Problema de Teoría de Grupos

 PROBLEMA Nº9 DE ESTA ENTRADA
Sea G un grupo. Probar que $C^{\prime} = \{ a\in{G} \; \textrm{tales que}\; (ax)^2 =(xa)^2 \; \textrm{para cualquier}\; x\in{G} \}$  es un subgrupo de G

Respuesta (¿para cuando?)
En primer lugar
 $${C \prime}$$ y porqué en algunos párrafos no entra el LaTex y en otros si, $ \textrm{Eso es un misterio para ser tratado por un auténtico especialista} $ $C$
es no vacío, porque el elemento neutro pertenece a 

$$C^\prime$$
Supongamos que  $$a\in{C^{\prime}}$$
entonces se cumple que 
$$(ax)^2 =(xa)^2$$  
es decir 
$axax=xaxa$
Tomamos inversos en esa igualdad y llegamos a que 
$(axax)^{-1} = (xaxa)^{-1}$    es decir que 
$x^{- 1}  a^{-1}  x^{-1}  a^{-1} =$
$a^{-1}  x^{-1} a^{-1}  x^{-1}$  
Como x es arbitrario, se tiene que para cualquier y tomamos 
$x=y^{-1}$ y llegaremos a la conclusión de que $yaya=ayay$, es decir que $(y a^{-1})^2 = (a^{-1}  y)^2$ , lo cual significa que 
                           ${ a^{-1}}\in{C^{\prime}}$
Hemos probado que todo elemento de 
                           $$C^{\prime}$$  
tiene su inverso en
                           $$C^\prime$$
Nos queda probar que 
                          $$C^\prime$$
 es cerrado para la multiplicación del grupo
Suponiendo que $a$   y   $b$  son dos elementos de
    $${C^\prime}$$ 
entonces se cumple que 
            $$(abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2$$  
lo cual significa que  
     $ab\in{C^{\prime}}$
\begin {equation} (abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2 \end{equation}


\begin{equation}   (abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2  \end{equation}

$A^\prime$  y  $C^\prime$