Examen de funciones multivaluadas propuesto por chatgtp

 Enunciado del examen. Luego veremos las soluciones

Aquí tienes un examen diseñado para evaluar el entendimiento de funciones multivaluadas en la asignatura Variable Compleja I. Las preguntas combinan teoría y aplicación, promoviendo una evaluación completa de los conceptos y habilidades.

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Pregunta a Chatgtp

Planteo la situación siguiente. Eres un experto en matemáticas, entre otras cosas, en variable compleja y das clase en la UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México) de la asignatura Variable Compleja I, de la cual yo soy alumno. Acabamos de terminar el tema 13 que se llama "funciones multivaluadas" y tu tarea es elaborar un examen de 8 preguntas para evaluar si el alumnado ha comprendido los conceptos y las habilidades que se exponen en el tema. Las preguntas y tareas tienen que ser relativamente difíciles, pero se supone que cada una se podrá contestar en media hora, por lo que los cálculos necesarios para resolver las tareas y problemas no deben ser excesivamete largos. Se supone que los estudiantes, además de lápiz y papel, pueden usar calculadoras científicas que no sean programables, ni tampoco tablets ni ordenadores, ni dispones dde conexión a internet en las cuatro horas que durará el examen.

RESPUESTA:

 

Examen - Tema 13: Funciones Multivaluadas

Instrucciones:

• El examen consta de 8 preguntas, cada una vale igual puntaje.
• Responde con claridad, mostrando todos los pasos necesarios para justificar tus respuestas.
• Puedes usar una calculadora científica no programable.
• Duración: 4 horas.

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Pregunta 1

Sea $f(z) = \sqrt{z}$, donde la raíz cuadrada es una función multivaluada.

1. Determina las ramas principales de $f(z)$.
2. Describe y dibuja las discontinuidades (cortes de rama) de la función.
3. Explica el comportamiento de $f(z)$ al rodear el origen en el plano complejo.

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Pregunta 2

La función $f(z) = \log(z)$ es multivaluada debido a su parte imaginaria.

1. Define una rama de $\log(z)$ que sea continua en $|z| > 0$, excluyendo el eje negativo real como corte de rama.
2. Encuentra $\log(z)$ para $z = -4 + 4i$, utilizando esta rama definida.

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Pregunta 3

Sea $f(z) = z^{1/n}$ con $n \in \mathbb{N}$, una función $n$-valúada.

1. Encuentra todas las ramas de $f(z)$ para $n = 3$.
2. Representa las ramas geométricamente en el plano complejo para $|z| = 1$.

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Pregunta 4

Analiza la función multivaluada $f(z) = \sqrt{z^2 - 1}$.

1. Encuentra los puntos donde la función es singular o multivaluada.
2. Determina y representa las ramas principales de $f(z)$, incluyendo el dominio de cada rama.

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Pregunta 5

Sea $g(z) = \left( \frac{1-z}{1+z} \right)^{1/2}$.

1. Establece un corte de rama que haga a $g(z)$ una función univaluada.
2. Calcula $g(z)$ en $z = 2i$ usando esta rama.

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Pregunta 6

Demuestra que al realizar una integración a lo largo de un contorno cerrado alrededor del origen, la función multivaluada $\log(z)$ da como resultado un múltiplo entero de $2\pi i$.

1. Calcula explícitamente la integral $\int_\gamma \log(z) \, dz$, donde $\gamma$ es el círculo unitario centrado en el origen, orientado positivamente.

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Pregunta 7

La función $h(z) = z^{1/n}$, con $n = 4$, tiene cortes de rama que dependen de la elección de las ramas.

1. Encuentra los cortes de rama para las ramas principales de $h(z)$.
2. Determina el valor de $h(z)$ para $z = e^{i\pi/2}$ en cada una de las cuatro ramas.

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Pregunta 8

Sea $f(z) = \arcsin(z) = -i \log\left( i z + \sqrt{1 - z^2} \right)$.

1. Encuentra las discontinuidades en el plano complejo para $\arcsin(z)$.
2. Define una rama principal de $f(z)$ y calcula su valor en $z = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

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Con estas preguntas se evalúan tanto la comprensión teórica como la habilidad de trabajar con funciones multivaluadas en un contexto matemático riguroso. ¿Qué opinas? ¿Necesitas ajustes en las preguntas?