordenadas polares con $x = t$ y $y = s$, de modo que el área diferencial en coordenadas cartesianas $dx dy$ se transforma en coordenadas polares como $r dr d\theta$:

    $$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t^2+s^2)} dt ds.$$

    Usamos el cambio de variable a polares:

18. $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$,
19. $dx dy = r dr d\theta$,
20. $t^2 + s^2 = r^2$.

Reescribimos la integral:

$$I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta.$$

Evaluamos la integral en $r$, usando el cambio de variable $u = r^2 \Rightarrow du = 2r dr$:

$$\int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-u} du.$$

Sabemos que

$$\int_0^{\infty} e^{-u} du = 1.$$

Por lo tanto,

$$\int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2}.$$

Sustituyendo en $I^2$:

$$I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \times \frac{1}{2} = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi.$$

De aquí obtenemos:

$$I = \sqrt{\pi}.$$

---

Paso 2: Evaluación de la Integral desde $0$ hasta $\infty$

Dado que $e^{-t^2}$ es una función par, su integral desde $-\infty$ hasta $\infty$ se puede descomponer como el doble de la integral desde $0$ hasta $\infty$:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = 2 \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt.$$

Sustituyendo $I = \sqrt{\pi}$:

$$\sqrt{\pi} = 2 \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt.$$

Despejamos:

$$\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

---

Conclusión

Hemos demostrado que:

$$\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Este resultado es fundamental en probabilidad y análisis real, ya que aparece en la función gamma y en la distribución normal estándar.

RESPUESTA DE DEEPSEEK

¡Claro! Vamos a demostrar la igualdad:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\]
Esta integral es conocida como la **integral de Gauss**, y su valor es fundamental en probabilidad, estadística y física. La demostración que te proporcionaré es autocontenida y detallada, utilizando una técnica ingeniosa que involucra integrales dobles y coordenadas polares.

---

### **Demostración**

#### **Paso 1: Definir la integral de Gauss**
Sea \( I \) la integral que queremos calcular:
\[
I = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt.
\]

#### **Paso 2: Elevar al cuadrado la integral**
Consideramos \( I^2 \):
\[
I^2 = \left( \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt \right)^2.
\]
Podemos expresar \( I^2 \) como una integral doble:
\[
I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx \, dy.
\]

#### **Paso 3: Cambio a coordenadas polares**
Para evaluar la integral doble, realizamos un cambio de variables a coordenadas polares. Definimos:
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta,
\]
donde \( r \geq 0 \) y \( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \) (ya que \( x, y \geq 0 \)).

El jacobiano de la transformación es:
\[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = r.
\]
Por lo tanto, el elemento de área en coordenadas polares es:
\[
dx \, dy = r \, dr \, d\theta.
\]

#### **Paso 4: Reescribir la integral doble**
Sustituyendo en la integral doble:
\[
I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \, d\theta.
\]

#### **Paso 5: Separar las integrales**
La integral doble se puede separar en el producto de dos integrales:
\[
I^2 = \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \right) \left( \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \right).
\]

- La primera integral es:
  \[
  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}.
  \]

- La segunda integral es:
  \[
  \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr.
  \]

#### **Paso 6: Calcular la segunda integral**
Para calcular \( \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \), hacemos el cambio de variable \( u = r^2 \), \( du = 2r \, dr \), \( \frac{du}{2} = r \, dr \):
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du.
\]
La integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-u} du \) es:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \left[ -e^{-u} \right]_0^{\infty} = 1.
\]
Por lo tanto:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2}.
\]

#### **Paso 7: Calcular \( I^2 \)**
Sustituyendo los resultados de las integrales:
\[
I^2 = \left( \frac{\pi}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{4}.
\]

#### **Paso 8: Obtener \( I \)**
Tomando la raíz cuadrada de \( I^2 \):
\[
I = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\]

---

### **Conclusión**
Hemos demostrado que:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\]
Esta igualdad es fundamental en matemáticas y tiene aplicaciones en diversas áreas, como la teoría de probabilidades (distribución normal) y la física (función de onda gaussiana). 😊

 INDICACIÓN

Encuentra la expresión en coordenadas polares del diferencial de àrea $dA=dxdy$. Explícalo de manera autocontenida y detallada

 RESPUESTA DE CHATGPT

Para encontrar la expresión en coordenadas polares del diferencial de área $dA = dxdy$, seguimos un procedimiento estándar de cambio de variables. Vamos a desarrollar la explicación de manera autocontenida y detallada.

---

Paso 1: Definición del Diferencial de Área en Coordenadas Cartesianas

En coordenadas cartesianas, el diferencial de área de una región en el plano es simplemente el producto de los diferenciales de las coordenadas:

$$dA = dx dy.$$

Esto significa que un pequeño rectángulo con lados de longitud $dx$ y $dy$ tiene un área infinitesimal $dA$.

---

Paso 2: Expresión de las Coordenadas Polares

En coordenadas polares, un punto en el plano $(x, y)$ se expresa en términos de las variables $r$ y $\theta$ mediante las transformaciones:

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.$$

Las variables polares $r$ y $\theta$ tienen el siguiente significado:

• $r$ es la distancia desde el origen hasta el punto.
• $\theta$ es el ángulo que forma el radio vector con el eje positivo $x$.

---

Paso 3: Matriz Jacobiana del Cambio de Variables

Para determinar cómo cambia el diferencial de área bajo esta transformación, calculamos la matriz Jacobiana de la transformación:

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}.$$

Derivamos $x$ y $y$ con respecto a $r$ y $\theta$:

$$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta.$$ $$\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta.$$

La matriz Jacobiana queda:

$$J = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}.$$

---

Paso 4: Determinante de la Matriz Jacobiana

El determinante de esta matriz se calcula como:

$$\det J = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}.$$

Aplicando la regla del determinante:

$$\det J = (\cos\theta \cdot r\cos\theta) - (-r\sin\theta \cdot \sin\theta).$$ $$= r\cos^2\theta + r\sin^2\theta.$$

Factorizando $r$:

$$= r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r(1) = r.$$

Por lo tanto, el factor de escala del cambio de variables es $|J| = r$.

---

Paso 5: Expresión del Diferencial de Área

El diferencial de área en coordenadas polares se obtiene multiplicando el diferencial de área en coordenadas cartesianas por el valor absoluto del determinante de la matriz Jacobiana:

$$dA = |J| dr d\theta = r dr d\theta.$$

---

Conclusión

El diferencial de área en coordenadas polares se expresa como:

$$dA = r dr d\theta.$$

Este resultado indica que un pequeño elemento de área en coordenadas polares es un sector infinitesimal de corona circular, con radio $r$ y grosor $dr$, y un pequeño ángulo $d\theta$.

FIN DE RESPUESTA DE CHATGPPT

 

RESPUESTA DE DEEPSEEK

¡Claro! Vamos a derivar la expresión del **diferencial de área \( dA = dx \, dy \)** en coordenadas polares. Este es un resultado fundamental en cálculo multivariable, y su justificación es clave para entender cómo cambian las integrales al pasar de coordenadas cartesianas a polares.

---

### **1. Coordenadas polares**
En coordenadas polares, un punto en el plano se describe mediante:
- \( r \): La distancia desde el origen al punto.
- \( \theta \): El ángulo que forma el vector posición con el eje \( x \).

Las relaciones entre coordenadas cartesianas \( (x, y) \) y polares \( (r, \theta) \) son:
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta.
\]

---

### **2. Jacobiano de la transformación**
El **jacobiano** es un factor que mide cómo se "deforma" el área al cambiar de coordenadas. Para la transformación de coordenadas cartesianas a polares, el jacobiano se define como el determinante de la matriz de derivadas parciales:
\[
J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}.
\]

Calculamos las derivadas parciales:
\[
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin \theta,
\]
\[
\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta.
\]

Sustituyendo en el determinante:
\[
J = \begin{vmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{vmatrix} = (\cos \theta)(r \cos \theta) - (-r \sin \theta)(\sin \theta).
\]
Simplificando:
\[
J = r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta = r (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta).
\]
Usando la identidad trigonométrica \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \):
\[
J = r.
\]

---

### **3. Diferencial de área en coordenadas polares**
El diferencial de área \( dA \) en coordenadas cartesianas es \( dx \, dy \). Al cambiar a coordenadas polares, el área se "deforma" por el jacobiano \( J = r \). Por lo tanto, el diferencial de área en coordenadas polares es:
\[
dA = J \, dr \, d\theta = r \, dr \, d\theta.
\]

---

### **4. Interpretación geométrica**
El factor \( r \) en \( dA = r \, dr \, d\theta \) tiene una interpretación geométrica importante:
- \( dr \): Representa un cambio infinitesimal en la distancia radial.
- \( d\theta \): Representa un cambio infinitesimal en el ángulo.
- \( r \): Es el "factor de escala" que ajusta el área para tener en cuenta que, a mayor distancia \( r \), un mismo cambio angular \( d\theta \) barre un arco más largo.

En otras palabras, el área de un pequeño sector en coordenadas polares es aproximadamente un rectángulo con lados \( dr \) y \( r \, d\theta \), por lo que su área es \( r \, dr \, d\theta \).

---

### **5. Ejemplo de aplicación**
Supongamos que queremos calcular el área de un círculo de radio \( R \) en coordenadas polares. El diferencial de área es \( dA = r \, dr \, d\theta \), y los límites de integración son:
- \( r \in [0, R] \),
- \( \theta \in [0, 2\pi] \).

La integral del área es:
\[
A = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \, dr \, d\theta.
\]
Primero integramos respecto a \( r \):
\[
\int_{0}^{R} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{R} = \frac{R^2}{2}.
\]
Luego integramos respecto a \( \theta \):
\[
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{R^2}{2} d\theta = \frac{R^2}{2} \cdot 2\pi = \pi R^2.
\]
¡Obtenemos la fórmula clásica del área de un círculo!

---

### **6. Resumen**
El diferencial de área en coordenadas polares es:
\[
dA = r \, dr \, d\theta.
\]
Este resultado se obtiene calculando el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a polares, y tiene una interpretación geométrica clara en términos de cómo se "deforma" el área al cambiar de sistema de coordenadas.

---

Si tienes más preguntas o necesitas aclaraciones adicionales, ¡no dudes en preguntar! 😊

FIN DE RESPUESTA DE DEEPSEEK

$\zeta=x+iy\in B(z_0,r)$         $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$        $\gamma_1$      $z_0=x_0 +iy_0$

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$        $\gamma_1 := [z_0, x_0+iy]+[x_0+iy, \zeta]$      $\gamma_2 := [z_0, x+iy_0]+[x+iy_0, \zeta]$   

Sea el contorno dado por el segmento de recta vertical que une a    $z_0=x_0 +iy_0$ con $z_0, x_0+iy$ seguido del segmento de recta horizontal que une a con , es decir, . Análogamente, definimos al contorno dado por el segmento de recta horizontal que une a con seguido del segmento de recta vertical que une a con , es decir,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, figura 134.

Es claro que el contorno

es un contorno cerrado y coincide con la frontera del rectángulo con vértices . Por lo que, del lema de Goursat y la proposición 34.2, tenemos que:
Es decir:

Figura 134: Rectángulo cerrado

.

Considerando lo anterior definimos a la función:

Veamos que es una primitiva de en

.

Como en los segmentos

y el término imaginario es constante, entonces podemos parametrizar a dichos segmentos, respectivamente, como:
Análogamente, en los segmentos y el término real es constante, por lo que podemos parametrizar a dichos segmentos, respectivamente, como:
Entonces, de la definición 34.1 y la proposición 33.1, se sigue que:
Por el primer Teorema Fundamental del Cálculo tenemos que:
Procediendo de manera análoga tenemos que:
de donde:
Tenemos que:
es decir, si , entonces:
por lo que y satisfacen las ecuaciones de C-R. Más aún, como es analítica en , en particular es continua, por lo que y son continuas, es decir, es una función de clase , entonces por el teorema 18.1 tenemos que es una función analítica en tal que:
es decir, es una primitiva de en , por lo que de la proposición 35.2 se sigue que:
para cualquier contorno cerrado en

.

Ejemplo 36.1.
Evaluemos la integral:
donde describe a la circunferencia

orientada positivamente y recorrida una vez.

Solución. Es claro que la función:

es analítica en y en particular es analítica en el disco abierto

.

Por otra parte, tenemos que el contorno cerrado

, parametrizado por , con , está completamente contenido en el disco , figura fig:f135, por lo que del teorema 36.3 se sigue que:

Figura 135: Contorno cerrado

completamente contenido en el disco

.

Ejemplo 36.2.
Veamos que

Solución. Es claro que ambas integrales son integrales reales impropias, por lo que debemos probar que:
Dado que , basta probar que:

y tomar la parte real e imaginaria para obtener el resultado.

Sea

. Definimos al contorno cerrado , firgura 136, donde:

Figura 136: Contorno

del ejemplo 36.2.

Tenemos que

es una función entera, por lo que es analítica en cualquier disco abierto, en particular si consideramos al disco abierto , con , entonces es claro que el contorno está completamente contenido en , por lo que del Teorema Integral de Cauchy-Goursat, para discos y de la proposición 34.2, se sigue que:
por lo que:
Por el ejemplo 34.11 sabemos que:
por lo que, tomando el límite cuando tenemos que:
Entonces, tomando el límite cuando en (36.1) tenemos que:
De nuestros cursos de Cálculo sabemos que:
por lo que:

Por último, tomando la parte real e imaginaria de esta última igualdad tenemos el resultado.

Teorema 36.4. (Teorema Integral de Cauchy-Goursat generalizado para discos.)
Sean

, un punto fijo, , y una función analítica en tal que:
para todo . Entonces:
para cualquier contorno cerrado en que no pasa por los puntos

.

Demostración. Dadas las hipótesis, es suficiente con probar el caso para un único punto

en el cual

no es analítica y proceder por inducción.

De manera similar a la prueba anterior, basta mostrar que existe una primitiva de

en . Para ello tomamos a y consideramos al contorno poligonal que une al centro del disco abierto con , considerando segmentos de recta verticales y horizontales, sin pasar por y definimos a dicha primitiva como la función:
la cual está bien definida pues es poligonal conexo, entonces el contorno poligonal siempre existe. Solo basta considerar la ubicación del punto al definir a . Si no cae en las rectas y , entonces bastan tres segmentos de recta para unir a con el punto , en tal caso es fácil mostrar, de la misma manera que antes, que y utilizando el lema de Goursat generalizado y concluir que es una primitiva de en

, por lo que el resultado se sigue de la proposición 35.2.

Por último, si

cae en alguna de las rectas ó , basta con fijar otro punto de inicio de , distinto del centro del disco , en la definición de

y volver a plantear el análisis anterior.

Observación 36.2.
Notemos que el resultado anterior es equivalente a pedir que sea analítica en , con , y continua en

.

Corolario 36.1.
Sean

, un punto fijo, , con , un intervalo cerrado, una función analítica en el disco abierto , y un contorno cerrado que no pasa por . Entonces:
Demostración.Dadas las hipótesis, sea , como es analítica en el disco abierto , en particular lo es en , por lo que:
Considerando lo anterior definimos a la función:
Claramente es una función analítica en y continua en , por lo que:
Entonces, por el Teorema de Cauchy generalizado tenemos que:
Por lo que:
para cualquier contorno cerrado en que no pasa por

.

Lema 36.1.
Sean , con , un contorno y una función que está definida y es continua en los puntos del contorno, es decir, en . Para cada se define a la función:
Entonces, cada función es analítica en y , lo cual implica que cada

tiene derivadas analíticas de todos los órdenes.

Demostración. Dadas las hipótesis, primero procedemos a verificar que cada función

es continua. Sea fijo. Como es compacto y la función es continua, entonces, proposición 10.9, es compacto, por lo que, proposición 10.10, alcanza su valor mínimo, entonces definimos a . Análogamente, como es compacto y es continua en dicho conjunto, entonces su imagen también es un conjunto compacto, en particular es un conjunto acotado, es decir, existe tal que para todo

.

Recordemos la factorización:

Entonces:
Multiplicando por e integrando a lo largo de , en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos que:
donde y . Por lo que , y , entonces:
para cada

.

Por lo tanto, para

, tomando se tiene que si , entonces podemos acotar a (36.3) mediante la proposición 34.3(5) y la desigualdad del triángulo, es decir:
Por lo que, para:
se tiene que si , entonces , por lo que

es una función continua.

Dividiendo en ambos lados de la igualdad (36.3) por

, tenemos que:
Dado que , entonces para cada , la función:
es continua. Por lo tanto, de la primera parte de la prueba tenemos que la función:
es una función continua para cada . Entonces:
Definición 36.1. (Índice de un contorno cerrado respecto a un punto.)
Sean , con , un intervalo cerrado, un contorno cerrado y , es decir, es un punto que no está en el contorno . Se define al índice de con respecto de como:
Proposición 36.1.
Sean , con , un intervalo cerrado, un contorno cerrado y . Entonces:
para algún . Es decir, la integral (36.3) es un múltiplo entero de

.

Demostración. Dadas las hipótesis, por la definición 34.1 tenemos que:

Considerando lo anterior definimos a la función híbrida como:
Por construcción es claro que es una función continua en y que y . Veamos que , para algún

.

Dado que

es continua en , salvo quizás en un número finito de puntos, entonces es diferenciable en los puntos de continuidad de y su derivada está dada por el Teorema Fundamental del Cálculo:
para los puntos donde

existe.

Sea

la función híbrida dada por:
Por construcción tenemos que es también continua en . Más aún, para cada donde es continua, por (36.4) y como , tenemos que:
Lo anterior nos dice que es una función constante en cada subintervalo donde existe y como es continua entonces es una función constante en , por lo que , es decir:
Dado que y , tenemos que:
lo cual implica, por la proposición 20.2(10), que para algún :
Entonces:
para algún

.

Corolario 36.2.
El índice de un contorno cerrado respecto a un punto

es un número entero.

Demostración. Es inmediato de la definición de

y la proposición 36.1.

Observación 36.3.
Claramente es una función analítica en . Si pudiéramos encontrar una función analítica tal que para todo , entonces tendríamos que para toda curva cerrada en , que no pase por . Sin embargo, de acuerdo con el ejemplo 34.1 y la proposición 35.3 sabemos que no tiene primitiva en , por lo que para toda curva cerrada en , que no pase por

.

Para continuar, en este punto es importante introducir el siguiente resultado, el cual intuitivamente es claro, pero cuya demostración es bastante complicada y se escapa de los objetivos de estas notas, por lo que en el curso lo tomaremos como válido, aunque puede consultarse una prueba formal de este hecho en:

• Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology, de Alan F. Beardon.
• An Introduction to Classical Complex Analysis, de Robert B. Burckel.

Teorema 36.5. (Teorema de la curva de Jordan.)
Los puntos en cualquier contorno cerrado simple

son la frontera de dos dominios distintos, uno de los cuales es el interior de , denotado por , y está acotado. El otro, es el exterior de , denotado por , y no es acotado. En tal caso, es igual al plano complejo

.

Ejemplo 36.3.
Sean

y un punto fijo. Consideremos a los conjuntos disjuntos y , los cuales son abiertos en . Geométricamente es claro que la circunferencia es un contorno cerrado simple y los puntos en son la frontera de y . El interior de es , el cual es un conjunto acotado y el exterior de es

, el cual es un conjunto no acotado.

Observación 36.4.
Por la proposición 10.9 sabemos que al ser

, con , un conjunto compacto y una trayectoria, es decir, es una función continua en , entonces la curva en el plano complejo, es un conjunto compacto, es decir, una curva en es un conjunto cerrado y acotado. Entonces el conjunto es un conjunto abierto no vacío, por lo que, ejercicio 9 de la entrada 10, podemos ver a como la unión disjunta numerable de dominios, correspondientes con las componentes conexas de

.

El siguiente lema enuncia algunas de las propiedades clave del índice de un contorno.

Lema 36.2.
Sean

un contorno cerrado en el plano complejo y

. Se cumplen las siguientes propiedades.

1. 
   

permanece constante conforme toma valores en cualquiera de las componentes conexas de

.

para cualquier en la componente no acotada de

.

Si

es simple, entonces ó , para todo en la componente acotada de

3. .

Demostración. Dadas las hipótesis, únicamente probaremos las primeras dos propiedades. La última afirmación está sustentada en el teorema de la curva de Jordan y por lo extenso de su prueba la omitiremos, pero se puede consultar una prueba detallada en An Introduction to Complex Function Theory, de Bruce P. Palka.

1. Sea

dada por:
Por lo que, del lema 36.1 para y la definición 36.1, tenemos que:
es una función analítica, de , en , cuya derivada está dada por:
Por otra parte, si fijamos a , entonces la función:
es una función analítica, de , en y tiene como primitiva, en dicho conjunto, a la función:
Si , entonces es un contorno cerrado en , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1, para tenemos que:
Por lo que en , entonces de la proposición 19.2 concluimos que es una función constante en cada componente de

.

Sea

tal que el conjunto compacto está contenido en el disco abierto . Tenemos que el conjunto es un subconjunto conexo de , entonces por la proposición 10.6(1) se cumple que dicho conjunto conexo está contenido en alguna componente conexa de . Notemos que la componente conexa es la única componente no acotada de , ya que todas las demás componentes claramente subconjuntos de .

Como el punto y la función es analítica en , por el teorema (local) integral de Cauchy, teorema 36.3, tenemos que:
Entonces, por el inciso anterior tenemos que para todo

2. .

Observación 36.5.
De acuerdo con lo anterior, el índice de un contorno tiene una interpretación geométrica clara, ya que nos dice el número de vueltas que el contorno cerrado le da al punto y su signo está determinado por la orientación del contorno, es decir, si tiene orientación positiva entonces es positivo, mientras que si tiene orientación negativa entonces

es negativo.

Más aún, si el contorno cerrado

es simple y el punto está en el interior de , entonces , mientras que si está fuera del contorno entonces

.

Motivados en lo anterior establecemos la siguiente definición, la cual es consistente con el teorema de la curva de Jordan.

Definición 36.2. (Interior de un contorno cerrado simple.)
Sean

, con , y un contorno cerrado simple en . Se define al interior de como el conjunto:

Algunas de las propiedades más elementales del índice de un contorno están dadas en la siguiente:

Proposición 36.2. (Propiedades del índice de un contorno.)
Sean

, con , y dos contornos cerrados en

con el mismo punto inicial. Se cumplen las siguientes propiedades.

1. 
   

, para todo

.

, para todo

.

, para todo

.

n(a\gamma+b,az+b) = n(\gamma,z)

z\in\mathbb{C}\setminus\gamma([a,b])a\neq 0

4. b$ dos constantes.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 36.4.
Sean y un punto fijo. Consideremos a la circunferencia y al disco abierto

.

a) Sea

dada por , es decir, parametriza a la circunferencia positivamente. Si , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y el ejemplo 34.1(a) tenemos que:
Más aún, por el lema 36.2(2), tenemos que si , entonces

.

b) Sea

dada por , es decir, parametriza a la circunferencia negativamente. Si , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y la definición 34.1 tenemos que:
Del lema 36.2(2), se sigue que para , se cumple que

.

c) Sea

, con , dada por , es decir, parametriza a la circunferencia positivamente, pero la recorre -veces. Si , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y la definición 34.1 tenemos que:
Más aún, por el lema 36.2(2), tenemos que si , entonces

.

De acuerdo con los resultados previos, estamos listos para establecer una de las primeras consecuencias del teorema integral de Cauchy generalizado, para discos, mediante el cual podremos obtener una representación fundamental de una función analítica.

Proposición 36.3. (Fórmula integral de Cauchy para discos.)
Sean

, un punto fijo, una función analítica en el disco abierto y un contorno cerrado en . Entonces:
para todo

.

Demostración. Dadas las hipótesis, fijamos un punto

. Definimos a la función:
como:
donde

es una variable independiente.

Es claro que

es una función analítica en . Más aún, como es analítica en , entonces:
es decir, es continua en , por lo que:
Como no está en el contorno cerrado , del teorema 36.4 y la definición 36.1, tenemos que:
es decir:
Dado que

es arbitrario, entonces se tiene el resultado.

Observación 36.6.
Un aspecto importante de la fórmula integral de Cauchy es que para un punto para el cual , podemos expresar el valor de la función de manera explícita en términos de los valores de que se encuentran en el contorno , a cierta distancia de

.

La aplicación más usual de la fórmula integral de Cauchy se tiene para el caso en que

, ya que bajo dicha condición se tiene que:
Ejemplo 36.5.
Evaluemos la integral:
donde parametriza positivamente a la circunferencia

.

Solución. Primeramente parametrizamos a la circunferencia

como , con

.

Aplicando fracciones parciales tenemos que:

Notemos que para todo , por el ejemplo 36.4(a), se cumple que:
Sea . Claramente es una función entera, por lo que para , se cumple que y es analítica en . Entonces, de la fórmula integral de Cauchy para discos, como , tenemos que:


De la proposición 34.2(1) tenemos que:
Por lo que:
Ejemplo 36.6.
Veamos que:
donde es la circunferencia unitaria

, orientada positivamente.

Solución. Tenemos que

, para , parametriza a la circunferencia unitaria , positivamente. Factorizando el denominador del integrando, tenemos que , es decir, y son las raíces de dicho polinomio complejo. Como está en el interior de , por el lema 36.2(1) y el ejemplo 36.4(a), concluimos que:
Sea . Claramente es analítica en , por lo que es analítica en y está completamente contenida en , entonces, por la fórmula integral de Cauchy (para discos), tenemos que:

Procedemos ahora a establecer una consecuencia de la fórmula integral de Cauchy, la cual nos deja ver claramente las diferencias entre el Cálculo Complejo y el Cálculo Real.

Proposición 36.4.
Sean

un conjunto abierto y una función analítica en . Entonces también es analítica en . En particular

.

Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que cada

es el centro de algún disco abierto en el cual es analítica, por lo que

existe.

Sean

fijo y tal que . Fijamos a tal que y definimos a . Por la fórmula integral de Cauchy para discos, aplicada al disco y al contorno orientado positivamente, es decir, , con , tenemos que:
Del lema 36.2(1) se sigue que:
para todo

.

Sea

dada por:
Del lema 36.1, aplicado a para el caso , tenemos que:
por lo que:
para todo . Aplicando el lema 36.1, para el caso , tenemos que:
donde es una función analítica en . Por lo tanto, es analítica en

.

Como

es arbitrario, entonces es analítica en

.

Por último, dado que

es analítica en , para , por el teorema 17.1 tenemos que existen las derivadas parciales y y satisfacen las ecuaciones de C-R en , es decir:
y como es analítica en , en particular es continua en , por lo que las derivadas parciales y son continuas en y por tanto

.

Corolario 36.3.
Sean un conjunto abierto y una función analítica en . Entonces es indefinidamente diferenciable en y todas las derivadas , también son funciones analíticas en . En particular

.

Demostración. Se sigue del resultado anterior al aplicar inducción, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Proposición 36.5. (Fórmula integral de Cauchy para derivadas, en discos.)
Sean , con , un intervalo cerrado, fijo, , una función analítica en el disco abierto y un contorno cerrado en . Entonces, para todo :
para todo

.

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos por inducción sobre

. Para tenemos que , por lo que el resultado se sigue de la fórmula integral de Cauchy (para discos), proposición 36.3, para toda función analítica en . Supongamos que el resultado se cumple para algún fijo. Verifiquemos que el resultado se cumple para

.

Como

es analítica en , por la proposición 36.4, tenemos que también es analítica en . Sea fijo, entonces por hipótesis de inducción, aplicada a , tenemos que:
Sea dada por:
Es claro que es analítica en y su derivada es:
Notemos que es una función continua en y tiene como primitiva a , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1, y la proposición 34.2(1), tenemos que:
es decir:
Entonces, de (36.5) y (36.6) se sigue que:
Dado que es arbitrario y una función arbitraria, analítica en , entonces para todo y se cumple que:
Ejemplo 36.7.
Sea un disco abierto y una función analítica en dicho disco. Si es un contorno cerrado contenido en y es un punto en el interior de veamos que:
Solución. Como la función es analítica en , entonces es analítica . Por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
Por otra parte, de la fórmula integral de Cauchy para derivadas tenemos que:
Entonces:
Ejemplo 36.8.
Veamos que:
donde es la circunferencia

con orientación positiva.

Solución. Tenemos que

, para , parametriza a la circunferencia , positivamente. Como está en el interior de , por el lema 36.2(1) y el ejemplo 36.4(a), concluimos que:
Sea . Claramente es una función entera, por lo que en particular es analítica en cualquier disco abierto , con . Utilizando las reglas de derivación tenemos que:
Como está completamente contenida en el disco abierto , con , entonces, por la fórmula integral de Cauchy para derivadas (en discos), tenemos que:

Tarea moral

1. Determina el valor de las siguientes integrales, donde cada circunferencia está orientada positivamente.
   a)

.
b)

.

Sea

. Muestra que:

Hint: Considera la integral:
donde es el rectángulo con vértices en y , para

.

Evalúa las siguientes integrales, donde cada circunferencia está orientada positivamente.
a)

.
b)

.

Muestra que:

Hint: Considera la integral:
,donde el contorno de integración está dado por , para , y , ambas con

.

Para

, define:
donde , para . Determina el

.
Hint: Usa el ejercicio anterior.

Demuestra la proposición 36.2.

Sea

, donde , con , , con y , con . Determina todos los valores que toma para

7. .

Más adelante…

En esta entrada hemos probado algunos resultado importantes sobre las integrales de contorno como el Teorema Fundamental del Cálculo para el caso complejo y el lema de Goursat, que como veremos nos permitirá probar el Teorema de Cauchy para el caso en que se tiene un contorno cerrado arbitrario.

En la siguiente entrada probaremos algunas versiones del Teorema integral de Cauchy y abordaremos algunas de sus consecuencias más importantes, como la Fórmula Integral de Cauchy, el Teorema de Liouville, el Teorema Fundamental del Álgebra, entre otros. Además veremos un recíproco del Teorema de Cauchy conocido como el Teorema de Morera.

Entradas relacionadas

• Ir a Variable Compleja I.
• Entrada anterior del curso: Integrales de contorno II.
• Siguiente entrada del curso: Consecuencias del teorema integral de Cauchy.

Comparte esto:

• Haz clic para compartir en Facebook (Se abre en una ventana nueva)
• Haz clic para compartir en Twitter (Se abre en una ventana nueva)
• Haz clic para compartir en WhatsApp (Se abre en una ventana nueva)
• Haz clic para compartir en LinkedIn (Se abre en una ventana nueva)
• Haz clic para enviar un enlace por correo electrónico a un amigo (Se abre en una ventana nueva)
• 
  

Me gusta esto:

Esta entrada se publicó en Matemáticas, Variable compleja y está etiquetada con existencia derivadas de todos los órdenes de una función analítica, Fórmula integral de Cauchy para derivadas de orden superior para discos, Fórmula integral de Cauchy para discos, función analítica, función analítica clase C infinito, función analítica infinitamente diferenciable, índice de un contorno cerrado, índice de una curva cerrada, número de vueltas de una curva respecto a un punto, teorema de Green, teorema integral de Cauchy generalizado, teorema integral de Cauchy versión para discos en agosto 1, 2023 por Pedro Rivera Herrera.

Navegación de entradas

← Variable Compleja I: Teorema integral de Cauchy versión homótopica Variable Compleja I: Consecuencias del teorema integral de Cauchy →

Suscríbete por correo

Pon tu correo electrónico para recibir avisos de nuevas entradas.

Correo electrónico

Búsqueda

Buscar:

Entradas recientes

• Y para terminar, dos resultados fuertes de la integral de Riemann-Stieltjes
• Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Parte 1
• Funciones de variación acotada. Parte 2
• Última parte de la demostración del teorema de Stone-Weierstrass
• Un ejemplo de aproximación con funciones cuadráticas por pedazos

Entradas favoritas

• Los TFC (Teoremas Fundamentales de los Cuadraditos)
• Aaron Swartz y su serie Raw Nerve
• ¿Hacer un doctorado directo en matemáticas en la UNAM o no?
• El doctorado en Ciencias Matemáticas en la UNAM
• Khan Academy en español
• La Técnica Pomodoro, mi tesis y la OMM
• La 53 Olimpiada Internacional de Matemáticas
• El círculo de preocupación y el círculo de acción
• Un paseo improvisto por Quito, Parte 1
• Cómo dar una factorización mágica.

More posts: fav