Problema de Teoría de Grupos
PROBLEMA Nº9 DE ESTA ENTRADA
Sea
G un grupo. Probar que C^{\prime} = \{ a\in{G} \; \textrm{tales
que}\; (ax)^2 =(xa)^2 \; \textrm{para cualquier}\; x\in{G} \} es un
subgrupo de G
Respuesta (¿para cuando?)
En primer lugar
$${C \prime}$$
y porqué en algunos párrafos no entra el LaTex y en otros si, $
\textrm{Eso es un misterio para ser tratado por un auténtico
especialista} $ $C$
es no vacío, porque el elemento neutro pertenece a
$$C^\prime$$
Supongamos que a\in{C^{\prime}}
entonces se cumple que
$$(ax)^2 =(xa)^2$$
es decir
axax=xaxa
Tomamos inversos en esa igualdad y llegamos a que
(axax)^{-1} = (xaxa)^{-1} es decir que
x^{- 1} a^{-1} x^{-1} a^{-1} =
a^{-1} x^{-1} a^{-1} x^{-1}
Como x es arbitrario, se tiene que para cualquier y tomamos
x=y^{-1}
y llegaremos a la conclusión de que yaya=ayay, es decir que (y
a^{-1})^2 = (a^{-1} y)^2 , lo cual significa que
${ a^{-1}}\in{C^{\prime}}$
Hemos probado que todo elemento de
$$C^{\prime}$$
tiene su inverso en
$$C^\prime$$
Nos queda probar que
$$C^\prime$$
es cerrado para la multiplicación del grupo
Suponiendo que a y b son dos elementos de
$${C^\prime}$$
entonces se cumple que
(abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2
lo cual significa que
ab\in{C^{\prime}}
\begin {equation} (abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2 \end{equation}
\begin{equation} (abx)^2 =(bxa)^2 = (xab)^2 \end{equation}
A^\prime y C^\prime
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