Teoría de números

 Màs adelante pondré comentarios sobre teoría de números.
Muchos problemas sencillos de teoría de números, propios para que una persona que no conozca el tema se empiece a familiarizar con él, es http://www.facebook.com/pages/Matematicas-Divertidas-Grupo-Cero/351038118252200
Para conectar con la teoría de números recomiendo estas dos páginas:
Práctica          Teoría

Recomiendo usar las dos páginas, leyendo la primera y buscando las demostraciones en la segunda
El resto de páginas ayudarán a obtener una visión de la teoría de números
Historia           Vídeos

 Blog sobre matematicas primer curso universitario. Problemas reueltos

CURSO DE TEORÍA DE NÚMEROS EN VÍDEOS EN INGLES CON SUBTITULOS EN INGLES

https://www.youtube.com/watch?v=IaLUBNw_We4&list=PL22w63XsKjqwn2V9CiP7cuSGv9plj71vv&index=1 

Este enlace lleva a una página interactiva sobre teoría de números:     http://hojamat.es/parra/iniparra.htm
Forma parte de esta interesante página sobre matemáticas:    http://hojamat.es/

Vídeos en inglés con subtitulos en inglés
https://www.youtube.com/watch?v=Br-uizllBTw&list=PL018X5Hlr4RnB78091B1SghJNb98T-XUs


Si quieres leer sobre teoría de números avanzada, este blog te ayudará
Este otro blog parece que ha cesado su actividad, pero tiene entradas muy interesantes:
Lo fascinante de la Teoría de Números

En este enlace encontramos varais demostraciones del teorema de Euclides que establece la existencia de infinitos números primos
Un montçon de libros encontraras en el enlace a un montón de libros
En el próximo enlace encontramos un desarrollo universitario de la teoría de números
http://hojamat.es/parra/iniparra.htm 
Página web dedicada a la teoría de números para universitarios (yo diría posgraduados)
http://hojamat.es/parra/iniparra.htm
Colección de problemas sobre números primos
http://123numerosprimos.blogspot.com.es/p/interactivos.html
Esta colección pertenece a un blog sobre números primos http://123numerosprimos.blogspot.com.es/
En el siguiente enlace, teoría de números en la educación secundaria

Enlace a curso de teoría de números a base de vídeos en inglés con subtítulos (en inglés)
https://www.youtube.com/watch?v=XWyyysMb-oE&list=PLWbnIo7XnOkw7zZu6u3si3at21r534qIM

Vídeo explicando funciones aritmáticas
https://www.youtube.com/watch?v=X0XJ3TuMiFc

Lectura online del libro de Sierpinski
https://books.google.es/books?id=ktCZ2MvgN3MC&lpg=PP1&pg=PP1&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
El mismo libro para leer completo
https://drive.google.com/file/d/1pUrQRSVxjg-Ukx2jwrVSxUonttZFBV74/view?usp=sharing

Calculadora online para resolver congruencias cuadráticas
https://www.alpertron.com.ar/CUADMOD.HTM

 Blog en inglés sobre campos numéricos

https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/


En lo que sigue pondré varios problemas

PROBLEMA Nº 1 DE ESTA ENTRADA
Demostrar que  
Demostrar que   $$  (2^n -1, 2^m -1) = 2^{(m,n)} -1  $$
$$  2^n =8  $$
Pistas en  foro de matematicas




PROBLEMA Nº 2 DE ESTA ENTRADA
Para todo número natural  demuestre que  es divisible por , siendo:


Pistas en foro de matemáticas


PROBLEMA Nº 3 DE ESTA ENTRADA

Desde el año 2011 en la Lotería Navidad se sortean los premios entre los cien mil números que van del 00000 al 99999 (en los décimos los números siempre se escriben con cinco cifras). Aunque todos los números tienen exactamente las mismas posibilidades de resultar premiados, con frecuencia se habla de números bonitos y números feos. Como es una valoración estética, que un número sea bonito o feo depende de los gustos de cada uno.

En este caso un número de lotería nos parecerá bonito si cumple exactamente una, y solamente una, de estas tres condiciones:

 a) es divisible entre 5,

b) da resto 2 al dividirlo entre 7,

c) la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Por ejemplo el 00037 es bonito porque cumple la condición b pero no las otras dos; sin embargo, el 00324 es feo, ya que cumple las condicionesb y c. De igual forma, podríamos decir que el 00041 y el 00450 son horribles. El primero, porque no cumple ninguna de las tres condiciones; y el segundo, porque es un exagerado y cumple las tres.

El desafío que se propone es decidir cuántos de los números que participan en el sorteo de Lotería de Navidad (recordad, del 00000 al 99999) son bonitos según el criterio expresado anteriormente.

¡¡¡¡¡Sin pistas!!!

PROBLEMA Nº 4

Encuentra todos los valores enteros de n que hacen que la expresión n/(20 - n) sea un cuadrado perfecto.

Espero que no tengas que probar muchos valores diferentes en esa expresión para encontrarlos, sino que emplees un método más directo.

Busca pistas en blog problemas matemáticos

PROBLEMA Nº 5
Encontrar todos los naturales n tal que la cantidad de divisores de la forma 4k+3 es mayor que la cantidad de divisores de la forma 4k+1

PISTAS en  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69150.msg275387;topicseen#msg275387

PROBLEMA Nº 6:   Un número primo se dice que es extraño
si tiene un solo dígito, o si tiene dos o más dígitos pero los dos números que se
obtienen omitiendo el primero o el último dígito son también primos extraños.
¿Cuántos números primos extraños hay?

EXISTEN INFINITOS NÚMEROS PRIMOS

Antes de acabar, en esta entrada se dan varias demostraciones de la infinitud de los números primos

Para enterarte de muchas clases de números que existen, lee esta entrada, pero no olvides echar un vistazo a los múltiples comentarios (¡que envidia!)
http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/#comment-731504 

Un problema propuesto en olimpiadas matemáticas
https://youtu.be/bNjw1ihUGIk 

Hasta la próxima entrada