Texto de Prueba

 Experimento

 

    $ \begin{equation*} w_k = \sqrt{r} \left[\operatorname{cos}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left( \frac{\theta + 2k\pi}{2} \right)\right] \tag{13.2} \end{equation*}$

En primer lugar, necesito probar $ \begin{equation*} \operatorname{Arg} z = \operatorname{arg} z + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right], \end{equation*} $  con $\, x \, $ siendo la parte entera del número real $x$  (función parte entera) y $ \operatorname{arg} z $ un argumento cualquiera del número complejo $z,$ mientras que $ \operatorname{Arg} z $ es el argumento principal de z

En segundo lugar, necesito probar las siguientes fórmulas. Arg(z) significa argumento principal, mientras que arg(z) significa un argumento cualquiera del número z

 1) Para cada número complejo z no nulo se cumple  $ \begin{equation*} \operatorname{Arg} z = \operatorname{arg} z + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right] \end{equation*} $

2)  Sean  $ z_1, z_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\}  $ , entonces:

    a)   $ \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) + 2\pi N_{+} $

    b)  $ \operatorname{Arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Arg}(z_1) – \operatorname{Arg}(z_2) + 2\pi N_{-} $

donde $ N_{\pm} $  son números enteros dados por $ \begin{equation*} N_{\pm} = \left\{ \begin{array}{lcc} -1 & \text{si} & \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) > \pi, \\ 0 & \text{si} & -\pi < \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) \leq \pi, \\ 1 & \text{si} & \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) \leq -\pi. \end{array} \right. \end{equation*} $

3)  $ \begin{equation*}
\operatorname{Arg}\left(z_1^{-1}\right) = \operatorname{Arg}\left(\overline{z_1}\right) = \left\{ \begin{array}{lcc} \operatorname{Arg}\left(z_1\right) & \text{si} & \operatorname{Im}(z_1) =0 \, \, \, \, \text{y} \,\,\,\, z_1\neq 0,\\ -\operatorname{Arg}\left(z_1\right) & \text{si} & \operatorname{Im}(z_1) \neq 0. \end{array} \right. \end{equation*} $

4) Para todo $ n\in\mathbb{Z} $ se cumple que:  $ \begin{equation*} \operatorname{Arg}\left(z_1^n\right) = n\, \operatorname{Arg}\left(z_1\right) + 2\pi N_{n}, \end{equation*} $ donde $ N_n $ es un número entero dado por $ \begin{equation*} N_n = \left[ \frac{1}{2} – \frac{n}{2\pi}\operatorname{Arg}(z_1)\right], \end{equation*} $  con $ [\, x \,] $ la función parte entera de $ x $ 

OTRAS FÓRMULAS QUE UTILIZO

$\operatorname{arg} z + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right]$

$\begin{equation*} \operatorname{Arg} z = \operatorname{arg} z + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right], \end{equation*}$

$ z_1, z_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\} $

$ \begin{equation*} [x] = n \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 < n \leq x \quad \Longleftrightarrow \quad n \leq x < n+1. \end{equation*}  $

$\operatorname{arg} z + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right] $
$  \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right] $

ACLARACIÓN QUE LE PIDO A CHATGPT Y QUE INTENTARÉ CONSULTAR EN EL FORO DE MATES

PREGUNTA:

RESPUESTA:

¡Claro! Vamos a aclarar la diferencia entre la función parte entera y la función piso (suelo), así como las funciones techo y redondeo, con ejemplos detallados.

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Definiciones

1. Parte entera ($[x]$):

   • Devuelve el entero más cercano hacia cero.
   • En términos más formales: $$[x] = \text{signo}(x) \cdot \lfloor |x| \rfloor,$$ donde $\lfloor x \rfloor$ es la función piso (suelo).

2. Piso o suelo ($\lfloor x \rfloor$):

   • Devuelve el entero más grande que es menor o igual a $x$.

3. Techo ($\lceil x \rceil$):

   • Devuelve el entero más pequeño que es mayor o igual a $x$.

4. Redondeo ($\operatorname{round}(x)$):

   • Devuelve el entero más cercano a $x$. Si $x$ está exactamente a mitad de camino entre dos enteros, se redondea hacia el entero par más cercano.

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Ejemplos

Ejemplo 1: $x = 2.7$

• Parte entera: $[x] = 2$.
• Piso: $\lfloor x \rfloor = 2$.
• Techo: $\lceil x \rceil = 3$.
• Redondeo: $\operatorname{round}(x) = 3$.

Observación: En este caso, $[x] = \lfloor x \rfloor$ porque $x$ es positivo.

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Ejemplo 2: $x = -2.7$

• Parte entera: $[x] = -2$.
• Piso: $\lfloor x \rfloor = -3$.
• Techo: $\lceil x \rceil = -2$.
• Redondeo: $\operatorname{round}(x) = -3$.

Observación: $[x] \neq \lfloor x \rfloor$ porque $x$ es negativo, y la parte entera redondea hacia cero.

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Ejemplo 3: $x = 4.0$

• Parte entera: $[x] = 4$.
• Piso: $\lfloor x \rfloor = 4$.
• Techo: $\lceil x \rceil = 4$.
• Redondeo: $\operatorname{round}(x) = 4$.

Observación: Todas las funciones son iguales para números enteros.

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Ejemplo 4: $x = -4.5$

• Parte entera: $[x] = -4$.
• Piso: $\lfloor x \rfloor = -5$.
• Techo: $\lceil x \rceil = -4$.
• Redondeo: $\operatorname{round}(x) = -4$ (redondea hacia el entero par más cercano).

Observación: Aquí $[x] \neq \lfloor x \rfloor$, y $\operatorname{round}(x)$ puede no coincidir con ninguna de las otras funciones.

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Comparación de Igualdad y Diferencias

1. Parte entera vs Piso ($[x]$ vs $\lfloor x \rfloor$):

   • Son iguales si $x \geq 0$.
   • Son distintas si $x < 0$, porque $[x]$ redondea hacia cero y $\lfloor x \rfloor$ hacia el menor entero.

2. Piso vs Techo ($\lfloor x \rfloor$ vs $\lceil x \rceil$):

   • Son iguales únicamente si $x$ es un entero.
   • Son distintas si $x$ tiene parte fraccionaria.

3. Redondeo ($\operatorname{round}(x)$) vs las demás:

   • Puede coincidir con la parte entera, piso o techo dependiendo de $x$.
   • Es única en su manejo de números a mitad de camino, ya que redondea hacia el entero par más cercano.

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Resúmenes Numéricos de los Ejemplos

$x$	Parte entera $[x]$	Piso $\lfloor x \rfloor$	Techo $\lceil x \rceil$	Redondeo $\operatorname{round}(x)$
$2.7$	$2$	$2$	$3$	$3$
$-2.7$	$-2$	$-3$	$-2$	$-3$
$4.0$	$4$	$4$	$4$	$4$
$-4.5$	$-4$	$-5$	$-4$	$-4$

Espero que esto te ayude a clarificar las diferencias. 😊

AQUÍ HAY ERRORES LAMENTABLES, HA COMETIDO ERRORES DE BULTO, TENGO QUE LEER Y ANALIZAR. Aparte he hecho una consulta en el blog de rincón matemático, para que me aclaren el lío entre las funciones parte entera, suelo o piso, y la función techo.

Yo creo que Parte Entera = Suelo o Piso y que Techo = Parte entera + 1 = Suelo o Piso +1

Pero ChatGTP se ha inventado unas diferencias inexistentes

wk=r√[cos(θ+2kπ2)+isen(θ+2kπ2)]wk=r√[cos(θ+2kπ2)+isen(θ+2kπ2)]

wk=r√[cos(θ+2kπ2)+isen(θ+2kπ2)]