Los números irracionales (incompleta)

 BREVE INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE NÚMERO IRRACIONAL

          Tenemos que saber que hay varias clases de números: naturales, enteros, racionales, reales.
          En esta serie cada clase de números está incluida en la siguiente.
          Los números irracionales son los reales que no son racionales.
         En los siguientes enlaces tenemos explicadas con detalle estas ideas. Es bueno leerlos para familiarizarse con el tema. Por ejemplo,  tienes aquí un enlace para recordar los tipos de números que se conocen.  Para profundizar en las distintas clases de números que existen. No dejes de leer esta otra nota sobre  los diferentes tipos de números. A ver si terminamos de aclararnos con este documento. Y con éste otro.  Aquí tenemos los distintos tipos de números  Pero la cosa no se aclara si no vemos un vídeo (que presupone haber leído los anteriores)  Esta introducción es más sesuda, quizá más difícil de entender. Intentamos arreglarlo todo con otro vídeo.
     En esta webmix encontrarás información y tareas sobre números irracionales (a base de vídeos)
      También en esta otra.
    Pongo otra webmix, pero está en ingles.    Y esta otra otra también.  Esta otra webmix es la última que pongo.
   Una página web que explica una vez más este tema  http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas41.htm

   Ahora una explicación sacada de internet (abajo pongo el origen)
   

     La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y  el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

    El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

                    X² + a X = b²

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

   Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

    Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.

    Fueron los indios, entre los siglos V- XV,  los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación. encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal).

    Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.

    A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.

    A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

    Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteroros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

    Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral.

Justificación de su introducción

       Hay muchas razones, que obligaron a su introducción, nos centraremos en la original. La razón de origen, fue motivada por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la época griega relacionados con el llamado número áureo o número de oro, el cual era el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo, que coincidía con la razón entre el segmento mayor y el menor de un segmento AB, dividido por un punto C, interior al mismo, en proporción áurea, es decir cumpliendo que AC/CB = AB/AC. A título de ejemplo, veamos su valor. 
  
    Llamemos a = AC y b= CB, con lo que la expresión anterior se transforma en:   a/b = (a + b)/a, con lo que si llamamos x al número áureo, tendremos $x =1 + \frac{1}{x}$ , llegando así,  a la ecuación de segundo grado:      $ x^2 - x -1 = 0 $ , cuyas soluciones son $ \frac{ 1 + \sqrt{5}}{2}$  y  

$\frac{ 1 - \sqrt{5}}{2}$, donde $\sqrt 5 $  simboliza la raíz cuadrada de cinco. Descartando la solución negativa, obtenemos así el buscado número de oro.

    Pero $\sqrt 5 $ , no se podía expresar como cociente de dos enteros, pues, si así fuese, tendríamos que $\sqrt(5) = \frac{a}{b}$ , donde a  y b son primos entre si (simplificando si es necesario). Por lo tanto 5 = a² / b², o bien a² = 5 b², es decir a² es múltiplo de cinco, y por lo tanto a también debe de serlo ( a² = a . a ). 

Sea, entonces a = 5 k, con lo que (5 k )² = 5 b², es decir 5 k² = b², llegando a que también b es múltiplo de cinco, en contradicción con el hecho de que a y b eran primos entre si. Por lo tanto  $\sqrt5$ , no es un número racional y en consecuencia el número de oro tampoco. A tal número, le llamaron irracional, por no ajustarse a los esquemas que, hasta entroncas, tenían de los números.

Otro problema que se relacionó con su introducción, fue el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, que por el teorema de Pitágoras conduce al número $\sqrt 2$ , que por un razonamiento análogo al anterior tampoco es un número racional

También justifico su introducción, la necesidad de asociar a todo segmento orientado de la recta con origen un punto fijo de la misma, y con respecto a un segmento tomado como unidad, un número único (su longitud) y recíprocamente.

    Es de hacer notar que los razonamientos anteriores, los hicieron a través de métodos geométricos y no algebraicos, como hemos hecho.
  

Documento cedido por:

JORGE L. CASTILLO T.

Comentarios al email:

CIBERCRAZY5000@YAHOO.COM.MX

Ahora continuamos ofreciendo material sobre números irracionales

INDICE (TEMAS A DESARROLLAR)
Definición de número irracional y consideraciones generales  http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional

Dificultades en la comprensión de los números irracionales
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=73605.new#new

http://www.pedagogica.edu.co/storage/ted/articulos/ted05_03arti.pdf

Sobre números en general

Enseñanza de los números

Eneñanza de las matemáticas

Dificultades con los números


Un trabajo previo sobre $ \pi $ :  http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi.htm


Números irracionales famosos

                  *   El número de oro $ \phi  $  (de Fidias)
                    http://numerodeoro.wordpress.com/
                    Documento sobre el número de oro
                    Otro documento
                    Éste es breve
                    http://culturacientifica.com/2014/04/09/visitad-los-museos-tambien-en-clave-matematica/


                    *  El número e de Euler
                     http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/e-euler-numero.html
                    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e

                    * El número $ \pi $

La irracionalidad se demuestra
http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/raiz_de_2_irracional/r_irracional.htm

http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la.html#more 

Desde luego no podremos comprender bien los números irracionales si no comprendemos los racionales, que son esencialmente fracciones. Aquí tienes material para trabajar las fracciones hasta aburrirte

$\sqrt{2}$ es irracional  

https://www.youtube.co}m/playlist?list=PLjyGOVF67WFLOSOl4FqOPBF_f81SglgBA 

 
El número "pi" es irracional
https://www.youtube.com/watch?v=HmPpMreucyc 
https://www.youtube.com/watch?v=cMkOcj1M-tQ 




TO BE CONTINUED