Diferencia simétrica, función característica y asociatividad

 La función característica de un conjunto se define: 1_A (x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in{A}\\ 0 & \text{si}& x\notin{A}\end{cases}

Veamos la utilidad que tiene esta función para probar si son ciertas o falsas determinadas igualdades entre conjuntos

 La utilidad  de la función característica se basa en que 1_A =1_B \Leftrightarrow{A=B}
Antes de seguir, comento que toda esta primera parte está sacada de
 http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/19/funcion-caracteristica/
Vamos a probar la afirmación anterior
Primera parte: {1_A = 1_B}\Rightarrow{A=B}
Si x\in{A} entonces 1_A (x) =1 .Por hipótesis 1_A = 1_B , luego 1_B (x) = 1 , lo cual implica que x \in{B} . Esto prueba que A\subseteq B
Con un razonamiento análogo, intercambiando los papeles de A y B, se obtiene que B\subseteq A
De ambas inclusiones se deduce que A=B
Segunda parte:A = B  \Rightarrow{1_A = 1_B}
Por hipótesis A=B . Si  x\in{A}=B entonces 1_A (x) = 1_B (x) =1.
Si x\notin{A=B} entonces 1_A (x) = 1_B (x) =0 .
Esto prueba que para todo x\in{U} se cumple que 1_A (x) = 1_B (x)
(Aclaración: U es el conjunto universal del que forman parte todos los conjuntos con los que estamos trabajando).
Por tanto 1_A = 1_B


Vamos a probar unas cuantas propiedades:

Antes de ver la primera prpiedad, definimos complementario de A como el conjuntos de todos los  elementos del universo en el que trabajamos que no son elemementos de A
A^c = \{ x\in U / x\notin A \}
La propiedad que primero vamos a probar se enuncia: 1_{A^c} = 1 - 1_A

Prueba:
Para cualquier elemento x del universo U en el que estamos trabajando, y fijado un subconjunto arbitrario A de ese universo,  sólo hay dos posibilidades: o bien x\in A  o bien (excluyentemente) x \notin A
Supongamos que x\in A . Entonces x\notin A^c y se cumple 1_A (x) =1  y  1_{A^c} (x)=0
Por tanto en este caso 1_A (x) = 1 =1 -0 = 1 - 1_{A^c} (x)
Supongamos que x\notin A . Entonces x\in A^c y por tanto 1_A (x) = 0 = 1 - 1 = 1 - 1_{A^c} (x)
Hemos llegado a la conclusión de que para cualquier x del universo en que estamos trabajando se cumple que 1_A^c  (x) = 1 - 1_A (x) , lo cual equivale a la igualdad entre funciones 1_A^c = 1 - 1_A

Otra propiedad: 1_{A\cap B} = 1_A \cdot 1_B
Hay que estudiar todos los casos posibles:
 x\in A y x\in B . Entonces x \in A \cap B y admás 1 _A (x) = 1_B (x) =1_{A \cap B} (x) = 1 y se cumple la fórmula.


x\in A y x\notin B . Entonces x \notin A \cap B  y se cumple 1_{A \cap B} (x)=0 = 1 \cdot 0 = 1_A (x) \cdot 1_B (x)

x\notin A y x\in B . Se razona igual, intercambiando los papeles de A y de B

x\notin A y x\notin B . Todas las funciones características son cero y es cierta en este caso la fórmula.

Por tanto, para cualquier elemmento x del universo en el que estamos trabajando se cumple 1_{A \cap B} (x) = 1_A (x) \cdot 1_B (x) lo cual nos dice que es cierta la igualdad entre funciones
1_{A\cap B} = 1_A \cdot 1_B

Otra propiedad:  1_{A \cup B} = 1_A +1_B - 1_A \cdot 1_B
Prueba: Hay que estudiar todos los casos posibles, que son cuatro:
x\in A y x\in B . Entonces 1_{A\cup B} (x) = 1 _A (x) = 1_B (x) =1 y se cumple 1_{A\cup B} (x) = 1 =1+1 - 1 \cdot 1 = 1_A (x) + 1_B (x) -  1_A (x) \cdot 1_B (x)

x\in A y x\notin B . Entonces 1_{A\cup B} (x) =1 , 1_A (x) =1 y 1_B (x) =0 y vemos que se cumple la fórmula 1_{A\cup B} (x) =1 = 1+0 - 1 \cdot  0 = 1_A  (x) + 1_B  (x) - 1_A  (x) \cdot  1_B  (x)


x\notin A y x\in B . Se razona igual, intercambiando los papeles de A y B

x \notin A y x\notin B . En este caso las funciones características son todas cero y se cumple la fórmula.

Hemos visto que en todos los casos posibles se cumple 1_{A\cup B } (x)=1_A (x) + 1_B (x) - 1_A (x) \cdot 1_B (x) y eso prueba la igualdad entre funciones 1_{A \cup B} = 1_A +1_B - 1_A \cdot 1_B



De manera similar se prueban otras propiedades:

1_{A\cup B} = 1_A  + 1_B - 1_A \cdot 1_B
Demostración:
Para un elemento cualquiera x que pertenezca al universo en el que trabajamos, sólo hay dos posibilidades, que pertenezca a la unión de A con B o que no pertenezca.
Si x\in{A\cup B} entonces se cumple que 1_{A\cup B}=1 y pueden ocurrir los siguientes casos:
x\in{A} y x\in{B} entonces 1_A (x) +1_B ) - 1_A (x) \cdot 1_B (x)= 1+1-1\cdot{1}=1+1-1=1
Por otra parte, si x\in{A} y x\notin{B} entonces 1_A (x) +1_B (x) - 1_A (x)\cdot{1_B (x)}=1+0-1\cdot{0}=1+0-0=1

De la misma manera se razona en el caso en que x no pertenezca a  A  pero sí que pertenezca a B , se razona igual para llegar a la misma conclusión

               1_A (x) + 1_B (x) -1_A (x )\cdot 1_B  (x)=0+1- 0=1 


En el caso de que x\notin{A\cup B} , entonces se cumple que x\notin A y que x\notin B  y por tanto se cumple que 1_{A\cup B} =0 y tambien que 1_A (x) = 1_B (x) =0 y en consecuencia
  1_{A \cup B} (x)= 1_A (x) + 1_B(x) - 1_A(x) \cdot{1_B (x)=0}
Por tanto queda acreditado que para cualquier valor de x se cumple
  1_{A \cup  B} (x)= 1_A (x) + 1_B (x) - 1_A(x)\cdot 1_B (x) , lo cual es lo mismo que decir que
1_{A \cup B} = 1_A + 1_B - 1_A \cdot 1_B

Ahora vamos a las propiedades más interesantes, de cara a dotar al conjunto de los subconjuntos de un conjunto universal en el que trabajamos, de estructura de grupo, con una operación que se llama "diferencia simétrica"
 =
Se define la diferencia de dos conjuntos A y B como el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B
A - B = \{x \in A / x \notin B \}

La propiedad que vamos a probar es  1_{A - B} = 1_A \cdot (1 - 1_B )
Demostración:
1_{A - B} = 1_{A \cap B^c} = 1_A \cdot 1_{B^c} = 1_A \cdot (1 - 1_B )   cqd

Para apreciar la simplificación que introduce en las pruebas de las propiedades de los conjuntos el concepto y propiedades de función característica, aquí va una prueba "directa", que no recurre a las funciones caracterósticas, de la asociatividad de la diferencia sinmétrica:

https://www.youtube.com/watch?v=DfXSQplXnj8

Hasta aquí hemos descrito propiedades de la función caracterísica de un conjunto que pueden ser usadas para probar determinadas igualdades entre conjuntos.
En próximas entradas continuaremos  con el asunto

Todo lo anterior y algo más se puede encontrar en  

https://fernandorevilla.es/2014/02/19/funcion-caracteristica/

CONTINUARÁ ____________________________________________ TO BE CONTINUED

Pongo aquí copia de la entrada de parafernalias que se llama "la función característica y la diferencia simétrica"


 

En esta entrada usamos la función característica para probar determinadas igualdades entre conjuntos, llegando al final a probar la asociatividad de la diferencia simétrica

Empezamos.
Ahora definimos la diferencia simétrica A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)
Vamos a probar que 1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B  - 2 \cdot 1_A  \cdot 1_B
Demostración: Es fácil, pero larga. Se trata de desarrollar hasta llegar a la fórmula propuesta, aplicando las propiedades anteriores
1_{A \Delta B} = 1_{(A - B) \cup (B - A ) }  = 1_{A - B} + 1_{B - A } -  1_{A - B} \cdot 1_{B -A} =

  1_A \cdot (1 - 1_B) + 1_B \cdot (1 - 1_A) - 1_A \cdot (1 - 1_B) \cdot 1_B \cdot (1 - 1_A)

= 1_A  - 1_A \cdot 1_B + 1_B - 1_B \cdot 1_A - [1_A - 1_A \cdot 1_B ] \cdot [1_B - 1_B  \cdot 1_A ] 

La icadena de igualdades continúa ,pero, para simplificar la notación, a partir de ahora en lugar de M \cdot N escribiremos sencillamente M N . Así pues la cadena de igualdades sigue de la siguiente manera:

   1_A  +  1_B  -  2 \cdot { 1_A}   1_B  -  1_A  1_B   + 1_A  1_B   1_A  -  1_A  1_B  1_B  +  1_A   1_B  1_B  1_A 

Ahora tenemos que tener en cuenta que  1_M \cdot 1_M = 1_M siendo M cualquier conjunto.
Por eso podemos seguir la cadena de desigualdades, teniendo en cuenta esto
= 1_A -1_A \cdot 1_B + 1_B -1_B \cdot 1_A -1_A \cdot 1_B + 1_A \cdot 1_B + 1_A \cdot 1_B - 1_A \cdot 1_B = 1_A + 1_B -2 \cdot 1_A \cdot 1_B    cqd

La verdad es que las pruebas anteriores hubieran sido más sencillas si hubiésemos usado el siguiente resultado:
Si A y B son disjuntos, es decir, A\cap B = \emptyset ,  entonces 1_{A\cup B} = 1_A + 1_B .
Entonces como A - B y B - A son disjuntos, entonces es más fácil llegar a la fórmula para 1_{A\Delta B}

Nos queda por abordar las demostradión de que la diferencia simétrica es asociativa, es decir,
A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B)\Delta C

Antes de empezar diremos que la prueba está en vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE 
y por escrito:
 http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/

https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE

Prueba elegante de la asociatividad de la diferencia simétrica

 
Ya hemos visto que  1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B  - 2 \cdot 1_A  \cdot 1_B
Vamos a desarrollar la función característica de A\Delta (B\Delta C)
Llamamos H = B \Delta C con lo cual A\Delta (B\Delta C) = A\Delta H
Según lo que hemos probado
, 1_H = 1_B + 1_C - 2\cdot 1_B  1_C , y también 1_{A\Delta (B\Delta C)}
Sigue la cadena de igualdades
= 1_{A\Delta H } = 1_A + 1_H - 2\cdot 1_A 1_H
Ahora sustituimos una igualdad en otra y obtenemos
  1_A + 1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C -2\cdot 1_A (1_B + 1_C - 2\cdot 1_B 1_C)=  1_A + 1_B + 1_C - 2 (1_B 1_C + 1_A  1_B + 1_A 1_C ) +4\cdot 1_A 1_B 1_C

Ahora  desarrollamos 1_{(A\Delta B)\Delta C}
Repetimos los pasos del caso anterior K = A\Delta B , y entonces
1_K = 1_A + 1_B  - 2\cdot 1_A  1_B
Por otra parte 
 1_{(A\Delta B)\Delta C} = 1_{ K\Delta C}  , y 1_{(A\Delta B) \Delta C }= 1_{K\Delta C} = 1_K + 1_C -2\cdot 1_K  1_C



Sustituimos una igualdad en otra para obtener:
1_A + 1_B  + 1_C - 2\cdot 1_A  1_B  - 2\cdot (1_A + 1_B - 2 \cdot 1_A  1_B )\cdot 1_C = 1_A + 1_B + 1_C - 2 (1_A  1_B +1_A 1_C + 1_B 1_C) + 4\cdot 1_A  1_B   1_C  L

Llegamos a la misma expresión que antes  y aplicando que 1_M = 1_H \Longleftrightarrow{M=H} , al se iguales 1_{A\Delta (B\Delta C )} = 1_{(A\Delta B)\Delta C}   concluimos que
A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B)\Delta C

Como ya hemos explicado antes, todo esto y algo más puede encontrarse en:

https://fernandorevilla.es/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/

Otra versión de la teoría de la diferencia simétrica, sin funciones características, es

https://steemit.com/spanish/@reinaseq/diferencia-simetrica-de-conjuntos 

https://blog.nekomath.com/teoria-de-los-conjuntos-i-diferencia-simetrica/

 Antes de terminar repito algunos videos y escritos

https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE 
y por escrito:
 http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/

https://www.youtube.com/watch?v=QbE_WYDJmqE

Prueba elegante de la asociatividad de la diferencia simétrica

CONTINUARÁ ___________________________________________     TO BE CONTINUED

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