Teoría de números

 Màs adelante pondré comentarios sobre teoría de números.
Muchos problemas sencillos de teoría de números, propios para que una persona que no conozca el tema se empiece a familiarizar con él, es http://www.facebook.com/pages/Matematicas-Divertidas-Grupo-Cero/351038118252200
Para conectar con la teoría de números recomiendo estas dos páginas:
Práctica          Teoría

Recomiendo usar las dos páginas, leyendo la primera y buscando las demostraciones en la segunda
El resto de páginas ayudarán a obtener una visión de la teoría de números
Historia           Vídeos

 Blog sobre matematicas primer curso universitario. Problemas reueltos

CURSO DE TEORÍA DE NÚMEROS EN VÍDEOS EN INGLES CON SUBTITULOS EN INGLES

https://www.youtube.com/watch?v=IaLUBNw_We4&list=PL22w63XsKjqwn2V9CiP7cuSGv9plj71vv&index=1 

Este enlace lleva a una página interactiva sobre teoría de números:     http://hojamat.es/parra/iniparra.htm
Forma parte de esta interesante página sobre matemáticas:    http://hojamat.es/

Vídeos en inglés con subtitulos en inglés
https://www.youtube.com/watch?v=Br-uizllBTw&list=PL018X5Hlr4RnB78091B1SghJNb98T-XUs


Si quieres leer sobre teoría de números avanzada, este blog te ayudará
Este otro blog parece que ha cesado su actividad, pero tiene entradas muy interesantes:
Lo fascinante de la Teoría de Números

En este enlace encontramos varais demostraciones del teorema de Euclides que establece la existencia de infinitos números primos
Un montçon de libros encontraras en el enlace a un montón de libros
En el próximo enlace encontramos un desarrollo universitario de la teoría de números
http://hojamat.es/parra/iniparra.htm 
Página web dedicada a la teoría de números para universitarios (yo diría posgraduados)
http://hojamat.es/parra/iniparra.htm
Colección de problemas sobre números primos
http://123numerosprimos.blogspot.com.es/p/interactivos.html
Esta colección pertenece a un blog sobre números primos http://123numerosprimos.blogspot.com.es/
En el siguiente enlace, teoría de números en la educación secundaria

Enlace a curso de teoría de números a base de vídeos en inglés con subtítulos (en inglés)
https://www.youtube.com/watch?v=XWyyysMb-oE&list=PLWbnIo7XnOkw7zZu6u3si3at21r534qIM

Vídeo explicando funciones aritmáticas
https://www.youtube.com/watch?v=X0XJ3TuMiFc

Lectura online del libro de Sierpinski
https://books.google.es/books?id=ktCZ2MvgN3MC&lpg=PP1&pg=PP1&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
El mismo libro para leer completo
https://drive.google.com/file/d/1pUrQRSVxjg-Ukx2jwrVSxUonttZFBV74/view?usp=sharing

Calculadora online para resolver congruencias cuadráticas
https://www.alpertron.com.ar/CUADMOD.HTM

 Blog en inglés sobre campos numéricos

https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/


En lo que sigue pondré varios problemas

PROBLEMA Nº 1 DE ESTA ENTRADA
Demostrar que  
Demostrar que   $$  (2^n -1, 2^m -1) = 2^{(m,n)} -1  $$
$$  2^n =8  $$
Pistas en  foro de matematicas




PROBLEMA Nº 2 DE ESTA ENTRADA
Para todo número natural  demuestre que  es divisible por , siendo:


Pistas en foro de matemáticas


PROBLEMA Nº 3 DE ESTA ENTRADA

Desde el año 2011 en la Lotería Navidad se sortean los premios entre los cien mil números que van del 00000 al 99999 (en los décimos los números siempre se escriben con cinco cifras). Aunque todos los números tienen exactamente las mismas posibilidades de resultar premiados, con frecuencia se habla de números bonitos y números feos. Como es una valoración estética, que un número sea bonito o feo depende de los gustos de cada uno.

En este caso un número de lotería nos parecerá bonito si cumple exactamente una, y solamente una, de estas tres condiciones:

 a) es divisible entre 5,

b) da resto 2 al dividirlo entre 7,

c) la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Por ejemplo el 00037 es bonito porque cumple la condición b pero no las otras dos; sin embargo, el 00324 es feo, ya que cumple las condicionesb y c. De igual forma, podríamos decir que el 00041 y el 00450 son horribles. El primero, porque no cumple ninguna de las tres condiciones; y el segundo, porque es un exagerado y cumple las tres.

El desafío que se propone es decidir cuántos de los números que participan en el sorteo de Lotería de Navidad (recordad, del 00000 al 99999) son bonitos según el criterio expresado anteriormente.

¡¡¡¡¡Sin pistas!!!

PROBLEMA Nº 4

Encuentra todos los valores enteros de n que hacen que la expresión n/(20 - n) sea un cuadrado perfecto.

Espero que no tengas que probar muchos valores diferentes en esa expresión para encontrarlos, sino que emplees un método más directo.

Busca pistas en blog problemas matemáticos

PROBLEMA Nº 5
Encontrar todos los naturales n tal que la cantidad de divisores de la forma 4k+3 es mayor que la cantidad de divisores de la forma 4k+1

PISTAS en  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69150.msg275387;topicseen#msg275387

PROBLEMA Nº 6:   Un número primo se dice que es extraño
si tiene un solo dígito, o si tiene dos o más dígitos pero los dos números que se
obtienen omitiendo el primero o el último dígito son también primos extraños.
¿Cuántos números primos extraños hay?

EXISTEN INFINITOS NÚMEROS PRIMOS

Antes de acabar, en esta entrada se dan varias demostraciones de la infinitud de los números primos

Para enterarte de muchas clases de números que existen, lee esta entrada, pero no olvides echar un vistazo a los múltiples comentarios (¡que envidia!)
http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/#comment-731504 

Un problema propuesto en olimpiadas matemáticas
https://youtu.be/bNjw1ihUGIk 

NUEVA MANERA DE DETECTAR NÚMEROS PRIMOS

Parece que hay un pequeño malentendido: no puedo acceder directamente al contenido de vídeos ni de páginas web externas, incluyendo el enlace que proporcionaste. Sin embargo, basándome en el texto que compartiste del artículo de la página [https://www.techno-science.net/es/noticias/nuevo-metodo-para-detectar-numeros-primos-N27207.html](https://www.techno-science.net/es/noticias/nuevo-metodo-para-detectar-numeros-primos-N27207.html), puedo ofrecerte una explicación detallada del contenido del artículo relacionado con el nuevo método para detectar números primos.

### 1. **Contexto de los números primos:**

Los números primos son aquellos que solo son divisibles por 1 y por sí mismos. Han sido un tema de interés para los matemáticos desde la antigüedad debido a su importancia fundamental en la teoría de números y su aplicación en áreas como la criptografía moderna. A pesar de los avances tecnológicos, la distribución exacta de los números primos entre los enteros sigue siendo un misterio, lo que convierte su estudio en un desafío matemático importante.

### 2. **Dificultad para identificar números primos grandes:**

Para números pequeños, es relativamente fácil determinar si son primos mediante la factorización directa. Sin embargo, a medida que los números crecen, este proceso se vuelve extremadamente complejo y computacionalmente costoso. Por eso, los matemáticos han desarrollado métodos más sofisticados para identificar números primos, como tests de primalidad basados en algoritmos avanzados.

### 3. **Nuevo enfoque basado en particiones de enteros:**

El artículo destaca un nuevo método propuesto por Ken Ono y su equipo, que utiliza el concepto de **particiones de enteros** para detectar números primos. Este enfoque está basado en funciones de partición, un concepto introducido por Leonhard Euler en el siglo XVIII. Según este método, los números primos pueden ser identificados como soluciones de un número infinito de **ecuaciones diofánticas** específicas, basadas en las funciones de partición.

### 4. **¿Qué es una partición de un número entero?**

Una partición de un número entero es una forma de descomponerlo como una suma de otros números enteros positivos, sin importar el orden. Por ejemplo, el número 4 tiene las siguientes particiones:

- 4

- 3 + 1

- 2 + 2

- 2 + 1 + 1

- 1 + 1 + 1 + 1

La función de partición, denotada como **p(n)**, cuenta cuántas formas diferentes hay de particionar un número entero **n**. Esta función crece exponencialmente con el tamaño del número, lo que la convierte en un tema complejo de estudio en teoría de números.

### 5. **Relación con las ecuaciones diofánticas:**

Las **ecuaciones diofánticas** son ecuaciones polinómicas donde se buscan soluciones enteras o racionales. En este nuevo enfoque, el equipo de Ken Ono ha demostrado que los números primos pueden ser caracterizados como soluciones de ciertas ecuaciones diofánticas. Esto conecta la teoría de números primos con estructuras algebraicas y combinatorias, lo que podría abrir nuevas vías para resolver problemas clásicos en matemáticas.

### 6. **Implicaciones y desafíos futuros:**

Este descubrimiento no solo ofrece una nueva perspectiva sobre los números primos, sino que también podría inspirar nuevos enfoques para resolver conjeturas famosas como:

- **La conjetura de los números primos gemelos:** que sugiere que existen infinitos pares de números primos que difieren en 2 (por ejemplo, 3 y 5, 11 y 13).

- **La conjetura de Goldbach:** que afirma que todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos.

Aunque este nuevo enfoque representa un avance significativo, muchas preguntas fundamentales sobre los números primos siguen sin respuesta, lo que demuestra la complejidad y belleza de este campo de las matemáticas.

### Conclusión:

Este nuevo método para detectar números primos, basado en particiones de enteros y ecuaciones diofánticas, es un avance innovador en la teoría de números. Combina ideas clásicas de matemáticos como Euler con técnicas modernas, y podría tener implicaciones profundas en el futuro de la matemática pura y aplicada.

MAS INFORMACIÓN

https://www.icmat.es/es/actualidad/07-05-25/

https://www.techno-science.net/es/noticias/nuevo-metodo-para-detectar-numeros-primos-N27207.html

https://www.techno-science.net/es/noticias/nuevo-metodo-para-detectar-numeros-primos-N27207.html

https://noticiastrabajo.huffingtonpost.es/sociedad/matematicos-descubren-un-nuevo-patron-para-identificar-los-numeros-primos/

https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/1ljl2lr/prime_number_breakthrough/?tl=es-419

https://www.gaussianos.com/encontrado-nuevo-patron-en-los-numeros-primos/

TODAVÍA MÁS INFORMACIÓN

Un nuevo puente entre primos y particiones: el asombroso avance matemático reciente

Introducción: dos mundos aparentemente distintos

En matemáticas, los números primos han sido durante siglos un jardín secreto: impredecibles, elementales, cruciales para teorías profundas y tecnologías modernas. Por otro lado, la teoría de particiones estudia de cuántas formas puede descomponerse un número entero como suma de enteros positivos, sin importar el orden. Tradicionalmente, estas ramas parecían estar desconectadas: una relacionada a la multiplicación, la otra a la suma. Sin embargo, descubrimientos muy recientes han demostrado una relación inesperada y maravillosa entre ambas áreas123.

¿Qué es una partición de un número?

La partición de un número $n$ es cada manera posible de escribir $n$ como suma de números positivos, despreciando el orden. Por ejemplo, el número 5 tiene siete particiones:

• 5

• 4 + 1

• 3 + 2

• 3 + 1 + 1

• 2 + 2 + 1

• 2 + 1 + 1 + 1

• 1 + 1 + 1 + 1 + 1

La función que cuenta cuántas particiones existen para cada $n$ se llama función de partición.

El avance reciente: particiones que “detectan” primos

¿Cómo funcionan estos nuevos criterios?

Recientemente, los matemáticos Ken Ono, William Craig y Jan-Willem van Ittersum descubrieron que las particiones, a través de funciones especiales llamadas funciones de partición de MacMahon, pueden usarse para detectar exactamente cuándo un número es primo1234. Construyeron equipos de ecuaciones (de tipo Diofántico, es decir, ecuaciones polinómicas con soluciones enteras) que solo se cumplen para números primos. Es decir, si tomas un entero $n \geq 2$ y la ecuación especial basada en particiones se satisface, entonces $n$ es necesariamente primo.

Ejemplo de un criterio inesperado pero exacto

Uno de los resultados estrella es la ecuación:

$$(3n³ − 13n² + 18n − 8)M₁(n) + (12n² − 120n + 212)M₂(n) − 960M₃(n) = 0$$

donde $M_1(n)$, $M_2(n)$, y $M_3(n)$ son funciones de partición de MacMahon evaluadas en $n$.
¡Un número $n$ es primo si y solo si esta ecuación se cumple!123

Más allá de este caso, el equipo de investigadores probó la existencia de una cantidad infinita de ecuaciones semejantes; cada una ofrece una nueva “definición” o criterio exacto de número primo usando particiones.

Impacto y elegancia del descubrimiento

• Ruptura de paradigmas: Hasta hoy, casi todos los métodos de detección de primos involucraban testear divisibilidad. Aquí no interviene la factorización tradicional, sino combinatoria pura – suma y conteo.

• Enlace profundo: Por primera vez, la aritmética aditiva (particiones) y la multiplicativa (primos) se unen en criterios precisos y completamente nuevos.

• Posibles aplicaciones: Aunque el uso en algoritmos prácticos de detección de primos aún está en investigación, este marco podría dar lugar a métodos óptimos en el futuro, valiosos en criptografía y ciencias de la computación153.

¿Qué son las funciones de partición de MacMahon?

Son generalizaciones de la función de partición ordinaria, introducidas por el matemático Percy MacMahon. Consideran, por ejemplo, las particiones de $n$ en distintos tipos o números de partes, y sus propiedades combinatorias. Estas funciones han sido estudiadas desde hace décadas, pero nuestro entendimiento de su poder en teoría de números acaba de expandirse enormemente4.

Una visión para el futuro

Este descubrimiento no da una fórmula directa y eficiente para generar primos gigantes de uso inmediato, pero sí inaugura una nueva era conceptual: los números primos pueden “revelarse” mediante estructuras de suma y conteo, no solo mediante métodos de factor común. Además, como hay infinitas ecuaciones de este tipo, las posibilidades investigativas y aplicaciones apenas están comenzando a explorarse1264.

Conclusión

Lo que parecía imposible se ha logrado: los números primos, aparentemente sin patrón, ahora están conectados con una de las ideas más simples y bellas de las matemáticas: las particiones. Este vínculo recién descubierto es un triunfo del ingenio matemático y una fuente de inspiración para futuras investigaciones.

“Es casi como si nuestro trabajo te diera infinitas nuevas definiciones para primo. Eso es realmente asombroso.” — Ken Ono23

Referencias esenciales usadas:
1 2 3 465

1. https://www.perplexity.ai/page/mathematicians-discover-new-pa-LWWEhvW_T86ZafDHDRdD2g
2. https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-hunting-prime-numbers-discover-infinite-new-pattern-for/
3. https://www.thebrighterside.news/post/mathematicians-discover-clever-new-way-to-identify-prime-numbers-without-dividing/
4. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2409417121
5. https://www.popularmechanics.com/science/math/a65079348/prime-numbers-intergal-partitioning/
6. https://www.iflscience.com/remarkable-pattern-discovered-behind-prime-numbers-maths-most-unpredictable-objects-79715
7. https://www.icmat.es/news/07-05-25-en/
8. https://mathworld.wolfram.com/PrimePartition.html
9. https://unn.ua/en/news/mathematicians-found-a-completely-new-way-to-detect-prime-numbers
10. https://www.yahoo.com/news/mathematicians-discover-completely-way-prime-214000688.html
11. https://arxiv.org/abs/2409.14253
12. https://www.sustainability-times.com/research/prime-numbers-had-a-hidden-code-mathematician-cracks-2000-year-old-mystery-that-could-rewrite-number-theory/
13. https://math.stackexchange.com/questions/3956952/a-surprising-property-of-partitions-into-primes
14. https://www.techno-science.net/en/news/new-method-to-detect-prime-numbers-N27207.html
15. https://www.labrujulaverde.com/en/2025/06/a-hidden-pattern-in-the-sequence-of-prime-numbers-revealed/
16. https://www.linkedin.com/posts/scientific-american_mathematicians-come-up-with-mind-blowing-activity-7340325980567199744-OOUM

¿Cómo funcionan las nuevas ecuaciones que conectan particiones y números primos?

La conexión reciente entre particiones de números enteros y la detección de primos se basa en ecuaciones polinómicas, llamadas ecuaciones diofánticas, que utilizan funciones llamadas funciones de partición de MacMahon. Esta relación es sorprendente porque tradicionalmente la teoría de números primos es multiplicativa (se enfoca en divisores), mientras que las particiones son un objeto aditivo (combinaciones de sumas).

1. ¿Qué son las funciones de partición de MacMahon?

• Las funciones de partición cuentan cuántas formas hay de escribir un número entero $n$ como suma de números enteros positivos.

• MacMahon introdujo funciones que refinan este conteo, calculando, por ejemplo, cuántas particiones hay con ciertas características en los sumandos. Estas funciones, denotadas por $M_a(n)$, consideran multiplicidades y estructuras específicas en las particiones de $n$.

2. La receta matemática: ecuaciones que detectan primos

Ken Ono y sus colegas demostraron que existen ecuaciones específicas en las que solo los números primos las resuelven. Por ejemplo:

$$(3n^3 - 13n^2 + 18n - 8) M_1(n) + (12n^2 - 120n + 212) M_2(n) - 960M_3(n) = 0$$

Donde:

• $n$ es un número entero mayor o igual a 2.

• $M_1(n), M_2(n), M_3(n)$ son funciones de partición de MacMahon evaluadas en $n$.

Solo los valores primos de $n$ hacen que la ecuación sea cierta. En otras palabras, si tú evalúas la ecuación con un número no primo, el resultado no será cero. Para los primos, la suma se anula exactamente123.

3. ¿Por qué esto es profundamente novedoso?

• En vez de usar pruebas de divisibilidad, estas ecuaciones utilizan el conteo de combinaciones de sumas para detectar la primalidad.

• Hay infinitas ecuaciones de este tipo: Es posible construir una familia ilimitada de ecuaciones, cada una detectando los números primos de manera diferente, pero únicamente usando funciones de partición24.

• Es un puente nuevo entre lo aditivo y lo multiplicativo en teoría de números.

4. Implicaciones matemáticas

• Definiciones nuevas de primalidad: Cada ecuación ofrece una definición alternativa y exacta de qué es un número primo.

• Herramienta teórica: Por ahora, estos métodos son más revolucionarios para la teoría pura que para la computación práctica, ya que calcular funciones de partición para grandes números es muy complejo.

• Posibles nuevas aplicaciones: Aunque aún no son métodos algoritmicamente eficientes, podrían, a futuro, inspirar nuevas técnicas para el estudio y la criptografía de primos43.

5. Resumen del mecanismo

1. Se definen funciones de partición especializadas que cuentan formas particulares de descomponer $n$.

2. Se construyen polinomios (con coeficientes específicos) que involucran estas funciones.

3. El conjunto de soluciones enteras a la ecuación coincide exactamente con el conjunto de números primos: para todo primo $n$, la ecuación se anula; para no primos, no.

Esto constituye una nueva y asombrosa manera de caracterizar los números primos: su “huella” está codificada en el mundo de las adiciones y combinaciones, no solo en el de la factorización123.

Citas:
1 arXiv:2405.06451
2 PNAS: Integer partitions detect the primes
4 Scientific American
3 The Brighter Side News

1. https://arxiv.org/abs/2405.06451
2. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2409417121
3. https://www.thebrighterside.news/post/mathematicians-discover-clever-new-way-to-identify-prime-numbers-without-dividing/
4. https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-hunting-prime-numbers-discover-infinite-new-pattern-for/
5. https://www.icmat.es/news/07-05-25-en/
6. https://www.techno-science.net/en/news/new-method-to-detect-prime-numbers-N27207.html
7. https://www.europapress.es/ciencia/laboratorio/noticia-forma-completamente-nueva-encontrar-numeros-primos-20250620131343.html
8. https://uva.theopenscholar.com/files/ken-ono/files/macmahonprimessubmittedversion.pdf
9. https://www.iflscience.com/remarkable-pattern-discovered-behind-prime-numbers-maths-most-unpredictable-objects-79715
10. https://noticiastrabajo.huffingtonpost.es/sociedad/matematicos-descubren-un-nuevo-patron-para-identificar-los-numeros-primos/
11. https://www.popularmechanics.com/science/math/a65079348/prime-numbers-intergal-partitioning/
12. https://www.perplexity.ai/page/mathematicians-discover-new-pa-LWWEhvW_T86ZafDHDRdD2g
13. https://www.icmat.es/es/actualidad/07-05-25/
14. https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/39302965/
15. http://www.popularmechanics.com/science/math/a65079348/prime-numbers-intergal-partitioning/
16. https://www.techno-science.net/es/noticias/nuevo-metodo-para-detectar-numeros-primos-N27207.html
17. https://arxiv.org/abs/2409.14253
18. https://www.sustainability-times.com/research/prime-numbers-had-a-hidden-code-mathematician-cracks-2000-year-old-mystery-that-could-rewrite-number-theory/
19. https://www.labrujulaverde.com/2025/06/revelan-un-patron-oculto-en-la-secuencia-de-los-numeros-primos
20. https://datascience.virginia.edu/news/ken-ono-honored-cozzarelli-award-finalist-groundbreaking-work-prime-numbers

Traducción al español de la fuente solicitada

Un “patrón notable” descubierto detrás de los números primos, los objetos más impredecibles de las matemáticas

En el siglo III a.C., un ingenioso griego llamado Eratóstenes ideó una nueva pieza de matemática: un “criba”, con la que se podía repasar meticulosamente cada número entero en orden y descartar todo aquel con más de dos factores, dejando solo a los primos.

Era ingenioso para su época, pero objetivamente, hay que admitir que es bastante elemental. Sin ánimo de ofender a Eratóstenes, pero probablemente es justo el método que un escolar utilizaría para encontrar y listar los primos hoy en día. Lo increíble es que, más de dos milenios después, sigue siendo uno de los mejores métodos que tenemos para la tarea.

Esto es prueba de lo peculiares y esquivos que son los números primos. Encontrar algún tipo de sentido o patrón en estos números ha sido, durante siglos, la gran obsesión de las matemáticas: surgen aparentemente al azar en la recta numérica, eluden la predicción y la categorización, formando una barrera natural para resolver innumerables problemas abiertos.

Al menos, hasta hace poco. El año pasado, un trío de matemáticos encontró lo que parecía ser un cierto orden en los primos —y vino de un lugar completamente inesperado.

“Este artículo conecta dos áreas fundamentales de la teoría de números: los números primos y las particiones”, dijo Ken Ono, profesor de matemáticas en la Universidad de Virginia y uno de los autores del nuevo descubrimiento, en un reciente comunicado.

“Aunque los números primos han sido estudiados durante siglos, muchas de sus propiedades más básicas siguen siendo esquivas”, dijo. “Lo que probamos brinda infinitas nuevas formas de detectar números primos sin tener que comprobar divisibilidad, que es una de las razones por las que los primos son tan difíciles de detectar”.

Es una gran noticia —tan relevante que Ono fue nombrado finalista del Premio Cozzarelli 2025 en ciencias físicas, que reconoce a equipos “cuyos artículos en PNAS han hecho aportes destacados a su campo”.

Así que conviene preguntarse, ¿qué tiene de sorprendente todo esto?

La genética de las matemáticas

Los números primos —aquellos cuyos únicos divisores son uno y sí mismos— son uno de esos objetos mucho más importantes de lo que aparentan.

Cuando uno los conoce, son una curiosidad: una nota al margen cuando se aprende sobre la división y la factorización. Son los marginados de la recta numérica; los que no tienen verdaderos factores y parecen existir solo para hacer la división larga más difícil.

Pero, en realidad, los primos son como los átomos de las matemáticas. Son los componentes fundamentales de todos los demás números, aunque sean tan impredecibles —y eso, a su vez, los hace muy valiosos en el mundo moderno. “Una de las aplicaciones más utilizadas de los números primos en informática es el sistema de cifrado RSA”, escribió Ittay Weiss, entonces profesor de la Universidad de Portsmouth, en un artículo de 2018 en The Conversation. “El sistema [...] permite la transmisión segura de información —como los números de tarjetas de crédito— en línea”.

“Los números primos grandes también se usan ampliamente en otros sistemas criptográficos”, agregó Weiss, quien no participó en la nueva investigación.

La idea básica en todos estos sistemas es la misma: se apoyan en el hecho de que encontrar primos es una tarea difícil. Tras tantos años, cualquier nueva visión sobre ellos requiere una perspectiva genuinamente innovadora —algo que nadie hubiera intentado antes.

Por suerte, eso es justo lo que tuvieron Ono y sus colegas.

Particionando el problema

Dejemos a los números primos por un momento y vayamos a un terreno más cercano a la combinatoria que al corazón de la teoría de números. Aquí encontramos otro tipo —al menos visualmente, más literal— de “bloques de construcción” de los números, y son estos la segunda parte del hallazgo.

Las particiones de enteros, quizás incluso más que los primos, parecen engañosamente simples. Son, básicamente, formas de descomponer enteros mediante sumas —por ejemplo, las particiones de 4 serían 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1 (por convención, las particiones suelen escribirse de mayor a menor).

Quizás uno se pregunte qué aplicaciones puede tener un objeto tan elemental —y la respuesta es muchas, sobre todo si se tiene interés en teoría de números, geometría o integrabilidad en general. Porque las particiones tienen una conexión natural con un tipo de ecuaciones llamadas ecuaciones diofánticas —como la de Pitágoras o Markov, para las que existen múltiples, si no infinitos, conjuntos de soluciones racionales.

Esa conexión se conoce desde hace mucho tiempo. Solo que ahora, Ono y su equipo han notado algo increíble: que “los números primos [...] son las soluciones de infinitas ecuaciones diofánticas especiales en funciones de partición bien conocidas”, explican en su nuevo artículo.

“En otras palabras, las particiones de enteros detectan los primos de infinitas maneras naturales”.

Un mundo completamente nuevo

El vínculo entre estas dos ramas históricas de las matemáticas es sencillamente asombroso. “Es notable que un objeto combinatorio tan clásico —la función de partición— pueda usarse para detectar primos de esta manera novedosa”, dijo Kathrin Bringmann, matemática de la Universidad de Colonia que no participó en la nueva investigación, a Scientific American esta semana.

Y no solo el resultado es inesperado. Cada aspecto de este avance parece increíble: según señala Ono, nació por una pregunta de un estudiante; conecta dos áreas que no parecían estar relacionadas; y ni siquiera depende de nueva matemática —“por muy entusiasmado que esté, [esto] representa matemática teórica que podría haberse hecho décadas atrás”, dijo Ono. “Si hubiera una máquina del tiempo, podría volver a 1950, explicar lo que hemos hecho y habría el mismo nivel de entusiasmo [...] y los expertos de la época lo comprenderían”.

Pero lo más increíble de todo es que… funciona. “En realidad estamos ‘clavando’ todos los números primos”, contó Ono a Scientific American. “Es casi como si nuestro trabajo ofreciera infinitas definiciones nuevas de primo [...] Eso es impresionante”.

Con una nueva vía hacia los números primos, es imposible saber qué problema caerá después. Resolver antiguos enigmas como la conjetura de Goldbach probablemente siga siendo demasiado ambicioso, pero algunos matemáticos ven este hallazgo como un posible hito para abordar otros problemas: “Este tipo de resultados suele estimular nuevas ideas en otras subáreas”, dijo Bringmann. Por ejemplo, “¿hay generalizaciones del resultado principal para otras secuencias, como los compuestos o los valores de algunas funciones aritméticas?”

En cuanto a nuestras transacciones bancarias en línea —no hay de qué preocuparse por un colapso inmediato de la seguridad. Por muy importantes que sean los números primos para la criptografía —y lo son—, hará falta más que una conexión matemática novedosa para derribar el mundo como lo conocemos, según Ono.

“La buena noticia es que el mundo seguirá estando seguro”, afirmó. “Pero seguir entendiendo a los primos es una cuestión crucial de investigación, especialmente en la era de la computación cuántica”.

Claro que “si alguien llegara a construir una computadora cuántica eficiente, eso sí revolucionaría la forma en que los números primos se usan en criptografía”, añadió. “Eso es algo para lo que la comunidad matemática ya se está preparando”1.

1. https://www.iflscience.com/remarkable-pattern-discovered-behind-prime-numbers-maths-most-unpredictable-objects-79715

Claro. La fuente que mencionas (“A Remarkable Pattern Discovered Behind Prime Numbers, Maths’ Most Unpredictable Objects”) no menciona ningún patrón concreto computacional, sino que detalla el descubrimiento reciente de una conexión inesperada entre las particiones de números enteros y la detección de números primos. A continuación te ofrezco una traducción fiel y condensada del artículo al español, respetando el rigor y el tono divulgativo original:

Un “patrón notable” descubierto detrás de los números primos, los objetos más impredecibles de las matemáticas

En el siglo III a.C., Eratóstenes ideó una criba matemática para identificar números primos descartando los múltiplos de cada número primo sucesivo. Este método, aunque elemental, sigue siendo fundamental después de dos mil años, mostrando lo esquivos que resultan los números primos. Encontrar patrones o predecir su aparición ha sido una de las obsesiones de las matemáticas durante siglos.

Hasta hace poco, la comunidad creía que los primos carecían de un patrón sencillo. Sin embargo, un trío de matemáticos —Ken Ono, William Craig y Jan-Willem van Ittersum— ha descubierto recientemente un orden inesperado en los primos, que proviene de la teoría de particiones de números enteros.

“Este trabajo conecta dos áreas fundamentales de la teoría de números: los números primos y las particiones”, explica Ken Ono, uno de los autores. “Aunque los números primos se han estudiado durante siglos, muchas de sus propiedades siguen siendo misteriosas. Ahora demostramos que existen infinitas formas de detectar números primos sin recurrir a la divisibilidad clásica.”

Los primos, cuyos únicos divisores son 1 y ellos mismos, son los “átomos” de la aritmética y tienen aplicaciones esenciales en criptografía, donde encontrar y manipular primos grandes es un desafío crucial para asegurar comunicaciones confidenciales.

Aparte de los primos, la partición de enteros es otro objeto fundamental: se refiere a cuántas formas puede descomponerse un número como suma de enteros positivos. Por ejemplo, el número 4 puede particionarse como 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Aunque las particiones se han estudiado durante siglos y tienen conexiones con ecuaciones diofánticas (las que buscan soluciones enteras), la relación con los números primos parecía mínima—hasta ahora.

Recientemente, los investigadores han encontrado ecuaciones polinómicas usando funciones de partición (generalizaciones de la función tradicional, conocidas como funciones de partición de MacMahon), en las que solamente los primos son soluciones. Es decir, si sustituyes un número primo en esas ecuaciones, se cumple exactamente, mientras que con números compuestos no.

Este hallazgo no solo es inesperado, sino también asombroso. “Funciona”, señala Ono; “realmente estamos detectando todos los números primos. Es como si tuviésemos infinitas nuevas definiciones para un primo. Eso es impresionante.”

El enfoque es fundamentalmente teórico: no derribará aún la seguridad de la criptografía, pero sí abre un nuevo panorama en la comprensión profunda de los primos, y quién sabe qué nuevos descubrimientos puedan surgir a partir de aquí.

¿Te gustaría una traducción más completa de alguna sección en particular del artículo, o una explicación más técnica de los resultados matemáticos concretos?

1. https://fastercapital.com/es/tema/implementar-un-generador-de-n%C3%BAmeros-primos-utilizando-el-lenguaje-de-programaci%C3%B3n-de-python.html/1
2. https://www.bbc.com/mundo/noticias/2011/07/110727_naturaleza_numeros_primos
3. https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2022-4975
4. https://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/8_matematicas_maestros.pdf
5. https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2022-13172
6. https://repositorio.unal.edu.co/bitstream/handle/unal/75011/1186541.2014.pdf
7. https://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2016/08/Matematica9v2.pdf
8. https://www.fecyt.es/system/files/2024-08/matematicas_planeta_tierra_def_anexo_sm.pdf
9. https://oa.upm.es/14868/3/DICCIONARIO_BIOGRAFICO_DE_MATEMATICOS.pdf

La fuente proporcionada en tu pregunta (“A Remarkable Pattern Discovered Behind Prime Numbers, Maths’ Most Unpredictable Objects”) no se centra en patrones en la factorización tradicional de números primos (es decir, cómo los enteros se descomponen en producto de primos), sino que aborda los patrones ocultos de los propios números primos encontrados a través de la teoría de particiones de enteros.

¿Cómo aborda la fuente los patrones en la factorización de primos?

La fuente destaca que, históricamente, identificar números primos ha consistido en pruebas de divisibilidad y descomposición factorial: un primo es aquel cuya única factorización posible es él mismo y el 1 (o, en términos modernos, no admite más factores que esos simples multiplicadores). En la criba de Eratóstenes, por ejemplo, el proceso consiste en eliminar múltiplos y quedarse con los primos mediante divisiones sucesivas.

Sin embargo, la novedad señalada por la fuente es que los matemáticos han encontrado un "patrón" alternativo para detectar primos basado en sumas y particiones, no en divisibilidad. Es decir, existen ecuaciones formuladas a partir de particiones que se cumplen solamente para los números primos, ofreciendo un nuevo criterio —diferente a la clásica factorización— para caracterizarlos. Esta perspectiva conecta la aritmética multiplicativa (factorización) con la aditiva (particiones)3.

En resumen:

• La fuente reconoce que, durante siglos, los patrones en la factorización (producto único de primos) han sido el método clave para definir y detectar primos15.

• El avance reciente consiste en descubrir ecuaciones relacionadas con particiones de números —no con la factorización tradicional— que permiten identificar exactamente los primos.

• Este patrón en particiones se propone como un mecanismo teórico alternativo y absolutamente novedoso frente a la clásica criba de divisores y la búsqueda de factores.

En conclusión, la fuente no describe nuevos patrones en la factorización de primos per se, sino que pone el enfoque en un patrón aditivo (basado en particiones), independiente de la descomposición multiplicativa clásica3.

1. https://www.smartick.es/blog/matematicas/multiplicaciones-y-divisiones/factorizar-en-numeros-primos/
2. https://www.smartick.es/blog/matematicas/algebra/factorizar-numero-8-pasos/
3. https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olimpiada-de-matematica/por-numeros-primos
4. https://www.youtube.com/watch?v=NPaBFe6QBDQ
5. https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
6. https://www.youtube.com/watch?v=8YvLp9S9v9E
7. https://www.reddit.com/r/math/comments/w2ils/prime_number_patterns/?tl=es-es
8. https://www.youtube.com/watch?v=bk-ApR_GEug
9. https://es.slideshare.net/slideshow/descomposicin-en-factores-primos-54499576/54499576

Hasta la próxima entrada